1. UVOD. P opt. I th. I D Slika 1.1. Strujno-svetlosna karakteristika laserske diode. LED i laserske diode. oblast stimulisane emisije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. UVOD. P opt. I th. I D Slika 1.1. Strujno-svetlosna karakteristika laserske diode. LED i laserske diode. oblast stimulisane emisije"

Transcript

1 1. UVOD Optoelektronski poluprovodnički elementi kao što su svetleće diode (LED) i laserske diode predstavljaju glavne izvore svetlosti u optičkim telekomunikacijama. Prenos signala preko optičkih talasovoda zahteva optoelektronske pretvarače kao izvore i detektore čije su karakteristike određene zahtevima sistema, odnosno na prvom mestu dužinom veze i brzinom prenosa. Posmatrajući optičke izvore u sistemima koji koriste intenzitetsku modulaciju zahtevi koji se postavljaju ovim komponentama su sledeći: emisija se mora nalaziti u spektralnom opsegu male apsorpcije i/ili disperzije optičkog vlakna, snaga zračenja uvedena u optički talasovod mora biti što veća (visok stepen elektrooptičke konverzije i dobra fokusiranost zračenja), što uži spektar zračenja, naročito za velike brzine modulacije, radni vek elementa mora biti uporedljiv sa ostalim komponentama sistema i ekonomična tehnologija proizvodnje. U osnovi LED i laserske diode rade na principu zračenja svetlosti usled dovođenja pobudne struje. Razlika je u tome, što se kod LED odvija spontana emisija, koja je slabija i zračenje je nekoherentno (izlazna snaga je reda veličine 1mW, a širina spektra reda veličine nekoliko desetina nanometara - kx10nm). Laserska dioda radi na principu stimulisane emisije, te dobijamo veću izlaznu snagu i znatno uži spektar zračenja (izlazna snaga oko 10mW, širina spektra od desetih delova nm do nekoliko nm). Kod laserske diode se definiše struja praga, iznad koje je zračenje stimulisano, a ispod koje je spontano (sl. 1.1.). LED je jednostavnija za izradu, te i jeftinija, manje osetljiva, ali zato za razliku od laserske diode, ima širi spektar zračenja i širi dijagram prostornog zračenja (sl. 1.2.a. i 1.2.b.). To za posledicu ima veće rasipanje i gubitke pri uvođenju svetlosti u vlakno. Zbog male fokusiranosti zračenja, LED se ne može koristiti kao izvor u sistemima gde je prenosni medijum monomodno vlakno (izuzetno mali prečnik vlakna), već se koristi samo kao izvor za multimodna vlakna, koja su za red veličine većih dimenzija. P opt oblast spontane emisije oblast stimulisane emisije I th I D Slika 1.1. Strujno-svetlosna karakteristika laserske diode. 1

2 λ o λ λ a) b) Slika 1.2. Uporedni dijagrami a) širine spektra i b) prostornog zračenja za LED i lasersku diodu. Sa druge strane, laserske diode su složenije strukture, osetljivije i zahtevaju složeniju temperaturnu kompenzaciju i kontrolu snage zračenja. Izbor materijala za izradu ovih dioda vrši se između poluprovodnika III i V grupe periodnog sistema (Ga, Al, In, As, P i Sb) iz sledećeg razloga: jedinjenja i legure ovih elemenata imaju direktan energetski procep, koji je u ovom slučaju neophodan, jer je u suprotnom velika neradijativna rekombinacija. Od značaja su sledeći materijali: 1) Ga 1 x Al x As - za direktan procep potrebno je obezbediti 0 x 0,45, a zračenje se dobija u opsegu talasnih dužina prvog optičkog prozora. Tehnologija dobijanja ovog materijala je razvijenija i jednostavnija. 2) Ga x In 1 x As y P 1 y - u ovom slučaju potrebno je ostvariti odnos x=0.43y. Zračenje je u opsegu talasnih dužina od nm, čime je pokriven frekventni opseg u kome je disperzija i apsorpcija u optičkom vlaknu minimalna. Centralna talasna dužina zračenja, za LED i laserske diode, određena je širinom energetskog procepa E G : λ ŠμmĆ= hc = 124,, h= Js ( 1.1 ) E G E [ ev] G Takođe je važno napomenuti, da treba obezbediti usaglašenost kristalografskih osobina (dimenzija kristalne rešetke) slojeva poluprovodnika, koji formiraju heterostrukture, jer u suprotnom, na mestu heterospojeva, dolazi do pojave kristalnih defekata što povećava neradijativnu rekombinaciju. 2

3 2. SVETLEĆE DIODE Svetleće diode (LED-Light Emitting Diode) obično rade na talasnim dužinama oko 850nm i 1300nm (I i II optički prozor), i to kao što je već rečeno, samo u kombinaciji sa multimodnim vlaknima. Širina spektra ovih dioda je oko 30 40nm, te se zato kod njih primenjuje samo intenzitetska modulacija (analogna ili digitalna). Prednosti LED u odnosu na laserske diode su: niža cena, linearniji odnos između snage zračenja i struje kroz diodu i manja osetljivost na temperaturne promene. Osnovni kriterijum za primenu LED su sjajnost (radijansa) i brzina odziva (inercione osobine). Sjajnost je snaga zračenja emitovana sa jedinice emisione površine u jedinični prostorni ugao, i potebno je da bude što veća. Brzina odziva ograničava maksimalnu širinu spektra, kojim se može modulisati zračenje LED (maksimalno do oko 200MHz). Iz tog razloga potrebno je da inercija diode bude što manja. Svetleće diode, prema veličini emisione površine, možemo podeliti u dve grupe: 1) Diode sa velikom emisionom površinom (0,2 5,6mm 2 ) i slabim sjajem. Koriste se samo kod optičkih kablova, čiji su svetlovodi sačinjeni od vlakana u obliku pletenice, pa im je poprečni presek približno jednak emisionoj površi diode. 2) Diode sa malom emisionom površinom (reda veličine 0,05mm 2 ) i velikim sjajem, za multimodno vlakno. Takođe, LED možemo podeliti na diode sa površinskim zračenjem (Burrus-ovog tipa) i diode sa bočnim zračenjem LED sa površinskim zračenjem Strukturni prikaz jedne ovakve diode dat je na sl Sloj u kojem se ostvaruje spontana emisija (aktivni sloj p-gaas) smešten je između slojeva sa većim energetskim procepom, (slojevi n-gaalas i p-gaalas) Time se ostvaruje lokalizacija nosilaca naelektrisanja u aktivnom sloju. Aktivna oblast je kružnog oblika i obično je prečnika 50 μ m i debljine do 2,5 μ m. Direktnom polarizacijom diode iz sloja n-gaas, kroz sloj n-gaalas, injektuju se elektroni u p-gaas zonu rekombinacije. Potencijalna barijera kod sloja p-gaalas zadržava elektrone u sloju p-gaas, gde se formira visoka koncentracija istih, sa jakim rekombinacionim procesom. Deo rekombinacionog zračenja koji pada na sloj n-gaalas je koristan deo, koji se u ovom slučaju ne apsorbuje (jer GaAlAs ima veći energetski procep), nego pada neposredno na optičko vlakno. Okrugla kontaktna elektroda (metalni kontakt) u kvarcnom sloju, određuje i ograničava oblast rekombinacije zračenja. Epoksidna smola se stavlja radi povećanja efikasnosti uvođenja svetlosti u optičko vlakno ujednačavanjem indeksa prelamanja vlakna i izvora. Povećanje efikasnosti sprege izvor-vlakno može se ostvariti i korišćenjem sočiva (koja kolimiraju izlazni snop). 3

4 vlakno epoksidna smola n - GaAs supstrat p - GaAs SiO 2 svetlost n - GaAlAs p - GaAlAs p+ GaAlAs metalni kontakt svetle}a povr{ina metalni kontakt metalna podloga Slika Struktura LED sa površinskim zračenjem. Barusova dioda se ponaša kao Lambertov izvor svetlosti sa širinom dijagrama zračenja oko 120 ο (sl ). Lambertov izvor svetlosti je onaj čija se radijansa može opisati izrazom: B(θ)=B 0 cos θ ( ) gde B 0 aksijalna radijansa cosθ Slika Prostorni dijagram zračenja LED sa površinskim zračenjem. 4

5 2.2. LED sa bočnim zračenjem Ove diode imaju bolje karakteristike od Barusovih dioda u pogledu: brzine odziva, veličine izlazne optičke snage i divergencije snopa zračenja. One imaju bočnu emisiju kao i poluprovodnički laseri. Slojevi dvostrukog heterospoja obrazuju planarni talasovod što dovodi do bolje usmerenosti izlaznog zračenja. Struktura LED sa bočnim zračenjem prikazana je na sl izolator trakasti kontakt koji defini{e {irinu aktivne oblasti slojevi dvostrukog heterospoja supstrat hladnjak θ II θ nekoherentni izlazni mlaz Slika Strukturni prikaz LED sa bočnim zračenjem. U ravni paralelnoj ravni pn spoja, gde nema talasovodnog efekta, emitovani mlaz je Lambertovog tipa. Širina izlaznog snopa u ovoj ravni kada snaga opadne na polovinu maksimalne snage je θ II =120 ο. U ravni normalnoj na ravan spoja širina snopa je θ =25 ο 35 ο. Posebnu vrstu LED čine tzv. superluminiscentne LED. Diode ovog tipa deo svetlosti generišu spontanom, a deo stimulisanom emisijom. Da bi se to postiglo, one sadrže optički rezonator koji na jednom kraju ima nepropusno ogledalo, ali na drugom kraju takvog ogledala nema, pa svetlost slobodno izlazi u okolni prostor. U ovom slučaju, spontano zračenje izaziva stimulisane radijacione prelaze i na taj način pojačava samo sebe. To pojačanje nije značajno jer veliki deo zračenja brzo prolazi kroz rekombinacionu oblast i izlazi napolje. Ovako generisano zračenje naziva se superluminiscentno zračenje. 5

6 Prethodno opisane LED, sa površinskim i bočnim zračenjem, koje rade u talasnom području od nm, pri struji od mA, daju izlaznu snagu zračenja od nekoliko mw. Snaga zračenja koja ulazi u vlakno zavisi od numeričke aperture (NA) vlakna i vrste diode.za vlakna sa NA< 0,3 povoljnije su LED sa bočnim zračenjem, a za vlakna sa NA> 0,3 diode sa površinskim zračenjem. Diode sa površinskim zračenjem obično zrače u prostor oko tri puta veću snagu od dioda sa bočnim zračenjem. Još jedan značajan parametar LED, koji do sada nije pominjan, jeste vek trajanja. Starenje diode je sporije ako je struja, koja protiče kroz nju, manja. Osnovni uzroci degradacije su mehanički i toplotni efekti, koji deluju na kristal poluprovodnika u toku rada diode. Značajan faktor je disipacija. 6

7 3. LASERSKE DIODE Rad laserske diode (LASER- Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) se zasniva na procesu stimulisane emisije zračenja. Za razliku od ostalih lasera (gasni, čvrstog stanja) kod poluprovodničkih lasera ne postoje izolovani energetski nivoi, nego se radijativni prelazi elektrona odvijaju između stanja provodne i valentne zone. Radi ostvarenja pojačanja zračenja putem stimulisane emisije, potrebno je prethodno "pumpanjem" lasera ostvariti inverziju populacije (veća popunjenost elektronima pri dnu provodne nego pri vrhu valentne zone), a za to postoje različite tehnike. Kod poluprovodničkih lasera najznačajnija je prolazak struje kroz direktno polarisani p-n spoj diode. Na taj način se ostvaruje injekcija nosilaca u okolini p-n spoja, pa se ovakvi laseri nazivaju injekcionim. Jednostavnom modulacijom struje kroz p-n spoj, moguće je modulisati izlaznu snagu laser diode do frekvencija reda GHz. Za "pumpanje" se mogu primeniti i druge tehnike kao što su optičko pobuđivanje ili bombardovanje elektronskim mlazom. Oblast u kojoj se ostvaruje inverzija populacije, tj. oblast u kojoj postoji optičko pojačanje putem stimulisane emisije, naziva se aktivna oblast. Za generisanje laserskog zračenja neophodno je da aktivna oblast bude smeštena unutar rezonatora. Ovaj rezonator obezbeđuje višestruki prolazak svetlosti kroz aktivnu oblast. Pri svakom novom prolasku intenzitet svetlosti se putem stimulisane emisije pojačava. Laserski rezonator se najčešće izvodi planparalelnim ogledalima (FP - Fabry-Perot rezonator). Unutar laserskog rezonatora mogu da postoje talasi samo onih talasnih dužina λ za koje je ispunjen uslov: m λ =L ; m=1,2,3... ( 3.1. ) 2 gde je L dužina rezonatora. Izračena talasna dužina (po izlasku svetlosti iz laserskog rezonatora) λ o =nλ, gde je n indeks prelamanja aktivne oblasti. U opštem slučaju unutar rezonatora mogu postojati modovi koji se prostiru pod različitim uglovima u odnosu na osu rezonatora. U interesu je, naravno, da takvih modova bude što manje, odnosno da postoje samo modovi koji se prostiru duž ose, kako bi prostorni dijagram zračenja bio što uži. Važna karakteristika laserskih materijala je unutrašnja kvantna efikasnost η i, koja se definiše kao odnos verovatnoća radijativne rekombinacije 1/τ r i ukupne rekombinacije 1/τ =1/τ r +1/τ nr : η i =τ /τ r = τ nr τ + τ r nr ( 3.2. ) gde su τ r i τ nr radijativno i neradijativno vreme života nosilaca, respektivno. Pravilnim legiranjem i brižljivom izradom kristala postiže se η i 1. 7

8 U dosadašnjem tekstu je već navedeno da laserske diode imaju znatno uži dijagram prostornog zračenja u odnosu na LED. Za InGaAsP laser sa dvostrukom heterostrukturom koji zrači na talasnoj dužini od 1310nm, na sl. 3.1., dati su kataloški dijagrami prostornog zračenja po horizontalnoj i vertikalnoj ravni. a) b) Slika 3.1. Prostorni dijagrami zračenja laser diode u a) horizontalnoj i b) vertikalnoj ravni Pregled razvoja laserskih dioda Prvi injekcioni laser bio je jednostavan p-n spoj od GaAs, paralelopipednog oblika (sl a.). Kod ovog lasera dve naspramne strane koje emituju svetlost su glatko odsečene (fasete) i poseduju izvesnu refleksivnost zbog velikog indeksa prelamanja GaAs, te na taj način formiraju Fabry-Perot (FP) rezonator. Nedostatak ovih lasera je velika gustina struje praga te je korišćen samo na temperaturi tečnog helijuma (77K) i to samo u impulsnom režimu. Razlozi zbog kojih je struja praga tako velika jesu neprecizno definisana oblast sa inverzijom populacije (usled difuzije nosilaca) i nepotpuna lokalizovanost svetlosti unutar aktivne oblasti. Oba navedena nedostatka se mogu prevazići ako se sa obe strane aktivnog sloja postavi po jedan sloj poluprovodnika sa većim energetskim procepom, a manjim indeksom prelamanja. Na taj način potencijalne barijere na mestima heterospojeva u potpunosti lokalizuju injektovane nosioce unutar aktivnog sloja. Istovremeno je formiran talasovod jer aktivna oblast ima veći indeks prelamanja nego okolni slojevi, te je ostvarena lokalizacija fotona u aktivnoj oblasti. Ovakva višeslojna struktura naziva se heterostruktura (sl b.). Pored debljine i širina aktivne oblasti treba da bude što manja da bi struja praga bila što manja, i da bi se ostvarila što bolja usmerenost zračenja. p aktivna p - GaAsAl n - GaAsAl w n oblast n - GaAsAl n - GaAs supstrat a) b) Slika Strukturni prikazi laserske diode a) kao običnog pn spoja i b) kao heterostrukture. 8

9 Laserske diode kod kojih se usredsređivanje talasa po lateralnom pravcu vrši optičkim pojačanjem nazivaju se pojačanjem vođeni laseri ili trakasti laseri (sl a.). Kod njih struja dominantno teče kroz jednu usku oblast pa se i samo optičko pojačanje ostvaruje u toj uskoj aktivnoj oblasti. Oblast proticanja struje obično je ograničena izolatorom. Drugu vrstu laser dioda čine indeksom vođeni laseri. Kod njih se talasi usredsređuju u lateralnom pravcu, promenom indeksa prelamanja u istom pravcu. Većina njih ima konfiguraciju ukopane heterostrukture (BH - Buried Heterostructure), kod kojih je aktivna oblast sa svih strana okružena materijalom većeg energetskog procepa i manjeg indeksa prelamanja. Na sl b. je prikazan jedan BH laser. p - InP n - InP izolator p - InGaAsP InGaAsP n - InP p - InP p - InGaAsP InGaAsP p - InP n - InP podloga n - InP podloga a) b) Slika Strukturni prikazi a) trakastog lasera i b) planarne BH heterostrukture. Aktivna oblast je zatamnjena. Zahvaljujući maloj debljini i širini aktivne oblasti postoje samo modovi koji se prostiru duž njene ose (longitudinalni modovi). Različiti longitudinalni modovi imaju različite talasne dužine (izraz 3.1.). Istovremeno postojanje više ovakvih modova je nepoželjno, jer će u kombinaciji sa hromatskom disperzijom optičkog vlakna dovesti do proširenja optičkog impulsa i ISI na prijemu. Kod lasera sa FP rezonatorom u prelaznom režimu uvek postoji više longitudinalnih modova. Tek posle izvesnog vremena se, zahvaljujući različitom pojačanju na različitim talasnim dužinama, izdvaja osnovni mod. Pri velikim brzinama modulacije laserska dioda stalno radi u prelaznom režimu, pa su zbog toga FP laseri u takvim primenama nepovoljni. Laser diode koje su i u prelaznom režimu monomodne nazivaju se dinamički monomodne (DSM - Dynamic Single Mode) laser diode. Kod ovih lasera postoji selektivna zavisnost povratne sprege od talasne dužine, što je ostvareno ugrađivanjem uzdužne optičke rešetke u heterostrukturu lasera. Na sl dati su kataloški dijagrami zračenja za laser diodu sa FP rezonatorom i jednu DSM laser diodu. 9

10 a) Slika Spektri zračenja a) heterostrukturne laser diode sa klasičnim FP rezonatorom i b) dinamički monomodne laser diode. Dva osnovna tipa dinamički monomodnih dioda su: struktura sa raspodeljenim Bragovim reflektorom (DBR - Distributed Bragg Reflector) i struktura sa raspodeljenom povratnom spregom (DFB - Distributed FeedBack). Na sl a. i sl b. su šematski prikazani DBR i DFB laseri respektivno. fazni pomeraj b) a) b) Slika Šematski prikaz a) DBR i b) DFB lasera. Aktivna oblast je zatamnjena. 10

11 3.2. Pojačanje na pragu laserskog efekta Da bi se ostvarila laserska emisija potrebno je da optičko pojačanje bude dovoljno veliko (tj. stimulisana emisija dovoljno intenzivna), da pokrije sve gubitke fotona u rezonatoru. U ove gubitke, pored ostalog spada i korisno svetlosno zračenje. Kada se pobuda poveća do te mere da se pojačanje izjednači sa sumom svih gubitaka, nastupa prag laserskog efekta, okarakterisan naglim porastom amplitude nekoliko centralnih modova. Ispod praga laserskog efekta, laser se ponaša kao pojačavač spontane emisije. Da bi se odredilo pojačanje na pragu laserskog efekta, polazi se od izraza za intenzitet zračenja u laserskoj diodi: I(z)=I(z=0) e ( g α ) z R 1 R 2 ( ) gde je g optičko pojačanje, z koordinata po dužini lasera, R 1 i R 2 refleksivnosti ogledala rezonatora, a α su gubici usled apsorpcije, rasejanja, itd. Prag laserskog efekta nastupa kada se optičko pojačanje izjednači sa sumom svih gubitaka u rezonatoru. Iz uslova da je I(2L)=I(0), gde je L dužina rezonatora, dobija se izraz za pojačanje na pragu laserskog efekta: g th =α + 1 2L ln 1 ( ) RR 1 2 Drugi sabirak predstavlja gubitke usled transmisije zračenja kroz ogledala rezonatora Statička karakteristika i uticaj temperature na rad laser diode Statička karakteristika, tj. zavisnost izlazne optičke snage od struje kroz laser za različite temperature, prikazana je na sl Slika Zavisnost izlazne opti~ke snage od pobudne struje laser diode pri razli~itim temperaturama. 11

12 Nagib prikazane karakteristike određuje diferencijalna kvantna efikasnost η D. Ako sa P obeležimo izlaznu optičku snagu tada je: hν P=η D ( I-I th ) ( ) q gde je I th struja praga. Fundamentalna relacija koja opisuje diferencijalnu kvantnu efikasnost je sledeća: η D α = η ( 1 ) ( ) i g th gde je η i unutrašnja kvantna efikasnost definisana izrazom 3.2., α gubici usled apsorpcije, rasejanja, itd. i g th pojačanje na pragu laserskog efekta. Standardni poluprovodnički laseri imaju η D od 15 20%, a visoko kvalitetni poluprovodnički laseri mogu imati vrednost η D i do 30% ili 40%. Pri većim izlaznim snagama zračenja, zbog grejanja spoja, javlja se smanjenje nagiba statičke karakteristike. Na statičkoj karakteristici se takođe uočava, jedna od važnih karakteristika, struja praga laserskog efekta. Kod poluprovodničkih lasera sa porastom temperature optička snaga drastično opada, struja praga se povećava, a zavisnost optičke snage od pobudne struje je sve nelinearnija. Zavisnost struje praga od temperature je sledeća: T T I th =I o e o ( ) pri čemu je poželjno da T o bude što veće. Kod dugotalasnih lasera (1300nm i 1550nm) to je 50 60K, a kod GaAs lasera (850nm) ide čak i do 200K. U pogledu smanjenja temperaturne zavisnosti kod dugotalasnih lasera za sada najviše obećavaju laserske strukture sa kvantnim jamama. Pri tome postoje stukture sa jednom ili više kvantnih jama. U toku rada usled proticanja struje kroz laser diodu, dolazi do pojave disipacije koja u velikoj meri utiče na vek trajanja diode. Disipacija je najizraženija u aktivnom sloju. Materijal je tada podvrgnut velikom temperaturnom gradijentu i jakim mehaničkim naprezanjima. Pored toga GaAs ima lošije mehaničke i temperaturne osobine od Si. Zbog toga dolazi do naglog opadanja intenziteta svetlosti (za nekoliko časova). Ono je propraćeno stvaranjem tamnih linija koje slede kristalografske ose, a nastaju zbog smanjenja vremena života osnovnih nosilaca naelektrisanja. Nakon naglog opadanja intenziteta svetlosti, u toku daljeg rada intanzitet svetlosti se sporije smanjuje, što zavisi od vrste i količine primesa, čistoće osnovnog poluprovodnika itd Dinamika laserske emisije Zahvaljujući mogućnosti rada i na velikim frekvencijama (reda GHz), laser diode su od velikog značaja za optičke telekomunikacije. Karakteristično za laser diode je da im se u odzivu javljaju prigušene relaksacione oscilacije - naizmenično se smenjuju minimumi i maksimumi koncentracije elektrona i fotona. Analitički se ovo opisuje jednačinama brzina (3.4.1., , i ) koje određuju dinamički odziv lasera. 12

13 ds dt = Γ ν gao( n no) s s nspγn + τp τ n dn dt = it () ev a n νgao( n no) s τ dφ 1 = dt 2 α Γν 1 gao( n no) τ p n ( ) ( ) ( ) gde je: s koncentracija fotona u laser diodi; n koncentracija slobodnih elektrona u laser diodi; n o koncentracija elektrona na pragu transparencije (pri kojoj se jednak broj fotona generiše i apsorbuje); ν g grupna brzina optičkog talasa unutar rezonatora; a o koeficijent optičkog pojačanja; Γ faktor optičkog ograničenja (definiše deo optičke snage koji se nalazi unutar aktivne oblasti); τ p srednje vreme života fotona u rezonatoru; τ n srednje vreme života slobodnih elektrona u rezonatoru; n sp faktor spontane emisije (tj. deo spontane emisije koji se uključuje u laserske modove); α faktor proširenja spektralne linije; Φ trenutna faza optičkog talasa; V a zapremina aktivne oblasti laser diode; i() t struja kroz aktivni deo laser diode; e naelektrisanje elektrona. Na osnovu ovih jednačina dobija se vreme potrebno za prigušenje oscilacija. 13

14 3.5. Modul laserskog izvora Zbog velike osetljivosti laser dioda na temperaturne promene i potrebe za kontrolom nivoa izlaznog zračenja, one se ne proizvode kao zasebne komponente već u okviru modula. Laserski modul pored same laser diode sadrži i elemente prikazane na sl ELECTRICAL CONTROL AND DRIVE MONITOR DIODE LASER DIODE Hermetically sealed case Optical waveguide OPTICAL MATCHING THERMISTOR Environmental effect PELTIER COOLER Ambient temperature TEMPERATURE CONTROL Slika Blok šema modula laserskog izvora. Pored dela za prilagođenje laser diode optičkom vlaknu (OM) i sistema za kontrolu i održavanje temperature na dozvoljenoj vrednosti (T, PC i TC), modul sadrži i sistem za regulaciju izlazne snage zračenja laser diode. Naime, sem ka izlazu, tj. optičkom vlaknu, laser dioda zrači i ka fotodetektoru (MD), koji signal predaje posebnom spoljnom sistemu za regulaciju izlazne optičke snage laser diode (ECD). Na ovaj način laser dioda je zaštićena od spoljnih uticaja, jednostavnije je priključenje laserskog izvora u sistem, a takođe je omogućena i jednostavnija regulacija rada laser diode. 14

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

POLUPROVODNIČKI IZVORI I DETEKTORI SVETLOSTI

POLUPROVODNIČKI IZVORI I DETEKTORI SVETLOSTI 1. Uvod POLUPROVODNIČKI IZVORI I DETEKTORI SVETLOSTI U poluprovodničke izvore svetlosnog zračenja spadaju emiterske ili svetleće diode i poluprovodnički laseri, a u poluprovodničke detektore fotootpornici,

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IMPULSNI LASERI I PFH

IMPULSNI LASERI I PFH PRIMENA LASERA u FiZIČKOJ HEMIJI IMPULSNI LASERI I PFH Milan S. Trtica, (e-mail: etrtica@vinca.rs) Institut za nuklearne nauke Vinča Š.S. Miljanić, M. Kuzmanović Fakultet za fizičku hemiju - PLAN IZLAGANJA:

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

14. Merenja na optičkim komunikacionim sistemima

14. Merenja na optičkim komunikacionim sistemima 14. Merenja na optičkim komunikacionim sistemima 14.1. Osnove prostiranja svetlosti kroz optičko vlakno Glavna karakteristika optičkih sistema prenosa jeste potencijalna mogućnost prenosa velike količine

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

Osnove mikroelektronike

Osnove mikroelektronike Osnove mikroelektronike Z. Prijić T. Pešić Elektronski fakultet Niš Katedra za mikroelektroniku Predavanja 2006. Sadržaj Bipolarni tranzistor 1 Bipolarni tranzistor 2 Ebers-Molov model Strujno-naponske

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k. OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h

Διαβάστε περισσότερα

nagib krive je: talasna dužina - λ (nm) Slika Hromatska disperzija u funkciji talasne dužine

nagib krive je: talasna dužina - λ (nm) Slika Hromatska disperzija u funkciji talasne dužine nagib krive je: 20 S 0 = 0,095 psec 2 ( nm) km 0 disperzija - D (nsec/nm/km) -20-40 -60-80 -100-120 λ 0 =1335nm S 0 λ0 D = λ1 + 4 λ 4-140 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 talasna dužina - λ (nm) Slika

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

PP-talasi sa torzijom

PP-talasi sa torzijom PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1 Matematički

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBA 4 DIODA. 1. Obrazovanje PN spoja

VEŽBA 4 DIODA. 1. Obrazovanje PN spoja VEŽBA 4 DIODA 1. Obrazovanje PN spoja Poluprovodnik može da bude tako obrađen da mu jedan deo bude P-tipa, o drugi N-tipa. Ovako se dobije PN spoj. U oblasti P-tipa šupljine čine pokretni oblik elektriciteta.

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα