Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut

Transcript

1 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M * Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirko, računalo brez grafičnega zaslona in možnosti računanja s simboli, šestilo in dva trikotnika, lahko tudi ravnilo. Kandidat dobi dva konceptna lista in ocenjevalni obrazec. SPLOŠNA MATURA NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne odpirajte izpitne pole in ne začenjajte reševati nalog, dokler vam nadzorni učitelj tega ne dovoli. Prilepite kodo oziroma vpišite svojo šifro (v okvirček desno zgoraj na tej strani in na ocenjevalni obrazec). Svojo šifro vpišite tudi na konceptna lista. Izpitna pola vsebuje 1 nalog. Število točk, ki jih lahko dosežete, je 80. Za posamezno nalogo je število točk navedeno v izpitni poli. Pri reševanju si lahko pomagate s standardno zbirko zahtevnejših formul na strani. Rešitve, ki jih pišite z nalivnim peresom ali s kemičnim svinčnikom, vpisujte v izpitno polo v za to predvideni prostor, grafe funkcij pa rišite s svinčnikom. Če se zmotite, napisano prečrtajte in rešitev zapišite na novo. Nečitljivi zapisi in nejasni popravki bodo ocenjeni z nič (0) točkami. Osnutki rešitev, ki jih lahko naredite na konceptna lista, se pri ocenjevanju ne upoštevajo. Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vsemi vmesnimi računi in sklepi. Če ste nalogo reševali na več načinov, jasno označite, katero rešitev naj ocenjevalec oceni. Zaupajte vase in v svoje zmožnosti. Želimo vam veliko uspeha. Ta pola ima 16 strani, od tega prazni. RIC 011

2 M Formule n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 n a + b = ( a + b)( a a b + a b... + a b ab + b ) Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: a = ca 1, b = cb 1, vc = ab 11 Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga: R = abc 4S, r = S s, s = a + b + c Kotne funkcije polovičnih kotov: sin x =± 1 cosx ; cos x =± 1+ cosx ; tan x = sin x 1+ cosx Kotne funkcije trojnih kotov: sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Adicijski izrek: sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y tan x + tan y tan( x + y) = 1 tanx tany Faktorizacija: x + y x y x + y x y sin x + sin y = sin cos, sin x sin y = cos sin x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sin sin sin( x ± y) sin( y ± x) tan x ± tan y =, cotx ± coty = cos x cos y sin x sin y Razčlenitev produkta kotnih funkcij: sin x sin y = 1 [ cos( x + y) cos( x y) ] cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ] sin x cos y = 1 [ sin ( x + y) + sin ( x y) ] Razdalja točke 0( 0, 0) 0 0 ( 0, p) = T x y od premice ax + by c = 0 : ax + by c dt a + b Ploščina trikotnika z oglišči Ax ( 1, y 1), B( x, y ), C ( x3, y 3) : S = 1 ( x x1)( y3 y1) ( x3 x1)( y y1) Elipsa: e = a b, ε = e a ; a > b Hiperbola: e = a + b, ε = e a, a je realna polos Parabola: p y = px, gorišče G (,0 ) Integrala: dx 1 arc tan x C x + a = a a +, dx arc sin x = + C a x a

3 M Dana je funkcija s predpisom f ( x) 3x 5 = +. Izračunajte f 1 ( ) vrednost te funkcije 11. Za katere x so vrednosti funkcije negativne?. Izračunajte, za kateri x je (8 točk)

4 4 M Prvi člen aritmetičnega zaporedja je 4, peti člen pa 8. Izračunajte diferenco (razliko) in stoti člen tega zaporedja. (5 točk)

5 M Poenostavite izraz (( a) 4) 3 ( a) 3 : a 9. (5 točk)

6 6 M V ostrokotnem trikotniku, v katerem je stranica b daljša od stranice a, merijo: stranica a = 17 cm, višina v c = 4 cm in težiščnica t c = 5cm. Izračunajte stranico c in ploščino trikotnika. Narišite skico. (8 točk)

7 M Kompleksno število ( ) 5 10i ( + i) 1 zapišite v obliki a + bi, a, b R. (6 točk)

8 8 M Zapišite polinom tretje stopnje, katerega graf je narisan v koordinatnem sistemu. y (6 točk) x

9 M Elipsa s središčem v izhodišču koordinatnega sistema ima dve temeni T 1 (, 0) in T (, 0) ter poteka skozi točko A ( 3, ). Zapišite njeno enačbo in drugi dve temeni. (7 točk)

10 10 M Vektorja a in b na spodnji sliki sta dolga 4 enote, kot med njima pa je 10. b Skicirajte vektor c = a + 1 b 10 ter izračunajte skalarna produkta a b in a c. a (8 točk)

11 M x Naj bo f ( x) = a 3 + b, a, b R. Določite števili a in b tako, da bo f () 1 = 1 in f ( 3) = 17. Zapišite še definicijsko območje D f in zalogo vrednosti Z f tako dobljene funkcije. (7 točk)

12 1 M Izračunajte ničle funkcij f ( x ) = sin x in g( x ) = sin x (7 točk)

13 M Marjetica ima 1 prijateljic in 11 prijateljev (le enemu prijatelju je ime Andrej in le enemu Borut). Na zabavo bo povabila 3 svoje prijateljice in 4 prijatelje. Na koliko načinov lahko to stori? Kolikšna je verjetnost, da bosta med temi povabljenci Andrej in Borut, če bo Marjetica izbirala povabljence naključno? (6 točk)

14 14 M Na sliki je graf funkcije f a ( x) =. Na dve decimalki izračunajte število a, če je ploščina x osenčenega lika na sliki enaka 4. (7 točk) y 1 x

15 M Prazna stran

16 16 M Prazna stran