Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa"

Transcript

1 Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ). Osobine operacije : 1. zatvorenost: ( a, b A) a b A ; 2. asocijativnost: ( a, b, c A) (a b) c = a (b c) ; 3. komutativnost: ( a, b A) a b = b a ; 4. postojanje neutralnog elementa: ( e A)( a A) a e = e a = a; 5. postojanje inverznog elementa: ( a A)( a A) a a = a a = e. Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa (semigrupa). Ako operacija ima osobine: zatvorenost, asocijativnost, postoji neutralni i inverzni element, onda je (A, ) grupa. Grupa (A, ) u kojoj važi komutativnost zove se Abelova grupa ili komutativna grupa. Algebarske strukture sa dve operacije (A,, ): (A,, ) je prsten ako je (A, ) Abelova grupa, (A, ) polugrupa i važi distributivnost operacije prema operaciji : ( a, b, c A) a (b c) = (a b) (a c), (b c) a = (b a) (c a). 1

2 2 (A,, ) je telo ako je (A, ) Abelova grupa, (A \ {e}, ) grupa (e je neutralni element za operaciju ) i važi distributivnost operacije prema operaciji. Telo (A,, ) je polje ako je (A \ {e}, ) Abelova grupa. Skup B, B A sa operacijom je podgrupa grupe (A, ) ako važi: ( a, b B) a b B, ( a B) inverzni element a B. Zadaci: 1. Na skupu R definisana je operacija sa x y = x + y + k, x, y R, gde je + operacija sabiranja, a k R data konstanta. Ispitati algebarsku strukturu (R, ). Rešenje: Zatvorenost : Za svako x, y R važi x y = x + y + k R, pa je operacija zatvorena. Asocijativnost : ( x, y, z R) (x y) z = (x + y + k) z = (x + y + k) + z + k = x + y + k + z + k, x (y z) = x (y + z + k) = x + (y + z + k) + k = x + y + z + k + k. Zagrade smo mogli da sklonimo jer je sabiranje asocijativna operacija u R, a kako je i komutativna to imamo Komutativnost : ( x, y R) (x y) z = x + y + z + 2k = x (y z). x y = x + y + k = y + x + k = y x, gde smo iskoristili komutativnost operacije +. Neutralni element: Pokazali smo da je komutativna operacija pa je dovoljno naći element e R za koji važi x e = x (ili e x = x). Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = x + e + k = x. Iz poslednje jednakosti dobijamo da je neutralni element e = k.

3 Inverzni element: Za svako x R inverzni element, ako postoji, mora da zadovoljava uslov x x = e i x x = e (dovoljno je proveriti da važi jedna jednakost, a onda će važiti i druga zbog komutativnosti). Imamo x x = e x + x + k = e e = k x = x 2k R. Ovim smo pokazali da svaki element iz R ima inverzni element x = x 2k R. Na osnovu utvrd enih osobina operacije imamo da je (R, ) Abelova grupa. Napomenimo da za različite vrednosti konstante k R dobijamo različite definicije operacije, na primer: x y = x + y + 5, x y = x + y + 7, x y = x + y 3. Takod e, postupak utvrd ivanja osobina operacije bio bi analogan i u slučaju da je definisana na skupu kompleksnih brojeva, na primer z w = z + w + i ili z w = z + w i Na skupu R \ {0} definisana je operacija sa x y = xyk, x, y R \ {0}, gde je k R \ {0} data konstanta. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {0}, ). Rešenje: Zatvorenost : Za svako x, y R \ {0} važi x y = xyk R \ {0}, jer je proizvod brojeva različitih od nule takod e različit od nule. Asocijativnost : ( x, y, z R \ {0}) (x y) z = (xyk) z = (xyk)zk = xykzk, x (y z) = x (yzk) = x(yzk)k = xyzkk. Zagrade smo mogli da sklonimo jer je množenje asocijativna operacija u R \ {0}, a kako je i komutativna to imamo Komutativnost : ( x, y R \ {0}) (x y) z = xyzk 2 = x (y z). x y = xyk = yxk = y x,

4 4 gde smo iskoristili komutativnost operacije. Neutralni element: Pokazali smo da je komutativna operacija, pa ćemo naći element e R \ {0} za koji važi x e = x. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = xek = x x(ek 1) = 0 x R \ {0} ek 1 = 0 e = 1 k. Inverzni element: Za svako x R \ {0} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov x x = e. Važi x x = e xx k = e e = 1 k x = 1 xk 2. Ovim smo pokazali da svaki element x R \ {0} ima inverzni element x = 1/(xk 2 ) R \ {0}. Imamo da je (R \ {0}, ) Abelova grupa. Kao i u prethodnom zadatku i ovde možemo za konstantu k uzeti proizvoljnu vrednost iz R \ {0} i dobiti različite definicije operacije. Takod e skup R \ {0} možemo zameniti skupom C \ {0}: ili x y = 2xy, z w = izw, z w = e iπ/4 zw, z w = x y = xy 2, x y = 2xy, x, y R \ {0}, ( cos π 3 +i sin π ) zw, 3 z, w C\{0}. 3. Na skupu R \ {1} definisana je operacija sa x y = xy x y + 2, x, y R \ {1}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {1}, ). Rešenje: Zatvorenost : Treba pokazati da za svako x, y R \ {1} važi x y = xy x y + 2 R \ {1}, što znači da ni za jednu vrednost x, y R \ {1} vrednost x y ne može biti 1. Pretpostavićemo da za neko x, y 1 imamo x y = 1, to jest, što je nemoguće. xy x y + 2 = 1 (x 1)(y 1) = 0,

5 5 Asocijativnost : ( x, y, z R \ {1}) (x y) z = (xy x y + 2) z = (xy x y + 2)z (xy x y + 2) z + 2 = xyz xz yz xy + x + y + z, x (y z) = x (yz y z + 2) = x(yz y z + 2) x (yz y z + 2) + 2 = xyz xz yz xy + x + y + z. U ovom izračunavanju smo koristili osobinu distributivnosti množenja prema sabiranju, asocijativnost i komutativnost sabiranja i množenja u R, pa i na podskupu R \ {1}. Komutativnost : ( x, y R \ {1}) x y = xy x y + 2 = yx y x + 2 = y x, gde smo iskoristili komutativnost operacija i +. Neutralni element: Operacija je komutativna i tražimo element e R \ {1} za koji važi x e = x. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = xe x e + 2 = x (x 1)(e 2) = 0 x R \ {1} e = 2. Inverzni element: Za svako x R \ {1} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov x x = e. Važi x x = e xx x x + 2 = e e = 2 x = x x 1 R \ {1}. Zbog x 1, imenilac je definisan i svaki element ima inverzni element x 1. Struktura (R \ {1}, ) je Abelova grupa. 4. Na skupu R \ { 2} definisana je operacija sa x y = xy + 2x + 2y + 2, x, y R \ { 2}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ { 2}, ). Rezultat: Neutralni element je e = 1, inverzni element elementa x R\{ 2} je x = ( 3 2x)/(x + 2), (R \ { 2}, ) je Abelova grupa.

6 6 5. Na skupu R \ {a}, gde je a zadati realni broj, definisana je operacija sa x y = xy ax ay + a 2 + a, x, y R \ {a}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {a}, ). (Primetimo da su operacije definisane u zadacima 3. i 4. specijalni slučajevi za a = 1 i za a = 2.) Rezultat: Neutralni element je e = a+1, inverzni element elementa x R\{a} je x = (1 a 2 + ax)/(x a), (R \ {a}, ) je Abelova grupa. 6. Ispitati algebarsku strukturu (Z, ), gde je m n = { m + n, m = 2k, m n, m = 2k + 1, m, n, k Z. Rešenje: Operacija je zatvorena jer je rezultat očigledno ceo broj. Asocijativnost: { (m + n) + p, m = 2k, n = 2s, (m + n) p, m = 2k, (m n) p = (m n) p, m = 2k + 1, = (m + n) p, m = 2k, n = 2s + 1, (m n) p, m = 2k + 1, n = 2s, (m n) + p, m = 2k + 1, n = 2s + 1, m (n p) = { m (n + p), n = 2s, m (n p), n = 2s + 1, = m + (n + p), m = 2k, n = 2s, m (n + p), m = 2k + 1, n = 2s, m + (n p), m = 2k, n = 2s + 1, m (n p), m = 2k + 1, n = 2s + 1. Na osnovu dobijenih rezultata za svaki od slučajeva vidimo da važi jednakost i da je operacija asocijativna. Operacija nije komutativna jer se rezultat dobija u zavisnosti od parnosti prvog argumenta. Na primer, imamo 2 3 = = 5 i 3 2 = 3 2 = 1. Neutralni element odred ujemo iz uslova m e = m, koji mora da važi i kada je m parno i kada je neparno. Dakle, imamo m + e = m (m parno) m e = m (m neparno),

7 odakle zaključujemo da je e = 0. Komutativnost ne važi, pa moramo proveriti da li za e = 0 važi e m = m: e m = 0 m = 0 + m = m. Inverzni element m za paran broj m je m = m, a za neparan broj m je m = m. Algebarska struktura (Z, ) je grupa Neka je dat skup S = {f f(x) = x+a, x R, a R} i operacija kompozicija funkcija. Ispitati algebarsku strukturu (S, ). Rešenje: Zatvorenost: Neka su f, g S, f(x) = x + a, g(x) = x + b, a, b R. Tada je (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + b) = x + b + a = x + c, c = b + a R, pa je f g S. Asocijativnost: Operacija je asocijativna operacija u skupu svih funkcija, pa i u skupu ovako definisanih linearnih funkcija. Komutativnost: Operacija je komutativna na skupu S jer za svako x R važi (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+b) = x+b+a = x+a+b = g(x+a) = g(f(x)) = (g f)(x). Neutralni element: U skupu S neutralni element bi bila funkcija ε(x) = x + e za koju važi f ε = f, to jest, (f ε)(x) = f(x) x + e + a = x + a, x R. Imamo da je e = 0 i funkcija ε(x) = x (identičko preslikavanje) je neutralni element. Do istog zaključka se može doći iz činjenice da je identičko preslikavanje neutralni element u odnosu na kompoziciju funkcija u skupu svih funkcija, a kako ono pripada i skupu S, iz jedinstvenosti neutralnog elementa imamo da je ε(x) = x traženi neutral u S. Inverzni element: Za funkciju f S, f(x) = x + a, inverzni element bi bila funkcija f 1 (x) = x + a za koju važi (f f 1 )(x) = ε(x) x + a + a = x, x R. Imamo da je a = a i f 1 (x) = x a. Algebarska struktura (S, ) je Abelova grupa.

8 8 8. Neka je dat skup S = {f f(x) = ax, x R, a R \ {0}} i operacija kompozicija funkcija. Ispitati algebarsku strukturu (S, ). Rešenje: Zatvorenost: Neka su f, g S, f(x) = ax, g(x) = bx, a, b R \ {0}. Tada je Funkcija f g S. (f g)(x) = f(g(x)) = f(bx) = abx = cx, c = ab R \ {0}. Asocijativnost: Operacija je asocijativna operacija u skupu svih funkcija, pa i u skupu S ovako definisanih linearnih funkcija. Komutativnost: Operacija je komutativna na skupu S jer važi (f g)(x) = f(g(x)) = f(bx) = abx = bax = g(ax) = g(f(x)) = (g f)(x). Neutralni element: U skupu S neutralni element bi bila funkcija ε(x) = ex, e 0, za koju važi (f ε)(x) = f(x) aex = ax. Sada je e = 1 i funkcija ε(x) = x (identičko preslikavanje) je neutralni element. Drugi način nalaženja neutralnog elementa bi bio da primetimo da identičko preslikavanje (neutralni element u odnosu na operaciju na skupu svih funkcija) pripada skupu S. Inverzni element: Za funkciju f S, f(x) = ax inverzni element bi bila funkcija f 1 (x) = a x za koju važi (f f 1 )(x) = ε(x) aa x = x, x R. Imamo da je a = 1/a i f 1 (x) = x/a. Algebarska struktura (S, ) je Abelova grupa. 9. Dokazati da skup S = {f f(x) = ax + b, a R \ {0}, b R} obrazuje grupu u odnosu na operaciju kompozicije funkcija. Rezultat: Komutativnost ne važi jer za f(x) = ax + b i g(x) = cx + d imamo (f g)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = acx + ad + b, (g f)(x) = g(f(x)) = g(ax + b) = cax + cb + d, što u slučaju kada je ad + b cb + d nije isto.

9 9 10. Date su funkcije f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 1 x, u(x) = 1 x. Ispitati algebarsku strukturu (S, ), gde je S = {f, g, h, u}, a slaganje funkcija. Rezultat: Tabela za operaciju glasi f g h u f f g h u g g f u h. h h u f g u u h g f 11. Na skupu G = {(a, b) a, b Q, b 0} definisana je operacija sa (a, b) (c, d) = (ad d + c, bd), (a, b), (c, d) G. Ispitati algebarsku strukturu (G, ). Rezultat: Skup G čine ured eni parovi koji za koordinate imaju racionalne brojeve i druga koordinata nije nula. Operacija je zatvorena, asocijativna ((a, b) (c, d)) (g, h) = (adh dh + ch h + g, bdh) = (a, b) ((c, d)) (g, h)), nije komutativna (a, b) (c, d) (c, d) (a, b). Neutralni element je (1, 1), a inverzni element za (a, b) je (a, b ), gde su a = (1 a + b)/b i b = 1/b. Algebarska struktura (G, ) je grupa. 12. Ispitati algebarsku strukturu (X, +), gde je + operacija sabiranja, a X: a) skup prirodnih brojeva N; b) skup celih brojeva Z. Rezultat: U skupu prirodnih brojeva sabiranje je zatvorena, asocijativna i komutativna operacija. Neutralni element i inverzni element u odnosu na sabiranje ne postoje u N. Skup celih brojeva sa operacijom + čini Abelovu grupu.

10 Ispitati da li je neka od struktura (N, +, ) i (Z, +, ), gde su + i sabiranje i množenje brojeva, prsten, telo ili polje. Rezultat: (N, +) nije Abelova grupa (polugrupa je), pa (N, +, ) nije prsten, telo ili polje. (Z, +) jeste Abelova grupa, (Z, ) je komutativna polugrupa sa jedinicom (jedinični element, odnosno neutral, je 1). (Z \ {0}, ) nije grupa, jer 1/a / Z \ {0}, što znači da inverzni element za a ne postoji u skupu Z \ {0}. Važi distributivnost prema +: a (b + c) = a b + a c. Algebarska struktura (Z, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom. 14. Neka je S = {a + b 2 a, b Q}. Ispitati algebarsku strukturu (S, +, ), gde su operacije + i sabiranje i množenje brojeva. Rezultat: (S, +) je Abelova grupa, (S \ {0}, ) je Abelova grupa i važi distributivnost množenja prema sabiranju. Znači, (S, +, ) je polje. 15*. Na skupu X = {1, 1, i, i} definisana je operacija sa a b = a b i, a, b X, gde je operacija množenje kompleksnih brojeva. Ispitati algebarsku strukturu (X, ). Rešenje: Operacija je zatvorena što se najlakše može videti iz tabele. Sve vrednosti a b, a, b X su iz skupa X: Asocijativnost važi jer je 1 1 i i 1 i i i i 1 1 i 1 1 i i i 1 1 i i

11 11 (a b) c = (abi) c = abici = abc, a (b c) = a (bci) = abcii = abc. Komutativnost takod e važi jer je a b = abi = bai = b a. Osobina komutativnosti se može utvrditi i iz tabele ako se uoči da se vrednosti a b i b a nalaze simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu tabele. Ukoliko utvrdimo da je tabela simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, tada komutativnost važi. Napomenimo da smo kod ispitivanja asocijativnosti i komutativnosti operacije koristili te iste osobine za koje znamo da važe za operaciju množenja na skupu C, pa i na X C. Neutralni element odred ujemo iz uslova a e = a aei = a e = i. I u ovom slučaju smo mogli da koristimo tabelu: prepoznamo vrstu u tabeli koja je identična sa prvom vrstom (ili kolonu koja je identična sa prvom kolonom) i neutralni element je argument kome odgovara nad ena vrsta (kolona). Inverzni element se odred uje iz a a = e aa i = i a = 1 a, što za svaki od elemenata skupa X znači: 1 i 1 su med usobno inverzni, inverzni za i je i, inverzni za i je i. Takod e, inverzne elemente možemo odrediti ako u svakoj vrsti uočimo neutralni element i onda pogledamo koja dva elementa kao rezultat operacije daju uočeni neutral. Struktura (X, ) je Abelova grupa. 16*. Neka je X = {r(1 + i) r R}. Ispitati algebarsku strukturu (X, +), gde je + sabiranje kompleksnih brojeva. Rezultat: Ovako definisan skup X je skup svih kompleksnih brojeva kod kojih je realni i imaginarni deo jednak. Neutralni element je 0, a inverzni element za r(1 + i) je r(1 + i).

12 12 17*. Na skupu C \ {i} definisana je operacija sa z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2, z 1, z 2 C \ {i}. Ispitati algebarsku strukturu (C \ {i}, ). Rešenje: Zatvorenost : Treba pokazati da za svako z 1, z 2 C\{i} važi z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2 i. Pretpostavimo da za z 1, z 2 i važi što je nemoguće. z 1 z 2 i + z 1 + z 2 = i (z 1 i + 1)(z 2 i) = 0 z 1 = 1 i Asocijativnost : ( z 1, z 2, z 3 C \ {i}) = i, (z 1 z 2 ) z 3 = (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 ) z 3 = (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 )z 3 i + (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 z 2 z 3 + i(z 1 z 3 + z 2 z 3 + z 1 z 2 ) + z 1 + z 2 + z 3, z 1 (z 2 z 3 ) = z 1 (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 ) = z 1 (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 )i + z 1 + (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 z 3 + i(z 1 z 3 + z 2 z 3 + z 1 z 2 ) + z 1 + z 2 + z 3. Komutativnost : ( z 1, z 2 C \ {i}) z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2 = z 2 z 1 i + z 2 + z 1 = z 2 z 1. Neutralni element: Operacija je komutativna pa neutralni element odred ujemo iz uslova z e = z, z C \ {i}. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo z e = zei + z + e = z ei(z i) = 0 z i e = 0. Inverzni element: Za svako z C \ {i} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov z z = e. Važi z z = e zz i + z + z = 0 z = z i(z i) C \ {i}. Imenilac je definisan jer je z i i svaki element ima inverzni z i. Struktura (C \ {i}, ) je Abelova grupa.

13 13 18*. Neka je M = {M(a, α) a > 0, α R}, gde je a 0 0 M(a, α) = 0 1 α Ispitati algebarsku strukturu (M, ), gde označava množenje matrica. Rešenje: Zatvorenost: Treba pokazati da M(a, α) M(b, β) M: a 0 0 b 0 0 ab 0 0 M(a, α) M(b, β) = 0 1 α 0 1 β = 0 1 α + β M, jer važi ab > 0, α + β R. Asocijativnost važi jer je operacija množenja matrica asocijativna na skupu kvadratnih matrica, pa je ona asocijativna i na njegovom podskupu. Komutativnost: Naći ćemo čemu je jednako M(b, β) M(a, α) i uporedićemo sa već odred enim M(a, α) M(b, β): b 0 0 a 0 0 ba 0 0 M(b, β) M(a, α) = 0 1 β 0 1 α = 0 1 β + α Jednakost M(a, α) M(b, β) = M(b, β) M(a, α) važi jer je ab = ba i α +β = β +α. Neutralni element: U skupu M neutralni element, ako postoji, bila bi matrica oblika e 0 0 M(e, ϕ) = 0 1 ϕ za koju važi M(a, α) M(e, ϕ) = M(a, α). Kako je za a, e > 0 imamo a 0 0 e 0 0 ae 0 0 M(a, α) M(e, ϕ) = 0 1 α 0 1 ϕ = 0 1 α + ϕ, ae = a α + ϕ = α e = 1 ϕ = 0.

14 14 Neutralni element, matrica M(1, 0) je jedinična matrica. Do istog zaključka smo mogli doći i ako se setimo da je jedinična matrica neutralni element u odnosu na operaciju množenja matrica u skupu kvadratnih matrica. Treba samo proveriti da li jedinična matrica po obliku pripada skupu matrica M i, ako pripada, onda je ona neutralni element i u skupu M. Inverzni element: Za matricu M(a, α) odredićemo matricu M(a, α ) tako da važi M(a, α) M(a, α ) = I. Iz uslova a 0 0 a 0 0 aa M(a, α) M(a, α ) = 0 1 α 0 1 α = 0 1 α + α = imamo aa = 1 α + α = 0 a = 1 a > 0 α = α. Algebarska struktura (M, ) je na osnovu utvrd enih osobina Abelova grupa. 19*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je {[ ] } a b X = a R \ {0}, b R, b a i operacija množenje matrica. Rezultat: Operacija nije zatvorena. Na primer, za matrice A i B [ ] [ ] A =, B =, imamo AB = [ ] 0 5 / X *. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je { a 0 b } X = 0 a 0 a R \ {0}, b R, 0 0 a i operacija množenje matrica.

15 Rezultat: Neutralni element je jedinična matrica I, a inverzni element matrice a 0 b A = 0 a a 15 je matrica a 0 b A = 0 a 0, 0 0 a gde su a = 1/a i b = b/a 2. Struktura (X, ) je Abelova grupa. 21*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je i operacija množenje matrica. { a a a } X = a a a a R \ {0}, a a a Rezultat: Operacija je zatvorena. Za A, B X imamo a a a b b b 3ab 3ab 3ab AB = a a a b b b = 3ab 3ab 3ab X, ab 0. a a a b b b 3ab 3ab 3ab Asocijativna je jer je operacija množenja matrica asocijativna na skupu svih kvadratnih matrica, pa i na uzetom podskupu X. Komutativnost sledi iz jednakosti ab = ba, pa imamo AB = BA. Neutralni element, označimo ga sa F, je matrica oblika f f f F = f f f. f f f Iz uslova AF = A imamo 3af 3af 3af a a a 3af 3af 3af = a a a, 3af 3af 3af a a a

16 16 odakle je f = 1/3. Dobijamo da je neutralni element matrica 1/3 1/3 1/3 F = 1/3 1/3 1/3. 1/3 1/3 1/3 Napomena: neutralni element u ovom slučaju ne može biti jedinična matrica jer jedinična matrica ne pripada skupu X! Inverzni element matrice A je matrica A čiji su svi elementi a odred eni iz uslova 3aa = 1/3. Imamo da je a = 1/(9a) (pri čemu je za postojanje inverznog elementa a 0 vrlo važan uslov). Data algebarska struktura (X, ) je Abelova grupa. 22*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je {[ ] } 1 a X = a R, 0 1 i operacija množenje matrica. Rezultat: Neutralni element je jedinična matrica I, inverzni element matrice A je matrica [ ] A 1 a =. 0 1 (X, ) je Abelova grupa. 23*.Neka je X = {[ ] } a b a, b R. 0 a Ako su + i operacije sabiranja i množenja matrica, ispitati algebarsku strukturu (X, +, ). Rezultat: (X, +) je Abelova grupa, (X, ) je komutativna polugrupa sa jedinicom, ali (X \ {O}, ), gde je O nula matrica, nije grupa jer nema svaki element inverzni. Na primer, matrica [ ] 0 5 X \ {O} 0 0

17 17 nema inverznu matricu. Distributivnost važi. (X, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom.

18

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

Standardne digitalne komponente (moduli)

Standardne digitalne komponente (moduli) Sabirači/oduzimači, množači, Aritmetički komparatori, ALU Vanr.prof.dr.Lejla Banjanović- Mehmedović Standardne digitalne komponente (moduli) Složeni digitalni sistemi razlaganje funkcije na podfunkcije

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Komentari se javljaju na radnom listu kad dođemo na polje za koje su vezani ali ne utiču na ponašanje sadržaja u polju.

Komentari se javljaju na radnom listu kad dođemo na polje za koje su vezani ali ne utiču na ponašanje sadržaja u polju. 4.9 Komentar uz polje Komentari se javljaju na radnom listu kad dođemo na polje za koje su vezani ali ne utiču na ponašanje sadržaja u polju. Pritisnemo na polje mišem, desni klik miša, Insert Comment,

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić

Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet Informatika 2 Mathematica Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Mathematica Programski paket Mathematica

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNA STRUJA koristiti kao dopunu udžbenika

NAIZMENIČNA STRUJA koristiti kao dopunu udžbenika NAIZMENIČNA STRUJA koristiti kao dopunu udžbenika 1 Da bude jasno na samom početku : Tesla nije izmislio struju jer je ona bila poznata ljudima pre nogo što je Tesla ušao u svet nauke. Njegov doprinos

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA U prethodnim radovima [2] i [3] opisana je teorija linearnog programiranja. U ovom radu prikaza emo jednu od osnovnih metoda za rexavanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα