ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ"

Transcript

1 ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ

2 ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ ΠΟΤ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΥΘΕΙ ΑΠΕΙΡΕ ΥΟΡΕ, ΚΑΣΨ ΑΠΟ ΣΙ ΙΔΙΕ ΤΝΘΗΚΕ, ΔΙΝΟΝΣΑ ΚΑΠΟΙΟ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑ ΣΟ ΣΕΛΟ ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΠΕΙΡΑΜΑΣΨΝ ΝΣΕΣΕΡΜΙΝΙΣΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΣΑ ΣΤΦΗ

3 ΔΕΙΓΜΑΣΟΦΨΡΟ ΣΟ ΤΝΟΛΟ Ω ΟΛΨΝ ΣΨΝ ΔΤΝΑΣΨΝ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΨΝ ΕΝΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΟ ΕΝΑ ΠΙΘΑΝΟ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑ ΟΝΟΜΑΖΕΣΑΙ ΔΕΙΓΜΑΣΟΗΜΕΙΟ Η ΑΠΛΟ ΓΕΓΟΝΟ ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΔΕΙΓΜΑΣΟΦΨΡΨΝ ΔΙΑΚΡΙΣΟΙ ΤΝΕΦΕΙ

4 ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΑΝ { 1, 2,..., n}, ΑΝΣΙΣΟΙΦΙΖΕΣΑΙ Ε ΚΑΘΕ α j ΕΝΑ ΑΡΙΘΜΟ ΜΕΣΑΞΤ 0 ΚΑΙ 1, p j, ΜΕ p j 1, Ο ΟΠΟΙΟ ΔΕΙΦΝΕΙ ΣΟ ΠΟΟ ΕΙΝΑΙ ΔΤΝΑΣΟ ΝΑ ΤΜΒΕΙ ΣΟ α j P{α j }=p j =πιθανότητα του α j ΑΝ Α ΤΠΟΤΝΟΛΟ ΣΟ Ψ, ΣΟΣΕ ΣΟ Α ΛΕΓΕΣΑΙ ΓΕΓΟΝΟ ΚΑΙ ΑΝ A,,..., } ΣΟΣΕ P A { i1 i2 ik p p... i1 i2 p ik

5 P{Ψ}=1 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ A 1 0 P ΑΝ A, B ΚΑΙ A B ΣΟΣΕ: P{ A B} P{ A} P{ B}

6 ΦΕΣΙΚΗ ΤΦΝΟΣΗΣΑ Ψ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΕΣΨ ΟΣΙ ΕΝΑ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΦΗ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΕΣΑΙ n ΥΟΡΕ. ΑΝ f(a) ΣΟ ΠΛΗΘΟ ΣΨΝ ΥΟΡΨΝ ΠΟΤ ΠΡΑΓΜΑΣΟΠΟΙΕΊΣΑΙ ΣΟ Α ΣΙ n ΕΠΑΝΑΛΗΧΕΙ ΣΟΣΕ: f A =f(a)/n=φεσικη ΤΦΝΟΣΗΣΑ ΣΟΤ Α ΘΕΨΡΨΝΣΑ ΌΣΙ ΣΟ ΟΡΙΟ ΑΤΣΗ ΣΗ ΠΟΟΣΗΣΑ (ΓΙΑ n ΣΕΙΝΕΙ ΣΟ ΑΠΕΙΡΟ) ΤΠΑΡΦΕΙ, ΣΟΣΕ Ο ΑΡΙΘΜΟ ΑΤΣΟ ΟΝΟΜΑΖΕΣΑΙ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΣΟΤ Α

7 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΦΕΣΙΚΗ ΤΦΝΟΣΗΣΑ f Ψ =1 f A ΑΝ 0 A B ΣΟΣΕ: f AB f A f B

8 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΕΙΡΑΜΑΣΨΝ ΣΤΦΗ

9 ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ

10 ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ & ΞΕΝΑ ΓΕΓΟΝΟΣΑ (ΔΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΕΞΑΡΣΗΣΑ ΟΣΑΝ Η ΠΡΑΓΜΑΣΟΠΟΙΗΗ ΣΟΤ ΕΝΟ ΔΕ ΔΙΝΕΙ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΕ ΦΕΣΙΚΑ ΜΕ ΣΗΝ ΠΡΑΓΜΑΣΟΠΟΙΗΗ ΣΟΤ ΑΛΛΟΤ)

11 ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ & ΔΕΜΕΤΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ (ΣΟ ΠΑΡΑΠΑΝΨ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑΛΛΑΚΣΙΚΟ ΟΡΙΜΟ ΣΗ ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ 2 ΓΕΓΟΝΟΣΨΝ)

12 ΘΕΨΡΗΜΑΣΑ

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

14 ΛΤΗ

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

17 ΛΤΗ

18 ΘΕΨΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ

19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

20 ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΤΦΑΙΕ ΜΕΣΑΒΛΗΣΕ

21 ΟΡΙΜΟ

22 ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ

23 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ

24 ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΣΤΦΑΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ

25 ΠΤΚΝΟΣΗΣΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ - ΔΙΑΚΡΙΣΗ Σ.Μ.

26 ΙΔΙΟΣΗΣΕ

27 ΤΝΕΦΗ ΣΤΦΑΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ ΜΙΑ ΣΤΦΑΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ Φ ΕΙΝΑΙ ΤΝΕΦΗ ΑΝ ΣΟ ΠΛΗΘΟ ΣΙΜΨΝ ΣΗ ΕΙΝΑΙ ΜΗ-ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ ΤΝΟΛΟ ΚΑΙ P(X = x) = 0

28 ΠΤΚΝΟΣΗΣΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ - ΤΝΕΦΗ Σ.Μ.

29 ΜΕΗ ΣΙΜΗ & ΔΙΑΠΟΡΑ - ΤΝΕΦΗ Σ.Μ.

30 ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΟΡΙΜΟ ΕΥΑΡΜΟΓΕ ΚΑΣΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΗ

31 ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΌΣΑΝ ΘΕΛΟΤΜΕ ΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΧΟΤΜΕ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΠΟΤ ΕΞΕΛΙΟΝΣΑΙ Ε ΦΕΗ ΜΕ ΣΟ ΦΡΟΝΟ Η ΣΟ ΦΨΡΟ, Π.Φ. ΑΥΙΞΕΙ ΠΕΛΑΣΨΝ Ε ΣΡΑΠΕΖΑ Ε ΤΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΦΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΗΜΑ, ΜΠΟΡΟΤΜΕ ΝΑ ΦΡΗΙΜΟΠΟΙΗΟΤΜΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΘΕΨΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΨΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕ ΣΤΦΑΙΨΝ ΜΕΣΑΒΛΗΣΨΝ ΜΕ ΤΓΚΕΚΡΙΜΕΝΕ ΙΔΙΟΣΗΣΕ

32 ΟΡΙΜΟ ΣΟΦΑΣΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΙΑ

33 ΣΑΞΙΝΟΜΗΗ Ψ ΠΡΟ ΣΟ ΦΨΡΟ ΣΨΝ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ ΑΝ S ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ, ΣΟΣΕ Δ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΦΨΡΟΤ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ ΑΝ S ΜΗ-ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ, ΣΟΣΕ Δ ΤΝΕΦΟΤ ΦΨΡΟΤ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ Ψ ΠΡΟ ΣΟΝ ΠΑΡΑΜΕΣΡΙΚΟ ΦΨΡΟ ΑΝ Σ ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ ΤΝΟΛΟ, ΣΟΣΕ Δ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΦΡΟΝΟΤ Η ΑΛΤΙΔΑ ΑΝ Σ ΜΗ-ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ ΤΝΟΛΟ, ΣΟΣΕ Δ ΤΝΕΦΟΤ ΦΡΟΝΟΤ

34 ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΑΛΤΙΔΕ MARKOV ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΦΡΟΝΟΤ

35 Αλυσίδα Markov διακριτού χρόνου Δ με χώρο καταστάσεων S όπου ισχύει k k k k k k k k k k x X x X P x X x X x X x X P,...,, X k S x x x k k 1 1 0,...,, 0,

36 Ιδιότητες αλυσίδας Markov α) Οι καταστάσεις στο παρελθόν είναι αδιάφορες β) Ο χρόνος παραμονής στην τρέχουσα κατάσταση είναι αδιάφορος γ) δ) k k m k m k k k k k m k m k k k x X x X x X P x X x X x X x X x X P,...,,...,,,..., ,..., k k k k m k m k k k k k x X x X P x X x X x X P

37 Προσδιορισμός ομογενούς αλυσίδας Markov ύνολο καταστάσεων S Αρχική κατανομή PX i, i S Πίνακας μετάβασης ενός βήματος i 0 0 P p ij i, js

38 P 1/ 1/ 2 4 1/ 2 3/ 4

39 Τπολογισμός χρονικά εξαρτημένων πιθανοτήτων Πίνακας μετάβασης k βημάτων Όπου S j i k ij k p, ) ( ) ( P i X j X P p k k ij 0 ) ( k k P P ) ( j i j i i X j X P p ij αν 0, 1,αν m k m k P P P ) ( i X P k k i ) ( P π π ) ( 1 k k

40 Παράδειγμα Μέσα Μεταφοράς Εργαζόμενος πηγαίνει στο γραφείο με αυτοκίνητο ή μετρό Δεν πηγαίνει ποτέ 2 συνεχόμενες ημέρες με μετρό Αν μία ημέρα μετακινηθεί με αυτοκίνητο, την επόμενη δεν έχει συγκεκριμένη προτίμηση όσον αφορά το μέσο μεταφοράς

41 Ζητούμενα Μοντελοποίηση της διαδικασίας ως αλυσίδας Markov Ποια η πιθανότητα να μετακινηθεί με το αυτοκίνητο μετά από 2 ημέρες Ποια η πιθανότητα να μετακινηθεί με το αυτοκίνητο μετά από 2 ημέρες, εάν την πρώτη ημέρα ρίχνει ένα αμερόληπτο ζάρι και παίρνει το αυτοκίνητο αν τύχει 6

42 Ζητούμενο #1, k 0,1,2,... X k X k μέσο μεταφοράς την ημέρα k X k X k 0 1 αυτοκίνητο μετρό Ιδιότητα Markov

43

44 Ζητούμενο #2 P 2 P 2 PP Πρώτη ημέρα μετακινείται με μετρό: 0 3/ 4 1/ 2 π( 0) 1/ 4 1/ (2) 3/ 4 1/ 4 π 2 π 0 P 0 1 1/ 2 1/ 2 Πρώτη ημέρα μετακινείται με αυτοκίνητο: π / 4 1/ 2 1/ 4 1/ π 0 (2) 2 π0 P 1 0 3/ 4 1/ 4

45 Ζητούμενο #3 π 0 1/ 6 5/ 6 π (2) 2 π0 P 1/ 6 5/ 6 13/ 24 11/ 24 3/ 4 1/ 2 1/ 1/ 4 2

46 Παράδειγμα Τπολογιστικό σύστημα (1/2) 2 παράλληλοι επεξεργαστές Διακριτός χρόνος (sec) Μία εργασία υποβάλλεται στο σύστημα ανά sec με πιθανότητα α Σην αναλαμβάνει όποιος επεξεργαστής είναι διαθέσιμος Αν και οι δύο επεξεργαστές είναι διαθέσιμοι την αναλαμβάνει ο #1 Αν και οι δύο επεξεργαστές είναι απασχολημένοι η εργασία απορρίπτεται

47 Παράδειγμα Τπολογιστικό σύστημα (2/2) Ένας απασχολημένος επεξεργαστής ολοκληρώνει την εργασία του στο επόμενο sec με πιθανότητα β Ένας επεξεργαστής που ολοκληρώνει την εργασία του μπορεί να αναλάβει μια καινούρια ακαριαία

48 Ζητούμενα (1/2) X k Έστω τ.μ. που αντιστοιχεί στο πλήθος των εργασιών που υπάρχουν στο σύστημα στo k-οστό sec Διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος

49 Ζητούμενο #1

50 Ζητούμενο #2 p 00 p a 01 p 02 0 p 10 p 11 p p p21 1 p

51 Ζητούμενα (2/2) Αν α = 0.5 και β = 0.7 και το σύστημα είναι αρχικά άδειο Πιθανότητα του να μην υπάρχει κάποια εργασία στο σύστημα τη χρονική στιγμή k = 3 Πιθανότητα του να μην ολοκληρωθεί κάποια εργασία τη χρονική στιγμή k = 3

52 Ζητούμενο #1 π Πίνακας μετάβασης Αρχική κατανομή P 3 P 3 P P π P π0 P Άρα, P X 0 0(3)

53 Ζητούμενο #2 Έστω Α το γεγονός καμμία εργασία δεν ολοκληρώνεται τη στιγμή k = 3 Από το νόμο της ολικής πιθανότητας P 2 A PA X j 3 j0 3 j PA X 0 3 1, PA X , P 2 A X P A

54 Παράδειγμα Καταναλωτική συμπεριφορά Ένας καταναλωτής αντικαθιστά κάθε χρόνο το κινητό του Αν έχει Nokia το αντικαθιστά με Ericsson Aν έχει Ericsson το αντικαθιστά με LG Αν έχει LG το αντικαθιστά με ένα Nokia ή με Ericsson

55 Ζητούμενα Μοντελοποίηση του φαινομένου μέσω μιας αλυσίδας Markov Ν.Δ.Ο. είναι αδύνατο να έχει το 2014 κινητό Nokia αν το 2012 αγόρασε το πρώτο του κινητό μάρκας LG

56 Ζητούμενο #1, k 0,1,2,... X k X k τύπος τηλεφώνου τη χρονιά k X k n X k e X k l Nokia Ericsson LG Ιδιότητα Markov

57 Ζητούμενο #2 Πίνακας μετάβασης (πρώτης τάξης) διάνυσμα αρχικής κατανομής 0 P άρα PX 0 l 1, PX 0 n P X 0 e, π π π0 P Δηλ. 50% πιθανότητες το 2014 να έχει LG/Ericsson 0

58 Παράδειγμα Gambler s ruin Ρουλέτα με 12 νούμερα Αρχικό κεφάλαιο παίκτη 3$ Ποντάρισμα 1$ σε κάθε γύρο Αν τύχει το νούμερο που πόνταρε ο παίκτης κερδίζει 3$

59 Ζητούμενα Μοντελοποίηση του φαινομένου μέσω μιας αλυσίδας Markov Διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων-πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης Ποια η πιθανότητα να διπλασιασμού του αρχικού κεφαλαίου του παίκτη μετά από 3 γύρους χωρίς να 3 υπολογιστεί ο P Γιατί το παράδειγμα ονομάζεται gambler s ruin

60 Ζητούμενα #1,2

61 Ζητούμενα #3,4 Από το διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων: με πιθανότητα με πιθανότητα με πιθανότητα Άρα, P X X Αναμενόμενο κέρδος παίκτη ανά γύρο 21/12 ( 1) 11/12 9/ 12

62 Αλυσίδες Markov ΣΑΞΙΝΟΜΗΗ ΚΑΣΑΣΑΕΩΝ

63 ΑΤΜΠΣΩΣΙΚΗ ΤΜΠΕΡΙΥΟΡΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ ΜΕΣΑΒΑΗ k p j : πιθανότητα κατάστασης j μετά από k μεταβάσεις lim ( k) j k p j Τπό ποιες συνθήκες υπάρχει; Πώς υπολογίζεται; Όρια αυτής της μορφής σχηματίζουν μία κατανομή πιθανοτήτων, δηλ. ; j j 1 Αν το όριο j υπάρχει, τότε ονομάζεται στάσιμη πιθανότητα της κατάστασης i j Aν το υπάρχει για όλες τις καταστάσεις της αλυσίδας, τότε το διάνυσμα π,, ονομάζεται στάσιμη κατανομή της αλυσίδας Markov

64 Ορισμοί Η κατάσταση j είναι προσβάσιμη από την ( n) κατάσταση i αν 0για κάποιο p n1,2,... ij Ένα υποσύνολο S του χώρου καταστάσεων X ονομάζεται κλειστό αν 0, i S, j S Μία κατάσταση i ονομάζεται απορροφητική αν αποτελεί ένα κλειστό σύνολο με ένα στοιχείο p ij Ένα κλειστό σύνολο καταστάσεων S ονομάζεται ανάγωγο αν η κατάσταση j είναι προσβάσιμη από την κατάσταση i i, j S Μία αλυσίδα Markov ονομάζεται ανάγωγη αν ο χώρος καταστάσεων της είναι ανάγωγος

65 Παράδειγμα ανάγωγη αλυσίδα

66 Παράδειγμα μη-ανάγωγη αλυσίδα Απορροφητική κατάσταση: Ανάγωγο σύνολο: S 1 S 2 4 2,3

67 Παράδειγμα (κλειστά & μη-κλειστά σύνολα καταστάσεων)

68 Παροδικές και επανερχόμενες καταστάσεις Η κατάσταση i ονομάζεται επανερχόμενη αν ξεκινώντας από την i η πιθανότητα να «επιστρέψουμε» σε αυτήν είναι 1 Η κατάσταση i ονομάζεται παροδική αν ξεκινώντας από την i η πιθανότητα να μην επιστρέψουμε ποτέ στην i είναι μεγαλύτερη του 0

69 ΘΕΨΡΗΜΑΣΑ Αν μία αλυσίδα Markov έχει πεπερασμένο χώρο καταστάσεων, τότε τουλάχιστον μία κατάσταση είναι επανερχόμενη Aν i είναι μία επανερχόμενη κατάσταση και η κατάσταση j είναι προσβάσιμη από την i, τότε η κατάσταση j είναι επανερχόμενη Αν S είναι ένα πεπερασμένο, κλειστό, ανάγωγο σύνολο καταστάσεων, τότε κάθε κατάσταση στο S είναι επανερχόμενη

70 Παράδειγμα Πεπερασμένο πλήθος (5) καταστάσεων -> τουλάχιστον μία (3) επανερχόμενη κατάσταση Κατάσταση 2: επανερχόμενη, κατάσταση 3: προσβάσιμη από την 2 -> κατάσταση 3: επανερχόμενη ύνολο {2,3}: κλειστό, ανάγωγο-> καταστάσεις 2, 3: επανερχόμενες

71 Παράδειγμα (επανερχόμενες παροδικές καταστάσεις)

72 Περιοδικές και μη-περιοδικές καταστάσεις Μία κατάσταση i ονομάζεται περιοδική αν ο μ.κ.δ. d του συνόλου ( n) n 0: 0είναι d 2 Μία κατάσταση i ονομάζεται μη-περιοδική αν ο μ.κ.δ. d του συνόλου ( n) n 0: 0είναι d 1 p ii p ii

73 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ/ΜΗ-ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ ΚΑΣΑΣΑΕΙ Όλες οι καταστάσεις είναι περιοδικές, με περίοδο 3 Όλες οι καταστάσεις είναι περιοδικές, με περίοδο 2

74 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ/ΜΗ-ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ ΚΑΣΑΣΑΕΙ Καμμία κατάσταση δεν είναι περιοδική

75 Θεώρημα: αν μία αλυσίδα Markov είναι ανάγωγη τότε όλες οι καταστάσεις αυτής, έχουν την ίδια περίοδο Πόρισμα: αν p ii 0 κάποιας κατάστασης i σε μια ανάγωγη αλυσίδα Markov, τότε όλες οι καταστάσεις είναι μη-περιοδικές και η αλυσίδα ονομάζεται μηπεριοδική Πόρισμα: αν κάποια κατάσταση σε μία ανάγωγη αλυσίδα Markov έχει περίοδο d 2, τότε όλες οι καταστάσεις έχουν την ίδια περίοδο και η αλυσίδα ονομάζεται περιοδική

76 τάσιμες κατανομές ανάγωγων αλυσίδων Markov Ανάγωγες αλυσίδες Markov που περιέχουν περιοδικές καταστάσεις δεν έχουν στάσιμη κατανομή ε μια ανάγωγη, μη-περιοδική αλυσίδα Markov τα όρια π j υπάρχουν πάντα και είναι ανεξάρτητα της αρχικής κατάστασης ε μια ανάγωγη, μη-περιοδική αλυσίδα Markov που αποτελείται από παροδικές καταστάσεις ισχύει 0,j X π j

77 τάσιμες κατανομές ε ανάγωγη, μη-περιοδική αλυσίδα με τουλάχιστον μία επανερχόμενη κατάσταση η στάσιμη κατάσταση υπολογίζεται λύνοντας το σύστημα: π πp j j 1

78 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ P έτοσμε: Από πp π 1: (2),(3), τις Από j j , 0.399, Άρα π π π

79 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/2)

80 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2/2)

81 ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΑΛΤΙΔΕ MARKOV ΤΝΕΦΟΤ ΦΡΟΝΟΤ

82 ΟΡΙΜΟ ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΚΑΣΑΣΑΗ ΤΝΕΦΟΤ ΦΡΟΝΟΤ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΙΔΙΟΣΗΣΑ (MEMORYLESS PROPERTY) Η ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΣΑΣΑΗ ΣΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΕΞΑΡΣΑΣΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΌ ΣΗΝ ΣΡΕΦΟΤΑ ΚΑΣΑΣΑΗ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ ΕΚΘΕΣΙΚΑ ΚΑΣΑΝΕΜΗΜΕΝΟΙ ΡΤΘΜΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ = 1/ΜΕΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ

83 ΓΡΑΥΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΗ ΣΟ ΦΗΜΑ ΥΑΙΝΕΣΑΙ ΜΙΑ ΑΛΤΙΔΑ ΜΕ ΣΡΕΙ ΚΑΣΑΣΑΕΙ: ΣΙ 0, 1, 2 ΣΑ ΒΕΛΗ ΑΝΑΠΑΡΙΣΟΤΝ ΣΙ ΠΙΘΑΝΕ ΜΕΣΑΒΑΕΙ ΑΠΌ ΜΙΑ ΚΑΣΑΣΑΗ ΣΗΝ ΆΛΛΗ, Π.Φ. ΑΠΌ ΣΗΝ 0 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΜΕΣΑΒΟΤΜΕ ΣΗΝ 1 ΑΛΛΑ ΌΦΙ ΣΗΝ 2. ΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ ΕΊΝΑΙ ΕΚΘΕΣΙΚΑ ΚΑΣΑΝΕΜΗΜΕΝΟΙ, Π.Φ. ΑΠΌ ΣΗΝ 0 ΣΗΝ 1 ΜΕΣΑΒΑΙΝΟΤΜΕ ΜΕ ΡΤΘΜΟ λ ΔΗΛΑΔΗ Ο ΑΝΣΙΣΟΙΦΟ ΦΡΟΝΟ ΜΕΣΑΒΑΗ ΕΦΕΙ ΜΕΗ ΣΙΜΗ 1/λ

84 ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ ΑΛΤΙΔΑ ΣΗ ΠΡΟΗΓΟΤΜΕΝΗ ΔΙΑΥΑΝΕΙΑ ΓΕΝΙΚΑ: ΕΝΑΛΛΑΚΣΙΚΟ ΣΡΟΠΟ ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ ΜΙΑ ΑΛΤΙΔΑ ΣΕΣΡΑΓΨΝΙΚΟ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΟΤ ΡΤΘΜΟΤ ΜΕΣΑΒΑΗ ΣΟΙΦΕΙΑ ΔΙΑΓΨΝΙΟΤ ΣΕΣΟΙΑ, ΏΣΕ ΑΘΡΟΙΜΑ ΣΟΙΦΕΙΨΝ ΟΛΨΝ ΣΨΝ ΓΡΑΜΜΨΝ ΙΟ ΜΕ 0

85 ΣΑΙΜΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΟΙ ΟΡΙΑΚΕ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ ΟΛΨΝ ΣΨΝ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ Η ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΣΟΤ ΝΑ ΒΡΕΘΟΤΜΕ Ε ΚΑΠΟΙΑ ΚΑΣΑΣΑΗ ΜΕΣΑ ΑΠΌ «ΑΠΕΙΡΕ» ΜΕΣΑΒΑΕΙ Η «ΕΙΚΟΝΑ» ΣΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΜΑ

86 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΑΙΜΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΕΠΙΛΤΗ ΤΣΗΜΑΣΟ ΓΡΑΜΜΙΚΨΝ ΕΞΙΨΕΨΝ πq 0 ΤΠΟ ΣΟΝ ΠΕΡΙΟΡΙΜΟ i 1 ΟΠΟΤ Q Ο ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ ΚΑΙ π ΣΟ ΔΙΑΝΤΜΑ ΣΨΝ ΟΡΙΑΚΨΝ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΨΝ ΣΨΝ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ

87 Q ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

88 Q ΕΠΙΛΤΗ ΣΟ MATLAB (1/2)

89 ΕΠΙΛΤΗ ΣΟ MATLAB (2/2)

90 MΟΝΣΕΛΟΠΟΙΗΗ ΙΦΤΕΙ Η ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΙΔΙΟΣΗΣΑ; ΚΑΣΑΣΑΕΙ; ΠΙΘΑΝΕ ΜΕΣΑΒΑΕΙ; ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ;

91 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/3)

92 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2/3)

93 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3/3)

94 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/3) DETERIORATION FAILURES PREVENTIVE MAINTENANCE 1 ΜΗΦΑΝΗ ΠΑΡΑΓΕΙ ΠΑΝΣΑ (ΕΥΟΟΝ ΕΦΕΙ ΣΗ ΔΤΝΑΣΟΣΗΣΑ) k στάδια φθοράς (deterioration stages) 0: good-as-new i: φθαρμένη αλλά λειτουργική μηχανή F: down Φρόνοι μεταξύ «βλαβών» (στο στάδιο i) εκθετικοί με μέση τιμή 1/λ i Φρόνοι επισκευής εκθετικοί με μέση τιμή 1/μ r

95 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2/3) DETERIORATION FAILURES PREVENTIVE MAINTENANCE ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΤΝΣΗΡΗΗ Μean Time Between Inspection 1/λ in ΜΕΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΠΙΘΕΨΡΗΗ 1/μ in ΠΟΛΙΣΙΚΗ ΠΡΟΛΗΠΣΙΚΗ ΤΝΣΗΡΗΗ ΠΑΡΑΜΕΣΡΟΙ g < b ΚΑΜΜΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: i<=g MINIMAL MAINTENANCE (i i-1): g < i <= b MAJOR MAINTENANCE (i 0): b < i <= k ΜΕΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ MINIMAL MAINTENANCE 1/μ m ΜΕΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ MAJOR MAINTENANCE 1/μ Μ

96 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3/3) DETERIORATION FAILURES PREVENTIVE MAINTENANCE Η αλυσίδα στη γενική της μορφή:

97 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/3) KANBAN DETERIORATION FAILURES 1 ΜΗΦΑΝΗ 1 ΣΤΠΟ ΠΡΟΩΟΝΣΨΝ ΕΚΘΕΣΙΚΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΠΑΡΑΓΨΓΗ ΜΕ ΜΕΗ ΣΙΜΗ 1/λ p 1 ΑΠΟΘΗΚΗ ΠΟΛΙΣΙΚΗ ΕΛΕΓΦΟΤ ΠΑΡΑΓΨΓΗ KANBAN ΜΕΓΙΣΟ ΑΠΟΘΕΜΑ Κ ΕΚΘΕΣΙΚΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΞΤ ΑΥΙΞΕΨΝ ΜΕ ΜΕΗ ΣΙΜΗ 1/λ a ΜΕΓΕΘΟ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑ 1 ΟΦΙ ΟΤΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗ

98 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2/3) KANBAN DETERIORATION FAILURES d στάδια φθοράς (deterioration stages) 0: good-as-new i: φθαρμένη αλλά λειτουργική μηχανή F: down Φρόνοι μεταξύ «βλαβών» εκθετικοί με μέση τιμή 1/λ f Φρόνοι επισκευής εκθετικοί με μέση τιμή 1/μ r

99 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3/3) KANBAN DETERIORATION FAILURES Η ΑΛΤΙΔΑ ΣΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΗ ΜΟΡΥΗ:

100 ΕΞΙΩΕΙ CHAPMAN - KOLMOGOROV Για κάθε κατάσταση ισχύει:

101 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

102 ΔΙΕΡΓΑΙΕ POISSON

103 Διεργασία απαρίθμησης Διακριτής κατάστασης συνεχούς χρόνου Μοναδικό γεγονός Α σ.δ. N t, όπου N t το πλήθος των εμφανίσεων του Α στο διάστημα 0,t t 0, N 0 N N 0 0 Nt1... Nt k t t Nt Nt, k 1,2,... 0 k1, k k k1

104

105 Διεργασία Poisson(1/3) Mία διεργασία απαρίθμησης με ιδιότητες: ε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, συμβαίνει το πολύ ένα γεγονός Οι τυχαίες μεταβλητές είναι αμοιβαίως ανεξάρτητες k 1,2,... PNt t n 1, t k t ονομάζεται διεργασία Poisson t Nt, t, Nt, t,..., N N, t k 1, t k t t... και 0 1 Η πιθανότητα k k εξαρτάται μόνο από το μήκος του διαστήματος, t, k1 t k s k1 t k

106 Διεργασία Poisson (2/3) Σο πλήθος των γεγονότων που συμβαίνουν σε κάθε διάστημα μήκους t ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λt: P N t s N( s) n e λt n λt, n! s, t 0 & n 0,1,2,... αναμενόμενη τιμή κατανομής Poisson: E N( t) t

107 Διεργασία Poisson (3/3) τ.μ. T n : ενδιάμεσος χρόνος μεταξύ n-1 και n γεγονότος ε μία διεργασία Poisson οι ενδιάμεσοι χρόνοι είναι ανεξάρτητοι και με κοινή κατανομή την εκθετική με παράμετρο λ: t t e P T n

108 Παράδειγμα ΚΕΠ Πελάτες φθάνουν σε ένα ΚΕΠ σύμφωνα με μια διεργασία Poisson (λ=4 πελάτες/ώρα) Σο ΚΕΠ ανοίγει στις 8:00 Ζητούμενα Η πιθανότητα να φθάσει 1 πελάτης ακριβώς έως τις 8:30 Η πιθανότητα να φθάσει 1 πελάτης ακριβώς έως τις 8:30 και 5 συνολικά έως τις 10:30

109 Λύση 30 λεπτά=0.5 ώρες, άρα: ! (0.5) 1 e 2e P N Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η: PN(0.5) 1, N(2.5) 5 PN(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4 PN(0.5) 1P N(2.5) N(0.5) e ! e 42 4! 0.015

110 Παράδειγμα Βενζινάδικο Πελάτες φθάνουν σε ένα βενζινάδικο σύμφωνα με μια διεργασία Poisson (λ=20 πελάτες/ώρα) Η ποσότητα βενζίνης που βάζει κάθε πελάτης ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(20,5) Σο βενζινάδικο έχει κέρδος 0.05 ευρώ/λίτρο Ζητούμενα Η πιθανότητα μεταξύ 2 διαδοχικών αφίξεων να περάσουν από 2 έως 4 λεπτά Σο αναμενόμενο κέρδος του βενζινάδικου σε διάστημα 12 ωρών

111 Λύση(1/2) 2 λεπτά=1/30 ώρες, 4 λεπτά=1/15 ώρες: P 1 30 T n 1 15 P T n 1 15 P T n e (1 e ) e e αν X n τα λίτρα βενζίνης που βάζει ο n-οστός πελάτης και Yt η συνολική ποσότητα βενζίνης που χορηγεί το πρατήριο σε διάστημα t

112 Λύση(2/2) ισχύει: Y( t) N n t 1 X n η αναμενόμενη χορηγούμενη ποσότητα βενζίνης είναι: Y t EX ENt 2020t 400 t E n το αναμενόμενο κέρδος του πρατηρίου σε 12 ώρες: ( 12) εσρώ E Y

113 EIΑΓΩΓΗ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΤΡΩΝ

114 Προσδιορισμός μοντέλου ουράς στοχαστικά μοντέλα διεργασιών άφιξης/εξυπηρέτησης δομικές παράμετροι μοντέλου πολιτικές λειτουργίας

115 Δομικές παράμετροι μέγιστη χωρητικότητα ουράς (capacity) πλήθος εξυπηρετητών

116 Πολιτικές λειτουργίας Πλήθος κλάσσεων πελατών Πολιτικές δρομολόγησης Πειθαρχία ουράς Πολιτικές αποδοχής πελατών

117 ημειογραφία A/B/m/K Τποθέσεις: 1 κλάσση πελατών, καμμία πολιτική αποδοχής πελατών, FCFS A: κατανομή χρόνων μεταξύ αφίξεων B: κατανομή χρόνων εξυπηρέτησης m: πλήθος εξυπηρετητών K: μέγιστη χωρητικότητα ουράς G: γενική κατανομή D: ντετερμινιστικοί χρόνοι Μ: εκθετικά κατανεμημένοι χρόνοι (markov)

118 Μέτρα λειτουργικότητας συστημάτων ουρών A k D k W k S k : χρόνος άφιξης πελάτη k : χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη k : χρόνος αναμονής πελάτη k : χρόνος παραμονής στο σύστημα πελάτη k E W ES E X, όπου X(t) τ.μ. (μήκος ουράς στο χρόνο t) αναμενόμενη περίοδος απασχόλησης εξυπηρετητή

119 Ουρά M/M/1/ Poisson αφίξεις με ρυθμό λ εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης με παράμετρο μ 1 εξυπηρετητής άπειρη χωρητικότητα ουράς πειθαρχία ουράς FCFS

120 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς Μ/Μ/1/ (1/2) αναμενόμενο πλήθος πελατών στην ουρά EX αναμενόμενο χρόνος παραμονής στο σύστημα E S αναμενόμενος χρόνος αναμονής στην ουρά 1 E W

121 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς Μ/Μ/1/ (2/2) πιθανότητα ύπαρξης τουλάχιστον n πελατών στην ουρά PX n n, 1 συνάρτηση κατανομής χρόνου αναμονής στην ουρά t t 1 e P W

122 Παράδειγμα Σράπεζα 1 ταμείο ανοικτά 10 ώρες ημερησίως δυνατότητα εξυπηρέτησης (κατά μέσο όρο) 10 πελάτες/ώρα 70 πελάτες/ημέρα κατά μέσο όρο εισέρχονται στην τράπεζα εκθετικοί ενδιάμεσοι χρόνοι/ χρόνοι εξυπηρέτησης

123 Ζητούμενα Μέσο μήκος ουράς Πιθανότητα ύπαρξης άνω των 2 πελατών στην ουρά Πιθανότητα παραμονής πελάτη στην ουρά πλέον των 20 λεπτών

124 Λύση σύστημα Μ/Μ/1/ με λ=7 (πελάτες/ώρα), μ=10 (πελάτες/ώρα), E P ( t X 2.33 πελάτες 3 3 X 2 P X t 1 P W t e P W P W 20min e 1 3 h) 1 10(10.7) 3 t 0.257,

125 Παράδειγμα Κυλικείο Αφίξεις 5 πελάτες/30 λεπτά Φρόνοι εξυπηρέτησης Εκθετικά κατανεμημένοι αναμενόμενος χρόνος εξυπηρέτησης 4.5 λεπτά Ζητούμενα α) Αναμενόμενος χρόνος αναμονής β) Πιθανότητα να περιμένουν τουλάχιστον 6 πελάτες στην ουρά γ) Πιθανότητα να είναι απασχολημένος ο εργαζόμενος

126 Λύση σύστημα Μ/Μ/1/ με λ=1/6 (πελάτες/λεπτό), μ=2/9 (πελάτες/λεπτό), α) E W λεπτά β) γ) P L P L P L 7

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ ΠΟΤ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΥΘΕΙ ΑΠΕΙΡΕ ΥΟΡΕ, ΚΑΣΨ ΑΠΟ ΣΙ ΙΔΙΕ ΤΝΘΗΚΕ, ΔΙΝΟΝΣΑ ΚΑΠΟΙΟ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑ ΣΟ ΣΕΛΟ ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΠΕΙΡΑΜΑΣΨΝ ΝΣΕΣΕΡΜΙΝΙΣΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΣΑ ΣΤΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός: ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:

Διαβάστε περισσότερα

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Αλυσίδες Markov 2 Παράδειγμα 1: παιχνίδι τύχης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Παράδειγμα 2: μηχανή Έστω μηχανή που παράγει ένα προϊόν με

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)

Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B) ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο 60 5 55 65 5*maximin (A) Π 50 75 70 45 45 Ε 56 30 30 50 30 Υ 40 30 35 55 30 *60 75 70 65 minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων: 1. Σφαιρικές & Λεπτομερείς Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 27/3/2019 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Η Ουρά Μ/Μ/1/N Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 22/3/2017 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Birth Death Processes

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 8/3/2017 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/4) (Επανάληψη) Ένταση φορτίου (traffic intensity)

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Ουρών Αναμονής Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 13/3/2019 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/3) Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή:

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων, Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Προσομοιώσεις, Άσκηση Προσομοίωσης Ουράς M/M/1/10 Βασίλης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 208-209 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Παραδόσεων Αθήνα 23 ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Ορισμός : Στοχαστική διαδικασία ή ανέλιξη είναι η διατεταγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή βασικών μοντέλων τηλεπικοινωνιακής

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων 2. Εξισώσεις Ισορροπίας 3. Προσομοιώσεις Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuig Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr 7/3/2018 1 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ POISSON Η τυχαία εμφάνιση παλμών περιγράφεται σαν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Διάλεξη 6: Εισαγωγή στην Ουρά M/G/1 Δρ Αθανάσιος Ν Νικολακόπουλος ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 18 Νοεμβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων (I) 1. Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 21/3/2018 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 10-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Διαστασιοποίηση Ασύρματου Δικτύου Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τηλεπικοινωνιακή κίνηση στα κυψελωτά συστήματα Βασικός στόχος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

DEPARTMENT OF STATISTICS

DEPARTMENT OF STATISTICS SCHOOL OF INFORMATION SCIENCES & TECHNOLOGY DEPARTMENT OF STATISTICS POSTGRADUATE PROGRAM Elements of Markovian Processes and Queueing Processes with Numerical Applications By Erold Ajdini A THESIS Submitted

Διαβάστε περισσότερα

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Ουράς Αναμονής M/G/1 Αρχές Ανάλυσης Ουράς M/G/1 Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov (Embedded Markov Chain) Τύποι Pollaczeck - Khinchin (P-K) για Ουρές M/G/1 Μέσες Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν σειρά, Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Κλειστά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Gordon- Newell

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Τομέας Οργάνωσης Παραγωγής & Βιομηχανικής Διοίκησης Σημειώσεις του μαθήματος: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Γιώργος Λυμπερόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΕΜΙΚΑ ΣΡΑΤΜΑΣΑ ΝΕΟΣΕΡΕ ΑΠΟΧΕΙ ΣΗΝ ΑΝΣΙΜΕΣΨΠΙΗ ΣΟΤ ΟΔΤΕΑ ΗΛ.ΓΚΙΚΑ ΟΡΘΟΠΑΙΔΙΚΟ ΦΕΙΡΟΤΡΓΟ Γ.Ν.ΛΙΒΑΔΕΙΑ

ΠΟΛΕΜΙΚΑ ΣΡΑΤΜΑΣΑ ΝΕΟΣΕΡΕ ΑΠΟΧΕΙ ΣΗΝ ΑΝΣΙΜΕΣΨΠΙΗ ΣΟΤ ΟΔΤΕΑ ΗΛ.ΓΚΙΚΑ ΟΡΘΟΠΑΙΔΙΚΟ ΦΕΙΡΟΤΡΓΟ Γ.Ν.ΛΙΒΑΔΕΙΑ ΠΟΛΕΜΙΚΑ ΣΡΑΤΜΑΣΑ ΝΕΟΣΕΡΕ ΑΠΟΧΕΙ ΣΗΝ ΑΝΣΙΜΕΣΨΠΙΗ ΣΟΤ ΟΔΤΕΑ ΗΛ.ΓΚΙΚΑ ΟΡΘΟΠΑΙΔΙΚΟ ΦΕΙΡΟΤΡΓΟ Γ.Ν.ΛΙΒΑΔΕΙΑ ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΠΟΛΕΜΙΚΨΝ ΣΡΑΤΜΑΣΨΝ 1 ΕΚ ΠΤΡΟΒΟΛΨΝ ΟΠΛΨΝ -ΜΑΚΡΤΚΑΝΑ -ΒΡΑΦΤΚΑΝΑ 2 ΕΞ ΕΚΡΗΚΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΜΨΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon Newell Αλγόριθμος Buzen Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/5/2018 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Μ = 2 Ουρές,

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα χρήσης ουρών Μ/Μ/c/K και αξιολόγησης συστημάτων αναμονής Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 5-6-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό.

Θέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 Απόδειξη Τύπου Little Ιδιότητα PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Α Α Π Σ Δ 11: Ε Σ Α M/G/1 Καθ Γιάννης Γαροφαλάκης ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Το σύστημα αναμονής M/G/1 I Θεωρούμε ένα σύστημα στο οποίο οι πελάτες φθάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2.

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2. (μονάδα παραγωγής ενέργειας) Έχουμε μια απομακρυσμένη μονάδα παραγωγής ενέργειας. Η ζήτηση σε ενέργεια καλύπτεται από διάφορες πηγές. Η ισχύς εξόδου της ανεμογεννήτριας εξαρτάται από την ταχύτητα ανέμου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 1 2 (Εισαγωγή Θεμελιώδεις σχέσεις) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1.

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστημάτων Πηροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών - Παραδείγματα Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 17-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1 Εργαστηριακή Άσκηση 2011-2012 Το σύστημα αναμονής M/G/1 Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγητής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Υποψ. Διδάκτορας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση των βασικών ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

P (M = 9) = e 9! =

P (M = 9) = e 9! = Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Θεωρήματος Jackson: (i) Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου (ii) Υπολογιστικά Μοντέλα Πολυεπεξεργασίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 3/5/2017 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Στην Ξένια και στην Μαίρη

Στην Ξένια και στην Μαίρη Στην Ξένια και στην Μαίρη Περιεχόμενα 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΛΙΝΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΛΙΝΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΛΙΝΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΑΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ)

Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ) Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ) Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Τέλεια δέσµη: όλες οι γραµµές της είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο. Ατελής δέσµη: όλες οι γραµµές της δεν είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν Σειρά - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 25/4/2018

Διαβάστε περισσότερα

II. Τυχαίες Μεταβλητές

II. Τυχαίες Μεταβλητές II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα