3. Κατανομές πιθανότητας

Transcript

1 3. Κατανομές πιθανότητας

2 Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο ή αριθμήιμο πλήθος τιμών Συνεχής τ.μ. : παίρνει άπειρο ή μη-αριθμήιμο πλήθος τιμών ΒΙΟ39-Κατανομές

3 Συνάρτηη αθροιτικής κατανομής Οριμός : Η υνάρτηη F ( = P(, R ονομάζεται υνάρτηη αθροιτικής κατανομής (.α.κ. της τ.μ. Χ και δίνει την πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει όλες της τιμές της μέχρι το ημείο. Σε κάθε τ.μ. Χ αντιτοιχεί μονοήμαντα μια.α.κ. F ( που έχει τις ιδιότητες: i lim F ( =, lim F ( = ii Η F ( είναι αύξουα υνάρτηη του iii Η F ( είναι δεξιά υνεχής: lim F h ( + h = F ( ΒΙΟ39-Κατανομές 3

4 ΒΙΟ39-Κατανομές 4 ιακριτές κατανομές Αν η τ.μ. είναι διακριτή, τότε η υνάρτηη που δίνει την πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει την τιμή, λέγεται υνάρτηη πιθανότητας της τ.μ. Χ, υμβολίζεται με καιέχειτιςιδιότητες: και Οι υναρτήεις και υνδέονται με τις χέεις: ( ( P f = = f, ( = f ( ( f ( F = = i i f P F ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = = < = = = i i i i i i i i F F P P P P f

5 Παράδειγμα Αριθμός φυτών Χ : Αριθμός φυτών του είδους Α που παρατηρήθηκε ε 5 περιοχές υχνότητα Σχετική υχνότητα P(= P(,36,36,36,598,94,79,8,9,64,964,36, Η υνάρτηη πιθανότητας f(: f( =,36, f( =,36, f( =,94, f(3 =,8, f(4 =,64, f(5 =,36. ΒΙΟ39-Κατανομές 5

6 Παράδειγμα H υνάρτηη αθροιτικής κατανομής F( =P( = f(t t F( = f( =,36 F( = f( + f( =,598 F( = f( + f( + f( =,79 F(3 = f( + f( + f( + f(3 =,9 F(4 = f( + f( + f( + f(3 + f(4 =.964 F(5 = f( + f( + f( + f(3 + f(4 + f(5 =. Η.α.κ. ορίζεται το R. Για ενδιάμεες τιμές του, π.χ. για =.4 F(.4 = P(.4= P( = ή = f( + f( =,598 Η υνάρτηη αθροιτικής κατανομής ορίζεται κατά τμήματα F ( =, 36, 598, 79, 9, < < < < < < ΒΙΟ39-Κατανομές 6

7 Συνεχείς κατανομές Αν η τ.μ. είναι υνεχής, τότε υπάρχει υνάρτηη f( τέτοια ώτε F ( = f ( t dt, R και η υνάρτηη f( ονομάζεται υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. Χ. Προκύπτει ότι f (, 3 R f ( d = b P( a b = f ( d = F ( b F ( a a ΒΙΟ39-Κατανομές 7

8 Παράμετροι κατανομής Έτω Χ μια τ.μ. με υνάρτηη κατανομής f( Οριμός: Η μέη ή αναμενόμενη τιμή μ = E( = R f ( d, f (, υνεχης διακριτη της Χ είναι Θεώρημα: Η μέη ή αναμενόμενη τιμή της g(χ είναι μ g ( = E [ g( ] = R g( f ( d, g( f (, υνεχης διακριτη ΒΙΟ39-Κατανομές 8

9 Παράμετροι κατανομής Οριμός: Η διαπορά της Χ είναι = Var( = E [( μ ] = R ( μ ( μ f ( d, f (, υνεχης διακριτη Θεώρημα: Η διαπορά της τ.μ. Χ υπολογίζεται από = E ( μ Η θετική τετραγωνική ρίζα της διαποράς,, ονομάζεται τυπική απόκλιη. ΒΙΟ39-Κατανομές 9

10 Παράμετροι κατανομής Για τη μέη τιμή και τη διαπορά ιχύουν οι ιδιότητες:. E( a + b = a + be(. Var( a + b = b Var( 3. E( ± Y = E( ± E( Y 4. Var( ± Y = Var( + Var( Y 5. E( Y = E( E( Y,, Y ανεξάρτητες τ.μ. ΒΙΟ39-Κατανομές

11 Θεωρητικές κατανομές ιωνυμική κατανομή (binomial distribution Πολυωνυμική κατανομή (multinomial dostribution Poisson κατανομή Κανονική κατανομή (normal distribution ΒΙΟ39-Κατανομές

12 ιωνυμική κατανομή πείραμα ή δοκιμή Bernoulli: πείραμαόπουταδυνατάαποτελέματα είναι μόνο δύο, τα οποία είναι αυμβίβατα μεταξύ τους (π.χ. «Επιτυχία» (S και «Αποτυχία» (F τα αποτελέματα n δοκιμών είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο η πιθανότητα επιτυχίας είναι ίδια ε κάθε δοκιμή P(S=p (ταθερή και P(F=-p=q : ο αριθμός των «επιτυχιών» ε n ανεξάρτητες δοκιμές Η υνάρτηη πιθανότητας της τ.μ. n n b( ; n, p = P( = = p q, =,,,..., n όπου n n! k = k!( n k! E(= n p και είναι ο διωνυμικός υντελετής. Var(=n p q ΒΙΟ39-Κατανομές

13 ιωνυμικές κατανομές P(= P(=,45,4,35,3,5,,5,,5,35,3,5,,5,,5 n=; p=, Αριθμός επιτυχιών, n=; p=, Αριθμός επιτυχιών, P(=,6,4,,,8,6,4, P(= 3,,8,6,4,,,8,6,4, n=3, p=,5 5 ΒΙΟ39-Κατανομές 3 Αριθμός γεγονότων, 8 Αριθμός n=3, επιτυχιών, p=,

14 Πολυωνυμική κατανομή Πείραμαμε A,,..., A Ak, k > δυνατάαποτελέματα Σε μια διαδικαία n ανεξάρτητων δοκιμών ζητάμε την πιθανότητα να υμβούν: φορές το γεγονός, n φορές το γεγονός A,..., n φορές n A το γεγονός A ( n + n + L+ n = k k n. Η πιθανότητα κάθε γεγονότος είναι P( A p, i =,, K, k, με p + L+ p = i και είναι ταθερή ε κάθε δοκιμή. = i k k Ητ.μ. είναι πολυδιάτατη και η υνάρτηη πιθανότητας είναι n! n n n P( = n, = n,..., = n = p p... p k k k k n! n!... n! k ΒΙΟ39-Κατανομές 4

15 Poisson κατανομή Μελέτη τυχαίων γεγονότων που υμβαίνουν πάνια το χρόνο ή το χώρο (γεγονότα υμβαίνουν ανεξάρτητα : αριθμός εμφάνιης κάποιου γεγονότος τη μονάδα μέτρηης. Η υνάρτηη πιθανότητας της τ.μ. λ e λ p( ; λ = P( = =, =,,,..., λ >! λ ο μέος αριθμός εμφάνιης του γεγονότος E(Χ= λ και Var(Χ=λ ΒΙΟ39-Κατανομές 5

16 Poisson κατανομές λ=,5,7,6 P(=,5,4,3, λ=5,,, Αριθμός λ=3 γεγονότων, P(=,8,6,4,5,, P(=,5, Αριθμός γεγονότων,, Αριθμός γεγονότων, ΒΙΟ39-Κατανομές 6

17 Προέγγιη της ιωνυμικής με την Poisson Όταν n και p (έτι ώτε np ταθερό b(;n,p p(;λ με λ = np Poisson λ= P(=,45,4,35,3,5,,5,,5 Διωνυμική n=, p=, ,4,35 Διωνυμική n=, p=, P(=,3,5,,5,, P(=,4,35,3,5,,5,,5 ΒΙΟ39-Κατανομές

18 ΒΙΟ39-Κατανομές 8 Κανονική κατανομή - Ητ.μ. έχει την κανονική κατανομή, αν έχει.π.π. : E(= μ και Var(=, ( μ N R R e f > = μ π μ,,, ( ( μ μ- μ+ f(

19 Ιδιότητες της N( μ, f( f( 3 μ μ μ 3 μ Σταθερήτυπικήαπόκλιηκαι μ < < μ μ3 Σταθερήμέητιμήκαι < < 3 ΒΙΟ39-Κατανομές 9

20 Τυπική κανονική κατανομή - N(, μ Ητυποποιημένητ.μ Z έχει.π.π. : = f z ( z = e, π z R Η υνάρτηη αθροιτικής κατανομής της Z είναι z y Φ( z = P( Z z = e π dy, z R Φ(z Φ(z.π.π. Φ(-z=-Φ(z z z.α.κ. ΒΙΟ39-Κατανομές

21 Σχέη μεταξύ N( μ, και N(, Αν ~ N( μ, τότε Z = μ ~ N(, Όταν η παίρνει τιμές μεταξύ και, μ η Z παίρνει τιμές μεταξύ z = και z = μ P ( < < = P( z < Z < z ΒΙΟ39-Κατανομές

22 Κανονική προέγγιη της ιωνυμικής ΒΙΟ39-Κατανομές

23 ειγματοληπτικές κατανομές Στατιτική δειγματική υνάρτηη (τατιτική υνάρτηη ή τατιτικό: μια υνάρτηη υπολογιμένη ε όλα τα δυνατά δείγματα του ιδίου μεγέθους που μπορούν να εξαχθούν από ένα πληθυμό Η κατανομή όλων των δυνατών τιμών μιας τατιτικής υνάρτηης ονομάζεται δειγματοληπτική κατανομή της υγκεκριμένης υνάρτηης. Στατιτικές υναρτήεις των οποίων μπορούν να υπολογιτούν οι δειγματοληπτικές κατανομές είναι η μέη τιμή, η διαπορά, μια αναλογία, η διαφορά δύο μέων τιμών ή δύο αναλογιών κ.λ.π. ΒΙΟ39-Κατανομές 3

24 ειγματοληπτική κατανομή της μέης τιμής Λαμβάνοντας όλα τα δείγματα (μεγάλο αριθμό μεγέθους n από έναν κανονικά κατανεμημένο πληθυμό με μέη τιμή μ και διαπορά,, Η δειγματοληπτική κατανομή της μέης τιμής έχει τις εξής ιδιότητες:. είναι κανονική μ Χ. η μέητιμήτης,, ιούται με τη μέη τιμή μ του πληθυμού Χ 3. Η διαπορά της,, ιούται με τη διαπορά του πληθυμού διαιρούμενη δια του μεγέθους των δειγμάτων: = n ηλαδή : ~ N( μ, Χ = Χ n :τυπική απόκλιη της ή τυπικό φάλμα 4

25 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στην περίπτωη ενός μη κανονικά κατανεμημένου πληθυμού, ιχύει το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Σε έναν μη κανονικά κατανεμημένο πληθυμό με μέη τιμή μ και διαπορά, η δειγματοληπτική κατανομή της μέης τιμής όλων των δυνατών δειγμάτων του πληθυμού μεγέθους n είναι κατά προέγγιη κανονική με μέη τιμή μ και διαπορά = n, εφόον το μέγεθος n των δειγμάτων είναι επαρκώς μεγάλο. Σημείωη: όταν ~ N( μ, Ζ = ~ N(, Χ, τότε Χ μ Χ 5

26 ειγματοληπτική κατανομή της μέης τιμής Άγνωτη διαπορά μεγάλο δείγμα Ζ = Χ μ ~ N (, όπου s = Χ s Χ s n μικρό δείγμα από κανονικά κατανεμημένο πληθυμό N( μ, T Χ μ = ~ tn S / n ΒΙΟ39-Κατανομές 6

27 Κατανομή Student, t ν ν : βαθμούς ελευθερίας t ν ;a : κρίιμη τιμή P ( T > tν ; α = α α -t ν;α α t ν;α Επειδή η κατανομή Student είναι υμμετρική ως προς το μηδέν P > tν ; α = P( T < tν α και tν ; α = tν ; α ( T ; ΒΙΟ39-Κατανομές 7

28 ειγματοληπτική κατανομή της διαποράς Αν τα δείγματα (μεγέθους n επιλέγονται από κανονικά κατανεμημένο πληθυμό N( μ, τότε ( n S = ~ χ n ΒΙΟ39-Κατανομές 8

29 Κατανομή χ v ν : βαθμούς ελευθερίας f( χ ν ;a : κρίιμη τιμή P( > χ ν ; α = α α χ ν,α ΒΙΟ39-Κατανομές 9

30 Κατανομή F ν,ν ν,ν : βαθμοί ελευθερίας f ν, ν ;a : κρίιμη τιμή P ( F > fν ν ; α =, α α f ν,ν ;α Ιχύει f ν, ν ; a = f ν, ν ; a ΒΙΟ39-Κατανομές 3

31 Θεωρήματα. Αν και δύο ανεξάρτητες τ.μ. με ~ N( μ, και ~ (,, τότε η τ.μ. όπου N μ Y = ~ (, ± N μ μ = μ ± μ και = +.. Αν Z, Z,..., Z ν είναι ν ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την Ν(,, τότε η τ.μ.. = Z + Z + L+ Z ν χ ~ ν 3. Αν,,..., n είναι n ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν, αντίτοιχα, τις κατανομές χν, χ,,, τότε η τ.μ. ν L χ ν n Y = n χ, όπου ν = ν + ν + + ν. ν... n ~ ΒΙΟ39-Κατανομές 3

32 Θεωρήματα 4. Αν Ζ~Ν(, και Ψ ~ χ ν είναι ανεξάρτητες τ.μ., τότε η τ.μ. Z T = ~ t Ψ ν ν 5. Αν Ψ χ και W χ είναι ανεξάρτητες τ.μ., τότε η τ.μ. Ψ ν F = W ν ~ ν ~ ν, ν F ~ ν 6. Αν η τ.μ., τότε η τ.μ. ~ F ν, ν Y = ~ ~ χ ν ~ + χ ν, ν >, τότε ~ χν ν 7. Αν και δύο ανεξάρτητες τ.μ με και F ν, ν ΒΙΟ39-Κατανομές 3