Technische Mechanik III Aufgabensammlung 1. Aufgabensammlung 1

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1 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe Aufgabensalung Gegeben ist der Spannungsustand in einer Scheibe: = 0 ; = 60 ; = 0 a.) Bestien Sie die ormalspannung und die Schubspannung für einen Schnitt unter o dem Winkel ϕ = 0 ur -Achse und skiieren Sie deren Richtungen. b.) Ermitteln Sie die Hauptnormalspannungen und die Schnitte in denen sie wirken. Fertigen Sie ebenfalls eine Skie an. c.) Ermitteln Sie die Hauptschubspannungen und die Schnitte in denen sie wirken. Lösen Sie die Aufgabe uerst analtisch und dann graphisch mit dem Mohrschen Spannungskreis. ϕ Aufgabe Bestien Sie die Spannungen unter einem Schnittwinkel von Sie für die ermittelten Werte den Mohrschen Spannungskreis. Gegeben: = 0 ; = 60 o ϕ = 0 u den Hauptachsen. Zeichnen ϕ Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

2 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe = 50 = 0 Dargestellt ist der Spannungsustand an einem Punkt eines Bauteils. Bestien Sie a.) die Hauptspannungen und und deren Richtungen, b.) c.) die Hauptschubspannungen ma und deren Richtungen. Kontrollieren Sie ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises. Aufgabe 4 Dargestellt ist ein dünner Blechstreifen mit einer schräg liegenden Schweißnaht, der auf Zug beansprucht wird. Bestien Sie die ormal- und Schubspannungen in der aht und stellen Sie diese im Mohrschen Spannungskreis dar. = 50 0 o Schweißnaht = 50 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

3 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 5 Ein dünnwandiges Kreisrohr mit dem Radius R und der Dicke t wird durch einen Innendruck p und ein orsionsmoment M belastet. Die Materialkonstanten E und ν sind bekannt. t M R a.) b.) Bestien Sie die ormalspannungen, und die Schubspannung. Bestien Sie die Hauptspannungen und. l p c.) Ermitteln Sie die Längenänderung l des Kreisrohres in -Richtung unter Innendruck p und einer emperaturänderung. M Aufgabe 6 0k / m A B 7,0 m,0m a.) Bestien Sie die ormalspannung und die Schubspannung am Lager A und B. Gegeben: Stahlträger mit dem unten dargestellten Querschnitt (Maße in cm). b.) Bestien Sie die Hauptspannungen an der in der Skie eingeeichneten Stelle P des Querschnitts und tragen Sie diese in den Mohrschen Spannungskreis ein. P 5,8, 5,8 6,4, 6,4, Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

4 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 7 Ein dünnwandiger Zlinder mit dem mittleren Durchmesser d = 50 cm steht unter Innendruck pi = M/m² und wird usätlich durch ein orsionsmoment M = 0 km belastet. Berechnen Sie die Vergleichspannung nach der Schubspannungshpothese und bestien Sie die Mindestwanddicke t des Zlinders, wenn die ulässige Spannung = 50 M/m² voll ausgenutt werden soll. t ul m M p i M d m l = m Aufgabe 8 F = 00 F A P A l = a.) Bestien Sie an der Stelle A die ormalspannungen und die Schubspannungen aus Querkraft Q und orsion und skiieren Sie deren Verlauf über den dargestellten dünnwandigen Hohlquerschnitt (Maße in ). b.) Bestien Sie für den Punkt A P die Vergleichsspannung nach der ormalspannungshpothese, der Schubspannungshpothese und der Hpothese der Gestaltänderungsenergie. Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 4

5 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 9 Mit Hilfe einer Dehnungsmessstreifenrosette wurden an einem Blech folgende Dehnungen in den () 4 () 4 () 4 dargestellten Richtungen gemessen: ε = 9 0, ε = 6 0, ε = 5 0. Zusätlich gegeben: 5 E =, 0 /², ν = 0,. Bestien Sie: den Vererrungsustand ε, ε und γ, die Hauptdehnungen ε und ε und deren Richtungen, den Spannungsustand, und, die Hauptspannungen und sowie deren Richtungen. DMS DMS o o DMS Aufgabe 0 Ein Körper mit quadratischer Grundfläche (Breite b, Höhe h) passt im unbelasteten Zustand genau in einen Hohlraum mit starren Wänden, wobei der Kontakt wischen Körper und Wänden reibungsfrei ist. Der Körper wird durch eine Streckenlast p belastet und gleicheitig um erwärmt. Bestien Sie die ormalspannungen,, und die Dehnungen ε, ε, ε im Körper für den Fall eines homogen räumlichen Spannungsustandes. Gegeben: bhpe,,,, ν, α,. p h b Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 5

6 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe Musterlösungen = 0, 60 =, = 0, ϕ = 0 Analtische Lösung: a) Bestien Sie die ormalspannung s und die Schubspannung t für einen Schnitt unter dem Winkel j = 0 ur -Achse und skiieren Sie deren Richtungen. ransformationsbeiehungen: ξ = ( + ) + ( ) cosϕ + sinϕ ξ = cos sin 0 = 5,98 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η = ( + ) ( ) cosϕ sinϕ η = cos 0 0 sin 0 = 65,98 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξη = ( ) sinϕ+ cosϕ ξη = 0 60 sin cos 0 = 9,64 ( ) ( ) ( ) ( ) η ξη ξ ξ ξη η η ξ ϕ Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 6

7 echnische Mechanik III Aufgabensalung b) Ermitteln Sie die Hauptnormalspannungen und die Schnitte in denen sie wirken. Fertigen Sie ebenfalls eine Skie an. Hautspannungen, ( ) + = ± +, ( ) = ± + ( 0) =, = 70 0 tanϕ = ( ) 0 tanϕ = = ϕa = tan = 8,4 ϕb = ϕa + 90 = 08, Winkel in ransformationsbeiehungen einseten, um sie der Richtung oder uuordnen: ϕ * a und ϕ * b. * ϕ a c) Ermitteln Sie die Hauptspannungen und die Schnitte in denen sie wirken. Maimale Schubspannung ma =± + Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 7

8 echnische Mechanik III Aufgabensalung 0 60 =± + ( 0) =± 50 ma ** * ϕab, = ϕa ± 45 ϕ, = 8,4 ± 45 ϕ = 6,4 ϕ = 6,57 ** ab a b Aus der ransformationsbeiehung folgt ϕ ** a ma = 50 und ϕ ** b = 50 ma Graphische Lösung Mohrscher Spannungskreis Mittelpunkt: M ( + ), 0 = = ( 0+ 60) = = 0, = 0 0 Radius: r = r = + ( 0) = 50 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 8

9 echnische Mechanik III Aufgabensalung ma ϕ P Q r ξη ϕ ϕ η ξ ξη Q P ma Maßstab: cm = ˆ 0 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 9

10 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe Bestien Sie die Spannungen unter einem Schnittwinkel von j=0 u den Hauptachsen. Zeichnen Sie für die ermittelten Werte den Mohrschen Spannungskreis =, = 0 ransformationsbeiehungen 60 Hauptspannungen, = 0 = ( + ) + ( ) cosϕ = cos60 = 7,5 ( ) ( ) = ( + ) ( ) cosϕ = cos60 = 7,5 ( ) ( ) = ( ) sinϕ = 60 0 sin60 = 8,97 ( ) ϕ Mohrscher Spannungskreis P A η " " A " " A ξ " " 0 o ϕ M A " " P Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 0

11 echnische Mechanik III Aufgabensalung Maßstab: cm = ˆ 0 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

12 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe a) Hauptspannungen: +, = ± , = ± + 0 = 64,05 ; = 4,05 tanϕ * = ϕ * = 5, ( ) b) Maimale Schubspannung ma = ± + π ϕ* = ϕ* + = 64,9 = ± ( ) ma = ± 9,05 tanϕ ** = ϕ ** = 9,9, ( ) ** ** π ϕ = ϕ + = 09,9 ** ϕ ma = 9,05, ** ϕ ma = 9,05 Die Zuordnung der Winkel folgt über die ugehörigen ransformationsbeiehungen. c) Mohrscher Spannungskreis ma P ϕ ** ϕ * M P` - ma Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

13 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 4 ξ η ξη ϕ ξ ϕ = 60 = = 0 50 ϕ 0 0 Aus ransformationsgleichung folgt = ( 0 + ) + ( 0 ) cos( 60 ) 0 ξ 0 + = 0 0 = 4 0 = 7,5 = ( 0 ) sin ( 60 ) 0 ξ η = 0 = 4 =,65 ξ m (, ) Q ξ ξ η ϕ = 60 ϕ P (, ) ξ P`(, ) Q` (,- η ξ η ) Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

14 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 5 a) Bestien Sie die ormalspannungen s, s und die Schubspannung t. Annahme: Längsspannungen wegen t << R über die Wanddicke gleichmäßig verteilt. Kräftegleichgewicht: M : π Rt + p π R = 0 R = p t t R M ΣM : M π Rt R= 0 = π R t l : t l p R l = 0 R p t = t R p l p b) Bestien Sie die Hauptspannungen s und s. ϕ M M tanϕ = = ϕ = tan π R p π R p, ( ) + = ± + mit: R + = p und t R = p t = R ± R + M 4 t 6 t 4π R t, p p 4 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 4

15 echnische Mechanik III Aufgabensalung c) Ermitteln Sie die Längenänderung Dl des Kreisrohres in -Richtung unter Innendruck p und einer emperaturänderung D. R R ε = ( ν ) + α = p ν p + α E E t t ε l = l = ε l l l R l = p ν + α l E t Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 5

16 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 6 a) Bestien Sie die ormalspannung s und die Schubspannung t am Auflager A und B. Gegeben: Stahlträger mit dem unten dargestellten Querschnitt (Maße in cm), 5,8 5,8 6,4, 6,4, Statisches Sstem und Einwirkungen: 0k / m Auflagerkräfte: A A B 7,0m,0m B 8,58k 7,4 k Schnittgrößen: Querkraft 4,4 k + + Moment 8,58k 0,0 k 45km + rechts Auflager A: M = 0 Q = 8,58 k links Auflager B: M = 45 km Q = 4,4 k maßgebend Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 6

17 echnische Mechanik III Aufgabensalung rechts Q = 0,00 k Querschnittswerte: Flächenträgheitsmoment.Ordnung I ( ) 4, 5,8 4, = + + ( 5,8+ 0,6) 4, = 56,4 cm Auflager A: ormalspannung am Lager A nicht vorhanden M = 0. Schubspannungen S = 7,0cm,cm 7,0cm 0,6cm = 5,76cm Q S 8,58k 5,76cm k = = = 0,8 4 I t 56,4cm,cm cm Schnitt -: ( ) Schnitt -: S = S = 07,5cm Q S 8,58k 07,5cm k = = =,67 4 I t 56,4cm,cm cm Schnitt -: 5,8cm S = S + 5,8cm,cm = 7,7cm Q S 8,58k 7,7cm k = = =,98 I t 56,4cm,cm cm 4 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 7

18 echnische Mechanik III Aufgabensalung 0,8 +,67 gesucht,98,67 0,8 k cm Auflager B: M 4500 kcm k = = 7,0 = 0,5 I 56,4cm cm oben ormalspannung ( cm) 4 M 4500 kcm k = P = ( 7,0cm+ 0,6 cm) = 8,75 I 56,4cm cm 4 0,5 + 8,75 0,5 k cm Schubspannungen Schnitt -: Q S 4,4k 5,76cm k, 4 I t 56,4cm,cm cm = = = Schnitt -: Schnitt -: Q S 4,4k 07,5cm k,4 4 I t 56,4cm,cm cm = = = Q S 4,4k 7,7cm k,87 4 I t 56,4cm,cm cm = = = Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 8

19 echnische Mechanik III Aufgabensalung,,4 gesucht,87,,4 k cm b) Bestien Sie die Hauptspannungen an der in der Skie eingeeichneten Stellen P des Querschnitts und tragen Sie diese in den Mohrschen Spannungskreis ein., ( ) + + = ± + Auflager A: = 0± 0+,67 =±,67 k cm, Sonderfall: reiner Schub Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 9

20 echnische Mechanik III Aufgabensalung = ma ma = Maßstab: cm = ˆ 0,5 ma M, = 0 45 ma Auflager B: k 9,06 ( 8,75+ 0) 8,75+ 0 cm, = ± +,4 = k 0, cm Maßstab: cm = ˆ 5 ma = 0 M ma Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 0

21 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 7 r M 0,5m = = = m p t m t t r M 0,5m p t m t t m = = = 4 M 0,0 Mm 4 = = = W π 0,5 t 5 π t ( m) Schubspannungshpothese: ( ) 4 = + v v 4 4 = + 4 = + 4 t 4 t 5 π t 4 t 5 π t v 64 = + = 0,7 6 t 65 π t t Bestiungen der Mindestwanddicke: v ul 0,7 = 50 M t m t = 0,0054 m = ˆ 5,4 Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

22 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 8 a) Schnittgrößen an der Stelle A: M A = 00 m, M = 4,00 m, Q = 00 Flächenträgheitsmoment: I 44,, = =,6 cm 4 F Man erhält aus Biegung M Biegung M = 0 Querkraft Q, orsionsmomnet M, Moment einer Kraft (siehe M): F a F F a = =ˆ M F M = F a Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

23 echnische Mechanik III Aufgabensalung ormalspannung: + +9,05 + 9,05 Oberer Rand: M 00 m 0 k =± = ± ( cm) =± 9,05 I,6 cm cm oder genauer in P A : 00 0 = ±,6 =± 5,4,6 4 k cm ( ) Schubspannung aus Querkraft: 0,06 0,05 0, 05 0,06 0,08 0,08 0,06 0,05 0, 05 0,06 S 4,0 4,0 0,4 = 0,4 0,4 =,5 cm 4,0 4,0 0,4 S = 0,4 =,44 cm 4,0 4,0 0,4 S = S + 0,4 0,4 =,95 cm Q S 0, k,5 cm k = = = 0,05 4 I t,6 cm 0,4 cm cm Q S 0, k,44 cm k = = = 0,06 4 I t,6 cm 0,4 cm cm Q S 0, k,95 cm k = = = 0,08 4 I t,6 cm 0,4 cm cm Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik

24 echnische Mechanik III Aufgabensalung Schubspannung aus orsionsmoment: 0,04 4 m M M 0 k = = = = 0,04 W A t 4,0 0,4 4,0 0,4 0,4 cm m ( )( ) Superposition (Überlagerung der Schubspannungen) an der Stelle P A : = + = 0,06+ 0,04= 0,0 k cm PA QPA, PA, b) ormalspannungshpothese: Winkel für die Hauptspannungsrichtung: tan ( ϕ ) = * ϕ o = 0,8 0 o Winkel ist hier vernachlässigbar klein, deswegen gilt,. Damit folgt v k = = 5,4. cm Schubspannungshpothese: ( ) = + 4 = 5,4 + 40,0 = 5,4 v k cm Hpothese der Gestaltungsenergie: = + + = 5,4 + 0,0 = 5,4 v k cm Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 4

25 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 9 ransformationsbeiehungen: εξ = ( ε + ε) + ( ε ε) cosϕ+ γ sinϕ εη = ( ε + ε) ( ε ε) cosϕ γ sinϕ Vererrungsustand: Gesucht: Gleichungen für die Unbekannten e, e, g ϕ = 0 in ransformationsbeiehungen einseten () ( ) ( ) () εξ = ε = ε + ε + ε ε = ε εη = ε = ε + ε ε ε = ε ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ = 45 in ransformationsbeiehung einseten ( ) ( ) ( ) εξ = ε = ε + ε + γ () und () in () eingesett ( ) ( ) () ( ) ε = ε + ε + γ ( ) ( ) ( ) γ = ε ε ε = 8,00 und aus () bw. () folgt 4 ε ε ( ) = ε = 9,00 4 ( ) 4 = ε = 5,00 Hauptrichtung: tanϕ = ε γ ε ( ) () ( ) ε ε ε ϕ = arctan = 4,87 () ( ) ε ε Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 5

26 echnische Mechanik III Aufgabensalung Hauptdehnungen: ε + ε ε + ε ε, = ± + γ ϕ 4 ε = 0,06 0 ε = 6, Spannungsustand, und = E ε ν 0 ε E = ν 0 ε ν ν γ 0 0 E = ( ε + ν ε ) = 7, ν E = ( ν ε + ε) = 5, ν E ( ν ) = γ 64,6 = ν Hauptspannungen (mit Hilfe der Hauptdehnungen bestit): ε = E ν ε = E ν ( ) ( 4) ( ) ( 5) Aus ( ) In ( ) 4 folgt = ε E + ν E E ε = ν ν ε E E E = ε + ν ε = 70, ν 5 ε = ( ν ε E ν ) ( ) ( ) ( ) = 90, Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 6

27 echnische Mechanik III Aufgabensalung Aufgabe 0 ormalspannungen Gleichgewicht: p b b : p = 0 = p Aufgrund der starren Wände folgt ε = 0 und ε = 0 ε = ν ( + ) + α Δ= 0 E ε = ν ( + ) + α Δ= 0 E () () Gleichseten von () und () ε = ν ( ) α Δ ε ν ( ) α Δ E + + = = + + E Darüber hinaus folgt aus () und () ( ) ν ( ) ν = + ν ν = ν ν ( + ν) = ( + ν) = α Δ ν ( + ) + = 0 () E Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 7

28 echnische Mechanik III Aufgabensalung α Δ ν ( + ) + = 0 (4) E und = ν + ν (5) α Δ E = ν + ν (6) α Δ E Gleichung (6) in (5) eingesett α Δ ν α Δ = ν + ν + ν E E α = + + ( ν ) ν ( ν) ( ν) Δ E ( ν) ( + ν) = ν ( + ν) ( + ν) α Δ E v α Δ = ( v) E ( ν) ν p = = α ( ν) E ( ν) Δ Draufsicht: Dehnungen ε = ε = 0 (starre Wände) ε = ν ( + ) + α Δ E ν α Δ E ( ν ) E ε = p+ ν p+ + α Δ Universität Siegen FB0 Lehrstuhl für Baustatik 8