α + ω 0 2 = 0, Lösung: α 1,2

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Ἐλιούδ Παυλόπουλος
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1 SDOFs Der lineare Einmassenschwinger Bewegungsgleichung m x + c x + k x = f () = p()...krafanregung m x g ()...Weganregung x + 2ζω x + ω 2 x = f () m, ω = k m, ζ = c 2 mk... Lehr'sches Dämpfungsmaß AB : x( = ) = x, x( = ) = x v Gesamlösung: x() = () + x p () Freie Schwingung ()... Lösung der homogenen Schwingungsgleichung + 2ζω + ω 2 = Ansaz: () = Ce α charakerisische Gleichung α 2 + 2ζω α + ω 2 =, Lösung: α,2 = ζ ± ζ 2 ω Baudynamik (VO), SS 2

2 SDOFs 2 Ungedämpfe Schwingung ζ = : α,α 2 konjugier komplex α,2 = ± iω, i = ; (Eulersche Formel: e ±iα = cosα ± isinα ) () = Ae α + B e α 2 = Ae iω + Be iω = ( A + B)cosω + i( A B)sinω () muss reell sein ( A + B) muss reell und ( A B) muss imaginär sein; A, B müssen konjugier komplex sein: A = A ib, B = A + ib 2 2 () = Acosω + Bsinω () = ω ( Asinω + Bcosω ) ω rad s... Eigenkreisfrequenz f = ω 2π Hz... lineare Eigenfrequenz, T = f s... Schwingungsdauer, Periode Die Inegraionskonsanen A und B bzw. a und ε folgen im Allgemeinen aus den Anfangsbedingungen der Gesamlösung x( = ) = x, x( = ) = x. Ineressier speziell nur die freie Schwingung (d.h. x p ), folgen die Inegraionskonsanen alleine aus den Anfangsbedingungen ( = ) = x, ( = ) = x : x = Acosω + Bsinω A = x x = ω ( Asinω + Bcosω ) B = x / ω Umformung: A = acosε, B = asinε () = a cosε cosω + sinε sinω a = A 2 + B 2 = x 2 + x 2 / ω 2, cosε = A a == x / a ( ) = acos( ω ε) Baudynamik (VO), SS 2

3 SDOFs 3 Viskos gedämpfe Schwingung ζ < : α,2 = ζ ± i ζ 2 ω α,2... konjugier komplex () = Ae α + B e α 2 = e ζ ω Ae iω D + Be iω D ( ) = e ζ ω Acosω D + Bsinω D ( ) ω D ω ' = ζ 2 rad ω s... Eigenkreisfrequenz, ω D ω für kleine Dämpfung ( ζ << ) f = ω D 2π Hz... lineare Eigenfrequenz, T = f s... Schwingungsdauer, Periode () = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) = a e ζ ω cos ω D ε ( ), a = A 2 + B 2, cosε = A a () = ζ ω () + e ζ ω ( Asinω D + Bcosω D )ω D Ineressier auch hier wieder nur die freie Schwingung (d.h. x p ), folgen die Inegraionskonsanen aus den Anfangsbedingungen ( = ) = x, ( = ) = x : x = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) A = x x = ζ ω x + e ζ ω ( Asinω D + Bcosω D )ω D B = ( x ω +ζ ω x ) D Baudynamik (VO), SS 2

4 SDOFs 4 Zeilich harmonisch erzwungene Schwingungen Krafanregung: f () = p cosν In diesem (inhomogenen) Fall muss der homogenen Lösung () eine Parikulärlösung x p () überlager werden, welche die folgende Differenialgleichung erfüll: x p + 2ζω x p + ω 2 x p = m p cosν ν Erregerkreisfrequenz Lösungsansaz: x p () = C cosν + Dsinν ( ) D ( ω 2 ) C + 2ζω νd cosν + 2ζω νc + ω 2 ν 2 sinν = m p cosν Koeffizienenvergleich lineares (inhomogenes) Gleichungssysem für C und D : ( ω 2 )C + 2ζω νd = m p ( ω 2 ) p C = 2ζω νc + ( ω 2 ) D = Δ m, D = 2ζω ν p Δ m Δ = ( ω 2 ) 2 + ( 2ζω ν) 2... Koeffizienendeerminane x p () = C cosν + Dsinν = Δ p ( m ω 2 )cosν + ( 2ζω ν)sinν Umformung: x p () = C cosν + Dsinν = a p cos ν ϕ a p F = C 2 + D 2 = Δ ( ) p m, cosϕ = C a p = ( ω 2 ) Δ Baudynamik (VO), SS 2

5 SDOFs 5 Gesamlösung: x() = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) + Δ p ( m ω 2 )cosν + ( 2ζω ν)sinν = ae ζ ω cos( ω D ε) + a p cos( ν ϕ) Die Inegraionskonsanen A und B bzw. a und ε müssen aus den Anfangsbedingungen x( = ) = x, x( = ) = x berechne werden: ( ) Ergebnis: A = x a p cosϕ, B = x + x ζω a p ζω cosϕ ν sinϕ / ω D a = A 2 + B 2, cosε = A a Dynamische Vergrößerungsfunkion (Ampliudenfrequenzgang): χ p V p = a p a = (ν / ω ) ζ(ν / ω ), a = a p (ν = ) = ω 2 p m = p k Resonanz: (ν / ω ) = 2ζ 2 : max χ p = 2ζ ζ 2 2ζ Baudynamik (VO), SS 2

6 SDOFs 6 Phasenfrequenzgang: anϕ = D C = 2ζ (ν / ω ) ϕ = arcan 2ζ (ν / ω ) (ν / ω ) 2 (ν / ω ) 2 Für alle ζ -Were gil: ϕ ( ν / ω = ) = π / 2 Weganregung: f () = m d 2 ( d a 2 cosν ) = mν 2 a cosν x p + 2ζω x p + ω 2 x p = ν 2 a cosν x p () = a a cos( ν ϕ), a a = Δ ν 2 a, cosϕ = x g ( ω 2 ) Δ Dynamische Vergrößerungsfunkion (Ampliudenfrequenzgang): χ a V a = a a a = (ω / ν) ζ(ω / ν) ν = χ p ω 2 Resonanz: (ν / ω ) = / 2ζ 2 : max χ a = 2ζ ζ 2 2ζ Baudynamik (VO), SS 2

7 SDOFs 7 Komplexe Form der saionären Schwingung: Komplexe Erweierung: x p = x p + i x p2 = Re{ x p } + i Im{ x p } x p + 2ζω x p + ω 2 x p = m f cosν x p2 + 2ζω x p2 + ω 2 x p2 = m f sinν x p + 2ζω x p + ω 2 x p = m f e iν Lösungsansaz in komplexer Form: x p () = X (iν)e iν ( ω 2 + i2ζω ν) X (iν)e iν = m f e iν X (iν) = X R + i X I = f m ω 2 + i2ζω ν ( ) = f k (ν / ω ) 2 + i 2ζ(ν / ω ) X (iν) = H(iν) f H(iν)... komplexer Frequenzgang, Überragungsfunkion f = S(iν)X (iν) S(iν) = H(iν)... dynamische Seifigkei H(iν) = = k (ν / ω ) 2 + i 2ζ(ν / ω ) ( k m + iνc) Aufspalung in Real- und Imaginäreil: H(iν) = H R + i H I = (ν / ω ) 2 k i (ν / ω ) ζ(ν / ω ) k (ν / ω ) 2 2ζ(ν / ω ) ζ(ν / ω ) Baudynamik (VO), SS 2

8 SDOFs 8 Übergang auf Polarform: H(iν) = H R + i H I = H R i( H I ) = r e iϕ, r = H(iν) = H R 2 + H I 2, anϕ = H I H R H(iν) == k (ν / ω ) ζ(ν / ω ) e iϕ = k χ p e iϕ, anϕ = 2ζ(ν / ω ) (ν / ω ) 2 Parikulärlösung: x p () = X (iν)e iν = H(iν) f e iν = k χ p e iϕ f e iν = f k χ p e i(ν ϕ ) Reine Cosinus-Anregung: f () = f cosν x (cos) p () = Re{ X (iν)e iν } = f H(iν) cos( ν ϕ) = f k χ p cos( ν ϕ) Reine Sinus-Anregung: f () = f sinν x (sin) p () = Im{ X (iν)e iν } = f H(iν) sin( ν ϕ) = f k χ p sin( ν ϕ) Baudynamik (VO), SS 2

9 SDOFs 9 Allgemein periodische Anregung f () = f ( + nt p ) Fourierreihe: f () = a 2 + a n cosν n + b n sinν n ν n = nν = n 2π n= n= T p a n = 2 T p T p /2 T p /2 f ()( cosν n )d, n =,,2,... b n = 2 T p T p /2 T p /2 f ()( sinν n )d, n =,2,... Übergang auf komplexe Schreibweise: cosν n = 2 eiν n + e iν n ( ), sinν n = i 2 eiν n + e iν n ( ) f () = c n e iν n, c n = n= T p /2 T p T p /2 f () e iν n d Baudynamik (VO), SS 2

10 SDOFs Allgemein nichperiodische Anregung Impulsanwor und Duhamel sches Falungsinegral: Dirac-Impuls zum Zeipunk = : f () d = δ () d (es gil: δ() d = ) Schwingungsanwor (= Impulsanwor) für : x() = h() h + 2ζω h + 2 ω h = δ() m lim ε ε ε h + 2ζω ( h + 2 ω h) d = lim ε m ε ε δ() d h(+) ε h( ) + 2ζω h(+) h( ) + lim ω 2 h() d = ε ε m Kraf Zei Dimensionsangaben (werden im folg. weggelassen) h() erfüll somi das folgende Anfangswerproblem: h + 2ζω h + ω 2 h = AB : h() =, h() = m Lösung für ζ < : h() = mω D e ζω sinω D Vergleiche S. 3: A h() =, B h() +ζ ω h() ω = D mω D Baudynamik (VO), SS 2

11 SDOFs Dirac-Impuls zum Zeipunk = τ : f (τ ) dτ = δ ( τ ) dτ < τ bzw. ( τ ) < : x() = τ bzw. ( τ ) : x() = h( τ ) = mω D e ζω ( τ ) sinω D ( τ ) Allgemeine Anregungsfunkion für : f () Allgemeiner (differenieller) Recheckimpuls zum Zeipunk = τ : f (τ )dτ dx P () = h( τ ) f (τ )dτ : x P () = h() f () = h( τ ) f (τ )dτ Duhamel sches Falungsinegral Gesamlösung: x() = e ζω x cosω D + x + x ζ ω sinω ω D D + mω D f (τ )e ζω ( τ ) sinω D ( τ )dτ Baudynamik (VO), SS 2

12 SDOFs 2 Fourierransformaion: Voraussezung: f () d < f () = lim T p n= c n e iν n = lim T p n= T p /2 T p T p /2 f () e iν n d e iν n lim T p f () = = ν T p 2π = Δν = dν 2π 2π, ν n ν, n= f () 2π e iν d e iν dν F(iν) F(iν) = F { f ()} = f () e iν d f () = F - F(iν) { } = 2π F(iν)e iν dν Zeiliche Differeniaion: d k d k f () e iν d = (iν ) k F(iν) Lösung im Frequenzbereich: X (iν) = H(iν)F(iν) Zusammenhang zwischen Überragungsfunkion und Impulsanwor: Anregung f () = δ() Schwingungsanwor x() = h() Fourierransformaion: F h() { } = H(iν) F { δ() } = H(iν) H(iν) = F { h() } = h() e iν d h() = F - H(iν) { } = 2π H(iν)e iν dν Baudynamik (VO), SS 2

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