Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Transcript

1 ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους

2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ [Κεφάλαιο Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] P() Α Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση f (), όπου P(),Q() πολυώνυμα του και Q() με Να υπολογίσετε το lim f () Q( ) Α i) Έστω είναι υποσύνολο του το ; ii) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής iii) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f μέγιστο, το f ( ) ; (Μονάδες 3) Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού με πεδίο ορισμού το παρουσιάζει στο iv) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση είναι -, τότε είναι γνησίως μονότονη» A (Μονάδες ) (Μονάδες ) (ολικό) (Μονάδες ) α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (Μονάδες ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α) (Μονάδες ) v) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f ( ),» ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (Μονάδες ) ) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα () (Μονάδες ) Α3 Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη : α) Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της, με f( ), ώστε β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο f ( ), τότε κατ ανάγκη f ( ) και υπάρχει

3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ γ) H γραφική παράσταση της συνάρτησης γραφικής παράστασης της f δ) Αν lim f () ή τότε lim o o f () f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα και l ε) Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής,, πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f () l limf ( h) o h ένας, της (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f: η οποία είναι άρτια, συνεχής στο και γνησίως μονότονη με f () 4, f (4) και lim f (), στο Β Να βρείτε τη μονοτονία της σε όλο το Β Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f f στο 4,4 και το σύνολο τιμών της (Μονάδες 5) και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία στο Β 3 Να βρείτε το όριο: lim f () 4 (Μονάδες 5) Β 4 Αν g() f ( ) f (), τότε: (Μονάδες 5) i) Αποδείξτε ότι g() g() g() g(3) ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει,3 τέτοιο ώστε να ισχύει f ( ) f ( ) (Μονάδες 3) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Γ 3 Δίνεται συνάρτηση f: για την οποία ισχύει : Γ Να αποδείξετε ότι f Γ Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει f f f 3, για κάθε (Μονάδες ) (Μονάδες 5) Γ 3 Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια στο o = (Μονάδες 3) Γ 4 Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή (Μονάδες 5) Γ 5 Αν υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχής σε αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής και στο

4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ Γ 6 Αν υποθέσουμε ότι η f τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,) είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση (Μονάδες 5) f έχει (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ 3 Δίνεται η συνάρτηση f Δ Αποδείξτε ότι η f Δ Ισχύει f, f είναι αντιστρέψιμη και βρείτε το πεδίο ορισμού της f f (Μονάδες 4) (Μονάδες ) Δ 3 Για κάθε αποδείξτε ότι ισχύει: f f (Μονάδες 4) Δ 4 Αποδείξτε ότι η είναι συνεχής (Μονάδες 3) Δ 5 Γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις f και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας να αποδείξετε ότι η 3 εξίσωση f () έχει μοναδική λύση στο (Μονάδες 3) Δ 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση g: με g() f () 3 g( ) g( ) i) Να αποδείξετε ότι για κάθε, : (Μονάδες 3) ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() έχει το πολύ μία λύση iii) Αν είναι η μοναδική λύση στο ερώτημα (Δ 5), να επιλυθεί η ανίσωση f g 3 (Μονάδες 3) (Μονάδες 3) Καλή επιτυχία Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το Θέμα Β επιμελήθηκε ο Ρουσσάλης Ηλίας, Μαθηματικός του Γυμνασίου & Λυκείου Λεωνιδίου Το Θέμα Γ επιμελήθηκε ο Χήτος Γεώργιος, Μαθηματικός από το Ρέθυμνο Το Θέμα Δ επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας, Μαθηματικός-ΜSc του ου ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο 3

5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 49 A i) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 ii) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 iii) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 3 iv) α) Ψ β) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 35 Ως παράδειγμα έχουμε τη συνάρτηση, f (), η οποία είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη, v) α) Α β) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ() = ημ( ) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f() = και g() = ημ Α3 ) (σελ74-75) Σ, ) (σελ74) Λ, 3) (σελ8) Σ, 4) (σελ6) Σ, 5) (σελ43) Λ Σελίδα από 7

6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Έχουμε 4 τότε η συνάρτηση f και f () f (4) και επειδή η Για οποιαδήποτε,, είναι γνησίως φθίνουσα στο f είναι γνησίως μονότονη στο, με, έχουμε : f, f:ά f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Η συνάρτηση f, είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, Τότε το, αφού f (A ) lim f (),f (),4 u f:ά u u u ό lim f () lim f ( u) lim f (u) και f () 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο,, f (A ) limf(),f(),4 Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: Β Είναι f (A) f (A ) f (A ),4 Df A, οπότε D D / f () D / f () f f f f Προφανώς f(), ά Άρα Df f f ύ Έχουμε: 4 f ( 4) f ( ) f ( ) f () f ί,4 Τότε το f ( ) f ( ) 4 f (f ( )) f (f ( )) f f ( ) f f ( ) Άρα η f f είναι γνησίως φθίνουσα στο 4, Όμοια αποδεικνύεται ότι η f f είναι γνησίως αύξουσα στο,4 Β3 Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R θα είναι συνεχής και στο 4, οπότε θα ισχύει: lim f () f (4) Όμως αν 4 lim f () και f () για 4 Τότε 4 f ί 4 f () f (4) Δηλαδή έχουμε: lim f () 4 Β4 i) Έχουμε: g() g() g() g(3) f () f () f () f () f (3) f () f (4) f (3) 4 4 ii) Είναι f( ) f( ) f( ) f( ) g( ) Σελίδα από 7

7 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επειδή g() g() g() g(3), () συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί g(), g(), g(), g (3) δεν μπορεί να είναι ομόσημοι και οι τέσσερις ( αφού τότε το άθροισμά τους θα είναι είτε θετικό, είτε αρνητικό, άτοπο) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν g() ή g() ή g() ή g(3), τότε είναι προφανές το ζητούμενο Αν g() g() g() g(3), δηλαδή κανένας από τους όρους του γινομένου δεν είναι μηδέν, προκύπτει ότι δύο τουλάχιστον όροι του αθροίσματος της () είναι ετερόσημοι Έτσι αν g(),τότε κάποιος/οι από τους g(), g(), g(3) είναι αρνητικός/οί Αν g() g() εφαρμόζοντας το Θ Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον,, 3 ώστε g( ) Ομοίως αν g() g() ή g() g(3) ή g() g() ή g() g(3) ή g() g(3),3 Άρα υπάρχει ώστε g( ) f( ) f( ) Θέμα Γ Γ Για = η αρχική σχέση γίνεται : f 3 ()+f() = ημ - f()[f ()+]=f()= ή f () = - (αδύνατο), άρα f()= Γ Για κάθε η αρχική σχέση γίνεται : 3 f (), όή f () f () 3 f (), ά f () Ό ά ύ ό : ό ό ά f () ά Γ 3 ά f () f () f () f () f () f () f () 3 3 f () 3 ά lim 3 lim 3 Ά ό ήή έ ό limf () f (), όf ή Σελίδα 3 από 7

8 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γ4 Στη σχέση 3 f () f () 3 () ισχύει για κάθε και βρίσκουμε Προσθέτοντας τις () και () έχουμε: 3 f ( ) f ( ) 3 () f () f () f ( ) f ( ) f () f ( ) f () f ( ) f () f ( ) f () f ()f ( ) f ( ) f () f ( ), οπότε θέτουμε όπου (*) f () f ( ) f () f ()f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f () f ()f ( ) f ( ), (τριώνυμο ως προς f () ) ομόσημο του α= αφού Άρα f ( ) f () για κάθε f ( ) 4 f ( ) 3f ( ) 8 (*) Γ5 Θα αποδείξουμε ότι lim f () f ( ) ( 4) u fή ( 4) lim f () lim f ( ) lim f ( ) lim f (u) f ( ) f ( ) u Γ6 Η εξίσωση γίνεται : f() f() Θεωρώ συνάρτηση g() f (), συνεχής στο [,], ως πράξεις συνεχών, με g() = f() + = > g() = f() < αφού για κάθε > είναι f() < (Γ Ερώτημα) ή αλλιώς 3 f () 3 (,), ύ 3 3 f () f () 3 Από θεώρημα Bolzano για την g έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,) ώστε g(ξ) = Επομένως η αρχική εξίσωση f ( ) έχει τουλάχιστον μία λύση στο (,) ΘΕΜΑ Δ Δ Για κάθε, με f f Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε θα είναι και " ", άρα αντιστρέψιμη, Αφού η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έχουμε Σελίδα 4 από 7

9 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f limf, lim f, 3 Είναι lim f lim και 3 lim f lim Το πεδίο ορισμού της f είναι το R που είναι σύνολο τιμών της f Δ Θα αποδείξουμε ότι: (ισχύει) f f f f f f f Δ3 Για κάθε, θα αποδείξουμε ότι ισχύει: f f Αν τότε προφανώς η ισχύει σαν ισότητα Αν γράφεται θέτουμε όπου το f και όπου τό f και η σχέση f f f f f f f f 3 3 A Αρκεί να δείξουμε ότι (τριώνυμο ως προς με Είναι Οπότε το τριώνυμο Α είναι ομόσημο του α=> Άρα Α> Επομένως η σχέση ισχύει ) για κάθε, Σελίδα 5 από 7

10 Δ4 ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θα δείξουμε ότι lim f f για κάθε Από το (Δ 3) ερώτημα έχουμε: f f f f Επειδή lim lim από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim f f lim f f Δ5 3 h f Θεωρούμε την συνάρτηση Για κάθε, με 3 3 f f f f h h 3 3 Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο H h είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών με h f, από το Δ h f f, από το Δ Οπότε h h,άρα από ΘΒolzano υπάρχει, τέτοιο ώστε h οποίο είναι και μοναδικό αφού η h Δ6 είναι γνησίως αύξουσα στο i) Για κάθε, από το ερώτημα (Δ 3) ισχύει: f f g( ) g( ) το g( ) g( ) ( ) g( ) g( ) ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 3 g ( ) g ( ) Σελίδα 6 από 7

11 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 g( ) g( ) g( ) g( ) ii) Αφού, για κάθε Αν, τότε g( ) g( ) g( ) g( ) που σημαίνει ότι η συνεχής συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα και -, οπότε η εξίσωση g ( ) θα έχει το πολύ μία λύση iii) Έχουμε από το (Δ5) ότι g 3 f,οπότε η ανίσωση γίνεται: f 3 f g f g f g() g: ί g g g g Γιατί: Για κάθε έχουμε Αν Αν τότε η τότε η, άρα (*) γράφεται, άρα γράφεται και αφού (*) Για f f και g f, θα είναι Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το Θέμα Β επιμελήθηκε ο Ρουσσάλης Ηλίας, Μαθηματικός του Γυμνασίου & Λυκείου Λεωνιδίου Το Θέμα Γ επιμελήθηκε ο Χήτος Γεώργιος, Μαθηματικός από το Ρέθυμνο Το Θέμα Δ επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας, Μαθηματικός-ΜSc του ου ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 7 από 7

12 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 74 Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδες 7-7 Α3 α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Έστω, με Παίρνουμε τη διαφορά f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο και θα έχουμε: f ( ) f( ) f ( ) f( ), επίσης έχουμε f ( ), f ( ) f ( )f ( ), οπότε η διαφορά f( ) f ( ) f( )f ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Oμοίως αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο γνησίως φθίνουσα στο Άρα έχουν οι f,g το ίδιο είδος μονοτονίας στο, η συνάρτηση g είναι Σελίδα από 6

13 ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Έστω ότι οι συναρτήσεις f,g, έχουμε: g f είναι γνησίως αύξουσες στο Tότε αν, g g f g f g fog fog με Άρα η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω ότι οι συναρτήσεις f,g, R, έχουμε: g f είναι γνησίως φθίνουσες στο Tότε αν g( ) g( ) f (g( )) f(g( )) (fog)( ) (fog)( ) Άρα η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Αφού η fog είναι γνησίως αύξουσα στο θα είναι και - 3 Η εξίσωση 3 f (g( )) f (g(4 )) γίνεται f g:' ' (f g)( ) (f g)(4 ) 4 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση πολυωνυμική Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο διάστημα, h ή [,] ( ή) h(), h( ) 3 h() 4, η οποία είναι συνεχής στο σαν Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) : h( ), Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο διάστημα h ή [,] ( ή) h(), h() 4 Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) : h( ) Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο,5 h ή [,5] ( ή) h() 4, h(5) 6 Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα 3 (,5) : h( 3) και επειδή η εξίσωση 3 h() 4 είναι πολυωνυμική 3 ου θα έχει το πολύ τρεις ρίζες, άρα έχει ακριβώς τρεις τις,, 3 Σελίδα από 6

14 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επίσης έχουμε 3 5, δηλαδή έχουμε δύο θετικές και μια αρνητική Σχόλιο: ένας τρόπος για τη επιλογή των κατάλληλων διαστημάτων είναι με δοκιμές 4 Από το ερώτημα () η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ανίσωση γίνεται: f g: fog 4 fog Άρα,, ΘΕΜΑ Γ Πρέπει: e e e e Άρα A f (, ) e f () ln(e ) ln(e ) lne ln(e ) lne ln f () ln e Όμως ln ln f (), για κάθε (, ) e e e 3 Από τα προηγούμενα έχουμε: Έστω, (, ) Τότε: f () ln e, για κάθε (, ) e e e e e e e e ln ln f ( ) f ( ) e e Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) 4 Επειδή η συνάρτηση f σημαίνει ότι είναι αντιστρέψιμη με είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) θα είναι -, που f : f (A) A H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ln και στο A (, ), οπότε το σύνολο τιμών της (πεδίο ορισμού της f f ) είναι: e Σελίδα 3 από 6

15 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f (A) lim f (), lim f () (,) γιατί: Θέτουμε Τότε u e και έχουμε lim u lim e lim f () lim ln lim ln u e u Θέτουμε u και έχουμε e Τότε lim u lim e lim f () lim ln lim ln u e u Mε y (,) η εξίσωση y y y ln e e e ln y y e e e e e y y ln e ln e Άρα f () ln e, 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση t() f() h() ln ln ln ln e e t, Η συνάρτηση είναι συνεχής, ως άθροισμα των συνεχών f (), ln και γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι t( ) lim t(), lim t() (, ) γιατί: lim t() lim f () ln ( ) ( ) και lim t() lim f () ln ( ) Επειδή το (, ) t(b) υπάρχει τέτοιο ώστε t( ) f ( ) h( ) 6 Από το ο ερώτημα έχουμε f () για κάθε (, ) Τότε f (), αφού f () και f () f () 3 3 f () f () f () f () lim lim lim ( ) f () f () f () f () Σελίδα 4 από 6

16 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω, προσθέτουμε τις () και (), έτσι έχουμε με f ( ) f( ) f ( ) f( ), () και, άρα η συνάρτηση f είναι - Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία y δηλαδή η εξίσωση f () f ( ) f ( ), (), f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), οπότε έχει με τη έχει για κάθε C f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, λύση στο f () f() f () f () f() f () f () f () f() δηλαδή για κάθε έχουμε λύση, άρα το σύνολο τιμών είναι το Θέτουμε όπου Άρα f () y y y y y f (), 3 ος τρόπος: Στην 3 3 f (), για έχουμε f () f () f( ) ος τρόπος: Αφού η συνάρτηση f μοναδικό :f( ) έχουμε: C f έχει σύνολο τιμών το 3 Θέτουμε στην 3 3 και είναι - θα υπάρχει f f όπου και f f, οπότε f( ) Άρα η τέμνει τον άξονα στο σημείο A(,) 4 ος τρόπος: Έστω ότι υπάρχουν, με και έστω f ( ) f ( ) Τότε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) () και Προσθέτοντας τις (), () έχουμε: 3 3 f ( ) f ( ) () 3 3 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Άτοπο γιατί Άρα για κάθε f ( ) f ( ), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ος τρόπος: Η συνάρτηση αυξουσών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις f, 3 f () είναι γνησίως αύξουσα σαν άθροισμα των 3, f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, άρα έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Σελίδα 5 από 6

17 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f 3 5 f f f f f f, f έτσι έχουμε f() f() και επειδή lim ( ) lim, από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε: lim f f, άρα συνεχής στο 6 Έστω Έχουμε Αρκεί να αποδείξουμε ότι 3 f () f(), () και 3 lim f () f( ) f ( ) f( ), (), αφαιρούμε κατά μέλη τις 3 3 σχέσεις () και () Έτσι έχουμε f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f και επειδή lim, τότε f είναι συνεχής στο lim f f lim f f, άρα η συνάρτηση Η επιμέλεια των θεμάτων πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 6 από 6

18 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 74 Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδες 7-7 Α3 α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Έστω, με Παίρνουμε τη διαφορά f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο και θα έχουμε: f ( ) f( ) f ( ) f( ), επίσης έχουμε f ( ), f ( ) f ( )f ( ), οπότε η διαφορά f( ) f ( ) f( )f ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Oμοίως αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο γνησίως φθίνουσα στο Άρα έχουν οι f,g το ίδιο είδος μονοτονίας στο, η συνάρτηση g είναι Σελίδα από 6

19 ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Έστω ότι οι συναρτήσεις f,g, έχουμε: g f είναι γνησίως αύξουσες στο Tότε αν, g g f g f g fog fog με Άρα η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω ότι οι συναρτήσεις f,g, R, έχουμε: g f είναι γνησίως φθίνουσες στο Tότε αν g( ) g( ) f (g( )) f(g( )) (fog)( ) (fog)( ) Άρα η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Αφού η fog είναι γνησίως αύξουσα στο θα είναι και - 3 Η εξίσωση 3 f (g( )) f (g(4 )) γίνεται f g:' ' (f g)( ) (f g)(4 ) 4 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση πολυωνυμική Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο διάστημα, h ή [,] ( ή) h(), h( ) 3 h() 4, η οποία είναι συνεχής στο σαν Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) : h( ), Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο διάστημα h ή [,] ( ή) h(), h() 4 Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) : h( ) Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο,5 h ή [,5] ( ή) h() 4, h(5) 6 Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα 3 (,5) : h( 3) και επειδή η εξίσωση 3 h() 4 είναι πολυωνυμική 3 ου θα έχει το πολύ τρεις ρίζες, άρα έχει ακριβώς τρεις τις,, 3 Σελίδα από 6

20 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επίσης έχουμε 3 5, δηλαδή έχουμε δύο θετικές και μια αρνητική Σχόλιο: ένας τρόπος για τη επιλογή των κατάλληλων διαστημάτων είναι με δοκιμές 4 Από το ερώτημα () η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ανίσωση γίνεται: f g: fog 4 fog Άρα,, ΘΕΜΑ Γ Πρέπει: e e e e Άρα A f (, ) e f () ln(e ) ln(e ) lne ln(e ) lne ln f () ln e Όμως ln ln f (), για κάθε (, ) e e e 3 Από τα προηγούμενα έχουμε: Έστω, (, ) Τότε: f () ln e, για κάθε (, ) e e e e e e e e ln ln f ( ) f ( ) e e Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) 4 Επειδή η συνάρτηση f σημαίνει ότι είναι αντιστρέψιμη με είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) θα είναι -, που f : f (A) A H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ln και στο A (, ), οπότε το σύνολο τιμών της (πεδίο ορισμού της f f ) είναι: e Σελίδα 3 από 6

21 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f (A) lim f (), lim f () (,) γιατί: Θέτουμε Τότε u e και έχουμε lim u lim e lim f () lim ln lim ln u e u Θέτουμε u και έχουμε e Τότε lim u lim e lim f () lim ln lim ln u e u Mε y (,) η εξίσωση y y y ln e e e ln y y e e e e e y y ln e ln e Άρα f () ln e, 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση t() f() h() ln ln ln ln e e t, Η συνάρτηση είναι συνεχής, ως άθροισμα των συνεχών f (), ln και γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι t( ) lim t(), lim t() (, ) γιατί: lim t() lim f () ln ( ) ( ) και lim t() lim f () ln ( ) Επειδή το (, ) t(b) υπάρχει τέτοιο ώστε t( ) f ( ) h( ) 6 Από το ο ερώτημα έχουμε f () για κάθε (, ) Τότε f (), αφού f () και f () f () 3 3 f () f () f () f () lim lim lim ( ) f () f () f () f () Σελίδα 4 από 6

22 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω, προσθέτουμε τις () και (), έτσι έχουμε με f ( ) f( ) f ( ) f( ), () και, άρα η συνάρτηση f είναι - Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία y δηλαδή η εξίσωση f () f ( ) f ( ), (), f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), οπότε έχει με τη έχει για κάθε C f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, λύση στο f () f() f () f () f() f () f () f () f() δηλαδή για κάθε έχουμε λύση, άρα το σύνολο τιμών είναι το Θέτουμε όπου Άρα f () y y y y y f (), 3 ος τρόπος: Στην 3 3 f (), για έχουμε f () f () f( ) ος τρόπος: Αφού η συνάρτηση f μοναδικό :f( ) έχουμε: C f έχει σύνολο τιμών το 3 Θέτουμε στην 3 3 και είναι - θα υπάρχει f f όπου και f f, οπότε f( ) Άρα η τέμνει τον άξονα στο σημείο A(,) 4 ος τρόπος: Έστω ότι υπάρχουν, με και έστω f ( ) f ( ) Τότε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) () και Προσθέτοντας τις (), () έχουμε: 3 3 f ( ) f ( ) () 3 3 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Άτοπο γιατί Άρα για κάθε f ( ) f ( ), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ος τρόπος: Η συνάρτηση αυξουσών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις f, 3 f () είναι γνησίως αύξουσα σαν άθροισμα των 3, f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, άρα έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Σελίδα 5 από 6

23 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f 3 5 f f f f f f, f έτσι έχουμε f() f() και επειδή lim ( ) lim, από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε: lim f f, άρα συνεχής στο 6 Έστω Έχουμε Αρκεί να αποδείξουμε ότι 3 f () f(), () και 3 lim f () f( ) f ( ) f( ), (), αφαιρούμε κατά μέλη τις 3 3 σχέσεις () και () Έτσι έχουμε f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f και επειδή lim, τότε f είναι συνεχής στο lim f f lim f f, άρα η συνάρτηση Η επιμέλεια των θεμάτων πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 6 από 6

24 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ [Κεφάλαιο Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α P ισχύει v v Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυώνυμο lim P P, με Μονάδες Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 3 Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ): α) Δίνεται το παρακάτω σχήμα τότε g lim 4 f Μονάδες β) Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη Μονάδες γ) H f είναι - αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση y f() έχει ακριβώς μία λύση ως προς δ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f και,4 f 3 Τότε ισχύει στο σύνολο,4 με f για κάθε,4 f για κάθε Μονάδες Μονάδες ε) Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη συνάρτηση f στο για την οποία ισχύει f 5 4, f 949 Τότε δεν υπάρχει τέτοιο ώστε f ( ) Μονάδες Σελίδα από 3

25 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει f f για κάθε και f Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f, διατηρεί σταθερό πρόσημο Να αποδείξετε ότι f 3 Να βρείτε τα όρια: Μονάδες Μονάδες 5 f α) lim lim f β) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f ln, e ln e, e α) Να βρείτε τον αριθμό έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Αν Μονάδες 5 3, τότε η εξίσωση f 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,e e Μονάδες 5 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: f 4 και f f e ln ln 3 για κάθε e 3/4 f f e 4ln 3, για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - Μονάδες 5 β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Μονάδες 3 Σελίδα από 3

26 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ 4 3 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση,e στο f f f e έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f (), Να δείξετε ότι f () για κάθε Μονάδες 4, Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f στο 3 Να δείξετε ότι (Μονάδες 5) f ( ) (Μονάδες ) και ότι η f f () είναι γνησίως αύξουσα στο Μονάδες 3 4 Αν για τους πραγματικούς αριθμούς αποδείξετε ότι, 5 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f ισχύει Μονάδες 7 να Μονάδες 5 Μονάδες 6 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το θέμα Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο Βασίλειο και Σούγελα Ελένη Σελίδα 3 από 3

27 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 49 Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 3 α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β ος τρόπος Η συνάρτηση g f είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων g, οπότε έχουμε Έστω μια ρίζα της εξίσωσης g g f f, f f Η σχέση για γίνεται αδύνατο, επομένως f f και επειδή είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο g για κάθε ος τρόπος Η συνάρτηση g f είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Η σχέση f f γίνεται f f f g f f άρα g() και αφού είναι συνεχής Σελίδα από 8

28 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ θα διατηρεί πρόσημο Όμως g() f(), οπότε g() κάθε για ος τρόπος Η σχέση f f γίνεται f f f g f f Επειδή η g διατηρεί σταθερό πρόσημο θα έχουμε g ή g, οπότε g ή g g f ή g f και επειδή f ή f f f έχουμε ος τρόπος Αφού g() τότε από το προηγούμενο ερώτημα θα έχουμε, όμως g g() οπότε g f, f f f 3 α) lim lim lim lim lim Σελίδα από 8

29 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ β) ος τρόπος lim και από το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε lim με lim f lim και επειδή ος τρόπος lim f lim lim Γιατί όμως lim και κριτήριο της παρεμβολής lim lim οπότε από το ΘΕΜΑ Γ α) Επειδή η συνάρτηση f συνεχής και στο e οπότε θα ισχύει: είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της,, θα είναι lim f lim f f e lim ln lim ln e f e e e e e 3 3 e 3 e β) Επειδή f ln 6, 3 f e e ln e e 6 ln e 6, γιατί e e e ln(e ) ln e 6 ln(e ) 6 7 f(e) 7 Σελίδα 3 από 8

30 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ δηλαδή f () 6 f (e) και η f είναι συνεχής στο ενδιαμέσων τιμών υπάρχει τουλάχιστον ένα,e,e : f 6 τότε, σύμφωνα με το Θ α) Έστω, με f ( ) f ( ) e e f e f e f f f f 4ln 3 4ln 3 ln ln Άρα η f είναι f f β)f f e ln ln 4 3 f f e ln ln 4 3 f () f (f (e )) ln 4ln 3 f (4ln 3) ln 4ln 3 Θέτουμε 4ln 3 y, οπότε f(y) ln y, άρα f() ln, γ) To πεδίο ορισμού της f f είναι : f f () f ln, e e f: f f f e f (f ()) f e f () e ln e ln e ln e () 4 Θέτουμε t() ln e, η οποία είναι συνεχής στο, e, e ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και e 4 t() ln e 3 3, επομένως ισχύει t(e)t(), e e4 e4 t(e) ln e e e 4e οπότε από το ΘBolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον,e τέτοιο ώστε t( ) και 4 3 λόγω της () έχουμε ισοδύναμα ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο,e f f f e έχει μία Σελίδα 4 από 8

31 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ος τρόπος Θα δείξουμε ότι () για κάθε Πράγματι, αν ο είναι θετικός τότε το ο μέλος της () είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό οπότε η () ισχύει για όλους τους θετικούς αριθμούς Αν τότε και τα δύο μέλη της () είναι μη αρνητικά συνεπώς υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε ισοδύναμα που ισχύει για όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς Άρα τελικά η () ισχύει για κάθε ος τρόπος Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο για κάθε, και επειδή η είναι, άρα παίρνουμε Όμως από τις ιδιότητες της απόλυτης τιμής ισχύει Συνδυάζοντας τις προηγούμενες δύο ανισότητες παίρνουμε που είναι αυτό που θέλαμε να δείξουμε 3 ος τρόπος Αν υπάρχει αριθμός f, τότε παίρνουμε ισοδύναμα ώστε υψώνοντας στο τετράγωνο για εκείνα τα παίρνουμε και που επιτρέπεται (προφανώς για ),, άτοπο Άρα η συνάρτηση δε μηδενίζεται και από την άλλη είναι συνεχής στο, αφού προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων Συνεπώς διατηρεί πρόσημο στο Αφού επιπλέον f (), άρα f () για κάθε Έστω,,, άρα με () Αφού η συνάρτηση, ( ) Προσθέτοντας τις (), () κατά μέλη παίρνουμε είναι γνησίως αύξουσα στο f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, όπως το θέλαμε Σελίδα 5 από 8

32 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 ος τρόπος f( ) ( ) (3) f() ος τρόπος Η f( ) (3) f() γίνεται ισοδύναμα: f ( )f () που ισχύει Για τη μονοτονία έχουμε αποδείξει ήδη ότι η βρούμε τη μονοτονία στο και επειδή η άρα παίρνουμε f, f, είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω λοιπόν,, με Θα Τότε, είναι γνησίως αύξουσα στο, (από το ερώτημα Δ), (3) f () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Θα δείξουμε τώρα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Αν,, Αν,, με τότε επειδή η, άρα f ( ) f ( ) με τότε επειδή η f άρα f ( ) f ( ) f είναι γνησίως αύξουσα στο είναι γνησίως αύξουσα στο, Αν τότε f ( ) f () f (), άρα και πάλι f ( ) f ( ) Επομένως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ( ) f ( ), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το 4 ος τρόπος Η δοσμένη σχέση γράφεται ( ) f ( ) f ( ) ( 3) f ά f f ( ) f ος τρόπος Σελίδα 6 από 8

33 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η δοσμένη σχέση γράφεται Άρα Εντελώς όμοια παίρνουμε Προσθέτοντας τις παραπάνω κατά μέλη παίρνουμε ( ) Σχόλιο: Παρατηρήστε ότι ο ος Άλγεβρας Α Λυκείου τρόπος δεν απαιτεί τίποτε παραπάνω από γνώσεις 5 ος τρόπος Θέτουμε y f (), με y και έτσι y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y οπότε f (), Σχόλιο: Από τον παραπάνω τρόπο βγάζουμε το συμπέρασμα ότι η εξίσωση y για κάθε y (, ) μία και μόνο λύση στο, την y f () έχει Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι y Σελίδα 7 από 8

34 η f ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ είναι - (χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε χρήση της μονοτονίας της) και κατά συνέπεια αντιστρέψιμη με ος τρόπος f :, και τύπο f () Δείξαμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο άρα - συνεπώς είναι αντιστρέψιμη Θέτουμε y f (), με y (λόγω του Δ) και έχουμε: f y f ( ) y y y y Αφαιρώντας κατά μέλη τις y και y παίρνουμε y y (4) y y Λόγω του ότι για να φτάσουμε στη σχέση (4), χάθηκε η ισοδυναμία (διότι αφαιρέσαμε κατά μέλη), έχουμε αποδείξει μόνο τη συνεπαγωγή f () y g(y), με y g(y), y Θα πρέπει τώρα να δείξουμε και το αντίστροφο δηλαδή ότι αν y y, y τότε ισχύει f () y Πράγματι y 4 y y y y y 4y y f () f y y y 4y y y y y y y y y y y y Άρα τελικά, f () g(), Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το θέμα Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο Βασίλειο και Σούγελα Ελένη Σελίδα 8 από 8

35 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ [Κεφάλαιο Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α Έστω η συνάρτηση f (), ότι η f, όπου είναι παραγωγίσιμη και ισχύει / Να αποδείξετε, Μονάδες 3 α) Διατυπώστε το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού και ερμηνεύστε το γεωμετρικά Μονάδες β) Διατυπώστε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (ΘΜΤ) και ερμηνεύστε το γεωμετρικά Μονάδες γ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Ποιά σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f ; Μονάδες δ) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Δίνεται η συνάρτηση f :,, f η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle τότε και η συνάρτηση g fof ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα,» ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής Μονάδες ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () Μονάδες ε) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Α μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ, αντιστρέφεται και η παραγωγίσιμη στο f ( ) με f( ) για κάθε τότε ισχύει f ( ), f ( )» f f ( ) f είναι ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής Μονάδες ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () Μονάδες Σελίδα από 4

36 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΘΕΜΑΤΑ Α3 Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη : α) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f () και η f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη ως προς τότε αν το y μειώνεται ως προς με ρυθμό εννοούμε f () β) Αν S(t) η συνάρτηση θέσης ενός κινητού και u(t ) S (t ) η στιγμιαία S(t) S (t ) ταχύτητα τη χρονική στιγμή, τότε κοντά στο ισχύει, οπότε t t u(t ) t, όταν το κινητό κινείται προς τα δεξιά γ) Έστω η συνάρτηση f του Δ Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο δ) Έστω η συνάρτηση f t ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο εσωτερικό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Δ, αν η f ε) Αν f, f και, τότε η f παρουσιάζει συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο τότε ισχύει στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f, τέτοιο ώστε για κάθε Β Βρείτε το πεδίο ορισμού της f και αποδείξτε ότι e Μονάδες 6 Για e, τότε: Β Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο C f με, η οποία B3 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία,f γραφικής παράστασης C της f παράλληλες στον άξονα f με Μονάδες 8 και,f της, στα οποία οι εφαπτόμενες της C είναι f Μονάδες 7 Σελίδα από 4

37 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΘΕΜΑΤΑ, B4 Nα μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία στο διάστημα τετμημένες των σημείων Α και Β του Β3 ερωτήματος, όπου, οι Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, * με f (),, για την οποία ισχύει f (t) f (t) f (t), για κάθε Γ Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f (t), t t e Γ Να μελετήσετε τη συνάρτηση f καμπής t Μονάδες 6 ως προς τη μονοτονία, τη κυρτότητα και τα σημεία Μονάδες 9 Γ3 Αν η συνάρτηση f περιγράφει τον τρόπο διάδοσης μιας είδησης σ έναν πληθυσμό και f (t) είναι το πλήθος των ατόμων στα οποία έχει φτάσει η είδηση τη χρονική στιγμή t τότε: α) Θα φτάσει ποτέ η είδηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού; Δικαιολογήστε την απάντησή σας Μονάδες 5 β) Αν ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει ο ρυθμός διάδοσης της είδησης να μειώνεται; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f :(,+ ) για την οποία ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f (), () f (y) f () f (y) y για κάθε και y, () Δ Να αποδείξετε ότι η f κάθε f () είναι παραγωγίσιμη στο, με f () για Μονάδες 3 Σελίδα 3 από 4

38 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 8: ΘΕΜΑΤΑ Δ Να βρείτε τον τύπο της f Μονάδες Δ3 Αν ln f () τότε: α) Να μελετήσετε την f σημεία καμπής ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της εξίσωση 3 e, έχει ακριβώς θετικές ρίζες γ) Να αποδείξετε ότι ln ln για κάθε C f για κάθε, e e Μονάδες 5, το σύνολο τιμών της f και αποδείξτε ότι η Μονάδες 5 με e και στη συνέχεια ότι ισχύει δ) Να αποδείξετε ότι f(4) f() 3f(3) για κάθε e e Μονάδες 3 Μονάδες 3 ε) Να βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h() και της ευθείας y, για τις διάφορες τιμές του Μονάδες 4 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το Θέμα Β επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας Μαθηματικός-ΜSc του ου ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης Το Θέμα Γ επιμελήθηκε ο Κωνσταντόπουλος Λεωνίδας Μαθηματικός-ΜSc του ου & 9ου Γυμνασίου Πάτρας Το Θέμα Δ επιμελήθηκε ο Ρουσσάλης Ηλίας Μαθηματικός του Γυμνασίου & Λυκείου Λεωνιδίου Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 4 από 4