ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

2 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ Παναγιώτης Κόκκοτας, Καθηγητής της Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αθηνών. ΣΥΓΓΡΑΦΙΚΗ ΟΜΑΔΑ Ιωάννης Βλάχος, Διδάκτορας, Σχολικός Σύμβουλος του κλάδου ΠΕ4. Ιωάννης Γραμματικάκης, Επίκουρος Καθηγητής Φυσικής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Βασίλης Καραπαναγιώτης, Φυσικός, Καθηγητής Πειραματικού Σχολείου Πανεπιστημίου Αθηνών. Παναγιώτης Κόκκοτας, Καθηγητής της Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Περικλής Περιστερόπουλος, Φυσικός, Υποψήφιος Διδάκτορας, Καθηγητής στο 3ο Λύκειο Βύρωνα. Γιώργος Τιμοθέου, Φυσικός, Λυκειάρχης στο ο Λύκειο Αγ. Παρασκευής. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΡΙΣΗΣ Νικόλαος Φλυτζάνης (Πρόεδρος), Καθηγητής Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης. Εμμανουήλ Καλοψικάκης, Φυσικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος. Χρήστος Ξενάκης, Δρ. Φυσικός, Σχολικός Σύμβουλος Φθιώτιδος. Δήμος Πάλλας, Φυσικός, Υποδιευθυντής ου Λυκείου Λαμίας. Κωνσταντίνος Στεφανίδης, Δρ. Φυσικός, Σχολικός Σύμβουλος Πειραιά. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ Σωτηρία Θεοδωρίδου, Φυσικός, Καθηγήτρια στο Ενιαίο Λύκειο Λαυρίου. ΕΚΔΟΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΣ Εκδοτικές Τομές Ορόσημο Α.Ε. ATÉLIER: ART CHOICE Σχεδιασμός/Ηλεκτρονική σελιδοποίηση/φιλμς Διεύθυνση δημιουργικού: Δημήτρης Κορωνάκος Υπεύθυνη Atélier: Κασσάνδρα Παξιμάδη Φωτοστοιχειοθεσία: Ιωάννα Φατούρου Επεξεργασία εικόνων: Άννα Νικηταρά Σχεδιασμός εικόνων: Ελένη Μπέλμπα Σύμβουλος τεχν. υποστήριξης: Αλέκος Αναγνωστόπουλος ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μπουργανό για τη συμβολή του στην εύρεση των Ηλεκτρονικών Διευθύνσεων. Οι συγγραφείς ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του Δ.Σ. του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΒΛΑΧΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Γ. ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Α. ΚΑΡΑΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Β. ΚΟΚΚΟΤΑΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ EM. ΠΕΡΙΣΤΕΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Β. ΤΙΜΟΘΕΟΥ Η συγγραφή και η επιστηµονική επιµέλεια του βιβλίου πραγµατοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

5

6 Σημείωμα για τις Λύσεις Ασκήσεων Φυσικής Α ΓΕΛ Οι λύσεις των ασκήσεων των ενοτήτων: Ευθύγραμμη κίνηση, Δυναμική σε μια διάσταση, Δυναμική στο επίπεδο, Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας, Διατήρηση της ολικής ενέργειας και Υποβάθμιση της ενέργειας προέρχονται από το βιβλίο «Φυσική Γενικής Παιδείας, Λύσεις Ασκήσεων Αʹ Τάξης Γενικού Λυκείου», ΟΕΔΒ 00, που έχει γραφεί από τους: I. Βλάχο, I. Γραμματικάκη, Β. Καραπαναγιώτη, Π. Κόκκοτα, Π. Περιστερόπουλο και Γ. Τιμοθέου.

7

8 Κεφάλαιο.. Επειδή η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ομαλή, ισχύει: s υ= ή t 0 υ= m/s ή υ = 30m/s. 4 Για τα αντίστοιχα διαγράμματα έχουμε:. Το τρένο βρίσκεται πάνω στη γέφυρα για χρόνο t, ο οποίος είναι: s + υ= ή t s t = ή t = s ή t = 00s υ 0 3. A. To ζητούμενο διάστημα υπολογίζεται από το άθροισμα των αντίστοιχων εμβαδών: S= E + E ή S = 0 0m + 0 0m ή S = 500m. Β. s υ= ή t 50 υ= ή υ=, 5m 4

9 8 Ευθύγραμμη κίνηση Γ. 4. Α. x Αυτοκίνητο (A): υ = ή x = υ t () t s x Αυτοκίνητο (Β): υ = ή s x = υ t () t Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και βρίσκω: s.000 x + s x =υ t+υt ή s = ( υ +υ ) t ή t = = s ή t = 40s υ +υ Η συνάντηση των δύο αυτοκινήτων γίνεται στο σημείο Σ που απέχει από το Α απόσταση x για την οποία ισχύει: x = υ t ή x = 0 40m ή x = 400m. Β. Τα ζητούμενα διαγράμματα είναι:

10 Ευθύγραμμη κίνηση 9 5. Α. Αν ο ζητούμενος χρόνος είναι t, ο μοτοσυκλετιστής και το περιπολικό διανύουν μέχρι τη συνάντησή τους διάστημα: Sπ = υ πt και Sµ = υ µ t αντίστοιχα. Με την αφαίρεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη έχω: Sπ Sµ = ( υπ υ µ ) t ή d = ( υπ υµ )t d 500 ή t = = s ή t = 50s υπ υµ 30 0 Β. Το ζητούμενο διάστημα είναι: S =υ t = 30 50m ή S.500m. 6. Από τη σύγκριση της σχέσης x = 0t με την εξίσωση της κίνησης x = υt της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης, συμπεραίνουμε ότι ο ποδηλάτης κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα υ = 0m/s. Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα είναι: π π π = Το ζητούμενο διάστημα είναι ίσο με: s = υt = 0 5m ή s = 50m, δηλαδή ίσο με το αντίστοιχο εμβαδόν Ε. 7. Α. Η αρχική ταχύτητα είναι υ 0 = 0 και έτσι ισχύει: υ = αt ή υ = 5m/s ή υ = 30m/s. Β. Η απόσταση που διανύει ο μοτοσυκλετιστής είναι: s = α t = 5 m ή s = 5m. 8. A. Το ζητούμενο διάστημα είναι ίσο με το αντίστοιχο εμβαδόν. Δηλαδή: s = E = 0 0m ή s = 00m. Β. Από το διάγραμμα συμπεραίνουμε ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, χωρίς αρχική ταχύτητα, με επιτάχυνση υ 0 m/s α= = ή t 0 α=m / s.

11 0 Ευθύγραμμη κίνηση Έτσι το ζητούμενο διάστημα s είναι: s= s s = αt α t = m m ή s = 3m. 9. A. To ζητούμενο διάστημα είναι ίσο με το εμβαδόν του τραπεζίου Δηλαδή: s = 0m ή s = 400m. s 400 Β. Η μέση ταχύτητα υ είναι: υ= = m/s ή υ= t m / s Από τη σύγκριση της σχέσης υ = 8 + t με την εξίσωση υ = υ 0 + αt, συμπεραίνουμε ότι η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ 0 = 8m/s και επιτάχυνση α = m/s. Έτσι για το ζητούμενο διάστημα έχουμε: s = s4 s= υ 0t4+ αt4 υ0t αt ή s = υ0( t4 t) + α( t4 t ) ή s = 8( 4 ) + ( 6 4) m ή s = 8m. A. Η κοινή ταχύτητα προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων υ = f(t) για τα δύο κινητά. Έτσι βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t = 6s η κοινή ταχύτητα των δύο κινητών είναι υ = 30m/s. Β. Το διάστημα που διένυσε το κινητό (α) σε 0s δίνεται και από το εμβαδόν του αντίστοιχου τριγώνου. Δηλαδή: s = 0 50m ή s = 50m.

12 Ευθύγραμμη κίνηση Αντίστοιχα το διάστημα που διένυσε το κινητό (β) σε 0s δίνεται και από το εμβαδόν του αντίστοιχου παραλληλόγραμμου. Δηλαδή: s =0 30m ή s = 300m. Άρα το κινητό (β) προηγείται του κινητού (α) τη χρονική στιγμή t = 0s κατά s = 300m 50m ή s = 50m. Γ. Έστω t η χρονική στιγμή κατά την οποία συναντώνται τα δύο κινητά. Προφανώς τότε θα έχουν διανύσει ίσα διαστήματα, δηλαδή θα γίνει: t + ( t 0) 50 = 30t ή 0t 50 = 6t ή t =,5s.. Η κίνηση του αυτοκινήτου από το Α έως το Β είναι ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ Α. Έτσι θα ισχύει: υ Β =υ Α +α t ή 30 = υ Α + 0α (α) και ΑΒ = υ Αt+ α t ή 00 =υα 0 + α 00 (β) Οι εξισώσεις (α) και (β) αποτελούν σύστημα δύο εξισώσεων από την επίλυση του οποίου βρίσκονται η επιτάχυνση α και η ταχύτητα υ Α. Η (α) μπορεί να γραφεί: υ Α = 30 0α (γ) και με αντικατάσταση στη (β) έχουμε: 00 = (30 0α)0 + 50α ή α = m/s. Αντικαθιστώντας την επιτάχυνση α στη σχέση (γ) βρίσκουμε: υ = 30 0 m / s ή υ A = 0m / s. Α ( ) 3. Το κινητό θα κινηθεί επί 0,7s με την ταχύτητα υ 0 που εκινείτο στην αρχή, διανύοντας διάστημα s = υ 0t = 0 0,7m ή s = 4m. Έτσι μέχρι το εμπόδιο υπάρχει διάστημα s = (50 4)m ή s = 36m. Το διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του μπορεί να είναι: υ0 0 smax = = mή smax = 0m. α 0 Επειδή s max < s θα αποφευχθεί η σύγκρουση του αυτοκινήτου με το εμπόδιο. 4. Για να περάσει ολόκληρο το τρένο πάνω από τη γέφυρα πρέπει να κινηθεί κατά ( + s) m. Το διάστημα αυτό το τρένο θα το διανύσει επιταχυνόμενο με επιτάχυνση α = m/s, έχοντας αρχική ταχύτητα υ 0 = 0m/s. Έτσι θα ισχύει: ( + s) = υ 0t+ αt ή = 0t + t.

13 Ευθύγραμμη κίνηση Από την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης βρίσκουμε t = 5s που απορρίπτεται και t = 5s που είναι η δεκτή λύση. 5. Α. Όταν τα κινητά συναντηθούν θα έχουν διανύσει ίσα διαστήματα. Δηλαδή: x = x ή 0t = 4t ή 4t = 0 ή t =,5s. Β. Από τις εξισώσεις κίνησης συμπεραίνουμε ότι το πρώτο όχημα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ =0m/s, ενώ το δέντρο ομαλά επιταχυνόμενη με υ 0 = 0 και α = 8m/s. Έτσι τα ζητούμενα διαγράμματα είναι: 6. Α. Στη διάρκεια των s ο δρομέας διανύει διάστημα 9+ 6 Sολ = mή Sολ 8m. = Έτσι η μέση ταχύτητά του είναι: Sολ 8 υ= = m/s ή υ= 7,36m / s. t Β. Για τα πρώτα 3s ο δρομέας επιταχύνεται με επιτάχυνση α = 3m / s, ενώ τα τελευταία 3s επιβραδύνε- υ 9 0 α = = m/s ή t 3 υ 3 ται με επιβράδυνση α = = m/s t 3 ή α = m / s. 7. Α. Από τις εξισώσεις της επιβραδυνόμενης κίνησης έχουμε: υ=υ0 αt ή υ 0 =υ 0 α t ή 5 = 0 t ή t =,5s

14 Ευθύγραμμη κίνηση 3 και s = υ0t α t ή s = 0,5,5 m ή s = 8,75m. Β. Από τη σχέση υ=υ0 α t θέτοντας υ = 0 βρίσκουμε για το ζητούμενο υ0 0 χρόνο: 0=υ0 α t ή t = = s ή t = 5s. α Για το ζητούμενο διάστημα (μέγιστο) έχουμε: s max υ0 0 = = m α ή smax = 5m. 8. Α. Αν μέχρι τη συνάντηση το αυτοκίνητο κινήθηκε κατά ts, ο μοτοσυκλετιστής χρειάστηκε για να το φτάσει χρόνο (t 4)s διανύοντας προφανώς το ίδιο διάστημα. Έτσι έχουμε: sα = α t και s ( t 4 ). = µ α Αλλά sα = sµ, δηλαδή: ( ) α t = α t 4 ή, 6t =, 5 ( t + 6 8t ) από την επίλυση 4 της οποίας βρίσκουμε για το ζητούμενο χρόνο t = 0s και s, 8 που απορρίπτεται ως μικρότερος του 4s. Επίσης s = sµ = s α =, 6 0 m ή s = 30m. Β. Για τις ταχύτητες του αυτοκινήτου και του μοτοσυκλετιστή έχουμε: υ α = α t = l,6 0m/s ή υ α =3m/s και υ μ = α (t 4) =,5(0 4)m/s ή υ μ = 40m/s. Για τη ζητούμενη μέση ταχύτητα υ του αυτοκινήτου έχουμε: s 30 υ= = m/s ή υ= 6m / s. t 0 Γ. Τα διαγράμματα υ = f(t) και s = f(t) είναι:

15 4 Ευθύγραμμη κίνηση 9. Α. Στο χρονικό διάστημα: 0 t 5s η κίνηση που εκτελεί το κινητό είναι ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ 0 = 0m/s. Στο χρονικό διάστημα: 5s < t 5s η κίνηση είναι ομαλή με σταθερή ταχύτητα υ = 0m/s. Στο χρονικό διάστημα: 5s < t 0s η κίνηση που εκτελεί το κινητό είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με επιβράδυνση υ α = = 4m / s μέχρι μηδενισμού της ταχύτητάς του. Κατόπιν το t κινητό αλλάζει φορά κίνησης και επιταχύνεται με την ίδια επιτάχυνση α υ = = 4m / s. t Β. Η επιτάχυνση του κινητού στο χρονικό διάστημα 0 t 5s είναι: υ υ υ Α 0 0 m/s m/s α= = = =. t t ta 5 0 Γ. Το διάστημα που διανύει το κινητό προσδιορίζεται από το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων s = m = ( ) m = 375m Η μετακίνηση του κινητού είναι: Δx = ( )m ή Δx = 5m. Προσέξτε τη διαφορά μεταξύ του διαστήματος και της μετακίνησης. Δ. Η μέση ταχύτητα του κινητού είναι: s 375 υ= = m/s ή υ= 5m / s. t 5

16 Κεφάλαιο.. Στην πρώτη περίπτωση οι δυνάμεις έχουν την ίδια κατεύθυνση και έτσι η συνισταμένη τους είναι: F = F+ F = ( ) Ν ή F = 40N ίδιας κατεύθυνσης. Στη δεύτερη περίπτωση οι δυνάμεις έχουν αντίθετη κατεύθυνση και έτσι η συνισταμένη τους έχει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης και τιμή: F = F F = Ν ή F = 0 Ν. ( ). Και στις τρεις περιπτώσεις η συνισταμένη F έχει φορά προς τα δεξιά και η τιμή της είναι: F = (0 + 0)Ν 5Ν ή F = 5N F = 0Ν (0 + 5)Ν ή F = 5Ν F = ( )Ν ή F = 35Ν 3. Α. Για τις συγγραμμικές και ομόρροπες δυνάμεις γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη τους είναι συγγραμμική και ομόρροπη με τις συνιστώσες και έχει τιμή που δίνεται από τη σχέση F= F+ F. Έτσι F = 4F + F ή F = Ν και F = 4F ή F = 8N. Η ζητούμενη ανάλυση φαίνεται στην εικόνα α. Β. Για τις συγγραμμικές και αντίρροπες δυνάμεις γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη τους είναι συγγραμμική και ομόρροπη με τη συνιστώσα δύναμη μεγαλύτερης τιμής και δίνεται από τη σχέση F= F F. Έτσι F = 3F F ή F = 5N και F = 3F ή F = 5Ν. Η ζητούμενη ανάλυση φαίνεται στην εικόνα β. 4. Α. Από το νόμο του Hooke έχουμε: F = KΔx. Αντικαθιστώντας το γνωστό ζευγάρι τιμών Δx = 0cm και F = 80N έχουμε: 80 N N 80Ν = Κ 0cm ή K = ή K = 4. 0 cm cm

17 6 Δυναμική σε μια διάσταση Άρα, αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Β = ΚΔx ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: Επιμήκυνση (cm) Βάρος (Ν) Β. Από τον πίνακα κατασκευάζουμε το διάγραμμα ως εξής: Γ. Η κλίση της γραφικής παράστασης ισούται με την εφαπτομένη της γω- ΚΛ 0N νίας φ και ισχύει: εϕϕ = = = 4N / cm, δηλαδή δίνει τη σταθερά ΟΛ 5cm του ελατηρίου Κ. 5. Επειδή το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, δηλαδή α = 0, όπως προκύπτει από το νόμο του Νεύτωνα ΣF = mα, πρέπει να είναι ΣF = 0. Αυτό σημαίνει ότι στο σώμα ασκείται δύναμη F 3 ίδιας κατεύθυνσης με τη μικρότερη δύναμη F, έτσι ώστε να ισχύει: F F F3 = 0 ή F3 = F F = ( 7) N ή F3 = 5N. 6. Επειδή το πιθηκάκι ισορροπεί, θα πρέπει να δέχεται από το κλαδί δύναμη F, ώστε η συνισταμένη της F και το βάρος Β να είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή: F B = 0 ή F = B ή F = 00Ν αντίρροπη του βάρους του. 7. Η συνισταμένη δύναμη ΣF έχει και στις τέσσερις περιπτώσεις την ίδια τιμή ΣF = 0N με φορά προς τ αριστερά, εκτός της περίπτωσης Β που η φορά είναι προς τα δεξιά. Έτσι στις περιπτώσεις Α, Γ και Δ έχουμε την ίδια επιτάχυνση που είναι αντίθετη της επιτάχυνσης του σώματος στην περίπτωση Β.

18 Δυναμική σε μια διάσταση 7 8. Από τη σχέση υ α= βρίσκουμε την επιβράδυνση α που είναι: t 5 m/s,5m/s α= =. Έτσι η ζητούμενη δύναμη είναι: F = mα = 0,5N ή F = 5Ν. 9. Από τη σύγκριση της σχέσης υ = 4t με τη σχέση υ = αt προκύπτει πως το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση α = 4m/s. Έτσι η συνισταμένη δύναμη για το σώμα είναι: ΣF = mα = 4Ν ή ΣF = 4Ν. 0. Από τον ορισμό της επιτάχυνσης έχουμε: υ 4 0 m/s α= = ή α=m / s. t Έτσι από τον νόμο του Νεύτωνα έχουμε: F = mα = 0 N ή F = 0N.. Α. Για την επιτάχυνση κάθε σώματος έχουμε: F 4 m/s α = = ή α = 4m / s και m F 5 m/s α = = ή α = 5m / s. m 3 Β. Αν τα δύο σώματα απέχουν κατά 8m μετά από χρόνο t στον οποίο έχουν διανύσει αντίστοιχο διάστημα S και S θα πρέπει να ισχύει: S S = ( 8 0) m ή S S = 8m. Έτσι έχουμε: αt α t = 8 ή 5t 4t = 8 ή, 5t t = 8 ή t = 6 ή t = 4s. F 0. Α. Αρχικά το σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση α = = m/s m 0 ή α = m / s για χρόνο έστω t, στον οποίο αποκτά ταχύτητα υ 0 διανύοντας διάστημα s. Προφανώς για την κίνηση αυτή ισχύει: s= αt ή s = t (α) και 0 0 (β)

19 8 Δυναμική σε μια διάσταση Κατόπιν το σώμα επιβραδύνεται με επιβράδυνση F 5 m/s α = = ή α = 0,5m / s m 0 Τελικά το σώμα κινείται ακόμη μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για χρόνο υ0 t t = = (γ) α α υ0 t Στο χρόνο αυτό διανύει διάστημα s = = (δ) α α t Αλλά s+ s = s ολ ή t + = s ολ ή α t + t = 40 ή t = 4s. Άρα η δύναμη F άρχισε να ενεργεί μετά από διαδρομή s = t = 4sή s = 8m. Β. Η συνολική διάρκεια κίνησης του σώματος είναι: t 4 tολ = t+ t = t + = 4+ s α 0, 5 ή t = ολ 0s. 3. Α. Από την εξίσωση της κίνησης για την ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση έχουμε: s 48 s = αt ή m/s α= t = 6 ή α=3m / s. Β. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ΣF= mα όπου Σ F= F+ F F3έχου- με: F+ F F3 = mα ή 6+ F3 = 3 ή F3 = 5N. 4. Στην πρώτη περίπτωση η Σ F = F F = 40Ν 0Ν ή Σ F = 0 Ν. Άρα η ΣF = mα δίνει για τη μάζα m = 0 0,3 kg. Έτσι στη δεύτερη περίπτωση η επιτάχυνση του σώματος είναι: ΣF 40 Σ F = mα ή m/s α= = ή α= 0,6m / s. m 0 0,3 Την τιμή αυτή την αναμένουμε, αφού διπλάσια δύναμη στο ίδιο σώμα προκαλεί διπλάσια επιτάχυνση.

20 Δυναμική σε μια διάσταση 9 5. Από την εξίσωση του διαστήματος για την ελεύθερη πτώση έχουμε: h gt = ή h t = ή t = g h g και με αντικατάσταση βρίσκουμε t = s. 6. Αν το πρώτο σώμα φτάνει στον πυθμένα σε χρόνο t, ισχύει: h h = gt ή t = και με αντικατάσταση t = 6s. g Το δεύτερο σώμα έχει κινηθεί για χρόνο tʹ που είναι: tʹ = t Δt ή tʹ = (6 l)s = 5s. Στο χρόνο αυτό έχει διανύσει διάστημα h = gt = 0 5 m ή hʹ = 5m. Κατά συνέπεια η ζητούμενη απόσταση Δh είναι: Δh = h hʹ = (80 5)m ή Δh = 55m. 7. A. Η επιτάχυνση που αποκτά το αυτοκίνητο θα είναι: 4 F 0 F = mα η α= = m/s = 5m/s. m Όμως το διάστημα μέχρι να σταματήσει είναι: υ0 s = ή υ 0 = α s ή υ 0 = αs α και με αντικατάσταση υ 0 = 0m/s. Β. Η χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι: υ0 0 tολ = = s ή tολ s α 5 = 4. Γ. Τέλος το ζητούμενο διάγραμμα είναι:

21 0 Δυναμική σε μια διάσταση 8. Α. Έστω ότι το πρώτο σώμα φτάνει στο έδαφος σε χρόνο t. Ισχύει ότι: h gt = ή h t = και με αντικατάσταση t = 3s. Επειδή το δεύτε- g ρο σώμα ρίχνεται μετά από ένα δευτερόλεπτο και φτάνει στο έδαφος ταυτόχρονα με το πρώτο, πρέπει να κινείται για χρόνο tʹ = t Δt ή tʹ = (3 )s ή tʹ = s. Έτσι για το δεύτερο σώμα έχουμε: h gt h = υ 0t + gt ή υ 0 = ή t 45 5 υ 0 = m/s ή υ 0 =,5m / s. Β. Τα ζητούμενα διαγράμματα είναι:

22 Κεφάλαιο.3. Με βάση τα δεδομένα το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων θα είναι τετράγωνο. Έτσι έχουμε: F = F + F = F ή F = και με αντικατάσταση F F = F = 50N ή F = F = 5 N. Η συνισταμένη των δυνάμεων F και F είναι: F= F + F και με αντικατάσταση F = 4N. Για να ισορροπεί το σωμάτιο πρέπει να του ασκείται δύναμη F 3 αντίθετη της F. Δηλαδή F3 = F = 4N. 3. Η συνισταμένη F των δύο δυνάμεων F, F δίνεται από τη σχέση: F= F + F και με αντικατάσταση F = 0Ν. Άρα η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα είναι: F 0 α= ή m/s α= ή α=0m / s m Η επιτάχυνση α έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης F, δηλαδή σχηματίζει με τη δύναμη F γωνία ˆθ για την οποία ισχύει: F 6 3 εϕθ = = ή εϕθ =. F 8 4

23 Δυναμική στο επίπεδο 4. Α. Από την εξίσωση της ελεύθερης πτώσης έχουμε: h h= gtή g Σ Σ = και με αντικατάσταση t 7, gσ = m/s ή g Σ, 6m / s. 3 = Β. α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να φθάσει στο έδαφος σύμφωνα με την αρχή επαλληλίας των κινήσεων, είναι πάλι 3s. β) Για την οριζόντια κίνηση έχουμε: x = υt ή x = 3m ή x = 36m. 5. Α. Οι ζητούμενες εξισώσεις για τις δύο κινήσεις της βόμβας στους άξονες x και y είναι αντίστοιχα: x = υt (α) και y = gt (γ) υ x = υ 0 (β) υ y = gt (δ) Β. Από τη (γ) έχουμε: y 500 y = gt ή g = ή g m/s ή g = 0m / s. t 0 Γ. Επειδή η ταχύτητα υ x της βόμβας είναι ίση με την ταχύτητα (υ 0 ) του αεροπλάνου, βόμβα και αεροπλάνο διανύουν κάθε στιγμή την ίδια απόσταση x. Έτσι τη στιγμή που η βόμβα φτάνει στο έδαφος, το αεροπλάνο βρίσκεται ακριβώς πάνω από το σημείο πρόκρουσης, έχοντας μετατοπιστεί από το σημείο που άφησε τη βόμβα κατά x = υ 0 t = 50 0m ή x =.500m. 6. Α. Στα σώματα ασκούνται τα βάρη τους και οι τάσεις T = T = T, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εφαρμόζω για κάθε σώμα το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής: B Τ= mα () και Τ Β = mα (). Β. Προσθέτοντας τις σχέσεις () και () κατά μέλη έχουμε: B Τ+Τ Β = mα+ mα ή B Β = (m+ m ) α ή mg mg 30 0 m m α= ή α= ή α= 5. m+ m 4 s s Γ. Αντικαθιστούμε την τιμή της επιτάχυνσης σε μια από τις αρχικές σχέσεις, π.χ. στην () και έχουμε: T B m Τ= Ν ή Τ= 5 Ν. = α ή ( )

24 Δυναμική στο επίπεδο 3 7. Α. Οι δυνάμεις στο σώμα είναι το βάρος του Β και η δύναμη F κ λόγω της άμεσης επαφής του με το κεκλιμένο επίπεδο. Αναλύουμε το βάρος Β στις συνιστώσες Β x και B y, οπότε ο θεμελιώδης νόμος γράφεται: ΣF = mα ή Β x = mα (). Β. Αντικαθιστώντας στη σχέση () βρίσκουμε: g mgημφ = mα ή α = gημφ ή α=. 8. Α. Στον πιλότο ασκείται το βάρος του mg και η δύναμη Ν από το κάθισμα. Στο ελικόπτερο ασκείται το βάρος του Mg, η ανυψωτική δύναμη F και η εσωτερική δύναμη Ν που ασκεί ο πιλότος λόγω άμεσης επαφής. Β. Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για το σύστημα έχουμε: F Mg mg = (Μ + m)α ή F = [( ) ]Ν ή F = 4.000Ν. Γ. Ο ίδιος νόμος για τον πιλότο δίνει: N mg = mα ή Ν = mα + mg ή Ν = ( )Ν ή Ν = 960Ν. 9. Α. Η κίνηση του σώματος είναι ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα και κατά συνέπεια ισχύει: s = α t και υ = αt. Από τις εξισώ- σεις αυτές αντικαθιστώντας το χρόνο t από τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε: υ υ υ s = α ή s = ή α= ή α α s 0 α= m/ s ή α=5m / s. 0 Β. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα βρίσκουμε ότι: ΣF = mα ή ΣF = 5 5Ν ή ΣF = 5Ν. Επειδή ΣF > F σημαίνει ότι υπάρχει τριβή Τ έτσι ώστε: ΣF = F Τ ή Τ = F ΣF = (30 5)Ν ή Τ = 5Ν. Γ. Για το συντελεστή τριβής ολίσθησης βρίσκουμε: T 5 T= µ Fκ = µ mg ή µ= ή µ= ή µ= 0,. mg 5 0

25 4 Δυναμική στο επίπεδο 0. Α. Δεχόμαστε ότι κατά την επιβράδυνσή του ο οδηγός δέχεται μόνο τη δύναμη F από τη ζώνη, και ότι αυτή είναι σταθερή. Από την εξίσωση που δίνει το μέγιστο διάστημα στην επιβραδυνόμενη κίνηση έχουμε: υ υ 30 s max = ή α= ή α= m/s ή α=.50m / s. α s max 0, Β. Η δύναμη από τη ζώνη ασφαλείας που προκαλεί την παραπάνω επιβράδυνση είναι: F = mα = 60.50Ν ή F= N.. Α. Επειδή η ταχύτητα της ντουλάπας είναι σταθερή ισχύει α = 0, δηλαδή ΣF = 0 ή F T = 0 ή T = F ή T = 0Ν. 0 Αλλά T =µ F κ ή µ= ή μ = 0, Β. Η ελάττωση του βάρους της ντουλάπας ελαττώνει την τριβή σε μια νέα τιμή Τʹ = μβ = 0,48 60Ν ή Τʹ = 76,8Ν. Για να έχουμε πάλι σταθερή ταχύτητα η οριζόντια δύναμη Fʹ θα πρέπει να είναι: Fʹ = Τʹ ή Fʹ = 76,8N.. Α. Οι δυνάμεις σε κάθε σώμα φαίνονται στην εικόνα. Β. Για κάθε σώμα ο θεμελιώδης νόμος γράφεται: B Τ = mα () και Τ Τ= α () m Γ. Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις () και () έχουμε Β Τ= (m+ m ) α και επειδή Τ= µ Fκ = µ m g προκύπτει: mg µ mg = (m+ m ) α ή 8 0 0,5 0 m/s α= ή + 8 α=,5m / s. 3. Α. Οι δυνάμεις φαίνονται στην εικόνα. Β. Για την τριβή έχουμε: Τ = μf κ και επειδή F κ = B ψ = mgσυνφ, η τριβή είναι: Τ = μ mgσυνφ ή 3 3 T = 0 N ή Τ =,5Ν. 6

26 Δυναμική στο επίπεδο 5 Γ. Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής έχουμε: 0,5 ΣF = mα ή Β x Τ = mα ή mgημφ Τ = mα ή α= m/s ή α =,5m/s. Έτσι το ζητούμενο διάστημα είναι: = α = ή s =,5m. s t, 5 m 4. Η γραμμική ταχύτητα για κάθε σημείο του πλέγματος του τροχού είναι ίση με τη μεταφορική ταχύτητα του αυτοκινήτου. υ Δηλαδή υ = 35m/s. Για την κεντρομόλο επιτάχυνση έχουμε: α κ =, R δ 0,8 όπου R = = m ή R = 0,4m. 35 Έτσι m/s α κ = ή α 0, 4 κ = 3.06,5m/s. π 5. Από τη σχέση υ = ωr, αν θέσουμε ω= βρίσκουμε για τη ζητούμε- Τ π 3,4 3 νη ταχύτητα: ω= R = m / s ή υ = 463m/s. Για την Τ υ 463 κεντρομόλο επιτάχυνση έχουμε: α κ = = ή α 3 κ = 0,034m / s. R Για την ταχύτητα έχουμε: υ= ω = π δ 3 3, 80 R f = 34, 85, m/ s ή υ = m/s. Η ζητούμενη κεντρομόλος επιτάχυνση είναι: 3 υ ( ) 6 α κ = = m/s ή α 3 κ = 9, 6 0 m / s. R 3, Η συχνότητα περιστροφής του κάδου είναι: f = 780 Hz ή f = 3Hz. 60

27 6 Δυναμική στο επίπεδο Έτσι βρίσκουμε: υ = ωr = πfr ή υ= π δ = , f, m/ s ή υ υ = 6,9m/s και α = = 6, 9 κ m/ s ή α R 033, κ =.93m/s. 8. Η τιμή της τριβής, δηλαδή η κεντρομόλος δύναμη, δεν μπορεί να υπερβαίνει το 5% του βάρους του αυτοκινήτου. Δηλαδή: F = 0 5Β ή F = 0 5mg. κ( max), κ( max), mυ mυ max max Όμως Fκ (max) = ή 0, 5mg = ή R R υ = 0, 5gR και με αντικατάσταση υ max = 3m/s. max 9. Για την περίοδο του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη βρίσκουμε: Τ Ω = h = 3.600s ή Τ Ω = 43.00s και Τ Λ = h = ή Τ Λ = 3.600s. Έστω ότι οι δείκτες σχηματίζουν για πρώτη φορά γωνία 3 π μετά από χρόνο t. Ο λεπτοδείκτης έχει διαγράψει γωνία t π ϕ t Λ =ω Λ = () Τ Αντίστοιχα ο ωροδείκτης θα έχει διαγράψει γωνία t π t π ϕ Ω =ω Ω = (). Όμως φ Τ Λ φ Ω =, οπότε αντικαθιστούμε τις () και 3 Ω () και έχουμε π t π π t = ή Τ Τ 3 Λ Ω t = ή t = ή t = 0,9 min. ΤΛ ΤΩ Το βλήμα κινούμενο ομαλά χρειάζεται χρόνο t για να φθάσει στο δίσκο, d ο οποίος είναι: t = = sή t = 0,005s. Στον ίδιο χρόνο t ο δίσκος περιστρέ- υ 400 π φεται κατά γωνία. 4 π rad ϕ Επομένως βρίσκουμε ότι: 4 π ω= = = rad / s ή ω = 50π rad/s. t 0, 005s 0, 0 Λ

28 Δυναμική στο επίπεδο 7. Α. Για την ταχύτητα του δορυφόρου βρίσκουμε: υ = ω(r + h) = π (R + h) ή Τ 3,4 3 3 υ= ( ) m / s ή Β. Για τη γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου έχουμε: π 3,4 rad / s 4 ω= = ή ω= 4,36 0 rad / s. Τ υ= 5.58m / s. Α. Από την ισορροπία του σώματος στον κατακόρυφο άξονα έχουμε: F κ + F ψ = Β ή F κ = mg Fημ60 ή F = κ N ή F κ = ( ) N ή F κ = 65,36Ν. Β. Η ταχύτητα μετά από 5s θα είναι υ = αt, όπου α η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί το σώμα. 40 Fx Fσυν60 Αλλά F x = mα ή α = = = m/ s ή α = m/s. m m 0 Έτσι υ = αt = 5m/s ή υ = 0m/s. Γ. Κατά τη διάρκεια του πέμπτου δευτερολέπτου το σώμα διανύει διάστημα: S = S 5 S 4 = αt5 α t4 ή S= α( t5 t4 ) = ( 5 4 ) mή S = 9m.

29 8 Δυναμική στο επίπεδο 3. Α. Για να κινηθεί το σώμα απαιτείται δύναμη F T. Άρα η ζητούμενη μικρότερη δύναμη είναι F = Τ ή F = μf κ ή F = μβ = 0,.000Ν ή F = 00Ν. Β. Η ζητούμενη επιτάχυνση είναι: F T ( F T) g ( ) 0 α= = ή α= m/s η α = 3m / s. m B.000 Γ. Η κίνηση του κιβωτίου είναι ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. Έτσι: s = α t ή t = και με αντικατάσταση t = 4s. Για τη s α ζητούμενη ταχύτητα έχουμε: υ = αt = 3 4m/s ή υ = m/s. 4. Α. Από την ισορροπία του σώματος στον άξονα y έχουμε: F κ Βσυν30 = 0 ή F κ = mgσυν30 = 0 3 Ν ή F = 5 3Ν. κ Β. Για την επιτάχυνση του σώματος έχουμε: ηµ Βημ30 = mα ή α = mg 30 ή α = gημ30 ή α = 5m/s. m Γ. Η κίνηση του σώματος είναι ομαλά επιταχυνόμενη με υ 0 = 0, οπότε: h S= α t ή t h = α ή t = και με αντικατάσταση t = s. ηµ 30 αηµ 30 Επίσης υ = αt = 5 m/s ή υ = 0m/s. Δ. Στην περίπτωση αυτή το σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση αʹ = gημ45 h και διανύει διάστημα S =. Έτσι ο χρόνος κίνησής του είναι ηµ 45 h t = και η ζητούμενη ταχύτητα gηµ 45

30 Δυναμική στο επίπεδο 9 gηµ 45 h υ = α t = gηµ 45 = gh. Δηλαδή η ταχύτητα είναι ανεξάρτητη από τη γωνία του κεκλιμένου επιπέδου και αφού το ύψος h παραμένει το ίδιο, το σώμα φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου με την ίδια ταχύτητα υ = 0m/s. 5. Α. Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για κάθε σώμα έχουμε: F T = m α () και Τ= m α () Από την πρόσθεση των εξισώσεων () και () κατά μέλη βρίσκουμε: B+ B B+ B g F= ( m+ m) α= α= g g F = Ν ή F = 87,5 Ν. 8 Β. Με αντικατάσταση της τιμής της F στην εξίσωση () βρίσκουμε: B g B g 8 8 Τ= mα= = ή Τ= 6,5 Ν.

31

32 Κεφάλαιο.. Η αντίσταση του αέρα λόγω της σταθερής ταχύτητας ανά σταθερή δύναμη και κατά συνέπεια το έργο της είναι: W = Αx = 4υx ή W = J ή W = 6000J. Α. Η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι: U = mgh = 0 0 0J ή U =.000J. Β. Η δυναμική ενέργεια μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: U = mgx Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα είναι το παρακάτω: 3. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε: m W T 0 υ = ή m 0 x υ =Τ ή m υ x = ή x = mή x = 5m T Το σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του. Έτσι βρίσκουμε: 0+ WB = mυ ή mgh = mυ ή υ= gh και με αντικατάσταση υ = 0m/s Στο ύψος h το σώμα είχε μόνο δυναμική ενέργεια η οποία μετατρέπεται αρχικά σε κινητική ενέργεια και τελικά σε θερμότητα.

33 3 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 5. Επειδή ο γερανός ανεβάζει το κιβώτιο με σταθερή ταχύτητα, πρέπει να ασκεί δύναμη F = B ή F = mg (α) Επίσης για τη σταθερή ταχύτητα ανόδου έχουμε: s h υ= ή υ= (β) t t Έτσι η ζητούμενη ισχύς είναι Ρ = Fυ που με τη βοήθεια των (α) και (β) γίνεται: h 60 P = mg = W ή P = 0.000W t 0 6. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε: 0+ WB WT = mυ ή mgh T ( ΑΓ ) = mυ ή mg ( ΑΓ) ηµ 30 µ mg ( ΑΓ ) = mυ ή ΑΓ ηµ µ ΑΓ = υ και με αντικατάσταση: υ = 6m/s. g ( ) 30 g ( ) 7. Α. Επειδή το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα είναι T = F και κατά συνέπεια: W T = W F = F x = 40 5J ή W T = 00J. Β. Ο ζητούμενος ρυθμός αφού η εμφανιζόμενη θερμότητα εκφράζεται από το έργο της τριβής είναι: W T x που επειδή t = γίνεται: t υ WT WT υ 00 4 = = J/s ή WT = 60J / s t x 5 8. Η διατήρηση της ενέργειας για την αρχική και την τελική θέση της μπάλας μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την εμφανιζόμενη θερμότητα Q ως εξής: mgh+ 0 = mgh Q ή Q = mg(h h ) = 0 ( 0 8) J ή Q = 40J Έτσι το ζητούμενο ποσοστό είναι: Q = 00 = 0% mgh 400

34 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Η οριζόντια δύναμη F που ασκεί ο μαθητής είναι ίση με την τριβή Τ, ώστε το κιβώτιο να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Δηλαδή: F = Τ = μmg = 0,5 00 0Ν ή F = 500Ν Η προσφερόμενη ενέργεια είναι ίση με το έργο της δύναμης F. Έτσι βρίσκουμε: Προσφερόμενη ενέργεια = W F = F x = 500 0J = 5.000J. 0. Α. Το έργο του βάρους το οποίο είναι δύναμη συντηρητική εξαρτάται από την κατακόρυφη απόσταση της αρχικής και της τελικής θέσης και όχι από τη διαδρομή. Έτσι βρίσκουμε: W B = Bh = mgh = ,J ή W B = 48000J. Β. Ο ζητούμενος ρυθμός είναι: WB W J/s B = ή = 80J / s t 0 60 t. Α. Επειδή η δύναμη είναι σταθερή έχουμε: W F = F x = 4 0J ή W F = 40J. Β. Στην περίπτωση αυτή το έργο της δύναμης υπολογίζεται γραφικά από το διάγραμμα F-x. Έτσι WF = 0 0J ή W F = 50J. Α. Το έργο της F είναι ίσο με το έργο της παράλληλης προς την κίνηση συνιστώσας της F x. Δηλαδή: W F = W Fx = F συν60 x = 50 0J ή W = 50J F Β. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: WF 0+ WF = mυ ή υ= και με αντικατάσταση βρίσκουμε: υ = 5m/s. m

35 34 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 3. Α. Από την εξίσωση της κινηματικής υ0 = βρίσκουμε για την αρ- g χική ταχύτητα υ 0 της πέτρας: h max υ 0 = ghmax ή υ 0 = 800m / s. Από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχουμε: mυ = mυ 0 + mgx ή m mgx 4 υ = ή x = 4 m ή x = 0m 0 Β. Στο ζητούμενο ύψος xʹ το σώμα έχει ταχύτητα υ, ώστε mυ= mυ 0 ή υ= 800m / s. Έτσι από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχουμε: mυ = mυ + mgx ή υ0 υ x = = m ή xʹ = 30m Α. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε: mυ0 F x = mυ ή mυ0 Fx υ= και με αντικατάσταση υ = 8m/s. m Β. Για τη ζητούμενη απόσταση έχουμε: m F x 0 υ = ή 0 mυ0 4 0 x = = m ή x = 0m F 0 5. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: 0+ WF = mυ (α)

36 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 35 Το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογίζεται γραφικά: F X WF = W W = 88 J Έτσι από τη σχέση (α) βρίσκουμε: WF 30 m = = kg ή m = 5kg υ 4 ή WF = 30J. 6. Το σώμα επιταχύνεται προς τα επάνω με την επίδραση των δυνάμεων Fσυνθ, Τ και mgημθ. Για την τριβή Τ βρίσκουμε: Τ = μf κ ή Τ = μ(fημθ + mgσυνθ) = 0,4(00 0, ,8)Ν ή Τ = 40Ν Έτσι από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: 0 F x T x mg x m + συνθ ηµθ = υ ή Fσυνθ x T x mgηµθ x υ= m και με αντικατάσταση βρίσκουμε: υ= 0m / s 7. Α. Η μπάλα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους, οπότε: 0 + mgh = mυ ή υ= gh ή υ = 0m/s Β. Έχουμε ότι:

37 36 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας U W = B = PB = B υ= mg υ. t t Αλλά η μπάλα κάνει ελεύθερη πτώση, οπότε: υ = gt. Έτσι καταλήγουμε στη σχέση: U mg gt mg U = = t ή = 00t (α) t t Από τη σχέση H = gt βρίσκουμε ότι ο χρόνος κίνησης της μπάλας είναι: H t = ή t = s. g Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα (σχέση α) είναι: 8. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: 0+ WF = mυ (α) Το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογίζεται από το αντίστοιχο εμβαδόν. Έτσι: 4+ WF = 0J ή WF = 30J. Αντικαθιστώντας στη σχέση (α) βρίσκουμε: W υ= F ή υ= 30m / s m 9. Α. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας μεταξύ των σημείων Γ και Δ έχουμε: m υγ W T = 0 ή m υγ µ mgx = 0 ή υ = µ gx και με αντικατάσταση υ = 60m / s. Γ Γ

38 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 37 Β. Αρκεί να φέρουμε το σώμα στο σημείο Α με μηδενική ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια του σώματος στο σημείο Α και το έργο της τριβής W T από το Δ έως το Γ. Δηλαδή: W = U + απαιτ A W. T Αλλά UA = mυ Γ όπως και WT = m υ Γ. Έτσι: Wαπαιτ = mυ Γ = 60J ή W 0J απαιτ = 0. Α. Για τη ζητούμενη κινητική ενέργεια έχουμε: K m 65 0 J = υ = Κ=,57 0 J Β. Η ωφέλιμη ισχύς είναι το 50% της αποδιδόμενης, δηλαδή: 3 3 Ρ= 0 ΗΡ= 745,7 0 W ή 3 Ρ= W. Όμως η ωφέλιμη ενέργεια που αποδίδουν οι μηχανές μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του κρουαζιερόπλοιου. Έτσι: 0 K K,57 0 P = ή t = = s ή 3 t P t =,57 0 s ή t = 6min. A. Το σώμα θα εγκαταλείψει το οριζόντιο επίπεδο όταν η κατακόρυφη συνιστώσα της F γίνει ίση με το βάρος του, οπότε F κ = 0. Δηλαδή όταν: F ημθ = mg ή (0 + 5x)0,8 = 0, από την οποία βρίσκουμε x = 3m. Β. Γράφουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για τη διαδρομή των 3m και έχουμε: 0+ W W = mυ (α) Fσυνθ T Για την τριβή Τ έχουμε: Τ = μf κ = μ(mg Fημθ) ή Τ = 0,5[0 (0 + 5x)0,8] ή Τ = 3 x ή

39 38 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Επίσης Fσυνθ = (0 + 5x)0,6 ή Fσυνθ = 6 + 3x. Από τα αντίστοιχα διαγράμματα βρίσκουμε το έργο της Τ και της Fσυνθ. Αντικαθιστούμε στην (α) και βρίσκουμε: W Fσυνθ WT υ= ή υ= 3 3m / s m. A. Το ζητούμενο έργο υπολογίζεται γραφικά: WF = 30 30J ή W F = 450J Β. Το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα, όταν: ΣF = 0 ή mg = 30 x ή x = 0m. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για τη διαδρομή x έχουμε: 0 + WF mgx = mυ ή = υ ή υ = 0m / s

40 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 39 Γ. Μέγιστη ανύψωση xμ έχουμε όταν η ταχύτητα γίνει μηδέν. 0 + W mgx = 0 ή x µ F µ WF = = m ή x mg 0 μ = 45m Δ. To σώμα επιστρέφει εκτελώντας ελεύθερη πτώση από ύψος x μ. Έτσι: 0 + mgxµ = mυ ή υ= gx µ ή υ = 30m / s.

41

42 Κεφάλαιο.. Από τη γνωστή σχέση Q = ΔU + W βρίσκουμε: ΔU = Q W = (80 30)J ή ΔU = 50J.. Έχουμε Q = ΔU + W, οπότε: Q = ( )J ή Q = 80J. 3. Στη σχέση Q = ΔU + W έχουμε ΔU = 0. Έτσι: Q = 0 + W ή Q = 50J. 4. Από τη σχέση Q = ΔU + W βρίσκουμε πως το παραγόμενο από το αέριο έργο είναι: W = Q ΔU = (400 50)J ή W = 50J. W 50 Αλλά W = F Δx ή x = = m ή Δx = 0,m. F Το σώμα αρχικά έχει δυναμική ενέργεια, η οποία μετατρέπεται, κατά την πτώση του, σε κινητική και τελικά σε εσωτερική ενέργεια του σώματος. Δηλαδή: ΔU = mgh = 0,8 0 3J ή ΔU = 4J. 6. Καθημερινά το ποσοστό των θερμίδων είναι ελαττωμένο κατά 350kcal. Για να διατηρείται η ίδια δραστηριότητα, οι θερμίδες αυτές αναπληρώνονται από την καύση του λίπους του οργανισμού. Συγκεκριμένα για κάθε ημέρα πρέπει ο οργανισμός να μειώνει το λίπος κατά 350 gr. Έτσι προκειμένου να καούν kg, δηλαδή.000gr, απαιτούνται.000 9, ,5 ημέρες ή.000 9,5 = 54, 8 ημέρες Α. Για την κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου που η ταχύτητά του είναι υ= m/s = 30m/s, βρίσκουμε: K = mυ = J ή Κ= 4,5 0 J.

43 4 Ευθύγραμμη κίνηση Β. Για να διατηρείται η ταχύτητα σταθερή, απαιτείται ενέργεια ίση με αυτή που γίνεται θερμότητα, μέσω του έργου της δύναμης F η οποία αντιστέκεται στην κίνηση. Δηλαδή Ε = W F = Fx = J ή E = 4,5 0 5 J. Γ. Από την καύση ενός λίτρου βενζίνης προκύπτει ενέργεια J από την οποία ωφέλιμη είναι το 30%, δηλαδή 0,9 0 7 J. Τόση ακριβώς ενέργεια γίνεται θερμότητα μέσω του έργου της F, αφού η ταχύτητα εξακολουθεί να παραμένει σταθερή. 7 Δηλαδή E = ωϕ Fx ή Eωϕ 0,9 0 x = = m ή F x = 0 m.

44

45

46

47

48

49 Βάσει του ν. 3966/0 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 9 της 5/ Μαρτίου 946 (ΦΕΚ 946,08, Α'). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.

50 Κωδικός βιβλίου: 0--0 ISBN