ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Τομέας Οργάνωσης Παραγωγής & Βιομηχανικής Διοίκησης Σημειώσεις του μαθήματος: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Γιώργος Λυμπερόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Βόλος, 7

2 Περιεχόμενα. ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Εξισώσεις Chama - Kolmogorov Ταξινόμηση των Καταστάσεων μιας Μαρκοβιανής Αλυσίδας Χρόνος Πρώτης Διάβασης....5 Μακροχρόνιες Ιδιότητες των Μαρκοβιανών Αλυσίδων Καταστάσεις Aπορρόφησης Μαρκοβιανές Αλυσίδες Συνεχούς Χρόνου.... ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΑΣ Πρότυπο Παράδειγμα Η Βασική Δομή των Προτύπων Ουράς Ο Ρόλος της Εκθετικής Κατανομής Η Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Πρότυπα Ουράς της Διαδικασίας Γεννήσεων-Θανάτων Πρότυπα Ουράς με μη Εκθετικές Κατανομές Ένα Πρότυπο Ουράς με Προτεραιότητα Δίκτυα Ουρών (δεν υπάρχει στο βιβλίο) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΑΣ Παραδείγματα Διαδικασία Λήψης Αποφάσεων Πρότυπα Αποφάσεων Υπολογισμός του Χρόνου Ταξιδιού... 54

3 . Μαρκοβιανές Αλυσίδες Τα προβλήματα που θα μας απασχολήσουν σε αυτό το κεφάλαιο αφορούν στην λήψη αποφάσεων κάτω από μεταβλητότητα η οποία προέρχεται από πηγές που δεν μπορούμε να ελέγξουμε (τυχαιότητα). Αντί να αντιμετωπίσουμε αυτή τη μεταβλητότητα ποιοτικά μπορούμε να την ενσωματώσουμε σε ένα στοχαστικό (πιθανολογικό) μαθηματικό πρότυπο και να την αντιμετωπίσουμε ποσοτικά. Το μαθηματικό αυτό πρότυπο βασίζεται στις λεγόμενες στοχαστικές διαδικασίες. Μία στοχαστική διαδικασία είναι μια αριθμημένη συλλογή τυχαίων μεταβλητών {Χ t } όπου ο δείκτης t διατρέχει ένα δεδομένο σύνολο Τ. Συχνά το Τ είναι το σύνολο των μη αρνητικών ακέραιων αριθμών και το X t αναπαριστάνει ένα μετρήσιμο χαρακτηριστικό στον χρόνο t. Για παράδειγμα, η στoχαστική διαδικασία X, X, X 3, μπορεί να αναπαριστάνει τη συλλογή των εβδομαδιαίων (μηνιαίων) επιπέδων αποθεμάτων για κάποιο προϊόν ή την συλλογή των εβδομαδιαίων (μηνιαίων) ζητήσεων γι' αυτό το προϊόν. Ιδιαίτερου ενδιαφέροντος γι' αυτό το μάθημα είναι οι στοχαστικές διαδικασίες με την εξής δομή: Σε διαφορετικά σημεία του χρόνου t που προσδιορίζονται με,,, το σύστημα βρίσκεται σε ακριβώς μια από ένα πεπερασμένο αριθμό αμοιβαία αποκλειστικών και εξαντλητικών καταστάσεων που προσδιορίζονται με,,,, Μ. Τα σημεία του χρόνου μπορεί να είναι κατανεμημένα σε ίσα διαστήματα ή τα διαδοχικά διαστήματά τους μπορεί να εξαρτώνται από την συνολική συμπεριφορά του φυσικού συστήματος στο οποίο η στοχαστική διαδικασία είναι εμπεδωμένη, π.χ. μπορεί να εξαρτώνται από το χρόνο ανάμεσα σε περιστάσεις κάποιου φαινομένου (π.χ. άφιξη μιας ζήτησης). Παράδειγμα: Πρότυπο Αποθεμάτων Σαν πρώτο παράδειγμα, έστω ένα μαγαζί φωτογραφικών ειδών που εμπορεύεται ένα συγκεκριμένο μοντέλο φωτογραφικής μηχανής το οποίο μπορεί να παραγγελθεί εβδομαδιαία. Έστω D, D, η ζήτηση για την φωτογραφική μηχανή την η, η, εβδομάδα. Τα D i είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με την ίδια γνωστή κατανομή. Έστω X, X, X, ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών αρχικά, και στο τέλος της ης, ης, εβδομάδας. Στο τέλος της εβδομάδας και αφού κλείσει για τους πελάτες, το μαγαζί παραγγέλνει έναν αριθμό φωτογραφικών μηχανών που υποθέτουμε ότι παραλαμβάνεται από το μαγαζί λίγο πριν ξανανοίξει στην αρχή της επόμενης εβδομάδας. Έστω Ο, Ο, η ποσότητα παραγγελίας (αριθμός φωτογραφικών μηχανών) στο τέλος της ης, ης, εβδομάδας. Το μαγαζί χρησιμοποιεί την εξής πολιτική παραγγελίας. Αν ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών είναι μικρότερος από ένα κατώτατο κατώφλι, s, στο τέλος της εβδομάδας, το μαγαζί παραγγέλνει μέχρις ένα ανώτατο κατώφλι, S, φωτογραφικές μηχανές (δηλαδή παραγγέλνει όσες μηχανές χρειάζονται για να συμπληρωθούν S φωτογραφικές μηχανές), όπου S s. Αλλιώς το μαγαζί δεν παραγγέλνει καθόλου. Υποθέτουμε ότι όταν η ζήτηση ξεπερνάει το απόθεμα, οι πωλήσεις χάνονται. Σύμφωνα με την παραπάνω πολιτική παραγγελίας (s, S), η ποσότητα παραγγελίας στο τέλος της εβδομάδας t, δίνεται από την παρακάτω σχέση: S Xt, αν Xt < s, Ot, αν X t s. Με αυτά τα δεδομένα, το {X t }, t,,, είναι μια στοχαστική διαδικασία με πιθανές καταστάσεις,,, S. Τα X t είναι καθαρά εξαρτημένα μεταξύ τους και μπορούν να υπολογισθούν επαναληπτικά από την παρακάτω σχέση: { } X max X + O D,. t+ t t t+ Αντικαθιστώντας το O t από την πιο πάνω σχέση, έχουμε: 3

4 { t+ } { } max ( S D ),, αν Xt < s, X t+ max ( X t Dt+ ),, αν Xt s. Τέλος, αν υποθέσουμε ότι s και S 3, τότε, η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή: X t+. Μαρκοβιανές Αλυσίδες { Dt+ } { } max (3 ),, αν Xt <, max ( Xt Dt+ ),, αν Xt. Για να μπορούμε να πάρουμε αναλυτικά αποτελέσματα χρειάζεται να κάνουμε κάποιες υποθέσεις σχετικά με την κοινή κατανομή των X, X, X, Μια υπόθεση που διευκολύνει την εξεύρεση αναλυτικής λύσης είναι ότι η στοχαστική διαδικασία είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα που έχει την λεγόμενη Μαρκοβιανή ιδιότητα. Μια στοχαστική διαδικασία {Χ t } έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα αν: P { X X k X k,, X k X i} P{ X X i} t + t t, t t+ t,, για t,,, και κάθε αλληλουχία i,, k, k,, k t-. Δηλαδή, η δεσμευμένη πιθανότητα κάθε μελλοντικής περίστασης της διαδικασίας, δεδομένης οποιασδήποτε περασμένης περίστασης και της παρούσας κατάστασης X t i, είναι ανεξάρτητη από την περασμένη περίσταση και εξαρτάται μόνο από την παρούσα κατάσταση της διαδικασίας. Οι δεσμευμένες πιθανότητες P{X t+ X t i} ονομάζονται πιθανότητες μετάβασης. Εάν για κάθε i και, P{X t+ X t i} P{X X i}, για όλα τα t,,,, τότε οι πιθανότητες μετάβασης (ενός βήματος) λέμε ότι είναι στάσιμες και συμβολίζονται με. Όταν λέμε στάσιμες πιθανότητες μετάβασης εννοούμε ότι οι πιθανότητες μετάβασης δεν αλλάζουν με το χρόνο. Γενικότερα, στάσιμες πιθανότητες μετάβασης έχουμε όταν για κάθε i, και (,,,...) ισχύει: P { X X i} P{ X X i} t t + για όλα τα t,,, Οι παραπάνω πιθανότητες μετάβασης συνήθως συμβολίζονται με ονομάζονται πιθανότητες μετάβασης βημάτων. Ειδικότερα σημειώνουμε ότι: (), αν i, P{ X X i} για,, αν i, (, για. ) () και Εφόσον τα () είναι πιθανότητες, πρέπει να ικανοποιούν τις εξής ιδιότητες: ( ), για όλα τα i και και,,, ( ), για όλα τα i και,,, Ένας βολικός τρόπος αναπαράστασης των πιθανοτήτων μετάβασης είναι με την μορφή πίνακα: 4

5 ή ισοδύναμα: Κατάσταση Μ ( ) ( ) () P,,,, Μ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P. ( ) ( ) Έχοντας υπόψη τα παραπάνω μπορούμε να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Μια στοχαστική διαδικασία {X t } (t,, ) λέμε ότι είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες:. Έναν πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων.. Την Μαρκοβιανή ιδιότητα. 3. Στάσιμες πιθανότητες μετάβασης. 4. Ένα σύνολο αρχικών πιθανοτήτων P{X i}, για όλα τα i. Επιστρέφοντας στο παράδειγμα των αποθεμάτων φωτογραφικών μηχανών με s και S 3, μπορούμε να δούμε ότι το {X t }, όπου X t είναι ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών σε απόθεμα στο τέλος της εβδομάδας t, είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με πιθανές καταστάσεις,,, 3. Τα στοιχεία του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης (ενός βήματος), 3 3 P, μπορούν να υπολογιστούν ως εξής. Για να υπολογισθεί το πρέπει να υπολογισθεί η πιθανότητα { } P X t X t. max (3 D ),. Δηλαδή αν X t, τότε πρέπει Αυτό γίνεται ως εξής. Αν X t-, τότε X t { t } η ζήτηση D t να είναι 3 ή περισσότερο. Συνεπώς, P{ Dt 3}. Ας υποθέσουμε ότι η λ ζήτηση D t έχει κατανομή Poisso με παράμετρο λ, δηλαδή P{ D } e λ /! e /!,368/!,,,, Τότε, το είναι η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisso με παράμετρο λ να πάρει την τιμή 3 ή περισσότερο και ισούται με: e e P D 3 P D < 3 P D k,8 k λ λ t t t k k k! k k! { } { } { }. Παρόμοια, P{ } {( D ),} που υπολογίζεται ως εξής. Αν X t-, τότε X t X t X t max t. Δηλαδή αν X t, τότε πρέπει η ζήτηση να είναι ή παραπάνω. Συνεπώς, λ e! λ P{ Dt } P{ Dt < } P{ Dt }, 63. Παρόμοια, P{ } {( D ),} που υπολογίζεται ως εξής. Αν X t-, τότε X t X t X t max t. Δηλαδή αν X t, τότε πρέπει η ζήτηση D t να είναι ακριβώς. Συνεπώς, 5 t

6 λ λ e P{ Dt }, 368.! Τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται με παρόμοιο τρόπο. Έτσι, έχουμε τελικά:,8,84,368,368,63,368 P.,64,368,368,8,84,368,368 Στην συνέχεια, παραθέτουμε τρία ακόμα παραδείγματα. Παράδειγμα: Πρότυπο της Τιμής μιας Μετοχής Στο τέλος της ημέρας καταγράφεται η τιμή μιας μετοχής. Αν η τιμή έχει ανέβει, η πιθανότητα να ανέβει αύριο είναι,7. Αν η τιμή έχει κατέβει, η πιθανότητα να ανέβει αύριο είναι μόνο,5. Το παραπάνω πρότυπο είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα όπου η κατάσταση αναπαριστάνει την άνοδο της μετοχής και η κατάσταση αναπαριστάνει την κάθοδο της μετοχής. Ο πίνακας μετάβασης είναι:, 7, 3 P., 5, 5 Παράδειγμα: Επέκταση Προτύπου της Τιμής μιας Μετοχής Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, στο τέλος της ημέρας καταγράφεται η τιμή μιας μετοχής. Έστω ότι η αύξηση ή μείωση της τιμής της μετοχής αύριο εξαρτάται από το αν αυξήθηκε ή μειώθηκε σήμερα και χθες. Συγκεκριμένα: Αν η τιμή αυξήθηκε χτες και σήμερα, θα αυξηθεί αύριο με πιθανότητα,9. Αν η τιμή μειώθηκε χτες και αυξήθηκε σήμερα, θα αυξηθεί αύριο με πιθανότητα,6. Αν η τιμή αυξήθηκε χτες και μειώθηκε σήμερα, θα αυξηθεί αύριο με πιθανότητα,5. Αν η τιμή μειώθηκε χτες και σήμερα, θα αυξηθεί αύριο με πιθανότητα,3. Αν η κατάσταση του συστήματος είναι η αύξηση της τιμής της μετοχής σε μια μέρα, το σύστημα δεν είναι πια μια Μαρκοβιανή αλυσίδα γιατί δεν έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα. Μπορούμε όμως να το μετατρέψουμε σε Μαρκοβιανή αλυσίδα ορίζοντας τις καταστάσεις ως εξής: Κατάσταση Περιγραφή Η μετοχή αυξήθηκε χτες και σήμερα. Η μετοχή μειώθηκε χτες και αυξήθηκε σήμερα. Η μετοχή αυξήθηκε χτες και μειώθηκε σήμερα. 3 Η μετοχή μειώθηκε χτες και σήμερα. Τώρα το σύστημα είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με 4 καταστάσεις και τον παρακάτω πίνακα μετάβασης:, 9,, 6, 4 P., 5, 5, 3, 7 Για παράδειγμα, η σειρά αντιστοιχεί στην κατάσταση που σημαίνει ότι η μετοχή μειώθηκε χτες αλλά αυξήθηκε σήμερα. Πιο συγκεκριμένα, το ο στοιχείο της σειράς είναι η 6

7 πιθανότητα η μετοχή να ανέβει αύριο όταν έχει ανέβει σήμερα, δεδομένου ότι η μετοχή ανέβηκε σήμερα αλλά έπεσε χτες, δηλαδή,6. Το 3 ο στοιχείο είναι η πιθανότητα η μετοχή να πέσει αύριο όταν έχει ανέβει σήμερα, δεδομένου ότι η μετοχή ανέβηκε σήμερα αλλά έπεσε χτες, δηλαδή,4. Τα άλλα δύο στοιχεία είναι γιατί αφορούν περιστάσεις που είναι αντιφατικές, συγκεκριμένα αφορούν περιστάσεις όπου η μετοχή έχει ανέβει σήμερα, δεδομένου ότι έπεσε σήμερα. Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει ότι οι Μαρκοβιανές αλυσίδες μπορούν να ενσωματώσουν οποιεσδήποτε πληροφορίες παρελθόντων χρόνων, όμως το κόστος είναι η σημαντική αύξηση του αριθμού των καταστάσεων του συστήματος. Δηλαδή, για να ενσωματωθούν Ν ιστορικές περίοδοι απαιτούνται Ν καταστάσεις για να μοντελοποιηθεί αυτή η εξάρτηση ως Μαρκοβιανή αλυσίδα. Παράδειγμα: Πρότυπο ενός Τυχερού Παιχνιδιού Έστω ότι ένας παίχτης ξεκινάει έχοντας χιλιάρικο και παίζει ένα τυχερό παιχνίδι αλλεπάλληλες φορές. Κάθε φορά που παίζει το παιχνίδι, κερδίζει χιλιάρικο με πιθανότητα και χάνει χιλιάρικο με πιθανότητα. Το παιχνίδι τελειώνει όταν ο παίκτης κερδίσει 3 χιλιάρικα ή χάσει όλα του τα χρήματα. Αυτό το πρότυπο είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με τις καταστάσεις που αντιστοιχούν στην περιουσία του παίχτη δηλαδή,,, 3 χιλιάρικα, και τον παρακάτω πίνακα μετάβασης:. Εξισώσεις Chama - Kolmogorov P. Μια μέθοδος υπολογισμού των πιθανοτήτων μετάβασης βημάτων είναι να χρησιμοποιήσουμε τις λεγόμενες εξισώσεις Chama Kolmogorov: () k ( υ ) ( υ ) ik k για όλα τα i,, και υ. Το γινόμενο είναι η δεσμευμένη πιθανότητα ότι ξεκινώντας από την ( υ ) ( υ ) ik k κατάσταση i, η διαδικασία πηγαίνει στην κατάσταση k μετά από υ βήματα και μετά στην κατάσταση σε υ βήματα. Αθροίζοντας αυτές τις δεσεμευμένες πιθανότητες για όλες τις ( ) ενδιάμεσες καταστάσεις k δίνει την πιθανότητα. Η ειδική περίπτωση υ και υ - οδηγεί αντίστοιχα στις εκφράσεις: ( ) k ik ( ) k, για όλα τα i, και. ( ) k ( ) ik Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι οι πιθανότητες μετάβασης βημάτων μπορούν να υπολογιστούν επαναληπτικά από τις πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος. Για οι υπολογισμοί αυτοί είναι: k, () k ik k, για όλα τα i,. 7

8 Τα () είναι στοιχεία του πίνακα () P. Τα στοιχεία αυτά μπορούν να υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος με τον εαυτό του, δηλαδή: ( ) P P P Γενικότερα ο πίνακας των πιθανοτήτων μετάβασης βημάτων δίνεται από την έκφραση: ( ) P P P P P P P P P. Επιστρέφοντας στο παράδειγμα των αποθεμάτων, ο πίνακας των πιθανοτήτων μετάβασης βημάτων, είναι ο εξής: P () P,8,8,368,8,368,8 P.,49,368,83,35,368,49,86,5,39,86,3,33,33,3,65,33.,97,65 Ο παραπάνω πίνακας μας λεει ότι δεδομένου ότι υπάρχει φωτογραφική μηχανή στο μαγαζί στο τέλος μιας εβδομάδας, η πιθανότητα ότι δεν θα υπάρχουν φωτογραφικές μηχανές μετά () από εβδομάδες είναι, 83. Επίσης, δεδομένου ότι υπάρχουν φωτογραφικές μηχανές στο μαγαζί στο τέλος μιας εβδομάδας, η πιθανότητα ότι θα υπάρχουν 3 () φωτογραφικές μηχανές μετά από εβδομάδες είναι, 97, κοκ. Σημειώθηκε ότι οι πιθανότητες μετάβασης ενός ή γενικότερα βημάτων είναι εξ ορισμού δεσμευμένες πιθανότητες ή πιθανότητες υπό συνθήκη ή υπό όρους ( ) P X X i. Αν επιθυμούμε να γνωρίζουμε την άνευ όρων πιθανότητα ( { }) { X } P, πρέπει να καθορίσουμε την κατανομή πιθανότητας της αρχικής κατάστασης του συστήματος. Έστω Q X ( ) αυτή η κατανομή, όπου Τότε συνεπάγεται ότι: i { X i} 3 Q ( i x ) P, για i,,,. ( ) ( ) ( ) { X } Q ) + Q () + Q ( P +. X ( X X ) Στο παράδειγμα των αποθεμάτων, ας υποθέσουμε ότι αρχικά υπάρχουν 3 μονάδες σε απόθεμα, δηλαδή Χ 3. Αυτό σημαίνει ότι Q X (3) και Q ( X ) Q () () X Q X. Συνεπώς, (η άνευ όρων) πιθανότητα να υπάρχουν 3 φωτογραφικές μηχανές σε απόθεμα μετά από εβδομάδες αφ ότου ξεκινήσει το σύστημα είναι: () { X 3} (), 65 P. 33 Αν άντ αυτού είχαμε υποθέσει ότι Q X ( i) για i,,, 3, τότε θα είχαμε: 4 P 4 4 { X 3} (,65) + (,33) + (,97) + (,65), 65 Το ότι το αποτέλεσμα είναι το ίδιο και για τις δυο αρχικές κατανομές είναι καθαρά συμπτωματικό

9 .3 Ταξινόμηση των Καταστάσεων μιας Μαρκοβιανής Αλυσίδας ( ) Μια κατάσταση λέμε ότι είναι προσβάσιμη από την κατάσταση i, αν > για κάποιο. () Στο παράδειγμα των αποθεμάτων, > για όλα τα i,, έτσι κάθε κατάσταση είναι προσβάσιμη από κάθε άλλη κατάσταση. Στο παράδειγμα με τον τζόγο η κατάσταση δεν είναι προσβάσιμη από την κατάσταση 3 (μόλις ο παίκτης φτάσει στην κατάσταση 3 δεν φεύγει ποτέ από αυτή την ( ) κατάσταση). Αυτό φαίνεται και από τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης βημάτων, P, ( ) * * * * P, για όλα τα, * * * * όπου το σύμβολο * αναπαριστάνει μη αρνητικούς αριθμούς. Αν η κατάσταση είναι προσβάσιμη από την κατάσταση i και επιπλέον η κατάσταση i είναι προσβάσιμη από την κατάσταση, τότε οι καταστάσεις i και λέμε ότι επικοινωνούν. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων όλες οι καταστάσεις επικοινωνούν. Στο παράδειγμα του τζόγου οι καταστάσεις και 3 δεν επικοινωνούν. Γενικά ισχύουν οι εξής ιδιότητες. Κάθε κατάσταση επικοινωνεί με τον εαυτό της () (επειδή P{ X i X i} ). Αν η κατάσταση i επικοινωνεί με την κατάσταση, τότε η κατάσταση επικοινωνεί με την κατάσταση i. Αν η κατάσταση i επικοινωνεί με την κατάσταση και η κατάσταση επικοινωνεί με την κατάσταση k, τότε και η κατάσταση i επικοινωνεί με την κατάσταση k. Ως αποτέλεσμα των τριών παραπάνω ιδιοτήτων, ο χώρος των καταστάσεων μπορεί να χωριστεί σε αμοιβαία αποκλειόμενες κλάσεις καταστάσεων, όπου καταστάσεις που επικοινωνούν ανήκουν στην ίδια κλάση. Αν υπάρχει μόνο μια κλάση, δηλαδή, αν όλες οι καταστάσεις επικοινωνούν, τότε η Μαρκοβιανή αλυσίδα λέγεται ανάγωγη ή αδιαχώριστη. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι ανάγωγη. Στο πρώτο παράδειγμα με την μετοχή η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι ανάγωγη. Στο παράδειγμα του τζόγου υπάρχουν 3 κλάσεις καταστάσεων. Η κατάσταση ανήκει σε μια κλάση. Η κατάσταση 3 ανήκει σε μια άλλη κλάση. Οι καταστάσεις και ανήκουν σε άλλη κλάση. Έστω f ii η πιθανότητα η διαδικασία να επιστρέψει κάποτε στην κατάσταση i, δεδομένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i. Η κατάσταση i ονομάζεται επαναληπτική, αν f ii και μεταβατική, αν f ii <. Ειδική περίπτωση μιας επαναληπτικής κατάστασης είναι μια απορροφητική κατάσταση. Μια κατάσταση i λέγεται απορροφητική αν η πιθανότητα μετάβασης (ενός βήματος) ii ισούται με. Ο προσδιορισμός του αν μια κατάσταση είναι επαναληπτική ή μεταβατική εξετάζοντας την τιμή του f ii δεν είναι εύκολος γιατί το f ii συχνά δεν μπορεί να υπολογιστεί εύκολα. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων, αν και όλες οι καταστάσεις είναι επαναληπτικές (όπως θα δειχθεί αργότερα), δεν είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι f ii για όλα τα i. Στο παράδειγμα του τζόγου οι καταστάσεις και 3 είναι απορροφητικές καταστάσεις (κάθε μια ανήκει σε διαφορετική κλάση) και άρα είναι και επαναληπτικές. Έτσι, f f 33. 9

10 Όμως οι καταστάσεις και είναι μεταβατικές και δεν είναι εύκολο να δειχθεί ότι τα f και f είναι μικρότερα του. Αν και ο προσδιορισμός της ίδιας της τιμής του f ii είναι δύσκολος, είναι δυνατό να προσδιοριστούν μερικές ιδιότητες του f ii που μπορεί να είναι χρήσιμες για τον προσδιορισμό της τιμής του. Τέτοιες ιδιότητες είναι οι παρακάτω. Αν μια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι στην κατάσταση i και η κατάσταση i είναι επαναληπτική, η πιθανότητα ότι η διαδικασία θα επιστρέψει σε αυτή την κατάσταση είναι (f ii ). Αφού η διαδικασία είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα αυτό σημαίνει ότι η διαδικασία θα ξεκινάει ξανά από την κατάσταση i και με πιθανότητα θα επιστρέφει ξανά στην κατάσταση αυτή, κοκ. Με άλλα λόγια, η διαδικασία θα επισκεφθεί την κατάσταση i άπειρες φορές. Συνεπώς, μια επαναληπτική κατάσταση έχει την ιδιότητα ότι ο προσδοκώμενος αριθμός των χρονικών περιόδων όπου η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση i είναι άπειρος. Αν μια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι στην κατάσταση i και η κατάσταση i είναι μεταβατική, η πιθανότητα ότι η διαδικασία θα επιστρέψει σε αυτή την κατάσταση είναι μικρότερη από (f ii < ) και η πιθανότητα ότι δεν θα επιστρέψει σ' αυτή την κατάσταση είναι μεγαλύτερη από το ( f ii > ). Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ο προσδοκώμενος αριθμός των χρονικών περιόδων όπου η διαδικασία θα βρίσκεται στην κατάσταση i είναι πεπερασμένος και ίσος με. f ii Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι η κατάσταση i είναι επαναληπτική αν και μόνο αν, ο προσδοκώμενος αριθμός των χρονικών περιόδων που η διαδικασία είναι στην κατάσταση i, δεδομένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i, είναι άπειρος. Για να υπολογισθεί ο προσδοκώμενος αριθμός των χρονικών περιόδων όπου η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση i, δεδομένου ότι X i, ορίζουμε την παρακάτω μεταβλητή: B,, αν X αν X Η ποσότητα B X i αναπαριστάνει τον αριθμό των περιόδων όπου η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση i, δεδομένου ότι X i. Έτσι, η προσδοκώμενη τιμή του είναι: E( B X i) i, i. E( B P i) { X i X i} Από τα παραπάνω προκύπτεί ότι μια κατάσταση i είναι επαναληπτική αν και μόνο αν: ( ). ii Από το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να δειχθεί ότι η επάνοδος (το ότι μία κατάσταση είναι επαναληπτική) είναι μια ιδιότητα που ισχύει για ολόκληρες κλάσεις. Δηλαδή όλες οι καταστάσεις σε μια κλάση είναι είτε επαναληπτικές είτε μεταβατικές. Επίσης σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων δεν μπορεί να είναι μεταβατικές όλες οι καταστάσεις. Συνεπώς όλες οι καταστάσεις σε μια ανάγωγη Μαρκοβιανή ( ) ii. X

11 αλυσίδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων είναι επαναληπτικές. Πράγματι, μπορεί κανείς να αναγνωρίσει μια ανάγωγη Μαρκοβιανή αλυσίδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων δείχνοντας ότι όλες οι καταστάσεις της διαδικασίας επικοινωνούν. Έχει μάλιστα ήδη σημειωθεί ότι μια ικανή συνθήκη ώστε όλες οι καταστάσεις να είναι προσβάσιμες (και άρα να επικοινωνούν μεταξύ τους) είναι να υπάρχει μια τιμή του, ανεξάρτητη από τα i και, για ( ) την οποία >, για όλα τα i και. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων όλες οι καταστάσεις είναι επαναληπτικές αφού () >, για όλα τα i και. Στο πρώτο παράδειγμα με την μετοχή, όλες οι καταστάσεις είναι επαναληπτικές αφού >, για όλα τα i και. Στο δεύτερο παράδειγμα με την μετοχή, όλες οι καταστάσεις είναι επαναληπτικές ( ) αφού >, για όλα τα i και. Ας δούμε ένα νέο παράδειγμα. Έστω μια Μαρκοβιανή διαδικασία με τον παρακάτω πίνακα μετάβασης: / 4 3/ 4 / / P. / 3 / 3 Είναι εμφανές ότι η κατάσταση είναι απορροφητική (και άρα επαναληπτική), οι καταστάσεις 3 και 4 είναι μεταβατικές ενώ οι καταστάσεις και είναι επαναληπτικές. Για να δεχθεί ότι οι καταστάσεις και είναι επαναληπτικές πρέπει να δεχθεί ότι f και f, πράγμα που είναι δύσκολο. Εναλλακτικά, εξετάζουμε τον πίνακα μετάβασης βημάτων ο οποίος έχει την παρακάτω μορφή: * * * * () P, * * * * όπου το * αναπαριστάνει θετικούς αριθμούς. Συνεπάγεται ότι αν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση, θα επιστρέψει στην κατάσταση μετά από μερικά βήματα. Το ίδιο ισχύει για την κατάσταση. Σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα η περίοδος της κατάστασης i ορίζεται ως ο ακέραιος t (t ( ) > ) ο οποίος είναι τέτοιος ώστε ii για όλες τις τιμές του που είναι διάφορες των t, t, 3t, και το t είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος με αυτή την ιδιότητα. Στο παράδειγμα με τον τζόγο, η διαδικασία είναι δυνατό, ξεκινώντας από την κατάσταση, να επιστρέψει στην κατάσταση μόνο στους χρόνους, 4, και άρα η περίοδος της κατάστασης είναι. Αν υπάρχουν δύο συνεχόμενοι αριθμοί s και (s + ) τέτοιοι ώστε η διαδικασία να μπορεί να βρίσκεται στην κατάσταση i στους χρόνους s και (s + ), η κατάσταση έχει περίοδο και ονομάζεται απεριοδική κατάσταση. Η περιοδικότητα είναι ιδιότητα που ισχύει για

12 ολόκληρες κλάσεις καταστάσεων. Έτσι, αν μια κατάσταση i σε μια κλάση έχει περίοδο t, τότε όλες οι καταστάσεις σε αυτή την κλάση έχουν περίοδο t. Στο παράδειγμα με τον τζόγο, η κατάσταση έχει κι αυτή περίοδο. Μια επαναληπτική κατάσταση i ονομάζεται θετικά επαναληπτική αν, ξεκινώντας από την κατάσταση i, ο προσδοκώμενος χρόνος για να επανέλθει η διαδικασία στην κατάσταση i είναι πεπερασμένος. Αντίστοιχα, μια επαναληπτική κατάσταση i ονομάζεται μηδενική επαναληπτική αν, ξεκινώντας από την κατάσταση i, ο προσδοκώμενος χρόνος για να επανέλθει η διαδικασία στην κατάσταση i είναι άπειρος. Μπορεί να δειχθεί ότι για μια Μαρκοβιανή διαδικασία με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων όλες οι επαναληπτικές καταστάσεις είναι θετικά επαναληπτικές καταστάσεις. Οι θετικά επαναληπτικές καταστάσεις που είναι απεριοδικές ονομάζονται εργοδικές..4 Χρόνος Πρώτης Διάβασης Ο χρόνος πρώτης διάβασης πηγαίνοντας από την κατάσταση i στην κατάσταση είναι ο αριθμός των μεταβάσεων της διαδικασίας πηγαίνοντας από την κατάσταση i στην κατάσταση για πρώτη φορά. Όταν i τότε ο χρόνος πρώτης διάβασης είναι ο αριθμός των μεταβάσεων μέχρις ότου η διαδικασία επιστρέψει στην αρχική κατάσταση i. Σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος πρώτης διάβασης ονομάζεται χρόνος επανόδου για την κατάσταση i. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων υποθέσαμε ότι X 3. Έστω ότι η διαδικασία του αποθέματος εξελίσσεται ως εξής για τις επόμενες 5 εβδομάδες: X, X, X 3, X 4 3, X 5. Σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος πρώτης διάβασης πηγαίνοντας από την κατάσταση 3 στην κατάσταση είναι, ο χρόνος πρώτης διάβασης από την κατάσταση 3 στην κατάσταση είναι 3 και ο χρόνος επανόδου για την κατάσταση 3 είναι 4. Γενικά, οι χρόνοι πρώτης διάβασης είναι τυχαίες μεταβλητές με κατανομές πιθανότητας που εξαρτώνται από τις πιθανότητες μετάβασης της διαδικασίας. () Έστω f η πιθανότητα ο χρόνος πρώτης διάβασης από την κατάσταση i στην κατάσταση να ισούται με, δηλαδή, {,,,,, } f P X X k X i ( ) k Μπορεί να δειχθεί ότι οι πιθανότητες σχέσεις: f f f () () ( ) () () ( ) f f () () ( ) () f ικανοποιούν τις παρακάτω επαναληπτικές f () ( ) Στο παράδειγμα των αποθεμάτων η κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης διάβασης από την κατάσταση 3 στην κατάσταση υπολογίζεται ως εξής: f f () 3 () 3 Για δεδομένα i και, τα,8 f ( i) (,49) (,8)(,8),43 () f είναι μη-αρνητικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε:.

13 ( ) f. Ας συμβολίσουμε το παραπάνω άθροισμα με f, δηλαδή, f f. Το f εκφράζει την πιθανότητα η Μαρκοβιανή αλυσίδα να μεταβεί κάποτε στην κατάσταση, έχοντας ξεκινήσει από την κατάσταση i. Σημειώστε ότι το f ii είναι η πιθανότητα η διαδικασία να επιστρέψει κάποτε στην κατάσταση i, δεδομένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i, που αναφέρθηκε στην ενότητα.3. Δυστυχώς, το f μπορεί να είναι αυστηρά μικρότερο από, που σημαίνει ότι μια διαδικασία που αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση i, μπορεί να μην φτάσει ποτέ στην κατάσταση. Όταν το άθροισμα ισούται με, τότε το (για,, ) μπορεί να θεωρηθεί ως η κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής χρόνος πρώτης διάβασης. () Αν και ο υπολογισμός του f για όλα τα μπορεί να είναι δύσκολος, ο υπολογισμός του προσδοκώμενου χρόνου πρώτης διάβασης από την κατάσταση i στην κατάσταση είναι σχετικά απλός. Έστω μ αυτή η προσδοκώμενη τιμή, που ορίζεται από τις εκφράσεις: ( ) f () μ, f ( ), αν αν f f ( ) ( ) <,. Οποτεδήποτε f ( ), τότε τα μ ικανοποιούν την εξίσωση: μ + ( + μ ) + + μ ik k ik ik k k k k + μ. k ik k Όταν i, το μ ii ονομάζεται προσδοκώμενος χρόνος επανόδου. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων ο προσδοκώμενος χρόνος πρώτης διάβασης μ 3 μπορεί να υπολογισθεί ως εξής (εφόσον όλες οι καταστάσεις είναι επαναληπτικές): ή μ μ μ 3 μ μ μ μ μ μ +,84μ +,368μ +,368μ μ μ μ +,368μ +,368μ + + +, μ, 3 μ, 3 μ, 3 +,368μ, Η ταυτόχρονη λύση του παραπάνω συστήματος εξισώσεων είναι: μ,58, μ,5, μ 3 3,5. Συνεπώς ο προσδοκώμενος χρόνος μέχρις ότου εξαντληθούν οι φωτογραφικές μηχανές είναι 3,5 εβδομάδες. 3 3

14 .5 Μακροχρόνιες Ιδιότητες των Μαρκοβιανών Αλυσίδων Στην ενότητα.4 επικεντρώσαμε την προσοχή μας στην ανάλυση μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας σε κατάσταση μετάβασης, δηλαδή όταν ο χρονικός ορίζοντας που εξετάζουμε την Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι αρκετά μικρός ούτως ώστε η πιθανότητα η διαδικασία να βρίσκεται στην μία ή στην άλλη κατάσταση να εξαρτάται από την αρχική κατάσταση. Σε αυτήν την ενότητα θα εστιάσουμε την προσοχή στην ανάλυση μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας σε μόνιμη κατάσταση, όπου ο χρονικός ορίζοντας που εξετάζουμε την Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι αρκετά μεγάλος ούτως ώστε η πιθανότητα η διαδικασία να βρίσκεται στην μία ή στην άλλη κατάσταση να μην εξαρτάται από την αρχική κατάσταση. Πιθανότητες Μόνιμης Κατάστασης Στην σελίδα 8 υπολογίστηκε ο πίνακας μετάβασης βημάτων για το παράδειγμα των αποθεμάτων. Ας εξετάσουμε ακόμα τους πίνακες μετάβασης 4 βημάτων και 8 βημάτων.,89,86,6,64 (4) 4 () (),8,85,68,66 P P P P,,84,83,63,7,89,86,6,64,86,85,64,66 (8) 8 (4) (4),86,85,64,66 P P P P.,86,85,64,66,86,85,64,66 Παρατηρούμε το αξιοσημείωτο γεγονός ότι κάθε μία από τις 4 σειρές του P (8) έχουν ίδια ακριβώς στοιχεία. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα η διαδικασία να βρίσκεται στην κατάσταση μετά από 8 εβδομάδες φαίνεται να είναι ανεξάρτητη από την αρχική κατάσταση του αποθέματος. Με άλλα λόγια, φαίνεται ότι υπάρχει μια οριακή πιθανότητα ότι η διαδικασία θα βρίσκεται στην κατάσταση μετά από ένα μεγάλο αριθμό μεταβάσεων και αυτή η πιθανότητα είναι ανεξάρτητη από την αρχική κατάσταση. Ακολουθεί ένα σημαντικό αποτέλεσμα. Για μια ανάγωγη εργοδική (θετικά επαναληπτική και εργοδική) Μαρκοβιανή αλυσίδα ( ) μπορεί να δειχθεί ότι το όριο lim υπάρχει και είναι ανεξάρτητο του i. Μάλιστα ισχύει lim ( ) π,,,,,, όπου τα π ικανοποιούν μοναδικά τις παρακάτω εξισώσεις μόνιμης κατάστασης: π >,,,,,, π π,,,,,, k k k π. Η δεύτερη από τις τρεις παραπάνω σχέσεις προκύπτει από τους ορισμούς, αφού π ( ) ( ) ( ) lim lim ik k lim ik k πkk k k k. 4

15 Τα π ονομάζονται πιθανότητες μόνιμης κατάστασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας και ισούνται με το αντίστροφο του προσδοκώμενου χρόνου επανόδου, δηλαδή, π, για,,,, Μ. μ Ο όρος πιθανότητα μόνιμης κατάστασης σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρεθεί η διαδικασία σε μια συγκεκριμένη κατάσταση, ας πούμε την, μετά από ένα μεγάλο αριθμό μεταβάσεων τείνει στην τιμή π ανεξάρτητα από την αρχική κατανομή πιθανότητας για όλες τις καταστάσεις. Είναι σημαντικό να τονισθεί ότι η πιθανότητα μόνιμης κατάστασης δεν υπονοεί ότι η διαδικασία εγκαθίσταται σε μια κατάσταση. Αντίθετα, η διαδικασία συνεχίζει να μεταβαίνει από τη μια κατάσταση στην άλλη, και σε κάθε βήμα η πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση i στην κατάσταση εξακολουθεί να είναι. Τα π μπορούν να ερμηνευτούν και ως στάσιμες πιθανότητες (που δεν πρέπει να συγχέονται με τις στάσιμες πιθανότητες μετάβασης). Αν η αρχική απόλυτη πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση δίνεται από το π (δηλαδή, P{X } π ) για όλα τα, τότε η απόλυτη πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση στον χρόνο,,, 3, δίνεται από το π επίσης (δηλαδή P{X } π ). Ας σημειωθεί ότι οι εξισώσεις μόνιμης κατάστασης αποτελούνται από (Μ + ) εξισώσεις με (Μ + ) αγνώστους. Επειδή το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση, τουλάχιστον μια εξίσωση πρέπει να είναι περιττή (γραμμικά εξαρτημένη από άλλες) και άρα μπορεί να διαγραφεί. Αυτή δεν μπορεί να είναι η εξίσωση π, γιατί τότε η λύση π, για όλα τα, θα ικανοποιούσε τις άλλες (Μ + ) εξισώσεις. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων οι εξισώσεις της μόνιμης κατάστασης είναι: π + π + π π 3 3 π + π + π + π π 3 3 π + π + π + π π 3 3 π + 3 π 3 + π 3 + π 3 π 3 33 π + π + π + π + π 3. Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές στις παραπάνω εξισώσεις και λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων, λαμβάνουμε τις ταυτόχρονες λύσεις: π,85, π,85, π,64, π 3,66, που είναι τα αποτελέσματα που εμφανίζονται στον πίνακα προσδοκώμενοι χρόνοι επανόδου είναι: ( 8 ) P. Οι αντίστοιχοι μ 3,5, μ 3, 5, μ 3, 79, μ 33 6,. π π π π Άλλα σημαντικά αποτελέσματα σχετικά με τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης είναι τα παρακάτω. 3 5

16 Αν οι i και είναι επαναληπτικές καταστάσεις που ανήκουν σε διαφορετικές κλάσεις, ( ) τότε για όλα τα. Παρόμοια, αν η κατάσταση είναι μεταβατική, τότε lim ( ) για όλα τα i. Το παραπάνω αποτέλεσμα υποδηλώνει ότι η πιθανότητα να βρεθεί η διαδικασία σε μια μεταβατική κατάσταση μετά από ένα μεγάλο αριθμό μεταβάσεων τείνει στο μηδέν. Προσδοκώμενο Μέσο Κόστος ανά Μονάδα Χρόνου Πιο πάνω ασχοληθήκαμε με Μαρκοβιανές αλυσίδες των οποίων οι καταστάσεις ήταν εργοδικές (θετικά επαναληπτικές και απεριοδικές). Αν χαλαρώσουμε την απαίτηση ότι οι ( ) καταστάσεις πρέπει να είναι απεριοδικές, τότε το όριο lim μπορεί να μην υπάρχει. Για παράδειγμα, έστω ο πίνακας μετάβασης δύο καταστάσεων: P. Αν η διαδικασία ξεκινήσει στην κατάσταση στον χρόνο, τότε θα βρίσκεται στην κατάσταση στους χρόνους, 4, 6, και στην κατάσταση στους χρόνους, 3, 5, ( ) ( ) Συνεπώς, αν το είναι ζυγός και, αν το είναι μονός αριθμός και το όριο ( ) lim δεν υπάρχει. Παρόλα αυτά το παρακάτω όριο πάντα υπάρχει: ( k ) lim. k Για μια ανάγωγη Μαρκοβιανή αλυσίδα με θετικά επαναληπτικές καταστάσεις, π.χ. μια αλυσίδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων, τότε k ( ) lim π, k όπου τα π ικανοποιούν τις εξισώσεις μόνιμης κατάστασης που αναφέρθηκαν στη σελίδα 4. Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι σημαντικό για τον υπολογισμό του μακροχρόνιου μέσου κόστους ανά μονάδα χρόνου που σχετίζεται με μια Μαρκοβιανή αλυσίδα. Ας υποθέσουμε ότι ένα κόστος (ή άλλη συνάρτηση ποινής) C( X t ) προκαλείται όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση X t στο χρόνο t, για t,,,... Να σημειωθεί ότι το C( X t ) είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές C(), C(),..., C() και η συνάρτηση C( ) είναι ανεξάρτητη του t. To προσδοκώμενο μέσο κόστος που δημιουργείται για τις πρώτες περιόδους δίνεται από την έκφραση: Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα E t C( X t ). k ( ) lim π, k είναι εύκολο να δειχτεί ότι το (μακροχρόνιο) προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου δίνεται από το 6

17 lim E C( X t ) π C( ). t Στο παράδειγμα των αποθεμάτων, ας υποθέσουμε ότι το μαγαζί φωτογραφικών μηχανών βρίσκει ότι υπάρχει το εξής κόστος για κάθε φωτογραφική μηχανή που έχει στο απόθεμά του: Αν Χ t, τότε C(). Αν Χ t, τότε C(). Αν Χ t, τότε C() 8. Αν Χ t 3, τότε C(3) 8. Τότε το μακροχρόνιο προσδοκώμενο μέσο κόστος της διατήρησης αποθέματος ανά εβδομάδα μπορεί να υπολογισθεί από την παραπάνω εξίσωση ως εξής: lim E C( X t ) (,85) + (,85) + 8(,64) + 8(,66) 5,67. t Ας σημειωθεί ότι ένα εναλλακτικό, από το (μακροχρόνιο) προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου, μέτρο απόδοσης του συστήματος είναι το (μακροχρόνιο) πραγματικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου. Μπορεί να δειχτεί ότι αυτό το τελευταίο δίνεται από την εξής έκφραση: lim C( X t ) π C( ), t για σχεδόν όλες τις διαδρομές της διαδικασίας. Έτσι και τα δύο μέτρα οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα. Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να ερμηνευτούν τα π. Έστω:, αν Χ k, C( X k ), αν Χ k. Τότε, τ (μακροχρόνιο) προσδοκώμενο ποσοστό των φορών που το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση δίνεται από το: lim E t C( X t ) lim {Ε[% των φορών που το σύστημα είναι στην κατάσταση ]} π. Παρόμοια, το π μπορεί να ερμηνευτεί ως το (μακροχρόνιο) πραγματικό ποσοστό των φορών που το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση. Προσδοκώμενο Μέσο Κόστος ανά Μονάδα Χρόνου για Πολύπλοκες Συναρτήσεις Κόστους Πρωτύτερα, υποθέσαμε ότι η συνάρτηση κόστους εξαρτάται αποκλειστικά από την κατάσταση της διαδικασίας στο χρόνο t, X t. Σε πολλά προβλήματα όμως το κόστος μπορεί να εξαρτάται και από κάποια ή κάποιες άλλες τυχαίες μεταβλητές εκτός από την κατάσταση της διαδικασίας. Στο παράδειγμα των αποθεμάτων, έστω ότι τα κόστη του συστήματος είναι το κόστος παραγγελίας και το κόστος-ποινή για ζητήσεις που δεν ικανοποιούνται (τα κόστη αποθήκευσης αγνοούνται). Υποθέτουμε ότι ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών που παραγγέλνονται εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος (αριθμός φωτογραφικών μηχανών σε απόθεμα). Ακόμα, υποθέτουμε ότι το κόστος των ανικανοποίητων ζητήσεων εξαρτάται από την εβδομαδιαία ζήτηση και από την κατάσταση του συστήματος στην αρχή της εβδομάδας. Τότε, το κόστος του συστήματος στην περίοδο t μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση του X t- και του D t, δηλαδή C(X t-, D t ). Ας σημειωθεί ότι οι ζητήσεις D t, D t+, κατά τη διάρκεια συνεχόμενων περιόδων είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με την ίδια κατανομή. 7

18 Το Χ t- (απόθεμα στο τέλος της περιόδου t-) δίνεται από την επαναληπτική σχέση στη σελίδα 3. Έτσι, τα (Χ, Χ, Χ,, Χ t- ) και D t είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους αφού τα Χ, Χ, Χ,, Χ t- είναι συναρτήσεις μόνο των Χ, D,, D t- που είναι ανεξάρτητα από το D t. Κάτω από αυτές τις συνθήκες μπορεί να δειχθεί ότι το (μακροχρόνιο ) προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου δίνεται από το όπου lim E ( ) C X t, Dt k( ) π, t [ (, D )] k ( ) E C t και η τελευταία προσδοκώμενη τιμή λαμβάνεται ως προς την κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής D t. Παρόμοια, το (μακροχρόνιο) πραγματικό κόστος ανά μονάδα χρόνου δίνεται από το lim C( X t, Dt ) k( ) π. t Ας υποθέσουμε τα εξής κόστη. Αν παραγγελθούν z > φωτογραφικές μηχανές, το κόστος είναι + 5z δολάρια. Αν δεν παραγγελθούν φωτογραφικές μηχανές, δεν υπάρχουν κόστη παραγγελίας. Τέλος, για κάθε μονάδα ανικανοποίητης ζήτησης (χαμένης πώλησης) υπάρχει μια ποινή 5 δολαρίων. Αν ακολουθηθεί η πολιτική (s, S 3) για τις παραγγελίες, τότε το κόστος την εβδομάδα t δίνεται από το C(X t-, D t ), όπου C για t,,, Έτσι: ώστε ( X, D ) t t + 5(3) 5 max + 5 max{ ( Dt 3),}, {( D X ),}, t t {( 3),} C (, D t ) max D, t [ (, Dt )] + 5E[ max{ ( D 3 ),}] k() E C 85 t [ P (4) + P (5) + 3P (6) + ], D D D αν X αν X όπου το P D (i) είναι η πιθανότητα η ζήτηση να ισούται με i και έχει υποτεθεί ότι έχει κατανομή Poisso με παράμετρο λ. Κάνοντας τους υπολογισμούς προκύπτει ότι k() 86,. Παρόμοιοι υπολογισμοί οδηγούν στα παρακάτω αποτελέσματα: k() E C 5 5 [ (, Dt )] E[ max{ ( Dt ),}] [ P () + P (3) + 3P (4) + ] 8,4. k() E C 5 5 5,. D D [ (, Dt )] E[ max{ ( Dt ),}] [ P (3) + P (4) + 3P (5) + ] D D D D t t <,, 8

19 k(3) E C 5 5,. [ (3, Dt )] E[ max{ ( Dt 3 ),}] [ P (4) + P (5) + 3P (6) + ] Έτσι το (μακροχρόνιο) προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά εβδομάδα είναι: 3 D k( ) π (86,5)(,85) + (8,4)(,85) + (5,)(,64) + (,)(,66) 3,4. Το παραπάνω κόστος είναι το κόστος που αντιστοιχεί στην πολιτική παραγγελίας (s, S) με (s, S 3). Το κόστος που αντιστοιχεί στην πολιτική(s, S) με άλλες τιμές των παραμέτρων s και S μπορεί να υπολογιστεί παρομοίως έτσι ώστε να αναγνωριστούν οι τιμές εκείνες (s, S) που ελαχιστοποιούν το προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά εβδομάδα. Τα παραπάνω αποτελέσματα παρουσιάστηκαν για το παράδειγμα των αποθεμάτων. Όμως παρόμοια αποτελέσματα ισχύουν και για άλλα προβλήματα εφόσον ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες:. Το {Χ t } είναι μια ανάγωγη Μαρκοβιανή αλυσίδα της οποίας οι καταστάσεις είναι θετικά επαναληπτικές.. Μ' αυτή την Μαρκοβιανή αλυσίδα σχετίζεται μια αλληλουχία τυχαίων μεταβλητών {D t } που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και έχουν ίδια κατανομή. 3. Για κάποιο σταθερό m ±, ±,... υπάρχει ένα κόστος C ( X t, D t + m ) στον χρόνο t για t,,, 4. Η αλληλουχία (Χ, Χ, Χ,, Χ t ) πρέπει να είναι ανεξάρτητη του D t+m. Αν οι παραπάνω συνθήκες ικανοποιούνται, τότε όπου lim E ( + ) C X t, Dt m k( ) π, t D [ (, )] k + ( ) E C D t m και η τελευταία προσδοκώμενη τιμή λαμβάνεται ως προς την κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής D t (δεδομένης της κατάστασης). Ακόμα lim C για σχεδόν όλες τις διαδρομές της διαδικασίας..6 Καταστάσεις Aπορρόφησης ( X t, Dt+ m ) t D k( ) π Μια κατάσταση k ονομάζεται απορροφητική αν kk, έτσι ώστε μόλις η αλυσίδα επισκεφτεί την k μένει εκεί για πάντα. Αν η κατάσταση k είναι απορροφητική, τότε η πιθανότητα πρώτης διάβασης από την κατάσταση i στην κατάσταση k ονομάζεται πιθανότητα απορρόφησης στην k έχοντας ξεκινήσει από την i. Όταν υπάρχουν δύο ή περισσότερες απορροφητικές καταστάσεις σε μια αλυσίδα και συνεπώς η αλυσίδα πρόκειται να απορροφηθεί σε μια από αυτές τις καταστάσεις, τότε είναι επιθυμητό να βρούμε αυτές τις πιθανότητες απορρόφησης. Αν λοιπόν η κατάσταση k είναι 9

20 απορροφητική, τότε το σύνολο των πιθανοτήτων απορρόφησης f ik ικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων: υπό τις συνθήκες: f ik f k για i,,,, f kk και f ik, αν η κατάσταση i είναι επαναληπτική και i k. Οι πιθανότητες απορρόφησης είναι σημαντικές στους λεγόμενους τυχαίους περιπάτους. Ένας τυχαίος περίπατος είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με την ιδιότητα ότι αν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i, τότε σε μια μετάβαση το σύστημα είτε παραμένει στην i είτε μετακινείται σε μια από τις καταστάσεις που γειτονεύουν άμεσα με την i. Ένα παράδειγμα ενός τυχαίου περιπάτου είναι το παρακάτω παράδειγμα τζόγου που είναι παρόμοιο με αυτό στην σελίδα 7. Έστω ότι υπάρχουν παίκτες και ο καθένας έχει χιλιάρικα. Οι δύο παίκτες συμφωνούν να παίζουν ένα τυχερό παιχνίδι αλλεπάλληλες φορές και να στοιχηματίζουν χιλιάρικο κάθε φορά μέχρι που ένας τους να χρεοκοπήσει. Η περιουσία του παίκτη Α είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα με πιθανές καταστάσεις τις,,, 3, 4 και πίνακα μετάβασης: P. Αν το είναι η πιθανότητα ότι ο παίκτης Α θα νικήσει σε ένα παιχνίδι, τότε η πιθανότητα απορρόφησης στην κατάσταση (δηλαδή ο Α να χάσει όλα του τα χρήματα) μπορεί να υπολογισθεί από το παραπάνω σύστημα εξισώσεων. Μπορεί να δειχθεί ότι αυτές οι εξισώσεις οδηγούν στις εναλλακτικές εκφράσεις (για γενικό Μ αντί για Μ 4 όπως σε αυτό το παράδειγμα), όπου ρ. Για Μ 4, i και i m ρ m f i, για i,,,, m ρ m i ρ ρ, για i, για,,, η πιθανότητα ο παίκτης Α να χρεοκοπήσει είναι 3 ρ f 4 ρ 5 και η πιθανότητα να κερδίσει 4 χιλιάρικα (δηλαδή να χρεοκοπήσει ο παίκτης Β) είναι

21 4 f 4 f. 5 Άλλο παράδειγμα είναι ένα πολυκατάστημα στο οποίο το υπόλοιπο του λογαριασμού ενός πελάτη θεωρείται πλήρως εξοφλημένο (κατάσταση ), καθυστερημένο κατά -3 ημέρες (κατάσταση ), καθυστερημένο κατά 3-6 ημέρες (κατάσταση ), ή κακό χρέος (κατάσταση 3). Οι λογαριασμοί όλων των πελατών ελέγχονται κάθε μήνα για να καθοριστεί η κατάστασή τους. Ενίοτε, οι πελάτες πληρώνουν μόνο μέρος του λογαριασμού τους. Αν αυτό συμβεί ενώ ο λογαριασμός είναι καθυστερημένος μέχρι 3 ημέρες (κατάσταση ), το κατάστημα θεωρεί ότι ο πελάτης παραμένει στην κατάσταση. Αν αυτό συμβεί ενώ ο λογαριασμός είναι καθυστερημένος κατά 3-6 ημέρες, το κατάστημα θεωρεί ότι ο πελάτης μεταβαίνει στην κατάσταση. Οι πελάτες που είναι καθυστερημένοι περισσότερο από 6 ημέρες μπαίνουν στην κατηγορία του κακού χρέους (κατάσταση 3) και σ' αυτή την περίπτωση πρέπει να ληφθούν άμεσα μέτρα. Μετά από εξέταση πολλών δεδομένων των τελευταίων χρόνων, το μαγαζί έχει αναπτύξει τον παρακάτω πίνακα μεταβάσεων:,7,, P.,5,,, Αν και κάθε πελάτης κάποτε καταλήγει στην κατάσταση ή 3, το μαγαζί ενδιαφέρεται να βρει την πιθανότητα ότι ένας πελάτης θα καταλήξει σαν κακό χρέος δεδομένου ότι ο λογαριασμός του ανήκει στην κατάσταση καθυστερημένων λογαριασμών κατά -3 ημέρες ή αντίστοιχα κατά 3-6 ημέρες. Για να βρεθούν αυτές οι πιθανότητες πρέπει να λυθεί το σύνολο των εξισώσεων στη σελίδα. Έτσι πρέπει να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις για τους αγνώστους f 3 και f 3 : f + 3 f 3 + f3 + f 3 3 f 33 f +. 3 f3 + f3 + f 3 3 f33 Σημειώνοντας ότι f 3 και f 33, έχουμε τις εξισώσεις: ( ) f3 3 + f 3, ( ) f f3. Αφού αντικατασταθούν οι τιμές από τον πίνακα μετάβασης, έχουμε: και η λύση είναι:,8 f f 3, 3,8 f + f 3,, f 3, 3, f 3, 54. Συνεπώς, περίπου 3% των πελατών των οποίων ο λογαριασμός είναι καθυστερημένος κατά - 3 ημέρες καταλήγουν ως κακά χρέη, ενώ 5% των πελατών των οποίων ο λογαριασμός είναι καθυστερημένος κατά 3-6 ημέρες καταλήγουν ως κακά χρέη..7 Μαρκοβιανές Αλυσίδες Συνεχούς Χρόνου Στις προηγούμενες ενότητες υποθέσαμε ότι η παράμετρος t είναι ασυνεχής (δηλαδή t,,, ). Αυτή η υπόθεση είναι κατάλληλη για πολλά προβλήματα αλλά υπάρχουν περιπτώσεις 3

22 (όπως για κάποια πρότυπα ουρών αναμονής) όπου απαιτείται μια συνεχής παράμετρος χρόνου. Ακολουθώντας τους ορισμούς για τις Μαρκοβιανές αλυσίδες ασυνεχούς χρόνου, έστω {Χ(t)}, όπου t, μια στοχαστική διαδικασία που παίρνει τις τιμές,,, Μ. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου αν οι πιθανότητες μετάβασης μπορούν να εκφραστούν ως { X t + s) X ( s) i, X ( r) x( r) } P{ X ( t + s) X ( s) i} P (, για όλα τα i,,,,, και r s. Επιπλέον, αν αυτές οι πιθανότητες μετάβασης είναι ανεξάρτητες του s, μπορούν να εκφραστούν ως: { X ( t + s) X ( s i} ( t) P ) και ονομάζονται στάσιμες πιθανότητες μετάβασης. Η συνάρτηση αυτή υποτίθεται ότι είναι συνεχής στο t, με, αν i, lim ( t) t, αν i. Να σημειωθεί ότι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου έχει την ιδιότητα ότι η πιθανότητα να συμβεί οποιαδήποτε μελλοντική περίσταση, δεδομένης οποιασδήποτε παρελθούσης περίστασης και της παρούσας κατάστασης, είναι ανεξάρτητη της παρελθούσης περίστασης και εξαρτάται μόνο από την παρούσα κατάσταση της διαδικασίας. Επιπλέον, αν η Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου είναι στάσιμη (όπως άλλωστε θα υποθέσουμε εφ' εξής), η πιθανότητα μετάβασης (t) είναι ανεξάρτητη του χρόνου στον οποίο περιήλθε η παρούσα κατάσταση. Αξίζει τον κόπο να εξερευνήσουμε τι παραπάνω σημαίνει η Μαρκοβιανή ιδιότητα. Η Μαρκοβιανή ιδιότητα (με στάσιμες πιθανότητες μετάβασης) σημαίνει ότι η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση στον χρόνο t + s, δεδομένου ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i στον χρόνο s, δηλαδή η { X t + s) X ( s) i} P (, εξαρτάται μόνο από το i και και την αυξανόμενη τιμή του t και είναι ανεξάρτητη του s. Δηλαδή μπορεί να εκφραστεί ως (t). Παρόμοια, όταν i, η πιθανότητα το σύστημα να παραμένει στην κατάσταση i στο χρόνο t + s, δεδομένου ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i στον χρόνο s, είναι ανεξάρτητη του s. Έτσι μπορεί να εκφραστεί ως ii (t). Τώρα ας θεωρήσουμε μια τυχαία μεταβλητή, την T i, που αναπαριστάνει τον χρόνο που απαιτείται ώστε το σύστημα να μεταβεί έξω από την κατάσταση i. Το σύστημα παραμένει στην κατάσταση i στον χρόνο t + s, δεδομένου ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i στον χρόνο s, δηλαδή X ( t + s) i X ( s) i, αν και μόνο αν, ο χρόνος που απαιτείται ώστε το σύστημα να μεταβεί έξω από την κατάσταση i ξεπερνάει το t + s όταν ο χρόνος που το σύστημα έχει ξοδέψει στην κατάσταση i ξεπερνάει το s, δηλαδή T > t + s T s. Έτσι: i i > P { X t + s) i X ( s) i} P{ T > t + s T s} (. i i > Παρόμοια, το σύστημα παραμένει στην κατάσταση i στον χρόνο t δεδομένου ότι το σύστημα ξεκινάει στην κατάσταση i στον χρόνο, δηλαδή X ( t) i X () i, αν και μόνο αν, ο χρόνος που απαιτείται ώστε το σύστημα να μεταβεί έξω από την κατάσταση i ξεπερνάει το t

23 όταν το σύστημα ξεκινάει στην κατάσταση i στον χρόνο, δηλαδή T i > t Ti >, ή ισοδύναμα, T ι > t. Έτσι: { X t) i X () i} P{ T t} P ( i >. Η Μαρκοβιανή ιδιότητα (με στάσιμες πιθανότητες μετάβασης) σημαίνει ότι: έτσι ώστε τελικά { X t + s) i X ( s) i} P{ X ( t) i X () i} P (, P { T t + s T > s} P{ T t} >. i i i > Η παραπάνω είναι μια αρκετά ασυνήθιστη ιδιότητα για μια κατανομή πιθανότητας. Λεει ότι η κατανομή πιθανότητας του χρόνου που απαιτείται ώστε το σύστημα να μεταβεί έξω από μια δεδομένη κατάσταση είναι πάντα η ίδια, άσχετα από το πόσο χρόνο το σύστημα έχει ήδη ξοδέψει σε αυτή την κατάσταση. Στην πραγματικότητα η τυχαία μεταβλητή είναι χωρίς μνήμη (η διαδικασία ξεχνά την ιστορία της). Υπάρχει μόνο μια (συνεχής) κατανομή πιθανότητας που έχει αυτή την ιδιότητα, και αυτή είναι η εκθετική κατανομή με μέση τιμή, ας πούμε, /q (βλέπε ενότητα 8.4 στο βιβλίο για μια πλήρη συζήτηση αυτής της κατανομής), δηλαδή: tq { t} e P T i <, για t. Αυτό το αποτέλεσμα οδηγεί σε έναν ισοδύναμο τρόπο ορισμού μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας συνεχούς χρόνου. Μια στοχαστική διαδικασία {Χ(t)}, όπου t, που παίρνει τιμές,,, Μ είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου αν:. Κάθε φορά που η διαδικασία εισέρχεται στην κατάσταση i, ο χρόνος που ξοδεύει σε αυτή την κατάσταση πριν μεταβεί σε μια διαφορετική κατάσταση έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή /q i.. Όταν φύγει από την κατάσταση i, η διαδικασία μεταβαίνει στην κατάσταση, με πιθανότητα, όπου τα ικανοποιούν τις συνθήκες: για όλα τα i, ii για όλα τα i. 3. Η επόμενη κατάσταση που επισκέπτεται η διαδικασία αφού μεταβεί έξω από την κατάσταση i είναι ανεξάρτητη από το χρόνο που έχει ξοδέψει στην κατάσταση i. Οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην περιγραφή της Μαρκοβιανής διαδικασίας για μια αλυσίδα ασυνεχούς χρόνου. Ο ανάλογος ρόλος για μια αλυσίδα συνεχούς χρόνου παίζεται από την λεγόμενη ένταση της μετάβασης. Η ένταση μετάβασης ορίζεται ως εξής: και q d () t () () t ( ) lim lim, για,,, Μ, dt t t t t d () t () () t q ( ) lim lim qi, για όλα τα i. dt t t t t Η ποσότητα q ονομάζεται ένταση διάβασης, όταν η Μαρκοβιανή αλυσίδα βρίσκεται στην κατάσταση, και το q ονομάζεται ένταση μετάβασης από την κατάσταση i στην κατάσταση. 3

24 Η ποσότητα έχει ήδη ορισθεί ως η πιθανότητα ότι η διαδικασία θα μεταβεί στην κατάσταση μόλις εξέλθει από την κατάσταση i. Η ένταση διάβασης q i είναι απλά το αντίστροφο της προσδοκώμενης τιμής της τυχαίας μεταβλητής με εκθετική κατανομή που αναπαριστάνει το χρόνο που απαιτείται ώστε η διαδικασία να μεταβεί έξω από την κατάσταση i. Δηλαδή το q i είναι ο ρυθμός με τον οποίο η διαδικασία εξέρχεται από την κατάσταση i, όταν βρίσκεται στην κατάσταση i. Έτσι, η διαδικασία, ξεκινώντας στην κατάσταση i, ξοδεύει κάποιο χρόνο σε αυτή την κατάσταση πριν μεταβεί σε μια διαφορετική κατάσταση. Ο χρόνος αυτός έχει εκθετική κατανομή με ρυθμό q i. Η διαδικασία μετά προχωράει στην κατάσταση με πιθανότητα q /q i και ξοδεύει κάποιο χρόνο σε αυτή την κατάσταση. Ο χρόνος αυτός έχει εκθετική κατανομή με ρυθμό q κοκ. Τέλος, να σημειωθεί ότι η ένταση διάβασης και η ένταση μετάβασης συσχετίζονται αφού: q i q., i Αυτά τα αποτελέσματα υποδηλώνουν ακόμα έναν τρόπο ορισμού μίας Μαρκοβιανής αλυσίδας συνεχούς χρόνου. Μια στοχαστική διαδικασία {X(t)}, όπου t, που παίρνει τις τιμές,,,..., Μ, είναι μια Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου αν η διαδικασία, όταν βρίσκεται στην κατάσταση i, τείνει να μεταβεί σε μια από τις Μ εναλλακτικές καταστάσεις, και οι χρόνοι που απαιτούνται για να μεταβεί από την κατάσταση i σε κάθε πιθανή κατάσταση (,,..., και i), που συμβολίζονται με τις τυχαίες μεταβλητές T, έχουν εκθετικές κατανομές με μέσες τιμές ίσες με /q. Η συγκεκριμένη κατάσταση στην οποία η διαδικασία τελικά μεταβαίνει, που συμβολίζεται *, είναι η κατάσταση της οποίας ο αντίστοιχος χρόνος T είναι ο μικρότερος. Μόλις η διαδικασία εισέλθει στην νέα κατάσταση *, ένα νέο σύνολο ανεξαρτήτων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιείται με παρόμοιο τρόπο για να καθοριστεί όπου η αλυσίδα παραμένει στην κατάσταση * και η επόμενη κατάσταση που θα επισκεφτεί από την *. Τα q είναι οι ρυθμοί μετάβασης που αναφέρθηκαν παραπάνω. Αν το T * είναι το ελάχιστο των T ( i), τότε δείχνεται εύκολα (βλέπε ενότητα 8.4 στο βιβλίο) ότι το T * έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή /q i (όπου το q i είναι η ένταση διάβασης που αναφέρθηκε παραπάνω) και όπως σημειώθηκε πρωτύτερα: q i q., i Όπως τα πρότυπα ασυνεχούς χρόνου ικανοποιούν τις εξισώσεις Chama - Kolmagorov, έτσι και η συνάρτηση πιθανοτήτων μετάβασης συνεχούς χρόνου ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις, δηλαδή για οποιαδήποτε καταστάσεις i και και θετικούς αριθμούς t και υ ( υ t), () ( υ ) ( υ ) t t ik k k Ένα ζεύγος καταστάσεων i και λέμε ότι επικοινωνεί αν υπάρχουν χρόνοι t και t τέτοιοι ώστε (t ) > και i (t ) >. Όλες οι καταστάσεις που επικοινωνούν λέμε ότι σχηματίζουν μια κλάση. Αν όλες οι καταστάσεις σε μια αλυσίδα σχηματίζουν μια μοναδική κλάση, δηλαδή μια ανάγωγη αλυσίδα (πράγμα το οποίο υποθέσουμε), τότε () t >, για όλα τα t > και όλες τις καταστάσεις i και. 4

25 Ακόμα, το όριο lim t ( t) π πάντα υπάρχει και είναι ανεξάρτητο της αρχικής κατάστασης, για,,,...,. Οι οριακές πιθανότητες επίσης ικανοποιούν τις εξισώσεις: και π q π q i i, i π που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθούν οι τιμές των οριακών πιθανοτήτων. Έχει ήδη σημειωθεί ότι το q είναι ο ρυθμός με τον οποίο η διαδικασία εξέρχεται από την κατάσταση δεδομένου ότι βρίσκεται στην κατάσταση, έτσι ώστε το q π είναι απλά ο ρυθμός (μακροχρόνια) με τον οποίο η διαδικασία εξέρχεται από την κατάσταση. Παρόμοια, το q είναι ο ρυθμός μετάβασης στην κατάσταση δεδομένου ότι η διαδικασία είναι στην κατάσταση i, έτσι ώστε το π είναι ο συνολικός ρυθμός μετάβασης στην κατάσταση i iq. Εφόσον ο μακροχρόνιος ρυθμός με τον οποίο η διαδικασία εξέρχεται από την κατάσταση πρέπει να ισούται με τον μακροχρόνιο ρυθμό με τον οποίο η διαδικασία εισέρχεται στην κατάσταση, για να είναι το σύστημα σταθερό, πρέπει να συμβαίνει το εξής: i i, i, π q π q, για,,,, που είναι η εξίσωση που δίνεται παραπάνω για να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες και ονομάζεται εξισώσεις ισορροπίας. Σαν παράδειγμα θεωρούμε το εξής πρόβλημα επισκευής το οποίο συζητείται εκτενέστερα στο κεφάλαιο 8 του βιβλίου ( Θεωρία Ουράς ). Σε ένα μηχανουργείο υπάρχουν δύο μηχανές που εξυπηρετούνται από έναν τεχνίτη επισκευής. Μια μηχανή που παθαίνει βλάβη αρχίζει να επισκευάζεται αμέσως από τον τεχνίτη εκτός αν αυτός επισκευάζει μια άλλη μηχανή οπότε η πρώτη μηχανή μπαίνει σε ουρά αναμονής. Ένα σύστημα λέμε ότι βρίσκεται στην κατάσταση αν μηχανές δεν λειτουργούν. Αν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση, όπου, αυτή η κατάσταση σημαίνει ότι μια μηχανή επισκευάζεται και ( ) μηχανές περιμένουν στην ουρά για να επισκευαστούν. Αν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση, τότε όλες οι μηχανές λειτουργούν και ο τεχνίτης βρίσκεται σε αργία. Έστω Χ(t) ο αριθμός των μηχανών που δεν λειτουργούν στον χρόνο t. Υποθέτουμε ότι ο χρόνος μέχρι να πάθει βλάβη μια μηχανή έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή /λ και ο χρόνος επισκευής για μια χαλασμένη μηχανή έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή /μ. Η στοχαστική διαδικασία {Χ(t)} είναι μια Μαρκοβιανή διαδικασία συνεχούς χρόνου με πιθανές καταστάσεις τις,,. Οι πιθανότητες μόνιμης κατάστασης ενδιαφέρουν τον διαχειριστή του συστήματος. Πριν λύσουμε τις εξισώσεις ισορροπίας, είναι σημαντικό να σημειώσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά των q για αυτό το πρότυπο. Η διαδικασία, μπορεί να μετακινηθεί από την μία κατάσταση μόνον σε μια διπλανή κατάσταση. Για παράδειγμα, όταν βρίσκεται στην κατάσταση (μια μηχανή έχει βλάβη), μπορεί να μετακινηθεί είτε στην κατάσταση (καμία 5

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Γιώργος Λυμπερόπουλος 2009 1. Να βρεθούν οι κλάσεις καταστάσεων στις παρακάτω Μαρκοβιανές αλυσίδες και να σημειωθεί αν

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Αλυσίδες Markov 2 Παράδειγμα 1: παιχνίδι τύχης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Παράδειγμα 2: μηχανή Έστω μηχανή που παράγει ένα προϊόν με

Διαβάστε περισσότερα

DEPARTMENT OF STATISTICS

DEPARTMENT OF STATISTICS SCHOOL OF INFORMATION SCIENCES & TECHNOLOGY DEPARTMENT OF STATISTICS POSTGRADUATE PROGRAM Elements of Markovian Processes and Queueing Processes with Numerical Applications By Erold Ajdini A THESIS Submitted

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Παραδόσεων Αθήνα 23 ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Ορισμός : Στοχαστική διαδικασία ή ανέλιξη είναι η διατεταγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΟΦΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 05 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ.... Στοχαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1 Μία Μαρκοβιανή

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

/ / 38

/ / 38 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων 2 Εισαγωγή (1) Ο όρος απόθεμα αναφέρεται σε προϊόντα και υλικά που αποθηκεύονται από την επιχείρηση για μελλοντική χρήση Τα αποθέματα μπορεί να περιλαμβάνουν Πρώτες ύλες

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ- ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ (ΔΔΕ) ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ (MASTER) ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ» ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Αντικατάσταση Μηχανημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Ο Δυναμικός Προγραμματισμός (ΔΠ) είναι μία υπολογιστική μέθοδος η οποία εφαρμόζεται όταν πρόκειται να ληφθεί μία σύνθετη απόφαση η οποία προκύπτει από τη σύνθεση επιμέρους

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός: ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Ασκήσεις Κεφαλαίου 2. Κοκολάκης Γεώργιος

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Ασκήσεις Κεφαλαίου 2. Κοκολάκης Γεώργιος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)

Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B) ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο 60 5 55 65 5*maximin (A) Π 50 75 70 45 45 Ε 56 30 30 50 30 Υ 40 30 35 55 30 *60 75 70 65 minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, --3 Μ. Παπαδημητράκης. Τώρα θα δούμε μια ακόμη εφαρμογή του Κριτηρίου του Ολοκληρώματος. Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο +, το οποίο φυσικά σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας (EOQ) Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισμός του προβλήματος βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Χρησιµοποιούµε µια αλυσίδα

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

X i = Y = X 1 + X X N.

X i = Y = X 1 + X X N. Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κατακερματισμός (Hashing)

Κατακερματισμός (Hashing) Κατακερματισμός (Hashing) O κατακερματισμός είναι μια τεχνική οργάνωσης ενός αρχείου. Είναι αρκετά δημοφιλής μέθοδος για την οργάνωση αρχείων Βάσεων Δεδομένων, καθώς βοηθάει σημαντικά στην γρήγορη αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή βασικών μοντέλων τηλεπικοινωνιακής

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Πρόσκαιρες Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση. Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα