Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ"

Transcript

1

2 Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

3 Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007

4 Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Copyright Φώτης Κουνάδης Copyright 2007: EK OTIKOΣ OPΓANIΣMOΣ ΛIBANH ABE Σόλωνος Aθήνα. Tηλ.: , Fax: Aπαγορεύεται η αναδηµοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, µερική ή περιληπτική, ή η απόδοση κατά παράφραση ή διασκευή του περιεχο- µένου του βιβλίου µε οποιονδήποτε τρόπο, µηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο, χωρίς προηγούµενη γραπτή ά- δεια του εκδότη. Nόµος 2121/1993 και κανόνες του ιεθνούς ικαίου που ισχύουν στην Eλλάδα. Παραγωγή: Eκδοτικός Oργανισµός Λιβάνη ISBN

5 Αφιερώνεται στους γονείς µου.

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1: Οι Φυσικοί αριθμοί...13 Διαγώνισμα 2: Τα κλάσματα...17 Διαγώνισμα 3: Οι Δεκαδικοί αριθμοί...21 Διαγώνισμα 4: Εξισώσεις και προβλήματα. Τα ποσοστά...25 Διαγώνισμα 5: Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά...29 Διαγώνισμα 6: Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί...35 Διαγώνισμα 7: Δυνάμεις ρητών Αριθμών...41 Διαγώνισμα 8: Βασικές Γεωμετρικές έννοιες...45 Διαγώνισμα 9: Συμμετρία...53 Διαγώνισμα 10: Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια...59 Διαγώνισμα 11: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη...65 Διαγώνισμα 12: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη...71 Λύσεις Διαγωνισμάτων Διαγώνισμα 1: Οι Φυσικοί αριθμοί...77 Διαγώνισμα 2: Τα κλάσματα...81 Διαγώνισμα 3: Οι Δεκαδικοί αριθμοί...85 Διαγώνισμα 4: Εξισώσεις και προβλήματα. Τα ποσοστά...89 Διαγώνισμα 5: Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά...93 Διαγώνισμα 6: Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί...99 Διαγώνισμα 7: Δυνάμεις ρητών Αριθμών Διαγώνισμα 8: Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Διαγώνισμα 9: Συμμετρία Διαγώνισμα 10: Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Διαγώνισμα 11: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διαγώνισμα 12: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη

7 8

8 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Γυμνασίου και γράφτηκε σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα. Στο πρώτο μέρος περιέχονται 12 διαγωνίσματα, τα 10 από αυτά αντιστοιχούν στα επί μέρους κεφάλαια του νέου σχολικού βιβλίου και 2 επιπλέον είναι επαναληπτικά σε ολόκληρη την ύλη, ενώ στο δεύτερο μέρος υπάρχουν αναλυτικά οι λύσεις των διαγωνισμάτων αυτών. Επιχειρείται με συνδυαστικά θέματα αλλά και με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, «Σωστού Λάθους», αντιστοίχισης και συμπλήρωσης, η ενίσχυση των μαθητών στην προσπάθειά τους να επαναλάβουν την ύλη κάθε κεφαλαίου και στη συνέχεια ν αξιολογήσουν μόνοι τους το βαθμό της εμπέδωσης της ύλης αυτής. Πιστεύω ότι με τον τρόπο αυτό οι μαθητές θα αποβάλουν το άγχος των γραπτών δοκιμασιών και των ανακεφαλαιωτικών εξετάσεων και συγχρόνως θα αποκομίσουν σημαντικό όφελος για την καλύτερη κατανόηση του μαθήματος των Μαθηματικών. Τέλος, θα ήθελα και από τη θέση αυτή να ευχαριστήσω τη συνάδελφο Μαθηματικό κ. Τζωρτζίνα Νίκα για τις χρήσιμες και ιδιαίτερα εύστοχες παρατηρήσεις της. Φώτης Κουνάδης 9

9 10

10 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ 11

11 12

12 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο Κεφάλαιο 1 ο Μέρος Α Οι Φυσικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο... αριθμοί, ο Δ... και ο δ..., βρίσκονται δύο άλλοι... αριθμοί, το π... και το υ..., ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = , με υ <... και δ.... Αν υ = 0 προκύπτει η ισότητα Δ = που λέγεται... διαίρεση. 2. α : 1 = : α = 0. α :... δεν ορίζεται. Μονάδες (1,7) Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν μοναδικοί του διαιρέτες είναι... και.... Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται.... Ο μοναδικός άρτιος που είναι και πρώτος είναι το..... Δύο φυσικοί αριθμοί α, β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν Μ.Κ.Δ. (α, β) =.... Αν ο αριθμός α διαιρεί τον αριθμό β τότε ο β είναι... του α και ο Μ.Κ.Δ. (α, β) =.... Μονάδες (1,7) 13

13 Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: πράξη πρόσθεση πολλαπλασιασμός α + β α και β λέγονται. α β α και β λέγονται... ιδιότητα πρόσθεση πολλαπλασιασμός αντιμεταθετική α + β = α β = προσεταιριστική α + (β + γ) = ( ) +... α (β γ) =... α + 0 =... α... = α α 0 =... επιμεριστική α (β + γ) = α (β γ) = Μονάδες (1,6) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να σημειώσετε τη θέση των παρενθέσεων μια φορά, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: = = = : 4 3 = : = 3 Μονάδες (2,5) Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα ώστε να προκύπτουν Ευκλείδειες διαιρέσεις: Δ δ π 7 12 υ 1 Μονάδες (2,5) 14

14 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α, β φυσικοί αριθμοί με α β = 1, τότε: Α. α 1 και β = 1 Β. α = 1 και β 1 Γ. α = 1 και β = 1 Δ. α = 0 και β = 1 2. Ο αριθμός: ισούται με: Α Β. 731 Γ Δ Ποια από τις παρακάτω πράξεις μας δίνουν το μεγαλύτερο αποτέλεσμα; Α Β. (5 + 0) (0 + 4) Γ. (5 0) + (0 + 4) Δ Η παράσταση: x + x + x x x x x ισούται με: Α. x 3 4 x B. x 3 x 4 Γ. 3 x 4 x Δ. 3 x x 4 5. Η ισότητα: x x x x ν = 0 αληθεύει όταν ο εκθέτης ν ισούται με: Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ Πόσοι πρώτοι αριθμοί περιέχονται μεταξύ του 10 και του 30; Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 15

15 7. Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός φυσικού δια του 5 είναι: Α. 5, 6, 7, 8 Β. 0, 2, 4, 6 Γ. 0, 1, 2, 3, 4, 5 Δ. 0, 1, 2, 3, 4 8. Ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν προέκυψε από Ευκλείδεια διαίρεση; Α. 0 = Β. 40 = Γ. 83 = Δ. 91 = Μονάδες 2,4(8x0,3) Β. Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω τετραψήφιους αριθμούς της στήλης Α, ώστε να διαιρούνται κάθε φορά από τους διαιρέτες της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β αριθμός διαιρέτης 3_ 6 _ 2 _ 2 _ , 10 _ 3 6 _ 5, , 3, 4 3 _ 2, 3, 4, 5, 9, 10 Μονάδες (2,6) ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: x = (23 10) 2, y = και ω = ( ) : (15 3 5) 5. Στη συνέχεια ν αναλύσετε τον αριθμό x + y + ω, σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Μονάδες (2,5) Β. Αν α = Ε.Κ.Π. (6, 8) και β = Μ.Κ.Δ. (45, 60, 75) να συγκρίνετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = (α + β) 3 και Β = α α β α 2 β + β 3 Μονάδες (2,5) 16

16 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ο Κεφάλαιο 2 ο Μέρος Α Τα κλάσματα Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Τα κλάσματα α γ και β δ είναι ομώνυμα όταν... =... και ετερώνυμα όταν.... Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει... αριθμητή, ενώ από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές μικρότερο είναι αυτό που έχει τον ii) > < 7 7 iii) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των... και παρονομαστή το... Τα κλάσματα α β και β α λέγονται... και το γινόμενο τους ισούται με.... Μονάδες (2,6) 17

17 Β. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λανθασμένες (Λ), όταν λ 0: i. α α + = λ β β + λ ii. α α = λ β β λ 2 α α iii. = 2 β β iv. α = α:λ β β:λ v. α + λ 1 α = + λ λ vi. α β είναι ανάγωγο όταν Μ.Κ.Δ. (α,β) = 1 Μονάδες 2,4(6x0,4) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στον πίνακα: α β α + β Μονάδες (2) Β. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς σχέσεις: 2 2 =, =, 21 =, x = x, < <, < < 5 5 Μονάδες 3 (6x0,5) 18

18 ΘΕΜΑ 3 ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Η τιμή της παράστασης + ισούται με: Α. 1 Β. 1 Γ. 3 Δ Το γινόμενο ισούται με: 3 Α. 2 Β. 1 Γ. 7 Δ Το σύνθετο κλάσμα ισούται με: Α Β Γ Δ Το γινόμενο 0 ισούται με: Α Β Γ. 86 Δ Το κλάσμα x + 5 x+ 6 είναι: Α. < 1 Β. > 1 Γ. = 1 Δ. = 0 6. Το κλάσμα 2(x + 3) 2x + 6 είναι: Α. < 1 Β. > 1 Γ. = 1 Δ. = 0 7. Η παράσταση 3 1 : ισούται με: Α. 4 3 Β. 12 Γ. = 1 Δ. 5 4 Μονάδες 5 (7x0,7) 19

19 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Τα 2 3 των μαθητών μιας τάξης είναι 18 μαθητές. Να βρείτε πόσους μαθητές έχει συνολικά η τάξη. Μονάδες (2,5) Β. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = + (1 ) : και Β ( 2 ) : = Δείξτε ότι Α = Β. Μονάδες (2,5) 20

20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο Κεφάλαιο 3 ο Μέρος Α Οι Δεκαδικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Ν αντικαταστήσετε το με τον κατάλληλο αριθμό ώστε να προκύπτουν αληθείς ισότητες: : = 1, = 57, = 0, : 0,01 = 5. 0, = 6. : 10 4 = 0, = 7, = 0,5 9. 0, = = 11, Μονάδες 2,5(10x0,25) 21

21 Β. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο με το κόκκινο χρώμα: αριθμός ψηφίο στρογγυλοποίησης προσέγγιση 17,024 εκατοστό 17, , , , χιλιάδα Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα για τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα όταν γνωρίζουμε ότι η περίμετρός τους είναι Π = 2 (α + β), όπου α το μήκος και β το πλάτος. Μήκος α Πλάτος β Περίμετρος Π 1 ο ορθογώνιο 3,2dm 8dm 2 ο ορθογώνιο 20cm 160cm 3 ο ορθογώνιο 5m 180dm 4 ο ορθογώνιο 400mm 80cm m Μονάδες 2 (4x0,5) Β. Να γραφούν τα παρακάτω μήκη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. α. 5,23m 0,703m 2,023m 2m 0,7003m 0,052m β. 0,023km 12,3m 134dm 1004cm 11011mm Μονάδες 1 (2x0,5) 22

22 Γ. α. Ν αντιστοιχίσετε τα κλάσματα που είναι στη στήλη Α με ίσους τους δεκαδικούς αριθμούς της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β , ,0523 5,23 Μονάδες 0,8 (4x0,2) β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας. κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Δεκαδικό κλάσμα Μονάδες 1,2 (6x0,2) 23

23 Α = δ 2 (α 3 : β + γ 2 : ε) και Β = (α 3 β γ) α + δ : ε (α 3 : α 4 ) 2 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3 ο Στο διπλανό τρίγωνο δίνονται οι πλευρές του x και y καθώς και η περίμετρός του Π σε cm, ως εξής: x = ,02 (4,6 + 5,4) 3 y = 0, και η περίμετρος Π = (0,1 + 0, ,1 3 ) Να υπολογίσετε την πλευρά ω. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο Αν α = 2, β = 0,8, γ = 0,5, δ = 9,6, ε = 0,01, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 24

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ο Κεφάλαια 4 ο και 5 ο Μέρος Α 1. Εξισώσεις και προβλήματα 2. Τα ποσοστά Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο (εξισώσεις) Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις λύσεις τους στη στήλη Β: Α. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. x + α = β α. x = β : α 2. x α = β β. x = α β 3. α x = β γ. x = β α 4. α x = β δ. x = β α 5. x : α = β ε. x = α : β 6. α : x = β στ. x = α + β Α Β Μονάδες 2,5 25

25 Β. ΣΤΗΛΗ Α ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΛΗ Β ΛΥΣΕΙΣ 1. x 4 = 0 α x + 12 = 1 β (x 3) = 8 γ. αδύνατη x = 7x 15 δ. αόριστη ή ταυτότητα 5. x = 1 ε : x = 1:3 στ (7 7)x = 0 ζ (4 3 1)x = 2 η. 8 A B Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 2 ο (εξισώσεις) Α. Στο ορθογώνιο του διπλανού σχήματος η μια του διάσταση είναι διπλάσια της άλλης ενώ η περίμετρος του είναι 60 cm. 1. Να επιλέξετε την εξίσωση που αποδίδει το πρόβλημα: Α. x 2 + 2x = 60 B. x 2x = 60 Γ. x + 2x + x + 2x = 60 Δ. ( )x = 60 26

26 2. Να γράψετε σε πιο απλή μορφή την εξίσωση που επιλέξατε. 3. Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις δυο διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ορθογωνίου. Μονάδες 2,5 Β. Αν α = , β = ( ) 5 και γ = ( ) 3 : να λύσετε την εξίσωση: (α + β + γ) x = α 2 + β 2 + γ 2. Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 3 ο (ποσοστά) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση : 1. το ποσοστό 31,4% παριστάνει το κλάσμα: Α. 31,4 B. 31,4 Γ Δ το 200% του 200 είναι : Α. 200 Β. 400 Γ Δ το κλάσμα 4 5 γράφεται ως ποσοστό : Α. 40% Β. 50% Γ. 60% Δ. 80% 4. για να βρούμε το α% του β εκτελούμε την πράξη: α Α. β Β. α β 100 Γ. α α : β Δ. β : το 3% του 1m είναι : Α. 3m B. 3dm Γ. 3 cm Δ. 3 mm 6. όταν ένα είδος αυξήθηκε από 50 σε 80 η αύξηση σε ποσοστό είναι : Α. 30% Β. 40% Γ. 50% Δ. 60% 7. όταν από τους 32 μαθητές μιας τάξης τα 14 είναι αγόρια τότε αυτά αντιπροσωπεύουν το ποσοστό: Α. 40% Β. 43,75% Γ. 42,15% Δ. 49,12% Μονάδες 5 (7x0,7) 27

27 ΘΕΜΑ 4 ο (ποσοστά) Ένα είδος κόστιζε αρχικά 500. Στις 12 Φεβρουαρίου αυξήθηκε 10% αλλά στις 12 Μαρτίου η νέα τιμή του αυξήθηκε πάλι κατά 8%. Μπορούμε να πούμε ότι τελικά η αρχική τιμή αυξήθηκε κατά 10% + 8% = 18%; Αν όχι να βρείτε το σωστό ποσοστό της αύξησης. Μονάδες 5 28

28 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ο Κεφάλαιο 6 ο Μέρος Α Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y... με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο των αναλόγων ποσών x και y λέγεται... και είναι πάντα.... Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με την ισότητα.... Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σημεία που βρίσκονται πάνω σε... γραμμή που διέρχεται από το σημείο.... Β. Ποια από τα παρακάτω ποσά x και y είναι ανάλογα και γιατί; Μονάδες (2,5) 1. x y

29 2. x 6 15 y Η πλευρά του τετραγώνου και η περίμετρός του. 4. Η πλευρά του τετραγώνου και το εμβαδόν του. 5. y = x 6. y = 3 7 x 7. y = 3 x Μονάδες 2,5 (10x0,25) 30

30 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y... με τον ίδιο αριθμό. Το... των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά συνδέονται με την ισότητα.... Τα ζευγάρια των τιμών (x,y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται... και που δεν τέμνει ποτέ τους.... Μονάδες 2,5(5x0,5) Β. Δίνεται ο πίνακας τιμών: x y ,5 Αφού διαπιστώσετε ότι τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα να συμπληρώσετε... την ισότητα που τα συνδέει y =. Στη συνέχεια να κάνετε με τη βοήθεια του πίνακα τιμών τη γραφική παράσταση των ποσών x αυτών. Μονάδες 1,1 Γ. Ποια από τα παρακάτω ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα και γιατί; 1. Ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός έργου. 2. Οι διαστάσεις ορθογωνίου με εμβαδό 12 cm

31 5. y x = y = 2 x 7. y = 0,01 x Μονάδες 1,4 (7x0,2) ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε τα παρακάτω ισόπλευρα τρίγωνα: περίμετρος = 10,5 Αν με x συμβολίσουμε την πλευρά και με y την περίμετρο του κάθε ισοπλεύρου τριγώνου, τότε: α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: x = πλευρά y = περίμετρος 6 10,5 β) Τι συμπεραίνεται για τα ποσά x και y; Γράψτε την ισότητα που τα συνδέει. Μονάδες (2) Μονάδες (2) 32

32 γ) Τοποθετώντας τα ζεύγη των τιμών (x,y) του πίνακα από το α) ερώτημα, να κάνετε τη γραφική παράσταση των ποσών x και y. Μονάδες (1) ΘΕΜΑ 4 ο Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση με σταθερή ταχύτητα 120 χιλιομέτρων την ώρα σε 50 λεπτά. α) Πόσο πρέπει να αυξήσει τη ταχύτητά του ώστε να διανύσει την ίδια απόσταση σε 40 λεπτά; Μονάδες (2,5) β) Πόσο πρέπει να μειώσει την αρχική του ταχύτητα (των 120 χιλ. την ώρα) για να διανύσει τη συγκεκριμένη απόσταση σε 1 ώρα; Μονάδες (2,5) 33

33 34

34 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ο Κεφάλαιο 7 ο Μέρος Α Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ονομάζεται η..... του σημείου που παριστάνεται στον άξονα από τον αριθμό αυτόν, από το σημείο. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α, συμβολίζεται με.. και δεν μπορεί να είναι.. αριθμός. Από δύο αρνητικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την..... απόλυτη τιμή. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη... τιμή, την.. και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημο του. με την. απόλυτη τιμή. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τις. και στο γινόμενο βάζουμε πρόσημο. Β. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: Μονάδες 1,8 (9x0,2) 1. Ποιο είναι το πρόσημο δύο ρητών αριθμών που έχουν αρνητικό άθροισμα και θετικό πηλίκο; 35

35 2. Υπάρχουν αριθμοί που να είναι συγχρόνως αντίθετοι και αντίστροφοι; 3. Το γινόμενο πέντε ρητών αριθμών είναι αρνητικό. Να γράψετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για τα πρόσημα των παραγόντων του. Μονάδες 1,2 (3x0,4) Γ. Θεωρούμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων. Ν αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα κατάλληλα στοιχεία της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. Ένας παράγοντας είναι 0 α. Το γινόμενο είναι αρνητικό 2. Το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο 3. Το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό β. Το γινόμενο είναι θετικό γ. Το γινόμενο είναι μηδέν Α Β Μονάδες 1 Δ. Θεωρούμε το πηλίκο: α β με τους όρους του α και β να είναι ετερόσημοι αριθμοί. Ανάλογα αν τα παρακάτω είναι σωστά ή λάθος, να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστή, επιλέγοντας Σ ή ως Λανθασμένη επιλέγοντας Λ: Σ Λ 1. το β μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή 2. το πηλίκο αυτό είναι η λύση της εξίσωσης αx = β 3. είναι ο αντίστροφος του αριθμού β α 4. α β > 0 5. λέγεται και λόγος του α προς το β Μονάδες 1 (5x0,2) 36

36 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Αριθμός α Αντίθετος του α Απόλυτη τιμή του α Απόσταση του α στον άξονα από το Ο + 12, , Μονάδες 2 (4x0,5) Β. Ν αντιστοιχίσετε την κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της χωρίς τις παρενθέσεις της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α 1. ( + 2) + ( 3) ( + 3) 2. ( 2) ( 3) + ( + 3) 3. ( + 2) ( + 3) + ( 3) 4. ( ) 5. ( ) 6. + ( ) ΣΤΗΛΗ Β Α Β Γ Δ Ε Στ Α Β Μονάδες 3 (6x0,5) ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α = 2, τότε ο αριθμός α: Α. ισούται μόνο με + 2 Β. ισούται μόνο με 2 Γ. ισούται με + 2 ή με 2 Δ. δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός 37

37 2. Αν α = 3, τότε ο αριθμός α: Α. ισούται μόνο με + 3 Β. ισούται μόνο με 3 Γ. ισούται με + 3 ή με 3 Δ. δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός α 3. Η σωστή σειρά των αριθμών από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο είναι η: 3 Α. 8,64 < < 1000 < 0 < < + 4 < Β < 8,64 < < 0 < < + 4 < Γ < < 8,64 < 0 < < + 4 < Δ < < 8,64 < < 0 < + 4 < Ο αντίθετος του αντιστρόφου του Α. 5 Β Γ. 3 Δ. 5 3 είναι ο: Αν οι ρητοί αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι με α = β Τότε: Α. α = β Β. α > β Γ. α + β = 0 Δ. α β = 1 6. Αν 5 < x < 8, τότε οι ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός x είναι: Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Μονάδες 3 (6x0,5) α β α + β α β α β α:β Μονάδες 2 38

38 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισότητες: 1) ( 8) ( 2) ( 1) = ) [( 5) ( 3)] : [( + 1) ( 1)] = 15 3) ( 4) ( 5) = + 4) ( + 3) ( 1) 5 = 0 5) = 20 6) (7 10) = ) : ( ) =5 3 B. 1. Nα υπολογίσετε τους αριθμούς: 4 4 α= , ,2 3 3 ( 1)( + 3)( 4) β = 6 18 γ = 4 + ( 10) Μονάδες 2,1 (7x0,3) Μονάδες 1,2 (3x0,4) 2. Με τις τιμές που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε τη τιμή του κλάσματος: α β (α+ 2γ) Α = (β α) (α 2β) 3. Να λύσετε την εξίσωση: Α : x= α β γ, όπου Α, α, β και γ οι τιμές που υπολογίσατε στα προηγούμενα ερωτήματα. Μονάδες 1 Μονάδες 0,7 39

39 40

40 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ο Κεφάλαιο 7 ο Μέρος Α Δυνάμεις ρητών Αριθμών Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Αν ν φυσικός αριθμός, ν > 1, η δύναμη α ν διαβάζεται και και ισούται με.... Η δύναμη α 2 διαβάζεται και... Όταν λέμε α στον κύβο εννοούμε την δύναμη α 1 =. α ο =., όταν α 0 α ν =, όταν α 0 3. Αν α > 0 τότε α ν..0 Αν α < 0 και α ν < 0 τότε ο εκθέτης ν είναι Αν α < 0 και α ν > 0 τότε ο εκθέτης ν είναι 4. α μ α ν =.. 5. α μ : = α μ ν, α 0 6. α ν β ν =. 41

41 7. Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σ έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε α = ν β Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σ έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε ( α )... μν =... Μονάδες 2,5 (10x0,25) Β. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή, επιλέγοντας Σ ή ως Λανθασμένη επιλέγοντας Λ. 1. x 5 : x 3 = x 2 2. x 5 = x 5 3. x 3 x 4 = x (x 3 ) 2 = x 5 5. ( x) 4 = x 4 Σ Λ Μονάδες 2,5 (5x0,5) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α, β αντίθετοι τότε (α + β) 2008 ισούται με: Α. 1 Β. α + β Γ. 0 Δ Αν (α β) 3 < 0, τότε: Α. α, β ομόσημοι Β. α, β ετερόσημοι Γ. α, β αντίστροφοι Δ. α = β = 0 3. Η τιμή της παράστασης Α=( 1) 0 + ( 1) 1 + ( 1) 2 + ( 1) 3 ισούται με: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 42

42 4. Η λύση της εξίσωσης x : = είναι: Α Β Γ Δ Η λύση της εξίσωσης: 0,00001 x = 10 7 είναι: Α Β Γ Δ Μονάδες 2,5 (5x0,5) Β. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις τιμές του εκθέτη ν της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ισότητα 1. 2 ν = ν = ( 2) ν = 8 4. ( 2) ν = (2 ν ) 3 = 64 ΣΤΗΛΗ Β τιμή του ν Α. ν = 2 Β. ν = 0 Γ. ν = 2 Δ. ν = 3 Ε. ν = 4 Α Β Μονάδες 2,5 (5x0,5) ΘΕΜΑ 3 ο Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1 παράσταση προτεινόμενες τιμές Α Β Γ ( 3)

43 5 ( 3) (5 6 ) ( 3) Αν ν άρτιος ( 1) ν + 1 ν Μονάδες 5 (10x0,5) ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: x = ( 3) 2 [2 3 ( 3) 3 ] : 7 B. Στη συνέχεια με την τιμή που βρήκατε να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α= 9 x x x x x + 3 Μονάδες 5 (2x2,5) 44

44 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ο Κεφάλαιο 1 ο Μέρος Β Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Η ημιευθεία που έχει για αρχή την κορυφή μιας γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες ονομάζεται της γωνίας. 2. Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή λέγεται. Αμβλεία ονομάζεται η κυρτή γωνία που είναι. από την ορθή. Το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από.. μοίρες και μικρότερο από. μοίρες. 3. Δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγονται.. Οι γωνίες αυτές είναι.. 4. Παράλληλες ονομάζονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που.... Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν είναι παράλληλες υποχρεωτικά. και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο. 5. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται και... του σημείου Α από το. Μονάδες 2,5 (5x0,5) 45

45 Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σ αν είναι σωστές ή Λ αν είναι λανθασμένες: 1. Στο σχήμα οι γωνίες α και β είναι κατακορυφήν Σ Λ 2. Στο σχήμα οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι εφεξής 3. Η διχοτόμος μιας γωνίας τη χωρίζει σε δύο εφεξής γωνίες 4. Δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες 5. Η παραπληρωματική γωνία μιας οξείας γωνίας είναι αμβλεία 6. Δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι οξείες 7. Δύο γωνίες που έχουν τις παραπληρωματικές τους γωνίες ίσες είναι και αυτές ίσες 8. Μια μη κυρτή γωνία είναι αμβλεία 9. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου μπορεί να μην τέμνονται αλλά και να μην είναι παράλληλες 10. Δύο τεμνόμενες ευθείες μπορούν να είναι κάθετες σε μια άλλη ευθεία Μονάδες 2,5 (10x0,25) 46

46 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το κατάλληλο στοιχείο της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. οξεία γωνία Α. Β. 2. αμβλεία γωνία 3. ορθή γωνία Γ. Δ. 4. μη κυρτή γωνία Ε. 5. ευθεία γωνία 47

47 Στ. 6. παραπληρωματικές γωνίες Ζ. 7. συμπληρωματικές γωνίες Η. 8. κατακόρυφην γωνίες Θ. 9. διαδοχικές γωνίες Α Β Μονάδες 1,8 (9x0,2) 48

48 B. Nα υπολογίσετε το x σε κάθε περίπτωση: 1. ΑΒ = 12cm Μ το μέσο του ΑΒ Ο το μέσο του ΑΜ x = 2. x= x= x=... Μονάδες 3,2 (4x0,8) ΘΕΜΑ 3 ο A. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε, είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος: Α. ΑΒ Β. ΑΓ Γ. ΑΔ Δ. ΑΕ 49

49 2. Τα 3/10 μιας πλήρους γωνίας είναι: Α. 54 ο Β. 98 ο Γ. 102 ο Δ. 108 ο 3. Οι προσκείμενες γωνίες στη πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ στο σχήμα είναι: Α. η Α και η Β Β. η Α και η Γ Γ. ηβ και η Γ Δ. η Α, η Β και η Γ 4. Η παραπληρωματική μιας γωνίας είναι τριπλάσια από τη συμπληρωματική της, η γωνία είναι: Α. 45 ο Β. 65 ο Γ. 90 ο Δ. 120 ο 5. Το μέτρο μιας γωνίας ισούται με τα 2/5 μιας ευθείας γωνίας. Η συμπληρωματική της ισούται με: Α. 8 ο Β. 18 ο Γ. 72 ο Δ. 108 ο Μονάδες 2,5 (5x0,5) Β. Στο σχήμα η ευθεία ε είναι διχοτόμος της γωνίας xoy. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ δικαιολογώντας την απάντησή σας. Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Μία επίκεντρη γωνία έχει την κορυφή της Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου.. 50 Μονάδες 0,5 (2x0,25)

50 Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Δύο τόξα 70 ο είναι πάντοτε ίσα 2. Ο κύκλος είναι το αντίστοιχο τόξο πλήρους επίκεντρης γωνίας Σ Λ Μονάδες 0,5 (2x0,25) Γ. Θεωρούμε κύκλο (Ο,2cm). Με x ονομάζουμε την απόσταση μιας ευθείας ε από το κέντρο Ο του κύκλου. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Απόσταση x Μικρότερη των 2 cm Ονομασία της ευθείας ε Eξωτερική του κύκλου Πλήθος κοινών σημείων ευθείας κύκλου. 1 Μονάδες 1 Δ. Να βρείτε το x σε μοίρες στις παρακάτω περιπτώσεις: 1. x = 2. x = 51

51 3. x = 4. x = 5. x = Μονάδες 1,5 (5x0,3) E. Στο σχήμα η γωνία ΒΟΓ = 50 ο και ΟΔ, ΟΕ διχοτόμοι των γωνιών AΟΓ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι το τόξοεδ ; ΒΟΓ και Μονάδες 1,5 52

52 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ο Κεφάλαιο 2 ο Μέρος B Συμμετρία Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Τα συμμετρικά σχήματα, τόσο ως προς ευθεία, όσο και ως προς σημείο είναι Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι... προς αυτό και διέρχεται από το.... Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος... από τα άκρα του. 3. Δύο σημεία Α και Α είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι Μονάδες 1,5 (3x0,5) 53

53 Β. Να συμπληρώστε τον πίνακα όπως το παράδειγμα: Σχήμα Ευθύγραμμο Τμήμα Γωνία Ισοσκελές τρίγωνο Ισόπλευρο τρίγωνο Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο Κύκλος Άξονες συμμετρίας Ευθείες που είναι άξονες συμμετρίας 2 1. Η ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος. 2. Η μεσοκάθετος. Κέντρα συμμετρίας Σημεία που είναι κέντρα συμμετρίας 1 Το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος. Μονάδες 3,5 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων να τοποθετήσετε τα σημεία Α(1,3), Β(2,0), Γ(0,4), M(4,4) και στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα: Σημείο Α(1,3) Β(2,0) Γ(0,4) M(4,4) Συμμετρικό ως προς το σημείο Μ Συμμετρικό ως προς τη διχοτόμο ε της γωνίας xoy Μονάδες 2,5 54

54 Β. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 3 cm και χορδή του ΑΒ = 4cm. Να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ η οποία θα τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ (Γ στο μεγάλο τόξο ΑΒ). α) Να δικαιολογήσετε γιατί η μεσοκάθετος ΓΔ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου Ο. β) Να δικαιολογήσετε γιατί το σημείο Κ που είναι συμμετρικό του Α ως προς το Ο, είναι σημείο του κύκλου. γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΓΒ; δ) Αν το τόξο AΔ = 40 ο να υπολογίσετε τη γωνία BOK. Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Δυο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες και εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες που είναι Μονάδες 1 Οι γωνίες β και λ λέγονται.... Οι γωνίες γ και λ λέγονται.... Τα ζευγάρια των εντός εναλλάξ γωνιών είναι:...,... και...,.... Αν ε // ζ, τότε α =... Αν ε // ζ, τότε δ + κ =... Αν γ = κ, τότε οι ευθείες ε και ζ είναι.... Μονάδες 1 55

55 Β. Στο σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: γωνία ν κ λ μ α β γ Μέτρο γωνίας 120 ο δ Μονάδες 2 Γ. Στο παρακάτω σχήμα να εξηγήσετε γιατί η ΑΒ είναι παράλληλη της ΓΔ: Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Στο σχήμα είναι ζ//η. Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες. Μονάδες 1,5 56

56 Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, B, Γ και Δ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Μονάδες 1,5 Γ. Στο σχήμα η//ζ και η γωνία ΒΑΓ είναι ορθή. Να υπολογίσετε τις γωνίες κ, λ, μ, ν. Μονάδες 2 57

57 58

58 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 ο Κεφάλαιο 3 ο Μέρος B Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου είναι... ενώ τα δευτερεύοντα είναι Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με... μοίρες. 3. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες του γωνίες είναι Το τρίγωνο που έχει... πλευρές... λέγεται ισοσκελές. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του είναι.... Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι... και Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές του είναι.... Κάθε του γωνία είναι... μοίρες. Κάθε διάμεσός του είναι... και..... Μονάδες 2 (5x0,4) 59

59 Β. Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος ν αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών: ΑΗ διάμεσος ΑΔ διχοτόμος ΑΜ ύψος Μονάδες 1 Γ. Να επιλέξετε Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη : 1. Η γωνία ω λέγεται εξωτερική της γωνίας φ 2. οι γωνίες φ και 90 ο είναι συμπληρωματικές 3. ω = 90 ο + ψ 4. ω = φ + ψ Σ Λ Μονάδες 2 (4x0,5) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα όπου με Α,B, Γ έχουμε δείξει τις γωνίες τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ, όταν αυτό υπάρχει. Α ΥΠΑΡΧΕΙ B Γ ΤΕΤΟΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ; 80 ο 40 ο 110 ο 75 ο 60 ο 30 ο 60 ο 60 ο 92 ο 40 ο 45 ο 45 ο 100 ο 40 ο 52 ο 52 ο Μονάδες 1,4 Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες του Είδος τριγώνου ως προς τις πλευρές του 60

60 Β. Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας x x = x = x = x =... x =... 61

61 6. x =... Μονάδες 3,6 (6x0,6) ΘΕΜΑ 3 ο Α. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τα 2/5 της ορθής γωνίας και η γωνία B είναι τριπλάσια της γωνίας Γ. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο και ισοσκελές. Μονάδες 2,5 Β. Στο σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες α,β, γ και δ. Μονάδες 2,5 Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Ορθογώνιο ΣΤΗΛΗ Β ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Τραπέζιο με τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες. Τραπέζιο Παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες του ορθές. Ισοσκελές τραπέζιο Ρόμβος Τετράγωνο Οι διαγώνιες του είναι ίσες και κάθετες. Μόνο οι δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. Παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές του ίσες. Μονάδες 2,5 (5x0,5) 62

62 Β. Να γράψετε τους ομόκεντρους κύκλους (Ο,2cm) και (Ο,4cm). Να φέρετε ΑΒ τη διάμετρο του μικρού κύκλου και ΓΔ τη διάμετρο του μεγάλου κύκλου χωρίς να βρίσκονται όμως στην ίδια ευθεία. Να χαράξετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ. Τι σχήμα είναι το τετράπλευρο ΑΓΒΔ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 2,5 63

63 64

64 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διάρκεια: 2 ώρες ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό 0 προκύπτει... κλάσμα. 2. Τα ομώνυμα κλάσματα έχουν... παρονομαστές. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγονται Το κλάσμα του οποίου οι όροι είναι επίσης κλάσματα λέγεται... κλάσμα. 4. Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός κλάσματος λέγεται... αριθμός. 5. Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν την ίδια... αλλά διαφορετικό Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς προσθέτουμε στον μειωτέο τον... του... Δηλαδή: α β = α Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον... του... Δηλαδή: α : β = α. 8. Μια δύναμη με βάση αριθμό 0 και εκθέτη αρνητικό αριθμό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή... και παρονομαστή τη δύναμη του ίδιου αριθμού με τον... εκθέτη. Δηλαδή: α ν =.... Μονάδες 2,4 (8x0,3) 65

65 Β. Ν απαντήσετε στις επόμενες ερωτήσεις βάζοντας ΝΑΙ ή ΟΧΙ στο αντίστοιχο πλαίσιο: 1. Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο αριθμητή; 2. α + λ = α ; λ 3. α β α + + = β ; γ δ γ + δ 4. Ένας θετικός αριθμός είναι τοποθετημένος στον άξονα των ρητών δεξιότερα από κάθε αρνητικό; 5. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα αυτά πρέπει να είναι ομώνυμα; 6. Η εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη; 7. Δύο ρητοί με θετικό πηλίκο μπορεί να είναι αντίθετοι; 8. Η μόνη περίπτωση μια δύναμη να είναι θετικός αριθμός, είναι η βάση της να είναι θετικός αριθμός; 9. Για να υψώσουμε μια δύναμη σ έναν εκθέτη υψώνουμε τη βάση της στο γινόμενο των εκθετών; 10. Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα τo πρόσημο + ; 11. Αν α, β αντίθετοι αριθμοί, τότε α 2 = β 2 ; 12. Ο αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το 3, το 5 και το 9; 13. Αν x = 4, τότε x x + x + 2 = 6; Μονάδες 2,6 (13x0,2) 66

66 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Οι μοναδικοί ακέραιοι αριθμοί α, β με α β = 1 είναι οι: Α. α = 1 και β = 1 Β. α = 0,5 και β = 2 Γ. α=+ 1 και β=+ 1 ή α = 1 και β = 1 Δ. δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι αριθμοί 2. Οι αριθμοί 120 και 350 όταν αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων γράφονται: 120 = και 350 = Τότε ο Μ.Κ.Δ.(120,350) είναι: Α. 2 5 Β Γ Δ Το Ε.Κ.Π.(120,350) είναι: Α. 2 5 Β Γ Δ Σε ποια από τις παρακάτω παραστάσεις μπορούμε ν απαλείψουμε τις παρενθέσεις χωρίς να βλάψουμε τη τιμή της: Α. (12 5) 2 Β. 3 (4 5 6 : 7) Γ. 2 ( ) Δ. 7 + (2 5)+(3 : 4) 4. Έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς 5cm. Αν διπλασιάσουμε τη πλευρά του, κατά πόσο τοις εκατό(%) θα αυξηθεί η περίμετρός του; Α. 100% Β. 200% Γ. 300% Δ. 400% 5. Αν α 3α + 5β = 2, η τιμή της παράστασης ισούται με : β β Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ Το τετράπλευρο του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο, τότε η τιμή του x είναι ίση με : Α. x = 2 B. x = 3 Γ. x = 4 Δ. x = 5 67

67 7. Το αποτέλεσμα των πράξεων ποιας παράστασης ισούται με 1; ( 1) ( 2) ( 3) Α ( 1) ( 3) Β. ( 3) Γ Δ :15 8. Τα λ ν του 36 είναι 12, τότε : Α. λ = 2 και ν = 12 Β. λ = 2 και ν = 3 Γ. λ = 1 και ν = 3 Δ. λ = 2 και ν = 4 9. Αν ( 2) ( 3) (+4) κ ( 2)> 0, τότε: Α. κ > 0 Β. κ < 0 Γ. κ = 0 Δ. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το κ. 10. Η σωστή διαδικασία για τον υπολογισμό της αριθμητικής παράστασης Α = είναι: Α = 8 9 = 72 2 Β = = 26 Γ = = Δ. (10 2 3) = (10 6) = 4 = 16 B. Μονάδες 2,4 (10x0,24) 1. Σε μια Ευκλείδεια διαίρεση ο διαιρέτης είναι 5 και το πηλίκο είναι ίσο με το διαιρέτη. Να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο διαιρετέος συμπληρώνοντας τον πίνακα: υπόλοιπο πηλίκο διαιρέτης Διαιρετέος Μονάδες 1,3 68

68 2. Με τη βοήθεια της μεταβλητής x να συμπληρώσετε τον πίνακα: πρόβλημα εξίσωση λύση Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 15 Από το πενταπλάσιο ενός αριθμού αφαιρούμε 2 και βρίσκουμε διαφο- 3 ρά 7 3 Διαιρούμε το 4 με έναν αριθμό και βρίσκουμε πηλίκο 2 5 Μονάδες 1,3 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: x= + 4 και y= (3 ) και να γράψετε τον αριθμό x στην ακέραια μορφή του. Μονάδες 2 Β. Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρήκατε στο Α ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης y 2 : x 2. Μονάδες 1 Γ. Από τους 20 μαθητές μιας τάξης το x% πήρε σ ένα μάθημα βαθμολογία κάτω από τη βάση, ενώ τα y x της τάξης πήρε άριστα. (Οι αριθμοί x και y έχουν προκύψει από το Α. ερώτημα). Να βρείτε: i. Πόσοι μαθητές πήραν βαθμό κάτω από τη βάση. ii. Το ποσοστό τοις εκατό (%) που πήρε άριστα. Μονάδες 2 69

69 ΘΕΜΑ 4 ο Στο σχήμα ΑΒ//ΓΕ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ. Η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ ισούται σε μοίρες με την αριθμητική τιμή της παράστασης: A = (2 2 7) [(2 2 ) : 2 6] 5 μοίρες. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω,φ και x. Μονάδες 5 70

70 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διάρκεια: 2 ώρες ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να βρείτε το x σε κάθε περίπτωση: x 3 7 =, x = ( 1)( 2)( 3) x + ( 1)( 2)( 3)( + 5) = 0, x = (6 x) : 9 = 0, x = (x 3): 3 = 1, x = x 5 = 5 3, x = x 3 = 1 7, x = x 10 = 0,0001, x = x =, x = x =, x = x 1 = 9, x... = ή x =... Μονάδες 2,6 (10x0,26) 71

71 Β. Επιλέξτε σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις Σ αν είναι σωστή ή Λ αν είναι λάθος: 1. Το άθροισμα μιας ευθείας και μιας οξείας γωνίας είναι μια αμβλεία γωνία. 2. Το διπλάσιο μιας ευθείας γωνίας είναι μια πλήρης γωνία. 3. Υπάρχει τρίγωνο με μια οξεία, μια ορθή και μια αμβλεία γωνία. 4. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να είναι και ορθογώνιο. 5. Στο σχήμα το συμμετρικό του ΑΒ ως προς την ευθεία ε είναι το ίδιο το τμήμα ΑΒ. Σ Λ 6. Υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία της βάσης του αμβλεία. 7. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180 ο. 8. Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε διάμεσός του είναι ύψος και διχοτόμος. Μονάδες 2,4 (8x0,3) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Με τη βοήθεια του σχήματος να συμπληρώσετε τα κενά όταν δίνεται ότι η γωνία ΖΟΕ =40 ο : 1. Η γωνία AOB ονομάζεται... γωνία. 2. Το τόξο ΓΔ είναι το αντίστοιχο τόξο της γωνίας Το τόξο ΖΕ =... μοίρες. 4. Το τόξο ΔΗ =... μοίρες. 5. Τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι και τα δύο... μοιρών, όμως δεν είναι... γιατί δεν είναι τόξα... κύκλου ή... κύκλων. Μονάδες 1,5 (5x0,3) 72

72 Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τοποθετώντας ένα + στην κατάλληλη θέση: ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΡΑΛ/ΓΡΑΜΜΟ + ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΡΟΜΒΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΙΣΕΣ ΚΑΘΕΤΕΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Μονάδες 1,5 (5x0,3) Γ. Σχήμα ΑΒ//ΓΕ. Να σημειώσετε: α. Τα ευθύγραμμα τμήματα. β. Τα ζεύγη των αντικείμενων ημιευθειών. γ. Τα ζεύγη των γωνιών που είναι κατακορυφήν, παραπληρωματικές και εντός εναλλάξ. δ. Να υπολογίσετε τη γωνία x. Μονάδες 2 (4x0,5) ΘΕΜΑ 3 ο Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο με Δ = Γ = 45 ο. Η μεγάλη του βάση ΓΔ ισούται σε cm όσο η λύση της εξίσωσης 30:(x-2)=5, ενώ το ύψος του ΑΕ είναι σε cm όσο η λύση της εξίσωσης: 2 2 y = Ε.Κ.Π. (2, 3, 10) + Μ.Κ.Δ. (2, 6, 10). 73

73 1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. 2. Να υπολογίσετε τη μικρή βάση του ΑΒ. Μονάδες 5 (2χ2,5) ΘΕΜΑ 4 ο Στο σχήμα η περίμετρος του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 16 cm ενώ ΑΒ = x + 2 και ΑΔ = x σε cm. Το τόξο ΑΒ = 140 ο. 1. Να υπολογίσετε τις πλευρές του ορθογωνίου. Μονάδες 2,8 2. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, καθώς και τα μέτρα των τόξων ΒΓ και ΓΔ. Μονάδες 2,2 74

74 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ

75 76

76 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο Οι Φυσικοί Αριθμοί ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί, ο Διαιρετέος και ο διαιρέτης βρίσκονται δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί, το πηλίκο και το υπόλοιπο, ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = δ π + υ, με υ < δ και δ 0. Αν υ = 0 προκύπτει η ισότητα Δ = δ π που λέγεται τέλεια διαίρεση. 2. α : 1 = α 0 : α = 0 α : 0 δεν ορίζεται Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν μοναδικοί του διαιρέτες είναι ο εαυτός του και η μονάδα. Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Ο μοναδικός άρτιος και πρώτος είναι το 2. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται μεταξύ τους πρώτοι όταν Μ.Κ.Δ. (α, β) = 1. Αν ο αριθμός α διαιρεί τον β τότε ο β είναι πολλαπλάσιο του α και ο Μ.Κ.Δ. (α, β) = α. 77

77 Β. πράξη πρόσθεση πολλαπλασιασμός όροι ή προσθετέοι παράγοντες ιδιότητα πρόσθεση πολλαπλασιασμός αντιμεταθετική α + β = β + α α β=β α προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α (β γ) = (α β) γ α + 0 = 0 α 1 = α και α 0 = 0 επιμεριστική α (β + γ)=α β + α γ α (β γ) = α β α γ ΘΕΜΑ 2 ο Α. 2 5 (4 + 4) = 2, πράγματι: = 10 8 = 2 2 (5 4) + 4 = 6, πράγματι: = = 6 ( ) 0 = 0, πράγματι: (4 + 8) 0 = 12 0 = 0 (5 + 7) : 4 3 = 0, πράγματι: 12 : 4 3 = 3 3 = 0 (9 + 9) : = 3, πράγματι: 18 : = = 3 Β. Δ δ π υ Δ δ υ = 5 13 = π 2. Δ = = =

78 3. Δ = δ π + υ, υ < δ 100 = δ 12 + υ, υ < δ Δ δ υ = 4 8 = π ΘΕΜΑ 3 ο Α. 1. Γ 2. Γ, γιατί = = Β, γιατί: Α) = 9, Β) 5 4 = 20, Γ) = 4, Δ) Δ 5. Β, γιατί: x 3 x ν = 0 ή x 3 = x ν, άρα ν = Γ, γιατί περιέχονται οι αριθμοί: 11, 13, 17, 19, 23, Δ, πρέπει υ <5, υ φυσικός, οπότε υ = 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή Δ, γιατί υ = 11, δ = 10 (ή 8) και υ > δ. Β. Στήλη Α αριθμός Παρατήρηση: Η συμπλήρωση των κενών με τα ψηφία που λείπουν είναι ενδεικτική. Υπάρχουν και άλλοι συνδυασμοί. ΘΕΜΑ 4 ο Α. x = 13 2 = 26 y = = 98 ω = (8 + 10) : (15 15) 5 = 18 : = 18 : = = 2 x + y + ω = = 126 =

79 Β. 6 = 2 3, 8 = 2 3 άρα Ε.Κ.Π. (6, 8) = = 3 8 = 24, α = = 3 2 5, 60 = , 75 = 3 5 2, άρα Μ.Κ.Δ. (45, 60, 75) = 3 5 = 15, β = 15 Α = ( ) 3 = 39 3 = Β = = = = = Άρα Α = Β. 80

80 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ο Τα κλάσματα ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Τα κλάσματα α και β είναι ομώνυμα όταν γ = δ και ετερώνυμα όταν γ δ. γ δ Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή, ενώ από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές μικρότερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο παρονομαστή. ii) Για παράδειγμα: > < iii) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. Τα κλάσματα α και β λέγονται αντίστροφα και το γινόμενο τους ισούται με 1. β α Β. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ γιατί: α+ λ α λ α 1 1 α = + = + = + λ λ λ λ λ vi. Σ 81

81 ΘΕΜΑ 2 ο Α. α β α+β ΕΚΠ(6,8) = α+ β = + = + = + = : 5 4 β = = = = : 5 5 ΕΚΠ(16,12) = α = = = = Β. 1, γιατί 2 2 = 1 6, γιατί 3, γιατί : 4 5 = = : : 7 3 = = : , γιατί 4 3 x = x 1= x 3 4 6, 11 γιατί 5 < 6 < Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με μεγαλύτερος όρους: για παράδειγμα: 1 1 = 4 = 4 και 2 2 = 4 = 8, άρα ένα τέτοιο κλάσμα είναι το:

82 ΘΕΜΑ 3 ο 1. Γ: 2. Γ: 3. Β: 4. Δ ΕΚΠ(2,4) = = + = + = = 3= ΕΚΠ(4,3) = = 4 3 = = 12 = = 1 1 ΕΚΠ(2,6) = Α, αφού x + 5 < x Γ, αφού 2 (x + 3) = 2x Δ: : = = + : : 4 4 = + = = + : = + : = = + = + = ΘΕΜΑ 4 ο Α. Αφού τα 2/3 των μαθητών της τάξης είναι 18 μαθητές το 1/3 θα είναι 18 : 2 = 9 μαθητές και τα 3/3 που είναι ολόκληρη η τάξη θα είναι 3 9 = 27 μαθητές. 83

83 Β A = [ + (1 ) ]: = = [ + ( ) ]: = ( + ): = Ε.Κ.Π.(5,4) = = ( + ): ( ): = + = = ( + ): = : 5 3 = = = = : Β = ( + 2 ): = ( + ): = = : = = Άρα Α = Β. 84

84 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο Οι Δεκαδικοί αριθμοί ΘΕΜΑ 1 ο Α : 100 = 1, , = 57, ,001 = 0, : 0,01 = , = : = 0, ,0001 = 7, : 10 = 0, : = 0, : 10 3 = 11,092 Β. αριθμός στρογγυλοποίηση προσέγγιση 17,024 εκατοστό 17, δεκάδα ,9156 δέκατο 0,9 304,9999 χιλιοστό εκατοντάδα ,302 μονάδα χιλιάδα

85 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Γνωρίζουμε ότι η περίμετρος Π του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο Π = 2 (α + β) ή Π = 2α + 2β. Για το 1 ο ορθογώνιο: Π = 2 (3,2+8) = 2 11,2 = 22,4dm Για το 2 ο ορθογώνιο: α = 20cm Επειδή Π = 2(α + β), έχουμε: 160 = 2(20 + β) 160 : 2 = 20 + β 80 = 20 + β β = = 60cm Για το 3 ο ορθογώνιο: Π = 180dm = 180:10 = 18 m Αφού Π = 2(α + β), α + β = Π : 2, α + β = 18 : 2 = 9, τότε α + β = 9 δηλαδή α + 5 = 9, άρα α = 4 m. Για το 4 ο ορθογώνιο: α = 400mm = 400 : 1000 = 0,4m β = 80cm = 80 : 100 = 0,8m Π = 2 (0,4 + 0,8) = 2 1,2 = 2,4m μήκος πλάτος περίμετρος 1 ο ορθογώνιο 3,2dm 8dm 22,4dm 2 ο ορθογώνιο 20cm 60cm 160cm 3 ο ορθογώνιο 4m 5m 180dm 4 ο ορθογώνιο 400mm 80cm 2,4m B. α. 0,052m < 0,7003m < 0,703m < 2m < 2,023m < 5,23m β. Επιλέγουμε μια μονάδα μέτρησης π.χ. m και μετατρέπουμε όλες τις μονάδες σε αυτήν: 0,023km = 0, = 23m 12,3m = 12,3m 86

86 134dm = 134 : 10 = 13,4m 1004cm = 1004 : 100 = 10,04m 11011mm = : 1000 = 11,011m Τώρα μπορούμε να τοποθετήσουμε τα μήκη αυτά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: 10,04m < 11,011m < 12,3m < 13,4m < 23m ή 1004cm < 11011mm < 12,3m < 134dm < 0,023km. Γ. α. ΣΤΗΛΗ (Α) ΣΤΗΛΗ (Β) Γιατί: , : = = : 100 5, = = , : 6 6, = = , = 523 : = = 0,0523 β. κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Δεκαδικό κλάσμα : 5 = 0,6 21 : 25 = 0,84 3 : 800 = 0,

87 ΘΕΜΑ 3 ο x = , = , = = 35 cm y = 0, = 0,4 100 = 40 cm Π = (0,1 + 0,01 + 0,001) 1000 = 0, = 111 cm ω = Π (x + y) = 111 ( ) = = 36 cm. ΘΕΜΑ 4 ο Α = 9,6 2 (2 3 : 0,8 + 0,5 2 : 0,01) = 9,6 2 (8 : 0,8 + 0,25 : 0,01) = 9,6 2 ( ) = = 9, = 92,16 35 = 57,16. Β = (2 3 0,8 0,5) 2+9,6:0,01 (2 3 :2 4 ) 2 = (8 0,8 0,5) 2+9,6:0,01 (8:16) 2 = = (8 0,4) 2 + 9,6 : 0,01 0,5 2 = 7, ,6 : 0,01 0,25 = = 15, ,25 = 975,2 0,25 = 974,95. 88

88 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ο 1. Εξισώσεις και προβλήματα 2. Τα ποσοστά ΘΕΜΑ 1 ο Α. Από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου έχουμε: Α Β γ στ β α δ ε Β. 1. Ένα κλάσμα είναι ίσο με το 0 όταν ο αριθμητής του είναι 0, άρα : x 4 = 0, x = 4. Επιλέγουμε την απάντηση (β). 2. Ένα κλάσμα ισούται με 1 όταν οι όροι του είναι ίσοι, άρα έχουμε την εξίσωση: x + 12 = 20, x = = 8. Επιλέγουμε την απάντηση (η). 3. Με την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε : 2x 6 = 8 δηλ. 2x = ή 2x = 14 ή x = 14 : 2 = 7. Επιλέγουμε την απάντηση (ε). 4. Με δοκιμή βρίσκουμε ότι ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση αυτή είναι το x = 3. Πράγματι για x = 3 έχουμε: = ή 12 6 = ή 6 = 6 που είναι μια αληθής ισότητα. Επιλέγουμε την απάντηση (α). 5. Με δοκιμή προκύπτει ότι η λύση είναι ο αριθμός 2 αφού : = 1, δηλ. + = 1, δηλ. = 1, που ισχύει. Επιλέγουμε την απάντηση (ζ)

89 6. Κάνοντας χιαστί πολλαπλασιασμό έχουμε: 3 = 1 ή 1 x= 3 3 ή x = 9. Επιλέγουμε x 3 την απάντηση (στ). 7. Η εξίσωση γράφεται: 0x = 0 που επαληθεύεται για όλες τις τιμές και λέγεται αόριστη ή ταυτότητα. Επιλέγουμε την απάντηση (δ). 8. Η εξίσωση γράφεται 0x = 2, που δεν έχει λύση και χαρακτηρίζεται ως αδύνατη. (γ). Συμπληρώνουμε επομένως τον πίνακα: A B β η ε α ζ στ δ γ ΘΕΜΑ 2 ο Α. 1. Η περίμετρος του ορθογωνίου ισούται με το άθροισμα των πλευρών του. Επομένως επιλέγουμε την απάντηση Γ. 2. Στο 1 ο μέλος εφαρμόζουμε επιμεριστική ιδιότητα, οπότε προκύπτει η εξίσωση: 6 x = x = 60 : 6 = 10 cm. Τότε η μικρή διάσταση είναι 10 cm και η μεγάλη 20 cm. 4. Ε = = 200 cm 2. B. α = = 20 β = (4 + 2) 5 = 6 5 = 30 γ = (8 4) 3 : = 4 3 : = 64 : = = 50 Είναι: α + β + γ = = 100 α 2 + β 2 + γ 2 = = 3800 Επομένως: 100 x = 3800 ή x = 3800 : 100 = 38. ΘΕΜΑ 3 ο 1. Δ γιατί: 314 = 314 : 10 = 31,4 = 31,4 % :

90 2. Β γιατί: για να βρούμε το 200% του 200 κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = = 3. Δ γιατί: 4 4 = 20 = 80 = 80 % Β 5. Γ γιατί το 1m = 100cm και τα 3% των 100cm είναι 6. Δ γατί η αύξηση είναι 30 οπότε σχηματίζουμε το κλάσμα: = = = 60 % ,75 7. Β γιατί: = 14 : 32 = 0,4375 = = 43,75 % = cm ΘΕΜΑ 4 ο Στις 10 Φεβρουαρίου η αύξηση σε ήταν: = = Η τιμή διαμορφώθηκε σε = 550. Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8% επί της αξίας των 550 αυτή τη φορά: = = 44 και επομένως η τελική τιμή είναι = 594, δηλ. αύξηση = Παίρνουμε επομένως το κλάσμα: 94 = 94 : 5 = 18,8 = 18,8 % αύξηση και όχι 18% :

91 92

92 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ο Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά ΘΕΜΑ 1 ο Α. Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο των αναλόγων ποσών x και y λέγεται συντελεστής αναλογίας και είναι πάντα σταθερό. Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με την ισότητα y = α x Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σημεία που βρίσκονται πάνω σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο Ο. Β. 1. ΝΑΙ, γιατί το πηλίκο των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερό: 60 = 120 = 180 = ΟΧΙ, γιατί: ΝΑΙ, αν με x ονομάσουμε την πλευρά του τετραγώνου, η περίμετρός του θα ισούται με 4x και ο λόγος τους θα είναι: περίμετρος = 4χ = 4 σταθερός αριθμός. πλευρά χ 93

93 4. ΟΧΙ, αν x η πλευρά του τετραγώνου, αυτή μπορεί για παράδειγμα να πάρει τις τιμές: 1, 2, 3, 4,..., τότε το εμβαδόν που ισούται με x 2, θα παίρνει αντίστοιχα τις τιμές: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16,... Το πηλίκο τότε του εμβαδού προς την αντίστοιχη πλευρά δεν είναι σταθερό: πλευρά εμβαδόν εμβαδόν πλευρά ΝΑΙ, η ισότητα y = x είναι ισότητα αναλόγων ποσών. 6. ΝΑΙ, για τον ίδιο λόγο. 7. ΟΧΙ, η ισότητα δεν είναι της μορφής y = αx που έχουν δύο ανάλογα ποσά x και y. 8. ΟΧΙ, η γραφική παράσταση δύο αναλόγων ποσών x και y είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 9. ΟΧΙ, δεν είναι ευθεία. 10. ΝΑΙ, είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ 2 ο Α. Δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό. Το γινόμενο των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά α συνδέονται με την ισότητα y = x Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή και που δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx, Οy. 94

94 Β. y x = 6, άρα 6 y = x Γ. 1. ΝΑΙ, αν 10 εργάτες για παράδειγμα θα χρειάζονταν 6 ώρες για την ολοκλήρωση του έργου, οι 20 εργάτες μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα χρειαστούν 3 ώρες. 2. ΝΑΙ, εμβαδό Ε = x y Ε = x y = 12 = σταθερό. 95

95 Συμπληρώνουμε ενδεικτικά τον πίνακα: x y E = x y ΟΧΙ, η καμπύλη πρέπει να είναι υπερβολή. 4. ΝΑΙ, η καμπύλη είναι υπερβολή. 5. ΝΑΙ, το γινόμενο των ποσών x και y είναι σταθερό και ίσο με ΟΧΙ, η ισότητα μεταξύ του x, y δεν έχει τη μορφή α y =,α 0. x 7. ΝΑΙ, η ισότητα των ποσών x, y έχει τη μορφή α y =,α 0που χαρακτηρίζει τα αντι- x στρόφως ανάλογα ποσά. ΘΕΜΑ 3 ο α) Αν x η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε η περίμετρός του y είναι y = 3x. x = πλευρά 2 3 3,5 4 y = περίμετρος ,5 12 β) επειδή: ,5 12 = 3, = 3, = 3, = 3, 2 3 3,5 4 συμπεραίνουμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα και ισχύει για αυτά η ισότητα: y 3 x = ή y = 3x. 96

96 γ) Θα προκύψει μία ευθεία που θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων: ΘΕΜΑ 4 ο Τα ποσά ταχύτητα και χρόνος προφανώς είναι αντιστρόφως ανάλογα. α) Έστω ότι ο οδηγός πρέπει ν αυξήσει κατά x χιλιόμετρα τη ταχύτητά του αυτοκινήτου του. Τότε θα πρέπει ν αναπτύξει ταχύτητα 120+x χιλιομέτρων την ώρα για να καλύψει συντομότερα την ίδια απόσταση. Συμπληρώνουμε τον πίνακα: Ταχύτητα (χιλ./ώρα) x Χρόνος (λεπτά) Aφού τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα έχουν τα γινόμενα των αντιστοίχων τιμών τους ίσα: 40 (120 + x) = x = x = x = 1200 x = 1200 : 40 = 30 97

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/0/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-14 3 η Φάση Η συλλογή αυτή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Α={1,11,111,1111,..., 11...1 }

Α={1,11,111,1111,..., 11...1 } Θαλής Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Δύο μαθητές Α, Β χρησιμοποιούν ένα πίνακα 3x3, όπως στο σχήμα, για να παίξουν "τρίλιζα". Καθένας γράφει σ' ένα τετραγωνάκι της επιλογής του ένα σταυρό ή έναν κύκλο. (Και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα