Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ"

Transcript

1 Ενότητα 4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκήσεις για λύση ). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο 0, όταν: i) f ( ), 0 ii) f()=, 0 iii f ). Να βρεθεί η παράγωγος της f στο 0, όταν: i) f()=συν, 0 ii) f()=( ), ) ( ), 0 iv) f()=4 +, ). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, όπου: i) f()= -, ii) f()= 4, 0 0 4). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις :, - 9, <- i) f ( ) ii)g()= είναι 6, >- 4 6, - παραγωγίσιμες στο 0 =-. 5). Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0, 0 i) f ( ) ii) g()= Να αποδείξετε ότι 0, =0 0, =0 f (0) = g (0) = 0., 0 6). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τις τιμές a, >0 του α, έτσι ώστε: i) η f να είναι συνεχής, ii) η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0. a, < 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τους α, β β, ώστε η f να παραγωγίζεται στο 0 =. 8). Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α( 0,f( 0 )) όταν: i) f ( ), ii)f()=, 0 0 iii) f ( ), iv)f()=-+ημ, 0 0 0, <0 9). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε την εξίσωση, 0 της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(0,f(0)). 0). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α( 0 f( 0 )), όταν: i) f ( ) 5, 5 ii)f()=, 0 0 8

2 Ενότητα 4 ). Να υπολογίσετε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f ( ) 5 ii g ) ( ) iii) h( ) 0 0 ). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις:, 0 i) f ( ) ii) f()= e, <0 είναι παραγωγίσιμες 0, =0 συν, 0 στο 0 =0. ). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g με: 4 v e, <0, <0 i) f ( ) ii)g()= 0, =0 όπου ν 5, 0 e, >0 φυσικός με ν >, είναι παραγωγίσιμες στο 0 = 0. 4). Nα βρεθούν οι α, β ώστε η συνάρτηση a 6, < f ( ) να είναι παραγωγίσιμη στο 0 = ( a ),. 5). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και για κάθε ισχύει f ( ) f ( ) f ( ), να αποδείξετε ότι f (0) =. 6). Αν f ( ) για κάθε, να αποδείξετε ότι: i) f (0) ii)f (0) = 7). Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f ( y) f ( ) f ( y), για κάθε, y. Αν η f παραγωγίζεται στο 0 0 με f (0) =, να αποδείξετε ότι παραγωγίζεται σε κάθε α. 8). Αν f ( ) f ( ) για κάθε και η f παραγωγίζεται στο 0 0, να βρείτε την κλίση της f στο 0 0 και την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο α(0,f(0)). 9). Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 =0 και f ( ) 5 για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) f (0) 0 ii)f (0) = 5 f ( ) 0). Αν η f είναι συνεχής στο και lim 5, να αποδείξετε ότι : i) f () 0 ii)f () = 5 f ( h) ). Αν η f είναι συνεχής στο 0 lim 0, να h0 h αποδείξετε ότι: ι) f() = 0 ii) f () = 0 9

3 Ενότητα 4 f ( a ) ). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α και lim, να 0 αποδείξετε ότι f (α)=. ). Αν για τις συναρτήσεις f, g : ισχύει f ( ) g( ) για κάθε και g(0) = g (0) = 0, να αποδείξετε ότι f (0) = 0. 4). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0 f( 0) g( 0 ) 0 g ( 0 ) 0, να αποδείξετε ότι f ( ) f '( 0 ) lim. 0 g( ) g ( ) 0 a, < 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), =, όπου α, β, γ, > γ. Να βρείτε τους α, β, γ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο. 6). Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο, να 0 f ( 0 ) 0 f ( ) αποδείξετε ότι lim f ( 0 ) 0 f '( 0 ) ). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο α, να αποδείξετε a f ( ) f ( a) i)lim a f '( ) f ( a) a ότι: a f ( ) g( a) f ( a) g( ) ii)lim g( a) f '( a) f ( a) g '( a) a a f ( ) 8). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και lim, να αποδείξετε ότι f ()=5. 9). Να βρεθούν οι α, β, γ ώστε η συνάρτηση f με τύπο a, < f ( ) να είναι παραγωγίσιμη στο 0. γ a, 0). Δίνεται συνάρτηση f : ώστε να ισχύει f ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι f (0) =. ). Μια συνάρτηση f : είναι συνεχής στο και έχει την ιδιότητα f ( ) f ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι f () =. ). Μια συνάρτηση f έχει την ιδιότητα f ( y) f ( ) f ( y) y, για κάθε, y. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α με f (α) = + α, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και ισχύει f '( ), για κάθε. ). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, f(0) =0 και ισχύει f ( y) f ( ) f ( y) y για κάθε, y, να αποδείξετε ότι f ( ) f '(0), για κάθε. 0

4 Ενότητα 4 4). Αν f '(0) και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( ) y f ( y) να αποδείξετε ότι f '( ), για κάθε. f ( ) 4 f ( ) 5). Αν f (0) 0 lim 4, να αποδείξετε ότι 0 f (0)= -. 6). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι η f ( ), συνάρτηση g( ) είναι παραγωγίσιμη στο, με f(-), > g () = f (). 7). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f () =, να f ( h) f ( 5 h) βρείτε το όριο A lim. h0 f ( 6 h) f ( h) 8). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( ) f ( y). Να αποδειχθεί ότι η f παραγωγίζεται σε κάθε 0. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; ii) Πώς συμβολίζεται η παράγωγος της f στο 0 ; iii) Ποιοι τύποι μας δίνουν την παράγωγο της f στο 0 ; iv) Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 ; v) Πότε ορίζεται εφαπτομένη στη γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f στο σημείο Μ( 0, f( 0 )) και τι εξίσωση έχει στην κάθε περίπτωση; vi) vii) viii) i) Πότε ορίζεται η κλίση μιας συνάρτησης f στο 0 και με τι ισούται; Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο 0.Ισχύει το αντίστροφο; Μια συνάρτηση f έχει κλίση στο 5 ίση με Αν η C f διέρχεται από το σημείο Α(5, ), ποια εξίσωση έχει η εφαπτομένη της C f στο Α; Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κατά τη χρονική στιγμή t 0;

5 Ενότητα 4 Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α( 0, f( 0 )) είναι η. Ο αριθμός f ( 0 ) λέγεται και.. της C f στο Α ή.. της f στο 0. ii) Η f λέγεται παραγωγίσιμη στο 0, αν υπάρχει το.. και είναι πραγματικός αριθμός. iii) Η παράγωγος της f στο 0 εκτός απο f ( 0 ) συμβολίζεται ακόμα και με ή. iv) Η παράγωγος της f στο 0 δίνεται και από τη σχέση f ( 0 ) = v) Αν f ( ), τότε f () = vi) Αν f ( ), τότε f (0) = vii) Αν η f είναι συνεχής στο 0 και f ( ) f ( 0 ) lim ( ), τότε η εφαπτομένη της C f στο 0 0 Α( 0 f( 0 )) είναι η ευθεία (ε): viii) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0, τότε είναι και. στο σημείο αυτό. Το αντίστροφο.. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής.η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0, όταν: f ( ) f ( 0 ) A. lim ( ) f ( 0 h) f ( 0) B.lim h0 h f ( 0 ). lim 0 0 f ( ) f ( 0) f ( ) f ( 0 ). lim lim E. lim f ( ) f ( ) 0, <0.Αν f ( ), τότε:, 0 Α. f (0) = 0 Β. f (0) = Γ. f (0) = Δ. f (0) = - Ε. δεν υπάρχει η παράγωγος της f στο 0

6 Ενότητα 4. Κλίση της f στο 0 λέγεται ο αριθμός: Α. f( 0 ) B. f( 0 ) Γ. f ( 0) Δ. f ( 0 ) Ε. τίποτα από τα παραπάνω 4.Αν η f παραγωγίζεται στο 0, τότε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A( 0, f( 0 )) έχει εξίσωση: A. B. y=f( ) 0 0. y f ( ) f ( )( ) Δ. y=f ()-( ) E. y f ( ) f '( )( ) Αν η f είναι συνεχής στο 0, f ( ) f ( 0) f ( ) f ( 0 ) lim lim τότε: Α. η f παραγωγίζεται στο 0 Β. η κλίση της f στο 0 είναι θετική Γ. η κλίση της f είναι αρνητική Δ. η C f έχει κατακόρυφη εφαπτομένη Ε. δεν ορίζεται εφαπτομένη της C f στο σημείο M( 0, f( 0 )) 6. Αν η f παραγωγίζεται στο και η C f διέρχεται από το σημείο Α (, ), τότε: Α. f () = Β. f() = Γ. η εφαπτομένη της C f στο Α είναι η ευθεία με εξίσωση = Δ. δεν ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α Ε. lim f ( ), 7. Αν η συνάρτηση f ( ) παραγωγίζεται στο α+β, >, τότε: Α. α = και β = Β. α = και β = - Γ. α = και β = - Δ. α = - και β = Ε. α = 5 και β = - 4 f ( h) 8. Αν η f είναι συνεχής στο και lim, τότε: h0 h Α. f () = B. f () = Γ. f() = - Δ. f () = - Ε. η f δεν παραγωγίζεται στο 9. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) στο σημείο Α (0, f(0)) είναι η : Α. y = B. y = 0 Γ. = 0 Δ. y = - + E. δεν ορίζεται εφαπτομένη

7 Ενότητα 4 Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Αν f ( ), f ()=. f ( ) f () ii) Αν lim, f ()=. f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) iii) Αν lim lim, τότε η f είναι a a a a παραγωγίσιμη στο 0 = α. iv) Η παράγωγος της f στο 0 δίνεται και από τη σχέση f ( 0 h) f ( 0 ) f ( 0 ) = lim. h0 h v) Αν f ( ), τότε f ()=6. f ( h) f () vi) Αν lim 7, τότε f () = - 7. h0 h vii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f, όπου f ( ), στο σημείο Α (, f()) είναι η y = +. viii) Αν f ( ), τότε η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(,f()) την ευθεία (ε) : =. f ( ) f ( 0 ) i) Αν lim (ή - ), τότε υπάρχει 0 0 εφαπτομένη της C f στο σημείο Α( 0, f( 0 )) και έχει εξίσωση = 0. ) Κλίση της f στο 0 λέγεται ο αριθμός f ( 0 ), αν υπάρχει. i) Αν = S(t) είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού, τότε η στιγμιαία ταχύτητα υ(t 0 ) δίνεται από τον τύπο S( t) S( t0) υ ( t0) lim. tt0 t t0 ii) Α ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t 0 S( t) S( t0) ισχύει ότι 0, οπότε υ( t 0 ) 0. Αν όμως t t 0 κινείται προς τα αριστερά, τότε υ( t 0 ) 0. 4

8 Ενότητα 5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ασκήσεις για λύση 9). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0, όταν: i) f ( ), ii) f()=, iii) f ( ), 0 iv) f()=συν, 0 v) f ( ) ln, 0 vi) f()=e, 0 ln 40). Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f ( ) ii)g()= 4). Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:, <0, 0 i) f ( ) ii) g( ) 4 συν, 0, >0 4). Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f ( )., < 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i)να βρεθεί η ln, f. ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(-,f()). 44). Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) e, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(-,0). ln 45). Να βρείτε το όριο lim. e e 46). Να βρείτε το όριο B lim. 6 47). Δίνεται το όριο f ( ). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της C f, οι οποίες να είναι παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη 7 γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) ; 48). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της C f, οι οποίες είναι κάθετες με την ευθεία (η): y 0. 49). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και τα σημεία Α(, ), Β(-, 0). Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ εφάπτεται της C f στο Α. 50). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και το σημείο Α(, f()). i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο Α. ii) Να βρείτε το άλλο κοινό σημείο Ν της (ε) με τη C f και να αποδείξετε ότι η κλίση της C f στο Ν είναι τετραπλάσια από την κλίση της C f στο Α. 5

9 Ενότητα 5 5). Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της 4, <0 συνάρτησης f ( ) στα κοινά της σημεία με την ευθεία, 0 <6 (η): 5y 6 0 είναι κάθετες. a, < 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τους α, β,, γ, έτσι ώστε η C f να έχει στο σημείο Α(, f()) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία (η): 4 y 0. 5). Αν μια συνάρτηση f : είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο (0, ), να αποδειχθεί ότι η C f έχει την ίδια κλίση στα σημεία της με αντίθετες τετμημένες. a 54). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), 0, και ένα μεταβλητό σημείο Μ της C f. Αν η εφαπτομένη της C f στο Μ τέμνει τους άξονες καιy y στα σημεία Α,Β, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν. 55). Δίνεται η παραβολή ( C) : y. Να αποδείξετε ότι: i) από κάθε σημείο Μ(α, β) με β < α διέρχονται δύο ακριβώς εφαπτόμενες της παραβολής, ii) αν το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y, τότε οι εφαπτόμενες της ( C ) που διέρχονται από το Μ είναι κάθετες. 56). Δίνεται η συνάρτηση f : με την ιδιότητα f ( ) f ( ) για κάθε. i) Να βρεθεί ο τύπος της f. ii) Να αποδειχθεί ότι από τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της f. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη; ii) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο a, ; iii) Τι λέγεται παράγωγος της f και πως συμβολίζεται; iv) Πώς ορίζεται η νιοστή παράγωγος f (v) της f, όπου v ; v) Να αποδείξετε ότι: ( c ) = 0 = ( v ) = v v-, v 6

10 Ενότητα 5 ( ), > 0 ( )' ( )' vi) Ποια είναι η παράγωγος των συναρτήσεων f ( ) e g()=ln;, 0 vii) Αν f ( ), ποια είναι η f '( ); -, > 0 viii) Αν f ( ), ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A(-, f(-)); Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Η συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα σημεία του συνόλου Α, στα οποία η συνάρτηση f : A είναι παραγωγίσιμη, με την παράγωγο f (), λέγεται. Ή απλά.. της f. ( v ii) Αν v, τότε f ) ( )... iii) Είναι: ( c ) =.. ( v ) =.., (ημ) =. (e ) =. =., για κάθε (συν) =. (ln) =, > 0 iv) Αν f ( ), τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στη C f στο σημείο Α (π, f(π)) είναι η. v) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ), η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία ( ) : 4 y 7 0 είναι η. vi) Το σημείο Μ, στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) ln διέρχεται από την αρχή των αξόνων, έχει συντεταγμένες Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f ( ) στο σημείο Α( -, f(-)) είναι η: A. y 6 B. y=-4 Γ. y=- Δ. y=--4 E. y=5+ 7

11 Ενότητα 5 ) Η παράγωγος της συνάρτησης y ln είναι η: A. ln B. e. Δ. 0 Ε. ), <0 Αν f ( ) =f ' (- )+f '(0)+f '(), τότε:, 0 Α. α = Β. α = - Γ. α = - Δ. α = Ε. α = 7 4) 00 Αν f ( ), g()=e, h()= λ=f '(0)+g'(0)+h'(0), τότε: Α. λ = 0 Β. λ = - Γ. λ = Δ. λ = - Ε. λ = 5) Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) ln στο σημείο Α (, f()) είναι η: Α. y = 0 B. = Γ. y = - Δ. y = - E. y = - + 6) Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 f ( ) στο σημείο Α ( -, f(-)) τέμνει τους άξονες στα σημεία Β και Γ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ είναι ίσο με: A. B Δ. 8. Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) 4 Αν f ( ), τότε f (-) = - 4. ii) Αν f ( ), τότε f π '( ) 0. iii) Αν f() = συν, τότε f '( ). iv) Αν f ( ), τότε f '(4). v) Αν f ( ) e, τότε f '(ln 7) 7. vi) Αν f ( ) ln, τότε f '( ). vii) Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. viii) Δίνεται η συνάρτηση f ( a) a. Τότε f '( a) 0. 8

12 Ενότητα 5 i) Αν f( 5 ) = 0 και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 5, τότε f (5) = 0. ) Η C f, όπου f ( ), έχει στο σημείο Ο(0, 0) εφαπτομένη με εξίσωση = 0. i) Ο άξονας εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=. ii), 0 Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη. 4, >0 iii) Αν, < f ( ), τότε, f '( ). 4 9

13 Ενότητα 5 Διαγώνισμα 6 ΘΕΜΑ Α. α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο 0 ; β Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο Α ( 0, f( 0 )) είναι: A. y= B. y-y f ( )( ) f '( )( y y ) Δ. y-f( ) = f '( )( ) (μονάδες ) E. 0 f '( 0 ) y y0 γ) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο 0. (μονάδες 7) Β. α) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) στο σημείο Μ (, f()) είναι: A. y-f()=f ' ()(-) B. y-f ' ()=f()(-) Γ. = Δ. y= Ε. Δεν ορίζεται (μονάδες 6) f ( h) f () ) Αν f ()=, τότε το lim είναι ίσο με: h0 h Α. Β. Γ. 5 Δ. Ε. ( μονάδες 6,5) Θέμα a, < Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τις τιμές γ a, των α, β, γ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 =. (μονάδες 5) Θέμα Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και ένα σημείο της Μ(ξ,f(ξ)). Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ τέμνει τους άξονες στα Α και Β. Να αποδείξετε ότι: Α) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ. (μονάδες 5) Β) Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν. (μονάδες 0) Θέμα 4 Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει μια οικοδομή, η οποία να έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου. Το δάπεδο της οικοδομής είναι τετράγωνο, ενώ ολόκληρο το οικοδόμημα έχει όγκο 500 m. Η απώλεια θερμότητας από την οροφή είναι τριπλάσια από την απώλεια θερμότητας από τους τοίχους (ανά τετραγωνικό μέτρο). Από το δάπεδο οι απώλειες αμελητέες. Α) Να βρείτε μια συνάρτηση f, η οποία να δίνει τις απώλειες της οικοδομής ως συνάρτηση της πλευράς του δαπέδου. (μονάδες ) Β) Να βρείτε την παράγωγο της f καθώς και το πρόσημο της f. (μονάδες ) 0

14 Ενότητα 6 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ασκήσεις για λύση 57). Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) ln ii) g( ) 5 iii) h( ) iv) ( ) ( ) ( ), <0 58). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθεί, 0 η f (). 59). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f ( ) ( ) ii) g( ) ( ) iii) h( ) iv) ( ) ( ) ( ), <0 60). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθεί, 0 η f (). 6). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f ( ) ii) g()=( ) ln iii) h( ) ( ) e iv) φ()= ln 6). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 4. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y 0, ii) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 4y 0, iii) διέρχεται από το σημείο Α(5, -). 6). Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτόμενες της C f είναι παράλληλες στον άξονα όταν: i) f ( ) ii)f()= 4 iii) f ( ) ). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f ( ) ii)g()=ημ iii)h()=e ln( )

15 Ενότητα 6 65). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων : i) f ( ) ( e ) ii)g()=ln ( ) 66). Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο. i) Αν η f είναι άρτια, να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. ii) Αν η f είναι περιττή, να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. 67). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) e g()=συν. Να i) f ''( ) f '( ) f ( ) 0 αποδείξετε ότι: ii) g ''( ) g '( ) 4 g( ) 0 68). Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων: 4,, < i) f ( ) ii) g( ) 4 6 8, > 5, 69). Έστω f : παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να βρεθεί η g όταν: i g f ) ( ) ( ) ii)g()=f ( ) iii g f f() ) ( ) ln( ( )) iv)g()=, >0 4 +f ( ) v)g()=e vi)g()=f() συνf() 70). Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y 4 4 εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) g()=. 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να αποδείξετε ότι: i) η εφαπτομένη της C f σε οποιοδήποτε σημείο της M(α, f(α)), α 0, έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν. ii) η κλίση της f στο Ν είναι τετραπλάσια από την κλίση της f στο Μ. 7). Να βρεθούν τα α, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) a g()= a να έχουν κοινό σημείο με κοινή εφαπτομένη. 7). Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) να εφάπτεται στον άξονα των τετμημένων. 74). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), λ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ(, f()) διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ. 75). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: e ημ i) f ( ), >0 ii)g()=, (0,π) 76). Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) 4, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(, ).

16 Ενότητα ). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( )( ) g()=. Να αποδειχθεί ότι οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα από τα δύο κοινά τους σημεία. 78). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ), λ. Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες της C f στο σημείο Μ(, f()) διέρχονται από σταθερό σημείο για κάθε λ. 79). Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) a ln στο σημείο Μ(, f()) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 80). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) ln g()=α να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο το οποίο βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση =. 8). Να βρείτε τα α, β, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) a στο σημείο της Α(, ) να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) (4 a ) a. 8). Να αποδειχθεί ότι από τα σημεία της ευθείας (ε) με εξίσωση y = - άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην παραβολή με εξίσωση y. 4 8). Δίνεται η συνάρτηση f :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και περιττή. Να αποδείξετε ότι f (0) = 0. 84). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ), A= -,, και g( ), B=(0,π). Να αποδείξετε ότι : i)( f ) ( ), για καθε (-,) - ii)(g ) '( ), για καθε (-,) 85). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e ( ). Να αποδειχθεί ότι: f ''( ) 4 f '( ) 5 f ( ) 0. 86). Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Α = (0, + ) και για κάθε ισχύει f ( e ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Μ (, f()). 87). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να αποδείξετε ότι η ν-ιοστή ( v παράγωγος της f δίνεται από τη σχέση ) v f ( ) v για κάθε ν. 88). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( ) f ( y), να βρείτε το f (0).

17 Ενότητα 6 Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Αν οι f και g παραγωγίζονται στο 0 ποια είναι η παράγωγος της f + g στο 0 ; ii) Να αποδείξετε ότι ( f g)'( 0 ) f '( 0 ) g '( 0), όπου οι f και g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο 0. iii) Να αποδείξετε ότι ( f g) '( 0) f '( 0) g( 0) f ( 0 ) g '( 0), όπου οι f και g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο 0. iv) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων f ( ) g()=e. v) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων του γινομένου f g h, όπου f,g και h παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ; vi) Να βρεθεί η f, όπου f ( ) e. vii) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: c f ( ), οπου c, f ( ), g( ) όπου g( ) 0 f,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο σύνολο Α. viii) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης π f ( ), 0,. i) Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά ην παράγωγο της fog στο 0, όπου f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο 0. ) Με τον συμβολισμό του Leibniz, να γράψετε τον κανόνα της αλυσίδας για την παράγωγο της συνάρτησης fog. i) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: v ( f ( ))' ii) (ln f ( ) ) ' (ημ f ( ))' (εφ f ( ))' f ( ) ( e )' ( f ( ))' (συν f ( ))' (σφ f ( ))' Αν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, να βρείτε τις παραγώγους: v ( f ( ))' (ln f ( ) ) ' 4

18 Ενότητα 6 (ημ f ( ))' (εφ f ( ))' f ( ) ( e )' ( f ( )) ' (συν f ( ))' (σφ f ( ))' Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Αν οι f και g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ, τότε: ( f ( ) g( ))'... ( f ( ) g( ))' = ' f ( )... g( ) ' a... g( ) ( f g h)'... 5 ii) Αν f ( ), τότε f '( )... 5 ln iii) Αν f ( ), τότε f '( )... iv) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε f ( g( )) '... v) Αν y f ( u) u=g(), τότε dy... d (κανόνας της αλυσίδας ) vi) Είναι: ( a ) '... vii) vii) (ln )'... a ( ) '... (log a )'... f. f()=ημ, τότε '( )..., Av g()=συν, τότε g '( )...,. Av h()=ln, τότε h'( )..., >0. Αν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε: f() f ( ) '..., f()>0 (e ) '... (ln f ( ) )'... (ημf())'=... v (συνf())'=... (f ( )) '... 5

19 Ενότητα 6 Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής. Αν f ( ), τότε: A. f '()=ημ-συν B. f '()=συν-ημ Γ. f '()=-συν+συν Δ. f '()=συν+ημ E. f '()=0. Αν f ( ) ( ) e, τότε οι ρίζες της f είναι οι αριθμοί: A. - και Β. και Γ. - και Δ. και 4 Ε. -4 και 5. Η παράγωγος της συνάρτησης f h g είναι: f ' f ' - g ' A. B. g ' g f 'g-fg' f 'g+fg'. Δ. g g f ' E. - g 4. Η παράγωγος της συνάρτησης f g h είναι: A. f ' g' h' B. f 'gh'+fgh' Γ. f '+g'+h' Δ. f 'gh+fg'h+fgh' f ' g ' h ' E. g h f 5. Η παράγωγος της συνάρτησης (fog) () είναι: A. f '(g()) B. f '(g()) Γ. f(g'()) Δ. f '(g())+g'(f()) E. f '(g()) g'() 6. Αν f ( ), τότε: A. f '()=-ημ B. f '()=ημ Γ. f '()=συν Δ. f '()=συν E. f '()=-ημ-συν 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) g()=. α) Το κοινό σημείο Μ των C f και C g είναι το: A. (,) B. (,-) Γ. (0,) Δ. (-,) Ε. (0,0) β) Η κοινή εφαπτομένη των C f και C g στο κοινό τους σημείο Μ 6

20 Ενότητα 6 έχει. y=+ B. y=-+ Γ. y=- Δ. +y-4=0 εξίσωση: E. y=-7 8. Τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) 5, στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία (η): y 9, είναι τα: A. M(,) N(0,) B. M(,7) και Ν(-,) Γ. Μ(-,7) και Ν(,) Δ. Μ(,) και Ν(5,4) Ε. Μ(-,) και Ν(4,-) 9. Αν η C f, όπου f ( ) a, διέρχεται από το σημείο Α(, ) και εφάπτεται της ευθείας με εξίσωση y = στην αρχή των αξόνων, τότε: A. (α,β,γ)=(,,) Β. (α,β,γ)=(,,) Γ. (α,β,γ)=(,,) Δ. (α,β,γ)=(,-,) Ε. τίποτα από τα παραπάνω 0. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 = α και f ( ) af ( a) λ= lim, τότε: a a A. λ= Β. λ=α+f(α) Γ. λ=f(α)+αf '(α) Δ. λ=αf(α)+f '(α) E. λ=f(α)+f '(α) Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i. Αν η f + g είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε ( f g)'( ) f '( ) g '( ) ' ii. Είναι, για κάθε. iii. Η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () = 0, όπου f ( ) e, είναι η =. iv. Αν f ( ), τότε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f()) έχει εξίσωση y = 4. ' v. f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) Είναι, g() 0. g( ) g ( ) vi. Είναι ( f g h)' f ' g ' h'. vii. a ag '( ) Αν f ( ), τότε f '( ), g( ) g ( ) συνάρτηση viii. Αν α > και f() = α, τότε η f παραγωγίζεται στο 0 = 0. i. Αν η f g παραγωγίζεται στο 0, τότε και οι f, g παραγωγίζονται στο 0. 7

21 Ενότητα 6 Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Ισχύει ότι (εφ σφ) =. ii) Αν οι f και g παραγωγίζονται στο 0, τότε και η fog παραγωγίζεται στο 0. iii) Είναι f g f g g ' ' ', όπου f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις dy dy du iv) Ισχύει ότι, όπου y f ( u) u=g(). d du d v) Είναι: f ( ) f ( ) e ' e f '( ) ln f vi) Αν f ( ) ' f '( ) f ( ) ' f ( ) f vf f v v ( ) ' ( ) '( ) f ( ) g()=ημ, τότε f '( ) g '( ). vii) Αν f ( ) e, τότε η C f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο M (, f ( )). viii) Η ευθεία (η): y = 5 5 εφάπτεται στη C f,όπου f ( ) 4. 8

22 Ενότητα 6 Διαγώνισμα 7 Θέμα Α. α) Η πρώτη στήλη περιέχει μια συνάρτηση και η δεύτερη την παράγωγό της. Να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις των δύο στηλών και να συμπληρώσετε τον πίνακα. Στήλη Α Στήλη Β. ημ α) ημ. εφ β) e. γ) 4. συν δ) 5. e ε) 6. ln στ) a ln a 7.σφ ζ) 8. α η) θ) e ι) ( μονάδες 4 ) β) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει f g 0 f 0 0 f 0 g 0 '( ) '( )( ) ( ) '( ). ( μονάδες 6 ) γ) Αν u f ( ) είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, να συμπληρώσετε τις προτάσεις: a. ( u )'.... ( u)'.... (ημu)'= (συνu)'=... u 5. (ln u ) ' (α ) ' (εφu)'= (σφu)'=... Β. α) Αν e f ( ), τότε οι ρίζες της f είναι: (μονάδες,5) 9

23 Ενότητα 6 A. = B. =0 = Γ. = Δ. = ' ' E. =- =4 (μονάδες 5) β) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( ) e, για κάθε. Η κλίση της f στο 0 = 0 είναι : Α. Β. Γ. e Δ. 0 Ε. - e (μονάδες 7,5) Θέμα Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) (0, ), με την ιδιότητα f ( ) f ', κάθε > 0. Να αποδειχθεί ότι: α) f, για κάθε > 0. (μονάδες 0) f '( ) ' β) f ( ) f 0, για κάθε > 0. (μονάδες 5) για Θέμα 6 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln. α) Να αποδείξετε ότι f '( ), για κάθε A (,0) (0, ). ( ) (μονάδες 5) β) Να βρείτε το πρόσημο της f. (μονάδες 0) Θέμα 4 Ένας άνδρας βρίσκεται στο άκρο Α μιας τετράγωνης πισίνας ΑΒΓΔ με πλευρά α = 0 m, μπορεί να περπατήσει με ταχύτητα 5 km/h και να κολυμπήσει με ταχύτητα km/h. α) Να βρείτε μια συνάρτηση f, η οποία να εκφράζει το χρόνο που χρειάζεται ο άνδρας για να φτάσει στο σημείο Γ. (μονάδες ) β) Να βρείτε την παράγωγο και το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης αυτής. (μονάδες ) 40

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο - 33 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο o = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση o = ηµ συν, f() = είναι παραγωγίσιµη, = f() = e, < είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ενότητα Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ασκήσεις για λύση 1). Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii) g()= 1 1 iii) h( ) iv) φ()= 4 5 ). Αν η ευθεία ε: y + β

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ορισμοί α) Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Β, όπου Β ένα υποσύνολο του Α, θα λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β Αν

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωμα. 2). Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: 3 2 x. 3). Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: x 1 1-ημx

Αόριστο Ολοκλήρωμα. 2). Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: 3 2 x. 3). Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: x 1 1-ημx Ενότητα 5 Αόριστο Ολοκλήρωμα Ασκήσεις για λύση ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A= 4 d, >0 4 4 ii) B= d, >0 iii) = 4+ d, >0 i) = e d, ). Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: i) f ( ) 4 ii)g()=e

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο την ευθεία = α + β, µε α, όταν Α. ( Β. η f είναι συνεχής στο = α R Γ. η f δεν είναι συνεχής στο. το όριο Ε. το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ 1o ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού της συµπίπτει µε τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». {,3,5,7,... } { / = ν +, ν Ν} =. = {} 0 3. Αν Α Β τότε Α Β = Α 4. 5 {,3,5,7 } 5. Αν Α= {, 3,7} και Β= {,3} 7, τότε Α=Β 6.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R. 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. e = 2. e, x ο. e f ( ln 2 ) = όταν : 4

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. e = 2. e, x ο. e f ( ln 2 ) = όταν : 4 . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 9 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο ο όταν : i) ( ), ο ii) ( ), ο 9 iii) ( ) συν, v) ( ) ο 6 π e, ο ln iv) ( ) ln, ο e i) Για κάθε R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 4 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 7 i ( 4 6 ii ( ln 4 iii ( 4 iv ( συν i Για κάθε R είναι ( 7 6 4 6 ii Για κάθε (, είναι ( 6 iii Για κάθε R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α Α Έστω

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης lisari.blogspot@gmail.com 13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο ο - Κατεύθυνσης (Τελευταία ενημέρωση: 3/1/16) 13 Μαθήματα 34 Ερωτήσεις θεωρίας 177 Άλυτες ασκήσεις _+ 5 ασκήσεις σχολικού βιβλίου Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0.

5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0. Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι 5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται μιά συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Αν υπάρχει στο R, τό f()-f( ) - df( ) συμβολίζεται με f ( ) ή d Παραδείγματα:

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία των πανελλαδικών εξετάσεων [] [] Ορισμοί ) Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης. Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 2ος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης. Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος ος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Παν/μίου

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 3ος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Παν/μίου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Σε κάθε γραφική παράσταση C f της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση C f από τη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ. : C f : C f. - α. 2. β. 2π 3.

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση f () = e εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός αριθµού κ R, ώστε να ισχύει Α. e α-β = e κ (α - β) Β.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

f '(x 0) lim lim x x x x

f '(x 0) lim lim x x x x Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 1 Ιανουαρίου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα