1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

Transcript

1 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje (A, u) A + u koje zadovoljava: (ax1) ( A A) A + 0 = A (ax2) ( A A)( u, v V) (A + u) + v = A + (u + v) (ax3) ( A, B A)(!u V) B = A + u V = A - direktrisa afinog prostora (A, V, +), ili samo A Dimenzija: dim A = dim V A = {A + v v V} = A + V A - bilo koja taqka iz A, V - direktrisa za A Afinizacija vektorskog prostora V - bilo koji vektorski prostor nad po em K V af = (V, V, +) (taqke vektori)

2 12 Afini potprostor (A, V, +) - afini prostor Neprazan skup taqaka Π A je afini potprostor od A ako je Π i sam jedan afini prostor Π = A + U, U V, A - neka taqka iz Π, U = Π Svaki afini potprostor Π afinog prostora A je jednoznaqno odre- en jednom (bilo kojom) svojom taqkom i direktrisom U = Π Neka je dim A = n: dimπ = 1 Π - prava dimπ = 2 Π - ravan dimπ = n 1 Π - hiperravan Neka su Π = A + U i Γ = B + W afini potprostori od A Π Γ def U W ili W U Π Γ Π Γ Π Γ Γ Π Π Γ Π Γ = Π i Γ su paralelni i disjunktni Π Γ Π Γ = Π i Γ su mimoilazni Teorema 11 Presek dva afina potprostora Π = A+U i Γ = B +W u afinom prostoru A je ili prazan ili je i sam jedan afini potprostor sa direktrisom U W Definicija 12 S - neki skup taqaka u afinom prostoru A Najmanji afini potprostor (u odnosu na inkluziju ) koji sadrжi S je afini omotaq skupa taqaka S Oznaka < S > < A 0, A 1,, A n >= A 0 + I( A 0 A 1,, A 0 A n )

3 13 Baricentri i afine baze Definicija 13 Neka su (A 1, α 1 ),, (A n, α n ) ponderisane taqke afinog prostora A, qija je ukupna masa α α n = α 0 Taqka S, za koju vaжi: α 1SA1 + + α nsan = 0 (1) zove se baricentar sistema ponderisanih taqaka (A 1, α 1 ),, (A n, α n ) Ako je S baricentar sistema taqaka (A 1, α 1 ),, (A n, α n ), tada je S baricentar i sistema taqaka (A 1, kα 1 ),, (A n, kα n ), k 0 Uslov (1) je ekvivalentan uslovu: ( O A) OS = α 1 OA α n OA n α α kao i uslovu: S = α 1 α A α n α A n odnosno, S = β 1 A β n A n, gde je β i = 1 Skup svih baricentara sistema taqaka A 0,, A n je: B = {α 0 A α n A n α α n = 1} Baricentar sistema taqaka A 1 A n sa istim masama α 0 zovemo egovim teжixtem T: ( O A) OT = 1 OA OA n T = 1 n n n A n A n Teorema 12 Skup svih baricentara sistema taqaka S = (A 0,, A n ) je upravo njegov afini omotaq, taqnije: < A 0,, A n >= {α 0 A α n A n α α n = 1} Pritom, slede i uslovi su ekvivalentni: 1 0 A 0 A 1,, A 0 A n su linearno nezavisni 2 0 dim < A 0,, A n > = n 3 0 ( M < A 0,, A n >)(!(α 0,, α n ) R n+1 ) M = α 0 A α n A n i α i = 1 Sistema taqaka S = (A 0,, A n ) koji zadovo ava 1 0, 2 0 ili 3 0 zovemo afino slobodnim Ako je dim A = n i (A 0,, A n ) A afino slobodan sistem taqaka, zovemo ga afinom bazom afinog prostora A ( M A)(!(α 0,, α n ) R n+1 ) M = α 0 A α n A n i α i = 1 (α 0,, α n ) - afine koordinate taqke M u odnosu na afinu bazu (A 0,, A n ) prostora A

4 14 Afina preslikava a (A, V) i (B, W) - afini potprostori Preslikava e taqaka σ : A B indukuje preslikava e direktrisa (odn vektora) σ : V W: σ( P M) = σp σm, gde M, P A Definicija 14 Preslikavanje σ : A B je afino ako ( P A) td je preslikavanje σ( P M) = σp σm, (M A) linearno preslikavanje direktrisa σ( P M) = σp σm σ( P M) = σm σp σm = σp + σ( P M) σ(p + P M) = σp + σ( P M) i uopxte: σ(p + v ) = σp + σ( v ) U afinom koordinatnom sistemu Oe 1 e 2 e n afinog prostora A formule afinog preslikava a σ : A A su oblika: x 1 b 1 a 11 a 12 a 1n x 2 = b 2 + a 21 a 22 a 2n x n b n a n1 a n2 a nn gde je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn matrica odgovarajueg linearnog preslikava a σ x 1 x 2 x n Teorema 13 Svako afino preslikavanje σ : A B quva potprostore, kolinearnost taqaka, relaciju paralelnosti, kao i baricentre (posledica - quva i razmeru na pravoj) 1 Translacija 2 Homotetija 3 Diletacija 4 Transveksija 5 Afina simetrija 6 *Projektova e

5 2 Euklidska geometrija 21 Izometrije i sliqnosti Definicija 21 Za preslikavanje ψ : E E kaжemo da je jedna izometrija euklidskog prostora E, ako quva njegovo rastojanje, tj ako ( A, B E) δ(ψa, ψb) = δ(a, B) Teorema 21 Preslikavanje ψ : E E je izometrija euklidskog prostora E ako i samo ako je i afina transformacija tog prostora, qiji je linearni deo L neki ortogonalni operator euklidskog vektorskog prostora E, tj ako i samo ako je [ψ][ψ] T = [L][L] T = E Teorema 22 Ako je φ izometrija bez fiksnih taqaka, tada je φ = τ a ψ = ψ τ a, gde je: ψ izometrija sa bar jednom fiksnom taqkom, a vektor a je paralelan sopstvenom prostoru za sopstvenu vrednost 1 det [ψ] = 1 ψ je direktna izometrija det [ψ] = 1 ψ je indirektna izometrija Definicija 22 Za preslikavanje σ : E E kaжemo da je jedna sliqnost euklidskog prostora E, ako ( k R + )( A, B E) δ(σa, σb) = k δ(a, B) Teorema 23 Svaka sliqnos σ euklidskog prostora, koja nije izometrija, ima taqno jednu fiksnu taqku S i tada postoje: taqno jedna izometrija ψ i taqno jedna homotetija ℵ S,k sa pozitivnim koeficijentom k, takve da je: σ = ψ ℵ S,k = ℵ S,k ψ Pritom je koeficijent sliqnosti (i homotetije) odreen sa: [σ][σ] T = k 2 E