13. ΕΝΑΛΛΑΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

Transcript

1 13.ΕΝΑΛΛΑΣΟΜΕΝΑΡΕΥΜΑΤΑ Μία τάση λέγεται εναλλασσόμενη όταν η τιμή και η πολικότητά της είναι περιοδική συνάρτησητουχρόνου.οίδιοςορισμόςισχύεικαιγιατοεναλλασσόμενορεύμα. Μία εναλλασσόμενη τάση λέγεται ημιτονοειδής (ή αρμονική) όταν η τιμή της είναι ημιτονοειδήςσυνάρτησητουχρόνου: U(t) = U 0 sin(ωt + φ) Στηνσχέσηαυτή,τοU 0 ονομάζεταιπλάτος,το (ωt + φ)φάση,το φαρχικήφάσηκαιτοω κυκλικήσυχνότητα.ηκυκλικήσυχνότητασυνδέεταιμετηνσυχνότητα(f)καιτηνπερίοδο (Τ)μετιςσχέσεις: ω = 2πf = 2π T Εναλλασόμενητάσηπαράγεταισταάκραενόςπλαισίουήπηνίουτοοποίοπεριστρέφεται μεγωνιακήταχύτηταωσεμαγνητικόπεδίο. ΣτοΕυρωπαϊκόδίκτυοπαροχήςτηςηλεκτρικήςενέργειας,f=50Hz.ΣτιςΗΠΑείναιf=60Hz. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΤΩΝΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝR,L,CΣΤΟΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Θαεξετάσουμετοπλάτοςκαιφάσητουρεύματοςπουδιέρχεταιαπόέναεξάρτημα(R,Cή L)ότανσταάκρατουεφαρμόζεταιεναλλασσόμενητάσηV (t) = V 0 sin(ωt). Ωμικήαντίσταση Ητάσησταάκρατηςαντίστασηςείναι Τορεύμαπουτηνδιαρρέειείναι Τοπλάτοςτηςέντασηςρεύματοςείναι Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)

2 Η ένταση του ρεύματος και η τάση στα άκρα της αντίστασης συναρτήσει του χρόνου δίδονται στο επόμενο Σχήμα. Χρήσιμο είναι και το διανυσματικό διάγραμμα, όπου τα πλάτητωνρευμάτωνκαιτάσεωνπαριστάνονταιμεδιανύσματα,ταοποίαέχουνόρισματην αντίστοιχη φάση. Οι φάσεις αναφέρονται ως προς τον άξονα x. Τότε, οι στιγμιαίες τιμές τουςδίδονταιαπότιςπροβολέςτωνδιανυσμάτωνωςπροςτονάξοναy. Παρατηρούμεότιηφάσητηςέντασηςτουρεύματοςείναιίδιαμετηνφάσητηςτάσης.Τότε λέμεότιηέντασηβρίσκεταισεφάσημετηντάση. Πυκνωτής Ητάσησταάκρατουπυκνωτήείναι Τότε,ηέντασητουρεύματοςείναι i = dq dt = C dv C = ωcv 0 cos(ωt) = ωcv 0 sin ωt + π dt 2 Πλάτοςτηςέντασηςρεύματοςείναι

3 Εδώ έχουμε θέσει προκειμένου να γράψουμε το πλάτος του ρεύματος σαν πλάτος τάσης διά αντίσταση. Η ποσότητα Z C ονομάζεται χωρητική αντίσταση του πυκνωτή. Ηέντασητουρεύματοςκαιτάσησταάκρατουπυκνωτήσυναρτήσειτουχρόνουδίδεται στοεπόμενοσχήμα.στοδιανυσματικόδιάγραμμαφαίνονταιταπλάτητηςτάσηςκαι ρεύματοςμετιςαντίστοιχεςφάσεις. Παρατηρήσατεότιηφάσητουρεύματοςπροηγείταιτηςτάσηςκατα90. Πηνίο Η εφαρμοζόμενη τάση V (t) αντισταθμίζεται από την τάση εξ επαγωγής στα άκρα του πηνίου.απότον2 ο κανόνατουkirchhoffέχουμε Αρα, V (t) L di dt = 0 L di dt = V 0 sin(ωt) di = V 0 sin(ωt) dt L Τοπλάτοςτηςέντασηςρεύματοςείναι

4 όπου είναιηεπαγωγικήαντίστασητουπηνίου. Ηέντασηρεύματοςκαιητάσησταάκρατουπηνίουσυναρτήσειτουχρόνουδίδονταιστο επόμενο Σχήμα. Στο διανυσματικό διάγραμμα φαίνονται τα πλάτη V 0 και με τις αντίστοιχεςφάσεις. Παρατηρήσατεότιηφάσητουρεύματοςέπεται(υστερεί)τηςτάσηςκατά90. Τονίζουμε ότι έχουμε θεωρήσει για αναφορά την εφαρμοζόμενη τάση οπότεηέντασητουρεύματοςείναι Γιακάθεεξάρτημα,ηαντίστασηΖ καιηφάσηφσυνοψίζεταιστονεπόμενοπίνακα. Εξάρτημα Z = V 0 R C L Στο επόμενο Σχήμα φαίνονται οι σχετικές θέσεις των πλατών ρεύματος και τάσης σε διανυσματικόδιάγραμμα,εάνχρησιμοποιηθείωςαναφοράτοπλάτοςτηςτάσης(v 0R )ήτο πλάτοςτουρεύματος( R ),αντίστοιχα.

5 ΕΝΕΡΓΟΣΤΙΜΗΤΟΥΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥΡΕΥΜΑΤΟΣΚΑΙΤΑΣΗΣ ΘεωρούμεωμικήαντίστασηRηοποίαδιαρρέεταιαπόαρμονικόρεύμα I(t) = sin(ωt). Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή του ρεύματος σε χρόνο μίας περιόδου είναι μηδέν. Ομως, ενέργειακαταναλώνεταιστηναντίσταση. P = dw dt dw = P dt = i 2 R dt = i 0 2 Rsin 2 (ωt) dt W = T dw = i 2 0 R sin 2 (ωt) dt = i R T (1 cos(ωt)) dt = i 0 2 T 0 2 R Αρα, P = i 2 0R 2 Εάνθεωρήσουμεότιηισχύςοφείλεταισεένασυνεχέςενεργόρεύμαμεένταση έχουμε P = i 2 rms R.Επομένως,,θα i rms = i 02 Δηλαδή,ηενεργόςτιμήτηςέντασηςτουεναλλασσομένουρεύματοςπαριστάνειτηνένταση ενός υποθετικού συνεχούς ρεύματος το οποίο καταναλώνει την ίδια ισχύ (με το εναλλασσόμενο)ότανδιαρρέειτηνίδιαωμικήαντίσταση. Παρόμοια αποδεικνύεται ότι η ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα της αντίστασης είναι V rms = V 0 2.Οιτύποιαυτοίισχύουνμόνογιααρμονικόρεύμακαιτάση. Γενικά,ηενεργόςτιμήμίαςπεριοδικήςσυνάρτησηςf(t)μεπερίοδοΤδίδεταιαπότην σχέση: f rms = 1 T T 0 f (t) 2 dt

6 Παράδειγμα ΝαυπολογίσετετηνμέσηκαιενεργότιμήτουτετραγωνικούπαλμούτάσηςτουΣχήματος Έχουμε και

7 ΗΙΣΧΥΣΣΤΟΕΝΑΛΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΡΕΥΜΑ Ηστιγμιαίαισχύςπουκαταναλώνεταισεέναηλεκτρικόεξάρτημαείναι: Vείναιοιστιγμιαίεςτιμέςτουρεύματοςκαιτάσης,αντίστοιχα. όπουiκαι Γενικά,εάνηστιγμιαίατιμήτηςτάσηςσταάκραενόςεξαρτήματοςείναι, ηστιγμιαίατιμήτουρεύματοςθαείναι. Αρα, όπωςπροκύπτειαπότηντριγωνομετρικήταυτότητα Ημέσηισχύςπουκαταναλώνεταισεμίαπερίοδοείναι Γιααρμονικόρεύμα(καιτάση), Γιαωμικήαντίσταση( =0)και Εναιδανικόεξάρτημαμε(καθαρή)χωρητικήήεπαγωγικήαντίστασηδεν καταναλώνειηλεκτρικήισχύ,,διότι. ΗΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΑΝΤΙΣΤΑΣΗ(ΕΜΠΕΔΙΣΗ) Εάν εφαρμόσουμε τάση V (t) = V 0 sin(ωt) στα άκρα ενός εξαρτήματος, θα έχουμε διέλευσηρεύματοςμεένταση I(t) = cos(ωt + φ).ηγενικευμένηαντίστασηήεμπέδιση (impendence)τουεξαρτήματοςορίζεταιωςτοπηλίκο Z = V 0 Δηλαδή,χρησιμοποιούμεταπλάτηγιατονορισμότηςγενικευμένηςαντίστασηςμεβάσητο νόμο του Ohm. Με το σκεπτικό αυτό, όταν μελετήσαμε προηγουμένως την συμπεριφορά τωνεξαρτημάτωνr,c,lστοεναλλασσόμενορεύμα,διαπιστώσαμεηωμικήαντίστασηέχει Z R = R, ο πυκνωτής έχει χωρητική αντίσταση Z C = 1 και το πηνίο έχει επαγωγική ωc αντίσταση Z L = ωl.

8 Γενικευμένη αντίσταση παρουσιάζει και οποιοσδήποτε συνδυασμός εξαρτημάτων. Για να βρούμε την γενικευμένη αντίσταση Ζ μίας σύνθετης συνδεσμολογίας κατασκευάζουμε το διανυσματικόδιάγραμμακαιυπολογίζουμετηνζμεβάσητονορισμό. Παράδειγμα ΝαυπολογίσετετηνγενικευμένηαντίστασηενόςκυκλώματοςRLσεσειρά. ΑφούταRκαιLείναισυνδεδεμένασεσειρά,διαρρέονταιαπότοίδιορεύμα,οπότεέχουμε τοδιανυσματικόδιάγραμματουσχήματος. Απότονορισμόέχουμε Z = V 0 = V 2 2 0R + V 0L = (I Z 0 R )2 + ( Z L ) 2 = Z 2 R + Z 2 L οπότε Z = R 2 + (ωl) 2 Σημειώσατε ότι η γωνία φ στο διανυσματικό διάγραμμα είναι η διαφορά φάσης μεταξύ τάσηςκαιρεύματος.είναι tanφ = V 0L V 0R = Z L Z R = ωl R Σεπερισσότεροπολύπλοκεςσυνδεσμολογίεςγίνεταιαρκετάδύσκολοναυπολογίσουμετη γενικευμένη αντίσταση από το διανυσματικό διάγραμμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδείκνυται η μέθοδος των μιγαδικών μεγεθών, η οποία περιγράφεται στο επόμενο Κεφάλαιο.