Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγερβα Boole, Μνήμη RAM

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγερβα Boole, Μνήμη RAM"

Transcript

1 ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2012 Τμ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγερβα Boole, Μνήμη RAM Οκτωβρίου 2012 [Βιβλία: προαιρετικά μπορείτε να διαβάσετε: Wakerly: 4.1 έως και 4.3 (σελ ) Mano: (σελ ), 3.9 (σελ ), (σελ )]. 4.1 Διαγράμματα Venn Δύο Μεταβλητών, Χάρτες Karnaugh Οι λογικές συναρτήσεις 2 εισόδων καθορίζονται πλήρως από τις 4 τιμές που αυτές παίρνουν στον καθένα από τους 4 (=2 2 ) συνδυασμούς των 2 εισόδων τους (γι' αυτό και υπάρχουν ακριβώς 16 (=2 4 ) διαφορετικές τέτοιες λογικές συναρτήσεις 2 εισόδων). Άρα, ο πίνακας αληθείας τους περιέχει 4 δυαδικές τιμές. Γιά εύκολη αναγνώριση "με το μάτι" των λογικών αυτών συναρτήσεων μας βολεύει να διατάξουμε τις 4 αυτές τιμές σ' ένα διδιάστατο πίνακα 2x2, όπου οι γραμμές αντιστοιχούν στην τιμή της μιάς μεταβλητής εισόδου και οι στήλες αντιστοιχούν στην άλλη μεταβλητή εισόδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η παράσταση αυτή, ανάλογα πώς την βλέπει και πώς την χρησιμοποιεί κανείς, λέγεται είτε Χάρτης Karnaugh (Καρνώ) είτε Διάγραμμα Venn. Το διάγραμμα Venn έχει το εξής νόημα: θεωρούμε ότι η μεταβλητή εισόδου A προσδιορίζει κατά πόσον είμαστε μέσα στην "περιοχή A" (κάτω γραμμή) ή έξω από αυτήν (1 = μέσα, 0 = έξω). Ομοίως, η είσοδος B μας λέει αν είμαστε μέσα (1) στην περιοχή B (δεξιά στήλη) ή έξω (0) από αυτήν. Όταν μας δίνουν μιά λογική συνάρτηση (δηλαδή άσσους και μηδενικά στα 4 τετραγωνάκια), εμείς κοιτάζουμε σε ποιά περιοχή η συναρτηση αυτή γίνεται αληθής (τιμή = 1), και περιγράφουμε αυτή την περιοχή σαν συνάρτηση των τιμών των εισόδων A και B. Αν η συνάρτηση γίνεται αληθής μόνο στο κάτω δεξιό τετράγωνο, τότε γίνεται αληθής όταν είμαστε "μέσα" στο A (A=1) και "μέσα" στο B (B=1), δηλαδή όταν είναι αληθές το A και αληθές το B, δηλαδή όταν "A ΚΑΙ B" ("A AND B"). Κατ' αναλογία, όταν μιά λογική συνάρτηση 2 μεταβλητών γίνεται αληθής μόνο στο κάτω αριστερό τετράγωνο, τότε αυτή γίνεται αληθής όταν είμαστε μέσα στο A (A=1) και "έξω" από το B (B=0), δηλαδή όταν είναι αληθές το A και ψευδές (όχι αληθές) το B, δηλαδή όταν "A ΚΑΙ (ΟΧΙ B)" ("A AND (NOT B)"). Ομοίως, η λογική συνάρτηση που γίνεται αληθής μόνο στο πάνω δεξιό τετράγωνο είναι η "(NOT A) AND B", ενώ η συνάρτηση που γίνεται αληθής μόνο στο πάνω αριστερό τετράγωνο είναι η "(NOT A) AND (NOT B)". Στην περίπτωση του παραδείγματος της παραγράφου 3.9 με την ένδειξη 7 τμημάτων, η έξοδος a τυχαίνει να είναι ακριβώς αυτή η τελευταία συνάρτηση, όπως διαπιστώνουμε εύκολα αν σχεδιάσουμε τον πίνακα αληθείας της στη μορφή που φαίνεται στο σχήμα. Όταν μιά λογική συνάρτηση γίνεται αληθής (τιμή = 1) σε δύο διπλανά τετράγωνα, τότε αυτή μπορεί να περιγραφεί σαν "μέσα" ή "έξω" από την περιοχή της μιάς από τις δύο μεταβλητές εισόδου. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, η έξοδος f, που γίνεται 1 στα δύο τετράγωνα της επάνω γραμμής, μπορεί να περιγραφεί σαν "έξω" από το A, δηλαδή ΟΧΙ A, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αντίστοιχα, μιά συνάρτηση που θα γίνονταν 1 στην κάτω γραμμή θα ήταν ίση με A, αν γίνονταν 1 στη δεξιά στήλη θα ήταν ίση με B, και αν γίνονταν 1 στην αριστερή στήλη θα ήταν ίση με NOT B. Page 1 of 12

2 Μιά λογική συνάρτηση που γίνεται αληθής σε τρία τετράγωνα μπορεί να περιγραφεί όπως στο επόμενο σχήμα: επάνω φαίνονται τρείς εναλλακτικές περιγραφές γιά τη συνάρτηση που οδηγεί το τμήμα d της ένδειξης 7 τμημάτων ( 3.9). Στην πρώτη περιγραφή, η περιοχή αληθείας της d ορίζεται σαν η ένωση τριών περιοχών μεγέθους ενός τετραγώνου η καθεμία. Καθώς παραπάνω η τομή περιοχών αντιστοιχούσε στο λογικό και, η ένωση περιοχών, εδώ, αντιστοιχεί στο λογικό ή, αφού η συνάρτηση είναι αληθής όποτε είναι αληθής ή ο ένας όρος, ή ο δεύτερος, ή ο τρίτος (ή περισσότεροι ταυτόχρονα). Έτσι, οι τρείς περιοχές του πρώτου σχήματος μας δίνουν την περιγραφή της συνάρτησης που φαίνεται από πάνω, η οποία είναι το λογικό ή τριών όρων που ο καθένας τους είναι ένα λογικό και. Η δεύτερη περιγραφή της λογικής συνάρτησης d οδηγεί σε απλούστερη έκφραση, διότι χρησιμοποιεί λιγότερες και μεγαλύτερες βασικές περιοχές. Όσο μεγαλύτερη είναι μιά βασική περιοχή γειτονικών τετραγώνων, τόσο λιγότερους όρους "και" έχει η αντίστοιχη λογική έκφραση και όσο λιγότερες περιοχές χρειάζεται να ενώσουμε γιά να καλύψουμε την περιοχή αληθείας της συνάρτησής μας, τόσο λιγότερα κομμάτια θα ενώνουν οι πράξεις ή. Τελικά, η οικονομικότερη περιγραφή της λογικής συνάρτησης d είναι η τρίτη, δεξιά, διότι χρησιμοποιεί τις μεγαλύτερες δυνατές βασικές περιοχές, δηλαδή τους απλούστερους όρους η εν μέρει επικάλυψη των περιοχών δεν έχει καμία σημασία, αφού η λογική πράξη ή είναι αληθής όταν είναι αληθείς είτε μία είτε περισσότερες από τις εισόδους της. Κατ' ανάλογο τρόπο, η εξοδος c που ζητάμε γιά το κύκλωμα του παραδείγματός μας είναι η λογική συνάρτηση "(NOT A) OR B", όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, κάτω αριστερά. Η μέθοδος αυτή της απλοποίησης λογικών συναρτήσεων μέσω συνένωσης γειτονικών τετραγώνων λέγεται "μέθοδος του Χάρτη Καρνώ" (Karnaugh Map). Η έξοδος b του κυκλώματος της 3.9 πρέπει να ανάβει στα δύο τετράγωνα που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα (κάτω μέση), τα οποία όμως, δυστυχώς, δεν είναι γειτονικά. Γιά το λόγο αυτό, τα δύο αυτά τετράγωνα δεν μπορούν να συνενωθούν όπως παραπάνω, και δεν μπορεί να γίνει καμιά ιδιαίτερη απλοποίηση της σχετικής συνάρτησης --αυτή παραμένει αναγκαστικά η ένωση δύο ανεξάρτητων τετραγώνων: b = [(NOT A) AND (NOT B)] OR [A AND B]. Πρόκειται γιά τη συνάρτηση ισότητας που είδαμε στην 1.4. Η άλλη λογική συνάρτηση 2 μεταβλητών που δεν απλοποιείται είναι η συνάρτηση αποκλειστικού Ή (exclusive OR, ή "XOR"), που επίσης είδαμε στην ίδια παράγραφο, και που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, κάτω δεξιά. 4.2 Διαγράμματα Venn & Χάρτες Karnaugh Τριών - Τεσσάρων Μεταβλητών Η επιτυχία των διαγραμμάτων Venn δύο μεταβλητών στο να μας βοηθούν να απλοποιούμε λογικές συναρτήσεις οφείλεται στη διάταξη των τιμών της συνάρτησης στις δύο διαστάσεις με τρόπο τέτοιο που η κάθε μεταβλητή να αντιστοιχεί στη μία διάσταση. Γιά να πετύχουμε το ίδιο αποτέλεσμα με τρείς μεταβλητές εισόδου, φανταζόμαστε ότι διατάσουμε τα περιεχόμενα του πίνακα αληθείας στις 3 διαστάσεις, σ' ένα σχήμα κύβου, όπως στο εδώ σχήμα. Στη συνέχεια, επειδή είναι άβολο να σχεδιάζουμε τριδιάστατα σχήματα στο χαρτί, φανταζόμαστε ότι ξεδιπλώνουμε τον κύβο, κόβοντάς τον πίσω στη μέση, και φέρνοντας τις δύο πίσω στήλες στην αριστερή και στη δεξιά άκρη αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα, δεξιά. Η συνέπεια είναι ότι οι στήλες του πίνακα αντιστοιχούν στις δύο μεταβλητές εισόδου B και C με τη σειρά που φαίνεται στο σχήμα: 00, 01, 11, 10 --η σειρά αυτή (που λέγεται και "κώδικας Gray") διαφέρει από τη συνηθισμένη σειρά αρίθμησης (μέτρησης) στο δυαδικό (00, 01, 10, 11). Με τη σειρά αυτή πετυχαίνουμε η περιοχή αληθείας της μεταβλητής B να Page 2 of 12

3 αποτελείται από 4 γειτονικά τετράγωνα --τα 4 δεξιά τετράγωνα-- και ταυτόχρονα η περιοχή αληθείας της μεταβλητής C να αποτελείται επίσης από 4 γειτονικά τετράγωνα --τα 4 μεσαία τετράγωνα. Η περιοχή αληθείας του C' ( δηλ. του "ΝΟΤ C") είναι επίσης 4 "γειτονικά" τετράγωνα --δύο στη άκρη αριστερά και δύο στην άκρη δεξιά-- αλλά γιά να καταλάβουμε ότι αυτά είναι γειτονικά πρέπει να φανταστούμε τον πίνακα σαν ένα ξετυλιγμένο βαρέλι: τα τετράγωνα αυτά ήταν γειτονικά πριν το ξετύλιγμα. Γενικά, στο χάρτη 3 μεταβλητών, οιαδήποτε 4 "γειτονικά" τετράγωνα --δηλαδή 4 τετράγωνα σε σχήμα 2x2 ή 4x1-- αντιστοιχούν σε μία μεταβλητή εισόδου ή στην άρνησή της. Οι δύο οριζόντιες τετράδες αντιστοιχούν στο A και στο A' (ΝΟΤ A). Περιοχές δύο γειτονικών τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ δύο εκ των τριών μεταβλητών εισόδου (ή των αρνήσεών τους). Μερικά τέτοια ζευγάρια φαίνονται στο κάτω μέρος του σχήματος. Παρατηρήστε ότι τα ζευγάρια που περιλαμβάνουν το C' μοιάζουν "κομένα" --ένα τετράγωνο στην άκρη αριστερά και ένα στην άκρη δεξιά- - όμως αποτελούνται και αυτά από τετράγωνα που ήταν γειτονικά πριν ξετυλίξουμε το χάρτη από τη μορφή βαρελιού που λέγαμε πιό πάνω. Τέλος, φυσικά, όπως και στους χάρτες 2 μεταβλητών, μεμονωμένα τετράγωνα αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ όλων των μεταβλητών εισόδου ή των αρνήσεών τους, και περιοχές που προκύπτουν από την ένωση ομάδων τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό Ή των σχετικών όρων. Όταν καλύπτουμε περιοχές με τέτοιες ενώσεις, επιδιώκουμε η κάθε ομάδα γειτονικών τετραγώνων να είναι όσο μεγαλύτερη γίνεται (πάντα βέβαια μεγέθους δύναμης του 2, διατεταγμένη σε σχήμα ορθογωνίου) επικαλύψεις περιοχών δεν μας ενοχλούν --αντίθετα βοηθούν στη μεγιστοποίηση της έκτασης της κάθε μεμονωμένης περιοχής. Ο χάρτης Karnaugh τεσσάρων μεταβλητών σχεδιάζεται όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Πρέπει να φανταστούμε ότι αυτός ο πίνακας 4x4 προέρχεται από διπλό ξετύλιγμα μιάς παράξενης σφαιροειδούς επιφάνειας και οριζόντια και κατακόρυφα. Η αριστερή και η δεξιά στήλη ήταν γειτονικές πριν το ξετύλιγμα, σαν να προέρχονται από ένα όρθιο βαρέλι, και αντιστοιχούν στη μεταβλητή D' (ΝΟΤ D). Ταυτόχρονα, η επάνω και η κάτω γραμμή ήταν κι αυτές γειτονικές, πριν το ξετύλιγμα από ένα πλαγιαστό βαρέλι, και αντιστοιχούν στη μεταβλητή B' (ΝΟΤ B). Τετράδες γειτονικών τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ δύο εκ των τεσσάρων μεταβλητών εισόδου, ή των αρνήσεών τους. Μία τέτοια τετράδα --η πιό πολύ κομμένη απ' όλες-- φαίνεται στο σχήμα στις 4 γωνίες: πρόκειται γιά την περιοχή B'D', και τα τετράγωνά της ήταν όλα γειτονικά πριν το διπλό ξετύλιγμα. Άλλες κομμένες τετράδες έχουν 2 τετράγωνα αριστερά και 2 δεξιά, ή 2 τετράγωνα επάνω και 2 κάτω. Ζευγάρια γειτονικών τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ τριών εκ των τεσσάρων μεταβλητών εισόδου, ή των αρνήσεών τους. Μεμονωμένα τετράγωνα αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ όλων των μεταβλητών εισόδου (ή των αρνήσεών τους). Μπορούν να οριστούν και χάρτες Karnaugh πέντε ή περισσοτέρων μεταβλητών, αλλά δεν είναι πρακτικοί. Εξ' άλλου, ας μην ξεχνάμε ότι η απλοποίηση λογικών συναρτήσεων "με το μάτι" και "με το χέρι" ανήκει στο παρελθόν: σήμερα υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι και αντίστοιχα προγράμματα που κάνουν αυτές τις απλοποιήσεις και πολλές άλλες αυτόματα. Το πιό γνωστό τέτοιο πακέτο αυτόματης σύνθεσης υλικού, σήμερα, είναι το "Synopsys". Page 3 of 12

4 Άσκηση 4.3: Οι Αριθμοί 0-7 στην Οθόνη 7 Τμημάτων Πρίν φτάσετε στο εργαστήριο κάντε αυτή την άσκηση με μολύβι και χαρτί η άσκηση αυτή δεν έχει τίποτα να φτιάξτε στο εργαστήριο, διότι τα κυκλώματα που προκύπτουν είναι πολύ μεγάλα γιά να υλοποιηθούν στο χρόνο ενός εργαστηρίου μας --απλώς θα παραδώσετε τη λύση σας μέσα στην αναφορά του εργαστηρίου σας. Ζητείται να βρεθούν οι 7 λογικές συναρτήσεις οδήγησης των 7 τμημάτων του γνωστού μας ενδείκτη, προκειμένου αυτός να εμφανίζει τις 8 ενδείξεις που φαίνονται στο σχήμα, ανάλογα με τον εκάστοτε συνδυασμό τιμών των τριών bits εισόδου A, B, και C. Φτιάξτε τους 7 πίνακες αληθείας σε μορφή 7 χαρτών Karnaugh τριών μεταβλητών, βρείτε τις ομάδες γειτονικών τετραγώνων που χρειάζονται γιά να καλύψουν τις περιοχές ανάματος της κάθε LED, γράψτε τις αντίστοιχες λογικές συναρτήσεις γιά τις 7 εξόδους, και σχεδιάστε το αντίστοιχο κύκλωμα με πύλες. 4.4 Συνθήκες Αδιαφορίας (Don't Care Conditions) Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, οι πίνακες αληθείας των επιθυμητών εξόδων ήταν πλήρως προδιαγεγραμμένοι, δηλαδή μας ενδιέφερε η κάθε έξοδος να έχει μιά συγκεκριμένη, προκαθορισμένη τιμή γιά τον κάθε δυνατό συνδυασμό τιμών των εισόδων. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις "μερικώς προδιαγεγραμμένων" συστημάτων. Γιά παράδειγμα, στην παρακάτω άσκηση, μας ζητείται να οδηγήσουμε τη γνωστή μας οθόνη 7 τμημάτων σε τρόπον ώστε να εμφανίζονται σε αυτήν τα δέκα ψηφία από το 0 ως το 9. Γιά να πετύχουμε δέκα διαφορετικές εξόδους δεν αρκούν προφανώς 3 bits εισόδου --χρειάζονται τέσσερα. Όμως, τα 4 bits έχουν 16 δυνατούς συνδυασμούς διαλέγουμε δέκα από αυτούς γιά να γεννάνε στην οθόνη τα δέκα επιθυμητά ψηφία, ενώ δεν μας ενδιαφέρει τι θα κάνει η οθόνη όταν στις εισόδους εμφανίζεται ένας από τους υπόλοιπους έξι συνδυασμούς --π.χ. το κύκλωμα που μας τροφοδοτεί με τα 4 bits εισόδου ποτέ δεν θα μας δίνει έναν από τους υπόλοιπους 6 συνδυασμούς, ή αν μας δώσει, δεν μας ενδιαφέρει τι θα δείξει η οθόνη σε αυτή την περίπτωση. Όταν ένας πίνακας αληθείας δεν προκαθορίζει την τιμή εξόδου γιά ορισμένο συνδυασμό τιμών εισόδου, λέμε ότι εκεί έχουμε μία συνθήκη αδιαφορίας (don't care condition), και συχνά βάζουμε στον στη θέση εκείνη του πίνακα και του χάρτη Karnaugh σα σύμβολο ένα "x". Στο χάρτη Karnaugh, όταν αναζητούμε την ελάχιστη δυνατή ένωση των μέγιστων δυνατών περιοχών γειτονικών τετραγώνων προκειμένου να καλύψουμε τους άσσους του χάρτη, θεωρούμε ότι το κάθε "x" είναι ό,τι μας βολεύει. Αν βολεύει να το θεωρήσουμε σαν άσσο, προκειμένου να πετύχουμε μεγαλύτερη περιοχή γειτονικών τετραγώνων, το θεωρούμε σαν άσσο. Αν βολεύει να το θεωρήσουμε σαν μηδενικό, προκειμένου να μην χρειαστούμε μιά επιπλέον περιοχή γιά να το καλύψουμε, το θεωρούμε σαν μηδενικό. Η συμπεριφορά του τελικού κυκλώματος γιά κάθε αδιάφορη τιμή εισόδων θα καθοριστεί προφανώς από το τι μας βόλεψε και θεωρήσαμε το αντίστοιχο "x" στο χάρτη. Άσκηση 4.5: Οι Αριθμοί 0-9 στην Οθόνη 7 Τμημάτων Πρίν το εργαστήριο κάντε αυτή την άσκηση με μολύβι και χαρτί εδώ, δεν έχετε τίποτα να φτιάξτε στο εργαστήριο, διότι τα κυκλώματα που προκύπτουν είναι πολύ μεγάλα γιά να υλοποιηθούν στο χρόνο ενός εργαστηρίου μας --απλώς θα παραδώσετε τη λύση σας στην αναφορά του εργαστηρίου σας. Ζητείται να βρεθούν οι 7 λογικές συναρτήσεις οδήγησης των 7 τμημάτων του γνωστού μας ενδείκτη, προκειμένου αυτός να εμφανίζει τις 10 ενδείξεις που φαίνονται στο σχήμα, ανάλογα με τον εκάστοτε συνδυασμό τιμών των 4 bits εισόδου A, B, C, και D δεν μας ενδιαφέρει τι σχήμα θα εμφανίζεται στον ενδείκτη όταν οι 4 είσοδοι βρίσκονται σε έναν από τους υπόλοιπους 6 συνδυασμούς τους. Φτιάξτε τους 7 πίνακες αληθείας σε μορφή 7 χαρτών Karnaugh τεσσάρων μεταβλητών που περιέχουν και από 6 όρους αδιαφορίας καθένας βρείτε και σημειώστε τις ομάδες γειτονικών τετραγώνων που βολεύουν και χρειάζονται γιά να καλύψουν τις περιοχές ανάματος της κάθε LED, και γράψτε τις Page 4 of 12

5 χρειάζονται γιά να καλύψουν τις περιοχές ανάματος της κάθε LED, και γράψτε τις αντίστοιχες λογικές συναρτήσεις γιά τις 7 εξόδους. Δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε το κύκλωμα με πύλες, εδώ. 4.6 Άλγεβρα Boole Οι λογικές πράξεις ΚΑΙ, Ή, ΌΧΙ πάνω σε δυαδικές ψηφιακές μεταβλητές ορίζουν μιάν Άλγεβρα, η οποία ονομάστηκε "Άλγεβρα Boole" (Boolean Algebra), προς τιμήν του Μαθηματικού George Boole ο οποίος δημοσίευσε τις πρώτες σχετικές ιδέες το 1849, καθώς εργάζονταν πάνω στη μαθηματική διατύπωση των κανόνων της λογικής νόησης. Περίπου 90 χρόνια αργότερα, το 1938, ο Claude Shannon έδειξε ότι η Άλγεβρα Boole, όπως είχε εν τω μεταξύ εξελιχθεί, περιγράφει και τη λειτουργία των κυκλωμάτων διακοπτών, όπως κάναμε κι εμείς στην αρχή του μαθήματός μας. Η Άλγεβρα Boole μπορεί να δομηθεί ξεκινώντας από τον ("αξιωματικό") ορισμό των τριών πράξεων, ΚΑΙ, Ή, ΌΧΙ, βάσει του πίνακα αληθείας τους που είδαμε στην 1.1, δηλαδή από τον ορισμό τους μέσω της εξαντλητικής απαρίθμησης του αποτελέσματός τους γιά τον κάθε δυνατό συνδυασμό εισόδων. Γιά σκοπούς συντομογραφίας, από δω και πέρα, θα συμβολίζουμε τις λογικές αυτές πράξεις με AB [ή και με τελεία στη μέση] (Α και Β), A+B (A ή B), και A' [ή και με παύλα από πάνω] (όχι A), όπως είπαμε στην 3.1. Τις μεταβλητές της Άλγεβρας Boole, δηλαδή τις δυαδικές ψηφιακές μεταβλητές, τις λέμε και "Μεταβλητές Boole" (Boolean variables). Όπως έχουμε πεί, οι δύο τιμές μιάς μεταβλητής Boole μπορεί να συμβολίζουν πολλά και διαφορετικά πράγματα, π.χ. αναμένο-σβηστό, ζεστό-κρύο, πάνωκάτω, μπρός-πίσω, αριστερά-δεξιά, πατημένος-ελεύθερος (διακόπτης), ψηλή-χαμηλή (ηλεκτρική τάση), περνάει - δεν περνάει (ρεύμα), αληθές-ψευδές, ναι-όχι, 1-0, κλπ. Γιά σκοπούς συντομογραφίας, και πάλι, συνήθως θα χρησιμοποιούμε τα σύμβολα 1 (αληθές, αναμένο, κλπ), και 0 (ψευδές, σβηστό, κλπ). Ξεκινώντας από τον ορισμό των τριών πράξεων Boole, μπορούμε να αποδείξουμε πολλά θεωρήματα της Άλγεβρας Boole, τα οποία συχνά αντιστοιχούν και σε συνηθισμένες διατυπώσεις της καθημερινής μας λογικής σκέψης. Η απόδειξη μπορεί να γίνει με εξαντλητική επαλήθευση όλων των περιπτώσεων (πίνακας αληθείας), ή με διαγράμματα Venn, ή με τη χρήση άλλων θεωρημάτων. Εκθέτουμε εδώ κάμποσα τέτοια θεωρήματα, κατά σειρά σημαντικότητας. Δύο Αρνήσεις κάνουν Μία Κατάφαση: Όπως ξέρουμε πολύ καλά και από την καθημερινή μας ζωή, και όπως αποδεικνύεται άμεσα και από τον πίνακα αληθείας, το ΌΧΙ (ΌΧΙ A) είναι το ίδιο με το A, δηλαδή: (A')' = A. Θεώρημα DeMorgan (Άρνηση και Δυϊσμός): Όπως παρατηρήσαμε ήδη κάμποσες φορές, από την 0.10 και μετά, η άρνηση του ΚΑΙ ισοδυναμεί με το Ή των αρνήσεων, ενώ η άρνηση του Ή ισοδυναμεί με το ΚΑΙ των αρνήσεων. Η ιδιότητα αυτή, γνωστή σαν Αρχή του Δυϊσμού (Duality Principle) ή "Θεώρημα DeMorgan", διατυπώνεται επίσημα ως εξής: (AB)' = A'+B' (A+B)' = A'B' Γιά να το αποδείξουμε, αρκεί να κατασκευάσουμε τους πίνακες αληθείας των παραπάνω συναρτήσεων και να τους συγκρίνουμε. Αν τους κατασκευάσουμε σε μορφή διαγράμματος Venn / χάρτη Karnaugh, και σημειώσουμε τα τετράγωνα όπου η κάθε συνάρτηση γίνεται 1, θα προκύψει το σχήμα που φαίνεται. Όπως βλέπουμε, η συνάρτηση AB γίνεται 1 στο κάτω δεξιά τετράγωνο, άρα το συμπλήρωμά της (η άρνησή της), δηλ. η συνάρτηση (AB)', θα γίνεται 1 στις υπόλοιπες περιπτώσεις (αριστερά και πάνω "Γ"). Αυτή η τελευταία περιοχή είναι ίδια με την ένωση (λογικό Ή) της περιοχής A' (A bar --δύο επάνω τετράγωνα) με την περιοχή B' (B bar --δύο αριστερά τετράγωνα), αποδεικνύοντας έτσι την πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις. Αντίστοιχα μπορεί να αποδειχτεί και η δεύτερη σχέση, όπως φαίνεται στο δεξί μέρος του σχήματος. Page 5 of 12

6 Εναλλακτικά, η δεύτερη σχέση μπορεί να προκύψει από την πρώτη και από την ιδιότητα ότι δύο αρνήσεις κάνουν μία κατάφαση. Ξεκινάμε από το δεξί μέλος της ισότητας που θέλουμε να αποδείξουμε, και το μετασχηματίζουμε με δύο αρνήσεις: A'B' = [(A'B')']'. Μέσα στις αγκύλες υπάρχει η άρνηση ενός λογικού ΚΑΙ, άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε σε αυτήν το πρώτο θεώρημα DeMorgan, και να την μετατρέψουμε στο λογικό Ή των αρνήσεων, οι οποίες στη συνέχεια μπορούν να απλοποιηθούν: (A'B')' = (A')' + (B')' = Α+Β. Βάσει αυτού, η προηγούμενη ισότητα μας δίνει: A'B' = [(A'B')']' = [Α+Β]' = (A+B)', πράγμα που είναι ακριβώς το δεύτερο θεώρημα DeMorgan. Ο τρόπος αυτός απόδειξης μας οδηγεί σε μιά δεύτερη διατύπωση της αρχής του δυϊσμού: εάν σε μιάν ισότητα της άλγεβρας Boole αλλάξουμε όλα τα ΚΑΙ με Ή, και όλα τα Ή με ΚΑΙ, τότε προκύπτει μιά άλλη, επίσης αληθής ισότητα, η "δυϊκή" της πρώτης (όπως θα δούμε πιό κάτω, αν η ισότητα περιέχει και άσσους ή μηδενικά, τότε πρέπει και αυτά να τα αλλάξουμε από 0 σε 1 και από 1 σε 0). Επιμεριστική Ιδιότητα (Distributive Property): Κατ' ανάλογο τρόπο, μέσω του πίνακα αληθείας / διαγράμματος Venn, μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι: A(B+C) = AB + AC A+(BC) = (A+B)(A+C) Ειπωμένο με λόγια, αν ισχύει το A και επίσης ισχύει το B ή το C, τότε θα πρέπει να ισχύει το A και το B ή να ισχύει το A και το C. Αντίστοιχα, η δεύτερη σχέση λέει ότι αν ισχύει το A ή ισχύει το B και το C, τότε θα ισχύει το A ή το B, καθώς επίσης θα ισχύει το A ή το C. Παρατηρήστε ότι όταν χρησιμοποιούμε τα παραπάνω σύμβολα του ΚΑΙ που μοιάζει με το σύμβολο του πολλαπλασιασμού και του Ή που μοιάζει με το σύμβολο της πρόσθεσης, τότε η πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις μοιάζει οικεία, αλλά η δεύτερη καθόλου (αφού, φυσικά, δεν μιλάμε γιά πρόσθεση και πολλαπλασιασμό). Όπως και με τις δύο μορφές του θεωρήματος DeMorgan, οι δύο παραπάνω σχέσεις είναι δυϊκές μεταξύ τους: αν αντικαταστήσουμε τα ΚΑΙ με Ή και τα Ή με ΚΑΙ, τότε προκύπτει η μία από την άλλη. Ο λόγος είναι ότι η δεύτερη μπορεί να προκύψει από την πρώτη, εφαρμόζοντας τα θεωρήματα DeMorgan (δηλαδή την αρχή του δυϊσμού), και το ότι δύο αρνήσεις κάνουν μία κατάφαση. Ξεκινώντας με το αριστερό μέλος της δεύτερης σχέσης, το μετασχηματίζουμε ώς εξής μέχρι να προκύψει το δεξί: A+(BC) = { [A+(BC)]'}' (δύο αρνήσεις) = { A'(BC)' }' (από DeMorgan) = { A'(B'+C') }' (από DeMorgan) = { A'B' + A'C' }' (από την πρώτη επιμεριστική ιδιότητα) = { (A+B)' + (A+C)' }' (από DeMorgan) = { [(A+B)(A+C)]' }' (από DeMorgan) = (A+B)(A+C) (δύο αρνήσεις). Αντιμεταθετική και Προσεταιριστική Ιδιότητα (Commutative and Associative Property): Όπως ξέρουμε, η σειρά των μεταβλητών δεν παίζει ρόλο στις πράξεις ΚΑΙ και Ή (αντιμεταθετική ιδιότητα), όπως επίσης στα πολλαπλά ΚΑΙ η σειρά των πράξεων δεν παίζει ρόλο, και το ίδιο και στα πολλαπλά Ή (προσεταιριστική ιδιότητα --γι' αυτό και συνήθως τα γράφουμε χωρίς παρενθέσεις). Παρατηρήστε και πάλι τα ζευγάρια δυϊκών σχέσεων: AB = BA A+B = B+A (αντιμεταθετική) A(BC) = (AB)C [συνήθως γράφεται: ABC ] (προσεταιριστική) A+(B+C) = (A+B)+C [συνήθως γράφεται: A+B+C ] Άλλα Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole: Μπορούν εύκολα να αποδειχτούν τα παρακάτω επίσης θεωρήματα. Τα δύο θεωρήματα σε κάθε γραμμή --αριστερό και δεξί-- είναι δυϊκά μεταξύ τους: το ένα προκύπτει από το άλλο ανταλλάζοντας τα ΚΑΙ με τα Ή, και τα 1 με τα 0. A 0 = 0 A+1 = 1 A 1 = A A+0 = A A A = A A+A = A A A'= 0 A+A'= 1 A(A+B) = A A+AB = A A(A'+B)= AB A+A'B= A+B Page 6 of 12

7 Άσκηση 4.7: Αποδείξεις Θεωρημάτων [Προκειμένου να αποφευχθεί ο κίνδυνος υπερφόρτωσής σας με ασκήσεις αυτή τη βδομάδα, την άσκηση αυτή, μαζί με την επόμενη, θα την παραδώσετε (σε χαρτί) μαζί με την αναφορά σας του 5ου εργαστηρίου, την επόμενη βδομάδα, 31/10-2/11/2012. Όμως, κάντε την από τώρα, προκειμένου να μην υπερφορτωθεί στη συνέχεια η επόμενη βδομάδα σας...]. (α) Αποδείξτε όλα τα παραπάνω θεωρήματα μέσω εξαντλητικού ελέγχου της ταυτότητας των δύο μελών τους σε όλες τις περιπτώσεις συνδυασμού τιμών των μεταβλητών τους. Με άλλα λόγια, φτιάξτε τους πίνακες αληθείας των δύο μελών κάθε θεωρήματος, και διαπιστώστε ότι είναι ίδιοι. Γράψτε τον πίνακα αληθείας της κάθε εμπλεκόμενης συνάρτησης σε μορφή στήλης, κατακόρυφα (όχι χάρτη Karnaugh). (α1) Γιά τα θεωρήματα που εμπλέκουν μία μόνο μεταβλητή, ο πίνακας αληθείας θα έχει 2 γραμμές φτιάξτε χωριστές στήλες γιά το A, το A', το (A')', το A A, A+A, A A', A+A', A 0, A 1, A+0, και A+1. Δείξτε με βέλη ποιές στήλες είναι ίσες με ποιές, και σε ποιό θεώρημα αντιστοιχεί κάθε τέτοιο ζευγάρι ίσων στηλών. (α2) Γιά τα θεωρήματα που εμπλέκουν δύο μεταβλητές, A και B, ο πίνακας αληθείας θα έχει 4 γραμμές φτιάξτε χωριστές στήλες γιά τα A', B', A'+B', A'B', AB, (AB)', A+B, (A+B)'. Αν έχετε χρόνο και διάθεση, φτιάξτε στήλες και γιά τα AB, A+AB, A+B, A(A+B), A', A'B, A+A'B, A'+B, A(A'+B). Δείξτε πάλι τις ίσες στήλες και τα θεωρήματα στα οποία αυτές αντιστοιχούν. (α3) Γιά τα θεωρήματα που εμπλέκουν τρείς μεταβλητές, A, B, και C, ο πίνακας αληθείας θα έχει 8 γραμμές φτιάξτε χωριστές στήλες γιά τα B+C, A(B+C), AB, AC, AB+AC, BC, A+(BC), A+B, A+C, (A+B)(A+C). Πάλι, δείξτε τις ίσες στήλες. Αν έχετε χρόνο και διάθεση, φτιάξτε στήλες και γιά τα AB, (AB)C, BC, A(BC), A+B, (A+B)+C, B+C, A+(B+C). (β) Αποδείξτε με διαγράμματα Venn την επιμεριστική (και την προσεταιριστική;) ιδιότητα, στις δύο δυϊκές τους μορφές την κάθε μία, καθώς και τα θεωρήματα A(A+B)=A, A+AB=A, A(A'+B)=AB, και A+A'B=A+B. Χρησιμοποιήστε 2 ή 3 τεμνόμενες ελλείψεις, που παριστάνουν τα σύνολα A, B, και C. Σημειώστε με κατάλληλο χρώμα ή διαγράμμιση τις περιοχές του επιπέδου που αντιστοιχούν στα B+C, A(B+C), AB, AC, AB+AC, BC, A+(BC), A+B, A+C, (A+B)(A+C) ποιές περιοχές είναι ίδιες με ποιές; Αν έχετε χρόνο και διάθεση, κάντε το ίδιο γιά τις περιοχές AB, (AB)C, BC, A(BC), A+B, (A+B)+C, B+C, A+(B+C), και τέλος γιά τις AB, A+AB, A+B, A(A+B), A'B, A+A'B, A'+B, A(A'+B). Άσκηση 4.8: Αποκλειστικό-Ή και Αποκλειστικό-ΟΥΤΕ (Ισότητα) [Προκειμένου να αποφευχθεί ο κίνδυνος υπερφόρτωσής σας με ασκήσεις αυτή τη βδομάδα, την άσκηση αυτή, μαζί με την προηγούμενη, θα την παραδώσετε (σε χαρτί) μαζί με την αναφορά σας του 5ου εργαστηρίου, την επόμενη βδομάδα, 31/10-2/11/2012. Όμως, κάντε την από τώρα, προκειμένου να μην υπερφορτωθεί στη συνέχεια η επόμενη βδομάδα σας...]. Είδαμε στο πείραμα 1.4 ότι το αποκλειστικό-ή ("exclusive-or" ή "XOR") δύο μεταβλητών είναι αληθές τότε και μόνο τότε όταν μία και μόνο μία από τις δυό τους είναι αληθής. Επίσης, η συνάρτηση ισότητας είναι αληθής όποτε και οι δύο μεταβλητές έχουν την ίδια τιμή. (α) Φτιάξτε τους πίνακες αληθείας των δύο αυτών συναρτήσεων, και αποδείξτε μέσω αυτών ότι η συνάρτηση ισότητας είναι η άρνηση (το "συμπλήρωμα") της συνάρτησης αποκλειστικού-ή. Γιά το λόγο αυτό, η συνάρτηση ισότητας ονομάζεται και "αποκλειστικό- ΟΥΤΕ" ("exclusive-nor" ή "XNOR"). (β) Από τον χάρτη Karnaugh του αποκλειστικού-ή έχουμε δεί ότι αυτό είναι: A XOR B = AB'+A'B. Αποδείξτε μέσω αλγεβρικών μετασχηματισμών ότι ισχύει επίσης: A XOR B = (A+B) (A'+B'). Ξεκινήστε από αυτή τη δεύτερη έκφραση, και εφαρμόστε πάνω της δύο φορές την επιμεριστική ιδιότητα του ΚΑΙ πάνω στο Ή, A(B+C)=AB+AC στη συνέχεια, απλοποιήστε τους τέσσερεις όρους που προκύπτουν, μέχρι να φτάσετε στην πρώτη έκφραση. (γ) Αφού η συνάρτηση ισότητας είναι η άρνηση του αποκλειστικού-ή, θα ισχύει: A XNOR B = [A XOR B]' = [AB'+A'B]' = [(A+B)(A'+B')]'. Απλοποιήστε αυτές τις δύο τελευταίες εκφράσεις, εφαρμόζοντας το θεώρημα DeMorgan, μέχρι να φτάσετε να αποδείξετε ότι: A XNOR B = AB+A'B' = (A+B')(A'+B). Page 7 of 12

8 4.9 Αποκωδικοποιητής και Πολυπλέκτης με Πύλες Γιά τον αποκωδικοποιητή μιλήσαμε ήδη στις παραγράφους 2.2 και 3.6: είναι ένα ψηφιακό κύκλωμα που έχει μία έξοδο γιά κάθε ένα, χωριστό συνδυασμό τιμών των εισόδων του. Η κάθε έξοδος ανάβει (γίνεται 1) μόνον όταν οι τιμές των εισόδων βρίσκονται στον αντίστοιχο συνδυασμό. Επομένως, κάθε φορά, μία και μόνο μία έξοδος είναι αναμένη --αυτή η οποία αντιστοιχεί στον παρόντα συνδυασμό τιμών των εισόδων. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο πίνακας αληθείας της κάθε εξόδου, σε μορφή χάρτη Karnaugh, θα είναι παντού 0 εκτός ενός και μόνου τετραγώνου όπου θα είναι 1. Άρα, η συνάρτηση της κάθε εξόδου αντιστοιχεί στο λογικό ΚΑΙ όλων των μεταβλητών εισόδου --είτε αυτών καθεαυτών, είτε των συμπληρωμάτων τους κάθε έξοδος θα έχει διαφορετικό συνδυασμό αληθών/συμπληρωμάτων γιά τις μεταβλητές εισόδου. Έτσι, η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή με λογικές πύλες είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα --εδώ γιά την περίπτωση αποκωδικοποιητή 3-σε-8. Πάνω αριστερά στο σχήμα υπάρχει ένα συνηθισμένο, απλό σύμβολο γιά τον αποκωδικοποιητή το σύρμα εισόδου με την πλάγια γραμμούλα και το "3" σημαίνει "τρία (αδελφά) σήματα (bits)", που και τα 3 μαζί ερμηνεύονται σαν μία λέξη των τριών bits. Στο κάτω μέρος του σχήματος φαίνεται και η παλαιά υλοποίηση του εργαστηρίου 1, με διακόπτες. Σε αυτήν βλέπουμε, π.χ., ότι ρεύμα θα φτάσει στην επάνω έξοδο όταν και μόνον όταν οι διακόπτες A, B, και C είναι όλοι "όχι πατημένοι", δηλαδή όταν (A')ΚΑΙ(B')ΚΑΙ(C'). Ομοίως, στην δεύτερη έξοδο θα φτάσει ρεύμα όταν και μόνον όταν A και B είναι "όχι πατημένοι" και C είναι πατημένος, δηλαδή όταν (A')ΚΑΙ(B')ΚΑΙ(C), κ.ο.κ. Παρατηρούμε ότι οι λογικές αυτές συναρτήσεις είναι ίδιες με τις αντίστοιχες του κυκλώματος με πύλες. Γιά πολυπλέκτες μιλήσαμε αρχικά στην 1.5 (παραλλαγή με "αποκωδικοποιημένα" σήματα επιλογής, ένα ανά είσοδο δεδομένων), και μετά στην 2.10 γιά την παραλλαγή με μιάν είσοδο επιλογής (με όσα bits χρειάζεται) η οποία με την τιμή της έπιλέγει μιά από τις εισόδους δεδομένων, και στη συνέχεια η τιμή αυτής της επιλεγμένης εισόδου δεδομένων οδηγείται και δίδεται στην έξοδο αλλάζοντας την τιμή των bits επιλογής αλλάζει και το ποιά είσοδος δεδομένων οδηγείται στην έξοδο. Επίσης, στο πείραμα 2.10 παρατηρήσαμε ότι ο πολυπλέκτης έχει μιά συγγένεια με τον αποκωδικοποιητή, επειδή τα bits επιλογής πρέπει να αποκωδικοποιηθούν, ούτως ώστε γιά καθε διαφορετικό συνδυασμό τους να προκληθεί διαφορετική ροή πληροφοριών. Αυτό φαίνεται στο επάνω μέρος του σχήματος: σε κάθε συνδυασμό τιμών των bits επιλογής, δηλαδή σε κάθε έξοδο του αποκωδικοποιητή, αντιστοιχεί κι από μία είσοδος δεδομένων, In00 έως In11, καθώς και από μιά πύλη ΚΑΙ. Στο παράδειγμα που δείχνει το σχήμα (πολυπλέκτης 4-σε- 1), τα (δύο) bits επιλογής έχουν τιμή 01, και γι' αυτό η δεύτερη έξοδος του αποκωδικοποιητή είναι αναμένη (1), και φυσικά όλες οι άλλες σβηστές (0). Επειδή A 0 = 0 γιά οιοδήποτε A, όλες οι πύλες ΚΑΙ εκτός από την μία "επιλεγμένη" πύλη δίνουν έξοδο 0. Επειδή A 1 = A γιά οιοδήποτε A, η επιλεγμένη πύλη δίνει στην έξοδό της τιμή ίση με αυτήν της εισόδου δεδομένων της --δηλαδή της In01 στο εδώ παράδειγμα με S=01. Στη συνέχεια, οι έξοδοι όλων των πυλών ΚΑΙ οδηγούνται στις εισόδους μιάς μεγάλης πύλης Ή. Επειδή A+0 = A γιά οιοδήποτε A, οι είσοδοι 0 της πύλης Ή --που αντιστοιχούν σε όλες τις πύλες ΚΑΙ πλην Page 8 of 12

9 A γιά οιοδήποτε A, οι είσοδοι 0 της πύλης Ή --που αντιστοιχούν σε όλες τις πύλες ΚΑΙ πλην της επιλεγμένης-- δεν επηρεάζουν την τιμή εξόδου της Ή έτσι, η τελική αυτή έξοδος παίρνει την τιμή της μίας εισόδου της πύλης Ή που δεν είναι αναγκαστικά 0, δηλαδή της εξόδου της επιλεγμένης πύλης ΚΑΙ, η οποία όπως είδαμε ισούται με την τιμή της επιλεγμένης εισόδου δεδομένων (της In01 εδώ, γιά S=01). Επειδή ο αποκωδικοποιητής αποτελείται και αυτός από πύλες ΚΑΙ, και επειδή (AB)C = A(BC) = ABC, οι πύλες ΚΑΙ του αποκωδικοποιητή μπορούν να συνενωθούν με τις πύλες ΚΑΙ που αυτές οδηγούν, δίνοντας το κύκλωμα που φαίνεται στο μέσον του σχήματος. Στο κάτω μέρος του σχήματος υπάρχει το παλαιό κύκλωμα του πολυπλέκτη με διακόπτες, από το πείραμα 2.1 παρατηρούμε ότι ουσιαστικά πρόκειται γιά την ίδια λογική συνάρτηση: ρεύμα μπορεί να περάσει από την θετική τροφοδοσία προς την έξοδο Out όταν βρεί διέξοδο μέσα από έναν από τέσσερεις εναλλακτικούς δρόμους (4 παράλληλοι δρόμοι αντιστοιχούν στο λογικό Ή 4 εισόδων). Ο πρώτος δρόμος άγει όταν In00 πατημένος και S0 και S1 όχι πατημένοι, δηλαδή όταν (In00)(S0')(S1'), που αντιστοιχεί στην πρώτη πύλη ΚΑΙ του νέου κυκλώματος, κ.ο.κ. γιά τους άλλους τρείς εναλλακτικούς δρόμους. Πείραμα 4.10: Πολυπλέκτης 4-σε-1 με Πύλες Κατασκευάστε και ελέγξτε έναν πολυπλέκτη 4-σε-1 με πύλες, όπως το πρώτο κύκλωμα του προηγουμένου σχήματος. Δεν χρησιμοποιούμε τη δεύτερη παραλλαγή του κυκλώματος επειδή δεν έχουμε πύλες AND 3 εισόδων ομοίως, επειδή δεν έχουμε πύλες OR 4 εισόδων, χρησιμοποιούε ένα δέντρο τέτοιων πυλών των 2 εισόδων. Η πρώτη βαθμίδα του κυκλώματος είναι ένας αποκωδικοποιητής 2-σε-4 ίδιος με εκείνον του πειράματος 3.6 εκμεταλλευόμαστε και πάλι το γεγονός ότι η πλακέτα εισόδων/εξόδων μας δίνει τόσο τη θετική όσο και την αρνητική πολικότητα των διακοπτών M και N. Στο σχήμα που δίδεται εδώ, οι πύλες είναι τοποθετημένες σε σημεία που βοηθούν στην ανθρώπινη κατανόηση της λειτουργίας του κυκλώματος, και όχι στις θέσεις που αυτές έχουν μέσα στα chips της υλοποίησης. Γιά να μπορούμε όμως να βρίσκουμε αμέσως σε ποιό σύρμα του κυκλώματος αντιστοιχεί το κάθε σημείο του σχήματος, η κάθε πύλη έχει το όνομα του chip που την υλοποιεί (U1, U2, U3,...), και ο κάθε ακροδέκτης πύλης έχει τον αριθμό του ακροδέκτη του αντίστοιχου chip όπου αυτός βρίσκεται στο κύκλωμα. Συνδέστε την έξοδο σε μία ενδεικτική λυχνία και ελέγξτε το κύκλωμά σας: η LED δείχνει πάντα την τιμή της σωστής "επιλεγμένης" εισόδου δεδομένων A, B, C, ή D; Όταν τελειώσετε μην χαλάσετε το κύκλωμά σας, διότι θα το χρειαστείτε στο επόμενο πείραμα Μεθοδολογία Αποσφαλμάτωσης (Debugging) Κυκλωμάτων Καθώς αυξάνει η πολυπλοκότητα των κυκλωμάτων που έχετε να υλοποιήσετε, αυξάνουν και οι κίνδυνοι σφαλμάτων κατά την κατασκευή που κάνετε στο εργαστήριο. Πρώτο σας μέλημα πρέπει πάντα να είναι να φτιάχνετε κυκλώματα σωστά εκ κατασκευής: σ' ένα πολύπλοκο σύστημα είναι ευκολότερο να προλάβετε τα λάθη από το να προσπαθείτε εκ των υστέρων να βρείτε σε τι οφείλονται λανθασμένες συμπεριφορές του συστήματος σε σπάνιες και παράξενες περιπτώσεις εισόδων του (και το ίδιο ισχύει και γιά τα προγράμματα που γράφετε σε άλλα μαθήματα και κυρίως στην επαγγελματική σας σταδιοδρομία). Επειδή όμως τα λάθη είναι ανθρώπινα, μερικές φορές θα σας τύχει να κάνετε μερικά, οπότε πρέπει να έχετε μια μεθοδολογία ελέγχου (test) του αποτελέσματος (είναι το κύκλωμα σωστό;), και Page 9 of 12

10 να έχετε μια μεθοδολογία ελέγχου (test) του αποτελέσματος (είναι το κύκλωμα σωστό;), και αν ο έλεγχος αυτός διαπιστώσει λάθη χρειάζεστε μιά μεθοδολογία εύρεσής τους (αποσφαλμάτωση - debugging). Επιπλέον, υπάρχουν και άλλοι αστάθμητοι παράγοντες, όπως π.χ. ότι ενδέχεται μερικά chips ή μερικοί ακροδέκτες από chips να είναι καμένα/ καμένοι, ή μερικοί ακροδέκτες ή σύρματα να μην κάνουν καλή επαφή στην πλακέτα. Τις δυσκολίες αυτές δεν έχετε να τις αντιμετωπίσετε μόνο στο εργαστηριο του μαθήματός μας, αλλά και με τα πραγματικά κυκλώματα, μελλοντικά στην επαγγελματική σας σταδιοδρομία οπλιστείτε λοιπόν με υπομονή και μέθοδο, και μάθετε από τώρα να τις αντιμετωπίζετε. Ξεκινάτε πάντα την κατασκευή σας με ένα καθαρό, κατανοητό σχεδιάγραμμα του κυκλώματός σας όπως το σχήμα του παραπάνω πειράματος Κάνετε τις συνδέσεις σας με την τροφοδοσία κλειστή. Μόλις ανάψετε την τροφοδοσία, ακουμπήστε κάθε chip με το δάκτυλο σας να δείτε αν ζεσταίνεται υπερβολικά. Αν υποπτευθείτε ότι κάποιο chip ζεσταίνεται απότομα, σβήστε αμέσως την τροφοδοσία: ίσως και να το προλάβετε πρίν καεί! Ελέγξτε αν οι τάσεις τροφοδοσίας είναι συνδεδεμένες στους σωστούς ακροδέκτες. Γιά το ύποπτο chip, ελέγξτε τις εξόδους του: ίσως κάποια από αυτές είναι βραχυκυκλωμένη με τάση τροφοδοσίας ή με άλλη έξοδο του ίδιου ή άλλου chip. Όταν ελέγχετε την τιμή (0 ή 1) ενός ακροδέκτη, προτιμάτε να την ελέγχετε πάνω στον ίδιο τον ακροδέκτη του chip, ει δυνατόν, αντί πάνω σε κάποιο σύρμα που (υποτίθεται ότι) είναι συνδεδεμένο στον ακροδέκτη: εάν η σύνδεση είναι κακή, ο ακροδέκτης θα σας δείξει τι βλέπει ή τι βγάζει το ίδιο το chip, ενώ το σύρμα μπορεί και να μην κάνει καλή επαφή. Όταν έχετε συνδέσει, στο κύκλωμά σας, τους ακροδέκτες δύο chips μεταξύ τους, ελέγξτε πρώτα την τιμή πάνω στον έναν ακροδέκτη, και στη συνέχει πάνω στον άλλον ακροδέκτη αν τις βρείτε διαφορετικές, σημαίνει ότι η σύνδεση δεν είναι καλή. Γιά να ελέγξτε την τιμή (τάση) ενός ακροδέκτη, χρησιμοποιήστε ένα σύρμα συνδεδεμένο σε μιά ενδεικτική λυχνία (LED). Εάν το κύκλωμά σας δεν συμπεριφέρεται όπως πρέπει, ιχνηλατήστε (trace) το σφάλμα κινούμενοι είτε προς τα πίσω, από τη λανθασμένη έξοδο προς τις εισόδους που την επηρρεάζουν, είτε προς τα εμπρός, από τις εισόδους προς τις εξόδους των πυλών. Ας πούμε ότι προχωρούμε από τις εισόδους προς τις εξόδους. Οι είσοδοι που εσείς δίνετε από τους διακόπτες, φτάνουν σωστές στα ποδαράκια του chip όπου φτάνουν; Αν όχι, φταίει κάποιο σύρμα ή σύνδεση. Αν όλες οι είσοδοι μιάς πύλης ενός chip έχουν τις σωστές τιμές (πάνω στα ποδαράκια του chip), η έξοδος αυτής της πύλης (πάνω στα ποδαράκια του chip) έχει τη σωστή τιμή; Αν όχι (και οι τροφοδοσίες είναι σωστές), υποπτευόμαστε είτε ότι η έξοδος είναι βραχυκυκλωμένη με τάση τροφοδοσίας ή με άλλη έξοδο του ίδιου ή άλλου chip, είτε ότι το chip μπορεί να είναι καμένο. Μετά τον έλεγχο των πρώτων πυλών που τροφοδοτούνται από τις εξωτερικές εισόδους, προχωρούμε στον έλεγχο των επομένων πυλών, που τροφοδοτούνται από τις εξόδους των πρώτων, κ.ο.κ. Με ανάλογη μεθοδολογία προχωρούμε και από τις εξόδους πίσω προς τις εισόδους. Ποιά έξοδος δεν έχει τη σωστή τιμή; Ποιά πύλη τροφοδοτεί αυτή την έξοδο; Η πύλη αυτή, πάνω στα ποδαράκια του chip, έχει τη σωστή ή λάθος τιμή; Αν η έξοδος της πύλης (πάνω στα ποδαράκια του chip) είναι λάθος, τότε οι είσοδοί της (πάνω στα ποδαράκια του chip) τι τιμή έχουν; Η τιμή των εισόδων δικαιολογεί την τιμή της εξόδου; Αν το λάθος της εξόδου δεν δικαιολογείται από τις τιμές των εισόδων, μήπως η έξοδος είναι βραχυκυκλωμένη με τάση τροφοδοσίας ή με άλλη έξοδο του ίδιου ή άλλου chip; Αν το λάθος της εξόδου οφείλεται σε λανθασμένες τιμές των εισόδων, ποιός φταίει γι' αυτές; Έτσι προχωρούμε προς τα πίσω στο κύκλωμα, μέχρι να φρούμε τον αρχικό φταίχτη Μνήμη Τυχαίας Προσπέλασης (RAM) Η Μνήμη Τυχαίας Προσπέλασης (Random Access Memory - RAM) αποτελεί τη μιά από τις τρείς βασικές συνιστώσες των ψηφιακών συστημάτων --αν θεωρήσουμε ότι οι επεξεργαστές και τα δίκτυα επικοινωνίας είναι οι άλλες δύο. Τη βασική οργάνωση μιάς μνήμης σε λέξεις αποτελούμενες από bits την είδαμε στην 1.7, και στη συνέχεια, με αποκωδικοποιητή διευθύνσεων, στο πείραμα 3.7. Επίσης, στο πείραμα 2.13 είχαμε δεί τη βασική ιδέα γιά την κατασκευή ενός στοιχείου Page 10 of 12

11 μνήμης που μπορεί να "θυμάται" 1 bit πληροφορίας. Οι σύγχρονες μνήμες RAM ημιαγωγών (ιδιαίτερα οι "στατικές" RAM - SRAM) χρησιμοποιούν ένα κύκλωμα CMOS βασισμένο στην ίδια ιδέα της θετικής ανάδρασης γιά να αποθηκεύουν το κάθε ένα bit πληροφορίας, και ως γνωστόν περιλαμβάνουν χιλιάδες ή (συνήθως) εκατομμύρια τέτοια κυκλώματα μέσα σε κάθε ένα chip, προκειμένου να χωρούν χιλιάδες ή εκατομμύρια bits πληροφορίας. Προφανώς όμως, τα chips αυτά δεν μπορούν να έχουν χιλιάδες ή εκατομμύρια σύρματα προκειμένου εμείς απ' έξω να διαβάζουμε ή να γράφουμε όλα αυτά τα bits. Η "προσπέλαση" της μνήμης, λοιπόν, γίνεται επιλεκτικά κάθε φορά, γιά την ανάγνωση από ή την εγγραφή σε ένα υποσύνολο μόνο των στοιχείων μνήμης --μία "λέξη" όπως έχουμε πεί. Το κύκλωμα έχει τη δυνατότητα να επιλέγει αυθαίρετα --"τυχαία"-- κάθε φορά το οιοδήποτε στοιχείο μνήμης επιθυμεί να προσπελάσει ο χρήστης, δίνοντας έτσι το όνομα σε αυτόν τον τύπο μνήμης. Το όνομα "τυχαίας προσπέλασης" αντιδιαστέλει αυτή τη μνήμη από άλλες μνήμες, π.χ. σειριακής προσπέλασης, όπως είναι π.χ. οι μαγνητικές ταινίες, ή --εν μέρει-- οι μαγνητικοί δίσκοι. Γιά να επιτευχθεί η τυχαία προσπέλαση, η RAM χρησιμοποιεί έναν αποκωδικοποιητή γιά να επιλέξει το επιθυμητό υποσύνολο των στοιχείων μνήμης που ο χρήστης θέλει να προσπελάσει. Μπορούμε να φανταστούμε ότι ο αποκωδικοποιητής χρησιμοποιείται γιά τις εγγραφές (write) στη μνήμη, όπως δείχνει το σχήμα, αν και στην πραγματικότητα, γιά λόγους οικονομίας, χρησιμοποιείται και γιά τις αναγνώσεις. Η βασική είσοδος του αποκωδικοποιητή είναι η διεύθυνση (address), δηλαδή μιά ψηφιακή πληροφορία με τόσα bits όσα χρειάζονται γιά να επιλεγεί μονοσήμαντα μία λέξη. Οι άλλες είσοδοι που χρειάζονται γιά την εγραφή είναι μιά είσοδος ελέγχου (write enable), που να λέει πότε θέλουμε να γράψουμε και πότε όχι, και η είσοδος δεδομένων (write data), που να λέει τι θέλουμε να γράψουμε στην επιλεγείσα λέξη. Γιά την τυχαία προσπέλαση κατά την ανάγνωση, η RAM χρησιμοποιεί έναν πολυπλέκτη γιά να οδηγήσει στην έξοδο το περιεχόμενο που είναι αποθηκευμένο στην επιθυμητή λέξη. Φυσικά, ο πολυπλέκτης εμπεριέχει κι έναν αποκωδικοποιητή, και γιά να λειτουργήσει χρειάζεται κι αυτός τη διεύθυνση της λέξης. Έτσι, γιά καθε δοσμένη διεύθυνση ανάγνωσης (read address) θα εμφανίζονται στην έξοδο δεδομένων ανάγνωσης (read data) εκείνες οι πληροφορίες που είχαν γραφτεί την τελευταία φορά στην ίδια διεύθυνση εγγραφής, ενώ τα περιεχόμενα (πληροφορίες) των υπολοίπων θέσεων (διευθύνσεων) της μνήμης είναι αυθαίρετα, και δεν αλληλεπιδρούν με τα περιεχόμενα της θέσης που εμείς κοιτάμε αυτή τη στιγμή. Γιά να συγκεκριμενοποιήσουμε την παραπάνω γενική εικόνα, ας υποθέσουμε ότι η μνήμη μας έχει λέξεις του 1 bit καθεμία (οι συνηθισμένες μνήμες έχουν λέξεις π.χ. των 8 ή 16 ή 32 ή 64 bits). Επίσης, γιά να μας χωράει το σχήμα, ας υποθέσουμε ότι η μνήμη μας χωράει μόνο 4 bits, συνολικά (αντί των χιλιάδων ή εκατομμυρίων bits των πραγματικών μνημών). Επίσης, κατ' αναλογία προς τις εισόδους Reset και Set του πειράματος 2.13, ας υποθέσουμε ότι κάθε στοιχείο μνήμης έχει δύο εισόδους, R και S, γιά τον έλεγχο εγγραφής: όταν R=S=0 δεν γίνεται καμία εγγραφή, και το στοιχείο διατηρεί (θυμάται) την προϋπάρχουσα κατάστασή του όταν R=1 (καθώς S=0), το στοιχείο μηδενίζεται (εγγραφή πληροφορίας 0) όταν S=1 (καθώς R=0), στο στοιχείο εγγράφεται η πληροφορία 1 και τέλος, θέλουμε ποτέ να μην είναι ταυτόχρονα αναμένο και το R και το S. Q είναι η έξοδος του στοιχείου μνήμης, δηλαδή το σύρμα που έχει πάντα πάνω του την τιμή του αποθηκευμένου bit. Τότε, η μνήμη αυτή, μεγέθους "4x1" (4 "λέξεις", μεγέθους 1 bit καθεμία), θα είναι όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ανάγνωση γίνεται με τον πολυπλέκτη 4-σε-1, δηλ. το κύκλωμα της 4.9. Η εγγραφή χρησιμοποιεί τον αποκωδικοποιητή διευθύνσεων, που είναι παρόμοιος με το κύκλωμα της 4.9, παραπάνω. Οι πύλες ΚΑΙ που ακολουθούν τον αποκωδικοποιητή εξασφαλίζουν τα εξής. Γιά όλα τα στοιχεία μνήμης εκτός του "επιλεγμένου" από τη διεύθυνση εγγραφής (εδώ, το δεύτερο στοιχείο, επειδή A=01), R=S=0 επειδή η αντίστοιχη έξοδος του αποκωδικοποιητή είναι 0, άρα δεν γίνεται καμία εγγραφή εκεί. Γιά το επιλεγμένο στοιχείο μνήμης, όταν Write=0, δηλαδή όταν δεν θέλουμε να κάνουμε καμία εγγραφή, τότε Page 11 of 12

12 πάλι R=S=0, επομένως ούτε εκεί γίνεται εγγραφή. Εάν τώρα θέλουμε να γίνει εγγραφή, δηλαδή εάν Write=1 όπως στο σχήμα, τότε το επιλεγμένο στοιχείο μνήμης βλέπει R=DataIn' και S=DataIn (επειδή οι άλλες δύο είσοδοι των πυλών ΚΑΙ είναι 1). Αυτό σημαίνει ότι εάν DataIn=0 τότε R=1 και S=0, άρα το στοιχείο μνήμης μηδενίζεται (δηλ. εγγράφεται 0=DataIn), ενώ εάν DataIn=1 τότε R=0 και S=1, άρα στο στοιχείο μνήμης εγγράφεται 1 (=DataIn). Η περίπτωση R=S=1 αποκλείεται, διότι τα DataIn' και DataIn (το ένα συμπλήρωμα του άλλου) δεν είναι ποτέ 1 και τα δύο ταυτοχρόνως. Πείραμα 4.13: Μνήμη Ηλεκτρονόμων Κατασκευάστε και ελέγξτε την απλοϊκή μνήμη τυχαίας προσπέλασης (RAM) μεγέθους 4x1 με ηλεκτρονόμους που φαίνεται στο σχήμα, κατ' αναλογία της μνήμης που είδαμε στην προηγουμένη παράγραφο. Γιά λόγους απλοποίησης, παραλείπουμε εντελώς το κύκλωμα εγγραφών, και το αντικαθιστούμε με τις πρόχειρες συνδέσεις που φαίνονται στο σχήμα (κατά συνέπεια, η μνήμη αυτή είναι RAM μόνον όσον αφορά τις αναγνώσεις, και όχι όσον αφορά τις εγγραφές). Τα 4 στοιχεία μνήμης είναι κατασκευασμένα με 4 ηλεκτρονόμους, κατ' αναλογία του πειράματος Οι αναγνώσεις γίνονται μέσω του πολυπλέκτη 4-σε-1 με πύλες που έχετε έτοιμο από το προηγούμενο πείραμα Η σύνδεση ηλεκτρονόμων και πυλών ημιαγωγών, εδώ, επιτρέπεται, διότι τα σημεία που τροφοδοτούν τις πύλες δεν είναι ποτέ ανοικτοκυκλωμένα, και η τάση τους είναι πάντα μεταξύ 0 και 5 Volt: όταν ο ηλεκτρονόμος είναι σβηστός, το σημείο που τροφοδοτεί την πύλη ΚΑΙ έχει 0 Volt, δεδομένου ότι η πεπερασμένη αντίσταση του πηνίου το συνδέει με τη γή, ενώ όταν ο ηλεκτρονόμος είναι αναμένος, το σημείο εκείνο συνδέεται με την θετική τροφοδοσία, άρα έχει 5 Volt. Οι εγγραφές στη μνήμη μας γίνονται με ένα τρόπο καθόλου βολικό, λόγω των απλοποιήσεων που αναγκαστήκαμε να κάνουμε. Στην αρχή, μηδενίζουμε τα περιεχόμενα ολόκληρης της μνήμης, φέρνοντας τον πάνω αριστερά διακόπτη στη θέση "reset memory", δηλαδή διακόπτοντας την τροφοδοσία σε όλα τα στοιχεία μνήμης. Εν συνεχεία, επαναφέρουμε την τροφοδοσία (διακόπτης σε θέση ηρεμίας), και γράφουμε άσσους (1) επιλεκτικά, σε όποια στοιχεία μνήμης θέλουμε, ακουμπώντας ένα σύρμα του οποίου η μιά του άκρη είναι στη θετική τροφοδοσία στον ακροδέκτη ενεργοποίησης του πηνίου που θέλουμε να ανάψει μόλις το πηνίο ανάψει μπορούμε να απομακρύνουμε το σύρμα, αφού το στοιχείο μνήμης "θυμάται" μόνο του ότι το ανάψαμε. Γιά να αλλάξουμε μερικούς ή όλους τους άσσους σε μηδενικά, ο μόνος τρόπος είναι να ξαναμηδενίσουμε όλη τη μνήμη μέσω του διακόπτη "reset memory" και να γράψουμε άσσους από την αρχή σε όλα τα μέρη όπου τους θέλουμε. Ελέγξτε τη σωστή λειτουργία της μνήμης ως εξής. Γράψτε σ' ένα χαρτί 4 bits (π.χ. 1, 0, 0, 1) που θέλετε να αποθηκεύσετε στη μνήμη, με τη σειρά που θέλετε να τα αποθηκεύσετε. Μετά, γράψτε αυτά τα bits στη μνήμη, με τον χειροκίνητο τρόπο που είπαμε παραπάνω. Στη συνέχεια, δώστε διάφορες διευθύνσεις M και N (00, 01, 10, 11), εναλλάξ, επανειλημμένα, και ανακατωμένα. Γιά κάθε διεύθυνση, η ενδεικτική λυχνία στην έξοδο της μνήμης (του πολυπλέκτη) δίνει το σωστό περιεχόμενο σύμφωνα με το τι είχατε γράψει εκεί; Επαναλάβετε από την αρχή, με διαφορετικές πληροφορίες εγγραφής στη μνήμη (π.χ. 0, 1, 1, 1). Υπάρχουν 16 διαφορετικά σύνολα πληροφοριών που μπορείτε να αποθηκεύσετε σε αυτή τη μνήμη --αν έχετε χρόνο, ελέγξτε τη σωστή λειτουργία της μνήμης με όσα περισσότερα από αυτά γίνεται (φυσικά, δεν θα ελέγχατε με τέτοιον εξαντλητικό τρόπο μιά μνήμη π.χ. του 1 Mbit, διότι δεν θα τελειώνατε ποτέ (2 εις την ένα εκατομμύριο συνδυασμοί...) --πρέπει όμως να ελέγξτε ότι δεν είναι καμένο κανένα από τα στοιχεία μνήμης και καμία από τις πύλες του πολυπλέκτη). Up to the Home Page of CS-120 copyright University of Crete, Greece. last updated: 11 Oct. 2012, by M. Katevenis. Page 12 of 12

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγεβρα Boole, Μνήμη RAM

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγεβρα Boole, Μνήμη RAM ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγεβρα Boole, Μνήμη RAM Μανόλης Γ.Η. Κατεβαίνης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγερβα Boole, Μνήµη RAM

Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγερβα Boole, Μνήµη RAM 1 of 8 6/11/2003 8:13 µµ ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2003 Τµ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Εργαστήριο 4: Χάρτες Karnaugh, Άλγερβα Boole, Μνήµη RAM 10-15 Νοεµβρίου 2003 [Τα τµήµατα της Τρίτης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-2016 Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra) Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ.

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ. Εισαγωγή Εργαστήριο 2 ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σκοπός του εργαστηρίου είναι να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο εκφράζεται η ψηφιακή λογική υλοποιώντας ασκήσεις απλά και σύνθετα λογικά κυκλώµατα (χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ και ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σκοπός: Η κατανόηση της σχέσης µιας λογικής συνάρτησης µε το αντίστοιχο κύκλωµα. Η απλοποίηση λογικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM).

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM). Μνήμες Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η ευκολία αποθήκευσης μεγάλων ποσοτήτων πληροφοριών, είτε προσωρινά είτε μόνιμα Οι πληροφορίες αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 3: Άλγεβρα Βοole και Λογικές Πράξεις Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις Χρ. Καβουσιανός Επίκουρος Καθηγητής 2014 Εργαστηριακές Ασκήσεις Ψηφιακής Σχεδίασης 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΠΑΙΤΕ Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων & Μικροϋπολογιστών Εργαστηριακές Ασκήσεις για το μάθημα «Λογική Σχεδίαση» ΑΣΚΗΣΗ 3 ΠΙΝΑΚΕΣ KARNAUGH

ΑΣΠΑΙΤΕ Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων & Μικροϋπολογιστών Εργαστηριακές Ασκήσεις για το μάθημα «Λογική Σχεδίαση» ΑΣΚΗΣΗ 3 ΠΙΝΑΚΕΣ KARNAUGH ΑΣΚΗΣΗ 3 ΠΙΝΑΚΕΣ KARNAUGH 3.1 ΣΚΟΠΟΣ Η κατανόηση της απλοποίησης λογικών συναρτήσεων με χρήση της Άλγεβρας Boole και με χρήση των Πινάκων Karnaugh (Karnaugh maps). 3.2 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 3.2.1 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

Ενότητα 2 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ Ενότητα 2 ΛΓΕΡ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ Άλγεβρα Boole Γενικές Γραμμές ξιώματα Huntington και Θεωρήματα ρχή του Δυϊσμού Λογικές πύλες NAND και NOR Υλοποιήσεις με πύλες NAND ή πύλεςnor πομονωτές τριών καταστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ.

Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. ΝΑΛΟΓΙΚΑ Άλγεβρα Boole Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. ΝΑΛΟΓΙΚΑ Άλγεβρα Boole Οι αρχές της λογικής αναπτύχθηκαν από τον George Boole (85-884) και τον ugustus De

Διαβάστε περισσότερα

Από τη Σχεδίαση Απλών Υπολογιστών στη Σχεδίαση των μελλοντικών Ευρωπαϊκών Data Centers

Από τη Σχεδίαση Απλών Υπολογιστών στη Σχεδίαση των μελλοντικών Ευρωπαϊκών Data Centers Από τη Σχεδίαση Απλών Υπολογιστών στη Σχεδίαση των μελλοντικών Ευρωπαϊκών Data Centers Μανόλης Κατεβαίνης Καθηγητής Επ. Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Επίσκεψη Μαθητών 3 ης Λυκείου 3 Απριλίου 2015 Το

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

Lab 6: Signed Add/Subtract, FF (U.Crete, CS-120) 14-10-28 17:28 διαίρεσης, δηλαδή αριστερά 28-24 = 4 bits της διεύθυνσης) μετατρέποντας στο δεκαδικό, βλέπουμε ότι όντως πρόκειται γιά τη θέση 256+128+16

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Πρώτο Κεφάλαιο Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα 1.1 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα και Συστήματα... 1 1.2 Βασικά Ψηφιακά Κυκλώματα... 3 1.3 Ολοκληρωμένα κυκλώματα... 4 1.4 Τυπωμένα κυκλώματα... 7 1.5 Εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να μετατρέψετε τον δεκαδικό 16.25 σε δυαδικό. 2. Να μετατρέψετε τον δεκαδικό 18.75 σε δυαδικό και τον δεκαδικό 268 σε δεκαεξαδικό. 3. Να βρεθεί η βάση εκείνου του αριθμητικού

Διαβάστε περισσότερα

Από τη Σχεδίαση Απλών Υπολογιστών στη Σχεδίαση των μελλοντικών Ευρωπαϊκών Data Centers

Από τη Σχεδίαση Απλών Υπολογιστών στη Σχεδίαση των μελλοντικών Ευρωπαϊκών Data Centers Από τη Σχεδίαση Απλών Υπολογιστών στη Σχεδίαση των μελλοντικών Ευρωπαϊκών Data Centers Μανόλης Κατεβαίνης Καθηγητής Επ. Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Επίσκεψη Μαθητών 3 ης Λυκείου 5 Φεβρουαρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1 Άλγεβρα Βοοle η θεωρητική βάση των λογικών κυκλωμάτων Η άλγεβρα Βοοle ορίζεται επάνω στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE 2017, Δρ. Ηρακλής Σπηλιώτης Γενικοί ορισμοί Αλγεβρική δομή είναι ένα σύνολο στοιχείων και κάποιες συναρτήσεις με πεδίο ορισμού αυτό το σύνολο. Αυτές οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων. Ψηφιακή Σχεδίαση. Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων. Ψηφιακή Σχεδίαση. Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων Ψηφιακή Σχεδίαση Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Γ. Κορνάρος Περίγραμμα Μέρος 1 Κυκλώματα Πυλών και

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Εκτέλεση πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Με n bits μπορούμε να παραστήσουμε 2 n διαφορετικούς αριθμούς π.χ. με n=32 μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς από έως 2 32 -= 4,294,967,295 4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Σύνοψη Τα κυκλώματα που διαθέτουν διακόπτες ροής ηλεκτρικού φορτίου, χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που αναπαράγουν λογικές διαδικασίες για τη λήψη αποφάσεων. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ο : Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα

ΜΕΡΟΣ 1 ο : Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα ΜΕΡΟΣ 1 ο : Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα 1. Για a=1, b=1 και c=0, υπολογίστε τις τιμές των λογικών παραστάσεων ab c, a+b +c, a+b c και ab +c Δώστε τα σύνολα τιμών των δυαδικών

Διαβάστε περισσότερα

K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες

K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ Περιεχόμενα 1 2 3 4 Λειτουργία Πολυπλέκτης (Mul plexer) Ο

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές

3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές 3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές Μια μεταβλητή έχει ένα όνομα και ουσιαστικά είναι ένας δείκτης σε μια συγκεκριμένη θέση στη μνήμη του υπολογιστή. Στη θέση μνήμης στην οποία δείχνει μια μεταβλητή αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Λογική και Σχεδίαση

Ψηφιακή Λογική και Σχεδίαση Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 26-7 Ψηφιακή Λογική και Σχεδίαση (σχεδίαση συνδυαστικών κυκλωμάτων) http://mixstef.github.io/courses/comparch/ Μ.Στεφανιδάκης Το τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 9: Τρικατάστατοι Οδηγητές, Λεωφόροι, Μνήμες SRAM

Εργαστήριο 9: Τρικατάστατοι Οδηγητές, Λεωφόροι, Μνήμες SRAM ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2011 Τμ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Εργαστήριο 9: Τρικατάστατοι Οδηγητές, Λεωφόροι, Μνήμες SRAM 6-9 Δεκεμβρίου 2011 Διαλέξεις εβδομάδας 9: Δε. 28/11 - κανονική

Διαβάστε περισσότερα

C D C D C D C D A B

C D C D C D C D A B Απλοποίηση µέσω Πίνακα Karnaugh: Παράδειγµα - 2 Στον παρακάτω πίνακα έχει ήδη γίνει το «βήμα- 1». Επομένως: Βήμα 2: Δεν υπάρχουν απομονωμένα κελιά. Βήμα 3: Στο ζεύγος (3,7) το κελί 3 γειτνιάζει μόνο με

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων

K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ Περιεχόμενα 1 2 3 4 Ένα ψηφιακό κύκλωμα με n εισόδους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Ψηφιακά κυκλώματα - Άλγεβρα Boole

Κεφάλαιο 9. Ψηφιακά κυκλώματα - Άλγεβρα Boole Κεφάλαιο 9. Ψηφιακά κυκλώματα - Άλγεβρα Boole Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται και αναλύονται οι βασικές αρχές λειτουργίας των ψηφιακών κυκλωμάτων, παρουσιάζεται η άλγεβρα Boole και πώς χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Κυκλώματα (1 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Ψηφιακά Κυκλώματα (1 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Ψηφιακά Κυκλώματα ( ο μέρος) ΜΥΥ-6 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Ψηφιακά κυκλώματα Οι δύο λογικές τιμές, αντιστοιχούν σε ηλεκτρικές τάσεις Υλοποιούνται με τρανζίστορ ή διόδους: ελεγχόμενοι διακόπτες

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Αριθµοί Διαφόρων Βάσεων Δυαδικά Συστήµατα 2 Υπολογιστική Ακρίβεια Ο αριθµός των δυαδικών ψηφίων αναπαράστασης αριθµών καθορίζει την ακρίβεια των αριθµών σε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Τεχνολογία και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 12 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E-mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo 1 GROUP I A Λ ΤΡΙΤΗ PC-Lab GROUP IΙ Μ Ω ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ Central Κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία μνημών Ημιαγωγικές μνήμες Μνήμες που προσπελαύνονται με διευθύνσεις:

Τεχνολογία μνημών Ημιαγωγικές μνήμες Μνήμες που προσπελαύνονται με διευθύνσεις: Σύστημα μνήμης Ο κύριος σκοπός στο σχεδιασμό ενός συστήματος μνήμης είναι να προσφέρουμε επαρκή χωρητικότητα αποθήκευσης διατηρώντας ένα αποδεκτό επίπεδο μέσης απόδοσης και επίσης χαμηλό μέσο κόστος ανά

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Τεχνολογία και

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR Σκοπός: Να επαληθευτούν πειραµατικά οι πίνακες αληθείας των λογικών πυλών OR, NOR, XOR. Να δειχτεί ότι η πύλη NOR είναι οικουµενική.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Βασικοί Ορισµοί Δυαδικός Τελεστής (Binary Operator): σε κάθε ζεύγος από το Σ αντιστοιχίζει ένα στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΑ & ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεματική Ενότητα Ακαδημαϊκό Έτος 2010 2011 Ημερομηνία Εξέτασης Κυριακή 26.6.2011 Ώρα Έναρξης Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος B) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 3: Πύλες, Transistors, Chips, Αποκωδικοποίηση Διευθύνσεων, και Συνδυαστικά Κυκλώματα

Εργαστήριο 3: Πύλες, Transistors, Chips, Αποκωδικοποίηση Διευθύνσεων, και Συνδυαστικά Κυκλώματα ΗΥ-120: Ψηφιακή Σχεδίαση Φθινόπωρο 2012 Τμ. Επ. Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Εργαστήριο 3: Πύλες, Transistors, Chips, Αποκωδικοποίηση Διευθύνσεων, και Συνδυαστικά Κυκλώματα 17-20 Οκτωβρίου 2012 (βδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

4.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας

Διαβάστε περισσότερα

- Εισαγωγή - Επίπεδα μνήμης - Ολοκληρωμένα κυκλώματα μνήμης - Συσκευασίες μνήμης προσωπικών υπολογιστών

- Εισαγωγή - Επίπεδα μνήμης - Ολοκληρωμένα κυκλώματα μνήμης - Συσκευασίες μνήμης προσωπικών υπολογιστών Μάθημα 4.5 Η Μνήμη - Εισαγωγή - Επίπεδα μνήμης - Ολοκληρωμένα κυκλώματα μνήμης - Συσκευασίες μνήμης προσωπικών υπολογιστών Όταν ολοκληρώσεις το μάθημα αυτό θα μπορείς: Να αναφέρεις τα κυριότερα είδη μνήμης

Διαβάστε περισσότερα

Μνήμη και Προγραμματίσιμη Λογική

Μνήμη και Προγραμματίσιμη Λογική Μνήμη και Προγραμματίσιμη Λογική Η μονάδα μνήμης είναι ένα στοιχείο κυκλώματος στο οποίο μεταφέρονται ψηφιακές πληροφορίες προς αποθήκευση και από το οποίο μπορούμε να εξάγουμε αποθηκευμένες πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 3 Μέτρηση Θερμοκρασίας Σύστημα Ελέγχου Θερμοκρασίας. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 3 Μέτρηση Θερμοκρασίας Σύστημα Ελέγχου Θερμοκρασίας. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 3 Μέτρηση Θερμοκρασίας Σύστημα Ελέγχου Θερμοκρασίας με Θερμοστάτη. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW.

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΠΡΟΣΠΕΛΑΣΗΣ (Static and Dynamic RAMs). ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΠΡΟΣΠΕΛΑΣΗΣ (Static and Dynamic RAMs). ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΠΡΟΣΠΕΛΑΣΗΣ (Static and Dynamic RAMs). ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΩΝ ΜΝΗΜΩΝ. ΒΑΣΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ RAM CMOS. ΤΥΠΟΙ ΚΥΤΤΑΡΩΝ ΑΡΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

100 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

100 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 100 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1) Να μετατρέψετε τον δεκαδικό αριθμό (60,25) 10, στον αντίστοιχο δυαδικό 11111,11 111001,01 111100,01 100111,1 111100,01 2)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ/ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ/ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΑΚΑΡΙΟΣ Γ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2013 2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ/ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 Κατεύθυνση: Θεωρητική Μάθημα: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Τάξη: Β Αρ. Μαθητών: 8 Κλάδος: Ηλεκτρολογία Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών OOLEN LGER ιδάσκων: ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unp.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Άλγεβρα OOLE Οι µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 5. Ρυθμίζοντας τη Φορά Περιστροφής. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 5. Ρυθμίζοντας τη Φορά Περιστροφής. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 5 Ρυθμίζοντας τη Φορά Περιστροφής DC Κινητήρα. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα

1. Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα 1. Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Το ηλεκτρικό ρεύμα και τα ηλεκτρικά κυκλώματα Γνωστικό Αντικείμενο: Ερευνώ το Φυσικό Κόσμο Διδακτική Ενότητα: Ηλεκτρισμός Τάξη: Ε'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αλγεβρα BOOLE και Λογικές Πύλες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αλγεβρα BOOLE και Λογικές Πύλες ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΕΡΟΣΚΑΦΩΝ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ Διδάσκουσα Δρ. Β. Σγαρδώνη 2013-14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αλγεβρα BOOLE και Λογικές Πύλες Α. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole Η Άλγεβρα Boole (Boolean algebra) πήρε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24-5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης ; Ποιες κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο 5: Δυαδική Αρίθμηση, Αθροιστές Μανόλης Γ.Η. Κατεβαίνης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1 1-1 Σχηµατισµός Μηνύµατος 1 1-2 Βάση Αρίθµησης 2 1-3 Παράσταση Αριθµών στο εκαδικό Σύστηµα 2 Μετατροπή υαδικού σε εκαδικό 3 Μετατροπή εκαδικού σε υαδικό 4

Διαβάστε περισσότερα

επανενεργοποιηθεί Βιομηχανικά Ηλεκτρονικά - Κ.Ι.Κυριακόπουλος Control Systems Laboratory

επανενεργοποιηθεί Βιομηχανικά Ηλεκτρονικά - Κ.Ι.Κυριακόπουλος Control Systems Laboratory Μετατροπέας Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό Ο δειγματολήπτης (S/H) παίρνει δείγματα του στιγμιαίου εύρους ενός σήματος και διατηρεί την τάση που αντιστοιχεί σταθερή, τροφοδοτώντας έναν κβαντιστή, μέχρι την

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο Ψηφιακής Λογικής (The Digital Logic Level)

Επίπεδο Ψηφιακής Λογικής (The Digital Logic Level) Επίπεδο Ψηφιακής Λογικής (The Digital Logic Level) Ερωτήσεις Επανάληψης 1. Ένας καθηγητής λογικής μπαίνει σε ένα εστιατόριο και λέει : Θέλω ένα σάντουιτς ή ένα σουβλάκι και τηγανητές πατάτες. Δυστυχώς,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Κεφάλαιο Τρία: 3.1 Τι είναι αναλογικό και τι ψηφιακό µέγεθος Αναλογικό ονοµάζεται το µέγεθος που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή σε µια συγκεκριµένη περιοχή τιµών π.χ. η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου. Ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 8 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Άλγεβρα Boole Ορισμοί Λογικές πράξεις Πίνακες αληθείας Πύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εργαστήριο 6: Προσημασμένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip- Flops

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εργαστήριο 6: Προσημασμένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip- Flops ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο 6: Προσημασμένοι Ακέραιοι, Προσθαφαιρέτες, Flip- Flops Μανόλης Γ.Η. Κατεβαίνης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ 4.1 ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να παρουσιάσει τις βασικές αρχές της σχεδίασης λογικών (ψηφιακών) κυκλωμάτων για πρακτικές εφαρμογές. Στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών:

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 23 Διάρκεια εξέτασης : 6 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Θέμα (,5 μονάδες) Στις εισόδους του ακόλουθου κυκλώματος c b a εφαρμόζονται οι κάτωθι κυματομορφές.

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ220: Εργαστήριο ψηφιακών κυκλωμάτων

ΗΥ220: Εργαστήριο ψηφιακών κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ220: Εργαστήριο ψηφιακών κυκλωμάτων Γιώργος Δημητρακόπουλος Μονάδες επεξεργασίας δεδομένων και ο έλεγχος τους Δόμηση σύνθετων κυκλωμάτων 1. Γενική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

( 1) R s S. R o. r D + -

( 1) R s S. R o. r D + - Tο κύκλωμα που δίνεται είναι ένας ενισχυτής κοινής πύλης. Δίνονται: r D = 1 MΩ, g m =5mA/V, R s =100 Ω, R D = 10 kω. Υπολογίστε: α) την απολαβή τάσης β) την αντίσταση εισόδου γ) την αντίσταση εξόδου Οι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

i Το τρανζίστορ αυτό είναι τύπου NMOS. Υπάρχει και το συμπληρωματικό PMOS. ; Τι συμβαίνει στο τρανζίστορ PMOS; Το τρανζίστορ MOS(FET)

i Το τρανζίστορ αυτό είναι τύπου NMOS. Υπάρχει και το συμπληρωματικό PMOS. ; Τι συμβαίνει στο τρανζίστορ PMOS; Το τρανζίστορ MOS(FET) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 25-6 Το τρανζίστορ MOS(FET) πύλη (gate) Ψηφιακή και Σχεδίαση πηγή (source) καταβόθρα (drai) (σχεδίαση συνδυαστικών κυκλωμάτων) http://di.ioio.gr/~mistral/tp/comparch/

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 6 Θεώρημα Thevenin Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 6 Θεώρημα Thevenin Σκοπός: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : TEΣT ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΣΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : TEΣT ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΣΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : TEΣT ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΣΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ : Λιασένκο Ρομάν ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ : Τόλιου Κατερίνα NEA

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Γ. Τσιατούχας. VLSI Systems and Computer Architecture Lab. CMOS Κυκλώματα 2

Κεφάλαιο 1 ο. Γ. Τσιατούχας. VLSI Systems and Computer Architecture Lab. CMOS Κυκλώματα 2 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ VLSI Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων MOS Ψηφιακά Κυκλώματα Κεφάλαιο 1 ο Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Γ. Τσιατούχας ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ VLSI Διάρθρωση 1. Άλγεβρα oole Χάρτης Karnaugh 2. MOS τρανζίστορ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα