ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει απαραίτητες γνώσεις για τις επόμενες τάξεις του Λυκείου. Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Βασική θεωρία Μεθοδολογίες και σχόλια Λυμένα παραδείγματα Ασκήσεις όλων των επιπέδων δυσκολίας Θέματα από την τράπεζα της Α Λυκείου του υπουργείου Καλή μελέτη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ.. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ..0. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.7.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.. Η ΕΞΙΣΩΣΗ.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ.0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΠΡΟΟΔΟΙ 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ.. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.. 6. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ) f )..58 ( ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (...6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 . ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. 5 Έτσι π.χ. οι αριθμοί, κτλ. είναι ρητοί. Όμως και όλοι οι ακέραιοι μπορούν 4 να γραφούν στη μορφή κλάσματος π.χ.. Άρα και οι ακέραιοι ανήκουν στους ρητούς. Άρρητοι λέγονται οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος. Τέτοιοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία μη επαναλαμβανόμενα όπως οι ρίζες των μη τέλειων τετραγώνων π.χ, ή όπως το,4... Άρρητοι αριθμοί : Q...,,...,,.. 5,... Πραγματικοί είναι το σύνολο των αριθμών που αποτελείται από τους ρητούς και από τους άρρητους. Πραγματικοί αριθμοί : R Q Q Πράξεις και Ιδιότητες Αντιμεταθετική :, Προσεταιριστική : ( ) ( ), ( ) ( ) Ουδέτερο Στοιχειό : Πρόσθεση: 0 0, Πολλαπλασιασμός: Αντίθετο και Αντίστροφο Στοιχειό : ( ) ( ) 0, οι αριθμοί και λέγονται αντίθετοι. 0 λέγονται αντίστροφοι. Επιμεριστική : ( ) Οι Πράξεις της Αφαίρεσης και της Διαίρεσης Ονομάζουμε διαφορά του β από το α δηλαδή : ( ). (Αφαίρεση είναι η πρόσθεση του αντιθέτου) Ονομάζουμε πηλίκο του α δια β δηλαδή :, 0. (Διαίρεση είναι ο πολλαπλασιασμός του αντιστρόφου) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4 Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Κατά Μέλη Αν και τότε Αν και τότε Νόμος Διαγραφής Αν 0, τότε Ιδιότητα Γινομένου 0, 0, 0 ή 0, 0, 0 Δυνάμεις Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:...,, 0 ( 0 ),, Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,, Ταυτότητες ) )( ( ) )( ( ) )( (

6 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Ιδιότητα : 0 0, ή, 0 π.χ. ( 6 )( ) ή 0 Όταν έχουμε, χωρίς περιορισμό για το α, τότε : 0 ( ) 0 0 ή 0 π.χ. 0 ( ) 0 0 ή 0 0 0,, 0 δηλ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Παραγοντοποίηση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία μια παράσταση από άθροισμα μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Τα εργαλεία της παραγοντοποίησης είναι : ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. y 5y y(y 5), π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 5 0 ( 4) 5( 4) ( 4)( 5) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 5 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Δίνεται η παράσταση : y y i. Να δείξετε ότι 9 y 9. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 6 4 (4 )(4 ) ii) ( ) 8 ( ) 9 ( 9)( 9) ( 0)( 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ : y

7 ii. Να βρείτε την τιμή της παράστασης για 00 και Λύση : y y i. y y : y y : y 0 6 y y 9 y 9 y 9 9 y 9 y 9 ii. Έχω y ( y) αν και y τότε : 00. (Άσκηση 4 σελ. 5 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) i. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Λύση : i. Ένας τρόπος για να αποδείξω μια ισότητα είναι να ξεκινήσω από το ένα μέλος και με διαδοχικές ισότητες να καταλήξω στο άλλο : ( ) ( ) ( ) 4 ii. Από i. έδειξα ότι ( ) ( ) 4, άρα αν και τότε : 999. (Άσκηση 6 σελ. 5 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δυο διαδοχικών φυσικών ακεραίων (του μικρότερου από τον μεγαλύτερο) ισούται με το άθροισμα τους. Λύση : Έστω ν ένας φυσικός ακέραιος, τότε ο ν+ είναι ο επομένως φυσικός ακέραιος. Για να δείξω ότι η διαφορά των τετραγώνων τους (του μικρότερου από τον μεγαλύτερο) ισούται με το άθροισμα τους αρκεί να δείξω ότι : ( ) ( ) ( ) Ξεκινώ από το πρώτο μέλος και έχω : ( ) άρα ισχύει. 4. (Άσκηση σελ. 5 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. ( ) ii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7 Λύση : i. Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα, θα πρέπει πρώτα να παραγοντοποιήσω αριθμητή και παρανομαστή : ) ( ) ( ) ( ii. ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 5. (Άσκηση σελ. 5 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. ) ( ii. Λύση : i. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ii. ) )( ( ) )( ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Να υπολογίσετε την τιμή στις επόμενες παραστάσεις, αν οι,y είναι αντίστροφοι : i ) ( y ii ) (6 6 ) ( y iii. ) ( ) ( ) ( y y y 7. Να αποδείξετε τις ταυτότητες που ακλουθούν : i. ) ( ii. ) 0 ( iii. iv. ) ( ) ( y y y y 8. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ) )( (. Στη συνέχεια με τη βοήθεια της να υπολογίσετε τις δυνάμεις : α) 99 β) 999 γ) 999

9 9. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται : 6 9 i. 5 5 ii. ( 4) 4 iii. ( )( ) 4 4 iv. 8 ( )( ) ( )( 7) v. 9 4 ( )( ) vi. 0. Αν,y 0, να εκτελέσετε τις πράξεις: i. iv. 5 y y 8 7 : 5 y y ii. 4 5 y y iii. 4 y y v. y : y vi. : y : : y. Να βρείτε τις τιμές των επόμενων παραστάσεων, αν =8 και y=: Α= 4 5 y y y B=. Να κάνετε τις πράξεις: y 4 y y 4 i. 6 ii. a 5 4a a ii. 4 6 iv.. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i. 5 0 ii. y y y y iii. a 5 iv. v. vi. 9 9 vii. 6 viii Αν ισχύει 6 να αποδείξετε ότι α+β= 5. Αν ισχύει ότι α-β=, να αποδείξετε ότι: 4 6. Να αποδείξετε ότι, αν 0 τότε ισχύει : ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

10 7. i. Να αποδείξετε την ταυτότητα : y ( y) y ii. Στο παρακάτω ορθογώνιο οικόπεδο το πλάτος του διαφέρει από το μήκος του y κατά 0m. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του οικοπέδου. ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

11 . ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός της Διάταξης : 0 και 0 Κανόνες Προσήμων Διάταξης : i. ( 0 και 0 ) 0 ii. ( 0 και 0 ) 0 iii., ομόσημοι 0 0 iv., ετερόσημοι 0 0 v. 0 για κάθε (το = ισχύει μόνο όταν α=0) Ιδιότητες των Ανισοτήτων i. Αν και, τότε ii. iii. Αν 0 τότε iv. Αν 0 τότε v. Αν () και (), τότε προσθέτω κατά μέλη της () και () και έχω : (Προσοχή : δεν γίνεται να προσθέσω κατά μέλη ανισότητες που έχουν διαφορετική φορά.) vi. Αν,,, θετικοί αριθμοί τότε αν () και (), τότε πολλαπλασιάζω κατά μέλη της () και () και έχω : (Προσοχή : δεν γίνεται να πολλαπλασιάσω κατά μέλη ανισότητες που έχουν διαφορετική φορά.) Διάταξη και Δυνάμεις Αν, είναι θετικοί αριθμοί και ν φυσικός διαφορετικός του μηδέν, τότε ισχύει : i. ii. (Προσοχή : αν,,, αρνητικοί τότε : Διαστήματα i. Κλειστό διάστημα : [, ] ii. Ανοιχτό διάστημα : (, ) iii. Ανοιχτό δεξιά διάστημα : [, ) iv. Ανοιχτό αριστερά διάστημα : (, ] v. (, ] vi. (, ) vii. [, ) viii. (, ) ό ) ά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

12 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Δεν αντιστρέφουμε τα μέλη μιας ανισότητας, εκτός αν ξέρουμε το πρόσημο τους. Ισχύει : Αν, ομόσημοι και τότε Αν, ετερόσημοι και τότε Δεν υψώνουμε στο τετράγωνο τα μέλη μιας ανισότητας, εκτός αν ξέρουμε ότι και τα δυο είναι θετικά οπότε η φορά παραμένει ίδια ή ότι και τα δυο είναι αρνητικά οπότε η φορά αλλάζει. Δεν μπορούμε να κάνουμε «χιαστή» σε ανισοτικές σχέσεις, εκτός αν ξέρουμε το πρόσημο των παρανομαστών οπότε και κάνουμε απαλοιφή. Πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό κατά μέλη γίνεται μόνο σε ανισότητες που έχουν την ίδια φορά. Δεν γίνεται ούτε αφαίρεση, ούτε διαίρεση κατά μέλη. 0 0,, 0 Όπως είπαμε αν, είναι θετικοί αριθμοί και ν φυσικός διαφορετικός του μηδέν, τότε ισχύει :. Αν όμως, είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί τότε για κάθε ν φυσικό αριθμό ισχύει : (το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα). 0 ή, ά Όμως ισχύει ότι :, ό ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 59 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i. 9 6 ii. Λύση : i ( ) 0 που ισχύει. ii. 0 0 που ισχύει.. (Άσκηση σελ. 59 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : 0. Πότε ισχύει η ισότητα; Λύση : ( ) 0 που ισχύει καθώς ( ) 0 και 0 άρα και για το άθροισμα τους θα ισχύει ότι ( ) 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 Για την ισότητα : 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 και 0 0. Άρα η ισότητα ισχύει αν 0. (Άσκηση σελ. 59 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Αν ( ) ( y ) 0 ii. Αν y 4y 5 0 Λύση : i. ( ) ( y ) 0 ii. ( ) 0 0 και ( y ) 0 y 0 y y 4y 5 0 y 4y 4 0 ( ) ( y ) 0 ( ) 0 0 και ( y ) 0 y 0 y 4. (Άσκηση 4 σελ. 60 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν 4,5 4, 6 και 5, y 5, 4, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις : i. y ii. y iii. iv. y y Λύση : i. 4,5 4, 6 () και 5, y 5, 4 () Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και έχω : 4,5 5, y 4,6 5,4 9,8 y 0 ii. Επειδή δεν γίνεται αφαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη, θα σχηματίσω το y πολλαπλασιάζοντας τη () με - οπότε έχω : 5, y 5, 4 5,4 y 5, () Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και έχω : 4,5 5,4 y 4,6 5, 0,9 y 0,7 iii. Επειδή δεν γίνεται διαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη, θα σχηματίσω το y. Για να γίνει αυτό αντιστρέφουμε τα μέλη της () που είναι θετικά οπότε έχω : (4). Πολλαπλασιάζω κατά μέλη () και (4) και έχω : 5,4 y 5, 4,5 4,6 4,5 4,6 5,4 y 5, 5,4 y 5, 5, y 5,4 iv. Πρέπει να σχηματίσω τα, y. Τα μέλη των () και () είναι θετικά, άρα αν τα υψώσω στο τετράγωνο δεν αλλάζει η φορά τους. Δηλαδή : (4,5) (4,6) 0,5,6 (5) (5,) y (5,4) 8,09 y 9,6 (6) Προσθέτω κατά μέλη τις (5)&(6) και έχω 0,5 8,09 y,6 9,6 48,4 y 50, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 5. (Άσκηση 6 σελ. 60 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν 0, να δείξετε ότι. Λύση : Έχω ότι 0 άρα 0 ομοίως και 0 άρα 0 Στην ανισότητα απαγορεύεται το χιαστή, μπορώ όμως να κάνω απαλοιφή παρανομαστών αφού γνωρίζω ότι το ΕΚΠ των παρανομαστών ( )( ) 0. Έχω : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) που ισχύει από το δεδομένο (Άσκηση σελ. 60 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν, να δείξετε ότι. Λύση : 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 (). Αρκεί να δείξω ότι ισχύει η σχέση (). Από τη σχέση έχω ότι : 0 0. Επίσης : 0 0. Άρα ( )( ) 0 7. (Άσκηση 4 σελ. 60 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i. 0 ii. 0 Λύση : i ( ) 0 που ισχύει. ii ( ) 0 που ισχύει. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Αν,y είναι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : i. ii. 4y 4y iii. ( y) 4y 9. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,β να αποδείξετε ότι : i. ( ) ii. iii. ( )( ) 4 ( 4)( 4) 4( ) 0. Αν 0, να αποδείξετε ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

15 i. ii. 4. Να αποδείξετε ότι : i. αν 4, τότε 5( ) 5 ii. αν και, τότε iii. αν 4 και, τότε ( ) 4. Να αποδείξετε ότι αν 6, τότε : i. 9 ii. 8. Αν οι αριθμοί,y είναι ομοσημοι με y, να αποδείξετε ότι : y. y 4y 4. Αν ισχύει : y z, να αποδείξετε ότι : α) y 7 y z β) z 5. Να βρείτε τους αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει: 0 i. ii. iii. 4 iv Αν α>0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: i. και ii. και 7. Να αποδείξετε ότι: i ii Αν ισχύει <α< και -<β<-, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις: i. 4α-β ii. iii. αβ- 9. Αν και y 5, να αποδείξετε ότι : i. y 9 ii. 8 y 5 iii. 0 y iv. 5 y 0. Αν και 7, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών είναι οι παραστάσεις : i. 5 ii. 4 iii.. α) Να αποδειχθεί ότι: 4 β) Ένα ορθογώνιο, του οποίου οι διαστάσεις είναι και y, έχει περίμετρο 0m. i. Να εκφραστεί το y με τη βοήθεια του. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

16 ii.να εκφραστεί το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου με τη βοήθεια του, χρησιμοποιώντας τη σχέση του ερωτήματος (α). iii. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε είναι μικρότερο ή ίσο των 5m. ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. :.. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

18 . ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός Απόλυτης Τιμής :,, 0 0 Συνέπειες του Ορισμού :. 0. και. 4. Για κάθε 0 ισχύει : ή π.χ. 5 5 ή 5 π.χ. ή 4 ή 5. ή π.χ. ( ) 6 9 ή ( ) 6 4 Ιδιότητες Απολύτων Τιμών :., π.χ. 4 ( )( ). 4 4 ( )( ), π.χ.. Απόσταση Δυο Αριθμών : Ισχύει : d (, ), π.χ. d ( 4,) π.χ. d (,) ή 5 8 ή Επίσης :. d(, ) (, ) 0 0. d(, ) (, ) (, ), ή , 0 π.χ. π.χ. 4 d (, ) 4 ( 4, 4) ( 7,) ή 7 4 d(,4) (,4 ) (4, ) (,) (6, ) 9 4 ή, ή, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

19 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Όταν σε μια άσκηση υπάρχουν απόλυτες τιμές και θέλω να απαλλαγώ από αυτές τότε : Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική, τότε φεύγει η απόλυτη τιμή και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται όπως είναι. Δηλ. π.χ., επειδή 0 για κάθε. π.χ. 7 7, επειδή 7 0 Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα αρνητική, τότε η απόλυτη τιμή γίνεται παρένθεση και βγαίνει ένα μείων (-) απέξω. Δηλ. π.χ. ( ), επειδή 0 για κάθε. π.χ. 8 ( 8 ) 8, επειδή 8 0. Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο τότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις με βάση τον ορισμό. ( ), ( ) 0 ( ). ( ) ( ) 0, 0, Δηλ ( ), 0, Το ίδιο μπορεί να γίνει με πινακάκι και περιπτώσεις : Μηδενίζω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή, βρίσκω τη ρίζα ή τις ρίζες της και κάνω πινακάκι. Από το πινακάκι διακρίνω τις αντίστοιχες περιπτώσεις και βγάζω το πρόσημο της παράστασης στο διάστημα που θέλω. Δηλ., το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο άρα, Αν ή [, ) τότε (αφού 0 για κάθε [, ) ) Αν ή (, ) τότε ( ) (αφού 0 για κάθε (, ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

20 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 66 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i. ii. 4 iii. 4 iv. Λύση : i. Επειδή 0, τότε ii. Επειδή 4 0, τότε 4 ( 4) 4 4 iii. Επειδή 0 και 4 0, τότε 4 ( ) 4 4 iv. Επειδή 0 και 0, τότε 0. (Άσκηση σελ. 66 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν 4 να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : 4 Λύση : Επειδή 4, τότε : 0 και 4 0 Οπότε : 4 ( 4) 4. (Άσκηση σελ. 66 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : 4 όταν : i. ii. 4 Λύση : i. Επειδή 0, επίσης άρα και Οπότε : 4 ( ) (4 ) 4 ii. Επειδή , επίσης 4 άρα και 0 Οπότε : 4 (4 ) 4 4. (Άσκηση 4 σελ. 67 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν, να βρείτε την τιμή της παράστασης Λύση : Έχω : ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

21 5. (Άσκηση σελ. 68 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν να δείξετε ότι i. ii. Λύση : i. Επειδή 0 Οπότε : ii. Επειδή 0 ( ) Οπότε : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : i ii. 5 4, iii Αν, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. ii. iii. 8. Αν, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : 4 5 και Αν 0, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : και 5 0. Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : όταν : i. ii. iii.. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής: i. Α= - ii. Β= + + iii. Γ= - - iv. Δ= - 4- v. Ε= vi. Ζ= - -. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : 4 5 i. ii. B= iii.γ= 6 v. Ε= vi. iv. Δ=, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Να αποδείξετε ότι: i. 4 ii. ( a ) iii. ( ) iv. ( )( ) 4. Αν α<<β, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Κ=d(,α)+d(,β)-d(α,β)

22 5. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Απόλυτη τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση διαστημάτων < 4 > 5 [,] ( 6,6) (, 8) [8, ) (, 0) (0, ) d (,) 5 d (, 4) 7 d (, ) 5 d (,) ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 .4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός Τετραγωνικής Ρίζας : Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Δηλαδή :, με 0 και 0. Η, με 0, παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης. Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας :. Αν 0, τότε : ή. Αν, 0, τότε : και. Για κάθε πραγματικό αριθμό α είναι :, 0 (Προσοχή : ) Ορισμός ν-οστης Ρίζας : Η ν-οστη ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στη ν, δίνει τον α. Δηλαδή :, με 0 και 0. Η, με 0, παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης. π.χ. 7 γιατί 7. Η 7 είναι η μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης 7. Επίσης : Ιδιότητες Ριζών :. Αν 0, ενώ, τότε : ή, αλλά και. Αν 0 και ν άρτιος τότε. Αν, 0, τότε : και, 0 4. Αν 0, τότε : 5. Αν 0, τότε : 6, π.χ , π.χ π.χ Αν 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε : π.χ., π.χ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όταν κάτω από τη ρίζα υπάρχει αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο τότε εύκολα υπολογίζω το αποτέλεσμα. π.χ. 5 5, 44 κτλ. Όταν όμως ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο κοιτώ μήπως μπορώ να απλοποιήσω τη ρίζα γράφοντας τον αριθμό σαν γινόμενο δυο αριθμών εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο. π.χ π.χ π.χ Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει μια ρίζα, τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα αυτή ώστε να προκύψει κλάσμα που στον παρανομαστή δεν έχει ρίζα. π.χ. π.χ. Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει παράσταση της μορφής,,, τότε για να απαλλαγώ από τη ρίζα στον παρανομαστή πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του παρανομαστή. ( 5 ) π.χ ( 5 ) ( 5 ) π.χ π.χ. 5 6 ( ( 5 6 ( 5 6) ( 6) 5 6) ( ) ) ( ) Απαραίτητη προϋπόθεση όταν έχουμε ρίζα είναι η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. π.χ. η παράσταση έχει νόημα μόνο όταν 0 π.χ. η παράσταση 6 έχει νόημα μόνο όταν π.χ. η παράσταση 4 δεν έχει νόημα, δηλαδή είναι λάθος, αφού 4 0 Αν, y 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία : y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

26 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να υπολογίσετε τις ρίζες : i ii iii. 0, 0 0, , , 0000 Λύση : i ii iii. 0, , , , (Άσκηση σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς τις ρίζες : i. ii. iii. iv. Λύση : ( 4) ( 0) ( ) 4 40 i. ( 4) 4 ( 4) 4 4 ii. ( 0) 0 0 iii. ( ), _ 0, _, _ ( ), _ 0, _, _ iv (Άσκηση σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : ( 5) ( 5) Λύση : Έχω ( 5) 5 5 ( 5) ( 50 5) 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

27 4. (Άσκηση 4 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : Λύση : Πρώτα πρέπει να πάρω περιορισμούς, πρέπει : () και 0 (). Άρα από () και () έχω 5. ( )( ) Έχω : ( ) (Άσκηση 5 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i Λύση : i. Έχω (Άσκηση 6 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : ii. 5 5 Λύση : 5 5 ii. Έχω (Άσκηση 7 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : 5 ii. Λύση : ii. Έχω (Άσκηση 8 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : ii. Λύση : ii. Έχω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ (Άσκηση 0 σελ. 75 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές : 7 6 iii. 7 6 Λύση : 6 iii. Έχω

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0. Να κάνετε τις πράξεις: 5 5 ii iii. i iv. 5 5 v vi Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. Α= ( 48 7) ii. Β= ( 50 8) 8 iii. Γ= ( 0 45)( 80 5) iv. Δ= ( 6 54) 4. Να κάνετε τις πράξεις: i. iii. ( 5 ) ( 5 ) ii. ( 7 6)( 7 6) ( ) 6 iv. 5 ( 5 ). Να δείξετε ότι : i. ii. iii. 6 5 iv Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι παραστάσεις : i. ii. 4 4 iii Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι επόμενες παραστάσεις. i. Α= ii. Β= 6 5 iii. Γ= 4 7 iv. Δ= Αν ισχύει ότι: και y να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. Α= ( y ) ii. Β= y iii. Γ= y iv. Δ= 7. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: y y i. Α= 8 ii. Β= ( 50 ) 6 6 iii. Γ= ( 5 ) (7 0) iv. Δ= 8 8. i. Να βρείτε τα αναπτύγματα ( ) και ( ). ii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= 9. Αν ισχύει -<<, να απλοποιήσετε την παράσταση Α= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

29 0. Δίνεται η παράσταση: Α= ( 4 )( 4 ) i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α.. Να δείξετε ότι : Να δείξετε ότι : ( 0) (5 0). Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές: i. ii. iii. iv. v Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i ( ) ii Αν, 0, να αποδείξετε ότι: i. ( ) ii. ( ) 4 iii. ( )( ) ( ) iv Δίνεται ο αριθμός: α= ( ) i. Να βρείτε τον αριθμό α. ii. Να βρείτε τον αριθμό β= 8( iii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= ( 6 )( ) 7. Να μετατρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή: i. 8 iv. ( 5) 0 ii v. 6 5 ( 7 6) 4 iii. ( ) 6 vi. 7 4 ( 5 ) 8. Αν α 0, να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας: i. Α= ii. Β= 5 iii. Γ= iv. Δ= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

30 9. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις : i. 4 4, αν d (,) ii., αν d (, ) ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ.4 : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

32 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης. Οι αριθμοί α,β λέγονται συντελεστές της εξίσωσης. Αν α 0, η () έχει μόνο μια λύση (ρίζα), την. Αν α=0 και β 0, η () είναι αδύνατη (δεν έχει λύση). Αν α=0 και β=0, η () είναι ταυτότητα ή αόριστη (αληθεύει για κάθε πραγματικό ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. 4 ( ) iv Λύση : iii. 4 ( ) iv. Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω ( 4,5,0) 0 και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή (4,5,0) παρανομαστών ( 4 ) 5( ) (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. ( ) ( ) iv. Λύση : iii. ( ) ( ) Η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του, καμία λύση) iv. 6 6 (5 ) Η εξίσωση είναι ταυτότητα (δηλ. αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, άπειρες λύσεις) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5( ) ii. 6 iv. 4 6 ( ) 5 6 iii Δίνονται οι εξισώσεις: ( ) () και ( 6) 5 ( 4 ) (). 4 Να βρείτε τον αριθμό μ, ώστε οι εξισώσεις () και () να έχουν κοινή λύση. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, αν οι συντελεστές α,β είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Έτσι όταν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάθε όρος που περιέχει το θεωρείται άγνωστος και μεταφέρεται στο ο μέλος, ενώ κάθε όρος που περιέχει το λ (ή μ κτλ) θεωρείται γνωστός και μεταφέρεται στο ο μέλος. Για να λύσουμε μια παραμετρική ο βάθμια εξίσωση : Βήμα : φέρνω την εξίσωση στη μορφή Βήμα : βρίσκω τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ισχύει : 0 Βήμα : όταν 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση τη Βήμα 4 : για τις τιμές της παραμέτρου που ισχύει 0, αντικαθιστώ στην αρχική εξίσωση και προκύπτει είτε αδύνατη είτε ταυτότητα (αόριστη) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. Να λύσετε την εξίσωση : για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Λύση : Βήμα : ( ) Βήμα : 0 ή 0 0 ( )( ) 0 ή 0 Βήμα : Αν και η εξίσωση έχει μοναδική λύση : ( ) ( )( ) Βήμα 4 : Αν τότε : ( ) ( ) 0 0 είναι ταυτότητα Αν τότε : ( ) ( ) 0 είναι αδύνατη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Να λύσετε την εξίσωση : 4 για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 7. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθούν οι εξισώσεις i. ( ) ii. ( ) iii. ( 4) 4 iv. ( ) 8. Να λύσετε την εξίσωση : ( 4) 4 4( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 9. Έστω η εξίσωση : ( 5) 6( 5) (). Να βρεθεί για ποιες τιμές του η εξίσωση () i. Έχει λύση το ii. Έχει μοναδική λύση το iii. Είναι αδύνατη. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τη βοήθεια της πρότασης : «Ένα γινόμενο παραγόντων είναι μηδέν, όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν». Η διαδικασία που ακλουθούμε είναι η εξής : Βήμα : μεταφέρω όλους τους όρους στο ο μέλος, οπότε στο ο μένει μηδέν Βήμα : παραγοντοποιώ το ο μέλος, ώστε να σχηματιστεί γινόμενο παραγόντων ισο με το μηδέν, οπότε εφαρμόζουμε την παραπάνω πρόταση. ΘΥΜΗΣΟΥ : ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. y 5y y(y 5), π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 5 0 ( 4) 5( 4) ( 4)( 5) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 6 4 (4 )(4 ) ii) ( ) 8 ( ) 9 ( 9)( 9) ( 0)( 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 0. (Άσκηση 7 σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( 4) ( 4) ( 4) 0 ii. ( ) ( )(4 ) 0 Λύση : i. ( 4) ( 4) ( 4) 0 ( 4)( ) 0 ( 4)( ) ή 0 ii. ( ) ( )(4 ) 0 ( ) (4 ) ( ) ( )(4 ) 0 ( ) 0 0 ( )( 4 ) 0 ( )( ) 0 ή 0. (Άσκηση 0 σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. ( )( ) 0 Λύση : 0 i. ii. 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ή 0 ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( )( ) ( )( ) ii. ( 5) 5 0 iii. ( 7) 49 0 iv. ( ) ( )( ) 0 v. ( ) vi. ( 64)( ) ( 4)( 8) vii. 4 4( )( 4) 0 viii. i. i. ( ) ( ). ( 4) [( ) ( 6)] 6 ( ) ( 5) 6 0 ( ) (0 7) ( )( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

36 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα 4 : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς.. (Άσκηση σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 4 Λύση : i. ( )( ) ( )( ) Πρέπει : ( )( ) 0 & Έτσι έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) απορρίπτεται. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. 4 4 ( ) ( ) Πρέπει : ( ) 0 0 & 0 4 Έτσι έχω : ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ταυτότητα δηλ. η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε,0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 i. ii. 4 iv. v. 7 5 iii vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

37 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΜΟΡΦΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Οι εξισώσεις αυτές έχουν ή μπορούν να πάρουν μια από τις επόμενες μορφές : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f () για 0 δίνει f () ή f () για α=0 δίνει f()=0 και για α<0 είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή 4 ή ή =- ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) 9 ( ) 6 9 ή ( ) για g ( ) 0, έχω : f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) για g ( ) 0, η εξίσωση f ( ) g( ) είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: πρέπει 0. Έτσι για έχω :,. ή ( ),. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 f ( ) g( ) h( ) Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ρίζες των f ( ) 0 και g ( ) 0, φτιάχνω πινακάκι στο οποίο βάζω τις ρίζες των παραπάνω εξισώσεων και στη συνέχεια διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα που δημιουργούνται. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: () Έχω : 0 και Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η () γίνεται : ( ) ( ) 5 αδύνατο γιατί (, ) Αν [,) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

38 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. (Άσκηση 4 σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5 ii. 4 iii. Λύση : 5 i. 5 ή ii. 4 5 iii., πρέπει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 ή 4 ή 4 ( ) ή 4 ή ή 0 ( ) 4 5 ή 5. Έτσι για έχω :,. ή, ή 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 5 iii. 4 4 iv. v. vi Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 i. ii. 4 4 iii. ( 4) iv. v. ( 4) 6 0 vi. 4 vii viii. i i iii. iv. 8. Δίνεται η παράσταση: Α= 9 9 v. ii i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α και να την απλοποιήσετε. ii. Να λύσετε την εξίσωση Α=. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

39 v. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή *,. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι : ) Αν α>0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α>0 και ν άρτιος έχει ακριβώς δυο λύσεις a ) Αν α<0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a 4) Αν α<0 και ν άρτιος δεν έχει λύσεις (αδύνατη) π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.4) Να λύσετε την εξίσωση : Αδύνατη. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5 0 Λύση : i (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 ii. 4 0 Λύση : ii (Άσκηση 4 σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 iii. 6 0 Λύση : iii. 6 0 ( 6) 0 0 ή αδύνατη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 i. 8 0 ii. 6 0 iii iv. 8 0 v. 0 vi vii viii. 0 i. (5 ) ( ) i. ( )( 8) 0 ii. iv. 5 ( ) 8 8 v. ( ) 8 iii. 5 ( ) 6 48 vi. 4 ( 5) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

40 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Διακρίνουσα 4 Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες : Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα : Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο, π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι , έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις ( ), π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Είναι , έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) 4 ( ) Είναι ( ) , άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ π.χ π.χ. 0 4 π.χ Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 5 0 ( 5) 0 0 ή π.χ. 6 0 ( 6) 0 0 ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii iii. ( ) iv. 9 0 v. 9 0 vi. ( 9) 7 0 vii. 0 viii. 7 6 i i. 5 0 ii. 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. ( ) ( )( ) ( ) 6 iii. iv. ( ) ( )( ) v. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( ) 6 4( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA Σε περίπτωση που η εξίσωση : 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε για το άθροισμα S και το γινόμενο P ισχύει : S S P P Οι παραπάνω τύποι είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Με τη βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση : 0 μετασχηματίζεται : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση 6 σελ. 94 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. και ii. και iii. 5 6 και 5 6 Λύση : i. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S 5 και P P P 6, 0 S P 0 άρα ii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S και P P P, άρα 0 0 iii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S 0 και P P (5 6) (5 6) P 5 ( 6) P 5 4 P, άρα 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 40

42 4. (Άσκηση 7 σελ. 94 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο -5 ii. Άθροισμα 9 και γινόμενο 0. Λύση : i. Έχω S S και P P 5, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης : S P 0 5 0, έχω ( ) και, ii. Έχω S S 9 και P P 0, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης : και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :, S P , έχω ( 9) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. -5 και ii. 4 και iii. 7 και 7 iv. 5 και Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο - ii. Άθροισμα 6 5 και γινόμενο 6 iii. Άθροισμα και γινόμενο 7. Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να υπολογίσετε τη διακρίνουσα τους. i ii iii. 0 iv Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης παραστάσεων: i. ii. iii. iv. 0, να βρείτε τις τιμές των παρακάτω v. vi. 9. Έστω και οι ρίζες της εξίσωσης 5 0. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: ii. iii. iv. i. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

43 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΟΡΦΗ : 0, 0 Επειδή : τότε : 0 0 και έπειτα θέτω 0, οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται 0, 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 5 0 Λύση : Έχω Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται 5 0, , 5, ή 44, ή 7,. Για ή 5 Για 7 7 Αδύνατη. 4 ΜΟΡΦΗ : 0 (ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΗ) 4 Έχουν τη μορφή 0, 0 και λύνονται με αντικατάσταση : 0 4 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται Είναι 49 4 ( 4) , Για 4 4 Για Αδύνατη., ( 7) , ή ή,. ΜΟΡΦΗ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, 4 ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. 8 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : 8 8 ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (δεκτή) ή (δεκτή). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

44 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i ii iii iv v vi Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. ( 5) ii. (4 ) iii iv. ( 4) 7( 4) v vi vii viii i i ii. iii. 4 iv. 6 v vi Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i ii. 5 5 iii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

45 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες : i. ( ) 0, 0 ii. ( ) 0, 0 Λύση : i. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, ( ) 4 4 Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, 0, αν οι συντελεστές α,β,γ είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0, 0 : έχει δυο ρίζες άνισες, αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. τουλάχιστον μια), αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει μια διπλή ρίζα, αρκεί να δείξουμε ότι 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. είναι αδύνατη), αρκεί να δείξουμε ότι 0 Επιπλέον οι τύποι του Vieta μπορούν να συνδυαστούν με τις ρίζες τις εξίσωσης, δηλαδή αν θέλουμε η εξίσωση 0, 0 να έχει : δυο ρίζες άνισες θετικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες αρνητικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες ετερόσημες, τότε πρέπει 0, P 0 δυο ρίζες αντιστροφές, τότε πρέπει 0, P δυο ρίζες αντίθετες, τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα θετική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα αρνητική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα το μηδέν (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 ( ) 4 4( ) ( ) 4( ) 0 ισχύει για κάθε (άρα και για κάθε 0 ) ii. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, 4 ( ) 4 4 ( ) 0 ισχύει για κάθε, (άρα και για κάθε 0 ) 4. (Άσκηση 4 σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 0, 0 έχει διπλή ρίζα. Λύση : Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει 0, έχω :,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 44

46 Οπότε ή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Να αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες i. ( ) 0 ii Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) 0, έχει μια διπλή ρίζα. 7. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 8. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 9. Δίνεται η εξίσωση (6 ) έχει ρίζα τον αριθμό. i. Να βρεθεί ο λ ii. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει και άλλη μια ρίζα, διαφορετική του. 0. Αν, με, να δειχτεί ότι η εξίσωση : ( ) ( ) 0 έχει δυο ρίζες άνισες. *. Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 με,. Να αποδείξετε ότι : i. η εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες, ii. οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης.. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση 4 0 να έχει: i. μια διπλή ρίζα, ii. δύο ρίζες ετερόσημες, iii. δύο ρίζες αρνητικές, iv. δύο ρίζες θετικές v. δύο ρίζες αντίστροφες.. Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 () i. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ii. Αν και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε το λ, ώστε να ισχύει: 4. Δίνεται η εξίσωση 0 (). i. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρείτε το λ, ώστε η μια ρίζα της εξίσωσης () να είναι ίση με το τετράγωνο της άλλης. iii. Έστω και οι ρίζες της εξίσωσης () για την μικρότερη τιμή του λ που βρήκατε. α. Να υπολογίσετε την επόμενη παράσταση: Α= β. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς και. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 45

47 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 46

52 .. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

53 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και στη συνέχεια διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου. Αν σε κάποιο στάδιο πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα μέλη με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. ος τρόπος : Αν θέλω να λύσω την ανίσωση με τη βοήθεια του πίνακα πρόσημου τότε λύνω την αντίστοιχη εξίσωση και στη συνέχεια βάζω τη ρίζα στο πινακάκι. Για τα πρόσημα ισχύει ότι δεξιά από το 0 είναι ομόσημο του α ενώ αριστερά ετερόσημο του α. Δηλ. - + α+β ετερόσημο α 0 ομόσημο α π.χ. Να λυθεί και με τους τρόπους η ανίσωση : 8 0 Λύση: ος ή (,6] Λύση: ος Έχω Άρα επειδή θέλω 8 0 τότε (,6] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Για να βρούμε τις κοινές δυο (ή περισσοτέρων) ανισώσεων, τις λύνουμε ξεχωριστά και παριστάνουμε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα αριθμών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Για να λύσουμε μια διπλή ανίσωση ( ) ( ) ( ), λύνουμε ξεχωριστά τις ανισώσεις ( ) ( ) και ( ) ( ) και βρίσκουμε τις κοινές τους λύσεις. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. (Άσκηση σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : v. 4 6 vi. 4 vii Λύση : v. 6( ) ( ) ή, vi ( ) αδύνατη 0 vii ( ) ( ) που ισχύει για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

54 40. (Άσκηση σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις : 5 και Λύση : Έχω : () Επίσης : 4 4 () Άρα ή [, ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ( ) ii. 6 6 iii. 9 6 iv. 0 ( ) ( ) 5 0 v. vi Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις : i και ii και iii. 6( 6) 7( ) και Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει : i. 6 ii iii iv. 5 ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

55 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια παραμετρική ανίσωση, εργάζομαι ως εξής : Βήμα : Φέρνουμε την ανίσωση στη μορφή : ή Βήμα : Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το α, μια 0, μια 0 και μια 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 44. Να λύσετε την ανίσωση : ( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. Λύση : Έχω : ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) αν 0 τότε : (): ( ) ( ) ( ) ( ) αν 0 τότε : (): ( ) ( ) αν 0 τότε : (): ( ) ( ) 0 0 που ισχύει για κάθε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 45. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ i. ( 5) 6 ii. ( 4) ( )( ) 4( ) ( ) iii. 4 iv Δίνεται η εξίσωση: i. Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση που είναι μεγαλύτερη του αριθμού Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει: να λύσετε τις ανισώσεις: 6 i ii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 54

56 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 48. (Άσκηση 5 σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. 4 iii. 5 Λύση : i. ή (,) ii ή [,5] iii ή (,) 49. (Άσκηση 5 σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. ή ή αλλιώς (, ] [, ) 4 4 ή 4 5 ή ή αλλιώς (, ) (5, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Για τις ανισώσεις με απόλυτη τιμή υπάρχουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες : ) (α>0) ) ή (α>0) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 5 6 Λύση: ή αλλιώς, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 7 5 Λύση: () ή 7 9 () 5,, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Αν συναληθευσω της () και () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 55

57 iii. 5 5 ή 5 4 ή 6 ή ή αλλιώς (, ] [, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ) ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ή ( ) ( ) εδώ θα πρέπει πρώτα να βγάλουμε το απόλυτο διακρίνοντας δυο περιπτώσεις ( ) 0 και ( ) 0. Έπειτα συναληθεύουν τις λύσεις με τον αντίστοιχο περιορισμό. ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ή ( ) ( ) εδώ υψώνω και τα δυο μέλη στο τετράγωνο και σύμφωνα με την ιδιότητα, φεύγουν τα απόλυτα και λύνω κανονικά την ανίσωση. ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) εδώ πρέπει να κάνουμε απαλοιφή των απολύτων, σχηματίζοντας πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις () και (). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 50. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 5 ii. iii. Λύση: i. 5 () Αν 0 τότε η () γίνεται : Άρα και 8 δηλ. Άρα τελικά [,8) Αν 0 τότε η () γίνεται : 5 5 ii. Άρα και δηλ. Άρα τελικά (, ) 4 4 4( 4 4) 4 ( ) ( ) 4( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 56

58 iii. () Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η () γίνεται : ( ) ( ) 6 0, οπότε αν το συναληθευσουμε με το (, ) παίρνουμε (, 0) Αν [,) η () γίνεται : ( ) ( ) 6 5, οπότε αν το 5 συναληθευσουμε με το [,) παίρνουμε, 5 Αν [, ) η () γίνεται : 4 ( ) 6 4, οπότε αν το συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε [, ). Άρα οι λύσεις της ανισώσεις είναι (, 0) ή, ή [, ) δηλ. (, 0) ή 5, 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 7 ii. iii. iv. 7 v. 4 5 vi. 6 9 vii. 5 viii. i Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. 0 iii. 5 iv. 7 v. 4 5 vi. 4 vii. 7 4 viii. 4 vi Να λύσετε τις ανισώσεις : i ii iii. iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 57

59 54. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. 5 ii iii. 4 iv. 4 8 v. vi. 4 vii. 4 0 viii Να λύσετε τις ανισώσεις: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 56. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. ii. iii. 7 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις: i ii Δίνεται η εξίσωση: 4 ( ) 0 () i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μια διπλή ρίζα για κάθε πραγματικό αριθμό λ. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι: i) ίση με 8, ii) μικρότερη του, iii) ανήκει στο διάστημα [4,6]. 59. Έστω Ω={0,,,,9} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. Α= { / η εξίσωση 6 5 0έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες} ii. Β={ / το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης από το γινόμενο των ριζών της} 5 0 είναι μικρότερο 60. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει ότι: η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 5 8 η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 4. i. Να βρείτε τις πιθανότητες P( A), P( B), P( A B) ii. Να λύσετε την ανίσωση: ' ' P A B P B A P A B B A ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 58

60 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 59

63 5. 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

64 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο της μορφής, 0 βρίσκω τη διακρίνουσα του και έπειτα : Αν 0 το τριώνυμο έχει ρίζες, ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : Λύση : έχω 5 6 0, 5 4 0,, Άρα : 5 6 ( )( ) αρχικά και παραγοντοποιείται ως εξής : Αν 0 το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα και παραγοντοποιείται ως εξής : ( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : Λύση : έχω 6 9 0, 66 0,, Άρα : 6 9 ( ) Αν 0 το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα : i. ii. Λύση : i. έχω 0, 9 8 0,, Άρα : ( )( ) ii. έχω 0, , Άρα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :, 5 4. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα : i. 5 ii. 9 6 iii. 4 iv. v. 6 vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

65 . Να παραγοντοποιήσετε και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τα οποίες ορίζονται. i. 5 9 ii. 4 iii. 7 6 iv. 4 4 v vi. 5 vii viii. 4 6 i i Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i. iii : 5 6 ii : iv : : 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i iii. ii. 4 4 iv Δίνεται η παράσταση: Α= 4 i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. iii. Να λύσετε την εξίσωση Α= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 64

66 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 αρκεί να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου και τις τιμές του που γίνεται θετικό ή αρνητικό. Πιο συγκεκριμένα λύνω την εξίσωση 0 βρίσκω τις ρίζες, και τις τοποθετώ στο πινακάκι από το οποίο και βρίσκω το πρόσημο τις συνάρτησης στο διάστημα που θέλω. η περίπτωση: Δ>0 Τιμές του - + Πρόσημο του α +β+γ ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α η περίπτωση: Δ=0 Τιμές του - + Πρόσημο του α +β+γ ομόσημο του α ομόσημο του α η περίπτωση: Δ<0 Τιμές του - Πρόσημο του α +β+γ ομόσημο του α π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Έχω : άρα, Άρα επειδή θέλω τότε (,) (, ) 0 ομόσημο του α Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα (,] [, ) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα (,) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα [,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 65

67 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Έχω : άρα (Διπλή ρίζα) Άρα επειδή θέλω τότε (Όταν η Διακρίνουσα είναι 0 το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας δηλ. 6 9 ( ) οπότε μπορούμε να καταλάβουμε ακόμα καλυτέρα γιατί ισχύουν τα πρόσημα στο πινακάκι) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα ότι είναι αδύνατη Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 5 0 Λύση: Έχω Άρα επειδή θέλω 5 0 τότε [5,5] ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων : i. 5 ii. 4 4 iii. 4 Λύση : i. Για το τριώνυμο 5 έχω : 5 0, , 8 5, Άρα 5 0 για κάθε (, ) (5, ) και 5 0 για κάθε (,5). ii. Για το τριώνυμο 4 4 έχω : 4 4 0, 66 0, ρίζα) (Διπλή 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 66

68 Άρα για κάθε (Άλλωστε θα μπορούσα εξ αρχής να παρατηρήσω ότι : 4 4 ( ). Γενικά όταν η Διακρινουσα ενός τριωνύμου είναι 0 τότε το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας) iii. Για το τριώνυμο 4 έχω : 4 0, Άρα 4 0 για κάθε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 0 ii. 0 0 iii. 4 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 5 0 ii. 4 0 iii. 6 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ( ) 4( ) ii. 4( 5) ( 4)( 4) 0 iii. ( ) ( ) 4 ( ) iv Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων : i. 0 και 0 ii. 0 και 8 0 iii και 4 0 iv. 6 0 και 0 v. 8 vi. 8 6 ( ) 8 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : i. 4 ( ) ii. ( )( ) ( 7) iii. 8 ( ) ( )( ). Να λύσετε τις ανισώσεις : i ii iii iv v. ( ) vi. ( ) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. 9 6 iii. iv. 4 v. ( 6) vi. 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 67

69 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Το τριώνυμο 0 διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε, όταν : 0 Για το τριώνυμο 0 ισχύει : 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 Για το τριώνυμο 0 ισχύει : 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. (Άσκηση 4 σελ. 4 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Δίνεται η εξίσωση : 5 0,. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση : i. έχει ρίζες ισες ii. έχει ρίζες άνισες iii. είναι αδύνατη Λύση : i. Στην εξίσωση 5 0 () έχω :,, 5 Αρχικά για να είναι η εξίσωση ο βαθμια πρέπει 0 0. Έστω ότι 0 τότε η () γίνεται αδύνατη. Άρα πρέπει 0 Για να έχει η εξίσωση () ρίζες ισες θα πρέπει να ισχύει : 0 () 4( 5) ( 4) 0 ή. Όμως πρέπει 0, άρα ii. Για να έχει η εξίσωση () ρίζες άνισες θα πρέπει να ισχύει : 0 () 4( 5) Έχω : ( 4) 0 ή λ Άρα επειδή θέλω τότε (,0) (4, ), που ικανοποιεί και τον περιορισμό 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 68

70 iii. Για να είναι η εξίσωση () αδύνατη πρέπει : 0 () 4( 5) , άρα όπως προκύπτει από το παραπάνω πινακάκι (0,4) 6. (Άσκηση 5 σελ. 4 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση 0 αληθεύει για κάθε. Λύση : Για να αληθεύει η ανίσωση 0 πρέπει να ισχύει : 0 και 0 Εδώ : 0, και. Άρα αρκεί 0. Έχω : 0 () Έχω : (9 4) 0 ή λ Άρα επειδή θέλω τότε 0,. 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να βρείτε για ποιες τιμές του το τριώνυμο 4, με 0, διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. 8. Να βρείτε για ποιες τιμές του το τριώνυμο ( ) ( )( ), διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. 9. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) ( ) 5 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : ( ) 4 0 με, αληθεύει για κάθε.. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : ( ) 0 με 0, αληθεύει για κάθε.. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : 4 4( ) 4 0, αληθεύει για κάθε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 69

71 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 70

78 0... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 77

82 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ : ( ) ( )... ( ) 0 Ή ( ) ( )... ( ) 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής ( ) ( )... ( ) 0 ή ( ) ( )... ( ) 0 Βήμα : βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) των παραγόντων ( ), ( ),..., ( ) Βήμα : διατάσσουμε τις ρίζες σε έναν άξονα (από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη) Βήμα : κάτω από τον άξονα σχηματίζουμε πίνακα με τα πρόσημα των παραγόντων, στα διαστήματα που χωρίζεται ο άξονας από τις ρίζες. Βήμα 4 : στην τελευταία γραμμή του πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου εφαρμόζοντας τους κανόνες προσήμου : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 7 A ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου : ( ) ( )( )( ) Λύση : Έχω : 0 0 ή 0, αδύνατη Σχηματίζουμε τον πίνακα προσήμων : () Άρα ( ) 0 για κάθε (, ), και ( ) 0. για κάθε,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

83 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις επόμενες ανισώσεις: i. 0 ii. 4 0 iii. 4 0 iv v. 0 vi.. Να λύσετε τις ανισώσεις: i ii iii. iv. 4 5 v. 4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: vi. 5 0 και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ : ( ) ( ) 0 ( ) Ή 0 ( ) ( ) ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ή ( ) ( ) 0 [όπου ( ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο. ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής ( ) γράφεται : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 [ ( ) ( ) ( )] ( ) 0 και λύνεται όπως ( ) ( ) η προηγούμενη. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Πρέπει και 4 Έχω : 0 ( )( 5 4) ( )( 5 4) 0 0 ( ) 0 0, ή, 0 ή ή 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

84 Γινόμενο - Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( )( 5 4) (Στο (,4) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) 6. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Πρέπει και Έχω : 0 ( )( 5 6) ( )( 5 6) 0 0, ύ ή ή Γινόμενο - Πηλίκο τότε [,0] (,4 ). Άρα επειδή θέλω 0 ( )( 5 6) 0 τότε (,). 5 6 (Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι. Οπότε θα μπορούσε να παραληφθεί εντελώς.) 8 7. Να λυθεί η ανίσωση : 8 Λύση: Έχω : 0 ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 &. (Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα. Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 0 ( 6)( 6 0 ή ή 0 ή ) 0 Έχω : ( 6)( ) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

85 Γινόμενο Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( 6)( ) 0 τότε (, ] (,) [, ). (Στο (-,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 i. 0 ii iii. 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις: i. v. 45 ii. iii. 7 vi. iv. 0. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. 0 ii Να λύσετε τις ανισώσεις: iv iii. i. 5 0 ii. 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του λr, η εξίσωση : ρίζες ετερόσημες.. Δίνεται η εξίσωση: έχει δυο i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε λr. ii. Αν και είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύουν: α) β) 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 84

86 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με κ.λ.π. Γενικά ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με. Σε μια ακολουθία ο πρώτος όρος είναι ο, εκτός και αν έχει οριστεί διαφορετικά, ενώ ο ν-οστός όρος δεν είναι ο τελευταίος όρος, εκτός κι αν έχει έτσι οριστεί. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός όρων μιας ακολουθίας, όταν γνωρίζουμε τον γενικό της όρο. Όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο μιας ακολουθίας, τότε για να βρούμε οποιονδήποτε όρο της, αρκεί να θέσουμε στον τύπο της. Αναδρομικός τύπος μιας ακολουθίας ονομάζεται μια σχέση που συνδέει δυο ή περισσότερους γενικούς όρους της ακολουθίας. Με τη βοήθεια του αναδρομικού τύπου μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε άλλο όρο της ακολουθίας. Για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε: (i) Τον αναδρομικό της τύπο και (ii) Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός αναδρομικού τύπου ακολουθίας, όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο της. Για να ορίσουμε αναδρομικά μια ακολουθία, συνήθως εργαζόμαστε ως εξής : ον Βρίσκουμε τον όρο ον Προσπαθούμε να εκφράσουμε τον όρο με τη βοήθεια του όρου. ον Βρίσκουμε όσους αρχικούς όρους χρειάζονται. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. (Άσκηση σελ. 4 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i) ii) iii) Λύση : i), 5, 7, 4 9, 5 4 4, 4 ii), 4, 8, 6, 5 iii), 6 6. (Άσκηση σελ. 4 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : , 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 85

87 i), ii) 0, Λύση : i) Από τον αναδρομικό τύπο για : έχω : έχω : έχω : έχω : ii) Από τον αναδρομικό τύπο για : έχω : 0 έχω : έχω : 5 4 έχω : 6 6. (Άσκηση σελ. 4 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες : i) 5 ii) iv) 5 Λύση : i) 5 6 Για να βρω μια σχέση που να συνδέει τους όρους και, υπολογίζω τη διαφορά : ( ) 5 ( 5) 5 5. Άρα. Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής : 6 και ii) Για να βρω μια σχέση που να συνδέει τους όρους και, υπολογίζω το πηλίκο :. Άρα. Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής : και iv) 5 8 Για να βρω μια σχέση που να συνδέει τους όρους και, υπολογίζω τη διαφορά : 5( ) (5 ) Άρα 5 5. Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής : 8 και 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 86

88 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 64. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i. ii. 4 iii. iv. 65. Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες : (ΑΠΟ ΓΕΝΙΚΟ ΤΥΠΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟ) i. ii. iii. iv. v. vi. vii. 66. Να βρείτε το ν-οστό (γενικό) όρο των ακολουθιών : (ΑΠΟ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟ ΤΥΠΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΣΕ ΓΕΝΙΚΟ) i. και ii. 7 και iii. και iv. και v. 8 και 67. Δίνεται η ακολουθία ( ) με γενικό όρο 4. Να βρείτε : i. τους τέσσερις πρώτους όρους και τον 00 ο όρο της ii. τη διαφορά. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 87

89 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της (από τον δεύτερο και μετά) προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Έτσι ισχύουν : ή Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ω είναι ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός και ω μιας αριθμητικής προόδου όταν γνωρίζουμε στοιχεία για διάφορους όρους της. Όταν έχουμε ως δεδομένα σχέσεις μεταξύ διαφόρων όρων μιας αριθμητικής προόδου, τότε αντικαθιστούμε όλους τους όρους σύμφωνα με τον τύπο ( ). (Ασκήσεις - 5 σχολικό βιβλίο Α ομάδας σελ. 9,0) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Αριθμητικός Μέσος Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει :. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. (Ασκήσεις 6-7 σχολικό βιβλίο Α ομάδας σελ. 0) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Έστω μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω. Το άθροισμα S των πρώτων ν ( ) S ( (Ασκήσεις 8 - σχολικό βιβλίο Α ομάδας σελ. 0) όρων της δίνεται από τον τύπο : S, προκύπτει ο τύπος : ). Αν αντικαταστήσουμε το Υποπερίπτωση : αν το άθροισμα είναι της μορφής :... τότε αρχικά από τον τύπο ( ), υπολογίζω το ν ή το (ανάλογα με την εκφώνηση) και στη συνέχεια από τον τύπο S υπολογίζω το ζητούμενο άθροισμα. (Άσκηση 0 Α ομάδας σελ. 0, Ασκήσεις, Β ομάδας σελ. ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 88

90 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Πως αποδεικνύουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον ν-οστό όρο της. Για να αποδείξουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο της, εργαζόμαστε ως εξής : ον Βρίσκουμε τον όρο, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του ον Υπολογίζουμε τη διαφορά ον Αν η παραπάνω διαφορά είναι σταθερός αριθμός (ανεξάρτητος του ν), τότε η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, με διαφορά ω ιση με τον σταθερό αυτό αριθμό. (Άσκηση Β ομάδας σελ. ). (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ν-οστό όρο των αριθμητικών προόδων : i. 7,0,,... iii. 5,,,... v. 6, 9,,... Λύση : i. Στην αριθμητική πρόοδο 7,0,,... έχω : 7 και 0 7 Άρα : ( ) 7 ( ) 7 4 iii. Στην αριθμητική πρόοδο 5,,,... έχω : 5 και 5 Άρα : ( ) 5 ( )( ) 5 8 v. Στην αριθμητική πρόοδο 6, 9,,... έχω : 6 και 9 6 Άρα : ( ) 6 ( )( ) 6. (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμία από τις αριθμητικές προόδους : 5 i. τον 5 της,,8,... vi. τον 47 της,,,... 4 Λύση : i. Στην αριθμητική πρόοδο,,8,... έχω : και 5 Άρα : (5) vi. Στην αριθμητική πρόοδο,,,... έχω : και Άρα : 47 (47 ) (Άσκηση 6 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) i. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 0 και 40 ii. Να βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμητικός μέσος των 5 και είναι ο. Λύση : 0 40 i. Ο αριθμητικός μέσος των 0 και 40 είναι ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 89

91 ii. Οι αριθμοί 5, και είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 5 αν και μόνο αν ισχύει : (Άσκηση 8 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων των αριθμητικών προόδων : i. 7,9,,... Λύση : i. Στην αριθμητική πρόοδο 7,9,,... έχω : 7 και Άρα : S ( ) S 40 7 (40) S S 5. (Άσκηση 0 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Υπο/πτωση) Να βρείτε τα αθροίσματα : i Λύση : i. Οι αριθμοί,5,9,..., 97 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με και 5 4. Είναι 97 και ψάχνουμε το ν. Έτσι έχω : ( ) 97 ( ) Άρα : S S50 97 S S. (Εναλλακτικά θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω και τον άλλο τύπο του αθροίσματος : 50 S50 (50) S S S ) 6. (Άσκηση σελ. Β ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4) Ο ν-ος ορος μιας ακολουθίας είναι 4. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της. Λύση : Αρχικά βρίσκουμε τον όρο 4( ) 4, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του δηλαδή : Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη διαφορά 8 4 ( 4 ) ( Η διαφορά 4 είναι δηλαδή σταθερός αριθμός άρα η ακολουθία ) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 4 και πρώτο όρο : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να βρείτε το ο όρο των αριθμητικών προόδων : i.,4,7,... ii. 9, 5,,... iii. 7,5,, Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι και. Να βρείτε : i. τον 0 ο όρο της προόδου, ii. ποιος ορος της προόδου είναι ισος με 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 90

92 9. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 5 και 7 9. Να βρείτε : i. τη διαφορά ω της προόδου ii. τον ο όρο της προόδου, iii. ποιος ορος της προόδου είναι ισος με Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 8 και. Να βρείτε : i. τον πρώτο όρο της προόδου ii. τον 9 ο όρο της προόδου, iii. ποιος ορος της προόδου είναι ισος με Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των αριθμών : i. 5 και 7 ii. και iii. και. Να βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμητικός μέσος των και 7 είναι ο 5.. Να βρείτε για ποια τιμή του, οι αριθμοί : 5, 5, 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 4. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 4 και. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της προόδου. 5. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου : i.,5,7,... ii. 8,,,... iii.,, 4, Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i ii iii i. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) και έστω S ν,s ν και S ν τα αθροίσματα των πρώτων S S S ν,ν και ν όρων της αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ii. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύει: Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της. 8. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι α 6 =8 και α =. Να βρείτε: i. Τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii. Πόσοι πρώτοι όροι της προόδου έχουν άθροισμα 4 iii. Το άθροισμα S= a 5 a 6... a 5 iv. Το άθροισμα S a a... a9 9. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 50 θετικών πολλαπλασίων του. 0. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 θετικών πολλαπλασίων του 5.. Να βρείτε το άθροισμα : i. των άρτιων αριθμών μεταξύ και 5 ii. των περιττών αριθμών μεταξύ 0 και 70 iii. των πολλαπλασίων του μεταξύ 40 και 00 iv. των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ και 06. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

93 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της (από τον δεύτερο και μετά) προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Έτσι ισχύουν : ή Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ είναι ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός και λ μιας γεωμετρικής προόδου όταν γνωρίζουμε στοιχεία για διάφορους όρους της. Όταν έχουμε ως δεδομένα σχέσεις μεταξύ διαφόρων όρων μιας γεωμετρικής προόδου, τότε αντικαθιστούμε όλους τους όρους σύμφωνα με τον τύπο. Στη συνέχεια συνήθως διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις που προκύπτουν. (Ασκήσεις - 7 σχ. βιβλίο Α ομάδας σελ. 6-7) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Γεωμετρικός Μέσος Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει :. Ο β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ (Πρέπει να είναι πάντα θετικός αριθμός). (Άσκηση 8 σχ. βιβλίο Α ομάδας σελ. 7, Άσκηση σχ. βιβλίο Β ομάδας σελ. 8) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου Έστω μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο 0. Το άθροισμα S των πρώτων ν όρων της δίνεται από τον τύπο : S. Αν αντικαταστήσουμε το, προκύπτει ο τύπος : S. Με τον τύπο αυτό υπολογίζουμε το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου, χωρίς να γνωρίζουμε το πλήθος αυτών, αρκεί να γνωρίζουμε τα,, (Ασκήσεις 9-0 σχ. βιβλίο Α ομάδας σελ. 8) Υποπερίπτωση : αν το άθροισμα είναι της μορφής :... τότε αρχικά από τον τύπο, υπολογίζω το ν ή το (ανάλογα με την εκφώνηση) και στη συνέχεια από τον τύπο S υπολογίζω το ζητούμενο άθροισμα. (Άσκηση Α ομάδας σελ. 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

94 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ν-οστό όρο των γεωμετρικών προόδων : i.,6,,... ii.,,6,... vi. 8,6,,... Λύση : 6 i. Στην γεωμετρική πρόοδο,6,,... έχω : και Άρα : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Πως αποδεικνύουμε ότι μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον ν-οστό όρο της. Για να αποδείξουμε ότι μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο της, εργαζόμαστε ως εξής : ον Βρίσκουμε τον όρο, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του ii. Στην γεωμετρική πρόοδο,,6,... έχω : και Άρα : και vi. Στην γεωμετρική πρόοδο 8,6,,... έχω : 8 Άρα : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ (Άσκηση σελ. 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμία από τις γεωμετρικές προόδους : i. τον 9 της,,,... iv. τον 0 της,,4,... 4 Λύση : i. Στην γεωμετρική πρόοδο,,,... έχω : και Άρα : iv. Στην γεωμετρική πρόοδο,,4,... έχω : και Άρα : ον Υπολογίζουμε το πηλίκο ον Αν το παραπάνω πηλίκο είναι σταθερός αριθμός (ανεξάρτητος του ν), τότε η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, με λόγο λ ισο με τον σταθερό αυτό αριθμό. (Άσκηση Β ομάδας σελ. 8) 0 ( ) 0 9 ( 5 0 ) 0

95 . (Άσκηση 8 σελ. 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) i. Να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 0 καθώς και των και. ii. Να βρείτε τον ώστε οι αριθμοί 4,, 9 να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο. Λύση : i. Ο γεωμετρικός μέσος των 5 και 0 είναι ο Ο γεωμετρικός μέσος των και είναι ο ii. Οι αριθμοί 4, και 9 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει : ( ) ( 4)( 9) (Άσκηση 8 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων των γεωμετρικών προόδων : i.,,4,... Λύση : i. Στην γεωμετρική πρόοδο,,4,... έχω : και Άρα : S S S0 0 0 S 5. (Άσκηση 0 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Υπο/πτωση) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i Λύση : i. Οι αριθμοί,8,,..., 89 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με 8 και 4. Είναι 89 και ψάχνουμε το ν. Έτσι έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Άρα : S S7 S S (Εναλλακτικά θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω και τον άλλο τύπο του αθροίσματος : 89 4 S S S ) 6. (Άσκηση σελ. 8 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4) Ο ν-ος ορος μιας ακολουθίας είναι. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους και λ. Λύση : Αρχικά βρίσκουμε τον όρο, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του δηλαδή :

96 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το λόγο : Ο λόγος 6 9 είναι δηλαδή σταθερός αριθμός άρα η ακολουθία ( ) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο και πρώτο όρο : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε το 8 ο όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων : i.,,4,... ii.,6,8,... iii. 7 9,,,... iv.,,, Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( ) είναι και. Να βρείτε : 4 i. τον 8 ο όρο της ( ) ii. ποιος ορος της ( ) είναι ισος με. 9. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( ) είναι i. τον λόγο λ της ( ) και 4 6. Να βρείτε : 9 ii. τον 6 ο όρο της ) 0. Οι αριθμοί,, 8 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε το.. Ο αριθμός 6 είναι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών και 8. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός.. Οι αριθμοί,, 4 4 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε το.. Οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός. 4. Οι αριθμοί 6,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. i. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός. ii. Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του που βρήκατε στο i. να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών και Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου : 4,,6, Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου : 9,96,48, Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i ii S0 8. Δίνεται γεωμ. πρόοδος για την οποία ισχύει. Να βρείτε: S5 S6 i. τον λόγο λ της (α ν ) ii. το πηλίκο a. 6 (. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 95

97 9. Ο ν-ος ορος μιας ακολουθίας είναι. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους και λ. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο :. i. να αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 9 και διαφορά ω=. ii. Να βρείτε το άθροισμα S..., όπου,,..., είναι διαδοχικοί όροι της προόδου. iii. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης : είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου.. Δίνεται αριθμητική πρόοδος, της οποίας ο ος ορος είναι - και το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της είναι 84. i. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της αριθμητικής προόδου. 4 ii. Να λύσετε την εξίσωση 7 5. iii. Να λύσετε την ανίσωση 0 S 5. Οι αριθμοί 4, 4, 4 με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. i. Να βρείτε την τιμή του Αν ο αριθμός 4, είναι ο πέμπτος ορος της αριθμητικής προόδου, να βρείτε : ii. τον και τη διαφορά ω της iii. το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της iv. ποιος ορος της είναι ισος με 00 v. το πλήθος των πρώτων όρων της που έχουν άθροισμα 80. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 4. Δίνεται η εξίσωση 0 () i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για κάθε. ii. Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του λ, οι αριθμοί :,, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. 5. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο τρίτος ορος είναι ισος με 6 και ο έκτος ορος είναι ισος με. Να βρείτε : i. τον πρώτο όρο και τον λόγο της ii. τον δέκατο όρο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 96

98 iii. το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της iv. τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 8 και 4 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ ( ο Πανελλήνιες 999 Επαναληπτικές) Ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου ε ίναι α =7 και ο λόγος της είναι. α) Να βρείτε τον τέταρτο όρο της προόδου. (Μονάδες 7) β) Το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με: Α. - 6, Β. 6, Γ. -6, Δ. 6 (Μονάδες 8) γ) Το άθροισμα των απείρων όρων της προόδου είναι ίσο με: Α. - 8, Β. 8, Γ. 8, Δ. - 8 (εκτός ύλης) (Μονάδες 0) 4 4 ΘΕΜΑ ( ο Πανελλήνιες 999) Έστω γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο τρίτος όρος είναι ίσος με 6 και ο έκτος όρος είναι ίσος με. α) Ο πρώτος όρος α και ο λόγος λ της γεωμετρικής προόδου είναι : Α. α = 64 και λ = - / Β. α = - 64 και λ = - / Γ. α = 64 και λ = / Δ. α = και λ = / Μονάδες 9 β) Να βρείτε τον δέκατο όρο της γεωμετρικής προόδου. Μονάδες 9 γ) Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.(εκτός ύλης) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ( ο Πανελλήνιες 000 Επαναληπτικές) α. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες οι αριθμοί - 4, + 4 και - 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Μονάδες 0 β. Αν ο αριθμός + 4 είναι ο έκτος όρος της αριθμητικής προόδου του α. ερωτήματος, να βρείτε τον πρώτο όρο της. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου του α. ερωτήματος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 (4 ο Πανελλήνιες 000) Ένας πληθυσμός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. A. Αν αρχικά υπάρχουν 0 βακτηρίδια, να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα από 6 ώρες. Μονάδες 9 B. Στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσμός των βακτηριδίων ψεκάζεται με μια ουσία, η οποία σταματά τον πολλαπλασιασμό τους και συγχρόνως προκαλεί την καταστροφή 0 βακτηριδίων κάθε ώρα. B.. Να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που απομένουν 0 ώρες μετά τον ψεκασμό. Μονάδες 8 B..Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφούν όλα τα βακτηρίδια; Μονάδες 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 97

99 ΘΕΜΑ 5 (4 ο Πανελλήνιες 00 Επαναληπτικές) Σε ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η τελευταία έχει 50 καθίσματα. Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η προτελευταία σειρά έχει 40 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά. α. Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου έχει 0 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. Μονάδες 0 β. Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου. Μονάδες 7 γ. Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου παρακολούθησαν 00 θεατές, ενώ σε κάθε επόμενη παράσταση ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν. Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει το θέατρο; Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 6 (4 ο Πανελλήνιες 00 Επαναληπτικές) Έστω δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β. Αν συμβολίσουμε με Α 0 τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Α και με Β 0 τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Β, τότε 9Α 0 =0 Β 0. Ο πληθυσμός της κοινωνίας Α μειώνεται κάθε ώρα κατά το 00 του αρχικού πληθυσμού της, ενώ ο πληθυσμός της κοινωνίας Β αυξάνεται ανά ώρα με γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ. Οι δύο πληθυσμοί γίνονται ίσοι 0 ώρες μετά την αρχική στιγμή. α. Να δείξετε ότι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου που αναφέρεται στον πληθυσμό Β είναι λ = 0. Μονάδες 0 β. Πέντε ώρες μετά την αρχική στιγμή ο πληθυσμός της κοινωνίας Β είναι 0 0 βακτηρίδια. Να δείξετε ότι ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας Β ήταν 0 5 βακτηρίδια. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε τον πληθυσμό της κοινωνίας Α, 99 ώρες μετά την αρχική στιγμή. Μονάδες 7 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΠΡΟΟΔΟΙ.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 98

104 .. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

107 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και περιέχει τις δυνατές τιμές που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή. (το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f το συμβολίζουμε συνήθως όλες τις τιμές της () f ). Το σύνολο Β λέγεται σύνολο τιμών της f και περιέχει D f ή f για τα αντίστοιχα ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P( ) Q ( ) 0 f ( ) Q( ) f ( ) v P( ) P ( ) 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) 6 v. 5 f ( ) vi. f ( ) vii. f ( ) Λύση : i. Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D ii. Πρέπει : 0. Άρα D f 0 &. Άρα D, iii. Πρέπει : iv. Πρέπει : Άρα D f (,6] v. Πρέπει : 0 και 0. Άρα D [,) (, ) vi. 0 Πρέπει : [, ]. Άρα D f 0 [, ] vii. Πρέπει : 0 () και 0 () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 06 f f f

108 Έχω Άρα επειδή θέλω 0 [, ] () Από () & () D [,0) (0, ]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : f ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i. f ( ) 7 5 ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f 8 ( ) v. f ( ) 4 vi. f ( ) vii. f ( ) ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) v. f ( ) vi. f ( ) vii. f ( ) ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i. f( ) ii. f( ) iii. g ( ) iv. g ( ) v. h ( ) vi. h ( ) ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: i. f ( ) ii. f( ) iii. g ( ) iv. g ( ) v. h ( ) 7 6) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: i. f( ) ii. f( ) iii. g( ) iv. g( ) v. h ( ) vi. h( ) vi. h( ) 5, 0 7) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 7, 0 i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; 5 ii. Να βρείτε τις τιμές: α) f ( ) β) f γ) f ( ) δ) (0) f ε) f iii. Να λύσετε την εξίσωση f()= 8) Δίνεται η συνάρτηση f ( ). i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; στ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 07

109 ii. Να βρείτε τις επόμενες τιμές: i) f(-) ii) f(-) iii) f(0) iv) iii. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α=f(α+β)+f(α-β)-(f(α)+f(β)) iv. Να λύσετε την εξίσωση f(-)+f()=- f 9) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 4 5. i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; ii. Να βρείτε τις τιμές: i) f(-) ii) f(0) iii) f(5) iii. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) f(-α) ii) f( a ) iv. Να λύσετε την εξίσωση f()= v. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) f ( ) iii) f(α-β) 6 0) Δίνεται η συνάρτηση f( ) 8 i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; ii. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f iii. Να βρείτε τις τιμές: i) f() ii) f(4) iii) f(-4) iv) f ) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a για την οποία ισχύει f(4)=6. i. Να βρείτε τον αριθμό α ii. Να βρείτε τις τιμές f(-),f(-),f(0) και f(). iii. Να λύσετε την εξίσωση f()=. iv. Να λύσετε την ανίσωση f()<6. a ) Δίνεται η συνάρτηση f( ) 4 i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; ii. Να βρείτε τον αριθμό α. iii. Να λύσετε την εξίσωση f( ) iv. Να λύσετε την ανίσωση f( ) 0. για την οποία ισχύει f(-5)=-. ) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5. Να αποδείξετε ότι: i. f ( ) f( ) f( ) 5 ii. f f f ( ) ( ) ( ) 4) Δίνεται συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f ( ) f () ( ) για κάθε R. Να βρείτε: α) την τιμή f(), β) τον τύπο f() της συνάρτησης. 5) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 6 a i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να βρείτε τον αριθμό α. iii. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. 9 iv. Να λύσετε την εξίσωση f( ). v. Να λύσετε την ανίσωση f( ). για την οποία ισχύει f (5). 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 08

110 a, 6) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) για την οποία ισχύει f(-)=-7. a, i. Να βρείτε τους αριθμούς α και β. ii. Να λύσετε την εξίσωση f()=-8. iii. Να μετατρέψετε το κλάσμα: σε ισοδύναμο με ρητό παρανομαστή. f( 6) f( 6) iv. Να λύσετε την ανίσωση ( ) f(f( 6)). 7) Δίνεται η συνάρτηση f( ) και η εξίσωση 0. () a Ισχύει: f ( ) όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης (). 6 i. Να βρείτε τον αριθμό α και το πεδίο ορισμού της f. ii. Αν και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να σχηματίσετε εξίσωση ου βαθμού, που να έχει ρίζες τους αριθμούς f( ) και f( ). 8) Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 0m και πλάτος m. i. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι m. 9) Σε μια κοινότητα όλοι οι καταναλωτές νερού πληρώνουν 6 πάγιο κάθε μήνα, ανεξαρτήτως κατανάλωσης. Για τα πρώτα m νερού πληρώνουν 0, 60 / m. Για κάθε επιπλέον m από τα m πληρώνουν, 80 0 / m. Να βρεθεί συνάρτηση y f () που να δίνει το κόστος y του νερού, αν σε ένα μήνα καταναλωθούν m νερό. 4, 0) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) a όπου R. Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση, 8 f ( ) f (75) 0 (), έχει μοναδική ρίζα. i. Να αποδείξετε ότι α=- και να βρείτε την ρίζα της εξίσωσης (). ii. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P( A B) f (4) ( ) 0 f P AB.Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Β)., f P A και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 09

111 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ Έστω δυο σημεία, y ) και, y ). Ο τύπος που δίνει την απόσταση των ( ( σημείων Α και Β είναι : y. y ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Αν ( 4, ) και (, ), να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Β. Λύση : y y ( 4) ( ) 6 6. Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(-,6). i. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από το Β. ii. Να βρείτε σημείο Γ που ανήκει στον άξονα, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ( ) ( ) Λύση : i. y y ( ) (6 ) ( ) ii. Το (,0). Επίσης ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) (6 0) ( ) 4 [ ( )] 6 ( ) 4 ( ) άρα (8,0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

112 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f (συμβ. C f ) ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία (, y) που ανήκουν στη C f ισχύει y f (). Δηλ. (, f ( )). Πιο συγκεκριμένα το σημείο (, 0 0) C f, αν και μόνο αν 0 0 Η C f βρίσκεται πάνω από τον f ( ) 0 Η C f βρίσκεται κάτω από τον f ( ) 0 Η C f βρίσκεται πάνω από τη C g f ( ) g( ) Η C f βρίσκεται κάτω από τη C g f ( ) g( ) ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής ( 0,0), οπότε για να τα f βρούμε λύνουμε την εξίσωση y f ( ) 0 Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής 0, y ), οπότε για να τα f ( 0 βρούμε, βάζουμε όπου το 0 δηλ. υπολογίζουμε το f (0) Για να βρούμε κοινά σημεία C f και C g λύνουμε την εξίσωση f ( ) g( ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα όταν : i. f ( ) 4 ii. f ( ) Λύση : i. Η C f βρίσκεται πάνω από τον f ( ) Έχω 4 0, ή, Άρα επειδή θέλω 4 0 τότε (,) (, ) ii. Η C f βρίσκεται πάνω από τον f ( ) 0 0 ( )( ) 0 Έχω ( )( ) Άρα επειδή θέλω ( )( ) 0 0 (, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

113 4. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g, όταν : i. f ( ) και g ( ) ii. f ( ) και g ( ) Λύση : i.η C βρίσκεται πάνω από τη C f ( ) g( ) 0 f Έχω 0 ( ) 0 0 ή 0 αδύνατη Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 (0, ) ii.η C f βρίσκεται πάνω από τη g Cg f ( ) g( ) 0 Έχω 0 ( ) 0 0 0, ή, Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 (, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Δίνεται η συνάρτηση στην καμπύλη της f. f ( ). Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(,5) και Β(,7) ανήκουν 6. Να βρεθούν οι τιμές των,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) να διέρχεται από τα σημεία Α(-,) και Β(,7). 7. Να βρεθούν οι τιμές των,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) να διέρχεται από τα σημεία Α(0,), Β(-,0) και Γ(-,-). 8. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες. i. f ( ) ii. f ( ) 9 iii. f ( ), 9. Δίνεται η επόμενη συνάρτηση: f (), Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της f: i. Α(5,0) ii. Β(-,) iii. Γ(,-) iv. Δ(,0) v. Ε(,0) vi. Ζ(4,-) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

114 , 0. Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 4, Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f, β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5 4 i. το πεδίο ορισμού της f, ii. τα σημεία τομής της C f με τους άξονες.. Να βρείτε:. Το σημείο Μ(-,-5) ανήκει στη γραφική παράσταση της f ( ) 8. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. a,. Δίνεται η συνάρτηση: f( ), διέρχεται από τα σημεία Α(-,5) και Β(5,0). i. Να βρείτε τις τιμές των α και β. ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. iv. Αν είναι Μ(,f()) και Ν(-,f(-)), να βρείτε την απόσταση (ΜΝ). της οποίας η γραφική παράσταση 4. Οι γραφικές παραστάσεις των επόμενων συναρτήσεων: f ( ) και g( ) 5 τέμνουν τον άξονα στο ίδιο σημείο. Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f ii. τον αριθμό λ iii. τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g με τους άξονες. 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5. Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f ii. τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. iii. τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται: i) πάνω από τον άξονα ii) κάτω από τον άξονα 6. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) 5 6 και διαστήματα, στα οποία: i. η C f δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα ii. η C g δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα iii. η C f δεν βρίσκεται κάτω από τη C g g( ) 5. Να βρείτε τα 7. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 7 a η οποία τέμνει τον άξονα y y σε σημείο με τεταγμένη 4. i. Να βρείτε τον αριθμό α. ii. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η C f βρίσκεται: α) πάνω από τον άξονα β) κάτω από τον άξονα. a, 8. Δίνεται η συνάρτηση: f( ) της οποίας η γραφική a, παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη -. Να βρείτε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

115 i. την τιμή του α ii. τα διαστήματα, στα οποία η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. iii. τα σημεία της C f που έχουν τεταγμένη Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-4,). i. Να βρείτε τον αριθμό α και το πεδίο ορισμού της f. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. 0. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( ) 5 η οποία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 5 και διέρχεται από το σημείο Μ(,6). Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f ii. τους αριθμούς λ και μ iii. τα σημεία τομής της C f με τον άξονα iv. το συμμετρικό του σημείου Ν(4,f(4)) ως προς: i) τον άξονα, ii) τον άξονα y y, iii) την αρχή των αξόνων, iv) τη διχοτόμο της ης και της ης γωνίας των αξόνων. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

116 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Γωνία ευθείας (ε) με τον άξονα Έστω Οy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα στο σημείο Α. y O Α ε ω ε y O Α ω y y Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε τη λέμε γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Αν (ε)//, είναι ω=0 Αν (ε)//y y, είναι ω= 90 ή 0 Σε κάθε περίπτωση είναι 0 80 ή 0 Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Συντελεστής διεύθυνσης λ ευθείας, ονομάζεται η εφαπτομένη της γωνίας την οποία σχηματίζει η ευθεία, με τον άξονα. Δηλ.: λ=εφω με: 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙA : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) είναι μια ευθεία με εξίσωση : ( ) : y Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα έχει συντελεστή διεύθυνσης: α=0. ( ( ) // 0) Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για ευθεία παράλληλη του άξονα y y. ( ( ) // yy -- δεν ορίζεται) Αν 0 τότε η (ε) σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα Αν 0 τότε η (ε) σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

117 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Αν μια ευθεία (ε) περνάει από τα σημεία: (, y) και (, y) έχει συντελεστή y y διεύθυνσης: (, διότι αν η ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα, άρα δεν έχουμε συντελεστή διεύθυνσης). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ΑΒ) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(-,-5) και Β(-9,). Ποια είναι η γωνία που σχηματίζει η (ΑΒ) με τον άξονα ; y y ( 5) 6 6 Λύση :, δηλ., άρα 9 ( ) ή 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Μια ευθεία γενικά έχει τη μορφή (ε) : y όπου α R. είναι ο συντελεστής διεύθυνσης. Για να βρούμε τα κοινά σημεία δυο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. Αν το σύστημα έχει μια λύση οι ευθείες τέμνονται, αν έχει άπειρες λύσεις τότε ταυτίζονται ενώ αν είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Για να βρούμε το σημείο τομής μιας ευθείας με τον άξονα, θέτουμε y=0 στην εξίσωση της. Για να βρούμε το σημείο τομής μιας ευθείας με τον άξονα y y, θέτουμε =0 στην εξίσωση της. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Δίνονται οι ευθείες (ε) : y 4 και (ζ) : 7 y. Να βρείτε : i., ii. το σημείο τομής των (ε) και (ζ) iii. τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες Λύση : i. (ε) : y 4 άρα, (ζ) : 7 7 y άρα ii. Για να βρω το σημείο τομής των (ε) και (ζ) θα λύσω το σύστημα των εξισώσεων y 4 y 4 y 4 ( ) 4 y 8 τους : 7 προσθέτω y y 7 7 y 7 y κατά μέλη και έχω 6 άρα πάω στην πρώτη και έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

118 4 y 8 8 y 8 y 6 y 8. Άρα το σημείο τομής των (ε) και (ζ) είναι το σημείο (,8) iii. Για να βρούμε σημείο τομής της (ε) με τον θέτω y 0 στην εξίσωση της : y0 ( ) : y 40 4, άρα το σημείο τομής της (ε) με τον είναι το (,0) Για να βρούμε σημείο τομής της (ε) με τον y y θέτω 0 στην εξίσωση της : 0 ( ) : y 4 y 0 4 y 4, άρα το σημείο τομής της (ε) με τον y y είναι το (0,4) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : (ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ & ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΕΥΘΕΙΩΝ) Δύο ευθείες ( ),( ) είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλ. ( ) //( ). Δύο ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν έχουν συντελεστές διεύθυνσης αντιθετοαντίστροφους, δηλ. ) ( ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρείτε τον αριθμό για τον οποίο : i. Οι ευθείες y ( 5) 4 και y είναι παράλληλες. ii. Oι ευθείες ( ) : y ( ) και ( ) : y είναι κάθετες. Λύση : i. Έστω ( ) : y ( 5) 4 και ( ) : y. ( )//( ) ii. Έστω ( ) : y ( ) και ( ) : y. ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ( 4. Δίνονται οι ευθείες: ε: y=-+4 και ζ: y=+9. i. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών. ii.να σχεδιάσετε τις ευθείες ε και ζ στο ίδιο σύστημα αξόνων. 5. Η γραφική παράσταση της f( ) διέρχεται από το σημείο Α(-,-). i.να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να βρείτε το f(). iii. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

119 6. Η ευθεία ε: y=(λ-6)+λ- είναι παράλληλη στον άξονα. i. Να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε. 7. Η ευθεία ε: y=(-λ)+λ+ σχηματίζει με τον άξονα γωνία i. Να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε. 8. Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) 4 i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ii.να λύσετε την ανίσωση f()<0 iii.να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f()=α για τις διάφορες τιμές του αr. 9. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) 4 4 i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. 0. H γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 5 και τον άξονα στο σημείο με τετμημένη. i. Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ. ii. Να κάνετε τη γραφική παράστασης της f.. Δίνονται οι ευθείες ε: y=(α+)+7α+4 και ζ: y=(β-α)-β-α. Η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Μ(-,) και ισχύει ότι ε//ζ. Να βρείτε: i. τις τιμές των α και β ii. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ζ με τους άξονες.. Δίνονται οι ευθείες ε : y=-+, ε : y=4- και ε : y=-+6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας: i. που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο τομής των ε και ε ii. που διέρχεται από το σημείο τομής των ε και ε και το σημείο της ε με τετμημένη -.. H ευθεία ε: y=λ-4 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα, ενώ το τρίγωνο που σχηματίζει με τους άξονες έχει εμβαδόν 4 τ.μ. Να βρείτε τον αριθμό λ. 4. H ευθεία ε: y διέρχεται από το σημείο Α(-4,5). Να βρείτε: i. τον αριθμό λ, ii. την ευθεία ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Β(4,6) iii. το σημείο στο οποίο η ευθεία ε τέμνει την ευθεία ζ που βρήκατε στο (β). 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και έστω Α και Β τα σημεία της γραφικής της παράστασης με τετμημένες - και 5 αντίστοιχα. i. Να βρείτε τις τεταγμένες των σημείων Α και Β, καθώς και την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. ii. Να σχεδιάσετε την C f και την παραπάνω ευθεία ε στο ίδιο σύστημα αξόνων. 5 iii. Να λύσετε γραφικά την ανίσωση. 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

120 6. Δύο πόλεις Α και Β απέχουν 40km. Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και πηγαίνει στην πόλη Β έχοντας σταθερή ταχύτητα 8 km/h. i. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του ποδηλάτη από την πόλη Β, ώρες αφού ξεκίνσησε. ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να κάνετε τη γραφική της παράσταση Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f( ) τέμνει τον άξονα y y σε σημείο με τεταγμένη -. i. Να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της. iii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. 8. Οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Α(0,-), Β(4,0) και Γ(,-). Να βρείτε: i. το μήκος της πλευράς ΒΓ ii. την εξίσωση της ευθείας ΒΓ iii. την εξίσωση του ύψους ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ iv. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9