ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Transcript

1 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων σε αριθμητικές παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις ; Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων : 5 A5 7 :4 B :. Να εκτελέσετε τις πράξεις της παράστασης A α) Να συμπληρώσετε τις εξής ισότητες:... και... β) Να γράψετε τις παραστάσεις με απλούστερη μορφή 9x 4x, 4x 6x x, 9x 5x x. 5. ν x, y, 8,, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : A x xy y B x y x y, 6xy. 6. α) Ποια διαδικασία λέγεται Ευκλείδια διαίρεση; β) Πότε μια διαίρεση λέγεται ατελής και πότε τέλεια; 7. Να βρείτε τους διαιρέτες των αριθμών, 8 και 48. Ύστερα να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες και τέλος να βρείτε το ΜΚΔ, των παραπάνω αριθμών.,, ΚΕΦΛΙΟ 8. α) Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; Δώστε ένα παράδειγμα. β) Οι αριθμοί και,5 είναι αντίστροφοι; Γιατί; 5 9. α) Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; β) ν αντιστρέψουμε το λ κ τι θα βρούμε; γ) ν x, να πείτε τι θα βρούμε και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Να συγκρίνετε τα κλάσματα : i), ii), iii), Να λυθούν οι εξισώσεις : x 0, x Να κάνετε τις πράξεις : α) β) γ) δ) : : Να βρεθούν τα εξαγόμενα των πράξεων : : : 7 : :

2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 4. Ποιες είναι οι κυριότερες μονάδες μήκους; Να μετατρέψετε : ) Τα 5,6 km σε m. ) Τα 5500 m σε km. Γ) Tα mm σε cm. Δ) Τα 5 km σε dm. Ε) Tα 4 cm σε dm. 5. Να μετατρέψετε : ι) 8 m dm 4 mm σε cm ιι) m cm mm σε dm. 6. Ποιες είναι οι κυριότερες μονάδες εμβαδού ; Να μετατρέψετε : ) Τα 7,6 km² σε m². ) Τα 55,6 dm² σε m². Γ) Τα,58 m² σε mm². Γ) Τα,58 m² σε στρέμματα. 7. Να υπολογίσετε το εμβαδό : i) τετραγώνου με περίμετρο 00 cm. ii) ορθογωνίου με πλάτος 5 dm και μήκος 0 cm. 8. Ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο έχουν ίσα εμβαδά. Η πλευρά του τετραγώνου είναι 4 cm. Η μια πλευρά του ορθογωνίου είναι 6 cm, να βρεθεί η άλλη πλευρά του ορθογωνίου. ΚΕΦΛΙΟ Τρεις εργάτες δούλεψαν σε μια οικοδομή και πληρώθηκαν ανάλογα με τις μέρες που δούλεψε ο καθένας. Ο πρώτος δούλεψε 5 ημέρες, ο δεύτερος ημέρες και ο τρίτος 8 ημέρες. Πήραν συνολικά δρχ. Πόσες δραχμές πήρε ο καθένας; 0. Ένας οινοπαραγωγός έχει 00 lt κρασί. Θέλει να το συσκευάσει σε φιάλες που η καθεμία χωράει 7 lt. Να υπολογίσετε : i) Πόσες φιάλες χρειάζεται, ii) Πόσο κρασί θα του μείνει; 0. Καφεκοπτείο αγοράζει το νωπό καφέ προς 900 δρχ. το κιλό και το πουλάει ψημένο προς 05 δρχ. το κιλό. Να βρείτε πόσο τοις % επί της τιμής του κόστους κερδίζει ο καφεπώλης αν ο καφές κατά το καβούρδισμα χάνει το 0 % του βάρους του.. Ένα αυτοκίνητο πουλήθηκε με έκπτωση 0 %. Ποια η αρχική τιμή του αυτοκινήτου, αν το ποσό που πληρώθηκε είναι δρχ.. Τρεις τεχνίτες πήραν από μια εργασία δρχ. Ο α ως επικεφαλής του συνεργείου πήρε % του ποσού για τη χρήση των μηχανημάτων και τα υπόλοιπα τα μοιράστηκαν. Ο α εργάστηκε 5 ημέρες, ο β ημέρες και ο γ 8 ημέρες. Πόσες δρχ. πήρε ο καθένας; ΚΕΦΛΙΟ 7 4. Να βρείτε τα α, β στην αναλογία 5. Aν x και 5 όταν 5. y, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x y A. x y 6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 0 A ( ) ( ) ( ). x-4 x- x- 7. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A ( ) 5 8. ν α, β και γ. Να βρεθούν οι παραστάσεις, όταν: A α β, αβ αβ αγ βα βγ B αβγ. β γ α x, όταν x.

3 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙΟ - 9. Τι ιδιότητα έχουν τα σημεία της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ; 0. Να βρείτε το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με κανόνα και διαβήτη.. α) Τι λέγεται κύκλος και τι κυκλικός δίσκος; β) Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου (σχήματα).. Να κατασκευάσετε τις εφαπτόμενες ενός κύκλου με διάμετρο = 6 cm στα σημεία και. Να δικαιολογήσετε ότι αυτές είναι παράλληλες.. Να σχεδιάσετε τα ύψη ενός αμβλυγώνιου τριγώνου. 4. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο και να φέρετε τις μεσοκάθέτους των πλευρών του. 5. Σε κύκλο (ο, ρ) φέρνουμε μια ακτίνα Ο και την κάθετη ε στο σημείο της ακτίνας Ο που είναι εφαπτομένη του κύκλου. Να δικαιολογήσετε ότι κάθε άλλο σημείο της ε βρίσκεται έξω από τον κύκλο. 6. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα = 4 cm. Να χρωματίσετε τα σημεία του επι-πέδου που απέχουν από το λιγότερο από cm και από το λιγότερο από 6 mm. 7. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 4 cm.να κατασκευάσετε τη μεσοκάθετο μιας χορδής αυτού και να ονομάσετε Μ και Ν τα σημεία στα οποία τέμνει τον κύκλο. Να συγκρίνετε τις χορδές Μ και Μ και να δικαιολογήσετε το αποτέλεσμα.. 8. Ισοσκελούς τριγώνου η μια από τις παρά τη βάση γωνίες του είναι 45. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου. 9. Να κατασκευάσετε την διχοτόμο μιας γωνίας με κανόνα και διαβήτη. 40. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. ν η μια είναι τετραπλάσια από την άλλη πόσες μοίρες είναι η κάθε γωνία; 4. α) Τι είναι διάμεσος, ύψος και διχοτόμος ενός τριγώνου Γ; β) ποδείξτε ότι το άθροισμα γωνιών ενός τριγώνου είναι Δίνονται δύο γωνίες που είναι παραπληρωματικές και η μία είναι διπλάσια από την άλλη. Να βρείτε πόσο είναι η καθεμιά.. 4. Ενός τριγώνου η γωνία A είναι διπλάσια από τη γωνία και η γωνία Γ τριπλάσια της γωνίας. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. 44. Στο διπλανό σχήμα να βρείτε ένα ζεύγος : i) εντός εναλλάξ γωνιών ii) εντός και εκτός και επί τα αυτά γωνιών iii) εντός και επί τα αυτά γωνιών iv) κατά κορυφήν γωνιών v) παραπληρωματικών γωνιών. ζ ε η θ β α γ δ ε ε ε

4 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ 45. Στο διπλανό σχήμα είναι ε //ε και ε //ε 4. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ με δ=ε=70. α δ ε ε β γ ε ε 4 ε ε Μια γωνία είναι μικρότερη από την συμπληρωματική της κατά 5.Να βρεθούν οι δυο γωνίες. 47. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε, ε,ε είναι παράλληλες. Να υπολογισθεί η γωνία Γ. ΚΕΦΛΙΟ ε ε ε 5 55 Γ 48. Σε ένα τρίγωνο Γ γνωρίζουμε ότι Â 0 και η ˆB είναι διπλάσια από τη ˆ. Να βρείτε τις γωνίες ˆB και ˆ. 49. ν σε ένα τρίγωνο Γ είναι ˆ ˆ B και η Â είναι διπλάσια από τη ˆB, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Τι τρίγωνο είναι το Γ ως προς τις γωνίες του και ως προς τις πλευρές του; 50. Σε ένα τρίγωνο είναι Â 5 προς τις γωνίες του; και ˆB 75. Να βρείτε τη γωνία ˆ. Τι τρίγωνο είναι αυτό ως 5. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο Γ και να φέρετε τις μεσοκάθετες των πλευρών του. Να ονομάσετε Κ το σημείο τομής των μεσοκαθέτων. Να φέρετε έναν κύκλο με κέντρο το Κ και ακτίνα Κ. Τι παρατηρείτε; 5. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο Γ και να φέρετε τις διχοτόμους των γωνιών του. Να ονομάσετε Ι το σημείο τομής των διχοτόμων. Να φέρετε έναν κύκλο με κέντρο το Ι και ακτίνα ίση με την απόσταση του Ι από την πλευρά Γ. Τι παρατηρείτε; 5. ν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο Γ ( = Γ) γνωρίζουμε ότι Â 70, να βρείτε τις γωνίες ˆB και ˆ. ν φέρουμε το ύψος Δ, πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες στις οποίες χωρίζεται η Â από την Δ και γιατί; 54. Στο ισοσκελές τρίγωνο Γ του διπλανού σχήματος είναι Â 6 Ε είναι η διχοτόμος της ˆB. Να βρείτε τις γωνίες ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ,,,. και η Ε Γ 4

5 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝ ΘΕΜΤ. Στο διπλανό σχήμα η Οψ είναι διχοτόμος της γωνίας χ Οω και η Οz η διχοτόμος της χˆ ψ ω. Να ω δικαιολογήσετε ότι οι γωνίες ψˆ ωκαι ωˆ z έχουν z άθροισμα 90. β α πάντηση : Επειδή Οψ διχοτόμος της χ Οω είναι : α β χoψ ψoω α. Επίσης επειδή Οz διχοτόμος της ω Ô χ, χ Ο χ είναι ωoz zoχ β. Είναι ααββ80 ή 80 α β 80 ή αβ ή αβ90. ρα οι γωνίες ψ Ô ω και ω Ô z έχουν άθροισμα 90.. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και να πάρετε μια χορδή του. Να δικαιολογήσετε γιατί το κέντρο του κύκλου ανήκει στην μεσοκαθετο της χορδής. (ε) : μεσοκάθετος πάντηση : Γράφουμε έναν κύκλο με κέντρο Ο και πάνω στον κύκλο σημειώνουμε δυο σημεία,. Φέρνουμε στην συνέχεια την χορδή. φού όλα τα σημεία του κύκλου ισαπέχουν από το κέντρο του θα ισχύει OA OB. Το κέντρο λοιπόν Ο του κύκλου ισαπέχει από τα άκρα, της χορδής, άρα θα ανήκει στην μεσοκαθετο της χορδής..ο. Στο διπλανό σχήμα είναι //ΓΔ.Να υπολογίσετε τη γωνία ω. πάντηση : Είναι ΓΔ που τέμνονται από την Δ. ρα,ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, 60. Στο τρίγωνο ΟΓΔ 80 ή ή 5 80 ή 80 5 ή 65.Επειδή οι γωνίες ω, είναι παραπληρωματικές, αφού ορίζουν ευθεία γωνία, θα ισχύει : 80 ή ή Γ 60 Ο 55 ω Δ 4. Στο διπλανό σχήμα είναι ε //ε. Να υπολογίσετε την γωνία Μ. πάντηση : Φέρνουμε από το Μ ευθεία ε//ε και η γωνία AMB ˆ χωρίζεται σε δυο γωνίες την AM ˆ και την ˆMB. Παρατηρούμε ότι ÂM AM ως εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών ε και ε που τέμνονται από την Μ οπότε AMˆ 0. Επίσης ΓMB ZBM ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ευθειών ε και ε που τέμνονται από την Μ οπότε ΓMB 40. Επίσης AMB AMΓ ΓMB. Οπότε AMB Ζ 40 Μ Δ 0 Γ ε ε ε 5

6 Θέμα ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚ ΘΕΜΤ ΜΕ ΤΗ ΜΟΡΦΗ ΔΙΓΩΝΙΣΜΤΩΝ ΔΙΓΩΝΙΣΜ ) Να αναφέρετε τα κριτήρια διαιρετότητας με το, το 5 και το 9. ) Να δοθεί ο ορισμός του κύκλου. Γ) Να αναφέρετε τα είδη στα οποία διακρίνονται τα τρίγωνα ως προς τις πλευρές τους. Θέμα ) Να δοθεί ο ορισμός της Ευκλείδειας Διαίρεσης. ) Πώς προσθέτουμε δύο κλάσματα; Γ) Να δοθεί ο ορισμός της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος. Θέμα Να βρεθεί η τιμή της παρακάτω παράστασης: Θέμα = + : Δίνονται οι αριθμοί 400 και 600: )Να αναλυθούν οι δύο αυτοί αριθμοί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ) Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ και το Ε.Κ.Π των παραπάνω αριθμών. Θέμα 5 Στο παρακάτω σχήμα είναι ε //ε //ε, ˆφ=60, ˆω=60 κ ˆ, λ ˆ και ρ ˆ του σχήματος. και ˆΛ=0. Να υπολογίσετε τις γωνίες 6

7 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ Θέμα ) Σχολικό βιβλίο σελ 8. ) Σχολικό βιβλίο σελ. 88. Γ) Σχολικό βιβλίο σελ. 8. ΛΥΣΕΙΣ Θέμα ) Σχολικό βιβλίο σελ. 5. ) Σχολικό βιβλίο σελ Γ) Σχολικό βιβλίο σελ. 06. Θέμα = + : : : : Θέμα 4 ) Άρα: Άρα: ) Ε.Κ.Π (400,600)= 4 5 = 00 και Μ.Κ.Δ (400,600) = Θέμα 5 Με βάση το σχήμα έχουμε: ˆρ = 60 ( ως εντός - εκτός κι επί τα αυτά με την ˆω=60 ) ˆκ = 60 ( ως εντός εναλλάξ με την ˆρ = 60 ) ˆλ = 0 (ως παραπληρωματική της ˆφ=60 ). 5. 7

8 Θέμα ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΔΙΓΩΝΙΣΜ ) Πώς συγκρίνουμε κλάσματα όταν είναι ομώνυμα; Πώς όταν είναι ετερώνυμα; ) Ποιες γωνίες ονομάζονται εφεξής και ποιες διαδοχικές; Γ) Να αναφέρετε τα είδη στα οποία διακρίνονται τα τρίγωνα ως προς τις γωνίες τους. Θέμα ) Ποιες είναι οι ιδιότητες του ρόμβου; ) Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; Γ) Τι ονομάζεται ευθεία, ημιευθεία και ευθύγραμμο τμήμα; Θέμα Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών δύο αναλόγων ποσών: ) Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας. ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Θέμα 4 Χ 6 8 Ψ 6 Να βρεθεί η τιμή της παρακάτω παράστασης: 6 4 : 5 : : 44 : 4 Θέμα 5 Παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα = 6 cm. ) Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν cm από το σημείο. ) Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν 4 cm από το σημείο. Γ) Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν ταυτόχρονα cm από το σημείο και 4 cm από το σημείο. 8