ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014"

Πολύδωρος Γεννάδιος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). B. Για τους αριθμούς α και β ισχύει: (α + β) 2 (α β)(α + β) = 2(1 β)(β + 1). a) Να βρείτε τον αριθμό α 2015 β b) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = (α β 3) 2 (α 3) 2 (β + 3) 2. C. Αν ισχύουν 1 < α < 2 και -3 < β < -2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις: i. 4α-3β. ii. α 2 + β 2. D. Δίνεται η παράσταση: Α = 12x2 12xy 24x+24y x 4 4x 2 x 2 y 2 +4y 2 a) Να αποδείξετε ότι: Α = 12 (x+y)(x+2). b) Να υπολογίσετε την παράσταση Α, όταν: x = ( 10) 11 και y = (2 4 ) 5 (2 2 ) :4 11. Θέμα 2 ο A. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο: Σ = { 3 5, 1 3, 7 10, 9 8, 1 5 }. Να βρείτε τις πιθανότητες: a) Ρ(Α), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). b) Να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α. c) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β. B. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ) 2 3(αβ + βγ + γα) (2 μονάδες) (2 μονάδες)

a) Να βρείτε τον αριθμό α 2015 β 2015. b) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = (α β 3) 2 (α 3) 2 (β + 3) 2. C.

2 C. Μία τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Επιλέγουμε τυχαία έναν πελάτη της τράπεζας. Η πιθανότητα ο πελάτης αυτός: Να έχει πάρει στεγαστικό δάνειο και καταναλωτικό δάνειο είναι 30%. Να έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο και να μην έχει πάρει στεγαστικό δάνειο είναι 10%. Να μην έχει πάρει ούτε στεγαστικό δάνειο ούτε καταναλωτικό δάνειο είναι 20%. Να βρείτε την πιθανότητα ο πελάτης που επιλέξαμε: a) Να έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο. b) Να έχει πάρει στεγαστικό δάνειο. c) Να έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο ή να μην έχει πάρει στεγαστικό δάνειο. d) Να έχει πάρει μόνο καταναλωτικό δάνειο ή μόνο στεγαστικό δάνειο. Θέμα 3 ο A. Να αποδείξετε το θεώρημα: << Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα, κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές, είναι σημείο της διχοτόμου.>> (10 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: a) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία του ενός είναι ίση με την αντίστοιχη γωνία του άλλου, είναι ίσα μεταξύ τους. b) Ύψος σε ένα τρίγωνο είναι η απόσταση μιας κορυφής από την απέναντι πλευρά. c) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου, είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. d) Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων. e) Τα σημεία της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος, δεν ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. C. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Θέμα 4 ο A. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Α. Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, η ΔΕ είναι κάθετη στην ΒΓ και η γωνία Γ είναι μικρότερη της γωνίας Β. Να αποδείξετε ότι: a) AE b) A c) AAB

Να μην έχει πάρει ούτε στεγαστικό δάνειο ούτε καταναλωτικό δάνειο είναι 20%. Να βρείτε την πιθανότητα ο πελάτης που επιλέξαμε: a) Να έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο. b) Να έχει πάρει στεγαστικό δάνειο.

3 B. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, και την ευθεία ε της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α. Η κάθετη στη πλευρά ΑΒ στο Β τέμνει την ε στο Κ και την ευθεία ΑΓ στο Ζ. Η κάθετη στη πλευρά ΑΓ στο Γ τέμνει την ε στο Λ και την ευθεία ΑΒ στο Ε. a) Να αποδείξετε ότι: i. AZ AE ii. AK A b) Ένας μαθητής κοιτώντας το σχήμα, διατύπωσε την άποψη ότι η ΑΘ είναι διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ, όπου Θ το σημείο τομής των ΚΖ,ΕΛ. Συμφωνείτε με την παραπάνω σκέψη του μαθητή ή όχι; Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας. ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 3 ΩΡΕΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

Η κάθετη στη πλευρά ΑΓ στο Γ τέμνει την ε στο Λ και την ευθεία ΑΒ στο Ε. a) Να αποδείξετε ότι: i. AZ AE ii.

4 Θέμα 1 ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Σχολικό βιβλίο, σελ. 33,34 B. α) (α + β) 2 (α β)(α + β) = 2(1 β)(β + 1) α 2 + 2αβ + β 2 α 2 + β 2 = 2(1 β 2 ) 2αβ + 2β 2 = 2 + 2β 2 αβ = 1 Άρα : α 2015 β 2015 = (αβ) 2015 = ( 1) 2015 α 2015 β 2015 = 1 β) Α = (α β 3) 2 (α 3) 2 (β + 3) 2 Α = α 2 + β αβ 6α + 6β α 2 + 6α 9 β 2 6β 9 Α = 2αβ 9 αβ= 1 Α = 2 ( 1) 9 Α = 2 9 Α = 7 C. i. 1 < α < 2 4 < 4α < 8 (1) 3 < β < 2 6 < 3β < 9 (2) (1) + (2) 10 < 4α 3β < 17 ii. 1 < α < 2 1 < α 2 < 4 (3) 3 < β < 2 2 < β < 3 4 < ( β) 2 < 9 4 < β 2 < 9 (4) (3) + (4) 5 < α 2 + β 2 < 13 D. α) Α = 12x2 12xy 24x+24y x 4 4x 2 x 2 y 2 +4y 2 A = 12 (x+y)(x+2) = 12x(x y) 24(x y) x 2 (x 2 4) y 2 (x 2 4) = 12(x y)(x 2) (x 2 y 2 )(x 2 4) = 12(x y)(x 2) (x y)(x+y)(x 2)(x+2) β) x = ( 10) 11 = 2 12 (5 2 ) 6 ( 2) = = 2 5 x = 10 y = (2 4 ) 5 (2 2 ) : 4 11 = (2 3 ) 8 : (2 2 = ) = : y = 1 Άρα : Α = 12 9 ( 8) Α = 1 6 Θέμα 2 ο A. α) Α Β Α Α Β Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β). Kαι επειδή γενικά 0 Ρ(Α) 1, Ρ(Α Β) = 1 5, Ρ(Α) = 3 5, Ρ(Α Β) = β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Β) = Ρ(Β Α) = Ρ(Β) Ρ(Α Β) = = c) Ρ((Α Β) (Β Α)) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = = 5 10 = 1 2 B. (α + β + γ) 2 3αβ + 3βγ + 3αγ α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ 3αβ + 3βγ + 3αγ α 2 + β 2 + γ 2 αβ αγ βγ 0 2α 2 + 2β 2 + 2γ 2 2αβ 2αγ 2βγ 0 (α β) 2 + (α γ) 2 + (β γ) 2 0, ισχύει. C. Κ: το ενδεχόμενο να πάρει καταναλωτικό δάνειο. Σ: το ενδεχόμενο να πάρει στεγαστικό δάνειο. Δεδομένα: Ρ(Σ Κ) = , Ρ(Κ Σ) = , Ρ((Σ Κ) ) =

+ 3) 2 Α = α 2 + β 2 + 9 2αβ 6α + 6β α 2 + 6α 9 β 2 6β 9 Α = 2αβ 9 αβ= 1 Α = 2 ( 1) 9 Α = 2 9 Α = 7 C. i. 1 < α < 2 4 < 4α < 8 (1) 3 < β < 2 6 < 3β < 9 (2) (1) + (2) 10 < 4α 3β < 17 ii.

5 β) Ρ(Κ Σ) = Ρ(Κ) Ρ(Κ Σ) = Ρ(Κ) = α) Ρ((Σ Κ) ) = Ρ(Σ Κ) = Ρ(Σ Κ) = Ρ(Σ) + Ρ(Κ) Ρ(Σ Κ) = Ρ(Σ) = γ) Ρ(Κ Σ ) = Ρ((Σ Κ) ) = 1 Ρ(Σ Κ) = 1 Ρ(Σ) + Ρ(Σ Κ) = δ) Ρ((Σ Κ) (Κ Σ)) = Ρ(Σ Κ) Ρ(Σ Κ) = Θέμα 3 ο A. Απόδειξη σελ B. a) Λ b) Σ c) Λ d) Σ e) Λ C. Θεωρία σελ. 50 Θέμα 4 ο A. a) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν: ΒΔ=ΒΔ (κοινή) AB B (ΒΔ διχ.) Από κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων b) Στο ορθογώνιο τρίγωνο η ΔΓ είναι η υποτείνουσα, άρα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΔΓ>ΔΕ, όμως ΑΔ=ΔΕ, άρα ΔΓ>ΑΔ. c) Γνωρίζουμε ότι απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές, άρα στο τρίγωνο AB επειδή είναι και ΑΒ<ΑΓ. B. α)i. Τα ορθογώνια τρίγωνα A A (κοινή) Z και A E έχουν: AB = AΓ (ίσες πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου AB ) Από κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Z AE, ii. Τα τρίγωνα και KZέχουν: AE=AZ (αποδ.) (αποδ.)

50 Θέμα 4 ο A. a) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν: ΒΔ=ΒΔ (κοινή) AB B (ΒΔ διχ.

6 1 2 Από το κριτήριο Γ-Π-Γ τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και AK=AΛ. β) Είναι 90 0 και ( στη βάση του ισοσκελούς ΑΒΓ), άρα και ABZ AB A AB B B. Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ΒΘ=ΘΓ. Όμως τα ΒΘ,ΘΓ είναι οι αποστάσεις του Θ από τις πλευρές της γωνίας Α, οπότε το Θ ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Α. Δηλαδή η ΑΘ είναι διχοτόμος της A.

Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ΒΘ=ΘΓ.

Σχετικά έγγραφα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.