SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Voditelj rada: Prof. dr. sc. Božidar Matijević

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Voditelj rada: Prof. dr. sc. Božidar Matijević"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Voditelj rada: Prof. dr. sc. Božidar Matijević Josip Tadić Zagreb, 2013

2

3 Sažetak U teorijskom dijelu rada opisane su metode mjerenja debljine slojeva a detaljno su opisane magnetska metoda i metoda vrtložnih struja, njihova osnovna načela, područje primjene i utjecajni čimbenici. U eksperimentalnom dijelu rada obavljena je procedura kalibracije instrumenata i provedena su usporedbena mjerenja navedenih dviju metoda sa dva različita uređaja, CTG-200C i Elcometer 456/4. Mjerenja magnetskom metodom provedena su na čeličnim pločama, na kojima su naneseni organski premazi u jednom i u dva sloja (150 μm, 250 μm). Mjerenja metodom vrtložnih struja provedena su na aluminijskim profilima, na koje su takoder naneseni jednoslojni organski premazi (100 μm).

4 Sadržaj 1. UVOD DEBLJINA SLOJA Vrste slojeva Metode za mjerenje debljine slojeva Razorni postupci mjerenja debljine sloja Profilometrijsko mjerenje debljine sloja Mjerenje debljine sloja mjernim satovima Mjerenje debljine sloja spektroskopom Mjerenje debljine kalometrom Interferencijsko mjerenje debljine sloja Mjerenje debljine sloja utiskivanjem kalote Mikroskopske metode Nerazorni postupci mjerenja debljine sloja Metoda povratne disperzije β-zraka Metoda rendgenske fluorescencije Kapacitivna metoda Nerazorne optičke metode Magnetska metoda Magnetski pull-off princip Princip elektromagnetske indukcije Metoda vrtložnih struja Osnovni principi metode vrtložnih struja EKSPERIMENTALNI DIO Mjerenje debljine prevlake magnetskom metodom Plan mjerenja Kalibracija instrumenata Rezultati mjerenja Mjerenje debljine prevlake metodom vrtložnih struja Plan mjerenja Kalibracija instrumenata Rezultati mjerenja ZAKLJUČAK LITERATURA... 32

5 Popis slika Slika 1. Magnetski pull-off u obliku olovke [3] Slika 2. Roll-back magnetski uređaj za mjerenje debljine prevlake [3] Slika 3. Princip mjerenja debljine prevlake magnetskom metodom [3] Slika 4. Osnovni princip metode vrtložnih struja [3] Slika 5. Uređaj CTG-200C Slika 6. Uređaj Elcometer 456/ Slika 7. Ploča broj Slika 8. Ploča broj Slika 9. Etalonski listići Slika 10. Profil broj Slika 11. Profil broj

6 Popis tablica Tablica I: Podjela najčešće korištenih podloga [1]...4 Tablica II: Izbor mjerača debljine prevlake [1]...5 Tablica III: Specifikacije urađaja CTG-200C Tablica IV: Korištene debljine etalonskih listića za čelične ploče Tablica V: Rezultati mjerenja uređajem CTG-200C Tablica VI: Rezultati mjerenja uređajem Elcometer 456/ Tablica VII: Korištene debljine etalonskih listića za aluminijske profile profile Tablica VIII: Rezultati mjerenja uređajem CTG-200C Tablica IX: Rezultati mjerenja uređajem Elcometer 456/

7 Popis korištenih oznaka Oznaka Veličina Jedinica C - kapacitet F d - debljina prevlake mm d - promjer zavojnice sonde mm d max - maksimalna mjerljiva debljina mm d min - najmanja kritična debljina mm D - debljina stjenke mm f - frekvencija Hz G - vodljivost S I - jakost struje A n - faktor ispunjenja - R - otpor Ω s - procijenjena standardna devijacija μm U - napon V - aritmetička sredina μm δ 0 - standardna dubina penetracije mm ε 0 - dielektrična konstanta vakuma F/m ε r - relativna dielektričnost prevlake - μ r - relativna permeabilnost - σ - električna provodnost vodiča S/m

8 Izjava Izjavljujem da sam završni rad izradio samostalno, znanjem stečenim na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu uz pomoć prof.dr.sc. Božidara Matijevića kojemu se ovim putem zahvaljujem, te literaturom navedenom u popisu. Ovim putem želio bih se zahvaliti gosp. Ivanu Stojanoviću, dipl.ing.stroj., koji mi je omogućio izradu završnog rada u prostorijama Katedre za zaštitu materijala, na bezuvjetnoj pomoći u svakom trenutku izrade ovog rada. Također zahvalu upućujem svim profesorima, kolegama i prijateljima na višegodišnjoj potpori tijekom studija. U Zagrebu, rujan 2013.

9 1. UVOD Kontrola kvalitete prevlake redovito se temelji na zapažanjima prilikom vizualnog pregleda i na rezultatima mjerenja debljine prevlake. Praktično iskustvo ukazuje na povezanost izgleda i debljine prevlake s jedne strane i njegovog vijeka trajanja, kao najvažnije tehničke karakteristike, s druge strane. Kontrolno ispitivanje provodi se nakon nanošenja prevlake i za vrijeme eksploatacije konstrukcijskog dijela, a zatim se ocjenjuje kvaliteta prevlake u skladu sa standardima, internim normama ili ugovornim obvezama prema naručitelju. Uređaji za mjerenje debljine prevlaka koriste različita fizikalna načela za mjerenje debljine prevlake ovisno o tome na kakvoj je osnovnoj podlozi prevlaka nanešena. U okviru ovog rada opisane su dvije metode mjerenja debljine prevlake, magnetska metoda i metoda vrtložnih struja, na principu kojih funkcionira uređaj CTG-200C. Također, provesti ce se usporedbena mjerenja prevlaka sa dva različita uređaja, CTG-200C i Elcometer 456/4. 1

10 2. DEBLJINA SLOJA Poznavanje debljine sloja je neophodan preduvjet da bi garantirali tražena funkcionalna svojstva tankih slojeva. S mjerenjem debljine sloja se ispituje potrebna homogenost, odnosno tražena najmanja vrijednost na ispitivanom mjestu. U mnogobrojnim slučajevima debljina sloja se prikazuje kao veličina kvalitete sloja, npr. u slučaju prevlačenja radi zaštite od korozije i trošenja. Daljnji razlog za ispitivanje debljine sloja leži u traženju točnih mjera prevučenog dijela, te uklanjanja nepotrebnog povećanja debljine, što bi vodilo k poskupljenju materijala i procesa izrade. Pri mjerenju debljine sloja mora se točno dogovoriti o vrsti i mjestu, te broju mjerenja kao i eventualno gornjoj i donjoj granici tolarancija. Prema DIN dio 1-3 i ISO 3882 [8] definira se stanje površinskog područja površine na kojoj je sloj, odnosno sustav sloja, te opisuje svojstva i posebno pokazuje propisane debljine sloja Vrste slojeva Svrha zaštitnih slojeva (prevlaka i premaza) je da dovoljno dugo štite konstrukcijski materijal, na koji su naneseni, od štetnih utjecaja okoline (trošenja korozijom, abrazijom, erozijom ili kavitacijom, od pojava zamora, pukotina, loma i puzanja, od bubrenja i izluživanja, razaranja biološkim čimbenicima, oštećivanja svjetlošću ili radijacijom, itd). Zaštitna funkcija slojeva ostvaruje se prvenstveno odvajanjem materijala podloge od okoline, pa oni sami moraju biti dovoljno postojani i trajni u uvjetima eksploatacije. Stoga je najvažnije tehničko svojstvo prevlaka i premaza njihov vijek trajanja, a iskustvo pokazuje da je ono usko povezano s njihovom debljinom. Mnogim prevlakama osnovna svrha nije zaštita materijala, već poboljšanje estetskog izgleda (dekorativne prevlake) ili promjena električnih, toplinskih, optičkih i drugih svojstava površine konstrukcije (funkcionalne prevlake). Neke se prevlake i premazi primjenjuju u svrhu popravka pohabanih ili škartnih dijelova povećanjem dimenzija do propisanih vrijednosti (reparaturne prevlake). Treba naglasiti da je i za te prevlake vrlo značajna njihova trajnost, pa prema tome i zaštitna uloga, budući da bi bez nje svi ostali korisni efekti nanošenja prevlaka i premaza bili kratkog vijeka [1]. 2

11 Prevlake, za zaštitu od korozije, mogu se podijeliti na: Metalne prevlake plemenite prevlake (katodne) žrtvovane prevlake (anodne) Plemenite prevlake su prevlake metala čiji je elektrodni potencijal u promatranim uvjetima pozitivniji od elektrodnog potencijala metala koji se zaštićuje. Ovdje ubrajamo npr. prevlake od nikla, srebra, bakra, olova i kroma na čeliku. Prevlake metala čiji je elektrodni potencijal u promatranoj sredini negativniji od elektrodnog potencijala metala koji se zaštićuje, nazivaju se žrtvovane prevlake. To su npr. prevlake Zn, Cd, Al na čeliku. Konverzijske prevlake Konverzijske prevlake nastaju na površini metala uslijed kemijskih ili elektrokemijskih reakcija. Najčešće su to fosfatne i oksidne prevlake. U otopini koja sadrži metalne fosfate i fosfornu kiselinu, metal korodira stvarajući netopljive fosfate, kao i korozijske produkte koji čvrsto prijanjaju uz metal i tako ga štite od korozije. Oksidne prevlake na metalima mogu nastati kontroliranom oksidacijom, uranjanjem u odgovarajuće otopine (npr. lužine), te elektrokemijski anodnom oksidacijom (npr. kod aluminija). Prilikom nastajanja oksidnih prevlaka metal se prevodi iz aktivnog u pasivno stanje. Metali posjeduju povećanu kemijsku otpornost sve dok konverzijske prevlake održavaju metal u pasivnom stanju, tj. dok je manja površina metala u kontaktu s elektrolitom. Nemetalne prevlake Od nemetalnih prevlaka za zaštitu metala od korozije najviše se koriste organske prevlake na bazi polimera, tzv. premazi. Nemetalne prevlake mogu još biti metalni oksidi i keramike [1]. 3

12 2.2. Metode za mjerenje debljine slojeva Mjerenje debljine sloja može biti provedeno na više različitih načina. Pri izboru metode treba voditi računa o tome da svaka metoda daje dovoljno točne rezultate samo u određenom intervalu, koji se može ustanoviti eksperimentalno, a često ga navode i proizvodači mjernih uređaja. Postoje brojne metode za ispitivanje debljine slojeva, a izbor ovisi o: lokaciji (laboratorij ili teren), materijalu na koji se sloj nanosi metal (magnetični ili nemagnetični), drvo, žbuka, cigla i plastika, uvjetima premazivanja (suhi ili vlažni), stanju površine (gruba ili glatka, ravna ili oblikovana, debela ili tanka, itd.) Mjerači debljine najčešće mjere debljinu sloja na metalnoj površini koja se premazivanjem zaštićuje od korozije. Za magnetične podloge, čelične i od lijevanog željeza, mjerači se baziraju na magnetskim svojstvima. Za nemagnetične podloge, kao što su aluminij i mjed, koriste se električni mjerači. Prvi korak pri izboru mjerača je odrediti koja ce se podloga ispitivati, a zatim je klasificirati u magnetične ili nemagnetične. Tablica I. prikazuje primjere najčešće korištenih metalnih podloga i njihovu klasifikaciju [3]. Tablica I: Podjela najčešće korištenih podloga [1] Najčešći tipovi metalnih podloga Feromagnetske metalne podloge Neferomagnetske metalne podloge Čelik Aluminij Lijevano željezo Bakar Blago prekaljeni čelik Cink Feromagnetski korozijski postojani čelik Neferomagnetski korozijski postojani čelik Mjerači debljine sloja tvornički su označeni s oznakom F za feromagnetske metalne podloge i s N ili NF za neferomagnetske metalne podloge. Također postoje i kombinirani mjerači označeni s oznakom F/N ili F/NF koji automatski prepoznaju tip podloge i prilagođavaju joj metodu mjerenja. 4

13 U praksi se često kao pomoć pri izboru mjerača debljine koristi tablica II koja prikazuje mogućnosti mjerenja pomoću različitih mjerača. U svakom slučaju, mora postojati fizička razlika između svojstava podloge i sloja, npr. feromagnetska podloga s neferomagnetskom prevlakom i vodljiva podloga s nevodljivom prevlakom. Tablica II: Izbor mjerača debljine prevlake [1] PODLOGA PREMAZ Aluminij Mjed Bronca Bakar Čelik Magnezij Aluminij F Anodizacija N N Nehrđajući čelik Titan Uran Cink Mjed Bronca Kadmij Keramika F F F F Krom (tvrdi) N? N? F Krom (dekorativan) Bakar F Eloxal N Epoksid N N N N F N N N Galvanizacija F Lakiranje N N N N F N N Molidben disulfid F N Boja N N N N F N N N N N Plastika N N N N F N N N N N Platiniranje F Gumiranje N N N N F N Nehrđajući čelik Kositar F Cink N: koristi mjerače za nemagnetične metalne podloge F: koristi mjerače za magnetične metalne podloge F?: posebni uzorci potrebni za kalibraciju 5

14 Za mjerenje debljine tankih slojeva postoji veliki broj tehnički primjenjivih postupaka, koji su najčešće normirani. Sve postupke mjerenja debljine slojeva moguće je podjeliti na: 1. Razorni postupci: Mehanički postupci: profilometrija, mjerni satovi. Kemijski postupci: analitički postupci (gravimetrija, spektroskopija), elektrokemijski postupci (kalometrija). Optički postupci: interferencija, utiskivanje kalote. 2. Nerazorni postupci: Radiometrijski postupci: metoda rendgenske fluorescencije, metoda povratne disperzije β-zraka. Elektromagnetski postupci: magnetska metoda (MT), metoda vrtložnim strujama (EC). Kapacitivna metoda Optičke metode Razorni postupci mjerenja debljine sloja Kod razornih metoda dolazi do fizičkog uništenja uzorka, te je postupak dugotrajniji i skuplji. Zbog toga se u operativnoj kontroli i mjerenju češće koriste nerazorne metode, koje omogućavaju dobivanje brze informacije s vrlo jednostavnim postupkom mjerenja [3]. 6

15 Profilometrijsko mjerenje debljine sloja Mjerenje debljine sloja profilometrijskim postupkom (ISO 4518 i DIN V ENV 1071) zasnovano je na mjerenju visine stupnja oslojenog i neoslojenog dijela profilometrom [8]. Da bi proizveli stupnjeve, dio podloge mora ostati neoslojen. To se postiže parcijalnim oslojavanjem podloge tijekom postupka nanošenja npr. prekrivanjem određenog mjesta pločom ili grebanjem, spoja sloj-podloga, odnošenjem sloja s površine osnovnog materijala Mjerenje debljine sloja mjernim satovima Kod mjerenja razlike debljina s ticalom (DIN ) prema principu mjernog sata, mjeri se razlika visine površine sloja i na istom mjestu poslije odnošenja sloja, visina osnovnog materijala [8]. Ovaj postupak se primjenjuje za slojeve ispod 20 μm debljine s netočnošću mjerenja od +/- 3.6 μm Mjerenje debljine sloja spektroskopom Materijal sloja na određenoj površini se odnosi i ispitivanje sustava se određuje pomoću spektroskopa. Kod ovog spektroanalitičkog postupka mjeri se slabljenje spektralnog zračenja, analizirajući elemente putem ispitivanja sastava u plamenu rasprskane, koji elementi sadrže. Putem uspoređivanja sa standardnim rješenjem poznate koncentracije, može se odrediti analitički sastav. Uz pomoć poznate gustoće sloja moguće je izračunati debljinu sloja. 7

16 Mjerenje debljine kalometrom Kod ovog postupka određivanja debljine sloja (DIN ) materijal sloja se na određenim mjestima, odgovarajućim elektrolitom pri konstantnoj struji, anodno odnosi. Krajnja toćka odnošenja se odredi s promjenoj potencijala ćelije. Iz trajanja odnošenja moguće je odrediti, prema Faradejevom zakonu, debljinu sloja, pri čemu je trajanje odnošenja linearno vremenu [8] Interferencijsko mjerenje debljine sloja Kod interferencijskog mjerenja debljine sloja (ISO 3868) radi se o optičkoj metodi sa superponiranjem monokromatske svjetlosti na stupnju prevlake. Stupanj prevlake ostvaruje se putem parcijalnog prevlačenja površine tokom nanošenja sloja ili putem kemijskog i elektrokemijskog odnošenja sloja. Pri superponiranju svjetlosti na interferencijskom mikroskopu nastaju trake s razmakom polovine valne duljine svjetlosti. Ovaj postupak se osobito primjenjuje za tanke slojeve, pri čemu je maksimalno moguća izmjeriva debljina sloja 3 μm Mjerenje debljine sloja utiskivanjem kalote Kod ovog postupka kalota se utiskuje kuglom kroz sloj do osnovnog materijala. Postupak ispitivanje provodi se općenito s čeličnom kuglom definiranog promjera, navlaženom s alkoholom rastopljenom dijamantnom suspenzijom. Na jednoslojno prevučenim materijalima nastaje uzorak iz dva koncentrična kruga, i to na gornjoj površini (D) i graničnoj površini (d), između sloja i podloge [8]. Mjerni kriterij je razlika promjera krugova. 8

17 Mikroskopske metode Kod upotrebe mikroskopa za mjerenje debljine slojeva, pripremi se presjek uzorka, a debljina sloja mjeri se pomoću mjerne skale u okularu mikroskopa. Postoje različite metode mjerenja debljine suhog filma pomoću mikroskopa: Kod Brighweelove metode, na filmu se napravi mala brazda ili se otkine mala krhotina. Snop svjetla projecira se na odabranu površinu pod kutom od 45. Lom zrake svjetlosti se ispituje mikroskopom koji ima mikrometar u vidnom području okulara. Aparatura za ovu metodu dostupna je u obliku Schmaltz optičkog analizatora površine. Kod Stopped metode, na uzorku se oštrim nožem napravi rez, a zatim se mikroskopom fokusiraju naizmjence gornji i donji rubovi reza. Debljina filma računa se pomoću vertikalnih podešavanja mikroskopa [5] Nerazorni postupci mjerenja debljine sloja Nerazorni postupci ili metode određivanja debljine sloja temelje se na razlikama fizikalnih svojstava sloja i podloge, a dijele se na: magnetske metode (MT), metodu vrtložnih struja (EC), metodu povratne disperzije β-zraka, metodu rendgenske fluorescencije, mapacitivnu metodu, optičke i druge metode [3]. 9

18 Metoda povratne disperzije β-zraka Metoda povratne disperzije β-zraka služi za mjerenje debljine slojeva na temelju ovisnosti refleksije tih zraka (tj. mlaza elektrona) od nekog materijala o rednom (atomskom) broju njegovih atoma. Elektroni se pri refleksiji odbijaju u različitim smjerovima pa se ta pojava naziva povratnom disperzijom Metoda rendgenske fluorescencije Metoda rendgenske fluorescencije služi za kontrolu gotovo svih kombinacija sloj/podloga, a temelji se na izlaganju uzorka X-zrakama, što izaziva sekundarno zračenje s valnom duljinom ovisnom o rednom broju prisutnih atoma. Kako X-zrake prodiru kroz film i jednim dijelom kroz podlogu, u spektru fluorescentnog zračenja biti će valnih duljina karakterističnih za oba materijala. Što je debljina filma veća, intenzitet njene fluorescencije je veći, a intenzitet fluorescencije podloge manji. Maksimalne mjerljive debljine iznose obično od 8 do 80 μm, ali je donja granica mjerljivosti čak 0.02 μm Kapacitivna metoda Kapacitivna metoda može poslužiti za mjerenje debljine nevodljivih prevlaka s poznatom dielektričnošću na vodljivim (obično metalnim) podlogama. [5] Mjeri se kapacitet kondenzatora C koji čini uzorak s prevlakom i prislonjenom metalnom pločicom površine S. Tada je debljina prevlake prema jednadžbi 2.1: (1) 10

19 gdje je: ε r relativna dielektričnost prevlake, ε 0 = 8,85 x F/m dielektrična konstanta vakuma, C izmjereni kapacitet Nerazorne optičke metode Nerazorne optičke metode koriste se za kontrolu debljine prozirnih slojeva, pri čemu se mjeri: pomak optičkog sustava mikroskopa kada se slika fokusira na površinu sloja (obično označene mekom olovkom), odnosno podloge, razmak između brazda nastalih izlaganjem uzorka monokromatskom svjetlu poznate valne duljine, tj. interferencijom zraka odbijenih od površine sloja sa zrakama odbijenim od podloge, razmak između dviju interferencijskih brazda nastalih iz zrake što pod kutom od 45 pada na uzorak dajući zraku koja se odbija od sloja i zraku koja se odbija od podloge (metoda svjetlosnog presjeka), promjena ponašanja polariziranog svjetla pri refleksiji od osvjetljenog uzorka na kojem se nalazi prozirni sloj (elipsometrija), intenzivnost refleksije svjetla s obojenog uzorka anodiziranog aluminija (fotoelektricki postupak mjerenja dubine nijanse). Značajka optičkih metoda je usko ograničena primjenjivost Magnetska metoda Metoda magnetske indukcije (MT) koristi se za mjerenje debljine neferomagnetske prevlake na feromagnetskim podlogama. Metoda je izravna, tj. vrh sonde dodiruje dio koji se mjeri. Kada je sonda pozicionirana, mjeri se linearna udaljenost između vrha sonde koja dodiruje kontaktnu površinu i osnovnog metala. Instrumenti za mjerenje debljine prevlake magnetskom metodom mjere silu magnetske privlačnosti između permanentnog magneta i 11

20 osnovnog metala, na koji je prevlaka nanesena ili magnetskog otpora koji se javlja pri prolasku kroz prevlaku i osnovni metal. Postoje dva principa mjerenja magnetskom metodom, pull-off princip i princip elektromagnetske indukcije Magnetski pull-off princip Uređaji koji mjere na pull-off principu koriste permanentan magnet, kalibriranu oprugu i pripadajuću mjernu skalu. Sila privlačnosti između magneta i podloge je veća što je prevlaka tanja, odnosno ta sila privlačnosti je slabija što je prevlaka deblja. Debljina prevlake tako se utvrđuje mjerenjem potrebne sile da se uređaj odvoji od podloge. Magnetski pull-off uređaji su u obliku olovke (pencil-type) i osmišljeni su za rad u jednoj ili dvije pozicije, relativno su jeftini, jednostavni, a primjenjuju se tamo gdje je potrebna brza kontrola tijekom proizvodnje (slika 1.). Preciznost takvih uredaja iznosi ±10% [3]. Slika 1. Magnetski pull-off u obliku olovke [3] Roll-back modeli (slika 2.) mogu mjeriti u bilo kojem položaju, precizniji su od uredaja u obliku olovke, a preciznost takvih uređaja iznosi ± 5%. 12

21 Slika 2. Roll-back magnetski uređaj za mjerenje debljine prevlake [3] Princip elektromagnetske indukcije Uređaji koji rade na principu elektromagnetske indukcije koriste izmjenično magnetsko polje. Sonda takvih uređaja građena je od željezne jezgre i dvije zavojnice. Primarna zavojnica priključena je na izvor struje i stvara magnetsko polje. Kada se sonda približava podlozi na koju je nanesena prevlaka, dolazi do promjene gustoće magnetskog polja u tom području. Ta promjena magnetske indukcije mjeri se pomoću sekundarne zavojnice, kako je prikazano na slici 3. Izlazni signal sekundarne zavojnice pretvara se pomoću mikroprocesora, tako da se dobije digitalni prikaz vrijednosti debljine prevlake [3]. 13

22 Slika 3. Princip mjerenja debljine prevlake magnetskom metodom [3] Suvremeniji instrumenti za mjerenje imaju mogućnost pohranjivanja i obrađivanja podataka, izračunavanja statističkih podataka kao što su prosječna vrijednost, standardna devijacija, maksimalna i minimalna vrijednost, broj mjerenja, prikaz rasipanja podataka po normalnoj razdiobi, prikaz raznih histograma, itd. Preciznost takvih uredaja je ±1%. Prednosti magnetske metode u odnosu na neke druge metode mjerenja su relativno velika brzina mjerenja (rezultati mjerenja odmah se vide na digitalnom zaslonu), nerazaranje materijala koji se mjere, relativno jeftina metoda, jednostavna za rad, itd. 14

23 Metoda vrtložnih struja Mjerenje debljine prevlaka metodom vrtložnih struja (EC) temelji se na razlici u električnoj vodljivosti između prevlake i podloge. Metoda je posebno primjenjiva za mjerenja debljine većine oksidiranih prevlaka nastalih anodnim procesom, ali se ne može primjeniti na sve konverzijske prevlake, od kojih su neke pretanke da bi se izmjerile ovom metodom. Iako se teoretski metoda može koristiti za mjerenje debljine prevlaka na magnetskim osnovnim materijalima, njezina primjena za takve osnovne materijale nije preporučljiva. U takvim slučajevima preporučuje se magnetska metoda [5]. U općem slučaju ova metoda ima multifunkcionalnu primjenu: Utvrđivanje vodljivosti materijala (u svrhu klasifikacije materijala, detekcije toplinskih oštećenja ) Utvrđivanje permeabilnosti materijala, Utvrđivanje kemijskog sastava legura, Mjerenje debljina nevodljivih prevlaka na nemagnetičnim, vodljivim materijalima, Mjerenje debljine nemagnetičnih, vodljivih prevlaka na nevodljivim prevlakama, Mjerenje debljine nemagnetičnih metalnih prevlaka na nemagnetičnim metalima, Ispitivanje tankostijenih cijevi (detekcija oštećenja i različitih uključaka) Osnovni principi metode vrtložnih struja Pod utjecajem promjenljivog magnetskog polja u električki vodljivom materijalu induciraju se vrtložne struje (slika 4.). Prolaskom visokofrekventne izmjenične struje kroz vodič (npr. bakrena zavojnica) formira se magnetsko polje oko same zavojnice prema pravilu desne ruke. Ukoliko se u blizini tog vodiča nade vodljivi materijal, magnetska indukcija ce propagirati u isti [3]. 15

24 Slika 4. Osnovni princip metode vrtložnih struja [3] Vrtložne struje nastale u vodljivoj podlozi kreiraju svoju vlastitu impedanciju u zavojnici stvarajući visoko frekventno polje. Veličina promjene impedancije (odnosno napona zavojnice) funkcija je udaljenosti mjerne sonde od površine metala, odnosno debljine prevlake. Nevodljive prevlake predstavljaju odmaknutost izmedu osnovnog metala i ispitne sonde. Ta odmaknutost izaziva gubitak u penetraciji vrtložnih struja u osnovni materijal i uzrokuje promjenu impedancije zavojnice sonde. Dubina prodiranja vrtložnih struja u materijal funkcija je nekoliko parametara, prije svega svojstva materijala (vodljivost i permeabilnost materijala), faktora ispunjenja, frekvencije ispitivanja te kontakta izmedu ispitne zavojnice i uzorka. 16

25 Jednadžba 2. prikazuje o čemu ovisi dubina penetracije: (2) gdje je: δ 0 standardna dubina penetracije u mm, f frekvencija sonde u Hz, μ r relativna permeabilnost (za nemagnetske materijale μ r = 1), σ električna provodnost vodiča, u MS/m (megasimens po metru). Iz jednadžbe 2. vidljiva je obrnuto proporcionalna veza frekvencije i dubine penetracije. Faktor koji je mjerodavan za kvalitetan prijenos inducirane struje u materijal u obliku vrtložnih struja zove se faktor ispunjenja koji bi se za kvalitetna mjerenja trebao kretati u granicama od 0.8 do Faktor ispunjenja izračunava se prema izrazu 3. (3) gdje je: d promjer zavojnice sonde (mm), D debljina stjenke (mm). U slučaju da je faktor ispunjenja manji od 0.8 znaci da odabrani promjer zavojnice nije dovoljno velik te da nema dobrog magnetskog kontakta. Time nema niti vrtložnih struja za daljnje ispitivanje. 17

26 Frekvencije ispitivanja u pravilu se dijele u tri kategorije: niske frekvencije: 1 50 khz srednje frekvencije: khz visoke frekvencije: preko 500 khz Uređaji za mjerenje debljine prevlake metodom vrtložnih struja slični su onima koji rade na principu elektromagnetske indukcije. Tipična preciznost takvih uredaja je ±1%. Dostupni instrumenti koriste analogni, digitalni ili mikroprocesorski dizajn. Mnogi mikroprocesorski instrumenti nude dvostruku mogućnost za elektromagnetsku indukciju na feromagnetskim (F) i ne feromagnetskim (N) materijalima s instrumentom koji koristi princip vrtložnih struja i koji ima dva različita dizajna sondi. 18

27 3. EKSPERIMENTALNI DIO U eksperimentalnom dijelu rada, za mjerenje debljine sloja korišten je uredaj CTG- 200C (slika 5.) serije CTG-200. Uređaj funkcionira na principu magnetske indukcije i metode vrtložnih struja te je njime moguće mjeriti debljine slojeva na feromagnetskim i neferomagnetskim podlogama. Ako mjerimo debljinu na feromagnetskoj podlozi, pri paljenju uređaja ćemo stisnuti jedanput tipku za paljenje a ako mjerimo debljinu na neferomagnetskoj podlozi tada ćemo je pritisnuti dvaput. Na feromagnetskim podlogama (željezo i čelik) se mjere slojevi od nemagnetičnih materijala (boja ili zaštitne prevlake), dok se na neferomagnetskim podlogama (aluminij, kositar, titan...) mjere debljine slojeva nevodljivih materijala (anodne prevlake, boja ili plastika). Slika 5. Uređaj CTG-200C Mjerno područje uređaja kod obje mjerne tehnike je od 0 do 1500 μm. Uređaj CTG-200C je vrlo precizan, u rasponu 0-50 μm preciznost je +/- 1 μm a u rasponu μm +/- 2%. Specifikacije uređaja prikazane su u tablici III [7]. 19

28 Tablica III: Specifikacije urađaja CTG-200C Rezultati mjerenja uspoređeni su s onima mjerenima uređajem Elcometer 456/4 (slika 6.) 20

29 Slika 6. Uređaj Elcometer 456/4 21

30 3.1. Mjerenje debljine prevlake magnetskom metodom Plan mjerenja Mjerenja debljina prevlaka magnetskom metodom (MT) provedena su na čeličnim pločicama dimenzija 150 x 100 x 5 (mm). Na ploču broj 1 (slika 7.) nanesen je jedan sloj organskog premaza očekivane debljine 150 μm. Na ploču broj 5 (slika 8.) nanesena su dva sloja ukupne očekivane debljine 250 μm. Slika 7. Ploča broj 1 22

31 Slika 8. Ploča broj 5 Na svakoj čeličnoj ploči odabrane su tri proizvoljne točke mjerenja. Instrument je kalibriran putem tzv. nulte kalibracije i pomoću etalonskih listića. Tablica IV prikazuje korištene debljine etalonskih listića pri kalbraciji instrumenta za mjerenje ciljanih vrijednosti debljina prevlaka. 23

32 Tablica IV: Korištene debljine etalonskih listića za čelične ploče Debljina etalonskog listića Ciljana vrijednost debljine prevlake 126 μm 150 μm 243 μm 250 μm Nakon kalibracije instrumenata na prvu očekivanu vrijednost od 150 μm, na ploči broj 1 izvršeno je pet uzastopnih mjerenja u točki 1, zatim pet uzastopnih mjerenja u točki 2, i zatim pet uzastopnih mjerenja u točki 3 sa svakim uređajem. Zatim su instrumenti kalibrirani za mjerenje sljedeće debljine sloja očekivane vrijednosti 250 μm, i na ploči broj 5 je provedeno pet uzastopnih mjerenja u točki 1, zatim pet uzastopnih mjerenja u točki 2, i zatim pet uzastopnih mjerenja u točki Kalibracija instrumenata Kalibracija podešavanjem je postupak promjene, odnosno podešavanja očitanja vrijednosti tako da na poznatom uzorku povećamo mjernu efikasnost obzirom na specifičnost oblika površine uzorka u njegovom mjernom području. Uvijek prije početka mjerenja uređaj se kalibrira putem tzv. nulte kalibracije. Pod pojmom nulta kalibracija podrazumijeva se mjerenje vrijednosti na nepremazanim dijelovima površina i postavljanje očitane vrijednosti instrumenta na nulu. Na taj način se kompenzira utjecaj stanja površine. Nakon nulte kalibracije uređaji se kalibriraju pomoću etalonskih listića (slika 9.). Etalonski listići su različitih debljina, a napravljeni su od plastičnih folija. Za kalibraciju se koristi listić čija debljina približno odgovara očekivanoj ili nazivnoj debljini premaza. 24

33 Slika 9. Etalonski listići Rezultati mjerenja Mjerenja su provedena sa dva različita uređaja, CTG-200 i Elcometer 456/4, a rezultati mjerenja prikazani su u tablicama V i VI. 25

34 Tablica V: Rezultati mjerenja uređajem CTG-200C CTG-200C Ploča max. min. s T ,6 3,85 T ,24 T ,8 3,56 Ploča 5 T ,4 6,19 T ,4 6,84 T ,8 7,63 Tablica VI: Rezultati mjerenja uređajem Elcometer 456/4 Elcometer 456/4 Ploča max. min. s T ,35 T ,6 1,52 T ,6 2,61 Ploča 5 T ,6 1,82 T ,61 T ,2 4,87 26

35 3.2. Mjerenje debljine prevlake metodom vrtložnih struja Plan mjerenja Mjerenja debljina prevlaka metodom vrtložnih struja (EC) provedena su na aluminijskim profilima dimenzija 200 x 100 x 50 (mm). Na profilu broj 1 (slika 10.) nanesena je prevlaka očekivane debljine 100 μm. Na profil broj 2 (slika 11.) također je nanesena prevlaka očekivane debljine 100 μm. Slika 10. Profil broj 1 27

36 Slika 11. Profil broj 2 Na svakom aluminijskom profilu odabrane su tri proizvoljne točke mjerenja. Instrumenti su kalibriran putem tzv. nulte kalibracije i pomoću etalonskih listića. Tablica VII prikazuje korištene debljine etalonskih listića pri kalbraciji instrumenta za mjerenje ciljanih vrijednosti debljina prevlaka. Tablica VII: Korištene debljine etalonskih listića za aluminijske profile profile Debljina etalonskog listića Ciljana vrijednost debljine prevlake 101 μm 150 μm 28

37 Nakon kalibracije instrumenata na očekivanu vrijednost od 101 μm, na profilu broj 1 izvršeno je pet uzastopnih mjerenja u točki 1, zatim pet uzastopnih mjerenja u točki 2, i zatim pet uzastopnih mjerenja u točki 3 sa svakim uređajem. Nakon toga je i na profilu broj 2 provedeno pet uzastopnih mjerenja u točki 1, zatim pet uzastopnih mjerenja u točki 2, i zatim pet uzastopnih mjerenja u točki Kalibracija instrumenata Uređaj se kalibrira jednako kao kod mjerenja magnetskom metodom, putem tzv. nulte kalibracije i pomoću etalonskih listića, prikazanih na slici Rezultati mjerenja Mjerenja su provedena sa dva različita uređaja, CTG-200 i Elcometer 456/4, a rezultati mjerenja prikazani su u tablicama VIII i IX. Tablica VIII: Rezultati mjerenja uređajem CTG-200C CTG-200C Profil max. min. s T1 88,8 88,9 89, ,8 89,1 87,8 88,52 0,58 T2 78,9 78,6 77,2 78,1 77,9 78,9 77,2 78,14 0,66 T3 89, ,8 89,4 86,6 89,4 86,6 88,58 1,13 Profil 2 T1 91,8 94,9 94,9 94,1 92,5 94,9 91,8 93,64 1,42 T2 84,3 84,3 84,8 85,3 85,5 85,5 84,3 84,84 0,55 T ,7 85,4 85,5 85, ,4 85,62 0,24 29

38 Tablica IX: Rezultati mjerenja uređajem Elcometer 456/4 Elcometer 456/4 Profil max. min. s T1 93,2 91,3 92,7 91,6 92,9 93,2 91,3 92,34 0,84 T2 81,9 83,5 83,5 83,9 83,2 83,9 81,9 83,2 0,77 T3 92,7 92,9 93,3 91,7 92,7 93,3 91,7 92,66 0,59 Profil 2 T ,71 T2 91,8 88,7 89,4 88,7 90,5 91,8 88,7 89,82 1,33 T3 87,1 90,8 92,1 91,3 92,2 92,2 87,1 90,7 2,1 30

39 4. ZAKLJUČAK Cilj ovog rada je usporedba dvaju uređaja za mjerenje debljine slojeva koji funkcioniraju na temelju magnetske metode i metode vrtložnih struja. Temeljem prikaza utjecajnih čimbenika i principa metoda planirana su i provedena usporedbena mjerenja na pripremljenim uzorcima. Mjerenja metodom vrtložnih struja provedena su na aluminijskim profilima, dok su mjerenja magnetskom metodom provedena na čeličnim pločama. Iz rezultata mjerenja je vidljivo da nema velikih odstupanja među uređajima ali valja spomenuti da je uređaj Elcometer 456/4 puno sofisticiraniji, moćniji i jednostavniji za korištenje. 31

40 LITERATURA 1. Kliškić, M., Vrsalovic, L.: Tehnologija površinske zaštite, Kemijsko tehnološki fakultet u Splitu, Split, HRN EN ISO 2178: Nemagnetske prevlake na magnetskim podlogama Mjerenje debljine prevlake Magnetska metoda 5. Josip Vuković: Diplomski rad, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, HRN EN ISO 2360: Nevodljive prevlake na nemagnetskim elektricnim vodljivim metalnim podlogama Mjerenje debljine prevlake Metoda vrtložnih struja Dr. Herman John, Prof. Dr. G. Reiners, dipl.-phys. N. Siegel: Charakterisierung dunner Schichten, DIN-Fachbericht 39 (Berlin 1993.) 32

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I

Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika

Elektrodinamika Elektrodinamika.. Gibanje električnog naboja u električnom polju.2. Električna struja.3. Električni otpor.4. Magnetska sila.5. Magnetsko polje električne struje.6. Magnetski tok.7. Elektromagnetska indukcija

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2 F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE)

NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE) dr.sc. S. Škorić NEKONVENCIONALNE pojam NEKONVENCIONALNI POSTUPCI OBRADE (OBRADA ODNOŠENJEM) (DIREKTNO ENERGETSKI POSTUPCI OBRADE) alat za obradu ne mora biti tvrđi od obratka nema klina praktički nema

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα