Ιστορία των Μαθηματικών. Μ. Σιάλαρος

Transcript

1 Ιστορία των Μαθηματικών Μ. Σιάλαρος

2 Τα Μαθηματικά των Προσωκρατικών

3 Γεωγραφικός Χώρος

4 Κοσμογονία/Κοσμολογία H θεά Νουτ, γυμνή αναπαριστά τον ουράνιο θόλο. Ο θεός Ρα εισέρχεται στο στόμα της θεάς Νουτ και εξέρχεται από τα γεννητικά της όργανα 9 μήνες αργότερα.

5

6 Ο θεός Μαρδούκ, γιος του θεού των υδάτων (Ένκι), πατέρας του θεού της σοφίας (Ναμπού), και κύριος των κεραυνών. Στο έπος της Δημιουργίας νικάει το Χάος και επιβάλλει τάξη στον κόσμο.

7

8

9

10 Το πρόβλημα των πηγών

11

12 Κριτική στη μυθολογική ερμηνεία Ξενοφάνης

13 Ιπποκρατικοί Με την αρρώστια που τη λένε ιερή ιδού πώς έχει το πράγμα: Δεν πιστεύω καθόλου πως η αρρώστια αυτή είναι πιο θεϊκή από τις άλλες αρρώστιες ή πιο ιερή. Πιστεύω πως υπάρχει και γι αυτήν μια φυσική αιτία, οι άνθρωποι όμως, είτε από άγνοια είτε και γιατί τους έκαμε εντύπωση ο παράξενος χαρακτήρας της -δεν μοιάζει, πράγματι, σε τίποτε με τις άλλες αρρώστιες-, τη θεώρησαν αρρώστια που τη στέλνουν οι θεοί. Αν είναι όμως να τη θεωρούμε αρρώστια θεϊκή μόνο γιατί μας φαίνεται παράξενη, τότε - αν το πράγμα εξαρτάται μόνο από αυτό- θα βγουν να είναι πολλές οι ιερές αρρώστιες και όχι μόνο μία. Ιπποκράτης, Περί της Ιερής Νόσου

14 Νέες Θεωρίες περί φύσης

15 Νέα(;) Ερωτήματα Πώς φτιάχτηκε το σύμπαν; Από τι αποτελείται; Πώς ξεκίνησε η ζωή; Τι είναι φυσικό και τι όχι; Γιατί συμβαίνει ένα φυσικό φαινόμενο; Πώς συνδέονται οι αριθμοί με τη φύση;

16 Οι πρώτες αρχές Οι περισσότεροι από τους πρώτους φιλόσοφους πίστευαν ότι οι υλικές αρχές είναι οι μόνες αρχές των πάντων. Γιατί αυτό από το οποίο προέρχονται όλα όσα υπάρχουν και στο οποίο αποσυντίθενται σε τελευταία ανάλυση αυτό λένε ότι είναι η το στοιχείο και η πρώτη αρχή όλων των πραγμάτων που υπάρχουν.γιατί πρέπει να υπάρχει μια φυσική ουσία, μία ή περισσότερες, από την οποία γίνονται τα άλλα πράγματα ενώ αυτή διατηρείται. Αλλά σ ότι αφορά το πλήθος και τη μορφή αυτής της πρώτης αρχής δεν συμφωνούν όλοι Αριστοτέλης, Μετ. Α 3, 983 β 6

17

18 Τα Μαθηματικά των Προσωκρατικών

19 Ο Απολλόδωρος (2 ος αι. π.χ.), σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο (3 ος αι. μ.χ.), τοποθετεί τη δράση του Θαλή το 640 και τον θάνατό του το 548.

20 Εθνικότητα

21

22

23

24 1) Μηχανικός; 2) Πολιτικός ηγέτης; 3) Έμπορος; 4) Αστρονόμος; 5) Σοφός; 6) Φιλόσοφος; 7) Μαθηματικός;

25 Μηχανικός

26 Πολιτικός ηγέτης

27 Έμπορος

28 Αστρονόμος Και ενώ εξακολουθούσαν τον πόλεμο ισόπαλοι, τον έχτο χρόνο, σε μια συμπλοκή, συνέβη πάνω στη μάχη ξαφνικά η μέρα να γίνει νύχτα. Αυτή την αλλαγή της μέρας σε νύχτα, την είχε ο Θαλής ο Μιλήσιος πει από πριν στους Ίωνες πως θα γίνει, προκαθορίζοντας και τον χρόνο αυτόν, μέσα στον οποίο πραγματικά και έγινε η μεταβολή. Οι Λυδοί και οι Μήδοι, όταν είδαν τη μέρα να γίνεται νύχτα, σταμάτησαν τη μάχη και πρόθυμα έσπευσαν και οι δύο να κλείσουν μεταξύ τους ειρήνη. Ηρόδοτος, Ιστ. 1.74

29 Αυτός ο άνδρας είναι ένας Θαλής! (αναφερόμενος στον αστρονόμο Μέτωνα) Αριστοφάνης, Όρνιθες 1009 Αστρονόμος

30

31 Ένας από τους επτά Σοφούς Θαλῆς ὁ Μιλήσιος καὶ Πιττακὸς ὁ Μυτιληναῖος καὶ Βίας ὁ Πριηνεὺς καὶ Σόλων ὁ ἡμέτερος καὶ Κλεόβουλος ὁ Λίνδιος καὶ Μύσων ὁ Χηνεύς, καὶ ἕβδομος ἐν τούτοις ἐλέγετο Λακεδαιμόνιος Χίλων. Πλάτων, Πρωτ. 343a (DK 10,2) Σοφοὶ δὲ ἐνομίζοντο οἵδε Θαλῆς, Σόλων, Περίανδρος, Κλεόβουλος, Χείλων, Βίας, Πιττακός. Διογένης Λαέρτιος, Vit. I.13

32 Φιλόσοφος

33 Φιλόσοφος

34 Πρόκλος, In Eucl Μαθηματικός

35 Μαθηματικός Λέγεται ότι πρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλο (157.10). Λέγεται ότι πρώτος εκείνος επεσήµανε και είπε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς είναι ίσες. Μάλιστα τις ίσες γωνίες τις αποκαλούσε, κατά το αρχαϊκώτερον, «όμοιες» (250.20). Όπως αναφέρει ο Εύδηµος, ο Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρηµα ότι οι κατά κορυφήν γωνίες είναι ίσες, την επιστηµονική απόδειξη όµως (του θεωρήµατος) έδωσε ο Στοιχειωτής (299.1). Ο Εύδηµος στις Γεωµετρικές Ιστορίες ανάγει στον Θαλή αυτό το θεώρηµα (Γ-Π-Γ). Λένε µάλιστα ότι το χρησιµοποίησε για να µετρήσει την απόσταση ενός πλοίου στη θάλασσα ( ).

36 Μέτρηση του ύψος μιας πυραμίδας

37 Πλίνιος (1 ος αι. μ.χ.) N. H. xxxvi. 12 (17): Ο Θαλής ανακάλυψε πως να υπολογίζει το ύψος των πυραμίδων και άλλων παρόμοιων αντικειμένων μετρώντας τη σκιά του αντικειμένου την ώρα που το σώμα έχει ίδιο μήκος με τη σκιά του Πλούταρχος (1 ος αι. μ.χ.) (Conv. Sept. sap. 2, 147A): Ανάμεσα στα πολλά σου κατορθώματα, ο Αμάσις ήταν ιδιαίτερα ευχαριστημένος για την μέτρησή σου της πυραμίδας. Γιατί, χωρίς κόπο ή τη βοήθεια ενός οργάνου και απλά τοποθετώντας ένα ξύλο στην άκρη της σκιάς της πυραμίδας δημιουργώντας έτσι δύο τρίγωνα με τιςακτίνες του ήλιου -, έδειξες ότι η πυραμίδα έχει ως προς το ξύλο τον ίδιο λόγο που έχει η μια σκιά με την άλλη.

38

39 Ανέκδοτα που αποδίδονται στον Θαλή Όταν ρωτήθηκε γιατί δεν έχει παιδιά, απάντησε «επειδή τα αγαπάω». Όταν η μητέρα του τον πίεζε να παντρευτεί, της απαντούσε ότι ήταν πολύ νωρίς. Όταν συνέχιζε να τον πιέζει μετά από χρόνια της απάντησε ότι ήταν πολύ αργά. Ισχυριζόταν ότι δεν υπάρχει διαφορά ανάμεσα στη ζωή και στον θάνατο. «Γιατί δεν πεθαίνεις τότε;», ρώτησε κάποιος. «Επειδή δεν έχει διαφορά», απάντησε ο Θαλής.

40 Τα Μαθηματικά των Προσωκρατικών

41

42

43 Βίος Γεννιέται στα μισά του 6 ου αι. π.χ., στη Σάμο. (~Μετά τον Θαλή και τον Αναξίμανδρο και σύγχρονος του Αναξιμένη και του Ξενοφάνη) Γύρω στο 530 μεταναστεύει στον Κρότωνα, όπου και ιδρύει μια κοινότητα:

44 Βίος Η κοινότητα φαίνεται να έπαιζε σημαντικό ρόλο στα πολιτικά του Κρότωνα, πράγμα που ενδέχεται να προκάλεσε βίαιες αντιδράσεις.

45 Μαρτυρίες Ύστερες Βιογραφίες Ηρόδοτος Πλάτωνας Αριστοτέλης Αριστόξενος Διογένης Λαέρτιος (3 ος ) Ιάμβλιχος (3 ος ) Πορφύριος (3 ος ) Να θυμάστε πάντα: Όσο απομακρυνόμαστε από την εποχή που έζησε ο Πυθαγόρας, τόσο πιο πλήρης η μαρτυρία γίνεται!

46 Πρώιμες απόψεις για τον Πυθαγόρα

47 Θρησκευτικός ηγέτης Τσαρλατάνος Πολιτικός ηγέτης Φιλόσοφος Μαθηματικός Μουσικός Αλλά συχνά αναφέρεται απλώς ως: Παντογνώστης Ημίθεος

48 Ημίθεος 1. Υπάρχουν άνθρωποι και θεοί, και όντα όπως ο Πυθαγόρας (I. VP 31). 2. Είχε ένα χρυσό μηρό (DL 8.11; P. VP. 28). 3. Είχε την ικανότητα να βρίσκεται σε (τουλάχιστον) δύο μέρη ταυτόχρονα (DK 14.7; P. VP 27-29; I. VP 60). 4. Κάποτε έπεισε ένα ταύρο να σταματήσει να τρώει φασόλια και έβαλε μια αρκούδα να ορκιστεί ότι δεν θα ξαναενοχλήσει άλλα ζωντανά όντα (σημ. κράτησε την υπόσχεσή της). 5. Μπορούσε να θυμηθεί τις προηγούμενες μετενσαρκώσεις του (σημ. ναι είχε ζήσει πολλές ζωές)

49

50 Salvador Rosa ( ): (a) Pythagoras emerging from the grave (b) Pythagoras and the fishermen

51 Παντογνώστης Αναφέρεται ότι έχει μαθητεύσει κοντά στους: Θαλή, Φερεκύδη, Αναξίμανδρο Αιγύπτιους ιερείς Χαλδαίους της Βαβυλώνας Εβραίους ιερείς Ζωροάστρη Ρητό: Αυτός έφα

52 Ζωή στην κοινότητα Οι οπαδοί του Πυθαγόρα ήταν φημισμένοι για τον τρόπο ζωής τους που ως τα σήμερα κάποιοι ονομάζουν «πυθαγόρειο» (Πλάτων, Πολ. 600 a-b) Είσοδος στην κοινότητα. Άντρες και γυναίκες ((P. VP 18; DL VIII.4; P. 4, 19). Δωρεά της περιουσίας. Πενταετής μύηση. Ακουσματικοί και Μαθηματικοί. Όρκος σιωπής

53

54 Δόγματα Εάν κάποιος πιστέψει τους Πυθαγορείους, τα πράγματα επαναλαμβάνονται με αριθμητικό τρόπο. Και εγώ, με αυτό το ραβδί στο χέρι μου, θα μιλώ σε εσάς καθισμένος με τον ίδιο τρόπο και τα πάντα θα είναι ίδια Εύδημος, απ. 7.

55

56 Fyodor Bronnikov: (1869) Pythagoreans celebrate sunrise

57 Τα Πυθαγόρεια Σύμβολα Να απέχουν από τα κουκιά. Να μην σηκώνουν ότι πέφτει από το τραπέζι. Να μην αγγίζουν άσπρο κόκορα. Να μην τεμαχίζουν το ψωμί Να μην τρώνε τα ψάρια που θεωρούνταν ιερά. D. L. VIII.34-5 (Aristotle fr. 195)

58 Μαθηματικά Ο Πυθαγόρας, ο γιός του Μνήσαρχου, πρώτος αφιερώθηκε στη μελέτη των μαθηματικών, και ιδιαίτερα των αριθμών. Αριστοτέλης Οι ούτω καλούμενοι Πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με τη μελέτη των μαθηματικών επιστημών, κάνοντας μεγάλη πρόοδο σε αυτές. Έχοντας εξοικειωθεί με αυτές, ο Πυθαγόρας άρχισε να θεωρεί ότι οι αρχές τους είναι οι αρχές όλων των πραγμάτων. Αριστοτέλης, Μτφ. 985 b 23.

59 Ο Πυθαγόρας τίμησε την μελέτη των αριθμών περισσότερο από κάθε άλλον. Έκανε μεγάλη πρόοδο σε αυτή, ξεφεύγοντας από τους πρακτικούς υπολογισμούς των εμπόρων. Αριστόξενος Ο Πυθαγόρας μεταμόρφωσε την φιλοσοφία της γεωμετρίας μελετώντας θεωρητικά τις αρχές της και εξετάζοντας τα θεωρήματα σε νοητικό και άυλο επίπεδο. Ανακάλυψε την θεωρία των αναλογιών και την κατασκευή των κοσμικών στερών. Έύδημος, απ. 133.

60 Number is the ruler of forms and ideas, and the cause of gods and daemons Iamblichus Incommensurability. DL records that Democritus wrote a book on incommensurable lines (IX.47) Mathematician (1) Theory of proportionals. (2) Identifying the five regular solids. (3) Numerical expression of harmonic intervals. (cf. Xenocrates, fr.9)

61

62

63 Μαθηματικά (Αριθμοσοφία) 1, Ενότητα, Λογική 2, Θηλυκό, γνώμη. 3, Αρσενικό, αρμονία. 4, Δικαιοσύνη. 5, Γάμος. 6, Δημιουργία 10, Τετρακτύς, ο αριθμός του σύμπαντος.

64

65

66

67 = = 28. Τέλειοι Αριθμοί

68 Φίλιοι Αριθμοί Αθρ. διαιρ. του 220 = = 284 Αθρ. διαιρ. του 284 = = 220

69

70 Ασυμμετρία

71

72

73

74 Οι Πυθαγόρειοι ήταν τόσο εξαγριωμένοι μαζί του που του έχτισαν ένα τάφο ενόσω αυτός ήταν ακόμα εν ζωή. Λέγεται ότι ο Ίππασος πέθανε σε ένα ναυάγιο τιμωρημένος από την οργή των Θεών. Fragment DK[18] A4 (Iamblichus)