MATEMATIKA 1. Grupa 2 Rexea zadataka i rezultati. Prvi pismeni kolokvijum, Prof Dragan ori

Transcript

1 MATEMATIKA 1 Prvi pismeni kolokvijum, Grupa 2 Rexea zadataka i rezultati Prof Dragan ori

2 MATEMATIKA 1 1. Kolokvijum, novembar Grupa 2 Dragan ori 1. Neka je M = x 0 y 0 x + y 0 x, y R y 0 x i operacija mnoee matrica. Ispitati da li je operacija zatvorena u M. Da li je (M, ) grupa? Da li je (M, ) Abelova grupa? Rexee. Ako je M x.y = x 0 y 0 x + y 0 y 0 x, tada je xa + yb 0 ay + bx M x,y M a,b = M x,y M a,b = 0 (x + y)(a + b) 0 = M. ya + xb 0 yb + xa Kako je M(1, 1) = M(3, 3), M(1, 3) = M(3, 1) i M(2, 2) = M(1, 1) + M(1, 3), to je M x,y M a,b = M u,v, u = xa + yb, v = xb + ya. Iz pretpostavke x, y, a, b R sledi u, v R. Prema tome, M u,v M, odnosno operacija je zatvorena u M. Poxto je M 1,0 jediniqna matrica reda tri, struktura (M, ) ima jediniqni element. Iz M 0,0 M x,y = M 0,0 M 1,0 sledi da element M 0,0 nema inverzni element. Prema tome, struktura (M, ) NIJE grupa. S obzirom na to da (M, ) nije grupa, poslede pitae je deplasirano. 2. U zavisnosti od vrednosti parametara a i b odrediti rang matrice K, gde je K = 2 11 b b a b 3 3 ab 12 Rexee: Ako je r rang date matrice, tada je r 4 jer je K matrica tipa 4 5 i r 3 jer je M 1,4,5 1,2,3 = 1 (oznaka za navedeni minor je kao u vaeem ubeniku, str.50). Elementarnim transformacijama matrice K dobijamo da je K b a + 1 ab 5 Za a = 1 i b = 5 je r = 3 jer su svi minori reda 4 jednaki nuli. Za a 1 je r = 4 jer je M 1,2,3,4 1,2,3,4 0. Za a = 1 i b 5 je r = 4 jer je M 1,2,3,5 1,2,3,4 0. Prema tome, r = 3 za (a, b) = ( 1, 5) i r = 4 za (a, b) ( 1, 5).

3 3. Date su prave p : x 3 = y 2 = z , q : x 5 = y 3 = z i taqka S(1, 1, 0). a) Ispitati meusobni poloaj pravih p i q. Ukoliko se seku odrediti ihovu preseqnu taqku, u suprotnom odrediti rastojae izmeu ih. b) Odrediti jednaqinu ravni π koja sadri taqku S, koordinatni poqetak i paralelna je pravoj p, a zatim odrediti ortogonalnu projekciju prave p na ravan π. Rexee: Sistem a) Parametarske jednaqine pravih p i q su p : x = 3t, y = 2t, z = 12t 7, q : x = 2s + 5, y = s + 3, z = 5s t = 2s + 5, 2t = s + 3, 12t 7 = 5s + 10 ima jedinstveno rexee (t, s) = (1, 1) koje odreuje taqku A(3, 2, 5). Prema tome, prave p i q su komplanarne i seku se u taqki A. b) Ako je n π vektor normale ravni π, a n p vektor pravca prave p, tada je 4n π = n p OS = (3, 2, 12) (1, 2, 0) = i j k = 24i + 12j 8k, pa je n π = (6, 3, 2). Prema tome, jednaqina ravni π je 6x + 3y 2z = 0. Prava r koja sadri taqku P (0, 0, 7) p i koja je normalna na ravan π ima jednaqinu x 6 = y 3 = z Prodor prave r kroz ravan π je taqka P ( 12/7, 6/7, 45/7). Kako projekcija p prave p sadri taqku P i ima pravac n p, jednaqina projekcije prave p na ravan π je p : x + 12/7 3 = y + 6/7 2 = z + 45/7. 12 Uvid u radove Uvid u radove bie u kab. C 202 u sledeim terminima: Za studente sa vixe od 9 poena u 12:20 Za studente sa mae od 10 poena u 12:20 Pre dolaska na uvid treba deta no prouqiti priloena rexea zadataka i pripremiti eventualna pitaa.

4 Р Е З У Л Т А Т И Презиме Име Индекс Поени 1 Докић Милица 36/ Бијелић Сара 122/ Гошић Бојана 115/ Радивојевић Јана 117/ Недељковић Мина 241/ Шокић Тијана 514/ Јовчић Јована 353/ Пековић Милена 357/ Митровић Оливера 101/ Челиковић Петар 525/ Војводић Стефан 28/ Митровић Јована 51/ Роглић Лидија 38/ Исаков Барбара 127/ Вратоњић Наташа 157/ Јокић Никола 109/ Иванчевић Ивана 238/ Станић Ивана 18/ Пејчић Јелена 42/ Ђолић Лука 27/ Паравиња Ненад 181/ Раковић Андријана 43/ Пејчић Бојана 203/ Сапсај Јелисавета 400/ Станојевић Јелица 34/ Савић Милица 355/ Ристић Никола 131/ Чаровић Никола 154/ Јанковић Тијана 518/ Анђелковић Урош 20/ Поповић Анамарија 412/ Јовановић Звездана 163/ Ивановић Ивана 177/ Стојановић Катарина 221/ Станојчић Лука 246/ Нешовић Никола 162/ Клобучар Николина 13/15 14

5 38 Ђокић Петар 451/ Ташин Филип 213/ Тодоровић Божидар 255/ Јовановић Бојана 220/ Драгићевић Јелена 48/ Косанић Дејана 474/ Петровић Јован 198/ Маринковић Љубица 660/ Веселиновић Никола 108/ Стојковић Никола 118/ Тадић Слободан 10/ Љубичић Јана 168/ Новаковић Марко 537/ Милићевић Никола 219/ Конатаревић Анђелика 7/ Лакићевић Бранка 153/ Јанковић Вујадин 278/ Милановић Драган 178/ Николић Исидора 188/ Арсенијевић Јелена 257/ Милић Јована 233/ Милановић Катарина 247/ Ранковић Марко 411/ Стевановић Матеја 258/ Крстић Стефан 523/ Понорац Лола 143/ Дамјановић Маја 402/ Милинковић Ада 428/ Копривица Ања 866/ Мемеди Аријан 422/ Пилчевић Владимир 123/ Јеремић Дијана 377/ Маројевић Иван 52/ Зубић Исидора 402/ Јовановић Марко 209/ Панић Милица 439/ Паројчић Реља 394/ Алексић Синиша 525/ Несторов Филип 193/ Марић Милица 382/ Ђурђевић Александар 372/15 6

6 79 Милетић Вук 373/ Марковић Иван 405/ Драговић Милош 424/ Илић Немања 404/ Шијан Петар 272/ Божић Александра 459/ Ивичић Дуња 427/ Раичевић Душан 462/ Лазић Ђорђе 501/ Крчмар Ива 420/ Шпикић Сава 434/ Николић Срећко 455/ Костић Александра 509/ Марјановић Велимир 410/ Ивановић Марко 406/ Симић Младен 132/ Милићевић Тијана 413/ Стојадиновић Милица 450/ Милошевић Нина 365/ Маринковић Огњен 369/ Стефановић Петар 236/ Милинковић Александар 262/ Кондић Јелена 403/ Ивановић Огњен 268/ Павићевић Петар 397/ Бурић Бранко 234/ Ивезић Никола 389/ Бркић Предраг 458/ Ступар Ана 456/ Радовић Дарко 203/ Радојковић Јелена 452/ Лазић Милица 419/ Јањић Милош 407/ Радовић Сашка 416/ Кофилески Славко 450/ Радосављевић Стефан 263/ Ђуровић Тамара 384/13 0