3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

Transcript

1 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ (Σχ α) Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της δ (διευθετούσα) C (παραβολή) δ C P Μ P Μ Α Κ (ΜΕ)(ΜΡ) Ε (εστία) Α Κ Π Ε (α) (β) Για να βρούμε ένα σημείο της παραβολής C, εργαζόμαστε ως εξής: Παίρνουμε ένα σημείο Π της ημιευθείας ΚΕ (Σχ β) και από το σημείο αυτό φέρνουμε την κάθετη στην ΚΕ και έστω M ένα από τα σημεία τομής της κάθετης αυτής και του κύκλου με κέντρο το Ε και ακτίνα Π A Τότε, το σημείο M είναι σημείο της παραβολής C Πράγματι, αν P είναι η ορθή προβολή του M στη διευθετούσα δ, τότε θα ισχύει M P ) ( Π A) ( M ), δηλαδή d M, δ) d( M, ) ( E ( E Εξίσωση Παραβολής Έστω C μια παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ Θα βρούμε την εξίσωση της παραβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων με αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και άξονα την κάθετη από το Ε στην δ

2 9 P M(,) > < M(,) P Α E, E, Α δ: δ: Αν στο σύστημα αυτό η τετμημένη της εστίας Ε είναι, τότε η εξίσωση της διευθετούσας θα είναι Σύμφωνα με τον ορισμό της παραβολής, ένα σημείο M (, ) θα ανήκει στη C, αν και μόνο αν ισχύει d( M, E) d( M, δ ) () Είναι όμως d( M, E) + Έτσι, η σχέση () γράφεται διαδοχικά και d( M, δ ) () Επομένως, η εξίσωση της παραβολής C με εστία E, και διευθετούσα δ : είναι

3 9 Για παράδειγμα, η παραβολή με εστία το σημείο E(,) και διευθετούσα την ευθεία έχει και επομένως έχει εξίσωση Ο αριθμός λέγεται παράμετρος της παραβολής και η παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα > Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και E, άξονα την κάθετη από το Ε στη δ και εργαστούμε όπως πριν, θα βρούμε ότι η παραβολή C έχει εξίσωση δ: δ: Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα και παριστάνει τη γραφική παράσταση της γνωστής μας από την Α Λυκείου συνάρτησης α, όπου α Για παράδειγμα, η εξίσωση παριστάνει την παραβολή που έχει και άρα έχει εστία το σημείο E(,) και διευθετούσα την ευθεία < E, Ιδιότητες Παραβολής Έστω μια παραβολή () Από την εξίσωση () προκύπτει ότι τα και (με ) είναι ομόσημα Άρα, κάθε φορά η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε Επομένως, η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε Αν το σημείο M(, ) είναι σημείο της παραβολής, δηλαδή, αν, τότε και το σημείο M (, ) θα είναι σημείο της ίδιας παραβολής, αφού ( ) Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής Επομένως, η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής και λέγεται άξονας της παραβολής

4 93 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω η παραβολή και μια ευθεία που διέρχεται από την εστία της και τέμνει την παραβολή στα σημεία και Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των αποστάσεων των και M από τον άξονα είναι σταθερό M M M ΑΠΟΔΕΙΞΗ M (, ) Αν, ) και, ) είναι οι συντεταγμένες των ( ( M και M αντιστοίχως, τότε οι αποστάσεις των M και M από τον άξονα θα είναι ίσες με και αντιστοίχως Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι το ( (, ) ανήκουν στην παραβολή είναι σταθερό Επειδή τα σημεία, ),, θα ισχύει N E N M (, ) και Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M και M θα είναι, και, αντιστοίχως Όμως, τα σημεία E,, M,, M, EM // EM, οπότε έχουμε διαδοχικά: είναι συνευθειακά Επομένως:, EM ) det( EM ( ) ( ) + ( ) ( ), αφού Άρα (σταθερό)

5 9 Εφαπτομένη Παραβολής Έστω μια παραβολή C με εξίσωση () και ένα σταθερό της σημείο M(, ) Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία ζ που διέρχεται από το M(, ) και τέμνει την παραβολή και σε ένα άλλο σημείο M(, ) Τότε η ζ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης ε ζ M (, ) M (, ) λ και επειδή διέρχεται από το σημείο M(, ), θα έχει εξίσωση ( ) () Επειδή τα σημεία M(, ), M(, ) ανήκουν στην παραβολή, οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωση () Άρα, θα ισχύει C οπότε θα έχουμε διαδοχικά και, ( ) ( )( + ) ( + Έτσι, η εξίσωση () θα πάρει τη μορφή δηλαδή τη μορφή + ( ) ( ), + )( ) ( ) (3) Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σημείο M(, ), κινούμενο πάνω στην παραβολή C, τείνει να συμπέσει με το σημείο M(, ) Τότε το τείνει να γίνει ίσο με, οπότε η εξίσωση (3) της τέμνουσας ζ τείνει να πάρει τη μορφή ( + )( ) ( ),

6 95 δηλαδή τη μορφή ( ) ( ) () Η εξίσωση αυτή παριστάνει την ευθεία ε, που είναι η οριακή θέση της τέμνουσας ζ, καθώς το M τείνει να συμπέσει με το M Η ευθεία ε λέγεται εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Η εξίσωση της εφαπτομένης γράφεται διαδοχικά: M + ( + ) Επομένως, η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της M(, ) έχει εξίσωση ( + ) Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της M (, ) έχει εξίσωση ( + ), η οποία γράφεται + Αν μια παραβολή έχει εξίσωση, τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M(, ) έχει εξίσωση ( + ) Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής Μια σπουδαία ιδιότητα της παραβολής, γνωστή ως ανακλαστική ιδιότητα είναι η εξής: Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής M διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία ME και η ημιευθεία M t, που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής

7 96 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφαπτομένη της παραβολής στο M(, ) και N το σημείο τομής της με τον άξονα Για να δείξουμε ότι φ φ, αρκεί να δείξουμε ότι ω ω ή ισοδύναμα ότι ( EM ) ( EN ) Πράγματι, επειδή η ε έχει εξίσωση ( + ), το N θα έχει συντεταγμένες (, ), οπότε θα ισχύει N (-,) ε ω M (, ) ω E φ φ, ω C η t ( EM) + και ( EN ) + Επομένως, έχουμε: ) + ( EM ( EN ) Η χρήση της παραπάνω ιδιότητας γίνεται στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ραντάρ, στα φανάρια των αυτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κτλ Συγκεκριμένα: Όλες οι ακτίνες φωτός που προσπίπτουν στο παραβολικό κάτοπτρο παράλληλα προς τον άξονά του, ανακλώμενες, συγκεντρώνονται στην εστία Στα φανάρια των αυτοκινήτων που έχουν παραβολικά κάτοπτρα οι λαμπτήρες βρίσκονται στην εστία τους Έτσι, οι φωτεινές ακτίνες, ανακλώμενες στο κάτοπτρο, εξέρχονται παράλληλα προς τον άξονά του

8 97 ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με την προηγούμενη απόδειξη, για να φέρουμε την εφαπτομένη μιας παραβολής σε ένα σημείο της M(, ), αρκεί να ενώσουμε το σημείο N(, ) με το M (, ) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έστω η παραβολή C : και ε, ε οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα σημείο M(, ) με Αν M, M είναι τα σημεία επαφής των ε,ε με την παραβολή C, να αποδειχτεί ότι (i) Η ευθεία MM έχει εξίσωση ( + ) (ii) Η ευθεία MM διέρχεται από την εστία, αν και μόνο αν το M ανήκει στη διευθετούσα της παραβολής ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Αν (, ) και (, ) είναι οι συντεταγμένες των σημείων M και M, τότε οι εφαπτόμενες ε και ε θα έχουν εξισώσεις: ε M (, ) ε : ( + ) ε : ( + ) M (, ) Ε M (, ) και επειδή οι ε και ε διέρχονται από το M (, ), θα ισχύουν δ ε ( + ) και ( + ) Επομένως, οι συντεταγμένες των M και M θα επαληθεύουν την εξίσωση ( + ) () Άρα, η () θα είναι η εξίσωση της χορδής MM (ii) Λόγω της (i), η ευθεία M M διέρχεται από την εστία E,, αν και μόνο αν οι συντεταγμένες της Ε επαληθεύουν την εξίσωση της ( + ), δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει + ή ισοδύναμα,

9 98 που συμβαίνει, αν και μόνο αν το σημείο παραβολής M(, ) ανήκει στη διευθετούσα της ΣΧΟΛΙΟ Η ευθεία MM λέγεται πολική του σημείου ως προς την παραβολή C, ενώ το M σημείο λέγεται πόλος της MM ως προς την C Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της M πολικής ενός σημείου M (, ) ως προς την παραβολή C : έχει τη μορφή που θα είχε η εφαπτομένη της C στο σημείο M (, ), αν αυτό ανήκε στην C Έστω η παραβολή και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο της M(, ), η οποία τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο M Να αποδειχτεί ότι MEM ΑΠΟΔΕΙΞΗ 9 Η εξίσωση της ε είναι ( + ) () M (, ) Επειδή το σημείο M(, ) είναι σημείο της παραβολής, ισχύει, οπότε Άρα, οι συντεταγμένες του είναι M ε M E,, δ: Έτσι, η εξίσωση () γράφεται + ή + () Επομένως, οι συντεταγμένες του M θα είναι η λύση του συστήματος +

10 99 Από την επίλυση του συστήματος αυτού βρίσκουμε ότι οι συντεταγμένες του M είναι Έτσι, έχουμε λ EM, και λ EM Άρα, λ EM λem, που σημαίνει ότι EM EM, δηλαδή ότι M E M 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν έχει εστία το σημείο Ε (,) (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α (, ) Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση: (i) 8 (ii) 8 (iii) (v) (iv) α (vi) α 3 Δίνεται η παραβολή Να αποδειχτεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σημείο της Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής ίδια τεταγμένη και ισχύει ΑΟΒ 9, που έχουν την 5 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής περιπτώσεις: σε καθεμιά από τις παρακάτω

11 (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία + (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α (, ) 6 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της στα σημεία Α (,) και Β, Β ΟΜΑΔΑΣ Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος ( 3) + 8 εφάπτεται της παραβολής (Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους) Έστω η παραβολή Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α (, 3 ) τέμνει τον άξονα στο σημείο Β, να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο 3 Έστω η παραβολή Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α (3, 3 ) τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β, να αποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ εφάπτεται στον άξονα στην εστία της παραβολής Έστω Μ ένα σημείο της παραβολής Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο EM, όπου Ε η εστία της παραβολής, εφάπτεται στον άξονα 5 Έστω η παραβολή και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο Α (, ) αυτής Αν η ευθεία ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Β, να αποδειχτεί ότι ΒΕ // ε 6 Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Α τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β και τον άξονα στο σημείο Κ, να αποδειχτεί ότι (i) AEB 9, (ii) ΕΚ ΑΒ και (iii) ( ΕΚ ) ( ΚΑ)( ΚΒ) 7 Έστω η παραβολή και ένα σημείο της Α (, ) Φέρνουμε την εφαπτομένη της παραβολής στο Α, που τέμνει τον άξονα στο Β και την παράλληλη από το Α στον άξονα, που τέμνει τη διευθετούσα στο Γ Να αποδειχτεί ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ρόμβος με κέντρο στον άξονα 8 Δίνονται οι παραβολές C : και C : (i) Να αποδείξετε ότι οι C και C τέμνονται στα σημεία (,) και Α (, ) (ii) Αν οι εφαπτόμενες των C και C στο Α τέμνουν τις C και C στα σημεία Β και Γ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι η ΒΓ είναι κοινή εφαπτομένη των C και C