Περιγραφική Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιγραφική Στατιστική"

Transcript

1 Περιγραφική Στατιστική Σε αυτή την ενότητα, όπως και στις επόμενες, όταν θα αναφερόμαστε σε δεδομένα από έναν πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τιμές, x, x,, x, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ τις οποίες παρατηρήσαμε/μετρήσαμε σε τυχαία επιλεγμένες δειγματοληπτικές ή πειραματικές μονάδες Οι τιμές αυτές αποτελούν μια πραγματοποίηση ενός τυχαίου δείγματος X, X,, X από τον πληθυσμό που μελετάμε και αυτές ονομάζονται δεδομένα (data) Υπενθυμίζουμε ότι, όπως αναφέραμε στην ενότητα «Στατιστική προσέγγιση προβλημάτων: μια γενική επισκόπηση», με τον όρο πληθυσμός (populato) στη Στατιστική εννοούμε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει ένα κοινό χαρακτηριστικό μιας ομάδας υποκειμένων (ατόμων, αντικειμένων, φυτών, κτλ,) το οποίο μεταβάλλεται από υποκείμενο σε υποκείμενο και ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε Δηλαδή, δεν εννοούμε όλα τα υποκείμενα αλλά όλες τις δυνατές τιμές του κοινού χαρακτηριστικού τους που μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε και το οποίο ονομάζεται μεταβλητή Κάθε υποκείμενο επί του οποίου μετράμε/παρατηρούμε το κοινό χαρακτηριστικό (μεταβλητή) που μελετάμε ονομάζεται δειγματοληπτική ή πειραματική μονάδα Παρατήρηση: Όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια, οι μέθοδοι της Περιγραφικής Στατιστικής, εφαρμόζονται ανεξάρτητα αν τα δεδομένα x, x,, x προκύπτουν από πραγματοποίηση τυχαίου ή μη τυχαίου δείγματος Εφαρμόζονται, επίσης, σε δεδομένα από απογραφή Αυτό όμως, μόνο για τις μεθόδους της Περιγραφικής Στατιστικής Στις μεθόδους της Στατιστικής Συμπερασματολογίας τα δείγματα απαιτείται να είναι τυχαία και γι αυτό στη συνέχεια θα αναφερόμαστε σε τυχαία δείγματα Για να αποσαφηνίσουμε τους συμβολισμούς και την ορολογία που θα χρησιμοποιούμε στη συνέχεια ας δούμε δύο παραδείγματα Παράδειγμα-: Η πτυχιακή μελέτη ενός φοιτητή του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών αφορούσε στα άνθη μιας συγκεκριμένης ποικιλίας ενός φυτού που καλλιεργείται στο νομό Κοζάνης Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης, ο φοιτητής μέτρησε, μεταξύ άλλων, τον αριθμό των πετάλων σε 5 άνθη της συγκεκριμένης ποικιλίας που επέλεξε τυχαία από καλλιέργειες του νομού Κοζάνης Τα αποτελέσματα αυτών των μετρήσεων ήταν τα εξής: Πίνακας- Προφανώς, η τυχαία μεταβλητή που μελέτησε ο φοιτητής εκφράζει τον αριθμό των πετάλων του άνθους της συγκεκριμένης ποικιλίας φυτών που καλλιεργείται στο νομό Κοζάνης Ας συμβολίσουμε αυτή την τυχαία μεταβλητή με Χ Τα 5 άνθη που επέλεξε τυχαία από τις καλλιέργειες του νομού Κοζάνης, αποτελούν τις 5 δειγματοληπτικές μονάδες από τις οποίες πήρε, αντίστοιχα, τις 5 τιμές x, x,, x5 της Χ (του κοινού χαρακτηριστικού τους που μελέτησε) και οι οποίες φαίνονται στον Πίνακα- Αυτές οι 5 τιμές αποτελούν το συγκεκριμένο τυχαίο δείγμα τιμών της Χ μεγέθους 5 με το οποίο εργάσθηκε Ο πληθυσμός που μελέτησε ο φοιτητής, με βάση το τυχαίο δείγμα τιμών που πήρε από αυτόν, Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 6

2 αποτελείται από όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η Χ, δηλαδή, από όλους τους αριθμούς πετάλων που αντιστοιχούν σε όλα τα άνθη όλων των φυτών της συγκεκριμένης ποικιλίας στο νομό Κοζάνης και όχι από όλα τα άνθη όλων των φυτών της συγκεκριμένης ποικιλίας στο νομό Κοζάνης Ανάλογα, ως δείγμα δεν εννοούμε τα άνθη που επέλεξε ο φοιτητής αλλά τις τιμές, x, x,, x5, της μεταβλητής Χ που παρατήρησε σε αυτά και δίνονται στον Πίνακα- Μπορεί επομένως, στην ίδια ομάδα υποκειμένων να αναφέρονται διαφορετικοί πληθυσμοί Αν, για παράδειγμα, ο φοιτητής ενδιαφέρεται να μελετήσει και το μήκος, έστω Υ, του μίσχου του άνθους της συγκεκριμένης ποικιλίας φυτών στο νομό Κοζάνης, τότε πρόκειται για ένα νέο πληθυσμό που αποτελείται από όλα τα μήκη μίσχων όλων των ανθέων της συγκεκριμένης ποικιλίας φυτών στο νομό Κοζάνης που είναι ένας διαφορετικός πληθυσμός από αυτόν των αριθμών των πετάλων παρότι και οι δύο αναφέρονται στην ίδια ομάδα ανθέων Παράδειγμα-: Στο πλαίσιο μιας δημογραφικής έρευνας που αφορούσε στις οικογένειες που κατοικούν μόνιμα στην επαρχία Γορτυνίας του νομού Αρκαδίας, επελέγησαν τυχαία οικογένειες από το σύνολο των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στην επαρχία Γορτυνίας και για κάθε μια από αυτές καταγράφηκαν, μεταξύ άλλων, το επάγγελμα πατέρα, το επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα, το μηνιαίο οικογενειακό εισόδημα (σε ) και ο αριθμός παιδιών της οικογένειας Οι παρατηρήσεις που ελήφθησαν φαίνονται στον Πίνακα- Οικογένεια Επάγγελμα πατέρα x Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα y Μηνιαίο οικογενειακό εισόδημα (σε ) w Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 7 Αριθμός παιδιών Οικογένειας u Αγρότης 4 Κτηνοτρόφος 45 Εργάτης 6 4 Δημ Υπάλληλος Κτηνοτρόφος 6 6 Αγρότης 7 Κτηνοτρόφος 8 8 Ιδιωτ Υπάλληλος 4 9 Αγρότης 4 Εργάτης Άλλο 4 Αγρότης Δάσκαλος 6 4 Δημ Υπάλληλος Ιδιωτ Υπάλληλος 8 6 Δάσκαλος 7 Εργάτης 8 8 Κτηνοτρόφος 5 9 Άλλο 45 Κτηνοτρόφος 6 Πίνακας- Είναι προφανές ότι, στο πλαίσιο της συγκεκριμένης έρευνας, μελετήθηκαν τέσσερις διαφορετικοί πληθυσμοί που όμως όλοι αναφέρονται στο ίδιο σύνολο υποκειμένων, στο σύνολο όλων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στην επαρχία Γορτυνίας Οι πληθυσμοί αυτοί είναι οι εξής: Ο πληθυσμός των επαγγελμάτων των πατεράδων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία, που αποτελείται από τα επαγγέλματα, όλων, = Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, = Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, = Τριτοβάθμια Εκπαίδευση και 4=Μεταπτυχιακές Σπουδές

3 αντίστοιχα, των πατεράδων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία Ο πληθυσμός των επιπέδων εκπαίδευσης των πατεράδων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία, που αποτελείται από τα επίπεδα εκπαίδευσης, όλων, αντίστοιχα, των πατεράδων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία Ο πληθυσμός των μηνιαίων οικογενειακών εισοδημάτων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία, που αποτελείται από τα μηνιαία οικογενειακά εισοδήματα, όλων, αντίστοιχα, των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία Ο πληθυσμός του αριθμού παιδιών ανά οικογένεια όλων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία, που αποτελείται από αριθμούς που δηλώνουν το πλήθος των παιδιών ανά οικογένεια, ένας για κάθε οικογένεια που κατοικεί μόνιμα στη Γορτυνία Οι παρατηρήσεις που φαίνονται στον Πίνακα-, ελήφθησαν από τις ίδιες, τυχαία επιλεγμένες, δειγματοληπτικές μονάδες, όμως αποτελούν τέσσερα διαφορετικά τυχαία δείγματα τιμών, τεσσάρων διαφορετικών τυχαίων μεταβλητών αντίστοιχα Ας συμβολίσουμε αυτές τις τυχαίες μεταβλητές, που η κάθε μία εκφράζει ένα από τα τέσσερα χαρακτηριστικά που μελετήθηκαν στην έρευνα, με Χ, Υ, W, και U, αντίστοιχα Έτσι, το δείγμα από τη μεταβλητή επάγγελμα πατέρα το συμβολίζουμε με x, x,, x, από τη μεταβλητή επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα με y, y,, y, από τη μεταβλητή μηνιαίο οικογενειακό εισόδημα με w, w,, w και από τη μεταβλητή αριθμός παιδιών οικογένειας με u, u,, u Όπως αναφέραμε και στην εισαγωγή του Β Μέρους, στη Στατιστική «όλα αρχίζουν από τα δεδομένα» Αυτό που, κατ αρχάς απαιτείται, είναι κατάλληλη επεξεργασία τους ώστε να μπορέσουμε να τα περιγράψουμε με συνοπτικό και εύληπτο τρόπο για να κατανοήσουμε την κατανομή τους Μάλιστα, αν αυτά έχουν προκύψει από τυχαία δειγματοληψία, η περιγραφή της κατανομής τους μας βοηθάει να αποκτήσουμε εμπειρική γνώση για την άγνωστη κατανομή του πληθυσμού από τον οποίο προέρχονται και την οποία ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε Η ανάγκη επεξεργασίας των δεδομένων για την περιγραφή της κατανομής τους, προκύπτει αβίαστα, αν στο πρώτο παράδειγμα που δώσαμε προηγουμένως, παρατηρήσουμε τα δεδομένα που χρησιμοποίησε ο φοιτητής στην πτυχιακή του μελέτη Τα παρουσιάσαμε όπως τα κατέγραψε ο φοιτητής, δηλαδή, χωρίς να έχει προηγηθεί κάποιου είδους επεξεργασία (raw data) Είναι προφανές ότι με αυτόν τον τρόπο παρουσίασης των δεδομένων δύσκολα μπορούμε να απαντήσουμε ακόμη και σε πολύ απλές ερωτήσεις σχετικές με την κατανομή τους όπως, ποιος αριθμός πετάλων (δηλαδή, ποια τιμή της μεταβλητής Χ) εμφανίσθηκε πιο συχνά στο δείγμα, ποιο ποσοστό των παρατηρήσεων είναι πχ, μικρότερες του 7 Η Περιγραφική Στατιστική αυτή την ανάγκη καλύπτει Μας προσφέρει μεθόδους επεξεργασίας των δεδομένων για να μπορέσουμε, κατ αρχάς, και πριν προχωρήσουμε σε επαγωγικά συμπεράσματα για τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχονται, να περιγράψουμε και να κατανοήσουμε την κατανομή τους Οι δυνατότητες επεξεργασίας δεδομένων που μας προσφέρει μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις κατηγορίες: Πινακοποίηση Γραφικές αναπαραστάσεις Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 8

4 Όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια, οι δυνατότητες που προσφέρει η Περιγραφική Στατιστική, σε πολλές περιπτώσεις, διαφοροποιούνται ανάλογα με τον τύπο/είδος της μεταβλητής Γι αυτό, θα τις παρουσιάσουμε ανά τύπο μεταβλητής Θα αρχίσουμε με τις ποσοτικές και θα συνεχίσουμε με τις ποιοτικές και τις κυκλικές (μια ειδική κατηγορία ποσοτικών μεταβλητών που περιγράφουν χαρακτηριστικά διεύθυνσης ή κατεύθυνσης και όχι μόνο!) Ποσοτικές Μεταβλητές Υπενθυμίζουμε ότι ποσοτικές (quattatve) είναι οι μεταβλητές που παίρνουν μόνο αριθμητικές τιμές και διακρίνονται σε συνεχείς (cotuous) και διακριτές (dscrete) Συνεχείς είναι οι ποσοτικές μεταβλητές που μπορούν να πάρουν ως τιμές τους όλους τους αριθμούς σε ένα διάστημα πιθανών τιμών ενώ διακριτές είναι οι ποσοτικές μεταβλητές που μπορούν να πάρουν ως τιμές τους μεμονωμένους/διακριτούς αριθμούς όπως,,,,, ή αλλιώς, το σύνολο των πιθανών τιμών τους είναι πεπερασμένο ή απείρως αριθμήσιμο Η τυχαία μεταβλητή Χ (αριθμός πετάλων άνθους) του Παραδείγματος- και η τυχαία μεταβλητή U (αριθμός παιδιών οικογένειας) του Παραδείγματος- προφανώς είναι ποσοτικές διακριτές γιατί μπορούν να πάρουν ως τιμές μόνο φυσικούς αριθμούς,,,,,, ενώ η τυχαία μεταβλητή W (μηνιαίο οικογενειακό εισόδημα) του Παραδείγματος- είναι ποσοτική συνεχής, γιατί, μπορεί, θεωρητικά τουλάχιστον, να πάρει ως τιμή της οποιονδήποτε αριθμό στο διάστημα [, + ) Για τις ποσοτικές μεταβλητές, η Περιγραφική Στατιστική προσφέρει τις ακόλουθες δυνατότητες: Κατασκευή Πίνακα Κατανομής Συχνοτήτων Το πρώτο που κάνουμε μετά την επιλογή του δείγματος, είναι να δούμε ποιες τιμές της μεταβλητής που μελετάμε και πόσο συχνά, η κάθε μια, εμφανίσθηκαν στο δείγμα Ο πίνακας συχνοτήτων κατασκευάζεται για να αναδείξει με εύληπτο τρόπο αυτή την πληροφορία Ας δούμε πώς Έστω, x, x, ένα τυχαίο δείγμα τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής X και y ( k ) x, x,, x x, y, y,, k οι k διαφορετικές, μεταξύ τους, τιμές από τις Ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή πίνακας συχνοτήτων (frequecy table) ενός τυχαίου δείγματος τιμών, x, x,, x, μιας ποσοτικής μεταβλητής X, αποτελείται από τρεις στήλες Στην πρώτη στήλη καταγράφονται σε αύξουσα σειρά οι k διαφορετικές τιμές της Χ που εμφανίσθηκαν στο δείγμα x, x,, x, δηλαδή, οι y, y,, yk ( k ) και στις επόμενες στήλες: Η συχνότητα (frequecy) εμφάνισης, ν, κάθε τιμής y, =,,, k, δηλαδή, πόσες φορές εμφανίσθηκε η αντίστοιχη τιμή, y, στο δείγμα Η σχετική συχνότητα (relatve frequecy) εμφάνισης, f, κάθε τιμής y, ν =,,,k που ορίζεται από το λόγο, f = (ή ως ποσοστό %, ν f = % ) Τα ζεύγη ( y, ν ), =,,, k αποτελούν την κατανομή συχνοτήτων και τα ζεύγη ( y, f ), =,,, k την κατανομή σχετικών συχνοτήτων των τιμών της Χ που εμφανίσθηκαν στο δείγμα Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 9

5 Είναι προφανές ότι, ν + ν + + ν k =, και f + f + + f k = (ή = %, αν η σχετικές συχνότητες, f, εκφράζονται ως ποσοστό %) Ο πίνακας συχνοτήτων δείγματος τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής, μπορεί να συμπληρωθεί με δύο ακόμη στήλες στις οποίες να καταγράφονται: Η αθροιστική συχνότητα (cumulatve frequecy), N, κάθε τιμής y, =,,,k που ορίζεται ως το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες της y Η αθροιστική σχετική συχνότητα (cumulatve relatve frequecy), F, κάθε τιμής y, =,,, k που ορίζεται ως το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες της y Στα επόμενα, λέγοντας πίνακας συχνοτήτων θα θεωρούμε/εννοούμε ότι περιλαμβάνει και τις αθροιστικές συχνότητες και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες, δηλαδή, ότι συνολικά αποτελείται από πέντε στήλες Ας δούμε ένα παράδειγμα Ο Πίνακας- που ακολουθεί, είναι ο πίνακας συχνοτήτων του τυχαίου δείγματος τιμών της τυχαίας μεταβλητής Χ του Παραδείγματος- (αριθμός πετάλων του άνθους συγκεκριμένης ποικιλίας φυτών που καλλιεργείται στο νομό Κοζάνης) y ν f N F Σύνολα 5 Πίνακας- Παρατηρώντας τον πίνακα συχνοτήτων, άμεσα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές της Χ που εμφανίσθηκαν στο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής, είναι οι 5, 6, 7, 8, 9, και Επίσης, πολύ εύκολα μπορούμε να δούμε, πόσο συχνά εμφανίσθηκε κάθε μια από αυτές τις τιμές, ποιος αριθμός πετάλων εμφανίσθηκε πιο συχνά (είναι η τιμή 5 της Χ και μάλιστα βλέπουμε ότι αποτελεί το 586% του δείγματος, δηλαδή, το 586% των τιμών του δείγματος είναι ίσες με 5), ποια από τις τιμές 6 και 7 εμφανίσθηκε πιο συχνά (είναι η τιμή 6), επίσης βλέπουμε ότι η συχνότητα φθίνει καθώς ο αριθμός των πετάλων αυξάνει, ότι οι τιμές 5 και 6 αποτελούν το 887% του δείγματος, ότι ποσοστό 9% των τιμών του δείγματος δεν ξεπερνούν την τιμή 7 (δηλαδή, ότι το 9% των ανθέων που εξετάσθηκαν είχαν το πολύ μέχρι και 7 πέταλα και μάλιστα 5, 6 ή 7), κτλ Ως γενικό συμπέρασμα, για την κατανομή του τυχαίου δείγματος, δηλαδή για την κατανομή των αριθμών των πετάλων των 5 τυχαία επιλεγμένων ανθέων, μπορούμε να πούμε ότι ένα πολύ μεγάλο ποσοστό των τιμών του δείγματος συγκεντρώνεται στο αριστερό άκρο της κατανομής και ότι οι συχνότητες φθίνουν αυξανομένου του αριθμού των πετάλων Παρατηρώντας τον Πίνακα-, όπου οι τιμές του δείγματος παρουσιάζονται όπως τις κατέγραψε ο φοιτητής, χωρίς να έχει προηγηθεί κάποια επεξεργασία (raw data), είναι προφανές ότι τέτοιου είδους πληροφορίες για την κατανομή του τυχαίου δείγματος δε μπορούν να προκύψουν με απλή παρατήρηση Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

6 Ανάλογες πληροφορίες για την κατανομή του τυχαίου δείγματος από τη μεταβλητή U (αριθμός παιδιών οικογένειας) του Παραδείγματος- μπορούμε εύκολα να πάρουμε από τον πίνακα συχνοτήτων που ακολουθεί y ν f N F Σύνολα Πίνακας-4 Ως γενικό συμπέρασμα, για την κατανομή συχνοτήτων αυτού του τυχαίου δείγματος, μπορούμε να πούμε ότι η τιμή παρουσιάζει τη μεγαλύτερη συχνότητα και ότι αριστερά αυτής της τιμής οι συχνότητες αυξάνουν αυξανομένου του αριθμού των παιδιών, ενώ δεξιά αυτής της τιμής, οι συχνότητες φθίνουν αυξανομένου του αριθμού των παιδιών Παρατήρηση: Αν θυμηθούμε τον στατιστικό ορισμό της πιθανότητας, είναι προφανές ότι η κατανομή σχετικών συχνοτήτων ενός τυχαίου δείγματος τιμών, x, x,, x, από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, μας δίνει μια εμπειρική εκτίμηση/προσέγγιση της συνάρτησης πιθανότητας, f ( x) = P( X = x), της Χ Για παράδειγμα, η κατανομή σχετικών συχνοτήτων του τυχαίου δείγματος από τη μεταβλητή U (αριθμός παιδιών οικογένειας) του Παραδείγματος- (Πίνακας-4), μας δίνει τιμές,, 5, και, ως προσεγγιστικές τιμές, αντίστοιχα, των πιθανοτήτων f ( ) = P( U = ), f ( ) = P( U = ), f ( ) = P( U = ), f ( ) = P( U = ), f ( 4) = P( U = 4) (και για όλες τις άλλες πιθανές τιμές της U μας δίνει προσεγγιστικές πιθανότητες μηδέν) Βέβαια, αν πάρουμε ένα άλλο τυχαίο δείγμα τιμών της U, ακόμη και αν είναι ιδίου μεγέθους, δεν περιμένουμε να έχει ακριβώς ίδια κατανομή σχετικών συχνοτήτων Παρόλα αυτά, επειδή τα δείγματα είναι τυχαία, περιμένουμε οι κατανομές σχετικών συχνοτήτων τους να είναι παρόμοιες με την κατανομή της U Μάλιστα, όσο μεγαλύτερου μεγέθους τυχαίο δείγμα παίρνουμε τόσο η κατανομή σχετικών συχνοτήτων του προσεγγίζει καλύτερα την συνάρτηση πιθανότητας f ( u) = P( U = u) της U Αν μάλιστα, υπολογίσουμε την κατανομή σχετικών συχνοτήτων ολόκληρου του πληθυσμού (δηλαδή, αν κατασκευάσουμε τον πίνακα συχνοτήτων των αριθμών παιδιών όλων των οικογενειών που κατοικούν μόνιμα στη Γορτυνία) τότε θα έχουμε προσδιορίσει επακριβώς τη συνάρτηση πιθανότητας της U Ομαδοποίηση των δεδομένων Στα δύο προηγούμενα παραδείγματα, κατασκευάσαμε τον πίνακα συχνοτήτων δεδομένων που προέρχονται από διακριτές ποσοτικές μεταβλητές, μάλιστα, και στις δύο περιπτώσεις οι διαφορετικές τιμές, y, των αντίστοιχων μεταβλητών είναι λίγες (στο πρώτο παράδειγμα 6 διαφορετικές τιμές και στο δεύτερο 5 διαφορετικές τιμές) Ας δούμε ένα παράδειγμα κατασκευής πίνακα συχνοτήτων δεδομένων που προέρχονται από μια συνεχή ποσοτική μεταβλητή Παράδειγμα-: Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται για κάθε μια από 5 τυχαία επιλεγμένες γαλακτοπαραγωγές αγελάδες, ο χρόνος Χ (σε μήνες), από την πρώτη εκδήλωση μιας συγκεκριμένης ασθένειας, από την οποία είχαν προσβληθεί, μέχρι την επανεμφάνισή της (Πρόκειται για μια δύσκολα αντιμετωπίσιμη ασθένεια η οποία ενώ θεραπεύεται, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα επανεμφανίζεται) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

7 Πίνακας-5 Παρατηρούμε ότι οι διαφορετικές τιμές της Χ, δηλαδή τα y, που εμφανίσθηκαν σε αυτό το τυχαίο δείγμα είναι πολλές Η μικρότερη είναι η τιμή και η μεγαλύτερη η 99 Είναι προφανές, ότι αν οργανώσουμε αυτά τα δεδομένα σε πίνακα συχνοτήτων όπως στα δύο προηγούμενα παραδείγματα, δηλαδή, γράφοντας στην πρώτη στήλη, σε αύξουσα σειρά, όλες τις διαφορετικές τιμές y, ο πίνακας θα έχει ελάχιστη πρακτική αξία γιατί δε θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε πώς κατανέμονται τα δεδομένα μεταξύ των τιμών και 99, αφού οι διαφορετικές τιμές είναι πολλές και με μικρή συχνότητα η κάθε μια (οι περισσότερες έχουν συχνότητα η κάθε μία, δηλαδή εμφανίζονται φορά η κάθε μία) Αυτό βέβαια είναι λογικό να συμβαίνει σε συνεχείς μεταβλητές Πολλές διαφορετικές τιμές μπορεί επίσης να εμφανισθούν και σε δείγματα από διακριτές μεταβλητές Για αυτές τις περιπτώσεις, όπου στα δεδομένα εμφανίζονται πολλές διαφορετικές τιμές, είτε αυτές προέρχονται από συνεχείς τυχαίες μεταβλητές είτε από διακριτές, η Περιγραφική Στατιστική, προτείνει η κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων να γίνει αφού πρώτα γίνει ομαδοποίηση των δεδομένων Δηλαδή, να ταξινομούνται τα δεδομένα σε k διαφορετικές ομάδες/κλάσεις (groups/class tervals) και στην πρώτη στήλη του πίνακα συχνοτήτων να αναγράφονται όχι οι διαφορετικές τιμές που εμφανίσθηκαν στο δείγμα αλλά οι k διαφορετικές κλάσεις τιμών Έτσι στη δεύτερη στήλη θα αναγράφεται πλέον η συχνότητα κάθε κλάσης, δηλαδή πόσες φορές εμφανίσθηκαν στο δείγμα όλες οι τιμές που ανήκουν σε κάθε κλάση τιμών αντίστοιχα Στις επόμενες στήλες, θα αναγράφονται αντίστοιχα οι σχετικές, οι αθροιστικές και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες των κλάσεων Δηλαδή, ο πίνακας συχνοτήτων, σε αυτές τις περιπτώσεις, παρουσιάζει τις συχνότητες κλάσεων τιμών και όχι τιμών Προφανώς εννοείται, αλλά το επισημαίνουμε, ότι ο καθορισμός των κλάσεων γίνεται έτσι, ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια μόνο κλάση Γεννώνται, βέβαια, τρία βασικά ερωτήματα: σε πόσες κλάσεις ταξινομούμε τα δεδομένα, τι πλάτος πρέπει να έχει κάθε κλάση και αν πρέπει όλες να είναι ίσου πλάτους ή μπορεί να έχουν και άνισα πλάτη Στα ερωτήματα αυτά η Περιγραφική Στατιστική δε δίνει μονοσήμαντες/αυστηρές απαντήσεις Κατ αρχήν, πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι ομαδοποιώντας τα δεδομένα, χάνουμε κάποια από την πληροφορία που περιέχεται στα αρχικά δεδομένα, και επομένως, όσο πιο λίγες και μεγάλου πλάτους κλάσεις κατασκευάσουμε τόσο περισσότερη πληροφορία χάνουμε Βέβαια, ο αριθμός και το πλάτος των κλάσεων και το αν αυτές θα επιλέξουμε να είναι ίσου ή άνισου πλάτους, εξαρτώνται από την κλίμακα στην οποία θέλουμε να αναδείξουμε διαφορές και από το αν θέλουμε και σε ποια διαστήματα να εστιάσουμε για μεγαλύτερη λεπτομέρεια της κατανομής Επίσης, ο αριθμός και το πλάτος των κλάσεων εξαρτώνται και από το μέγεθος του δείγματος, Μάλιστα, υπάρχει ο τύπος του Sturges, k = + log ( ), ο οποίος δίνει τον αριθμό των κλάσεων k, ως συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένας οδηγός για την επιλογή κατάλληλου αριθμού κλάσεων Αναφέρουμε, τέλος, ότι συνήθως, οι κλάσεις επιλέγουμε να είναι του ίδιου πλάτους Όμως για όλες αυτές τις αποφάσεις, ιδιαίτερη αξία και καθοριστική σημασία έχει η εμπειρία του ερευνητή Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

8 Αν αποφασίσουμε οι κλάσεις να έχουν κοινό πλάτος, έστω r, αυτό υπολογίζεται διαιρώντας το εύρος των δεδομένων, R = x max x, με τον αριθμό των κλάσεων k Δηλαδή, R x xm r = = k k max Όλες οι κλάσεις ορίζονται ως ημιανοικτά διαστήματα της ίδιας μορφής [α, β) ή (α, β] Ο καθορισμός τους, δηλαδή, η επιλογή του αριστερού άκρου της πρώτης κλάσης, γίνεται έτσι ώστε η πρώτη κλάση να περιέχει τη μικρότερη τιμή που εμφανίσθηκε στο δείγμα, x m, και η τελευταία τη μεγαλύτερη, x max Φροντίζουμε, επίσης, να μη συμπίπτουν τιμές του δείγματος με άκρα κλάσεων (χωρίς όμως να είναι απαραίτητο) Ο Πίνακας-6 που ακολουθεί, είναι ο πίνακας συχνοτήτων των δεδομένων του Πίνακα- 5, ομαδοποιημένων σε επτά κλάσεις, πλάτους 5 μήνες η κάθε μια Τον αριθμό των κλάσεων τον επιλέξαμε με βάση τον τύπο του Sturges, R xmax xm k = + log (5) = Για το πλάτος, r, ο τύπος r = = k k 99 έδωσε r = = 9 μήνες το οποίο το στρογγυλοποιήσαμε σε 5 μήνες (δεν 7 ήταν απαραίτητο) Ως αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης πήραμε το μηδέν και τα διαστήματα ημιανοιχτά από δεξιά Να σημειώσουμε ότι, αν για τον υπολογισμό του k ή για τον υπολογισμό του r, κάνουμε στρογγυλοποιήσεις, αυτές πρέπει να γίνουν προς τα πάνω ώστε οι κλάσεις που θα δημιουργηθούν να καλύπτουν όλα τα δεδομένα m Χρόνος Επανεμφάνισης ν f N F [ 5) 4 4 [5 ) [ 45) [45 6) [6 75) [75 9) [9 5) 5 Σύνολα 5 Πίνακας-6 Παρατηρούμε ότι το 68% των τιμών του δείγματος συγκεντρώνεται στις δύο πρώτες κλάσεις, δηλαδή, στο 68% των 5 αγελάδων στις οποίες έγιναν μετρήσεις, ο χρόνος επανεμφάνισης της ασθένειας ήταν μικρότερος από μήνες, μάλιστα, στο 4% η ασθένεια επανεμφανίσθηκε πριν συμπληρωθούν 5 μήνες από την πρώτη εμφάνισή της Επίσης, παρατηρούμε ότι η συχνότητα φθίνει καθώς ο χρόνος επανεμφάνισης της νόσου αυξάνει Σε ένα ποσοστό 6% των αγελάδων, η νόσος επανεμφανίσθηκε μετά από 75 ή και περισσότερους μήνες Μπορούμε βέβαια να βγάλουμε και άλλα ανάλογα συμπεράσματα, όμως δε μπορούμε να συμπεράνουμε αν μια συγκεκριμένη τιμή εμφανίσθηκε στο δείγμα και πόσες φόρες Ως γενικό συμπέρασμα, για την κατανομή αυτού του τυχαίου δείγματος, δηλαδή για την κατανομή των χρόνων επανεμφάνισης της νόσου στις 5 τυχαία επιλεγμένες αγελάδες, μπορούμε να πούμε ότι ένα πολύ μεγάλο ποσοστό, 68%, των τιμών του δείγματος συγκεντρώνεται στο αριστερό άκρο της κατανομής, στο διάστημα [ ) μήνες, και ότι η συχνότητες φθίνουν αυξανομένου του χρόνου Ο Πίνακας-7 που ακολουθεί είναι ο πίνακας συχνοτήτων των τιμών του δείγματος από τη μεταβλητή μηνιαίο οικογενειακό εισόδημα του Παραδείγματος-, ομαδοποιημένων σε 6 κλάσεις, πλάτους η κάθε μια Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

9 Εισόδημα ν f N F Περιγραφική Στατιστική [9 ) 5 5 [ ) [ 5) 6 55 [5 7) [7 9) [9 ) Σύνολα Πίνακας-7 Από τον Πίνακα-7, ως γενικό συμπέρασμα, για την κατανομή του τυχαίου δείγματος των μηνιαίων οικογενειακών εισοδημάτων των τυχαία επιλεγμένων οικογενειών, μπορούμε να πούμε ότι το 5% των τιμών του δείγματος συγκεντρώνεται σε ένα κεντρικό διάστημα τιμών, συγκεκριμένα στο διάστημα, [ 7) με την κλάση [ 5) να έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα και τις συχνότητες αριστερά αυτής της κλάσης να αυξάνουν αυξανομένου του εισοδήματος ενώ δεξιά αυτής της κλάσης, αυξανομένου του εισοδήματος, να φθίνουν Παρατηρήσεις: Είναι προφανές, όμως επισημαίνουμε, ότι η κατανομή συχνοτήτων (και σχετικών και αθροιστικών) επηρεάζεται από την επιλογή των κλάσεων Για το πώς η κατανομή σχετικών συχνοτήτων ενός τυχαίου δείγματος από συνεχή τυχαία μεταβλητή που προκύπτει μετά από ομαδοποίηση, συνδέεται με τη συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας μεταβλητής (ή αλλιώς με την κατανομή του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται το τυχαίο δείγμα) θα αναφερθούμε όταν μιλήσουμε για το ιστόγραμμα Ας δούμε τώρα ποιες δυνατότητες γραφικής αναπαράστασης/παρουσίασης δεδομένων προσφέρει η Περιγραφική Στατιστική για τις ποσοτικές μεταβλητές Γραφική Αναπαράσταση/Παρουσίαση μιας Κατανομής Συχνοτήτων Για την περιγραφή της κατανομής δεδομένων από ποσοτικές μεταβλητές, η Περιγραφική Στατιστική, μας προσφέρει πολλές δυνατότητες γραφικής παρουσίασής τους Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε αρκετές από αυτές και, κυρίως, θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε ποιο ή ποια διαγράμματα γραφικής αναπαράστασης των δεδομένων, επιλέγουμε να κατασκευάσουμε και πώς «διαβάζουμε» ένα τέτοιο διάγραμμα, δηλαδή, πώς το ερμηνεύουμε και τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την κατανομή των δεδομένων μας από αυτό Θα αναφερθούμε και στην κατασκευή τους, όμως, όπως αναφέραμε και στην εισαγωγή, αυτό είναι πλέον πολύ εύκολο να γίνει με χρήση κατάλληλου λογισμικού (αρκεί βέβαια να ξέρουμε τι ζητάμε από το λογισμικό) και γι αυτό θα επιμείνουμε στην ερμηνεία τους Ειδικότερα, θα αναφερθούμε στα ακόλουθα διαγράμματα: Σημειόγραμμα (Dot dagram) Ραβδόγραμμα (Barchart) συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Διάγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (Le dagram) Κυκλικό διάγραμμα (Pechart) συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Ιστόγραμμα Συχνοτήτων (Frequecy Hstogram) και αντίστοιχα, Σχετικών Συχνοτήτων, Αθροιστικών Συχνοτήτων και Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων Πολύγωνο Συχνοτήτων (Frequecy Polygo) και αντίστοιχα, Σχετικών Συχνοτήτων, Αθροιστικών Συχνοτήτων και Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων Φυλλογράφημα (Stem-Leaf plot) Θηκόγραμμα (Box plot) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 4

10 Να σημειώσουμε, ότι το Θηκόγραμμα θα το παρουσιάσουμε αργότερα, όταν θα μιλήσουμε για τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Τους τρόπους γραφικής παρουσίασης των δεδομένων, επιλέξαμε να τους παρουσιάσουμε μέσω παραδειγμάτων Στα τέσσερα σχήματα που ακολουθούν φαίνονται τέσσερις διαφορετικές γραφικές αναπαραστάσεις/απεικονίσεις της κατανομής του δείγματος από τη μεταβλητή U (αριθμός παιδιών οικογένειας) του Παραδείγματος- Στο Σχήμα- φαίνεται η κατανομή συχνοτήτων του δείγματος ως σημειόγραμμα (dot dagram) ενώ στα Σχήματα, και 4 φαίνεται η κατανομή σχετικών συχνοτήτων του δείγματος ως ραβδόγραμμα (barchart), κυκλικό διάγραμμα (pechart) και διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων (le dagram), αντίστοιχα Σχήμα- Σχήμα- Σχήμα- Σχήμα-4 Και οι τέσσερις γραφικές απεικονίσεις, δίνουν μια πιο παραστατική και πιο ευκρινή εικόνα της κατανομής του δείγματος από αυτήν του αντίστοιχου πίνακα συχνοτήτων Βέβαια, δε μας δίνουν περισσότερη ή διαφορετική πληροφορία από αυτήν που μας δίνει ο πίνακας συχνοτήτων, γιατί απλούστατα κατασκευάσθηκαν με βάση την πληροφορία που παίρνουμε από αυτόν και αυτή την πληροφορία απεικονίζουν γραφικά Όμως δίνουν αυτήν την πληροφορία πιο παραστατικά και, λογικά, την κάνουν πιο εύκολα κατανοητή Ιδιαίτερα, συμπεράσματα που αφορούν τη μορφή και τη θέση της κατανομής, προκύπτουν με πιο άμεσο και προφανή τρόπο και χωρίς να απαιτείται ιδιαίτερη εμπειρία Θυμηθείτε το γενικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε όταν σχολιάσαμε τον αντίστοιχο πίνακα συχνοτήτων (σελ ) και παρατηρείστε πόσο άμεσα και αβίαστα προκύπτει αυτό το συμπέρασμα από το σημειόγραμμα ή το ραβδόγραμμα ή το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων Παρατηρείστε επίσης, ότι είναι πλέον ευδιάκριτη μια εμφανής συμμετρία της κατανομής γύρω από την τιμή που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη συχνότητα Ο τρόπος κατασκευής των διαγραμμάτων αυτών, είναι προφανής και απλός Στο σημειόγραμμα, απεικονίζουμε τα δεδομένα ως κουκίδες στις αντίστοιχες θέσεις ενός οριζόντιου άξονα Στο ραβδόγραμμα, απεικονίζουμε τις συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες των διαφορετικών τιμών y, =,,, k, ως ύψη ορθογωνίων που σχεδιάζουμε στις αντίστοιχες θέσεις του οριζόντιου άξονα Τα ορθογώνια Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 5

11 έχουν ίδιο μήκος βάσης που επιλέγουμε αυθαίρετα Επίσης, το ραβδόγραμμα μπορεί να σχεδιασθεί με οριζόντιο, αντί κατακόρυφο, προσανατολισμό Στο διάγραμμα συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων), απεικονίζουμε τις συχνότητες (αντίστοιχα, τις σχετικές συχνότητες)των διαφορετικών τιμών y, =,,,k όπως και στο ραβδόγραμμα, με τη διαφορά ότι στις θέσεις των y χαράσσουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα αντί ορθογωνίων Στο κυκλικό διάγραμμα, απεικονίζουμε τις συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες των διαφορετικών τιμών y, =,,, k με ένα διαφορετικό τρόπο Πρόκειται για έναν κυκλικό δίσκο χωρισμένο σε k κυκλικούς τομείς, έναν για κάθε y, τα τόξα των οποίων, έστω ϕ, είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες και σχετικές συχνότητες Συγκεκριμένα, 6 ϕ =ν = 6 f, =,,, k Παρατηρήσεις και Σχόλια: Το κυκλικό διάγραμμα και το σημειόγραμμα είναι αποτελεσματικά/χρήσιμα όταν οι διαφορετικές τιμές, y, της μεταβλητής που εμφανίζονται στο δείγμα είναι λίγες, διαφορετικά γίνονται «δυσανάγνωστα» και επομένως, χωρίς πρακτική αξία Το ραβδόγραμμα (αλλά και το κυκλικό διάγραμμα), χρησιμοποιείται και για δεδομένα από ποιοτικές μεταβλητές Μάλιστα, στη βιβλιογραφία αλλά και στα στατιστικά πακέτα, σε πολλές περιπτώσεις, το ραβδόγραμμα προτείνεται μόνο για ποιοτικά δεδομένα και όχι για ποσοτικά Αντίθετα, άλλοι συγγραφείς, για διακριτά ποσοτικά δεδομένα προτείνουν μόνο το ραβδόγραμμα και δεν αναφέρονται στο διάγραμμα συχνοτήτων Η άποψη μας είναι ότι αν κρίνουμε ότι το ραβδόγραμμα θα βοηθήσει αυτούς στους οποίους απευθύνεται να κατανοήσουν την κατανομή των δεδομένων, τότε μπορεί να χρησιμοποιείται και όταν τα δεδομένα προέρχονται από διακριτή ποσοτική μεταβλητή Όμως, όχι αντί του διαγράμματος συχνοτήτων αλλά συμπληρωματικά Το διάγραμμα συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων) κατασκευάζεται για δεδομένα που προέρχονται από διακριτή ποσοτική μεταβλητή Αν τα δεδομένα προέρχονται από συνεχή ποσοτική μεταβλητή αντί του διαγράμματος συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων) κατασκευάζεται το αντίστοιχο ιστόγραμμα ή/και το φυλλογράφημα τα οποία όπως θα δούμε κατασκευάζονται και για δεδομένα που προέρχονται από διακριτή ποσοτική μεταβλητή 4 Tο διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων ενός τυχαίου δείγματος τιμών, x, x,, x, από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, μας δίνει μια εμπειρική/ προσεγγιστική εικόνα του διαγράμματος πιθανοτήτων της τυχαίας μεταβλητής Χ Στο Σχήμα-5, φαίνεται το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων της κατανομής του τυχαίου δείγματος του Παραδείγματος- Και στο παράδειγμα αυτό, διαπιστώνουμε ότι από το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων, άμεσα προκύπτει το γενικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε για την κατανομή αυτού του τυχαίου δείγματος όταν σχολιάσαμε τον αντίστοιχο πίνακα συχνοτήτων (σελ ) Μπορούμε επίσης να κατασκευάσουμε και το κυκλικό διάγραμμα αλλά και το σημειόγραμμα γιατί οι διαφορετικές τιμές που εμφανίσθηκαν στο τυχαίο δείγμα είναι λίγες (δείτε το ως άσκηση) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 6

12 Σχήμα-5 Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε να παρουσιάσουμε γραφικά την κατανομή του τυχαίου δείγματος του Παραδείγματος- (χρόνοι επανεμφάνισης της ασθένειας) Οι διαφορετικές τιμές, y, της μεταβλητής Χ που εμφανίσθηκαν στο δείγμα είναι πολλές και επομένως δεν έχει πρακτική αξία να κατασκευάσουμε το σημειόγραμμα ή το κυκλικό διάγραμμα του δείγματος Όταν το τυχαίο δείγμα προέρχεται από συνεχή ποσοτική μεταβλητή, όπως στο παράδειγμά μας, για τη γραφική παρουσίαση της κατανομής του ενδείκνυνται τα ιστογράμματα, τα πολύγωνα συχνοτήτων και το φυλλογράφημα (είτε οι διαφορετικές τιμές είναι πολλές είτε είναι λίγες) Στα Σχήματα 6, 7, 8 και 9 φαίνεται η κατανομή του τυχαίου δείγματος του παραδείγματός μας, ως ιστόγραμμα (hstogram) και πολύγωνο (polygo) συχνοτήτων, ως ιστόγραμμα και πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, ως ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων και ως ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα Σχήμα-6 Σχήμα-7 Σχήμα-8 Σχήμα-9 Τα ιστογράμματα κατασκευάζονται για τη γραφική παρουσίαση/αναπαράσταση της πληροφορίας που παίρνουμε από έναν πίνακα συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων Για να κατασκευάσουμε ένα ιστόγραμμα, σημειώνουμε στον οριζόντιο άξονα ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων, με κατάλληλη κλίμακα, τα άκρα των κλάσεων, και στα διαδοχικά διαστήματα που ορίζουν αυτά, υψώνουμε διαδοχικά Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 7

13 ορθογώνια Κάθε ορθογώνιο σχεδιάζεται έτσι, ώστε, το εμβαδόν του να ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης αν πρόκειται για το ιστόγραμμα συχνοτήτων, ή με τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης αν πρόκειται για το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, ή με την αθροιστική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης αν πρόκειται για το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων, ή με την αθροιστική σχετική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης αν πρόκειται για το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Αν στο ιστόγραμμα συχνοτήτων, αριστερά της πρώτης κλάσης και δεξιά της τελευταίας, θεωρήσουμε από μία υποθετική κλάση με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα μέσα των πάνω βάσεων των ορθογωνίων, δημιουργείται το πολύγωνο συχνοτήτων Ομοίως δημιουργείται το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων (από το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων) Το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων δημιουργούνται αν στα αντίστοιχα ιστογράμματα, ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα δεξιά άκρα των πάνω βάσεων των ορθογωνίων Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων, το συνολικό εμβαδόν των ορθογωνίων προφανώς είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, και αντίστοιχα, στο ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων είναι ίσο με (ή με ) Επίσης, το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ του πολυγώνου συχνοτήτων (αντίστοιχα, σχετικών συχνοτήτων) και του οριζόντιου άξονα είναι ίσο με (αντίστοιχα, ίσο με ή με ) Σε ότι αφορά στα ύψη των ορθογωνίων, προφανώς πρέπει να είναι τέτοια ώστε τα εμβαδά τους να είναι ίσα με τις αντίστοιχες συχνότητες/σχετκές συχνότητες Έτσι, στο ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, το ύψος κάθε ορθογωνίου υπολογίζεται αν διαιρέσουμε τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης, δηλαδή το ποσοστό των δεδομένων στην αντίστοιχη κλάση, με το πλάτος της κλάσης Επομένως, το ύψος κάθε ορθογωνίου εκφράζει το ποσοστό της συγκέντρωσης δεδομένων στην αντίστοιχη κλάση, ανά μονάδα του οριζόντιου άξονα, δηλαδή εκφράζει πυκνότητα, και γι αυτό αυτή η κλίμακα απεικόνισης ονομάζεται κλίμακα πυκνότητας (desty scale) Στην περίπτωση που όλες οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος, όπως στο παράδειγμά μας, συνηθίζεται να κάνουμε το εξής «trck» Ως μονάδα μέτρησης της μεταβλητής στον οριζόντιο άξονα θεωρούμε το πλάτος των κλάσεων Με αυτό τον τρόπο, και τα εμβαδά αλλά και τα ύψη των ορθογωνίων είναι ίσα με τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες Επομένως, στην περίπτωση αυτή, το ύψος κάθε ορθογωνίου εκφράζει το ποσοστό της συγκέντρωσης δεδομένων στην αντίστοιχη κλάση Το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων του παραδείγματος μας (Σχήμα-7), με αυτόν τον τρόπο σχεδιάσθηκε Θεωρήσαμε ως μονάδα στον οριζόντιο άξονα όχι το μήνα αλλά τους 5 μήνες και έτσι τα ύψη των ορθογωνίων είναι ίσα με τις σχετικές συχνότητες των αντίστοιχων κλάσεων, όπως τα εμβαδά, δηλαδή είναι ίσα (από αριστερά προς τα δεξιά) με 4%, 6%, %, 8%, 6%, 4% και % αντίστοιχα, γι αυτό και στον κατακόρυφο άξονα γράφουμε «Σχετικές Συχνότητες (%)» Αν χρησιμοποιούσαμε κλίμακα πυκνότητας τα ύψη θα ήταν, αντίστοιχα, ίσα με 8%, 7%, 8%, 5%, 4%, 7% και % και τα εμβαδά θα ήταν και πάλι ίσα με 4%, 6%, %, 8%, 6%, 4% και % όμως δεν θα προέκυπταν με απλή ανάγνωση του κατακόρυφου άξονα αλλά κάνοντας τους αντίστοιχους πολλαπλασιασμούς ( 8 5, 7 5κτλ) Στην περίπτωση αυτή, στον κατακόρυφο άξονα θα γράφαμε «Σχετικές Συχνότητες ανά μήνα (%)» Ανάλογα, μπορούμε να εργασθούμε για την κατασκευή και των άλλων τύπων ιστογράμματος Όμως, επαναλαμβάνουμε, μπορούμε να κάνουμε αυτό το Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 8

14 «trck» που μας διευκολύνει και στην κατασκευή αλλά και στην ανάγνωση του ιστογράμματος μόνο όταν οι κλάσεις είναι του ιδίου πλάτους Και τα τέσσερα ιστογράμματα, δίνουν μια πιο παραστατική και πιο ευκρινή εικόνα της κατανομής του δείγματος από αυτήν του πίνακα συχνοτήτων Βέβαια, όπως και οι γραφικές παρουσιάσεις μη ομαδοποιημένων δεδομένων, τα ιστογράμματα δε μας δίνουν περισσότερη ή/και διαφορετική πληροφορία από αυτήν που μας δίνει ο πίνακας συχνοτήτων, γιατί απλούστατα κατασκευάζονται με βάση την πληροφορία που παίρνουμε από αυτόν και αυτή την πληροφορία απεικονίζουν γραφικά Όμως δίνουν αυτήν την πληροφορία πιο παραστατικά Έτσι, από τα ιστογράμματα, για παράδειγμα, των σχετικών και των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, μπορούμε πολύ εύκολα να πάρουμε το ποσοστό των τιμών του δείγματος που βρίσκονται μεταξύ των άκρων μιας κλάσης ή μιας ομάδας διαδοχικών κλάσεων ή αριστερά/δεξιά ενός άκρου μιας κλάσης Ιδιαίτερα, συμπεράσματα που αφορούν τη μορφή και τη θέση της κατανομής, προκύπτουν με πιο άμεσο και προφανή τρόπο και χωρίς να απαιτείται ιδιαίτερη εμπειρία Θυμηθείτε το γενικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε όταν σχολιάσαμε τον αντίστοιχο πίνακα συχνοτήτων (σελ ) και παρατηρείστε πόσο άμεσα και αβίαστα προκύπτει αυτό το συμπέρασμα από τα ιστογράμματα Παρατηρείστε επίσης, ότι είναι πιο ευδιάκριτη μια εμφανής ασυμμετρία της κατανομής Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και Συνάρτηση Πυκνότητας Στα προηγούμενα, είδαμε ότι το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων ενός τυχαίου δείγματος τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής αποτελεί μια προσέγγιση του διαγράμματος πιθανοτήτων της τυχαίας μεταβλητής Είναι λογικό, να περιμένουμε να συμβαίνει κάτι ανάλογο, με το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ενός τυχαίου δείγματος τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και τη συνάρτηση πυκνότητάς της Πράγματι, το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων αποτελεί μια εκτίμηση/προσέγγιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης πυκνότητας Θυμηθείτε ότι όταν στο Μέρος Α μιλήσαμε για τη συνάρτηση πυκνότητας, f, μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, είδαμε ότι οι πιθανότητες που αφορούν την Χ υπολογίζονται ως εμβαδά κατάλληλων περιοχών κάτω από τη γραφική παράσταση της f και ότι για την τιμή της, f (α ), στη θέση x = α, ισχύει: ε ε P( α < X < α + ) f ( α) () ε Δηλαδή, η τιμή της συνάρτησης πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στη θέση α είναι ίση με το λόγο της πιθανότητας να πάρει η Χ τιμές σε ένα διάστημα πλάτους ε γύρω από τοα προς το πλάτος αυτό Κάτι ανάλογο συμβαίνει, όπως είδαμε, με το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων των τιμών του τυχαίου δείγματος από την Χ (και την προσέγγισή του, το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων) Αν επιλέξουμε τυχαία μια τιμή από το δείγμα του παραδείγματός μας, η πιθανότητα αυτή να βρίσκεται, για παράδειγμα, μεταξύ 5 και 6 είναι ίση με το συνολικό εμβαδόν των ορθογωνίων που αντιστοιχούν στις κλάσεις [5 ), [ 45) και [45 6), δηλαδή, είναι ίση με 46 Αυτή η πιθανότητα αποτελεί μια προσέγγιση της πιθανότητας P ( 5 < X < 6), δηλαδή της πιθανότητας, αν επιλέξουμε τυχαία από τον πληθυσμό μια τιμή, αυτή να βρίσκεται μεταξύ 5 και 6 Επίσης, το ύψος κάθε ορθογωνίου ορίσθηκε ως λόγος, όπως αυτός στη σχέση () (Θυμηθείτε την κλίμακα πυκνότητας) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 9

15 Ομαδοποιώντας τα δεδομένα, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, χάνουμε κάποια από την πληροφορία που περιέχεται στο δείγμα και γι αυτό, είναι λογικό, όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται να παίρνουμε όλο και μεγαλύτερο αριθμό κλάσεων με πλάτος όλο και πιο μικρό Έτσι, η συνάρτηση πυκνότητας της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής από την οποία παίρνουμε τα τυχαία δείγματα προσεγγίζεται από τα αντίστοιχα πολύγωνα συχνοτήτων όλο και καλύτερα Μάλιστα, όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται και το πλάτος των κλάσεων μειώνεται, το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων παίρνει όλο και πιο πολύ, μορφή λείας καμπύλης Και επειδή οι συνεχείς μεταβλητές (τουλάχιστον θεωρητικά) μπορούν να πάρουν άπειρες τιμές, η καμπύλη σχετικών συχνοτήτων ολόκληρου του πληθυσμού προκύπτει ως το όριο των πολυγώνων συχνοτήτων στα οποία το πλάτος των κλάσεων τείνει στο μηδέν και πρόκειται, φυσικά, για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας Στο Σχήμα-, φαίνεται η λεία καμπύλη σχετικών συχνοτήτων που προσεγγιστικά προκύπτει για τη μεταβλητή «χρόνος επανεμφάνισης της ασθένειας» του Παραδείγματος- Παρατηρείστε την κλίμακα πυκνότητας στον κατακόρυφο άξονα Σχήμα Τα πολύγωνα και οι καμπύλες σχετικών συχνοτήτων μπορεί να έχουν διάφορες μορφές όπως: Μπορεί να παρουσιάζουν μια, καμία ή και περισσότερες κορυφές Μπορεί επίσης να είναι συμμετρικές ή όχι ως προς τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από την κορυφή Αν είναι συμμετρικές, δεξιά και αριστερά του κατακόρυφου άξονα βρίσκεται το ίδιο ποσοστό παρατηρήσεων Αν δεξιά του άξονα βρίσκεται μεγαλύτερο ποσοστό παρατηρήσεων η καμπύλη παρουσιάζει θετική ασυμμετρία Αρνητική ασυμμετρία παρουσιάζει όταν μεγαλύτερο ποσοστό παρατηρήσεων βρίσκεται αριστερά του άξονα (βλ Σχήμα-α και β, αντίστοιχα) Περισσότερα για το νόημα και την ερμηνεία του είδους της ασυμμετρίας, θα αναφέρουμε στα επόμενα όταν θα μιλήσουμε για τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

16 Θετική ασυμμετρία (α) Σχήμα- Αρνητική ασυμμετρία (β) Τέλος, οι καμπύλες συχνοτήτων, ανάλογα με το βαθμό συγκέντρωσης των παρατηρήσεων στο μέσο και στα άκρα της κατανομής, διακρίνονται σε μεσόκυρτες, λεπτόκυρτες, και πλατύκυρτες (βλ Σχήμα-α, β και γ, αντίστοιχα) Μεσόκυρτη Λεπτόκυρτη Πλατύκυρτη (α) (β) (γ) Σχήμα- Όπως ήδη έχουμε διαπιστώσει, με την ομαδοποίηση των τιμών του δείγματος, χάνουμε κάποια από την πληροφορία που περιέχεται σε αυτό αφού τόσο ο πίνακας συχνοτήτων όσο και τα ιστογράμματα δε διατηρούν τις αρχικές τιμές του δείγματος Αυτό το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπισθεί με την κατασκευή του φυλλογραφήματος (steam-leaf plot) των τιμών του δείγματος (είναι μια από τις μεθόδους-τεχνικές της διερευνητικής ανάλυσης δεδομένων) Στο Σχήμα-β, φαίνεται το φυλλογράφημα του τυχαίου δείγματος τιμών του Παραδείγματος- Ας δούμε πώς κατασκευάσθηκε και πώς «διαβάζεται» (α) ΗΙ 9,9 (Leaf ut=) (β) Σχήμα- Η κατασκευή του έγινε σε τέσσερα βήματα: α) Χωρίσαμε κάθε τιμή του δείγματος σε δύο μέρη Στο steam και το leaf Τα leaves επιλέξαμε να εκφράζουν τα δέκατα (και επομένως τα steams τις μονάδες) Έτσι, για Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

17 παράδειγμα, η τιμή 57 αναπαρίσταται ως 5 7 όπου το 5 είναι το steam και το 7 το leaf αυτής της τιμής β) Καταγράψαμε όλα τα steams, τα διατάξαμε κατακόρυφα σε αύξουσα σειρά και, δεξιά τους, χαράξαμε μια κατακόρυφη γραμμή γ) Στη γραμμή κάθε steam, καταγράψαμε το leaf κάθε τιμής του δείγματος που έχει το συγκεκριμένο steam Έτσι, στη γραμμή που βρίσκεται το steam 5, καταγράψαμε δεξιά της κατακόρυφης γραμμής τα leaves, 5, 6, 7, 9 γιατί οι τιμές του δείγματος που έχουν steam 5 είναι οι τιμές: 55, 56, 57 και 59 (Τα leaves κάθε steam, τα καταγράφουμε σε αύξουσα σειρά) δ) Σημειώσαμε σε κάποιο σημείο του διαγράμματος (ως υπόμνημα) την αναγκαία πληροφορία για να είναι σαφές τι εκφράζουν τα steams και τα leaves Είναι φανερό ότι από ένα φυλλογράφημα μπορεί κανείς, αμέσως, να διαπιστώσει αν μια συγκεκριμένη τιμή ανήκει (και πόσες φορές) στο δείγμα, κάτι το οποίο, δεν είναι δυνατόν να γίνει από ένα ιστόγραμμα Για παράδειγμα, από το παραπάνω φυλλογράφημα εύκολα διαπιστώνουμε ότι η τιμή 5 δεν εμφανίσθηκε στο δείγμα ενώ η τιμή εμφανίσθηκε και μάλιστα δύο φορές Το φυλλογράφημα, επηρεάζεται από την επιλογή των steams όπως και το ιστόγραμμα επηρεάζεται από την επιλογή των κλάσεων Αξίζει, επίσης, να σημειώσουμε ότι η εικόνα-μορφή ενός φυλλογραφήματος είναι ανάλογη με αυτήν του αντίστοιχου ιστογράμματος συχνοτήτων (δείτε τα Σχήματα α και β όπου το ιστόγραμμα συχνοτήτων, για διευκόλυνση της σύγκρισης, έχει περιστραφεί κατά 9 ) Σημείωση: Στα φυλλογραφήματα που κατασκευάζουν τα στατιστικά πακέτα, σημειώνονται και άλλες πληροφορίες όπως, σε ποιο steam βρίσκεται η διάμεσος, οι αθροιστικές συχνότητες και οι πιθανές «ακραίες» τιμές (μια τέτοια τιμή, η τιμή 99, φαίνεται και στο παράδειγμά μας και συμβολίζεται με HI) Παρατήρηση: Κάποιες φορές, μπορεί τα διαφορετικά steams να είναι πολύ λίγα και κάποια (ή και όλα) να έχουν πολλά leaves Σε αυτές τις περιπτώσεις, για καλύτερη παρουσίαση των δεδομένων μας, μπορούμε να «απλώσουμε» τα steams που έχουν πολλά leaves, γράφοντας καθένα από αυτά, σε δύο ή περισσότερες γραμμές, ανάλογα με τον αριθμό των leaves που έχουν Συνήθως ένα steam, ανάλογα με τον αριθμό των leaves του, «απλώνεται» σε περισσότερες γραμμές με δύο τρόπους: α) Σε δύο γραμμές, όπου στην πρώτη καταγράφονται τα leaves από μέχρι 4 και στη δεύτερη τα leaves από 5 μέχρι 9 β) Σε πέντε γραμμές, όπου καταγράφονται, αντίστοιχα, τα leaves, και, και, 4 και 5, 6 και 7, 8 και 9 Μια τέτοια περίπτωση, φαίνεται στο φυλλογράφημα του Σχήματος (Leaf ut=) Σχήμα-4 Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

18 Στα Σχήματα 5, 6 και 7, φαίνονται, αντίστοιχα, το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το φυλλογράφημα των τιμών της μεταβλητής μηνιαίο οικογενειακό εισόδημα στο δείγμα του Παραδείγματος- Στο φυλλογράφημα, ως leaves πήραμε τις δεκάδες (και ως steams τις εκατοντάδες) Έτσι, για παράδειγμα, η τιμή 45 αναπαρίσταται ως 4 5 Σχήμα-5 (Leaf ut=) Σχήμα-7 Σχήμα-6 Και στο παράδειγμα αυτό, διαπιστώνουμε ότι από το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων αλλά και από το φυλλογράφημα άμεσα προκύπτει το γενικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε για την κατανομή αυτού του τυχαίου δείγματος όταν σχολιάσαμε τον αντίστοιχο πίνακα συχνοτήτων (σελ 4) Φαίνεται επίσης, ότι η κατανομή του δείγματος είναι περίπου συμμετρική Στο σημείο αυτό, αξίζει να κάνουμε μια παρατήρηση/επισήμανση Παρατήρηση: Όπως θα έχετε παρατηρήσει, επιμένουμε στην ανίχνευση πιθανής συμμετρίας στην κατανομή του τυχαίου δείγματος Αυτό το κάνουμε γιατί, όπως θα διαπιστώσουμε στα επόμενα, έχει αναπτυχθεί μια ευρέως εφαρμοζόμενη κατηγορία μεθόδων στατιστικής συμπερασματολογίας που προϋποθέτουν ότι το τυχαίο δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυσμό, δηλαδή, ότι οι τιμές του τυχαίου δείγματος είναι τιμές τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί κάποια κανονική κατανομή (η οποία, όπως γνωρίζουμε, είναι συμμετρική, μονοκόρυφη κατανομή και με «όχι παχιές» ουρές/μεσόκυρτη) Όταν επομένως το δείγμα είναι τυχαίο, μπορούμε, από τη μορφή της κατανομής του να κάνουμε μια πρώτη «εκτίμηση» για το αν η κατανομή του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται μπορεί να είναι κανονική ή απέχει πολύ από αυτή Αυτό που παρατηρούμε στην κατανομή του δείγματος είναι αν είναι (περίπου) συμμετρική ή αν παρουσιάζει μεγάλη/εμφανή ασυμμετρία (επίσης, αν είναι μονοκόρυφη ή όχι και αν δεν έχει «παχιές» ουρές, δηλαδή, αν δεν εμφανίσθηκαν ακραίες τιμές, αλλά γι αυτό, θα πούμε περισσότερα όταν θα μιλήσουμε για το θηκόγραμμα) Βέβαια, όπως θα δούμε, δεν (πρέπει να) αποφασίζουμε για το αν το δείγμα προέρχεται από κανονικό ή όχι Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

19 πληθυσμό, μόνο από την εικόνα του πολυγώνου και του ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων του δείγματος (υπάρχουν για το σκοπό αυτό ειδικοί στατιστικοί έλεγχοι) Εξάλλου, από μια άλλη ομαδοποίηση των τιμών του δείγματος, είναι πιθανόν να παίρναμε μια αρκετά διαφορετική εικόνα για τη μορφή της κατανομής του δείγματος Το ίδιο θα μπορούσε επίσης να συμβεί αν παίρναμε ένα άλλο τυχαίο δείγμα Όμως, μια πρώτη «εκτίμηση», ιδιαίτερα αν το δείγμα δεν είναι μικρό, είναι πάντοτε χρήσιμη Ερώτηση: Στα Σχήματα 8α και 8β, φαίνονται τα πολύγωνα σχετικών συχνοτήτων και τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων δύο κατανομών δεδομένων Σχολιάστε τη σχετική θέση των αντίστοιχων πολυγώνων στα δύο σχήματα (α) Σχήμα-8 (β) Υπόδειξη: Η κατανομή της οποίας το πολύγωνο συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων βρίσκονται δεξιότερα, είναι «στοχαστικά μεγαλύτερη» Σκεφθείτε τι μπορεί να σημαίνει αυτό (Θεωρείστε ότι η κατανομή που βρίσκεται δεξιότερα, αφορά, για παράδειγμα, στις τιμές ενός αιματολογικού δείκτη σε μια ομάδα ανδρών και η άλλη κατανομή στις τιμές του ίδιου αιματολογικού δείκτη σε μια ομάδα γυναικών και συγκρίνετε τα ποσοστά στις δύο ομάδες που έχουν τιμή αιματολογικού δείκτη, πχ, μεγαλύτερη από μονάδες ή μικρότερη από Επίσης, βρείτε και συγκρίνετε τις τιμές, κάποιου ποσοστημορίου πχ του p 6, στις δύο κατανομές) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 4

20 Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα (Numercal Descrptve Measuers) Περιγραφική Στατιστική Οι διάφορες γραφικές αναπαραστάσεις της κατανομής του δείγματος (διαγράμματα, ιστογράμματα και πολύγωνα συχνοτήτων, φυλλογράφημα, κτλ) μας βοηθούν, όπως είδαμε, να αποκτήσουμε μια παραστατική εικόνα για τη θέση της και τη μορφή της Όμως, υπάρχουν όρια στην περαιτέρω αξιοποίησή τους, ιδίως, στην αξιοποίησή τους στη στατιστική συμπερασματολογία Για παράδειγμα, αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το ιστόγραμμα ενός τυχαίου δείγματος για να οδηγηθούμε σε συμπεράσματα για το ιστόγραμμα του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται, πώς μπορούμε να μετρήσουμε τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ των δύο ιστογραμμάτων; Αν ταυτίζονται, μπορούμε να πούμε ότι τα δύο ιστογράμματα «είναι ίδια», αν όμως υπάρχουν διαφορές (που είναι και το πιο πιθανό) πώς θα εκφράσουμε το «πόσο διαφέρουν»; Απαιτείται επομένως, ένα επόμενο βήμα Πρέπει να μπορούμε να περιγράψουμε την κατανομή του δείγματος και την κατανομή του πληθυσμού και με ποσοτικούς όρους, ώστε η σύγκριση να μπορεί να γίνει με ποσοτικά/μετρήσιμα κριτήρια Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα αυτό ακριβώς μας προσφέρουν Πρόκειται για ποσοτικά μεγέθη που βοηθούν στην περιγραφή της κατανομής ενός δείγματος ή ενός πληθυσμού με όρους ποσοτικούς Αν αφορούν έναν πληθυσμό, ονομάζονται παράμετροι (parameters) ενώ αν αφορούν ένα δείγμα από έναν πληθυσμό, ονομάζονται στατιστικά (statstcs) Δύο βασικές παραμέτρους γνωρίσαμε ήδη στο Μέρος Α, τη μέση τιμή, μ, και τη διασπορά, σ, ενός πληθυσμού (ή ισοδύναμα, μιας τυχαίας μεταβλητής) Οι παράμετροι ενός πληθυσμού είναι συγκεκριμένοι/μοναδικοί αριθμοί, που μπορεί, βέβαια, να μάς είναι είτε γνωστοί είτε άγνωστοι Αντίθετα, τα στατιστικά, μεταβάλλονται από δείγμα σε δείγμα, αλλά για κάθε συγκεκριμένο δείγμα μπορούμε να τα υπολογίσουμε, δηλαδή, για κάθε συγκεκριμένο δείγμα, x, x,, x, μάς είναι γνωστά Στη συνέχεια, θα εξηγήσουμε πώς ορίζονται τα βασικά στατιστικά ενός δείγματος, πώς τα υπολογίζουμε για συγκεκριμένο δείγμα, x, x,, x, και κυρίως θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε και να αναδείξουμε το νόημά τους, ώστε να μπορούμε να τα ερμηνεύουμε και να τα αξιοποιούμε για την περιγραφή της κατανομής του δείγματος, σωστά Τα στατιστικά (αλλά και οι παράμετροι) ταξινομούνται σε τρεις βασικές κατηγορίες: α) Μέτρα Θέσης/Κεντρικής Τάσης (locato measures/ Cetral tedecy measures) β) Μέτρα Μεταβλητότητας/Διασποράς (Varablty measures/dspreto measures) γ) Μέτρα Λοξότητας (Skewess) και Κύρτωσης (Kurtoss) Τα μέτρα θέσης μας δίνουν πληροφορίες για τη θέση της κατανομής του δείγματος, τα μέτρα διασποράς για τη μεταβλητότητα των τιμών του και τα μέτρα λοξότητας και κύρτωσης για τη μορφή της κατανομής του Μέτρα θέσης/κεντρικής τάσης Για την περιγραφή της θέσης της κατανομής ενός δείγματος, θα παρουσιάσουμε τέσσερα μέτρα θέσης Τη δειγματική μέση τιμή (δειγματικός μέσος) ή αριθμητικός μέσος ή μέσος όρος (sample mea/arthmetc mea/ average) Τη δειγματική κορυφή (sample mode) Τη δειγματική διάμεσο (sample meda) Τα ποσοστημόρια του δείγματος (sample quatles) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 5

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 2 Περιγραφικές Τεχνικές

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 2 Περιγραφικές Τεχνικές ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου O πύραυλος Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί Στόχοι Οι

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα (

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 09-11-14 ΘΕΜΑ Α Α1. Να αναφέρετε ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές και σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται. μονάδες 4 Α2.Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 20: Τύποι πληθυσμιακών πυραμίδων

Σχήμα 20: Τύποι πληθυσμιακών πυραμίδων IV.3. Οι πληθυσμιακές πυραμίδες Στην ανάλυση των πληθυσμιακών δομών κεντρικό ρόλο έχουν οι πληθυσμιακές πυραμίδες και οι αποκαλούμενοι δομικοί δείκτες. Η κατανομή του συνόλου των ατόμων ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Θέμα Γραφικές παραστάσεις Ραβδόγραμμα - Ιστόγραμμα -Κυκλικό διάγραμμα Πίνακες-Σχετικές Συχνοτητες-Ποσοστα-Κλασματα Ενδεικτική πορεία διδασκαλίας Α. Δίνουμε στους εκπαιδευόμενους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

τα μεταλλικά Μια στρώμα. Για την έννοια πως αν και νανοσωματίδια (με εξάχνωση Al). πρέπει κανείς να τοποθετήσει τα μερικές δεκάδες nm πράγμα

τα μεταλλικά Μια στρώμα. Για την έννοια πως αν και νανοσωματίδια (με εξάχνωση Al). πρέπει κανείς να τοποθετήσει τα μερικές δεκάδες nm πράγμα Φραγή Coulomb σε διατάξεις που περιέχουν νανοσωματίδια. Ι. Φραγή Coulomb σε διατάξεις που περιέχουν μεταλλικά νανοσωματίδια 1. Περιγραφή των διατάξεων Μια διάταξη που περιέχει νανοσωματίδια μπορεί να αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εισαγωγή στο P.A.S.W. Υποχρεωτικό μάθημα 4 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα