MATEMATIKA 1. Grupa 6 Rexea zadataka i rezultati. Prvi pismeni kolokvijum, Prof Dragan ori

Transcript

1 MATEMATIKA 1 Prvi pismeni kolokvijum, Grupa 6 Rexea zadataka i rezultati Prof Dragan ori

2 MATEMATIKA 1 1. Kolokvijum, novembar Grupa 6 Dragan ori 1. Neka je M = { (x, y) : x, y R, x 2 7y 2 0 } i neka je operacija definisana sa (x, y) (a, b) = (xa + 7yb, xb + ya) za sve (x, y), (a, b) M. Ispitati da li je (M, ) grupa. Da li je data operacija komutativna? Rexee. Dokaimo da je (M, ) Abelova grupa. 1. Operacija je zatvorena u skupu M. Ako je (x, y) (a, b) = (u, v), tada iz a, b, x, y R sledi da je u = xa + 7yb R i v = xb + ya R. Treba jox proveriti da li je u 2 7v 2 0 za (x, y) M i (a, b) M. Kako je u 2 7v 2 = (xa + 7yb) 2 7(xb + ya) 2 = x 2 a xayb y 2 b 2 7x 2 b 2 14xbya 7y 2 a 2 = x 2 (a 2 7b 2 ) + 7y 2 (7b 2 a 2 ) = (a 2 7b 2 )(x 2 7y 2 ) i kako je a 2 7b 2 0 i x 2 7y 2 0, to je i u 2 7v 2 0. Prema tome, (u, v) M. 2. Operacija je u skupu M komutativna jer je (a, b) (x, y) = (ax + 7by, ay + bx) = (u, v). 3. Operacija je asocijativna. Za (x, y), (a, b), (c, d) M je gde je [(x, y) (a, b)] (c, d) = (u, v) (c, d) = (p, q), p = uc + 7vd = (ax + 7yb)c + 7(xb + ya)d = axc + 7ybc + 7xbd + 7yad, q = ud + vc = (ax + 7yb)d + (xb + ya)c = axd + 7ybd + xbc + yac. S druge strane, imamo da je gde je (x, y) [(a, b) (c, d)] = (x, y) (s, t) = (g, h), g = xs + 7yt = x(ac + 7bd) + 7y(ad + bc) = xac + 7bdx + 7yad + 7ybc, h = xt + ys = x(ad + bc) + y(ac + 7bd) = xad + xbc + yac + 7ybd. Kako je p = g i q = h, operacija je asocijativna. 4. Jediniqni element je (1, 0) jer je 1, 0 R, i vai za svaki element (x, y) M. (x, y) (1, 0) = (1, 0) = (x, y)

3 5. Svaki element (x, y) skupa M ima svoj inverzni element. Iz jednakosti (x, y) (a, b) = (1, 0) sledi da je ax + 7yb = 1 i xb + ya = 0. Determinanta ovog sistema (po a i b) je x y pa sistem ima jedinstveno rexee a = Kako je a, b R i a 2 7b 2 = 7y x = x2 7y 2 0, x x 2 7y 2, b = y x 2 7y 2. 1 x 2 7y 2 0, to je (a, b) M. Naravno, zbog komutativnosti vai i (a, b) (x, y) = (1, 0). Prema tome, element (a, b) je inverzni za element (x, y). Na osnovu (1)-(5) sledi da je struktura (M, ) Abelova grupa. 2. U zavisnosti od vrednosti parametara p i q odrediti rang matrice A = p p 12 1 pq q = 13q + 26, 1 4 q + 19 Rexee: Neka je r rang date matrice. Minor r 2. Kako je to je r = 3 za q 2. Za q = 2 imamo da je je razliqit od nule, pa je A = p p p p p 13 2p p p p p Iz posledne matrice vidimo da je r = 3 za 2p i r = 2 za p = 3. Prema tome, r = 2 za (p, q) = ( 3, 2) i r = 3 za (p, q) ( 3, 2). 3. U zavisnosti od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rexiti sistem 2x + (a + 1)y + 2(a + 1)z = 1 2ax + 2y + (3a + 1)z = 1 2ax + 2ay + (3a + 1)z = a. Rexee: Neka je D determinanta matrice datog sistema. Kako je 2 2a + 2 a + 1 D = 2a 2 3a + 1 2a 2a 3a + 2 = 2 a + 1 2a + 2 2a 2 3a + 1 = (2a 2) 2 2a a 2 0 2a 3a + 1 = 4(a 1)2 (2a + 1), postoje tri sluqaja.

4 ( Dx (1) Za m { 1/2, 1} sistem ima jedinstveno rexee (x, y, z) = D, D y D, D ) z, gde je D 1 a + 1 2a + 2 D x = 1 2 3a + 1 a 2a 3a + 1 = 1 a + 1 2a a + 1 a 1 2a a 1 2a + 2 = 1 0 3a + 1 = (a 1) a 1 2a + 2 a a + 2 = (a 1)2 (3a + 1), 2 1 2a + 2 D y = 2a 1 3a + 1 2a a 3a + 1 = 2 1 2a + 2 2a 1 3a + 1 = (a 1) 2 2a a 1 0 2a 3a + 1 = 2(a 1)2 (2a + 1), 2 a D z = 2a 2 1 2a 2a a = 2 a a a 2 a 1 2 a 1 1 = 2a 0 1 = (a 1) 2 a a 1 2a 0 = 2a(a 1)2. Dakle, u ovom sluqaju je (x, y, z) = ( 1 4 3a + 1 2a + 1, 1 ) 2, 1 2 a. 2a + 1 (2) Za a = 1/2 dati sistem nema rexea jer je D = 0 i D z = 9/4 0. (3) Za a = 1 dati sistem ekvivalentan je jednaqini 2x + 2y + 4z = 1, pa sistem ima dvoparametarski skup rexea. Dakle, u ovom sluqaju, (x, y, z) {(1/2 α 2β, α, β), α, β R}. 4. U vektorskom prostoru V = (R 3, R, +, ) dati su vektori a = (1, 2, 3), b = (1, 1, 2), c = (0, 2, 6), d = (1, 1, 1). a) Dokazati da vektori a, b i c qine bazu vektorskog prostora V. b) Izraziti vektor d kao linearnu kombinaciju vektora a, b i c. Rexee: a) Poxto je dim(v ) = 3, dovo no je dokazati da su vektori a, b i c linearno nezavisni. Iz jednakosti αa + βb + γc = 0 dobijamo homogen sistem α + β = 0, 2α + β + 2γ = 0, 3α 2β 6γ = 0 koji ima trivijalno rexee ako i samo ako je determinanta D matrice sistema razliqita od nule. Kako je dati vektori su linearno nezavisni D = = = = 16 0, Prema tome, vektori a, b i c qine bazu vektorskog prostora V.

5 b) Iz jednakosti imamo sistem d = (1, 1, 1) = x 1 a + x 2 b + x 3 c = (x 1, 2x 1, 3x 1 ) + (x 2, x 2, 2x 2 ) + (0, 2x 3, 6x 3 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 + x 2 + 2x 3, 3x 1 2x 2 6x 3 ) x 1 + x 2 = 1, 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 1, 3x 1 2x 2 6x 3 = 1. Rexavaem ovog sistema (na primer, Kramerovim pravilom - matrica sistema je matrica homogenog sistema iz a)) dobijamo x 1 = 3 8, x 2 = 11 8 i x 3 = Prema tome, d = 3 8 a b c. Uvid u radove Uvid u radove bie u kab.317 (ako jox uvek bude postojao) u sledeim terminima: Za studente sa vixe od 9 poena u 12:20 Za studente sa mae od 10 poena u 12:20 Pre dolaska na uvid treba deta no prouqiti priloena rexea zadataka i pripremiti eventualna pitaa. Prof Dragan ori

6 РБ. Презиме Име Бр инд. Poeni 1 Поповић Ђорђе 45/ Пејица Ана 4/ Пејић Никола 79/ Радуловић Игор 508/ Савковић Ирена 26/ Миловановић Лука 104/ Ракуљ Кристина 512/ Соломка Соња 201/ Петровић Милица 593/ Поповић Милош 599/ Савић Вук 570/ Стојановић Вања 17/ Микашевић Александра 40/ Миљковић Марија 577/ Петковић Нина 68/ Радојичић Сандра 140/ Ристић Бојана 145/ Ставрић Лазар 106/ Тојчић Иван 846/ Филиповић Филип 64/ Матић Јован 124/ Недељковић Урош 234/ Стефановић Ана 502/ Терзић Јована 36/ Матић Срђан 222/ Митровић Дарко 113/ Николић Јелена 108/ Опачић Немања 595/ Сарић Александар 645/ Стојадиновић Милица 58/ Стојковић Филип 256/ Тодосијевић Александра 213/ Цветановић Наташа 183/ Чолић Дејан 545/ Матић Данијела 167/ Милинковић Слободан 505/ Митковић Ружица 822/ Моровић Петар 763/13 11

7 39 Недељковић Лазар 146/ Николић Ања 175/ Плескоњић Оливера 386/ Прокоповић Милан 507/ Радовановић Милица 203/ Станишић Наталија 765/ Стојић Милош 759/ Тешић Слађана 750/ Милановић Виолета 629/ Минић Бојан 158/ Николић Милица 631/ Срејић Сандра 711/ Тодић Сава 569/ Цветковић Ана 445/ Чупић Емилија 395/ Марковић Ана 586/ Милошевић Софија 523/ Николић Катарина 519/ Радић Катарина 606/ Радовић Сара 634/ Станковић Анђела 118/ Филиповић Ивана 685/ Филић Милена 249/ Црнчевић Петар 19/ Миковић Дарко 137/ Милосављевић Јелена 712/ Михајловић Јована 162/ Михајловић Никола 563/ Младеновић Јелена 370/ Младеновић Лазар 366/ Младеновић Марија 420/ Николић Срђан 444/ Стефановић Александар 641/ Стефановић Иван 270/ Цветковић Милош 248/ Чубрак Катарина 532/ Огњеновић Хана 421/ Петровић Софија 601/ Узур Милица 787/14 7

8 78 Мартиновић Сара 603/ Мићуновић Маша 430/ Пачов Катарина 277/ Пејновић Милана 832/ Пешић Никола 654/ Радовић Милица 760/ Ташин Филип 213/ Мијатовић Јована 469/ Милићевић Никола 219/ Новчић Ивана 269/ Петровић Мирослава 437/ Репановић Михајло 362/ Ристић Марија 96/ Савић Катарина 258/ Тошић Стеван 676/ Цветановић Петар 753/ Милићевић Миња 859/ Миловановић Матија 240/ Минчић Душан 581/ Ницевић Ена 380/ Радосављевић Вукан 445/ Цветковић Јована 803/ Чаровић Бранислав 260/ Милановић Александар 499/ Остојић Маја 789/ Пепић Марко 269/ Рајић Владимир 225/ Стојановић Милица 259/ Чоловић Јелена 905/ Николић Срећко 455/ Пешут Милена 839/ Радојковић Јелена 452/ Станишић Алекса 409/ Томић Ана 844/ Цветановић Немања 830/ Миленковић Андрија 437/12 0