Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας Τηλ:

2 Σημειακή Διαδικασία 0 T 1 T 2 T 3 T T k-1 T k Χρόνος μεταξύ δύο γεγονότων U k = T k T k-1 0 αριθμός γεγονότων : N(t) t

3 Στοχαστική Διαδικασία Μια διαδικασία περιγράφεται επίσης από τον αριθμό των γεγονότων Ν(t) που συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα Ν(t): ο αριθμός των γεγονότων στο χρ. διάστημα [0,t] Ν((α,β])=Ν(β)-Ν(α) N = 1 ( t) 1{ T t} = 1{ T1 t} + 1{ T2 t} + K+ { T t} 1 { N( t) = } = { T t < T+ 1 } Μέσος αριθμός γεγονότων πριν την στιγμή t: [ N ( )] m ( t) = E t

4 Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οποίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι παρατηρούμε το σύστημα στους χρόνους = 0, 1, 2, 3,. Έστω X η (τυχαία) κατάσταση του συστήματος στο χρόνο. Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών {X 0, X 1, X 2, } ονομάζεται στοχαστική διαδικασία διακριτούχρόνου και γράφεται {Χ, 0} Αν με Ε συμβολίσουμε το σύνολο όλων των δυνατών τιμών που μπορεί να πάρει η X για όλα τα, τότε το Ε ονομάζεταιχώροςκαταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας {Χ, 0}

5 Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.δ.χ. X : η θερμοκρασία στην πόλη της Χίου την ημέρα στις 12:00 το μεσημέρι. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε =(-20,50) X : το αποτέλεσμα της -οστής ρίψης ενός κανονικού ζαριού. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X : ο δείκτης του Χ.Α.Α. την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = [0, ) X : ο αριθμός των εφημερίδων «ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ» που πουλάει ένα περίπτερο την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {0, 1, 2, 3,.} διακριτή σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων διακριτή σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων

6 Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οποίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι παρατηρούμε το σύστημα σε όλες τις χρ. στιγμές t 0και έστω X(t) η κατάσταση του συστήματος χρ. στιγμή t. Το σύνολο των καταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρεθεί το σύστημα σε οποιαδήποτε χρ. στιγμή t καλείται χώρος καταστάσεων και συμβολίζεται με Ε. Η διαδικασία {X(t), t 0} καλείται στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων Ε.

7 Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.σ.χ. Έστω μια μηχανή η οποία μπορεί να λειτουργεί ή να μην λειτουργεί. Εάν θεωρήσουμε ως X(t) την κατάσταση της μηχανής στο χρόνο t τότε η {X(t), t 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =(λειτουργία, μη-λειτουργία) Έστω X(t) ο αριθμός των πελατών που μπαίνουν σε ένα εμπορικό κατάστημα στο χρόνο t τότε η {X(t), t 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =(0, 1, 2, } Έστω X(t) η θερμοκρασία στην πόλη της Χίου στο χρόνο t τότε η {X(t), t 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =(-20,50) συνεχής σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων συνεχής σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων

8 Στοχαστική Διαδικασία Μια διαφορετική προσέγγιση: Ορισμός: Η συνάρτηση Χ(ω,t) όπου ω το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και t ο χρόνος, λέγεται στοχαστική διαδικασία. Αν t = t 0 μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τότε η Χ(ω,t 0 ) = Χ (ω) είναι τ.μ. Αν ζ = ζ 0 είναι ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα του πειράματος τύχης, τότε η Χ(ζ 0, t) = x(t) είναι μια συνάρτηση του χρόνου Χ(ζ 1, t) * Χ(ζ 1, t 0 ) Χ(ζ 2, t) Χ(ζ 3, t) * Χ(ζ 2, t 0 ) t 0 * Χ(ζ 3, t 0 )

9 Διαδικασία Poisso Ο αριθμός των γεγονότων Ν(t) ακολουθεί την κατανομή Poisso αν οι χρόνοι U i ακολουθούν εκθετική κατανομή { } { } 1 ) ( + > = t T t N { } { } όπου ) ( = > = U U U U T T t T t N K ( ) ( ) ( ) t T t T t N > > = = + Pr Pr ) ( Pr 1 ( )! ) ( Pr e t N t λ λ = =

10 Διαδικασία Poisso Poisso λ 1 Υπέρθεση Poisso (λ 1 + λ 2 ) Poisso λ 2 Poisso λp Διαχωρισμός Poisso λ Poisso λ(1-p) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Υ Pr k λ λ 1 λ 1 λ2 2 ( X = k) = e, Pr( Y = k) = e, Pr( X + Y = ) =? k! k k!

11 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Δικριτού Χρόνου

12 Ορισμός (Μαρκοβιανή Αλυσίδα) Μια ακολουθία τ.μ. (X ) με τιμές στο Ε, είναι μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα αν για οποιοδήποτε k > 0 και για οποιαδήποτε ακολουθία i, j, i 0, i 1,, i -1 στοιχείων του Ε, έχουμε: ( X + 1= j X0 = i0, X1= i1, X2 = i2, K, X = i) = Pr( X+ = j X = i) Pr 1 Μαρκοβιανή ιδιότητα Αν p ( ) = Pr( X j) τότε η δεσμευμένη συνάρτηση μάζας πιθανότητας j = p jk ( m,) = Pr( X = k X = j) 0 m ονομάζεται συνάρτηση πιθανοτήτων μετάβασης της ΜΑ Ομογενής ΜΑ m

13 Για μια ομογενή ΜΑ χρησιμοποιούμε την p jk = m+ m = ( ) Pr( X = k X j) και ονομάζεται πιθανότητα μετάβασης -βημάτων Λόγω της Μαρκοβιανής ιδιότητας μπορούμε να ορίσουμε την από κοινού πιθανότητα ( X0 = i0,x1= i1,x2 = i, K,X ) = i =... = p i (0) p i i K p i 1 i Pr 2 Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι μπορούμε να υπολογίσουμε οποιαδήποτε από κοινού πιθανότητα θέλουμε αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική κατανομή ( α() ) p i ( 0) = Pr( X0= i) i και τις πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων

14 Δηλαδή: [ p (0) p (0) K ] ή [ a(0) (1) K] α= p( 0) = 1 p00 p01 K P = [ p ] ij = p 10 p 11 K M M M 0 a Το άθροισμα κάθε γραμμής του πίνακα P είναι j E p ij = Pr( X = 0 X 1 = i) + Pr( X = 1 X 1= i) + K= 1 Ένας τέτοιος τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται στοχαστικός Παραδείγματα 1-5

15 Πιθανότητα -βημάτων: Γνωρίζουμε ότι p ij = m+ m = ( ) Pr( X = j X i) Pr(η διαδικασία πάει στην κατάσταση k στοm-οστό βήμα, δοθέντος ότιχ 0 = i) = p ik (m) Pr(αν η διαδικασία φτάνει στην κατάσταση j μετά από (m+) βήματα, δοθέντος ότιχ m = k)=p kj () Η μαρκοβιανή ιδιότητα υποδεικνύει ότι τα δύο παραπάνω γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας: ij( m+ ) = k E p p ( m) p ( ) ik Chapma-Kolmogorov kj

16 Αν τώρα συμβολίσουμε με P() τον πίνακα με στοιχεία p ij (), τότε με βάση τα προηγούμενα προκύπτει : P ( ) = P P( 1) = P Μπορούμε ακόμα να υπολογίσουμε την περιθώρια σ.μ.π. της τ.μ.χχ, με βάση τις πιθανότητες -βημάτων και την αρχική κατανομή p Η περιθώρια σ.μ.π. της.χ σαν διάνυσμα: και με βάση τα προηγούμενα Παραδείγματα 6, 7 j( ) = Pr( X = j) = Pr( X0 = i) Pr( X = j X0 i E = i E a( i) p ij ( ) ή i E = i) a( i) p ( i,j) [ p ( ) p ( )...] p( ) = 1 0 p( ) = α P( ) p( ) = α P

17 Για πολλές περιπτώσεις αλλά όχι για όλες τις Μ.Α. ισχύει: π Ταξινόμηση Καταστάσεων j = p = j lim ( ) j 01,, 2 Ορισμός: Μια κατάσταση i ονομάζεται μεταβατική (ή μη-επαναληπτική) αν και μόνο αν υπάρχει θετική πιθανότητα η διαδικασία να μην ξαναγυρίσει σε αυτή Γενικά για μια πεπερασμένη Μ.Α. περιμένουμε ότι μετά από ένα μεγάλο αριθμό βημάτων, η πιθανότητα η αλυσίδα να βρεθεί σε μια μεταβατική κατάσταση τείνει στο 0, ανεξάρτητα από την αρχική κατάσταση. ΈστωΧ ji ο αριθμός των επισκέψεων στην i από την j. Τότε Αν η i είναι μεταβατική τότε E[ X ji ] = =0 p ji ( ) =0 p ji( ) < j και άρα p ( ) ji 0

18 Ορισμός: Μια κατάσταση i ονομάζεται επαναληπτική αν και μόνο αν ξεκινώντας από την i η διαδικασία θα επιστρέψει κάποια στιγμή σε αυτή με πιθανότητα 1. Για τις επαναληπτικές καταστάσεις είναι σημαντικός ο χρόνος επιστροφής σε αυτές Έστω f ij ()=Pr(ηπρώτηεπίσκεψηαπότην iστην jγίνεταιμεακριβώς βήματα) τότε p ij ( ) = k= 1 f ij ( k) p jj ( k) 1

19 Έστω f ij = Pr(ξεκινώνταςαπότην iναφτάσωκάποιαστιγμήστην j) τότε f ij = =1 f ij ( ) Αν f ii = 1 τότε η i είναιεπαναληπτική* Αν f ii <1 τότε η i είναιμεταβατική* Έστω f ii = 1 τότε ορίζεται ομέσοςχρόνοςεπανάληψης της i (µ i ή m i ή v i ) µ i = fii( ) = 1 Αν µ i = τότε η i είναιμηδενικάεπαναληπτική Αν µ i < τότε η i είναιθετικάεπαναληπτική*

20 Ορισμός: Για μια επαναληπτική κατάσταση i ισχύει p ii () > 0 για κάποιο 1. Ορίζουμε ως περίοδο της i και συμβολίζουμε με d i, το μέγιστο κοινό διαιρέτη των θετικών ακεραίων για τους οποίους p ii () > 0 Ορισμός: Μια επαναληπτική κατάσταση i είναι απεριοδική αν d i = 1 και περιοδική αν d i > 1* Ορισμός: Μια κατάσταση i είναιαπορροφητική αν p ii = 1 i μεταβατική επαναληπτική μηδενικά θετικά περιοδική απεριοδική περιοδική απεριοδική

21 Ορισμός: Δύο καταστάσεις i και j λέμε ότι επικοινωνούν, αν υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι που οδηγεί από την i στην j και αντίστροφα. Ορισμός: Ένα σύνολο C από καταστάσεις που επικοινωνούν είναι ένα κλειστό σύνολο αν καμία κατάσταση έκτος του C δεν είναι προσβάσιμη από καμία κατάσταση εντός τουc.* Ορισμός: Μια Μ.Α. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη (ή μη-αναγωγίσιμη ή αμετάπτωτη) αν κάθε κατάστασή της είναι προσβάσιμη από οποιαδήποτε άλλη σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Αν μια κατάσταση μιας μη-διαχωρίσιμης Μ.Α, είναι απεριοδική τότε όλες της οι καταστάσεις είναι απεριοδικές και η Μ.Α. λέγεται απεριοδική. Ομοίως περιοδικη, μεταβατική, επαναληπτική. Παράδειγμα 8

22 Οριακή Κατανομή Οι πιθανότητες μετάβασης -βημάτων μιας πεπερασμένης, μη διαχωρίσιμης και απεριοδικής Μ.Α. (εργοδικής) γίνονται ανεξάρτητες από την κατάσταση i και από το όταν ö Όταν ö η οριακή πιθανότητα είναι: π j = lim pj( ) = lim α( i) pij ( ) = ( i) α i i = 1 ( ) lim p ( ) = lim p ( ) ij ( ) lim p ( ) Αυτό σημαίνει ότι όταν ö ο P συγκλίνει σε έναν πίνακα Π με όμοιες γραμμέςπ=[π 0 π 1 ] Αν ισχύει και τότε το π ονομάζεται οριακή κατανομή j E π = 1 j ij ij

23 Από το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε ότι : και αφού παίρνουμε π lim j p j ( ) = π = lim p ( 1) = π p ή i i ij j Προκύπτει λοιπόν το σύστημα γραμμικών εξισώσεων: j π= π P j = i p ( ) p ( -1) p π= π P π = 1 i i i ij Οποιοδήποτε διάνυσμα x ικανοποιεί το σύστημα ονομάζεται στάσιμη κατανομή

24 Θεώρημα: Για μια απεριοδική Μ.Α. το lim p υπάρχει Θεώρημα : Για οποιαδήποτε μη-διαχωρίσιμη και απεριοδική Μ.Α. οι οριακές πιθανότητες π j = lim p j π j = ( ) = lim p ( ) ij j () υπάρχουν και είναι ανεξάρτητες από την αρχική κατανομή α Θεώρημα : Για μια εργοδική Μ.Α. η οριακή κατανομή πιθανοτήτων ονομάζεταιπ=[π 0 π 1 ] είναι η μοναδική στάσιμη κατανομή. Παραδείγματα 9-12