MATEMATIKA 1. Grupa 6 Rexea zadataka i rezultati. Prvi pismeni kolokvijum, Prof Dragan ori

Transcript

1 MATEMATIKA 1 Prvi pismeni kolokvijum, Grupa 6 Rexea zadataka i rezultati Prof Dragan ori

2 Zadaci i rexea 1. Neka je A = {(a, b) : a, b Q, a 0} i neka je operacija definisana sa (a, b) (x, y) = ( ax, x bx + y) za sve (a, b), (x, y) A. Ispitati da li je (A, ) grupa. Da li je data operacija komutativna? Rexee: 1. Operacija je zatvorena u skupu A jer iz a, b, x, y Q sledi ax, x bx + y Q, a iz a 0 i x 0 sledi da je ax Operacija je asocijativna jer je i ((a, b) (x, y)) (u, v) = ( ax, x bx + y) (u, v) = (axu, u xu + bxu yu + v) (a, b) ((x, y) (u, v)) = (a, b) ( xu, u yu + v) = (axu, xu + bxu + u yu + v). 3. Iz jednakosti (a, b) (e 1, e 2 ) = (a, b), odnosno ( ae 1, e 1 be 1 + e 2 ) = (a, b), dobijamo da je e 1 = 1 i e 2 = 1. Kako je ( 1, 1) (a, b) = (a, a a + b) = (a, b) i ( 1, 1) A, to je ( 1, 1) neutralni element u odnosu na operaciju. 4. Obzirom da je a 0 za svako (a, b) A, iz jednakosti (a, b) (u, v) = ( 1, 1), odnosno ( au, u bu + v) = ( 1, 1) imamo da je u = 1 a i v = 1 1 a + b i (u, v) A. Kako je jox i a ( 1 a, 1 1 a + b ) (a, b) = ( 1, 1), a svaki element (a, b) skupa A ima svoj inverzni element. Na osnovu (1)-(4) sledi da je struktura (A, ) grupa. Meutim, iz jednakosti (1, 0) (1, 1) = ( 1, 2), (1, 1) (1, 0) = ( 1, 1) sledi da nije komutativna operacija, pa struktura (A, ) nije Abelova grupa. 2. Odrediti sopstvene vrednosti i ima odgovarajue sopstvene vektore matrice Kako je A = Rexee: 3 λ 2 4 A λe = 2 λ λ = λ3 + 6λ λ + 8 = (λ 8)(λ + 1) 2, sopstvene vrednosti matrice A su λ 1 = 8 i λ 2 = λ 3 = 1. Za λ = λ 1 iz jednaqine Av = 8v, gde je v = sistemu x y z 5x + 2y + 4z = 0, x 4y + z = 0., dobijamo sistem koji je ekvivalentan

3 Ovaj sistem ima jednoparametarski skup rexea, a odgovarajui sopstveni vektori su oblika v(t) = 2t t = 2 1 2t 2 t, t R \ {0}. Za λ = 1 iz jednaqine Av = v dobijamo sistem koji je ekvivalentan jednaqini 2x + y + 2z = 0. Skup rexea ove jednaqine je dvoparametarski, a odgovarajui sopstveni vektori su oblika x v(x, z) = 2x 2z z 1 = 2 x z, (x, z) R 2 \ {(0, 0)} U zavisnosti od vrednosti realnog parametra m diskutovati i rexiti sistem x + 7y mz = 1 2x my + z = m 2x + 25y + (1 4m)z = 1. Rexee: Neka je D determinanta matrice datog sistema. Kako je D = (2m 1)(m 3), postoje tri sluqaja. (1) Za m {1/2, 3} sistem ima jedinstveno rexee gde je (x, y, z) = ( Dx D, D y D, D ) z, D 1 7 m D x = m m m = 6(m 3), D 1 1 m y = 2 m 1 = (2m 1)(m 3), m Dakle, u ovom sluqaju je (x, y, z) = D z = 2 m m = 12(m 3) ( ) 6 1 2m, 1, m (2) Za a = 1/2 dati sistem nema rexea jer je D = 0 i D x = (3) Za a = 3 dati sistem ekvivalentan je sistemu x + 7y 3z = 1 11y 5z = 1 koji ima jednoparametarski skup rexea. Ako je z slobodna promen iva, tada je x = (2z + 18/11 i y = (5z + 1)/11. Dakle, u ovom sluqaju, {( (x, y, z) 2 11 α 18 11, 5 11 α + 1 ) } 11, α, α R.

4 4. Dati su vektori e 1 = (4, 1, 2, 10), e 2 = (1, a 2, 0, 2), e 3 = ( 2, 2, 4, a 8), e 4 = (1, 1, 2, 3) u vektorskom prostoru V = (R 4, R, +, ), gde je a R. a) Odrediti vrednosti parametra a za koje su dati vektori linearno nezavisni. b) Za a = 1 ispitati da li dati vektori qine bazu vektorskog prostora V. Ukoliko qine bazu, odrediti koordinate vektora v = (1, 0, 1, 0) u toj bazi, a u suprotnom izraziti vektor e 1 kao linearnu kombinaciju vektora e 2, e 3 i e 4. Rexee: a) Dati vektori su linearno nezavisni ako iz jednakosti αe 1 + βe 2 + γe 3 + δe 4 = 0 sledi da je α = β = γ = δ = 0. Iz navedene jednakosti dobijamo homogen sistem 4α + β 2γ + δ = 0 α + (a 2)β 2γ + δ = 0 2α 4γ + 2δ = 0 10α + 2β + (a 8)γ + 3δ = 0 koji ima trivijalno rexee ako i samo ako je determinanta D ovog sistema razliqita od nule. Kako je D = 1 a = 10a a 40 = 10(a 2) 2, 10 2 a 8 3 dati vektori su linearno nezavisni za a 2. b) Za a = 1 iz a) sledi da su dati vektori linearno nezavisni. Kako je dim(v ) = 4, dati vektori qine bazu prostora V. Iz jednakosti (1, 0, 1, 0) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 imamo sistem AX = V, gde je A matrica homogenog sistema iz a), X = x 1 x 2 x 3 x 4 i V = vt. Rexavaem ovog sistema (na primer, Kramerovim pravilom) dobijamo x 1 = 1 3, x 2 = 1 6, x 3 = 5 6 i x 3 = 3. Prema tome, 2 v = 1 3 e e e e 4.

5 Р Е З У Л Т А ТИ Презиме Име Бр. Инд. 1.zad 2.zad 3.zad 4.zad I kol Миловановић Јован 50/ Тадић Давид 48/ Чубрић Игор 190/ Никчевић Марија 10/ Петковић Милица 536/ Стошић Нина 176/ Тешић Катарина 858/ Остојић Никола 571/ Михаиловић Антоније 58/ Павловић Драгана 119/ Ракић Иван 183/ Црномарковић Ема 75/ Матовић Дејана 78/ Мешић Теодора 511/ Мијовић Настасија 662/ Милосављевић Душан 816/ Стаменић Тамара 180/ Стефановић Алекса 131/ Сукновић Милена 164/ Никић Жељко 609/ Стевановић Марина 171/ Степић Душица 40/ Тиодоровић Матија 661/ Павловић Алекса 221/ Пећанац Леона 233/ Ракита Јована 353/ Рамљак Стефан 592/ Свичевић Јована 35/ Милојковић Алекса 249/ Петковић Јована 687/ Петровић Ивана 534/ Путниковић Марко 121/ Томић Никола 747/ Турковић Ирена 574/ Џаковић Јована 627/ Цвијановић Стефан 190/ Матејић Нина 238/ Моравчић Кристина 502/ Нешковић Александра 391/ Перовић Тијана 67/ Протулипац Тијана 588/ Рајевац Наташа 157/ Рајић Тања 615/ Савов Урош 251/ Спасић Невена 692/ Стакић Јелица 151/ You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (

6 Станојковић Мина 228/ Стојковић Александар 831/ Ченић Јована 293/ Чучковић Марија 504/ Шљукић Исидора 743/ Миленковић Ана 672/ Петровић Немања 628/ Петровић Урош 609/ Радивојевић Ана 275/ Расулић Тамара 630/ Ћаловић Марко 623/ Митић Анђела 450/ Мићић Александар 428/ Моровић Петар 763/ Нинић Марко 815/ Обрадовић Мина 518/ Павловић Јелена 210/ Стајић Ивана 784/ Стојковић Никола 145/ Чпајак Матија 546/ Михајловић Марина 738/ Радуловић Андреј 597/ Рајковић Мирјана 389/ Секуловић Тијана 864/ Стакић Милица 144/ Танасковић Немања 669/ Тодоровић Теодора 823/ Топаловић Стефан 747/ Трифуновић Вељко 220/ Филиповић Никола 740/ Хаџи-Тонић Страхиња 73/ Милићевић Алекса 357/ Милошевић Јована 735/ Митровић Маргарета 821/ Петровић Милица 680/ Ристивојевић Петар 173/ Ристић Алекса 804/ Скочић Александар 699/ Станојевић Драгана 748/ Трајковић Никола 134/ Чанковић Татјана 668/ Ђурић Драгиша 227/ Новчић Ивана 269/ Радивојевић Круна 752/ Раковић Марија 656/ Самарџић Теодора 854/ Славински Стефан 782/ Трбовић Милица 875/ Ћурчић Филип 379/ Урошевић Стефан 271/ You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (

7 Секулић Милан 301/ Матић Ивана 702/ Миковић Дарко 137/ Николић Павле 753/ Оравец Кристина 530/ Пејовић Магдалена 837/ Петровић Гаврило 634/ Рафајловић Иван 570/ Цвјетан Новак 296/ Младеновић Лазар 366/ Радаковић Катарина 371/ Миливојевић Стефан 809/ Нешовић Душан 386/ Пешић Предраг 961/ Плескоњић Оливера 386/ Презиме Име Бр. Инд. 1.zad 2.zad 3.zad 4.zad I kol Радове прегледао: Проф Драган Ђорић Увид у радове: од 12:20 до 13:30, каб.317 You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (