Matematika 1 { fiziqka hemija
|
|
|
- Λέανδρος Αλεβιζόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015
2 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti
3 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac,
4 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer
5 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet.
6 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet. B #«Y v D #«A #«v v X C Slika 1: Ekvivalentne usmerene dui
7 Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik
8 Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0
9 Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor
10 Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori
11 Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori
12 Osnovni pojmovi i oznake vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori skup svih vektora V, odnosno V n
13 Operacije sa vektorima Definicija 1.2 (Sabira e vektora) #«u = # «AB, #«v = # «BC : #«u + #«v := # «AC.
14 Operacije sa vektorima Definicija 1.2 (Sabira e vektora) #«u = # «AB, #«v = # «BC : #«u + #«v := # «AC. Definicija 1.3 (Mnoe e vektora skalarom) #«u V, α R\{0} : α #«u := #«v, gde je #«v vektor koji ima: Pravac: Isti kao vektor #«u; Intenzitet: #«u = α #«v ; Smer: Isti kao #«u za α > 0, odnosno suprotan smeru vektora #«u za α < 0.
15 Operacije sa vektorima Definicija 1.4 (Razlika vektora) #«u #«v := #«u + ( 1) #«v.
16 Operacije sa vektorima Definicija 1.4 (Razlika vektora) #«u #«v := #«u + ( 1) #«v. Definicija 1.5 (Linearna kombinacija vektora) v #«1,..., v #«k V, α 1,..., α k R : #«v := α1 #«v α k #«vk.
17 Operacije sa vektorima Definicija 1.4 (Razlika vektora) #«u #«v := #«u + ( 1) #«v. Definicija 1.5 (Linearna kombinacija vektora) v #«1,..., v #«k V, α 1,..., α k R : #«v := α1 #«v α k #«vk. Definicija 1.6 (Jediniqni vektor) #«u V, #«u 0 : #«1 v := #«#«u. u
18 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«asocijativnost sabira a
19 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, asocijativnost sabira a neutralni element
20 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element
21 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost
22 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora
23 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, (M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora asocijativnost skalarnog mnoe a
24 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, (M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u, (M3) (α + β) #«u = α #«u + β #«u, asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora asocijativnost skalarnog mnoe a distributivnost sabira a skalara
25 Vektorski prostor Teorema 1.1 Ako su #«v, #«u, w #«V, a α, β R tada vai: (S1) #«u + ( #«v + w) #«= ( #«u + #«v ) + w, #«(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u, (S3) #«u + ( #«u ) = #«0, (S4) #«u + #«v = #«v + #«u, (M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v, (M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u, (M3) (α + β) #«u = α #«u + β #«u, (M4) 1 #«u = #«u. asocijativnost sabira a neutralni element suprotni element komutativnost distributivnost sabira a vektora asocijativnost skalarnog mnoe a distributivnost sabira a skalara jediniqni element
26 Dokaz (S1) #«w C D #«v A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora
27 Dokaz (S1) #«w C D #«v #«v + #«w A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora
28 Dokaz (S1) #«w C D #«v #«u + ( #«v + #«w) #«v + #«w A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora
29 Dokaz (S1) #«w C D #«v #«u + #«v A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora
30 Dokaz (S1) #«w C D #«v ( #«u + #«v ) + #«w #«u + #«v A #«B u Slika 2: Asocijativnost sabira a vektora
31 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.7 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0.
32 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.7 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0. U suprotnom, ako postoji i n-torka (α 1,..., α n ) u kojoj je bar jedan od brojeva α i razliqit od nule, vektori se nazivaju linearno zavisnim.
33 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.2 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.
34 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.2 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.3 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna.
35 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.2 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.3 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna. Teorema 1.4 U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka qetiri vektora su linearno zavisna.
36 Primeri Primer 1 C A # «AB + # «BC + # «CA = #«0 Slika 3: Vektori odreeni stranicama trougla su linearno zavisni B
37 Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 4: Da li su vektori AC # «1 i BD # «kolinearni? B
38 Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 4: Da li su vektori BC # «1, A # «1 D 1 i CD # «koplanarni? B
39 Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 4: Da li su vektori BC # «1, CD # «i D # «1 B koplanarni? B
40 Arhimedov zakon poluge
41 Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T
42 Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T O { proizvo na taqka Centar masa taqaka A(m 1 ) i B(m 2 ): # «OT = 1 ( # «m 1 m 1 + m 2 # «) OA + m 2 OB
43 Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 )
44 Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A)
45 Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 # «) OB + m 3 OC
46 Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 1.5 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC
47 Teixte trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 1.5 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC Za m 1 = m 2 = m 3 = m: centar masa = teixte trougla!
48 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora.
49 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
50 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva.
51 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( #«e 1, #«e 2 ) baza vektorskog prostora V 2.
52 Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2
53 Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2 Baza e = (e 1, e 2, e 3 ) vektorskog prostora V 3. Koordinate vektora #«v V 3 u bazi e: [ #«v ] e = x 1 x 2 x 3
54 Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E.
55 Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E. Definicija 2.1 Koordinate taqke X E u reperu Oe definixemo kao koordinate vektora OX # «u bazi e: [X] Oe := [ # «OX] e.
56 Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N."
57 Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe.
58 Matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M mn (R) = A = (a ij ) = a ij R a m1 a m2 a mn Sabira e: A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ), A, B M mn. Mnoe e skalarom: λa = λ (a ij ) = (λ a ij ), λ R, A M mn. Teorema 2.1 Skup M mn (R) svih realnih matrica dimenzija m n u odnosu na sabira e matrica i mnoe e matrica skalarom qini vektorski prostor.
59 Transponova e matrice Transponova e = zamena mesta vrstama i kolonama. A = (a ij ) = A T = (a ji ) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M mn(r) a m1 a m2 a mn a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n M nm(r) a 1m a 2m a nm
60 Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b a 1n b n1 a 11 b a 1n b n2... = a 21 b a 2n b n
61 Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b a 1n b n1 a 11 b a 1n b n2... = a 21 b a 2n b n
62 Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b a 1n b n1 a 11 b a 1n b n2... = a 21 b a 2n b n
63 Mnoe e matrica A M mn (R), B M nk (R) = A B M mk (R): a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2k A B = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk a 11 b a 1n b n1 a 11 b a 1n b n2... = a 21 b a 2n b n (A B) ij = n a ip b pj p=1...
64 Primeri ( ) 1 2 ( ) = nije definisan! 2 3 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = mnoe e matrica ( ) ( ) = nije komutativno! ( 3 4 ) 3 6
65 Jediniqna matrica A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, E = : jediniqna matrica
66 Jediniqna matrica A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, E = : jediniqna matrica A E = A = E A
67 Inverz matrice Matrica A M n (R) ima inverz ako det A 0. Takve matrice nazivamo regularne matrice i ihov skup qini grupu (u odnosu na mnoe e matrica) koju oznaqavamo sa GL n (R). Primer 3 ( a b A = c d ), A 1 = 1 ad bc ( d b ) c a
68 Nilpotentne matrice Definicija 2.2 Matrica A je nilpotentna ako je A 0 i postoji k N takav da je A k = 0. Primer 4 a2 A = a b b a ( ) A = 0 0, b 0
69 Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ),
70 Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ), Primene skalarnog proizvoda: Duine: Uglovi: #«v = #«v #«v ; ( #«v, #«u ) = arccos Projekcija vektora #«v na vektor #«u: pr #«u #«v = #«v #«u #«u #«v #«u #«v #«u
71 Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai:
72 Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost
73 Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost #«u (α #«v + β #«w) = α( #«u #«v ) + β( #«u #«w), linearnost
74 Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost #«u (α #«v + β #«w) = α( #«u #«v ) + β( #«u #«w), linearnost #«u #«u = #«u 2 0, nenegativnost
75 Osobine skalarnog proizvoda Teorema 3.1 (Osobine skalarnog proizvoda) Neka su #«v, #«u, #«w V i α R. Tada vai: #«u #«v = #«v #«u, simetriqnost #«u (α #«v + β #«w) = α( #«u #«v ) + β( #«u #«w), linearnost #«u #«u = #«u 2 0, nenegativnost #«u #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0. nedegenerisanost
76 Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [v] T e [u] e
77 Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [v] T e [u] e Primer 5 Dati su vektori #«v = (1, 2, 2) i #«u = ( 3, 0, 4) iz V 3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: (a) #«v ; (b) ( #«v, #«u ).
78 Orijentacija prostora Baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) je pozitivne orijentacije ako vai pravilo ruke: ako isprueni kaiprst desne ruke predstav a vektor e #«1, sred i prst vektor e #«2, a palac vektor e #«3, onda je baza e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) pozitivne orijentacije".
79 Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima: Intenzitet: #«w = #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: #«w #«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, #«w) je pozitivne orijentacije.
80 Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := w, #«gde je w #«vektor koji ima: Intenzitet: w #«= #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: w #«#«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, w) #«je pozitivne orijentacije. #«u h = #«u sin φ φ #«v Slika 5: #«v #«u = P ( #«v, #«u )
81 Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0.
82 Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0. Teorema 3.2 (Osobine vektorskog proizvoda) #«v, #«u, #«w V 3, α, β R: #«u #«v = #«v #«u, antisimetriqnost (α #«u + β #«v ) #«w = α( #«u #«w) + β( #«v #«w). linearnost
83 Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0. Teorema 3.2 (Osobine vektorskog proizvoda) #«v, #«u, #«w V 3, α, β R: #«u #«v = #«v #«u, antisimetriqnost (α #«u + β #«v ) #«w = α( #«u #«w) + β( #«v #«w). linearnost Teorema 3.3 (Dvostruki vektorski proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : #«v ( #«u #«w) = ( #«v #«w) #«u ( #«v #«u ) #«w.
84 Osobine vektorskog proizvoda Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u prostora V 3 su linearno nezavisni ako i samo ako #«v #«u #«0. Teorema 3.2 (Osobine vektorskog proizvoda) #«v, #«u, #«w V 3, α, β R: #«u #«v = #«v #«u, antisimetriqnost (α #«u + β #«v ) #«w = α( #«u #«w) + β( #«v #«w). linearnost Teorema 3.3 (Dvostruki vektorski proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : #«v ( #«u #«w) = ( #«v #«w) #«u ( #«v #«u ) #«w. Teorema 3.3 = vektorski proizvod nije asocijativan.
85 Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0
86 Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0 #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 #«v #«u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e #«1 + (v 3 u 1 v 1 u 3 ) e #«2 + (v 1 u 2 v 2 u 1 ) e #«3 e #«1 e2 #«e3 #«= v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3
87 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.
88 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.
89 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 A, B, C { kolinearne D ABC = 0; e #«3 =: D #«ABC e3.
90 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0.
91 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0. Primer 6 Odrediti povrxinu ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3).
92 Mexoviti proizvod Definicija 3.3 (Mexoviti proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : [ #«v, #«u, #«w] := ( #«v #«u ) #«w. #«v #«u # «w #«w #«u φ B #«v Slika 6: [ #«v, #«u, #«w] = V ( #«v, #«u, #«w)
93 Mexoviti proizvod i orijentacija prostora Posledica 3.2 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0.
94 Mexoviti proizvod i orijentacija prostora Posledica 3.2 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0. Posledica 3.3 Vektori ( #«v, #«u, #«w) prostora, qine bazu pozitivne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] > 0, a negativne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] < 0.
95 Osobine mexovitog proizvoda Teorema 3.4 (Osobine mexovitog proizvoda) #«v, #«u, #«w V,α, β R: [ #«v, #«u, #«w] = [ #«u, #«v, #«w], antisimetriqnost [ #«v, #«u, #«w] = [ #«u, #«w, #«v ] = [ #«w, #«v, #«u ], cikliqnost [α #«u + β #«v, #«w, #«z ] = α[ #«u, #«w, #«z ] + β[ #«v, #«w, #«z ]. linearnost
96 Osobine mexovitog proizvoda Teorema 3.4 (Osobine mexovitog proizvoda) #«v, #«u, w #«V,α, β R: [ #«v, #«u, w] #«= [ #«u, #«v, w], #«antisimetriqnost [ #«v, #«u, w] #«= [ #«u, w, #«#«v ] = [ w, #«#«v, #«u ], cikliqnost [α #«u + β #«v, w, #«#«z ] = α[ #«u, w, #«#«z ] + β[ #«v, w, #«#«z ]. linearnost U ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«= v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3.
97 Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 7: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina
98 Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 7: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina Primer 7 Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0), B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).
Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Vektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Drugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Uvod i vektorski prostori
ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE
ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE 0.0.04. Studenti koji na testu kod pitanja do zvezdica naprave više od tri greške nisu položili ispit! U svakom zadatku dato je više odgovora, a treba zaokružiti tačne odgovore
Linearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Glava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Vektorska algebra i analiza
Glava 1 Vektorska algebra i analiza Uvod U prostoru oko nas susrećemo se sa raznim pojavama. Da bismo ih opisali, definišemo pojmove koji ih karakterišu. Me - dutim, primećeno je da i različite pojave
1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE
VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE Ivanka Milošević Univerzitet u Beogradu 1997 Predgovor Kurs MATEMATIČKA FIZIKA I prvi put sam predavala 1995/1996 godine, pri čemu sam se velikom delu držla
Linearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 03. Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo