Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE III ΑΠΡΙΛΗΣ 18 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/3/18 Ώρα εξέτασης: 15:45-17:45 Να απαντήσετε τα θέματα 1 και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 1 μονάδες. ΘΕΜΑ 1: Να απλοποιήσετε την παράσταση: Χρησιμοποιούμε την παραγοντοποίηση του ( n 3 1) n 1n n 1 3 ( n 1) n 1n n 1. Παρατηρούμε ότι όταν nm 1 n n m m m m 1 1 ( 1) 1 1. και τότε ο παράγοντας Παραγοντοποιώντας τους όρους του αριθμητή και του παρονομαστή τότε ο δεύτερος όρος κάθε παραγοντοποίησης απολοποιείται εκτός από τον πρώτο του παρονομαστή, και τον τελευταίο του αριθμητή, γράφεται:. Έτσι το κλάσμα Απάντηση:

2 ΘΕΜΑ : α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με BΑΓ 45. Φέρνουμε τα ύψη του τριγώνου ΓΕ και ΒΔ. Αν το Μ είναι το μέσο της ΒΓ να υπολογίσετε την γωνία ΕΜΔ. Το τρίγωνο BΕΓ είναι ορθογώνιο και ΕM διάμεσος από την κορυφή της ορθής γωνίας άρα ΕM MB και EMB 18 EBM (1) Το τρίγωνο BΔΓ είναι ορθογώνιο και ΔM διάμεσος από την κορυφή της ορθής γωνίας άρα ΔM MΓ και ΔMΓ 18 ΔΓM () ΔMΓ ΔΜΕ ΕΜΒ 18 (3) Από (1), () και (3) τότε ΔΓM ΔΜΕ ΕΒΜ 36 ΔΓM ΕΒΜ ΔΜΕ ΔΜΕ 18 ΔΜΕ 9 β) Σε τρίγωνο ΑΒΓ, ( AB ) Δ είναι σημείο της ΒΓ έτσι ώστε η AΔ να διχοτομεί τη ΓΑΒ, και Μ το μέσο της BΓ. Από το Μ φέρνουμε παράλληλη προς την AΔ η οποία τέμνει την προέκταση της BA στο Ε και την ΑΓ στο Θ. Να αποδείξετε ότι: ΒΕ ΓΘ ΑΒ ΑΓ Η ΑΔ διχοτόμος της γωνίας BAΓ τότε φ1 φκαι αφού ΑΔ// ME τότε φ φ3 και φ1 φ4 και φ4 φ3 και άρα AE AΘ BM ΔM Από Θεώρημα Θαλή τότε (1) BE ΑΕ ΓM ΜΔ και () ΓΘ ΘΑ Από (1) και () τότε BM ΓM τότε BE ΓΘ BE ΓΘ BE ΓΘ AB AE ΑΓ ΑΘ ΑΒ ΑΓ τότε ΑΒ ΑΓ BE

3 Να απαντήσετε τα θέματα 3,4,5 και 6 γράφοντας μόνο την τελική απάντηση. Το κάθε θέμα είναι 5 μονάδες. ΘΕΜΑ 3: Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό n τέτοιο ώστε το 19 να 3 διαιρεί το n, το n να είναι κύβος και το n να είναι τέλειο τετράγωνο. 7 Αφού το τότε οι αριθμοί, 3, 5 διαιρούν το n. Έτσι το n είναι της κ μ ν μορφης n 3 5 με κ, μ, ν ακέραιοι θετικοί αριθμοί. Ξέρουμε επίσης ότι το 3 διαιρεί τους κ, μ, ν αφού n είναι κύβος, και ότι το διαιρεί τους3, 3, 3 κ μ ν αφού 3 n είναι τέλειο τετράγωνο, έτσι το 6 πρέπει να διαιρεί τους κ, μ, ν. Για να πάρουμε τη μικρότερη δυνατή τιμή του n πρέπει το κ 1, αφού κ 7 και τα 6 μν 6 δηλαδή n ΘΕΜΑ 4: Δίνονται a, b, μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε: Απάντηση: 6 n 6 a 17, b 3 και a b Έστω A 3a b. (α) Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του Α. (β) Να βρείτε τη μικρότερη δυνατή τιμή του Α Αφού a 17 τότε a 19. a b και a 19 τότε 16 3b 3b 16 b 4. a 17 3a a b 5 3 b 4 84 b 46 Τότε η μεγαλύτερη τιμή του A είναι 5 και η μικρότερη είναι -84 Απάντηση: (α) 5, (β) -84

4 ΘΕΜΑ 5: Ο Αντρέας, ο Γρηγόρης και ο Κώστας στέκονται δίπλα στη μοτοσικλέτα τους, η οποία μπορεί να μεταφέρει μόνο δύο από αυτούς ταυτόχρονα. Η μοτοσικλέτα μπορεί να ταξιδέψει με ταχύτητα 7 χλμ. την ώρα, ενώ ο Αντρέας, ο Γρηγόρης και ο Κώστας μπορούν να τρέξουν άνετα με ταχύτητα 1 χλμ. την ώρα. Θέλουν να επισκεφθούν τη Στέλλα που βρίσκεται 7 χιλιομέτρα μακριά. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός χρόνος για τους τρεις φίλους να φτάσουν όλοι μαζί στη Στέλλα. (Η μοτοσκλέτα είναι ελεύθερη να ταξιδεύει προς τα πίσω και προς τα εμπρός). Η μοτοσικλέτα κάνει τη διαδρομή από το Α στο Γ μετα από το Γ στο Β και μετα στο Δ μεταφέροντας άτομα εκτός από τη διαδρομή από το Γ στο Β που μεταφέρει ένα άτομο. Ο Αντρέας και ο Γρηγόρης ξεκινούν με τη μοτοσικέτα και ο Κώστα ξεκινά να τρέχει. Ο Κώστας συναντιέται με τον Αντρέα στο Β αφού ο Αντρέας πήγε στο Γ άφησε τον Γρηγόρη να τρέξει την υπόλοιπη διαδρομή και επέστρεψε στο Β. Η απόσταση από το Α στο Β είναι ίση με την απόσταση από το Γ στο Δ και τη συμβολίζουμε με x και την απόσταση από το Β στο Γ τη συμβολίζουμε με y. Τότε xy 7 Αφού ο Κώστας χρειάζεται Αντρέας με τη μοτοσικλέτα το Γ πίσω στο Β τότε Τότε x ώρες για να καλύψει την απόσταση από το Α στο Β και ο 1 x y ώρες για να καλύψει την απόσταση από το Α στο Γ και 7 x x y. 1 7 x 7 x τότε 7x x 7 x x 1 7 τότε x 14 και y 4. Η μοτοσικέτα διανύει x 3y km και χρειάζεται την καλύψει δηλαδή ώρες και 1 λεπτά ώρες για να Απάντηση: ώρες και 1 λεπτά

5 ΘΕΜΑ 6: Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί υπάρχουν ώστε κάθε ψηφίο τους να εμφανίζεται τουλάχιστον φορές; (Π.χ. ο είναι ένας τέτοιος αριθμός αλλά ο 51 όχι.) Επειδή τα ψηφία είναι 5 τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πολύ διαφορετικά ψηφία. - Αν όλα τα ψηφία είναι ίδια τότε υπάρχουν 9 αριθμοί - Αν είναι διαφορετικά ψηφία τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις Δύο ψηφία από το 1 έως το 9 φορές το ένα και τρεις το άλλο άρα: 9 5! 7 αριθμοί 3!! Ένα ψηφίο από το 1-9 τρεις φορές και μηδενικά άρα : 4! 9 54 αριθμοί!! Ένα ψηφίο από τα ψηφία 1-9 δύο φορές και 3 μηδενικά άρα : 4! 9 36 αριθμοί 3! Άρα συνολικά Απάντηση: 819