Kinetika i mehanizam elektrokatalitičkog dobivanja vodika na Zr-Ni(Co) metalnim staklima

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kinetika i mehanizam elektrokatalitičkog dobivanja vodika na Zr-Ni(Co) metalnim staklima"

Transcript

1 Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilište u Zagrebu Diplomski studij P R I M I J E NJ E N A K E M I J A Kolegij: G O R I V N I Č L A N C I ELEKTRODNE REAKCIJE Kinetika i mehanizam elektrokatalitičkog dobivanja vodika na Zr-Ni(Co) metalnim staklima A n t e J u k i ć Zavod za tehnologiju nafte i petrokemiju / Savska cesta 16 / tel / ajukic@fkit.hr Akademska godina: Staklenički plinovi zadržavaju dio IR zračenja uzrokujući zagrijavanje Zemlje i donjih slojeva atmosfere

2 Vodik je obnovljivo gorivo može e se proizvesti iz vode, a rezultat njegove uporabe ponovno je voda; dobivanje vodika elektrolizom vode predstavlja ekološki ki čistu tehnologiju Reakcija razvijanja vodika: (I) Volmer - Tafelov mehanizam (katalitički) ki) H + + M + e - M-H ads M-H ads M + H (II) Volmer - Heyrovsky mehanizam (elektrokemijski) (A) (B) H O + M + e - M-H ads + OH - (A) M-H ads + H + + e - M + H (C)

3 Budući i da svaki od tri koraka u reakcijskom mehanizmu uključuje uje adsorpciju ili desorpciju vodika, jakost veze na kojoj se reakcija s vodikom odvija imat će najvažniju niju ulogu u određivanju mehanizma i kinetici reakcije razvijanja vodika, a time i prenaponu potrebnom za odvijanje r.r.v. željenom brzinom. Istraživana su elektrokatalitička svojstva Zr-Ni(Co) metalnih stakala za reakciju razvijanja vodika u lužnatim otopinama, s ciljem: karakteriziranja njihove katalitičke ke aktivnosti i stabilnosti u 1 mol dm -3 NaOH, na sobnoj temperaturi razumijevanja utjecaja elektrodnog materijala na kinetiku i mehanizam reakcije razvijanja vodika

4 Dobiveni rezultati uspoređeni su s onima dobivenim za elektrode od čistih metalnih komponenti, Zr, Ni i Co Elektrokataliza: proučavanje ovisnosti između svojstava materijala i brzine elektrodne reakcije uspostavljanje predvidljive osnove za dizajn i optimizaciju katalitičkog procesa PROCESNI PROSTOR : stacionarni tro-elektrodni reaktor ELEKTRODE : Radne elektrode spektrografski čisti Zr, Ni i Co amorfne slitine Zr Ni y ( y = 67,60 i 33) i Zr Zr 100-y Ni Zr 67 Co 33 Referentna elektroda zasićena kalomel elektroda, E = 0,4 V prema SVE Protuelektroda Pt-lim ELEKTROLIT : 1 mol dm -3 NaOH, ph = 14

5 Metalna stakla priređena ena su ultrabrzim očvro vršćivanjem taline osnovnih komponenti (Zr,( Ni ili Co), na rotirajućem valjku od bakra u atmosferi argona. Aktivacija metalnih stakala provedena je postupkom kemijskog nagrizanja,, izlaganjem radne površine metalnih stakala 1 mol dm - 3 vodenoj otopini HF,, u trajanju od 60 s, s na sobnoj temperaturi. MJERNE TEHNIKE: Ciklička voltametrija (CV) Linearna kvazi-potenciostatska polarizacija Elektrokemijska impedancijska spektroskopija (EIS) Foto-elektronska spektroskopija X-zrakama X (XPS) Aparatura potenciostat / galvanostat EGG PAR 73, Solartron 187 analizator frekvencijskog odziva Solartron 155 osobno računalo Upravljački programi: CorrWare, ZPlot EG&G PAR M 70/50 Research Electrochemistry Software

6 Sustav za provedbu AC impedancijskih mjerenja CIKLIČKA VOLTAMETRIJA - opće elektrokemijsko ponašanje i površinska svojstva elektroda od Ni i Zr 33 Ni 67 metalnog stakla Zr 33 Ni 67 Nikal Ni (II) / Ni(III) O j / ma cm Ni (0) / Ni(II) H Ni (III) / Ni(II) E / V vs. ZKE Ni / 1 mol dm -3 NaOH, ν = 1, 5,10, 0 100, , mv s -1

7 - utjecaj cirkonija i amorfne strukture metalnog stakla Zr Ni O j / ma cm H E / V vs. ZKE Zr 33 Ni 67 / 1 mol dm -3 NaOH, ν = 1, 5,10, 0 100, mv s -1 Površinski Ni(II)-oksidi lako se reduciraju ako se formiraju pri niskim anodnim potencijalima, ali su deaktivirajući za r.r.v. ako se formiraju pri visokim potencijalima ,67 V Q A = Q K j / ma cm Q K Q A -0,55 V -0,35 V α -Ni(OH) H β -Ni(OH) O + H O Ni / 1 mol dm -3 NaOH, ν = 50 mv s -1 E / V vs. ZKE

8 KVAZI-POTENCIOSTATSKA POLARIZACIJA - nakon galvanostatske aktivacije, j = -11 ma cm -, t = 30 min E r = -1,067 V, ν = 1 mv s -1 - j / A cm Ni - Zr 40 Ni Zr 67 Ni Zr η / V 10-1 Co η / V Zr 67 Co 33 - Osnovni kinetički podaci na temelju Tafelove polulogaritamske ovisnosti, o η = f ( log j ) j = j o αηf exp = RT j o η exp b k - Volmer Heyrovsky mehanizam reakcije razvijanja vodika

9 ELEKTROKEMIJSKA IMPEDANCIJSKA SPEKTROSKOPIJA dobivanje kinetičkih kih parametara za r.r.v. normiranih na stvarnu površinu elektroda, što je omogućilo ilo usporedbu katalitičke ke djelotvornosti elektrodnih materijala u ovisnosti o sastavu slitine i stanju površine područje frekvencija: 10 mhz do 100 khz pobudna amplituda: ± 5 mv područje prenapona: -0,05 do -0,45 V Impedancijski spektri prikazani su kao Bodeovi dijagrami: i: Modul impedancije, I Z I u ovisnosti o logaritmu frekvencije, log f Fazni kut, θ u ovisnosti o logaritmu frekvencije

10 Niske i visoke frekvencije = samo otporna komponenta impedancije (fazni kut 0) Srednje frekvencije = vrh ovisan o potencijalu i frekvenciji kapacitivno ponašanje elektrode - η = 0,1 (1)... 0,4 V (7) - η = 0,1 (1)... 0,4 V (7)

11 - η = 0, (1)... 0,45 V (6) - η = 0,05 (1)... 0,45 V (9) Impedancijski spektri pokazuju ponašanje anje idealne RC kombinacije - samo jedne vremenske konstante - svojstvene za u potpunosti kinetički kontroliranu reakciju Električni ekvivalentni krug upotrebljen za analizu eksperimentalnih podataka: otpornik = nekompenzirani otpor elektrolita, u seriji s paralelno vezanima kondenzatorom = kapacitet elektrode i otpornika = otpor prijelazu naboja za r.r.v. r C R el R R jω CR Z = 1 + ω C R 1 + ω C R

12 Usklađivanje mjernih podataka s teorijskom funkcijom ekvivalentnog električnog kruga (RC) provedeno je postupkom nelinearne regresije po metodi najmanjih kvadrata računalnim programom ZView, koji se temelji na Macdonaldovom algoritmu,, a koji omogućava usporednu provedbu analize realnog i imaginarnog dijela impedancije, Z' i Z'', te ovisnosti faznoga kuta i apsolutne vrijednosti ukupne impedancije o frekvenciji, za sve primijenjene frekvencije na svakom dc potencijalu. Usklađivanjem su dobivene vrijednosti elemenata ekvivalentnog električnog kruga. Ovisnost kapaciteta o prenaponu za r.r.v. Faktori hrapavosti površine elektroda, razmjerni veličini njihove elektrokemijski aktivne površine, izračunati su iz vrijednosti kapaciteta dvosloja.

13 Ukupni površinski kapacitet jednak je: C = C dl + C φ C dl - kapacitet dvosloja; C φ - pseudokapacitet C φ = q ( θ / E ) q - naboj potreban za stvaranje monosloja H ads θ -prekrivenost površine E - potencijal na kojem se odvija r.r.v. S povećanjem prenapona pseudokapacitet naglo opada, težeći prema nuli, odakle slijedi: C = C dl Faktor hrapavosti površine: σ = C dl / 0 µf cm - Ni / σ = Co / σ = 6 Zr 40 Ni 60 i Zr 67 Ni 33 / σ 1 (velika homogenost amorfne strukture metalnih stakala) Zr 67 Co 33 / σ << 1 (površinski oksidni film)

14 Impedancijska analiza (izmjenična naponska pobuda): R ct = lim ω 0 Re { Z } Re {Z f } = realni dio kompleksne faradayske impedancije, Z f ω = frekvencija AC pobude (ω = π f ) Elektrokemijska kinetika (mjerenja istosmjernom naponskom pobudom ± 5 do 10 mv od E r ): f η j η 0 = RT nf 1 j o = R ct Ovisnost admintacije prijelazu naboja o prenaponu za r.r.v.

15 Kinetički parametri ispitivanih materijala za reakciju razvijanja vodika, normirani na stvarnu elektrodnu površinu Impedancijski spektar elektrode od Zr na prenaponu za r.r.v. od 0,1 V C dl i R ct kapacitet dvosloja i otpor prijelazu naboja za r.r.v. Q p i R p relaksacijski procesi adsorpcije-desorpcije desorpcije na/u sponatano formiranom oksidnom površinskom sloju, za vrijeme odvijanja r.r.v.

16 XPS spektar elektrode od Zr snimljen nakon galvanostatske aktivacije i impedancijskih mjerenja ZrO + x/ H O + e - = OH - + H x ZrO ( H x ZrO y ) Zr / b k = -0,667 V Zr 67 Co 33 / b k = -0,37 V - prisutnost oksidnog sloja na površini elektroda b k >,3 R T/ T F = 118 mv (na sobnoj oj T ) - neuobiča čajeni (anomalni) - ne mogu se predvidjeti za bilo koji mehanizam r.r.v. Dio potencijala (prenapona) narinutog na granicu faza metal- elektrolit djeluje kroz oksidni sloj i nije raspoloživ za prijenos naboja na međufaznoj granici oksid-elektrolit elektrolit. Za a prijenos elektrona kroz oksidni sloj postoji aktivacijska energijska barijera, koja mora biti svladana primjenom dovoljno jakog električnog polja da bi se reakcija izmjene naboja mogla odvijati.

17 Pad potencijala kroz oksidni sloj određene ene debljine i svojstava, funkcija je ukupno primijenjenog prenapona: η. 3RT = log j α zf( 1 ηf / η) Tafelov nagib η f - dio od η koji djeluje kroz oksidni film Zr / η f = 0,8 η Zr 67 Co / η f = 0,50 η prisustvo oksida na površini elektrode značajno ajno inhibira reakciju razvijanja vodika Utjecaj kemijske aktivacije* površine Zr-Ni(Co) metalnih stakala s 1 mol dm - 3 HF na r.r.v.

18 Utjecaj kemijske aktivacije* površine Zr-Ni(Co) metalnih stakala s 1 mol dm - 3 HF na r.r.v. Zr 67 Ni 33 Zr 67 Ni 33 * Utjecaj kemijske aktivacije* površine Zr-Ni(Co) metalnih stakala s 1 mol dm - 3 HF na r.r.v. Zr 67 Ni 33 Zr 67 Ni 33 *

19 Utjecaj kemijske aktivacije površine Zr-Ni(Co) metalnih stakala s 1 mol dm - 3 HF na r.r.v C Zr 67 Ni 33 IZI/ Ω cm Zr 40 Ni 60 Ni Zr 40 Ni 60 * R el R 10 0 Zr 67 Ni 33 * η = -0,5 V Frekvencija / Hz I Z I / Ω cm Utjecaj kemijske aktivacije površine Zr-Ni(Co) metalnih stakala s 1 mol dm - 3 HF na r.r.v Co Zr 67 Zr 67 Co 33 * Fazni kut / stupnjevi Frekvencija / Hz Frekvencija / Hz - Prenapon za r.r.v.: 0,05 (1); 0,1 (); 0,15 (3) 0,45 V (9)

20 Visoka elektrokatalitička aktivnost metalnih stakala nakon kemijske aktivacije s HF posljedica je: povećanja površine elektroda σ 1 (Zr 40 σ = 5 (Zr Ni Ni / Zr 67 Ni 33 / Zr 67 Co 33 ) 60 ); 100 (Zr 67 Ni 33 ); 180 (Zr Co 33 ) istodobnog povećanja površinske koncentracije 3d prijelaznog metala ( Ni ili Co ) uzrokovanih otapanjem cirkonija i cirkonijevog oksida,, prisutnih na površini elektrode Zr 67 Co σ << 1 σ = 180

21 Povezivanje kinetičkih kih rezultata za r.r.v. s fotoemisijskim proučavanjima elektronske strukture hypo-hyper hyper-d elektronskih slitina prijelaznih metala, dalo je kvalitativno i dosljedno objašnjenje utjecaja sastava Zr-Ni slitine na katalitičku ku aktivnost za r.r.v. Izražena tendencija u katalitičkoj koj aktivnosti: Zr 40 Ni Ni > Co > Zr Ni > Zr Co >> Zr u skladu je s hibridiziranom ili rascijepljenom (split-band)) strukturom gustoće e stanja valentne vrpce tih slitina. Spektri valentnih vrpci Zr 67 Ni 33 i Zr 76 Ni 4 metalnih stakala, dobiveni ultraljubičastom astom fotoelektronskom spektroskopijom (UPS) Ni 3d Zr 4d INTENZITET Zr Ni Zr Ni ENERGIJA VEZE ( ev ) Elektronegativnost = 1,45 (Zr); 1,8 (Ni) E = 0 F

22 Za slitinu bogatu niklom, Zr 40 Ni 60, znatna hibridizacija Ni 3d i Zr 4d elektronskih stanja rezultira velikim udjelom Ni 3d gustoće e stanja na Fermijevom nivou. Takva struktura na E F ima za posljedicu slabiju vezu između u slitine i vodika što uzrokuje brže e odvijanje reakcije razvijanja vodika, budući i da je reakcija elektrokemijske desorpcije spori stupanj ukupne reakcije. Za slitinu bogatu cirkonijem, Zr 67 Ni 33, glavninu doprinosa gustoći i stanja na Fermijevom nivou čine Zr 4d elektronska stanja, dok je doprinos Ni 3d stanja zanemariv. Takva struktura sklona je stvaranju jake veze bilo sa kisikom (spontano nastajanje stabilnog oksida na zraku ili u vodenoj otopini, energija veze 6 ev), bilo sa vodikom (nastajanje stabilnog hidrida, energija veze 6,5 ev), rezultirajući i smanjenjem elektrokatalitičke ke aktivnosti za r.r.v.

23 UPS spektar valentne vrpce Zr 75 Ni 5 metalnog stakla ZrO INTENZITET ENERGIJA VEZE ( ev ) E = 0 F Zr-oksid daje podvrpcu smještenu na vrlo visokim energijama veze, rezultirajući istodobnim smanjenjem 4d Zr gustoće stanja na E F Iako jako međudjelovanje između u Zr 4d stanja i H 1s elektronskih stanja olakšava ava adsorpciju vodika u prvom stupnju reakcije, u isto vrijeme jakost te veze reakciju adsorpcije čini ireverzibilnom, čime se aktivni centri blokiraju i smanjuje se brzina r.r.v. Porastom udjela Zr u slitini postaje izraženija reakcija Heyrovskog u povratnom smjeru (elektrokemijska sorpcija), što rezultira stvaranjem stabilnog hidrida i takve slitine čini pogodnima za čvrstofazno skladištenje vodika.

24 Na a visokim prenaponima iskazuje se utjecaj apsorbiranog vodika na promjenu odnosa između u elektronske gustoće e stanja valentne vrpce i energije, kao i elektronske gustoće e stanja na E F : atomi vodika migriraju uglavnom prema Zr-bogatim mjestima u unutrašnjosti njosti materijala, gdje njegovi s-elektroni hibridiziraju s d-vrpcom d cirkonija pomak Fermijevog nivoa u područje manje elektronske gustoće e stanja,, kao i veća a efektivna masa elektrona u novonastaloj s-d s d vrpci, imaju za posljedicu znatan pad elektronske vodljivosti metalnog stakla stoga se i reakcija elektrokemijske desorpcije vodika odvija teže,, i kemijska desorpcija vodika postaje povoljniji proces, što može e izazvati povećanje Tafelovog nagiba i gubitak linearnosti log j prema η ovisnosti na visokim katodnim potencijalima ZAKLJUČCI U radu su istrai straživana elektrokatalitička ka svojstva Zr Ni 100-y y (y = 60, 33) i Zr 67 Co 33 amorfnih slitina dobivenih ultrabrzim kaljenjem taline čistih metala Zr i Ni/Co /Co. Katalitička djelotvornost za reakciju razvijanja vodika u lužnatom mediju, kao i utjecaj nastajanja oksida i hidrida na odvijanje te reakcije, studirani su u ovisnosti o sastavu slitine i kemijskoj aktivaciji površine elektrode. Korištene su in-situ mjerne tehnike ciklička ka voltametrija (elektrokemijska spektroskopija), elektrokemijska impedancijska spektroskopija, kvazi-potenciostatska polarizacija, i ex-situ fotoelektronska spektroskopija X-zrakama.

25 Rezultatima cikličke ke voltametrije određena ena su područja potencijala u kojima se odvijaju procesi razvijanja vodika i nastajanja aktivnih oksidnih faza. Određena ena su svojstva elektrokatalitički ki aktivne površine elektrode od nikla u području potencijala reverzibilnog formiranja i redukcije α-ni(oh). Na anodnim potencijalima pozitivnijim od -0,67 V počinje se elektrokemijski ireverzibilno formirati β-ni(oh), koji pasivira elektrodu. β-ni(oh) je poluvodič p-tipa i njegovo prisustvo na površini elektrode povećava prenapon za r.r.v. Pokazano je da je elektrokemijsko ponašanje anje metalnih stakala s velikim udjelom Ni slično ponašanju anju čistog nikla, uz izraženi pasivacijski utjecaj Zr. Na osnovi kinetičkih kih parametara normiranih na stvarne elektrodne površine ine, utvrđeno je da se r.r.v. na ispitivanim materijalima odvija Volmer-Heyrovsky mehanizmom, sa sporim stupnjem elektrokemijske desorpcije (reakcija Heyrovskog). Najbolja elektrokatalitička ka svojstva za r.r.v. u 1 mol dm -3 otopini NaOH pokazala je slitina sastava Zr 40 Ni 60, zahvaljujući optimalnoj kombinaciji visoke elektronske gustoće e valentne vrpce i hidridnih svojstava. Budući i da vodikovi atomi većinom migriraju prema atomima Zr, sve do visokih koncentracija vodika u slitini, zapriječeno eno je stvaranje niklovog hidrida čime se dulje zadržava ava visoka aktivnost Ni 3d vrpce.

26 Aktivnost Zr-metalnih stakala za reakciju razvijanja vodika znatno se povećava nakon kemijske aktivacije površine elektroda s 1 mol dm - 3 HF To povećanje aktivnosti, koje se očituje o značajno ajno većim gustoćama struje normiranim na geometrijsku površinu, nastaje uslijed povećanja aktivne površine elektroda zbog otapanja Zr i uklanjanja tankog ZrO oksidnog sloja i istodobnog obogaćenja takvih visoko hrapavih (poroznih) površina s nakupinama metalnog nikla/kobalta /kobalta. Pokazano je da elektronska struktura predstavlja temelj razumijevanja elektrokatalitičkih kih svojstava Zr-Ni slitina. Mijenjanjem udjela rano / kasnog (hypo / hyper-d- elektronskog) prijelaznog metala u slitini, mijenja se njena elektronska struktura (i posljedično, jakost M-H M H veze) promjenom gustoće e elektronskih stanja i udjela valentne vrpce svakog elementa na E F. Taj proces kreiranja gustoće e stanja (po vrsti i veličini) ini) na Fermijevom nivou omogućava dobivanje optimalne elektronske strukture slitine za danu primjenu,, u istraživanom ivanom slučaju za visoku elektrokatalitičku ku aktivnost za reakciju razvijanja vodika (Zr 40 Ni 60 ), ili suprotno, skladištenje vodika u obliku čvrstofaznog hidrida (Zr ). Zr 67 Ni 33 ).

27 Željeno smanjenje prenapona možem se postići: izborom elektrodnog materijala,, ili povećanjem aktivne površine elektrode Impedancijski spektar elektrode od Zr na potencijalu otvorenog kruga,, nakon izlaganja prenaponima za r.r.v. τ 3 kapacitet i otpor oksidnog sloja na površini Zr elektrode τ oksidacijski proces razgradnje hidridne faze τ 1 - kapacitet dvosloja i otpor prijelazu naboja za r.r.v.

28 Prisutnost hidridne faze, omogućava spontani proces izbijanja na potencijalu otvorenog kruga, putem anodnih i katodnih reakcija: (anoda) M H + y OH- ym + H O + e e- (katoda) H O + e e- OH - + ½ H Proces su susljedni, kao u korozijskom tipu procesa, s ukupnom reakcijom dekompozicije M y H koja se događa a na zajedničkom, miješanom potencijalu, OK = -0,5 V prema ZKE. E OK Taj je proces jednak procesu izbijanja metal-hidridne elektrode u lužnatim otopinama. Hipotetski model strukture površinskog sloja na elektrodi od cirkonija za vrijeme odvijanja reakcije razvijanja vodika i reakcije oksidacije hidrida na potencijalu otvorenog kruga.

29 Proces desorpcije vodika (otpuštanje vodika iz oksida) za vrijeme izbijanja Zr elektrode, odvija se sljedećim koracima: 1) prijenos vodika difuzijom s mjesta apsorpicije blizu površine, ili iz unutrašnjosti faze, na mjesto adsorpcije na površini elektrode: ZrO H abs ZrO H ads ) reakcija prijelaza naboja na površini elektrode, to jest, elektrokemijska oksidacija adsorbiranog vodika: ZrO H ads + OH - ZrO + H O + e - gdje OH - dolazi iz elektrolita ili oksidnog sloja. Kontinuirani prolazak struje kroz dvosloj na E OK, uzrokuje izbijanje kapaciteta dvosloja, C dl, površinskog pseudokapaciteta, C φ, i dodatnog pseudokapaciteta, C φ,x koji se javlja zbog potencijalno ovisnog udjela apsorbiranih vrsta u rešetki, x H. C φ,x je u paraleli s C φ, površinskim vodikovim pseudokapacitetom : j ( η) = ( Cφ, x + Cφ ) dη / d t

30 kapacitet dvosloja ( τ 1 ) C dl = C1 50 µf cm- površinski pseudokapacitet ( τ ) C φ = C = 10-4 µf cm - pseudokapacitet koji potječe od vodika apsorbiranog u unutrašnjosti faze ( τ 3 ) C φ,x = C3 = 10 - µf cm - C f,x >> C dl, osim kada x H 0 ili x H 1 Iako se apsorpcijom vodika (čvrstofazn vrstofazna otopina ili metalni hidrid) umanjuje elektrokatalitička aktivnost za r.r.v., povećava se stabilnost elektrode po isključenju elektrolizera Metalni hidrid se tada raspada i sprječava stvaranje oksida na površini elektrode, koji bi potom uzrokovao dodatni pad potencijala i veći i utrošak energije pri radu elektrolizera

31 I Z I / Ω cm - Fazni kut / stupnjevi Utjecaj kemijske aktivacije površine Zr-Ni(Co) metalnih stakala s 1 mol dm - 3 HF na r.r.v Zr 40 Ni Zr 40 Ni 60 * Frekvencija / Hz Frekvencija / Hz - Prenapon za r.r.v.: 0,1 (1); 0,15 (); 0, (3)... 0,35 (6) i 0,4 V (7) Porast Tafelovih nagiba na visokim prenaponima za r.r.v. povezan je s apsorpcijom vodika i nastajanjem hidrida u površinskom sloju elektroda. Formiranje hidrida mijenja elektronsku strukturu osnovnog metala što može e imati za posljedicu promjenu reakcijskog puta,, pa se tako, na visokim prenaponima razvijanje vodika može e odvijati reakcijom kemijske desorpcije (Tafelova reakcija), koja može e biti spori stupanj ukupne reakcije. Budući i da reakcija kemijske desorpcije nije ovisna o potencijalu, Tafelov nagib može e poprimiti bilo koju vrijednost.

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Voltametrijske i potenciometrijske tehnike Elektrokemijska kvarc kristalna nano vaga

Voltametrijske i potenciometrijske tehnike Elektrokemijska kvarc kristalna nano vaga Voltametrijske i potenciometrijske tehnike Elektrokemijska kvarc kristalna nano vaga Dr.sc. Marijana Kraljić Roković, docent mkralj@fkit.hr Tranzijentne elektrokemijske tehnike tehnike koje se osnivaju

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Metal u oscilirajućem električnom polju

Metal u oscilirajućem električnom polju Metal u oscilirajućem električnom polju Raspršivanje elektrona na preprekama može se tretirati kao vrst sile trenja. Jednadžba gibanja elektrona: m u = e F 0 e iωt }{{} sila el. polja γ }{{ m u }, trenje

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrokemijski članci

Elektrokemijski članci Elektrokemijski članci Elektrokemijski članci - sustavi u kojima dolazi do pretvorbe kemijske energije u električnu i obrnuto Vrste članaka Galvanski članci Spontana kemijska reakcija kao posljedica razlike

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži

Διαβάστε περισσότερα

Vježba 3: ISPITIVANJE KONDENZATORA

Vježba 3: ISPITIVANJE KONDENZATORA Vježba 3: ISPITIVANJE KONDENZATORA Klasični elektrostatski ureñaj za pohranu električnog naboja sastoji se od dvije paralelne metalne ploče, odijeljene električnim izolatorom koji nazivamo dielektrik.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROKEMIJA. Dr. sc. Mirjana Metikoš-Huković, red. prof. Interni udžbenik. Zagreb, Sveučilište u Zagrebu

ELEKTROKEMIJA. Dr. sc. Mirjana Metikoš-Huković, red. prof. Interni udžbenik. Zagreb, Sveučilište u Zagrebu Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za elektrokemiju Dr. sc. Mirjana Metikoš-Huković, red. prof. ELEKTROKEMIJA Interni udžbenik Zagreb, 2000. S A D R Ž A J Predgovor

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE

ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE veučilište u ijeci TEHNIČKI FAKULTET veučilišni preddiplomki tudij elektrotehnike ELEKTOOTONI OGONI - AUDITONE VJEŽBE Ainkroni motor Ainkroni motor inkrona obodna brzina inkrona brzina okretanja Odno n

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE Elektrolitička disocijacija čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost otopine kiselina, lužina ili soli = elektroliti pozitivni i negativni ioni povećavaju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IMOBILIZACIJA AKTIVNIH TVARI ZA BIOLOŠKO PREPOZNAVANJE

IMOBILIZACIJA AKTIVNIH TVARI ZA BIOLOŠKO PREPOZNAVANJE IMBILIZACIJA AKTIVI TVARI ZA BILŠK PREPZAVAJE EZIMI ATITIJELA RECEPTRI MIKRRGAIZMI ŽIVTIJSKE ILI BILJE STAICE ŽIVTIJSKA I BILJA VLAKA KLJUČI PRCES PRI IZRADI BISEZRA IMBILIZACIJA BILŠKE TVARI - AJČEŠĆE

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα