Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης"

Transcript

1 Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις.

2 Κωδικοποίηση Πηγής Λόγοι για την κωδικοποίηση: Συμπίεση στόχος η μείωση του συνολικού μήκους του μηνύματος εξοικονόμηση χώρου αποθήκευσης. μείωση του χρόνου αποστολής. περιορίζει την απαιτούμενη χωρητικότητα διαύλου για την μεταφορά πληροφοριών. Ασφάλεια ο κωδικοποιητής αντιστοιχεί τα σύμβολα πηγής με σύνολο λέξεων που είναι γνωστά μόνο στον πομπό και δέκτη. αποφυγή υποκλοπής και κατανόησης. Ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων αντικατάσταση συμβόλων πηγής με λέξεις μεγαλύτερου μεγέθους, που περιλαμβάνουν πληροφορίες για το αρχικό μήνυμα. εισαγωγή πλεονάζουσας πληροφορίας. αντίθετη αρχή λειτουργίας με την συμπίεση. Θα μας απασχολήσει η κωδικοποίηση με στόχο την συμπίεση!

3 Ορισμοί Ορισμός : Κωδικοποίηση είναι η αντικατάσταση συμβόλων ή ομάδων συμβόλων πληροφορίας με νέα εναλλακτικά σύμβολα ή ομάδες συμβόλων. Όρισμός : Κώδικας είναι ο αλγόριθμος με τον οποίο πραγματοποιείται η κωδικοποίηση, δηλαδή, η αντικατάσταση συμβόλων από νέα σύμβολα. Ορισμός 3: Τα νέα διακεκριμένα σύμβολα w, w,, w M που προκύπτουν κατά την κωδικοποίηση ονομάζονται κωδικά σύμβολα. Το πλήθος τους Μ μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Ορισμός 4: Το σύνολο W={w, w,, w M } όλων των κωδικών συμβόλων λέγεται αλφάβητο κωδικοποίησης. Ορισμός 5: Ο κώδικας που έχει M κωδικά σύμβολα ονομάζεται M-αδικός κώδικας. 3

4 Κωδικοποίηση Morse Παραδείγματα Απεικόνιση γραμμάτων αλφαβήτου σε κωδικές λέξεις που σχηματίζονται από τελείες, παύλες και κενά διαστήματα. Κωδικά σύμβολα:. κενό Πλήθος κωδικών συμβόλων M=3 Αλφάβητο Κωδικοποίησης W={., -, κενό} Ο κώδικας Morse είναι ένας 3-αδικός κώδικας. 4

5 Παραδείγματα Κωδικοποίηση ASCII-7 (American Standard Code for Information Interchange) Κωδικά σύμβολα: 0 και Πλήθος κωδικών συμβόλων M= Αλφάβητο Κωδικοποίησης W={0,} Ο κώδικας ASCII-7 είναι ένας -αδικός κώδικας 5

6 Ταξινόμηση Κωδίκων Ταξινόμηση με κριτήριο τις απώλειες Κώδικες χωρίς απώλειες Η απεικόνιση της πηγής είναι ένα-προς-ένα (δηλαδή ένα σύμβολο αλφαβήτου πηγής αντιστοιχεί σε ένα σύμβολο αλφαβήτου κωδικοποίησης ή μια κωδική λέξη). Η αποκωδικοποίηση του κωδικού μηνύματος θα μας δώσει το αρχικό μήνυμα (καμία απώλεια). π.χ. Κώδικας Morse. Κώδικες με απώλειες Η απεικόνιση συμβόλων πηγής σε κωδικά σύμβολα είναι πολλά-σεένα. η αποκωδικοποίηση ενδέχεται να μας δώσει διαφορετικό μήνυμα από αυτό που μεταδόθηκε. π.χ. Κωδικοποίηση έγχρωμης εικόνας σε αντίστοιχη με διαβαθμίσεις του γκρί. Θα μας απασχολήσουν ΜΟΝΟ κώδικες χωρίς απώλειες. 6

7 Ταξινόμηση Κωδίκων Ταξινόμηση με κριτήριο το μήκος των κωδικών λέξεων Σταθερού μήκους το μήκος των κωδικών λέξεων είναι σταθερό για κάθε σύμβολο της πηγής Χ. π.χ. ASCII-7 (κάθε χαρακτήρας πηγής κωδικοποιείται με έναν συνδυασμό από 7 δυαδικών ψηφίων). Μεταβλητού μήκους χρησιμοποιούνται για την συμπίεση δεδομένων. Τα σύμβολα πηγής με μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης, κωδικοποιούνται με μικρότερου μήκους κωδικές λέξεις. π.χ. Κώδικας Morse το γράμμα Ε που είναι το πιο σύνηθες στην αγγλική αντιστοιχίζεται με μικρότερη κωδική λέξη από το γράμμα Q που είναι το πιο σπάνια εμφανιζόμενο. Δεν μας απασχολούν διαδικασίες ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων Το κανάλι είναι «αθόρυβο» είναι το κανάλι που δέχεται ως είσοδο ένα σύνολο από «κωδικούς χαρακτήρες» και αναπαράγει στην έξοδο του τους χαρακτήρες αυτούς χωρίς πιθανότητα λάθους. (Βλ. Ιδανικός Δίαυλος) 7

8 Αθόρυβη (Noiseless )Κωδικοποίηση Στόχος είναι: η ελαχιστοποίηση του μέσου μήκους της κωδικής λέξης. Συνοπτικά, τα «συστατικά» του προβλήματος της «αθόρυβης κωδικοποίησης» είναι: Η πηγή εισόδου (Χ, P X ) στον ιδανικό δίαυλο με αλφάβητο πηγής Χ={x, x,, x N } και κατανομή πιθανοτήτων P X ={p, p,, p N }. Το αλφάβητο κωδικοποίησης W ={w, w,, w Μ }. Σε κάθε σύμβολο x i πρόκειται να ανατεθεί μία πεπερασμένη ακολουθία από κωδικά σύμβολα η οποία αποτελεί την κωδική λέξη. Π.χ. το σύμβολο x μπορεί να αντιστοιχηθεί στην κωδική λέξη w w και το x στην λέξη w 3 w 7 w 3 w 8. 8

9 Σχεδιαστικά Ζητήματα Κωδίκων Έστω ο παρακάτω δυαδικός κώδικας: x 0 x 00 x 3 0 x 4 0 Ποιό είναι το πρόβλημα του κώδικα αυτού; Τα σύμβολα της πηγής x και x 4 αντιστοιχίζονται στην ίδια κωδική λέξη. Ο δέκτης θα παρουσιάζει δυσκολία αποκωδικοποίησης της λέξης «0». Κατά τον σχεδιασμό θα πρέπει να αποφεύγονται τέτοιες αντιστοιχίσεις που οδηγούν σε «σύγχιση» τον δέκτη. Ορισμός: ένας κώδικας που αντιστοιχεί κάθε σύμβολο της πηγής σε διαφορετική κωδική λέξη, λέγεται ευκρινής. Εξασφαλίζουμε την παραπάνω σχεδιαστική απαίτηση αποφεύγοντας να αναθέσουμε την ίδια κωδική λέξη σε παραπάνω από ένα σύμβολα πηγής. 9

10 Σχεδιαστικά Ζητήματα Κωδίκων Έστω ο παρακάτω δυαδικός κώδικας: x 0 x 00 x 3 0 x 4 0 Ποιό είναι το πρόβλημα του κώδικα αυτού; Στον δέκτη καταφθάνει η ακολουθία κωδικών συμβόλων «00». Ποιό σύμβολο ή ακολουθία συμβόλων θα προκύψει κατά την αποκωδικοποίηση; Απ.: x, x x 4, x 3 x Ο δέκτης δεν είναι σε θέση να αντιληφθεί με απόλυτη βεβαιότητα την αρχή και το τέλος μιας κωδικής λέξης. Είναι επιθυμητό να εξαλειφθούν καταστάσεις σύγχισης όπως η παραπάνω. Ορισμός: ένας κώδικας για τον οποίο κάθε κωδική λέξη αναγνωρίζεται με βεβαιότητα μέσα σε μία μακρά ακολουθία κωδικών συμβόλων λέγεται μονοσήματος. 0

11 Σχεδιαστικά Ζητήματα Κωδίκων Ένας τρόπος για την εξασφάλιση της μονοσημαντικότητας ενός κώδικα, είναι καμία κωδική λέξη να είναι πρόθεμα μιας άλλης. Η ιδιότητα αυτή λέγεται προθεματική ιδιότητα. Προσοχή! ένας κώδικας στον οποίο καμία κωδική λέξη δεν είναι πρόθεμα μιας άλλης, λέμε ότι έχει την προθεματική ιδιότητα. Ένας κώδικας για τον οποίο ισχύει η προθεματική ιδιότητα ονομάζεται στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος. (instantaneous) Πρακτικά, ένας στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας επιτρέπει την αποκωδικοποίηση των κωδικών λέξεων που βρίσκονται σε μια ακολουθία χωρίς να χρειάζεται να εξεταστούν οι γειτονικές (στιγμιαία). x x x Λαμβανόμενη ακολουθία: Αποκωδικοποίηση: x x x x x 3 x

12 Σχεδιαστικά Ζητήματα Κωδίκων Κάθε στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας είναι και μονοσήμαντος. Δεν ισχύει το αντίστροφο! Παράδειγμα x x x 3 x Δεν ισχύει η προθεματική ιδιότητα μη στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος, αλλά ο κώδικας είναι μονοσήμαντος! Κάθε μονοσήμαντος κώδικας είναι και ευκρινής. Δεν ισχύει το αντίστροφο! Παράδειγμα x 0 x x 3 x Ο κώδικας είναι ευκρινής αλλά η ακολουθία 00 οδηγεί είτε σε x x 3 είτε σε x x 4 x Κάθε ευκρινής κώδικας σταθερού μήκους είναι και στιγμιαία αποκωδικοποιήσημος.

13 Γενικά ισχύει: Σχεδιαστικά Ζητήματα Κωδίκων Κ: όλοι οι κώδικες Ε: Ευκρινείς Μ: Μονοσήμαντοι Σ: Στιγμιαία Απαοκωδικοποιήσιμοι Περιπτώσεις: Ένας Σ κώδικας είναι αυτομάτως και Μ και Ε. Ένας Μ κώδικας είναι αυτομάτως και Ε αλλά μπορεί να μην είναι Σ. Ένας Ε κώδικας μπορεί να μην είναι Μ ή/και Σ. (Στην περίπτωση σταθερού μήκους είναι αυτομάτως και Σ και Μ) Ένας κώδικας που δεν είναι Σ μπορεί να είναι Μ. Ένας κώδικας που δεν είναι Μ μπορεί να είναι Ε. Ένας κώδικας που δέν είναι Ε δεν είναι Σ και Μ. 3

14 Εφαρμογές Εφαρμογή Ι: Να ταξινομηθούν οι παρακάτω κώδικες. Σύμβολο Κώδικας Α Κώδικας Β Κώδικας Γ Κώδικας Δ x 00 0 x x x Ταξινόμιση Κώδικας Α Κώδικας Β Κώδικας Γ Κώδικας Δ Ευκρινής x Μονοσήμαντος x x Στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος x x x 4

15 Εφαρμογές Εφαρμογή ΙΙ: Να ταξινομηθούν οι παρακάτω κώδικες. Σύμβολο Κώδικας Α Κώδικας Β Κώδικας Γ Κώδικας Δ Κώδικας E x x x x Ταξινόμιση Κώδικας Α Κώδικας Β Κώδικας Γ Κώδικας Δ Κώδικας E ευκρινής Μονοσήμαντος X Στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος X X 5

16 Έλεγχος Μονοσημαντικότητας Ένας κώδικας που δεν είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος μπορεί να είναι μονοσήμαντος. Είναι δυνατόν να ελέγξουμε πολύπλοκους κώδικες ως προς την μονοσημαντικότητα ακολουθώντας έναν έλεγχο που ονομάζεται Έλεγχος Sardinas-Patterson και παρουσιάζεται εδώ χωρίς απόδειξη. Η τεχνική βασίζεται στην διαδοχική κατασκευή συνόλων και έλεγχο των στοιχείων τους. Έστω ότι διαθέτουμε τον παρακάτω κώδικα: Κώδικας x a Παρατηρούμε οτι ο κώδικας δεν είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος: η κωδική λέξη (σύμβολο) «a» είναι πρόθεμα των «ad» και «abb». x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 c ad abb bad deb bbcde 6

17 Έλεγχος Μονοσημαντικότητας Κατασκευάζουμε βήμα-βήμα μία ακολουθία από σύνολα S 0, S, S,, S n όπως παρακάτω: Το πρώτο σύνολο S 0 έχει ως στοιχεία τις αρχικές κωδικές λέξεις. Για την κατασκευή του S συγκρίνουμε όλες τις κωδικές λέξεις μέσα στο S 0. Εάν μια κωδική λέξη είναι πρόθεμα μιας άλλης, τότε το επίθεμα (αυτό που απομένει δηλαδή) της τελευταίας εισάγεται ως στοιχείο στο S. Κώδικας Σύνολα x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 a c ad abb bad deb bbcde S 0 S a c ad abb bad deb bbcde d bb Κατόπιν εκτελούμε τον ακόλουθο έλεγχο: Υπάρχει κάποιο στοιχείο των δύο συνόλων που είναι ίδια; Ναι; Τότε ο κώδικας δεν είναι μονοσήμαντος. Όχι; Η διαδικασία συνεχίζεται όπως παρακάτω. 7

18 Έλεγχος Μονοσημαντικότητας Για τα υπόλοιπα σύνολα S n, n> συγκρίνουμε τα στοιχεία των S 0 και S n- και ψαχνουμε για κωδικές λέξεις του ενός συνόλου που είναι πρόθεμα του άλλου. Το επίθεμα τοποθετείται στο νέο σύνολο. Περιπτώσεις: Εάν δεν βρεθούν επιθέματα τότε το S n είναι το κενό σύνολο και η διαδικασία σταματά. Ο κώδικας είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος. Εάν το προκύπτον σύνολο S n είναι ίσο με κάποιο από τα προηγούμενα σύνολα εκτός του S 0 η διαδικασία σταματά. Ο κώδικας είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος. Εάν κάποιο από τα στοιχεία του S n είναι ίδιο με κάποιο από τα στοιχεία του S 0 η διαδικασία σταματά. Ο κώδικας δεν είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος. Εάν δεν συμβεί τίποτε από τα παραπάνω η διαδικασία συνεχίζεται ομοίως. 8

19 Έλεγχος Μονοσημαντικότητας Κώδικας x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 a c ad abb bad deb bbcde Σύνολα S 0 S S S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 a d eb de b ad d eb {empty} c ad abb bad deb bbcde bb cde bcde Ο παραπάνω κώδικας δεν είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος διότι ένα στοιχείο του S 5 είναι ίδιο με ένα στοιχείο του S 0 («ad»). 9

20 Εφαρμογές Εφαρμογή Ι: Να ελεγχθεί ως προς την μονοσημαντικότητα ο παρακάτω κώδικας: x 00 x 000 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x Εφαρμογή ΙΙ: Να ελεγχθεί ως προς την μονοσημαντικότητα ο παρακάτω κώδικας: x S0 S S S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S0 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 abc abcd e dba bace ceac ceab eabd Απ: S0 S S S3 S4 S5 S abc d ba ce ac c eac ac c eac ac abcd abd ab cd eab ab cd eab ab e dba bace ceac ceab eabd Απ: d ba ce d 0

21 Δενδροδιάγραμμα Απόφασης Ένας στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα δενδροδιάγραμμα. Δενδροδιάγραμμα: γράφος με τα εξής στοιχεία: ρίζα κόμβους ή φύλλα ένας κόμβος λέγεται φύλο όταν αναπαριστά ένα σύμβολο πηγής. ακμές (κατευθυνόμενες). Παράδειγμα:

22 Δενδροδιάγραμμα Απόφασης Χαρακτηριστικά δενδροδιαγράμματος: επίπεδα όσα και το μήκος της μεγαλύτερης κωδικής λέξης (μη συμπεριλαμβανομένου του επιπέδου της ρίζας) λέγεται και ύψος του δένδρου φύλλα όσα και τα σύμβολα της πηγής (μπορεί και να μην είναι στο υψηλότερο επίπεδο) κατευθυνόμενες ακμές που εκκινούν από κάθε κόμβο το πολύ όσες και τα κωδικά σύμβολα Σύμβολα πηγής Επίπεδο 3 Επίπεδο Ακμές = Μ Επίπεδο Επίπεδο 0

23 Δενδροδιάγραμμα Απόφασης Το δενδροδιάγραμμα είναι σημαντικό εργαλείο για την γρήγορη αποκωδικοποίηση ενός κωδικού μηνύματος. Διαδικασία αποκωδικοποίησης ενός μηνύματος:. Ξεκινάμε από την ρίζα. Με την λήψη ενός κωδικού συμβόλου, μεταβαίνουμε στον κόμβο του αμέσως υψηλότερου επιπέδου μέσω της ακμής που αντιστοιχεί στο ληφθέν σύμβολο. 3. Επαναλαμβάνουμε το ο βήμα μέχρι να φθάσουμε σε φύλλο και καταγράφουμε το σύμβολο της πηγής που αντιστοιχεί σε αυτό. 4. Μεταβαίνουμε στην ρίζα του δένδρου και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία 3

24 Δενδροδιάγραμμα Απόφασης Παράδειγμα: λαμβάνουμε την ακολουθία «00000» Ακολουθία Συμβόλων Πηγής: ΒΔΓ 4

25 Εφαρμογές Εφαρμογή Ι: Έστω ο στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας {00,0,,00} που κωδικοποιεί μία πηγή με αλφάβητο {A,B,C,D}. Να φτιάξετε το δενδροδιάγραμμα. Να αποκωδικοποιηθεί το μήνυμα με τη χρήση του δενδροδιαγράμματος. Απ.: DADA Εφαρμογή ΙΙ: Έστω ο στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας {a,c,d,bb,bad,eb,bcde} που κωδικοποιεί μία πηγή με αλφάβητο {x,x,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7 }. Να φτιάξετε το δενδροδιάγραμμα. Να αποκωδικοποιηθεί το μήνυμα cbbbcdebaddad με τη χρήση του δενδροδιαγράμματος. Απ.: x x 4 x 7 x 5 x 3 x x 3 5

26 Οι Ταυτοανισότητες Kraft - McMillan Ταυτοανισότητα McMillan: Τα μήκη των κωδικών λέξεων l,l,,l N ενός μονοσήμαντου Μ-αδικού κώδικα θα πρέπει να ικανοποιούν την ταυτοανισότητα: i Ταυτοανισότητα Kraft: Υπάρχει στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος Μ-αδικός κώδικας με μήκη κωδικών λέξεων l,l,,l N, αν και μόνο αν ισχύει η παρακάτω ταυτοανισότητα: i N N M M Και οι δύο ταυτοανισότητες αναφέρονται στην ύπαρξη ή όχι στιγμιαίου αποκωδικοποιήσιμου κώδικα (Kraft) ή μονοσήμαντου (McMillan) εφόσον γνωρίζουμε τα μήκη l i των κωδικών λέξεων: l i l i 6

27 Παραδείγματα Έστω ο στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας: Κώδικας Μήκη A 0 B C D N M i l i 3 3 Έστω ο μονοσήμαντος κώδικας: Κώδικας Μήκη A 0 3 B C D N i M l i Έστω ο κώδικας: Κώδικας Μήκη A 0 B C D 0 0 N i M l i.5 7

28 Οι Ταυτοανισότητες Kraft - McMillan Παρατηρήσεις: Οι ταυτοανισότητες Kraft-McMillan δεν λένε ότι: ένας συγκεκριμένος Μ-αδικός κώδικας με συγκεκριμένα μήκη κωδικών λέξεων είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος ή μονοσήμαντος. Εάν ξέρουμε ότι ένας συγκεκριμένος Μ-αδικός κώδικας με δεδομένα μήκη κωδικών λέξεων είναι μονοσήμαντος τότε θα υπάρχει και στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας με αυτά τα μήκη λέξεων. Ένας μονοσήμαντος κώδικας δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον διότι θα υπάρχει στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας με τα ίδια μήκη λέξεων που θα αποκωδικοποιείται με μεγαλύτερη ευκολία. 8

29 Οι Ταυτοανισότητες Kraft - McMillan Εάν η ταυτοανισότητα Kraft ισχύει ως ανισότητα τότε ο κώδικας έχει πλεόνασμα (redundancy) Πρακτικά μπορούμε να προσθέσουμε και νέα κωδική λέξη. i N M l i 3 4 Εάν η ταυτοανισότητα Kraft ισχύει ως ισότητα τότε ο κώδικας θεωρείται ολόκληρος (complete) χωρίς πλεονασμό Πρακτικά δεν μπορούμε να προσθέσουμε και νέα κωδική λέξη. i N M l i Ποιόν από τους δύο κώδικες θα επιλέγατε; Θα μπορούσατε να προτείνετε έναν καλύτερο; 9

30 Μέσο Μήκος Κώδικα Εάν θεωρήσουμε: Πηγή πληροφορίας με Αλφάβητο Χ={x,x,,x N } και Κατανομή P X ={p,p,,p N } M-αδικό Κώδικα με Αλφάβητο W={w,w,,w M } Ότι κάθε σύμβολο της πηγής x i αντιστοιχίζεται σε μία κωδική λέξη u i με μήκος l i Ορίζουμε Μέσο Μήκος Κώδικα: L i N p i l i Εκφράζει το μέσο αριθμό των κωδικών συμβόλων ανά σύμβολο πηγής. Παράδειγμα ASCII-7 μέσο μήκος: 7-bit δεν υπολογίζονται οι πιθανότητες εμφάνισης των συμβόλων πηγής σύμβολα με μικρή πιθανότητα εμφάνισης κωδικοποιούνται όπως και τα σύμβολα με μεγάλη πιθανότητα εμφάνισης Δεν είναι η βέλτιστη λύση στην «αθόρυβη κωδικοποίηση» 30

31 Βέλτιστος Κώδικας Είναι ο στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας με το μικρότερο μέσο μήκος κώδικα: L * l, min l { L} min Ο σχεδιασμός του βέλτιστου κώδικα απαιτεί τον προσδιορισμό των μηκών των κωδικών λέξεων που ελαχιστοποιούν το μέσο μήκος. { N,..., ln l, l,..., ln i Αποδεικνύεται ότι τα μήκη των κωδικών λέξεων του βέλτιστου στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμου κώδικα είναι ίσα με: p i l i } * li log M ( pi ) Άρα, για δυαδικό κώδικα θα ισχύει: i N L * H( X ) 3

32 Εφαρμογές Εφαρμογή Ι: Υπάρχει δυαδικός στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας με κωδικές λέξεις μήκους {,4,3,3,,3}; Απ.: 9/6, όχι δεν υπάρχει. Εφαρμογή ΙΙ: Υπάρχει τριαδικός στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας με κωδικές λέξεις μήκους {,,3,3,,3}; Απ.: 8/7, υπάρχει. Εφαρμογή ΙΙΙ: Ποιοί από τους παρακάτω στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμους κώδικες έχουν πλεονασμό και ποιοί όχι. I II III Απ.: Οι ΙΙ και ΙΙΙ έχουν. Ο Ι δεν έχει. Για τον ΙΙ: {00} Για τον ΙΙΙ: {0000} Αναφέρατε από μια κωδική λέξη που μπορούμε να προσθέσουμε στους κώδικες με πλεονασμό για να τους μετατρέψουμε σε ολόκληρους. 3

33 Εφαρμογές Εφαρμογή ΙV (Εξεταστική 007): Παρακάτω δίνεται πίνακας με 4 κώδικες κωδικοποίησης τεσσάρων συμβόλων πηγής, καθώς και οι πιθανότητες εμφάνισης των συμβόλων. a) Να ταξινομηθούν οι κώδικες. b) Να υπολογιστεί το μέσο μήκος τους. c) Εάν έπρεπε να επιλέξουμε έναν από τους παρακάτω κώδικες ποιος θα ήταν ο βέλτιστος και γιατί? x i p i I II III IV A B C D

34 Ασκήσεις Επανάληψης Εφαρμογή Ι (Εξεταστική 00): Δίνεται ο εξής κώδικας: Α:000, Β:00, Γ:0, Δ:0, Ε:. Μπορούμε να προσθέσουμε ένα ακόμα σύμβολο Ζ (με την κατάλληλη κωδικοποίηση) έτσι ώστε ο νέος κώδικας που θα προκύψει να είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος; Απ: Ναί Εφαρμογή ΙΙ (Εξεταστική 009): α) Έστω ότι για έναν τριαδικό κώδικα γνωρίζουμε τα μήκη των κωδικών λέξεων που είναι τα εξής {,,3,,,3,}. Ο κώδικας αυτός i) Είναι σίγουρα στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος ii) Σίγουρα δεν είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος iii) Μπορεί ναι, μπορεί και όχι (πρέπει να γνωρίζουμε τις κωδικές λέξεις για να αποφανθούμε) β) Επιλύστε το παραπάνω ερώτημα για έναν κώδικα με τα εξής μήκη {,,3,3,,3}. Εφαρμογή ΙΙΙ (Εξεταστική 009): Έστω Μ-αδικός ευκρινής κώδικας σταθερού μήκους (k κωδικών λέξεων με μήκος l η κάθε μία) α) Τι πρέπει να προσέξουμε στην κατασκευή της νέας κωδικής λέξης έτσι ώστε ο νέος κώδικας να είναι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος; β) Σε ποιά περίπτωση δεν μπορεί να κατασκευαστεί στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας με τον παραπάνω τρόπο; Απ: α) το ii), β) το iii) 34

35 Ασκήσεις Επανάληψης Εφαρμογή ΙV (Εξεταστική 009): Έστω ότι δίνεται ένας κώδικας ο οποίος είναι μονοσήμαντος αλλά όχι στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος. Μας ζητείται να μετατρέψουμε τον κώδικα αυτό σε στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμο με την παρακάτω διαδικασία: Σε μερικές (ή όλες) τις κωδικές λέξεις αλλάζουμε τα σύμβολα τους (όσα επιθυμούμε και όπως εμείς επιθυμούμε) χωρίς όμως να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε σύμβολο. (π.χ. Εάν είναι δυαδικός κώδικας κάποια μηδενκά μπορώ να τα κάνω άσσους και το αντίστροφο) Πότε μπορούμε με την παραπάνω διαδικασία να μετατρέψουμε έναν μονοσήμαντο αλλά μη στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμο κώδικα σε στιγμιαία αποκωδικοποήσιμο: Ποτέ (κανένας μονοσήμαντος και μή στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμος κώδικας δεν μπορεί να μετατραπεί σε στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμο με την παραπάνω διαδικασία). Μερικές φορές (μπορεί να γίνει, αλλά για κάποιους μονοσήμαντους και μη στιγμαία αποκωδικοποιήσιμους κώδικες μόνο). Πάντα (μπορεί να γίνει για όλους τους μονοσήμαντους και μη στιγμιαία αποκωδικοποιήσιμους κώδικες). Απ: Πάντα 35

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με

Διαβάστε περισσότερα

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 1 Συμπίεση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα σχεδίασης με μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων

Παραδείγματα σχεδίασης με μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων Παραδείγματα σχεδίασης με μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων Γιώργος Δημητρακόπουλος 1 Αποκωδικοποιητής κώδικα Huffman συμπίεση δεδομένων Ξέρουμε ότι με n bits μπορούμε να κωδικοποιήσουμε 2 n διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 3 Λειτουργίες σε Bits, Αριθμητικά Συστήματα Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Φύση υπολογιστών Η

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 131: ΑΡΧΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ I ΕΡΓΑΣΙΑ 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 131: ΑΡΧΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ I ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΕΡΓΑΣΙΑ Διδάσκων: Γιώργος Χρυσάνθου Υπεύθυνος Άσκησης: Πύρρος Μπράτσκας Ημερομηνία Ανάθεσης: 3/10/015 Ημερομηνία Παράδοσης: 09/11/015 09:00 π.μ. I.Στόχος Στόχος αυτής της εργασίας είναι η χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής. Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Μαθήματα 6 και 7 Αναπαράσταση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή. 1 Στέργιος Παλαμάς

Τμήμα Λογιστικής. Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Μαθήματα 6 και 7 Αναπαράσταση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή. 1 Στέργιος Παλαμάς ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Τμήμα Λογιστικής Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Μαθήματα 6 και 7 Αναπαράσταση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή 1 1. Αριθμοί: Το Δυαδικό Σύστημα Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Τι θα μάθουμε σήμερα: Να αναφέρουμε τον τρόπο αναπαράστασης των δεδομένων (δυαδικό σύστημα) Να αναγνωρίζουμε πώς γράμματα και σύμβολα από

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 6 Τεχνικές πoλυπλεξίας - CDMA

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 6 Τεχνικές πoλυπλεξίας - CDMA Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 6 Τεχνικές πoλυπλεξίας - CDMA 1 Πολυπλεξία Η πολυπλεξία επιτρέπει την παράλληλη μετάδοση δεδομένων από διαφορετικές πηγές χωρίς αλληλοπαρεμβολές. Τρία βασικά είδη TDM/TDMA

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

5η Δραστηριότητα. Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας. Περίληψη. Λπν τ φνντ π τν πρτσ. Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

5η Δραστηριότητα. Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας. Περίληψη. Λπν τ φνντ π τν πρτσ. Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 5η Δραστηριότητα Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας Περίληψη Πόση πληροφορία περιέχεται σε ένα βιβλίο των 1000 σελίδων; Υπάρχει περισσότερη πληροφορία σε έναν τηλεφωνικό κατάλογο των 1000 σελίδων ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Αναπαράσταση δεδομένων

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Αναπαράσταση δεδομένων ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αναπαράσταση δεδομένων Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Τύποι δεδομένων 2 Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικες µεταβλητού µήκους

Κώδικες µεταβλητού µήκους 6 Κώδικες µεταβλητού µήκους Στο κεφάλαιο αυτό µελετώνται οι κώδικες µεταβλητού µήκους, στους οποίους όλες οι λέξεις δεν έχουν το ίδιο µήκος και δίνονται οι µέ- ϑοδοι Fano-Shannon και Huffman για την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 6 : Κωδικοποίηση & Συμπίεση εικόνας Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 12 η Αναζήτηση/Ταξινόμηση Πίνακα Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα C: Από τη Θεωρία στην

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Συνολικό Πλαίσιο Ασφάλεια ΠΕΣ Εμπιστευτικότητα Ακεραιότητα Πιστοποίηση Μη-αποποίηση Κρυπτογράφηση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Αναπαράσταση δεδομένων 2 Τύποι δεδομένων Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας για την κωδικοποίηση

Φύλλο εργασίας για την κωδικοποίηση Φύλλο εργασίας για την κωδικοποίηση Ονοματεπώνυμο: Ημερομηνία: Τμήμα: Διάρκεια δραστηριοτήτων: 2 ώρες Διδακτικοί στόχοι: Να ορίσουν την έννοια της κωδικοποίησης Να ανακαλέσουν προηγούμενες γνώσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Γραμμική Αναζήτηση και Δυαδική Αναζήτηση-Εισαγωγή στα Δέντρα και Δυαδικά Δέντρα-Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης & Υλοποίηση ΔΔΑ με δείκτες Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Ασκηση 2- Κυκλικοί Κώδικες

Εργαστηριακή Ασκηση 2- Κυκλικοί Κώδικες Εργαστηριακή άσκηση 2 Θεωρία ΚΩ ΙΚΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Οι κώδικες διόρθωσης σφαλµάτων χρησιµοποιούνται µερικές φορές για µετάδοση δεδοµένων, για παράδειγµα, όταν το κανάλι είναι µονόδροµο (simplex)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων (Access)

Βάσεις δεδομένων (Access) Βάσεις δεδομένων (Access) Όταν εκκινούμε την Access εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Για να φτιάξουμε μια νέα ΒΔ κάνουμε κλικ στην επιλογή «Κενή βάση δεδομένων» στο Παράθυρο Εργασιών. Θα εμφανιστεί το

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φώτα και Τύμπανα Κωδικοποίηση, Μετάδοση και Αποθήκευση Ψηφιακής Πληροφορίας

Φώτα και Τύμπανα Κωδικοποίηση, Μετάδοση και Αποθήκευση Ψηφιακής Πληροφορίας Φώτα και Τύμπανα Κωδικοποίηση, Μετάδοση και Αποθήκευση Ψηφιακής Πληροφορίας Βασικές Έννοιες Πρόσθετες Έννοιες Ηλικίες Χρόνος Πλήθος Συμμετεχόντων Αναπαράσταση Επικοινωνία Ψηφιακή Πληροφορία Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση: (func endfunc)-([a-za-z])+

Απάντηση: (func endfunc)-([a-za-z])+ Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Ασκήσεις Επανάληψης ) Περιγράψτε τις κανονικές εκφράσεις που υποστηρίζουν (i) συμβολοσειρές που ξεκινούν με το πρόθεμα "func" ή "endfunc" ακολουθούμενο το σύμβολο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: 6

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: 6 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) η λανθασµένες

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων

Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Από ένα αθόρυβο κανάλι 4 khz παίρνουμε δείγματα κάθε 1 msec. - Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης δεδομένων; - Πώς μεταβάλλεται ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Συμπλήρωσης της Έκθεσης Ολοκλήρωσης

Οδηγίες Συμπλήρωσης της Έκθεσης Ολοκλήρωσης -0 Οδηγίες Συμπλήρωσης της Έκθεσης Ολοκλήρωσης H διαδικασία συνοπτικά Κάθε επιχείρηση της οποίας η πρόταση βρίσκεται σε κατάσταση «Σε υλοποίηση», έχει το δικαίωμα να υποβάλει ηλεκτρονικά Έκθεση ολοκλήρωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

7.5 Πρωτόκολλο IP. Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ

7.5 Πρωτόκολλο IP. Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ Τεχνολογία ικτύων Επικοινωνιών ΙΙ 7.5 Πρωτόκολλο IP 38. Τι είναι το πρωτόκολλο ιαδικτύου (Internet Protocol, IP); Είναι το βασικό πρωτόκολλο του επιπέδου δικτύου της τεχνολογίας TCP/IP. Βασίζεται στα αυτοδύναµα

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα;

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα; ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Θέμα 1ο I. Τι πρέπει να ικανοποιεί ένα κομμάτι κώδικα ώστε να χαρακτηριστεί ως υποπρόγραμμα; Τα υποπρογράμματα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο Ουρές προτεραιότητας Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο αριθμός είναι μεγάλος, τόσο οι πελάτες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εξετάσεις Προσομοίωσης 06/04/2015 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν είναι σωστή και ΛΑΘΟΣ αν

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επανάληψης 1 1. Να γραφτεί αλγόριθμος που να δέχεται από το πληκτρολόγιο θετικούς ακέραιους μέχρι να δοθεί το 0 ή αρνητικός.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επανάληψης 1 1. Να γραφτεί αλγόριθμος που να δέχεται από το πληκτρολόγιο θετικούς ακέραιους μέχρι να δοθεί το 0 ή αρνητικός. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επανάληψης 1 1. Να γραφτεί αλγόριθμος που να δέχεται από το πληκτρολόγιο θετικούς ακέραιους μέχρι να δοθεί το 0 ή αρνητικός. Να βρεθεί ποιος ήταν ο μεγαλύτερος αριθμός από αυτούς που δόθηκαν.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργαστηριακή Άσκηση

2 η Εργαστηριακή Άσκηση Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ 2 η Εργαστηριακή Άσκηση Σύγκριση Ομόδυνων Ζωνοπερατών Συστημάτων 8-PSK και 8-FSK Στην άσκηση αυτή καλείστε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα