Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Transcript

1 Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95

2 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama a svi vremenski neprekidni podsistemi su prikazani svojim prenosnim funkcijama je s blok dijagram tog sistema. 7.1 Blok dijagrami rednih sprega 1. Na slici 7.1 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema između kojih ne postoji odabiraq. W( s ) =W1( s) W2( s) Xu( s) Xu( s) W1( s) W2( s) Slika 7.1: Diskretni sistem sa dva podsistema bez odabiraqa između njih Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazi se od Laplasove transformacije X i (s) izlaznog signala x i (t). Na osnovu prikazanog blok dijagrama sledi: X i (s) = W 1 (s) W 2 (s) X u (s) = W (s) X u (s) = X i (s) = W (s) X u (s) = [W (s)] X u (s) = = [W 1 (s) W 2 (s)] X u (s) = W 1 W 2 (s) X u (s) simboliqno oznaqavanje Napomena 7.2 W 1 W 2 (s) W 1 (s) W 2 (s) i W 1 W 2 (s) = W 2 W 1 (s). Sliqno W (z) = W 1 W 2 (z) = W 1 W 2 (s) z= 1 ln z je Z prenosna funkcija celog sistema. Napomena 7.3 W 1 W 2 (z) W 1 (z) W 2 (z). 2. Na slici 7.2 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema između kojih postoji odabiraq. Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazi se od Laplasove transformacije X i (s) izlaznog signala x i (t). Na osnovu prikazanog blok dijagrama sledi: X i (s) = W 2 (s) X u2 (s) X i1 (s) = W 1 (s) X u (s) } =

3 7.2. Blok dijagrami paralelnih sprega 97 X s u( ) Xu( s) Xi1( Xi( ) s) Xu2( s) Xi1( ) Slika 7.2: Diskretni sistem sa dva podsistema sa odabiraqem između njih s s zbog Sledi: Sliqno: X i (s) = W 2 (s) X u2 (s) X i1 (s) = W 1 (s) X u (s) } = X i (s) = W 1 (s) W 2 (s) X u (s) X u2 (s) = X i1 (s). W (s) = W 1 (s) W 2 (s). W (z) = W 1 (z) W 2 (z). 3. Na slici 7.3 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od redne veze jednog podsistema i idealnog odabiraqa na izlazu. Xu( s) Slika 7.3: Redna veza jednog podsistema i idealnog odabiraqa Polazi se od Laplasove transformacije X i (s) izlaznog signala x i (t) podsistema. Na osnovu prikazanog blok dijagrama sledi: X i (s) = W 1 (s) X u (s) = X i (s) = W 1 X u (s) W 1 (s) X u (s) = U ovom sluqaju ne moжe se govoriti o diskretnoj prenosnoj funkciji (Z prenosnoj funkciji) celog sistema. 7.2 Blok dijagrami paralelnih sprega Na slici 7.4 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od paralelno spregnutih podsistema. Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazi se od Laplasove transformacije X i (s) izlaznog signala x i (t). Na osnovu prikazanog blok dijagrama sledi: [ n ] X i (s) = W k (s) Xu (s) = k=1

4 98 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema X s s u( ) Xu( ) Wn( S) Slika 7.4: Diskretni sistem sa paralelno spregnutim podsistemima Sliqno: [ n ] Xi (s) = W k (s) Xu (s) = k=1 [ n ] = Wk (s) Xu (s) = k=1 n W (s) = Wk (s). k=1 n W (z) = W k (z) k=1 7.3 Blok dijagrami povratnih sprega 1. Na slici 7.5 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema povratno spregnuta sa odabiraqem u glavnoj grani na ulazu u podsistem glavne grane. Xu( s) E( s) E( s) + - Slika 7.5: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema i odabiraqem u glavnoj grani na ulazu u podsistem glavne grane Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazi se od Laplasove transformacije X i (s) izlaznog signala x i (t). Na osnovu prikazanog blok dijagrama sledi: X i (s) = W 1 (s) E (s) =

5 7.3. Blok dijagrami povratnih sprega 99 akođe, na osnovu blok dijagrama sledi: X i (s) = W 1 (s) E (s) (7.1) E (s) = X u (s) ± W 2 (s) W 1 (s) E (s) = E (s) = Xu (s) ± W 2 W1 (s) E (s) = E 1 (s) = 1 W 1 W2 (s)x u (s). (7.2) Na osnovu izraza 7.1 i 7.2 sledi: Sliqno: X i (s) = W 1 (s) 1 W 1 W 2 (s)x u (s) = W (s) = W (z) = W 1 (s) 1 W 1 W 2 (s). W 1 (z) 1 W 1 W 2 (z). 2. Na slici 7.6 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema povratno spregnuta sa odabiraqem u glavnoj grani na izlazu podsistema glavne grane. Xu( s) - Slika 7.6: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema i odabiraqem u glavnoj grani na izlazu podsistema glavne grane Kompleksni lik Xi (s) vremenski diskretizovanog izlaznog signala x i (t) i z kompleksni lik izlaznog signala x i (t) su: X i (s) = X i (z) = Prenosne funkcije nemaju smisla. W 1X u (s) 1 + W 1 W 2 (s), W 1X u (z) 1 + W 1 W 2 (z). 3. Na slici 7.7 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema povratno spregnuta sa odabiraqem u povratnoj grani na ulazu podsistema povratne grane. Kompleksni lik Xi (s) vremenski diskretizovanog izlaznog signala x i (t) i z kompleksni lik izlaznog signala x i (t) su: X i (s) = W 1X u (s) 1 + W 1 W 2 (s),

6 100 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Xu( s) - Slika 7.7: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema i odabiraqem u povratnoj grani na ulazu u podsistem povratne grane X i (z) = Prenosne funkcije nemaju smisla. W 1X u (z) 1 + W 1 W 2 (z). 4. Na slici 7.8 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema povratno spregnuta sa odabiraqima u glavnoj grani i to na ulazu i na izlazu podsistema glavne grane. X s u( ) Xi( ) - s Slika 7.8: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema i odabiraqima u glavnoj grani na ulazu i na izlazu podsistema glavne grane Diskretna prenosna funkcija i Z prenosna funkcija celog sistema su: W W1 (s) (s) = 1 + W1 (s) W 2 (s), W (z) = W 1 (z) 1 + W 1 (z) W 2 (z). 5. Na slici 7.9 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od povratne spege koja u glavnoj grani ima dva podsistema i u povratnoj grani ima jedan podsistem i sa dva odabiraqa u glavnoj grani i to na ulazu i na izlazu prvog podsistema glavne grane. Diskretna prenosna funkcija i Z prenosna funkcija celog sistema su: W W1 (s) W2 (s) (s) = 1 + W1 (s) W 2W3 (s), W (z) = W 1 (z) W 2 (z) 1 + W 1 (z) W 2 W 3 (z).

7 7.3. Blok dijagrami povratnih sprega 101 X s u( ) Xi( ) - W3( S) s Slika 7.9: Diskretni sistem sa povratno spregnutim podsistema, dva u glavnoj grani i jedan u povratnoj grani, i odabiraqima u glavnoj grani na ulazu i na izlazu prvog podsistema glavne grane 6. Na slici 7.10 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dva podsistema povratno spregnuta sa odabiraqima u glavnoj grani na ulazu podsistema glavne grane i u povratnoj grani takođe na ulazu podsistema povratne grane. X s u( ) Xi( ) - s xi( s) Slika 7.10: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema i odabiraqima u glavnoj grani na ulazu u podsistem glavne grane i u povratnoj grani na ulazu u podsistem povratne grane Diskretna prenosna funkcija i Z prenosna funkcija celog sistema su: W W1 (s) (s) = 1 + W1 (s) W 2 (s), W (z) = W 1 (z) 1 + W 1 (z) W 2 (z).

8 102

9 Poglavlje 8 Matematiqko modelovanje diskretnih sistema 103

10 104 Poglavlje 8. Matematiqko modelovanje diskretnih sistema 8.1 Diskretizacija diferencijalne jednaqine ponaxanja - diskretna jednaqina ponaxanja Na slici 8.1 prikazana je redna veza idealnog odabiraqa i linearnog stacionarnog vremenski neprekidnog sistema zajedno sa fiktivnim odabiraqem na izlazu ove redne veze. xi xu xu x i(t) i 1 2 Slika 8.1: Redna veza idealnog odabiraqa i linearnog stacionarnog vremenski neprekidnog sistema sa fiktivnim odabiraqem na izlazu Pri tome su korix ene slede e oznake: 1 idealni odabiraq 2 linearni stacionarni vremenski neprekidan sistem. Neka je diferencijalna jednaqina ponaxanja sistema 2: α n x (n) i (t) + α n 1 x (n 1) i (t) + + α 1 xi (t) + α 0 x i (t) = = β 0 x u (t) + β 1 xu (t) + + β m x (m) u (t) ; n m. (8.1) Kada je u pitanju gornja konfiguracija (redna veza sa idealnim odabiraqem pri qemu on prethodi sistemu) vremenski diskretan ulazni signal x u nije diferencijabilan u trenucima odabiranja tako da tada desna strana diferencijalne jednaqine 8.1 nije definisana. Zbog toga se pribegava opisu dinamiqkog ponaxanja samo u trenucima odabiranja, koji se dobija tz. diskretizacijom diferencijalne jednaqine ponaxanja 8.1. Postupak diskretizacije sledi. Prema definiciji prvi izvod funkcije x (t) u trenutku t je: dx dt = lim x (t + t) x (t) t 0 t ako ova graniqna vrednost postoji. Sliqno, k ti izvod funkcije x (t) u trenutku t je definisan sa: d k x (t) dt k = lim t 0 x (k 1) (t + t) x (k 1) (t). t Ako je t dovoljno malo i razliqito od nule onda je: dx dt x (t) t = x (t + t) x (t) t

11 8.1. Diskretizacija dif. jed. ponaxanja - diskretna jednaqina ponaxanja105 i d k x (t) dt k x(k 1) (t) t ( ) x (k 2) (t) t = 2 x (k 2) (t) t t 2 k x (t) t k. Ako je perioda odabiranja dovoljno mala onda se moжe usvojiti da je t = = : odnosno dx dt x (t) d k x (t) dt k k x (t) k. Kada se izvodi u diferencijalnoj jednaqini ponaxanja zamene konaqnim razlikama dobija se: α n n n x i (t) + α n 1 n 1 n 1 x i (t) + + α 1 x i (t) + α 0 0 x i (t) = = β 0 0 x u (t) + β 1 x u (t) + + β m m m x u (t). (8.2) Poxto nas interesuju vrednosti izlaznog signala u trenucima odabiranja onda se usvaja: t d0, tj. t = k, k = 0, 1, 2, Poxto je perioda odabiranja konstantna onda je k ti trenutak odabiranja određen upravo brojem k pa se mogu koristiti oznake x u (k) i x i (k) za vrednost ulaznog i izlaznog signala u k om trenutku odabiranja. Sada se jednaqina 8.2 moжe napisati kao: α n n n x i (k) + α n 1 n 1 n 1 x i (k) + + α 1 x i (k) + α 0 0 x i (k) = = β 0 0 x u (k) + β 1 x u (k) + + β m m m x u (k). (8.3) Jednaqina 8.3 je diferencna jednaqina ponaxanja. Uvodi se operator pomeranja: Ex (k) = x (k + 1) = x (k) = x (k + 1) x (k) = Ex (k) x (k) = (E 1) x (k) 2 x (k) = [ x (k)] = (E 1) x (k) = (E 1) (E 1) x (k) = (E 1) 2 x (k). Matematiqkom indukcijom lako se pokazuje da je: j x (k) = (E 1) j x (k).

12 106 Poglavlje 8. Matematiqko modelovanje diskretnih sistema Koriste i ovu relaciju i E j x (k) = x (k + j) diferencna jednaqina ponaxanja moжe lako da se dovede na slede i oblik: α n x i (k + n) + α n 1 x i (k + n 1) + + α 1 x i (k + 1) + α 0 x i (k) = = β 0 x u (k) + β 1 x u (k + 1) + + β m x u (k + m), k = 0, 1, 2, ili u kompaktnoj formi gde su: α n i = β m i = i j=0 i j=0 n m α r x i (k + r) = β r x u (k + r) (8.4) ( α n j ( 1) i j n j n j i j ( β m j ( 1) i j m j m j i j ) ) Cipkinovi koeficijenti Jednaqina 8.4 je pribliжna diskretna jednaqina ponaxanja sistema na vremenskom skupu d0 (sa periodom odabiranja ). 8.2 Rexavanje diskretne jednaqine ponaxanja primenom Z transformacije Koriste i raniji rezultat i 1 Z {x (k + i)} = z i X (z) x (j) z j i primenjuju i ga na diskretnu jednaqinu ponaxanja 8.4 dobija se: { n } { m } Z α r x i (k + r) = Z β r x u (k + r) = n α r zr r 1 m X i (z) x i (j) z j = j=0 j=0 j=0 β r zr r 1 X u (z) x u (j) z j = n n r 1 m m r 1 α r z r X i (z) α r x i (j) z r j = β r z r X u (z) β r x u (j) z r j = j=0 j=0

13 8.2. Rexavanje diskretne jednaqine ponaxanja primenom Z transformacije107 X i (z) = m β r z r X n u (z) + α r z r } {{ } W (z) n r 1 m r 1 α r x i (j) z r j β r x u (j) z r j j=0 n α r z r j=0 } {{ } Y (z) = x i (k) = Z 1 {X i (z)}

14 108