SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU"

Transcript

1 SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU ZAVRŠNI RAD PRIMJENA TERMIČKIH METODA U ANALIZI PROCESA HIDRATACIJE CEMENTA IVANA KNEZOVIĆ Mat.br. 355 Split, rujan 1.

2 SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU PREDDIPLOMSKI STUDIJ KEMIJSKE TEHNOLOGIJE ZAVRŠNI RAD PRIMJENA TERMIČKIH METODA U ANALIZI PROCESA HIDRATACIJE CEMENTA IVANA KNEZOVIĆ Mat.br. 355 Split, rujan 1.

3 Rad je izrađen u Zavodu za anorgansku tehnologiju Kemijsko-tehnološkog fakulteta, pod mentorstvom dr. sc. Dražan Jozić, doc. tijekom srpnja i rujna 1 god.

4 Velika zahvalnost na podršci i nesebičnoj pomoći pri izradi ovog rada izražavam svom mentoru dr. sc. Dražanu Joziću, doc. Veliko hvala mojoj obitelji na svekolikoj podršci. Ivana Knezović

5 Mami i tati

6 ZADATAK ZAVRŠNOG RADA Zadatak završnog rada je ustanoviti utjecaj zamjenskog dodatka letećeg pepela klase F (prema ASTM standardu) na kinetiku hidratacije u vodenim suspenzijama cementa (tip CEM IIA-S 4,5 N) bez i sa zamjenskim dodatkom leteće pepela u iznosu od 5 i1 mas.% u periodu rane hidratacije do 4 sata. Vodene suspenzije su pripravljene sa masenim omjerom V/K=4 (voda/kruto (kruto = cement+leteći pepeo). Hidratacija u vodenim suspenzijama provedena je pri izotermnim uvjetima (±1 o C) i ista je zaustavljana u točno određenim vremenima nakon 3 min., 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17,, 4, 48 i 7 sata. Kinetike hidratacije cementa u vodenim suspenzijama određivana je preko sadržaja jednog od glavnih produkata hidratacije, strukturno uređenog produkta hidratacije cementa, portlandita (Ca(OH)). Određivanjem sadržaja portlandita u točno određenim vremenima hidratacije, te uz pretpostavku da je hidratacija u vodenim suspenzijama nakon 7 sata potpuna, omogućeno je kreiranje -t krivulja koje su uporabljene kao ishodne vrijednosti u matematičkom modeliranju procesa hidratacije u ispitivanim sustavima.

7 SAŽETAK: U radu je izvršena obrada podataka prikupljenih primjenom termičke metode TG/DTG- DTA na sustavima pasta dobivenih hidratacijom u sustavima cementnih suspenzija. Cementne suspenzije su pripravljene sa čistim portland cementom tipa CEM IIA-S 4,5 N. (Cemex Hrvatska, K. Sućurac) i suspenzijama pripravljenim sa zamjenskim dodatkom letećeg pepela u iznosu od 5 i 1 mas. % na masu cementa. Hidratacija u cementnim pastama je provedena pri temperaturi od ±.1 C uz maseni omjer V/K=4 (voda/(cement+leteći pepeo)). Podatci dobiveni obradom termogravimetrijskih krivulja omogućava praćenje količine nastalog portlandita u pojedinačnim vremenima kada je reakcija hidratacije i prekinuta (CHt). Maksimalno nastala količina portlandita ona količina koja je nastala nakon 7 sata hidratacije (CHmax). Primjenom izraza α=cht/chmax određen je stupnja hidratacije (α) za svaku mjerenu vrijednost. Ovako generirane funkcionalne ovisnosti, tzv. α-t krivulje, poslužile su kao osnova za matematičko modeliranje koje provedeno uz osnovnu pretpostavku da se najsporiji procesi koji određuju sveukupnu brzinu hidratacije cementa odvijaju u smjeru izmjene procesa nukleacije i rasta interakcije na granici faza - difuzija (NR I D). Rezultati dobiveni nakon provedbe kinetičke analize ukazuju da dodatak letećeg pepela u Portland cementu CEM IIA-S 4,5 N bitno ne utječe na promjenu brzine hidratacije u fazi nukleacije i rasta na što upućuju gotovo jednake vrijednosti konstanti knr za ispitivane sustave (knr=,48-,47 h -1 ). Međutim unatoč jednakim konstantama brzine hidratacije, zamjenski dodatak letećeg pepela utječe na nešto duže vrijeme trajanja procesa nukleacije i rasta u odnosu na sustav bez zamjenskog dodataka letećeg pepela sa vrijednosti od 9,935 na 1,85 h. Ovaj pomak utječe na kasnije pojavljivanje procesa interakcije na granici faza kao drugog procesa koji određuje sveukupnu brzinu hidratacije. U ovom periodu, interakcije na granici faza, uočeno je da zamjenski dodatak letećeg pepela utječe na povećanje brzine odvijanja procesa na što ukazuju dobivene vrijednosti konstanti brzine odvijanja procesa koja raste s povećanjem udjela letećeg pepela sa vrijednosti,41 na vrijednosti,43 i,44 za sustave sa 5 odnosno 1 mas.% zamjenskog dodatka letećeg pepela a sve se to reflektira i na skraćivanje vremena trajanja ovog procesa sa 19,939 h na vrijednosti 18,567 h. U konačnici proces, koji određuje sveukupnu brzinu hidratacije, proces difuzije, u sustavima sa zamjenskim dodatkom letećeg pepela započinje ranije u odnosu na ispitivani sustav bez zamjenskog dodatka letećeg pepela.

8 SADRŽAJ 1. UVOD OPĆI DIO Proizvodnja portland cementa Sastav portland cementa.5.. Hidratacija pojedinačnih klinker minerala portland cementa Hidratacija pojedinih klinker minerala portland cementa Hidratacija alita,c3s hidratacija belita,cs Hidratacija aluminatne faze,c3a Hidratacija feritne faze,c4af Hidratacija portland cementa Faktori koji utječu na hidrataciju Dodaci cementu aditivi Analiza kinetike procesa hidratacije cementa Kinetički modeli razvijeni iz predodžbe mehanizma odvijanja reakcije u krutom stanju Termičke metode analize cementnih kompozita TG/DTG-DTA metoda analize produkata hidratacije EKSPERIMENTALNI DIO CILJ RADA KARAKTERIZACIJA UZORKA Portland cement Leteći pepeo PRIPREMA UZORKA CEMENTNE SUSPENZIJE Aparature i metoda rada Određivanje sadržaja hidratacijom nastalog Ca(OH) i kemijski vezane vode Određivanje stupnja hidratacije u hidratiziranim uzorcima cementne paste REZULTATI I RASPRAVA ZAKLJUČAK LITERATURA PRILOG

9

10 Uvod 1. Uvod Silikatni ili portland cement predstavlja jedan od najvažnijih i najčešće korištenih tipova cemenata u graditeljstvu. Čisti portland cementa, cementa bez dodataka, europska norma deklarira kao cement oznake CEM I. Postoji i cijeli niz drugih tipova cemenata koji također pripadaju skupini portland cemenata ali u sebi sadrže različite mineralne dodatke kao što su troska visoke peći, leteći pepeo, karbonati itd. te sukladno tomu podjela istih cementa prema europskoj normi je proširena od CEM I - CEM V. navedeni različiti tipovi cemenata međusobno se uvelike razlikuju kako po kemijskom sastavu tako i prema svojim fizikalno kemijskim svojstvima. Vrlo važno je za različite cementne kompozitne materijale, prije njihove uporabe u graditeljstvu u laboratorijskim uvjetima utvrditi fizikalno-kemijska svojstva. Fizikalnokemijska svojstva cementnih kompozita određuju uporabnu vrijednost materijala i prema danas važećim normama ista ispitivanja se provode prema važećim normama u certificiranim laboratorijima. Najčešće mjerene vrijednosti na cementnim kompozitima (mortovima / betonima) su tlačna čvrstoća, savojna čvrstoća, dinamički modul elastičnosti, statički modul elastičnosti dok se nad čistim cementima provodi mjerenje specifične površine, gustoće, sadržaj vlage, sadržaj reaktivnog vapna, sadržaj alkalija te mineraloški sastava. Uglavnom je riječ o početnim i konačnim svojstvima cementa i njegovih mješavina (morta/betona). Međutim vrlo važno je poznavati mehanizme procesa hidratacije kao i kinetiku hidratacije cementa. Ne postoji neki jedinstveni model koji bi se mogao primijeniti na sustave cementvoda koji bi kao takvu mogućnost da u potpunosti objasniti sve pojave koje se dešavaju u sustavu cement-voda za vrijeme dok se odvija proces hidratacije. Mnoga provedena istraživanja procesa hidratacije rezultirala su mnogobrojnim modelima i pokušajima da se što detaljnije i točnije pokuša objasniti mehanizam i kinetika hidratacije cementa. Većina tih modela temelji se već postojećim modelima iz kemije čvrstog stanja. Težnja znanstvene zajednice da istražuje mehanizme i kinetiku hidratacije leži u činjenica da poznavanje kinetike i mehanizama otvara mogućnost ne samo utvrđivanja činjeničnog stanja u ispitivanom sustavu nego i mogućnost kontrole konačnih fizikalno kemijskih svojstava cementnih kompozita a time i mogućnost priprave kompozita željenih svojstava. U ovom radu kao zadatak je postavljeno odrediti utjecaj letećeg pepela korištenog kao zamjenskog dodatka cementu CEM IIA-S 4.5 N radi utvrđivanja njegovog utjecaja na kinetiku hidratacije cementa u ranoj fazi hidratacije do 4 sata u sustavima cementnih suspenzija pri izotermnim uvjetima hidratacije (t=±,1 o C)

11

12 Opći dio.opći DIO.1. PROIZVODNJA PORTLAND CEMENTA Cement je građevni materijal koji pomiješan s vodom, kemijskim reakcijama i pratećim fizikalnim procesima prelazi iz plastične u očvrslu cementnu pastu ili cementni kamen. Cement je jedan od najvažnijih građevnih materijala. Godišnja svjetska proizvodnja u posljednjih desetak godina porasla je približno 5 % i dosegnula je,77 milijardi tona u 7. godini. Najveći dio (oko 1 milijarda) proizvodi se u Kini dok je Hrvatska na 55 mjestu s proizvodnjom od 35 tona [1]. Najveće tvornice cementa u Hrvatskoj su Holcim, Cemex- Hrvatska, Našice cement i Istra cement. Cement se najviše upotrebljava u izgradnji poslovnih i stambenih zgrada, cesta i mostova gdje je njegov sastav strogo kontroliran i određen pravilnikom. Prema kemijskom sastavu cement se dijeli na dvije skupine i to silikatni i aluminatni. Silikatni cement se dobiva usitnjavanjem i pečenjem vapnenca i gline u omjeru 3:1. Vapnenac je po kemijskom sastavu CaCO3 i u prirodi je vrlo raširen. Kemijski čisti oblici vapnenca su kalcit i aragonit. Lapor je prirodna sirovina koja se koristi u proizvodnji cementa, a predstavlja smjesu vapnenaca i glinenih komponenti [1]. Tehnologiju proizvodnje cementa prati neprekidno usavršavanje opreme i procesa proizvodnje što rezultira povećanjem kvalitete i smanjivanjem štetnosti za okoliš. Najveća količina europske proizvodnje provodi se suhim postupkom (tehnologija s mokrim postupkom je znatno skuplja i gotovo u potpunosti napuštena). Proizvodnja cementa dijeli se u 4 osnovne faze: 1.priprema sirovine.proizvodnja minerala klinkera pri temperaturama sinteriranja 3.proizvodnja cementa 4.pakiranje i otprema Proces proizvodnje započinje iskapanjem sirovine (vapnenac, lapor i/ili gline) koju je prije daljnje upotrebe potrebno usitniti do potrebne granulacije od 1 do 8 cm i osušiti do potrebne vlažnosti. Sirovina se dalje melje do te mjere da samljevenu frakciju odnosi struja - -

13 Opći dio zraka u silos homogenizacije. Upuhivanjem zraka sirovina se miješa, rahli i fino homogenizira. Iz silosa homogenizacije sirovina odlazi u izmjenjivač topline koji predgrijava sirovinu i povećava energetsku učinkovitost peći dok ohlađeni plinovi odlaze u vrećasti filtar radi uklanjanja krutih čestica iz sagorijevnih plinova. Iz izmjenjivača sirovina odlazi dalje u peć. U peći temperatura doseže vrijednost i do 145ºC pri kojoj u djelomično rastaljenom stanju sirovine nastaju minerali klinkera koji se nakon izlaza iz peći hlade na zračnom hladilu. Iz hladnjaka cementni klinker odlazi u mlin gdje se melje uz dodatak 5% prirodnog ili umjetnog gipsa, ova smjesa predstavlja cement. Čisti portland cement, portland cement bez dodatka služi kao osnova za dobivanje različitih tipova cemenata tzv. miješanih cemenata u ovisnosti o korištenim dodatcima. Najčešće korišteni tipovi dodataka koji se dodaju u fazi mljevenja su troska visoke peći, mikrosilika (silica fume), leteći pepeo, karbonatna punila koji se dodaju sami ili pak u njihovoj međusobnoj kombinaciji. Tako pripremljen prah se skladišti u silosu ili pakuje u vreće [1]. Proces proizvodnje cementa shematski je prikazan na slici 1. Slika 1: Proces proizvodnje cementa[] Kod pripreme i komponiranja sirovine te procijene njene kakvoće za dobivanje cementnog klinkera potrebno je zadovoljiti zahtjeve koji su definirani cementnim modulima. Cementni moduli određuju odnos CaO prema drugim oksidima (SiO, AlO3, FeO3) ili odnos drugih oksida prema ostalim. Ako se ti odnosi nalaze u određenim iznosima, sirovina zadovoljava uvjete za dobivanje cementnog klinkera određene kakvoće[3]. Kod pripreme i komponiranja sirovine te procjene njene kakvoće za dobivanje cementnog klinkera koriste se hidraulični, silikatni i aluminatni modul, te stupanj zasićenosti vapnom

14 Opći dio Hidraulički modul (HM) određen je izrazom: HM % CaO % Si % Al O Fe O (1) 3 3 Optimalne vrijednosti nalaze se u granicama 1.7 do.3. Cementi s niskim HM, gdje je HM < 1.7 pokazuju najčešće niske čvrstoće, a oni s HM >.4 najčešće nepostojan volumen. Silikatni modul (SM) određen je izrazom: SM () % Al % SiO O % Fe O Vrijednosti silikatnog modula, SM, za prosječnu kakvoću cementnog klinkera kreću se u okviru vrijednosti Optimalne vrijednosti su između. i.6. Vrijednost SM ne bi smjela biti ispod vrijednosti od 1,9, tj. SM > 1.9. Aluminatni modul definira se izrazom: 3 % Al O 3 AM (3) Fe Ovaj modul je odlučujući za stvaranje faze taline u klinkeru. Optimalna vrijednost AM općenito se kreće između vrijednosti 1.5 do.5. Ako se oksidi AlO3 i FeO3 nalaze u takvom masenom omjeru koji odgovara molekularnim odnosima ovih komponenti, tj. Al Fe O O 3 3 O u klinkeru se može formirati feritna faza, C4AF, što je slučaj u tzv. Ferrari-cementu, koji ima nisku toplinu hidratacije, sporo vezivanje i neznatno skupljanje. Viša vrijednost AM uz istovremeno niski SM karakterizira cement s brzim vezivanjem, koji zahtjeva i veći iznos dodatka gipsa za reguliranje vezivanja. Stupanj zasićenosti ili standard vapna definira se izrazom 3 3 (4) % CaO SZ 1 (5).8% SiO 1.18Al O.65Fe O Vrijednost SZ se kreće između 66-1%. Ovaj izraz ukazuje na zasićenost vapnom mogućih spojeva cementnog klinkera, i izreagiranost vapna u reakcijskom sustavu, odnosno pokazuje, je li cijelo vapno izreagiralo. U kemiji cementa dogovorno je prihvaćena upotreba kratica za konstituente cementa kao i produkte hidratacije: C = CaO, S = SiO, A = AlO3, M = MgO, K = KO, N = NaO, F = FeO3,T = TiO, S = SO3, P = PO5, H = HO, C = CO

15 Opći dio.1.1. Sastav portland cementa Glavni sastojci portland cementnog klinkera su: 3CaO SiO trikalcijev-silikat (C3S)-alit, CaO SiO dikalcij-silikat (CS)-belit, 4CaO AlO3 FeO3 tetrakalcij-aluminat-ferit (C4AF) i 3CaO AlO3 trikalcij-aluminat (C3A) Trikalcij-silikat (C3S), alit nastaje na visokim temperaturama (>15 C) reakcijom CS i CaO uz male količine primjesa (AlO3, MgO, FeO3, KO, NaO). Alit je glavni i najzastupljeniji mineral portland cementnog klinkera. Njegova karakteristika je da brzo otvrdnjava pa o njemu ovisi rana čvrstoća cementnih kompozita. Mineral je stabilan na temperaturama između 15 i 19C, dok se pri nižim temperaturama raspada se na CS i CaO. Naglim hlađenjem proizvedenog klinkera osiguravaju se uvjeti kojima se navedena hidraulički aktivna forma zadržava i pri niskim temperaturama. Dikalcij-silikat (CS), belit je slabije hidraulički aktivna forma u odnosu na C3S koja značajnije doprinosi mehaničkim svojstvima u kasnijoj fazi hidratacije. Hidratacijom se razvija manja količina topline u odnosu na toplinu oslobođenu hidratacijom minerala C3S. Od pet poznatih polimorfa za kemiju cementa je najznačajnija α modifikacija [4]. Trikalcij-aluminat (C3A) prilikom hidratacije razvija puno topline i brzo veže te je stoga važan za postizanje ranih čvrstoća cementa. Nema polimorfnih modifikacija. Tetrakalcij-aluminat-ferit (C4AF) kristalizira u rompskom sustavu. Prilikom hidratacije razvija toplinu, te reagira brzo, ali ipak ne toliko brzo kao trikalcij-aluminat. Ima ulogu topitelja i korigira loša svojstva alita... HIDRATACIJA POJEDINAČNIH KLINKER MINERALA PORTLAND CEMENTA Hidratacija cementa je opći pojam koji se koristi za reakciju između cementa i vode. Pri kontaktu navedena dva reagensa (voda i cement) reakcije hidratacije počinju da se odvijaju gotovo trenutno. Proces hidratacije je vrlo složen fizikalno-kemijski proces koji ima za - 5 -

16 Opći dio posljedicu vezivanje i skrućivanje cementne paste u krutu očvrslu kompaktnu masu 4. Produkti hidratacije su u vodi ne topivi što ovo vezivo i svrstava u hidraulična veziva. Reakcija hidratacije cementa mogu se prikazati preko hidratacije pojedinačnih klinker minerala ili pak preko hidratacije cementa (smjesa različitih konstituenata uglavnom minerala klinkera koji čine cca. 95 mas. %)..1. Hidratacija pojedinih klinker minerala portland cementa Miješanjem cementa s vodom gotovo trenutno se počinju odvijati procesi hidratacije cementa. Proces hidratacije portland cementa je vrlo kompliciran te se hidratacija može pojednostavljeno sagledati kroz hidrataciju osnovnih sastojaka Hidratacija alita (C3S) U dodiru s vodom počinje proces hidratacije alita, koja se pojednostavljeno može opisati jednadžbom (6): (3CaO Si O) 6H O 3CaO SiO 3H O Ca( OH H = kj/mol (6) ) ili C S (6 8) H C S H 3CH To je egzotermni proces, u kojem se formira kristalna forma portlandita (Ca(OH) ili skraćeno CH) i slabo gotovo amorfna C-S-H faza. Međusobni odnos C/S i H/S unutar C-S-H faze nije stalan već ovisi o uvjetima njihovog nastajanja i mijenja se tijekom hidratacijskog procesa [6]. Hidratacija C3S vrlo često se koristi kao model za praćenje hidratcije. Procesi se mogu pratiti preko razvijanje topline, brzine oslobađanja Ca-iona, ili praćenjem nastajanja hidratacijskih produkata Hidratacija belita (CS) Reakcija hidratacije CS se može prikazati sljedećim jednadžbama: ( CaOSiO OH H = -6 kj/mol (8) ) 4H O 3CaO SiO H O Ca( ) ili C S (4 6 H C S H CH (9) ) 3 4 Produkti hidratacije se ne razlikuju u odnosu na produkte hidratacije C3S, što je vidljivo iz same kemijske reakcije. Međutim, kao što je već naglašeno prethodno u tekstu ova faza je znatno manje kemijski reaktivna u odnosu na C3S. (7) - 6 -

17 Opći dio Hidratacija aluminatne faze (C3A) Trikalcij aluminat vrlo burno reagira s vodom uz oslobađanje velike količine energije, a reakcija hidratacije uz prisutnost samo vode se može prikazati kemijskom reakcijom (1): (3CaO Al O3 ) 1H O 4CaO Al O3 13H O CaO Al O3 8HO (1) ili C3A 1H C AH C AH (11) 4 Nastali hidrati kristaliziraju u obliku tankih pločica. Zbog visoke topline hidratacije dolazi do povišenja temperature koja uzrokuje prijelaz heksagonskih u kubične kristale C AH C AH C AH 9H (1) Ukoliko je prisutno vapno (CH), reakcija se može prikazati prema slijedećoj jednadžbi; U prisutnosti gipsa ( CSH ) C3A CH 1H C AH (13) 4 13 ( 3 3 H 3 nastaje trisulfatna forma tzv. etringit C A( CS) ) koji stvara zaštitnu ovojnicu na anhidridnim česticama C3A koji ima ulogu prevencije brze hidratacije C3A odnosno služi kao regulator brzine vezanja a posljedica je dodatka gipsa u fazi proizvodnje cementa [6] Hidratacija feritne faze, C4AF C A CH CSH C A( CS H (14) 3 3 ) 3 Hidratacija feritne faze je slična hidrataciji C3A ali je C4AF znatno manje reaktivna od C3A. U odsutnosti gipsa hidratacija C4AF nastaje Fe(ΙΙΙ) supstituirana C3AH13 faza prema jednadžbi: C A F CH 11H C A F H (15).5.5 U prisutnosti gipsa feritna faza stvara trisulfatnu fazu sličnu etringitu ali manje ekspanzivnu: 4, C A.5 F.5 CH C3 A.5 F.5 ( CS) 3 H 3 3CSH 5H 3C 3 A.5 F.5CSH 1 CH H AF1 AF M (16) Mehanizam ove reakcije je sličan mehanizmu C3A, premda nije jasno do koje mjere AFt faza može usporiti reakciju i stvoriti prepreku hidrataciji [6]

18 Opći dio... Hidratacija portland cementa Realni reakcijski sustav cement-voda još je složeniji zbog velikog broja anhidrida, krutih hidratacijskih spojeva i vode bogate različitih ionima. U tako složenom reakcijskom sustavu teško je uopće definirati pojedinačne faze procesa, kao i uvjete uspostavljanja pojedinih ravnoteža. Ovaj reakcijski sustav pokazuje karakteristike fino disperznih heterogenih sustava u kojima su brzina i mehanizmi usko vezani za granične površine faza. Hidratacija cementa je egzoterman proces gdje u samom kontaktu s vodom dolazi do odvijanja različitih reakcija svih konstituanata prisutnih u cementu. Kako je već prikazano reakcijama minerala klinkera, uglavnom je riječ o egzotermnim reakcijama. Zahvaljujući egzotermnosti reakcija glavnih klinker minerala, u eksperimentima se vrlo često koristi kalorimetrija kao instrumentalna metoda kojom se prate reakcije hidratacije cemenata, te se pomoću iste tehnike određuju i utjecaji različitih dodataka cementima. Karakterističan oblik krivulje brzine oslobođene topline kao i pripadajućeg stupnja hidratacije za pojedinačnu mjerenu vrijednost je prikazano na slici 3. U periodu hidratacije cementa postoji pet karakterističnih stanja različitih brzina hidratacije: 1.početna reakcija,.period mirovanja, 3.period ubrzane reakcije, 4.period usporene reakcije, 5.period difuzije ili usporene hidratacije. Slika.Ovisnost topline hidratacije i stupanja hidratacije o vremenu hidratacije [7] - 8 -

19 Opći dio Početna reakcija hidratacije, period naglog oslobađanja topline koji traje do cca.1 min., može se pripisati efektima brzine kvašenja cementa i hidratacije vapna [5]: C H CH toplina (17) Glavni doprinos razvoju topline potječe zbog prijelaza kalcijevog sulfata poluhidrata u dihidrat gipsa. CSH 1. H CSH.5 5 toplina (18) Nakon toga slijedi period mirovanja u kojem na anhidridnom zrnu nastaje zaštitna ovojnica od produkata hidratacije. Ona usporava daljnju hidrataciju te koncentracija silikatnih iona opada, dok koncentracija Ca + iona ostaje nepromijenjena što ukazuje na taloženje C-S-H faze niskog C/S omjera. Trajanje perioda mirovanja ovisit će i o temperaturi tj. povećanjem temperature skraćuje se trajanje ovog perioda. Osim temperature na trajanje ovog perioda ovisi i v/c omjer, veličini čestica cementa, dodacima i defektima struktura mineralnih komponenti. Pucanjem zaštitne ovojnice C-S-H ili povećanja njezine propusnosti završava ovaj period [5]. U periodu ubrzavanja procesa hidratacije započinje precipitacija Ca(OH) uz izdvajanje i C-S- H faze koja utječe na zgušnjavanje mase i označava vrijeme početka vezanja. Maksimalna brzina hidratacije odgovara maksimalno oslobođenoj toplini. U ovom periodu stvara se velika količina C-S-H faze a razvijena toplina doseže maksimum. Proces hidratacije se naknadno usporava zbog nastajanja hidratacijskih produkata koji ugušćuju produkt te se usporavanje procesa odvija sve do trenutka kada sveukupna brzina hidratacije ne bude kontrolirana brzinom difuzije vode kroz nastale hidratacijske produkte do same površine preostale anhidridne čestice minerala klinkera. Slikoviti prikaz procesa hidratacije prikazan je na slici 3, gdje je prikazano da se reakcije hidratacije od samog početka odvijaju na površine anhidridne čestice cementa ( smjesa različitih minerala klinkera) te da se produkti hidratacije na tim mjestima i talože

20 Opći dio Slika 3: Vremenske faze hidratacije portland cementa[8]..3. Faktori koji utječu na hidratacju Faktori koji utječu na brzinu hidratacije odnosno određuju oblik krivulje hidratacije su: temperatura odvijanja reakcije, tlak, vrsta cementa, vodocementni omjer, tip atmosfere, prisutnost mineralnih i kemijskih dodataka i dr.[3]. Povećanjem temperature povećava se brzina kod većine reakcija međutim utjecaj topline na brzinu hidratacije je vrlo kompliciran. Razlog je u poli-mineralnom sastavu cementa, činjenici da se istovremeno odvijaju različiti mehanizmi te utjecaju temperature na morfologiju i strukturu produkata reakcije. Vrsta cementa utječe na proces hidratacije svojim kemijskim sastavom i veličinom čestica. Utjecaj kemijskog sastava slijedi iz različitih brzina hidratacije te njihovih osobnih doprinosa ukupnoj toplini hidratacije cementa

21 Opći dio Cement koji se sastoji od sitnijih čestica zbog veće površine izloženosti reakcije s vodom će imati veću brzinu oslobađanja topline i veću brzinu hidratacije što će rezultirati bržem oslobađanju početne topline, ali ukupna toplina hidratacije ne ovisi o veličini čestica. Jedan od bitnih faktora koji utječu na brzinu hidratacije cementa je i vodocementni omjer koji predstavlja odnos mase vode i mase cementa u mješavini. Byfors je 198 g. mjerenjem količine kemijski vezane vode objavio da vodocementni omjer ne utječe na brzinu hidratacije mladog betona ali u kasnijem periodu smanjenjem vodocementnog omjera smanjuje se brzina hidratacije [3]. Na hidrataciju cementa utječu i mineralni i kemijski dodaci, ako u cement dodamo mineralne dodatke oni će reagirati s Ca(OH) i formirati dodatne vapneno silikatne hidrate u hidrat cementne matrice. Istraživanja su pokazala da će se sadržaj Ca(OH) kod običnog cementa s vremenom povećavati dok će se kod cemenata s dodacima sadržaj Ca(OH) s vremenom smanjivati [3]...4. Dodaci cementu aditivi Danas se koriste i istražuju različiti zamjenski dodaci cementu kao inertni ili kemijski aktivna mineralna punila. Mineralni dodaci modificiraju fizikalna i kemijska svojstva pripravljenih betona. Pucolani su materijali koji sadrže SiO ili SiO i AlO3. Oni sami po sebi nemaju vezivna svojstva. Pucolanski materijali imaju znatno nižu reaktivnost od portland cementa jer će pucolanska reakcija vezanja započeti tek nakon nekoliko dana, tjedana ili mjeseci a kod portland cementa vezanje započinje za manje od jedan sat 3. Upotreba pucolanski aktivnih dodataka u cementima povećava njihovu otpornost na sulfatnu koroziju što je posljedica pucolanske reakcije kojom se ugušćava mikrostruktura cementne paste, a pri tome se smanjuje udio slobodnog Ca(OH) raspoloživog za nastajanje gipsa. Dodatak pucolana cementu smanjuje se udio reaktivnog, slobodnog C3A time se smanjuje mogućnost nastajanja etringita [5]. Leteći pepeo se prema nekim autorima definira kao otpadni materijal koji nastaje nakon spaljivanja mljevenog ugljena u termoelektranama loživim ugljenom a izdvajaju se separacijom iz otpadnih plinova upotrebom elektrostatskih filtera. Leteći pepeo sadrži sferične čestice: cenofene (najveće čestice prisutne u letećem pepelu) i plerosfere (najmanje čestice prisutne u letećem pepelu). Leteći pepeli dodani

22 Opći dio cementu utječu na smanjenje rane čvrstoće mortova a o fizikalno-kemijskim svojstvima letećeg pepela ovisi vrijeme početka pucolanske reakcije. Svi ovi faktori utjecat će na produkte hidratacije [5]..3. TERMIČKE METODE ANALIZE CEMENTNIH KOMPOZITA Termičke metode analize obuhvaćaju cijelu grupu različitih instrumentalnih tehnika kojima se mjere različite fizikalne veličine reakcijskog sustava i njihova ovisnost o temperaturi i vremenu. Tablica 1.Prikaz termičkih metoda NAZIV TERMIČKE METODE Termogravimetrija(TG)* Diferencijalna termička analiza(dta) Diferencijalna pretežna kalorimetrija(dsc) Diferencijalna mikrokalorimetrija(dmc) Termodilatometrija termomehanočka analiza(tma) Termoakustometrija Termoluminiscencija Termoelektrometrija Termomagnetometrija * metoda korištena u izradi ovog završnog rada Navedenim metodama može se odrediti : ZNAČAJKA METODE masa temperatura entalpija entalpija dimenzija mehanička svojstva akustička svojstva optička svojstva električna svojstva magnetska svojstva -apsolutna vrijednost mjerenog sustava. -razlika mjerenog svojstva između uzorka i standarda -brzina promjene mjerenog svojstva (derivacijska mjerenja) Termičke metode našle su primjenu i u razvoju i u ispitivanju raznih proizvoda. Mnogi problemi kemije cementa, bilo da se radi o sirovinama, procesu pečenja, sastavu klinkera ili dodacima ili o vezivanju cementa, mogu se metodama termičke analize uspješno riješiti ili barem s drugog aspekta razjasniti. Termičke metode su metode koje se najčešće koriste u kemiji cementa pri ispitivanju produkata hidratacije cementa, a u svrhu njihovog kvantificiranja [

23 Opći dio.3.1. TG/DTG-DTA metoda analize produkata hidratacije Termogravimetrijska metoda je jedna od najčešće primijenjenih termičkih metoda. Temelji se na mjerenju mase uzorka ili promjenu mase uzorka u ovisnosti o temperaturi zagrijavanja. Promjene u masi nastaju zbog nastajanja fizikalnih i kemijskih promjena u reakcijskom sustavu. Termogravimetrijska analiza (TG) se bazira na principu registriranja promjene mase uzorka u toku zagrijavanja ili hlađenja uzorka. Iz TG, na osnovu izmjerenih promjena mase u funkciji vremena, mogu se odrediti važni podaci kao što su: stabilnost na temperaturne promjene, temperatura razlaganja, oksidacijska stabilnost, sadržaj vlage, itd.. Slika 4. Termogravimetrijski snimak uzorka cementa uz prikazani signal toplinskih efekata u uzorku (DTA) kao i pripadajući DTG signal za TG krivulju[5] Termogravimetrijska krivulja (TG), (plava krivulja) predstavlja promjenu mase uzorka u ovisnosti o vremenu i temperaturi. Ravne linije na krivulji ukazuju da nije došlo do promjene u masi dok nagibi na krivulji pokazuju da su se dogodile promjene u masi tj. došlo je do gubitka mase u materijalu. Deriviranjem TG krivulje dobije se diferencijalna termogravimetrijska krivulja DTG, (plava krivulja) koja predstavlja brzinu promjene mase uzorka s temperaturom ili vremenom. Kod diferencijalne termalne analize (DTA) (zelena krivulja) prati se razlika u temperaturi između uzorka i inertnog referentnog materijala. Fazne promjene i kemijske reakcije koje se odvijaju u uzorku s povećanjem temperature povećavaju temperaturnu razliku između uzorka i referentnog uzorka

24 Opći dio.4. ANALIZA KINETIKE PROCESA HIDRATACIJE CEMENTA Proces hidratacije cementa je dugotrajan proces koji započinje u reakcijskim sustavima suspenzija a završava u krutoj fazi. Reakcije su relativno spore i dugotrajne te je poznavanje osobina cementnog kamena u svakoj fazi od početka do kraja reakcije hidratacije neobično važno. To znači da će i poznavanje kinetike hidratacijskog procesa imati korisno i praktično značenje. Rana faza hidratacije s periodom indukcije, te periodima ubrzanja i usporene reakcije od posebnog je značenja. U periodima indukcije i ubrzane hidratacije dešava se i niz značajnih procesa, kao što su: otapanje, zasićenje, nukleacija i rast novih faza, te stvaranje strukture veziva i vezivanje. U periodu usporene reakcije dolazi do stvrdnjivanja i očvršćivanja cementnog kamena, a kasnije hidratacijski procesi postaju kontrolirani procesom difuzije. U početku hidratacije, nukleacija i rast (NR) je prvi proces koji regulira brzinu. Proces koji kasnije počinje regulirati napredovanje hidratacije uz naglo smanjenje udjela djelovanja prethodnog procesa je interakcija na granici faza (I). Difuzija (D) se tek kasnije javlja kao regulirajući proces pri čemu naglo postaje presudna za brzinu hidaratcije sve većeg broja čestica Kinetika hidratacije cementa Pod kinetikom hidratacije (brzina hidratacije) cementa podrazumijevaju se reakcijske promjene koje se odvijaju između cementa i vode tijekom hidratacijskog procesa. Reakcije su relativno spore i dugotrajne, pa je nužno poznavati svojstva cementnog kamena u svakoj fazi od početka pa do kraja reakcije hidratacije [1]. Jednostavna kinetička analiza provodi se na način da se u vremenskom intervalu prikaže promjena brzine. Za vrijeme procesa hidratacije mogu se pratiti kemijske, strukturne i energetske promjene. Pri tome se koriste direktne i indirektne metode određivanja pojedinih efekata pri hidrataciji. Kalorimetrija, gdje se prate promjene topline, ( Q) i metoda gdje se prati promjena volumena, ( V), spadaju u direktne metode, dok termičke analize (promjena mase ili energije), rendgenska difrakcija (promjena neizreagiranog udjela), elektronska mikroskopija (promjena C-S-H udjela), porozimetrija (promjena poroziteta), BET metoda (promjena specifične površine), i dinamičko određivanje modula elastičnosti (promjena modula E dinamičkog) spadaju u indirektne metode [13]

25 Opći dio Kinetička analiza hidratacije cementa temelji se na istraživanjima vremenske promjene promatranog efekta (oslobođena toplina hidratacije, sadržaj portlandita-ca(oh), sadržaj kemijski vezane vode) istraživanog sustava cement-voda tijekom hidratacije [1]. Osnovna svrha kinetičke analize je pronaći najvjerojatniji smjer reakcija odnosno, odrediti mehanizam reakcije. Matematički modeli kinetike hidratacije cementa su razvijeni na temeljnoj predodžbi o mehanizmima odvijanja reakcija u krutom stanju [1]: - mehanizam nukleacije i rasta produkata hidratacije (NR), - mehanizam interakcije na granici faza (I), i - mehanizam difuzije kroz krutu fazu (D). Proces hidratacije cementa, prema većini istraživača, odvija se preko tri navedena temeljna mehanizma kontrole brzine reakcija hidratacije anhidridnih čestica cementa s vodom, tako da se svaki odvija po određenim kinetičkom zakonu, dok ukupnu brzinu reakcija hidratacije definira najsporiji proces. Bezjak i Jelenić [5,14] predlažu modele kinetike hidratacije cementa kao heterogenog polidisperznog sustava, primjenom postupka razdvajanja istodobno djelujućih procesa presudnih za brzinu reakcije. Osnovna pretpostavka modela reakcije hidratacije na površini krute čestice je istodobno odvijanje triju procesa (NR, I i D) dok je ukupna brzina reakcije hidratacije određena najsporijim procesom od tri navedena. Zaključuju da brzina reakcije koju određuje proces nukleacije i rasta produkta (NR) slijedi Avrami-Erofee-ovu jednadžbu, prikazanu u integralnom obliku jednadžbom (19), odnosno u kinetičkom, diferencijalnom obliku jednadžbom (): gdje je: α - stupanj hidratacije, 1 n α) k t ln(1 (19) d n k dt knr - konstanta nukleacije i rasta, h -1, t - vrijeme hidratacije, h, n NR t NR n e n ( knrt ) Vrijednost eksponenta n opisuje geometriju rasta kristala i ona je uobičajeno u rasponu od 1 do 3. U drugom stadiju hidratacije kada dolazi do usporavanja reakcije hidratacije, ukupna brzina je određena procesom reakcije na granici faza (I), i prikazana je u integralnom obliku () jednadžbom (1), odnosno u kinetičkom, diferencijalnom obliku jednadžbom (): (1 α) k t (1) I

26 Opći dio gdje je: ki - konstanta interakcije na granici faza, μmh -1. dα 3 ki (1 ki t) () dt U trećem stadiju hidratacije, kada se proces još dodatno usporava zbog difuzije kroz sloj produkata nastalih oko anhidrida cementne čestice, ukupnu brzinu hidratacije cementa određuje proces difuzije opisan s Jander-ovom relacijom koja je u integralnom obliku prikazana jednadžbom (3), odnosno u kinetičkom, diferencijalnom obliku jednadžbom (4): gdje je: 1 3 ( 1 (1 α) ) k t (3) dα dt D 1 3 (1 ( kd t) ) kd (4) 1 ( kd t) kd - konstanta interakcije na granici faza, μm h -1. Osnova za razvoj matematičkog modela hidratacije cementa su α-t funkcije. Deriviranjem integralnih α-t funkcija (jednadžbe (19), (1) i (3)) dobivaju se kinetički modeli tj. diferencijalni kinetički oblici jednadžbi (jednadžbe (), () i (4)), za koje integralne funkcije α-t predstavljaju parcijalna rješenja. Diferencijalne jednadžbe predstavljaju matematički model koji opisuje promjenu brzine hidratacije za svaki pojedini proces definiran u vremenskom intervalu [- ]. Proces hidratacije je proces koji uključuje sva tri navedena moguća kontrolirajuća procesa hidratacije cementa koji se odvijaju istovremeno, s tim da je samo jedan od njih kontrolirajući proces (najsporiji proces koji određuje sveukupnu brzinu hidratacije). Uz pretpostavku da se kontrolirajući procesi izmjenjuju slijedom NR I D sustav diferencijalnih jednadžbi predstavlja osnovu za razvoj matematičkog modela kinetike hidratacije. Prema pretpostavljenom modelu (NR I D), početni kontrolirajući proces koji određuje sveukupnu brzinu hidratacije je proces nukleacije i rasta (NR); počinje u vremenu tnr = i traje sve dok drugi procesi (interakcija na granici faza ili proces difuzije) ne postanu procesi koji kontroliraju sveukupnu brzinu hidratacije[3]. Ukoliko je interakcija na granici faza (I) proces koji slijedi poslije procesa nukleacije i rasta (NR) onda je vrijeme prijelaza iz procesa nukleacije i rasta u proces interakcije na granici faza, tnr-i. Ukoliko je difuzija proces koji slijedi poslije procesa interakcije na granici faza onda je vrijeme prijelaza iz procesa interakcije na granici faza u proces kada difuzija određuje sveukupnu brzinu hidratacije, ti-d[3]. Vremena prijelaza definirana su uvjetom da su brzine dva slijedna procesa jednake, kako je prikazano jednadžbama (5) i (6):

27 Opći dio d dt NR d dt I (5) d dt I d dt D (6) Navedeni uvjeti ujedno predstavljaju i osnovu razvoja matematičkog modela. Ovaj pojednostavljeni sukcesivni model (NR I D) ne uzima u obzir sve parametre koji djeluju na hidrataciju cementa (progresivni rast produkta, diferencijalno smanjenje radijusa nehidratiziranom zrna, povećanje obujma krute faze, promjena difuziteta) pa su moguće i druge kombinacije procesa. Najnoviji radovi u razvoju matematičkih modela procesa hidratacije cementa su usmjereni ka preciznijem određivanju kinetičkih parametara u funkcijama koje opisuju pojedine procese hidratacije [1]

28 EKSPERIMENTALNI DIO

29 Diplomski rad Eksperimentalni dio 3.EKSPERIMENTALNI DIO 3.1. CILJ RADA Cilj rada je ispitati ulogu i utjecaj letećeg pepela, na kinetiku rane hidratacije portland cementa praćenjem promjena hidratacijom nastalog portlandita te primjenom matematičkog modeliranja uz primjenu prikazanih kinetičkih jednadžbi utvrditi kinetičke parametre na temelju pretpostavljenog modela odvijanja procesa hidratacije. U tu svrhu provedena su mjerenja u vodenim suspenzijama ( w/s=4, t= C ) uz različiti zamjenski dodatak (,5,1mas.% ) letećeg pepela. 3..KARAKTERIZACIJA UZORKA U radu su korištene sljedeće komponente uzorka: - industrijski portland cement, CEM IIA-S 4.5 N, - leteći pepeo iz TE Plomin, - destilirana voda Portland cement U ovom radu korišten je portland cement, oznake CEM IIA-S 4.5 N proizveden u tvornici Cemex-Hrvatska, Kaštel Sućurac, Hrvatska. Dobiven je meljavom cementnog klinkera s 5% gipsa te -3% troske visoke peći. Okvirni sastav klinkera u masenim postocima dan je u tablici. Tablica. Udjeli klinker minerala u cementu PC 3Z 45S C3S CS C3A C4AF CaO( slobodni) Leteći pepeo Leteći pepeo dobiven je iz filterskog postrojenja termoelektrane Plomin, Plomin, Hrvatska. Obzirom na kemijsko fizičke osobine može se koristiti u ASTM klasu F. Njegov kemijski sastav dan je u tablici

30 Diplomski rad Eksperimentalni dio Tablica 3. Kemijski sastav letećeg pepela (izražen preko oksida odgovarajućih metala) i zahtjevi normne specifikacije ASTM C618 za leteći pepeo klase F Sadržaj oksida mas. % ASTM C618 SiO 59,46 AlO3 19,91 FeO3 9,93 CaO,81 (SiO+AlO3+FeO3)= min.7% MgO,84 5, max. SO3,18 5, max. NaO,4 KO 1,7 C,6 6, max. Gubitak žarenjem 1,6 3, max. Sadržaj vlage,1 Specifična gustoća, kgm -3 1,839 Specifična površina (Blain), m kg -1 31, PRIPREMA UZORKA CEMENTNE SUSPENZIJE Za praćenje procesa hidratacije u reakcijskom sustavu cement voda - leteći pepeo pripremljeno je tri serije uzoraka kod kojih je hidratacija praćena unutar 7 sata, a proces hidratacije zaustavljan je nakon 3 min., 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17,, 4, 48 i 7 sata. U prvoj seriji koja ujedno služi kao referentna uzorku je dodana samo voda. Ostale dvije serije pripremljene su sa istom masom krutine (masa cementa i letećeg pepela) kao i prva serija ali je dodatak letećeg pepela u drugoj seriji bio 5 mas. %, a u trećoj 1 mas.%, leteći pepeo je dodan kao zamjenski dodatak na masu cementa Uzorci su pripremljeni tako da se u posudicu za vaganje izvaže određena količina cementa i letećeg pepela. Omjer V/K uvijek je 4. U reakcijsku posudu se doda 8 ml. destilirane vode te upali magnetska miješalica i termostat, koji se ostavi 1-ak minuta da se sustav stabilizira na C. Poslije uspostave temperature, u posudu se dodaje cement te se zabilježi točno vrijeme dodavanja i posuda se zatvori s gumenim čepom. Nakon točno utvrđenih intervala blokiranja procesa hidratacije proces hidratacije se zaustavlja na način da se suspenzija filtrira, preko filtar papira postavljenog na Büchnerov ljevak uz primjenu vakuum vodene sisaljke. Zaostali filterski kolač nakon filtracije se ispire dva puta sa cca

31 Diplomski rad Eksperimentalni dio 3ml. -propanola, radi uklanjanja reaktivne vode te se isti uzorak stavlja na satno stakalce i suši 4 sata na temperaturi C. Osušeni kolač se stavlja u PE posude s poklopcem te se potom spremi u eksikator (u eksikatoru postavljeno apsorpcijsko sredstvo, silikagel) do daljnje uporabe APARATURE I METODA RADA Za kvantitativno određivanje sadržaja kemijski vezane vode i portlandita-ca(oh) nastalog tijekom hidratacije cementa bez i s dodatkom letećeg pepela u sustavima suspenzija, pasta i mortova, rabljen je TG/DTG-DTA sustav Pyris Diamond, Perkin Elmer. Analiza je provedena u temperaturnom području od 3 1 o C u struji dušika ( cm 3 min -1 ) i uz brzinu zagrijavanja od o Cmin -1. Analiza dobivenih krivulja izvršena je u programskom paketu Muse (T-Slice Analysis i Standard Analysis). Slika 5. PYRIS DIAMOND TG/DTG-DTA instrument: Određivanje sadržaja hidratacijom nastalog Ca(OH) i kemijski vezane vode TG/DTG-DTA je metoda toplinske analize koja istovremeno prati promjenu mase i energije tvari kao posljedicu toplinske razgradnje tvari uslijed zagrijavanja uzorka ovisno o atmosferi i temperaturnom programu zagrijavanja. Analiza je provedena u temperaturnom području od 3-1 C u struji dušika ( 1 cm 3 min -1 ) i uz brzinu zagrijavanja od C min -1. Analiza dobivenih krivulja izvršena je u programskom paketu Muse ( T-Slice i Standard Analays) - -

32 Diplomski rad Eksperimentalni dio Ca(OH) = CaO + HO 433.8oC CaCO3 = CaO + CO DTG / ug/min DTA / uv oC 18.7mg.3mg 473.1oC 18.4mg TG mg oC Temperatura / oc DTA uv DTG ug/min TG ug Slika 6. TG/DTG-DTA krivulje uzorka hidratiziranog uzorka cementa. Na temelju promjene mase (TG signal) moguće je odrediti sadržaj ukupno kemijski vezane vode u hidratacijskim produktima (gubitak mase u temperaturnom području od 3 1 o C), sadržaj slobodne vode (gubitak mase do 15 o C), sadržaj hidratacijski nastalog portlandita-ca(oh) (gubitak mase u temperaturnom području od o C), te sadržaj CaCO3 (C ) (gubitak mase u temperaturnom području od 65-8 o C), kako je prikazano na slici 6. Navedena temperaturna područja vrijede isključivo za uvjete stalne brzine zagrijavanja od o Cmin -1, dok se za manje brzine zagrijavanja temperaturna područja pomiču ka nižim vrijednostima odnosno za veće brzine zagrijavanja se pomiču prema višim vrijednostima [5, ] Zagrijavanjem uzoraka cementnih pasta do 18 ºC dolazi do značajnog gubitka mase koja se očituje kao pad TG krivulje ili značajan vrh na DTG krivulji. Promjena u ovom intervalu se pripisuje promjenama koje nastaju uslijed dehidratacije kalcijevog sulfata i gubitka slobodne vode u vidu apsorbirane vlage a mogu se opisati reakcijama: CaSO 4 H O CaSO 4 1/ H O (7) Gubitak mase u temperaturnom području od ºC se javlja zbog raspada kalcijevog hidroksida koji se može opisati jednadžbom: - 1 -

33 Diplomski rad Eksperimentalni dio Ca( OH) CaO H O (8) Na temelju promjene mase u ovom intervalu moguće je odrediti sadržaj hidratacijski nastalog portalandita Ca(OH) Sljedeći gubitak mase koji se može (uzoraka koji su bili izloženi utjecaju atmosferilija ili pak u sebi sadrže vapnenac kao dodatak) pojaviti u intervalu od 65-8 ºC javlja se zbog oslobađanja CO tijekom razgradnje kalcijevog karbonata, reakcija koja se pri tomu odvija može se opisati reakcijom: CaCO CaO 3 CO (9) Na temelju promjene mase u ovom temperaturnom intervalu moguće je odrediti sadržaj CaCO3. Od nastalih produkata hidratacije samo Ca(OH)-portlandit ima točno definiran sastav pa je njegova kvantifikacija jedan od načina praćenja hidratacije cementa. Određivanje Ca(OH) portlandita. Od nastalih produkata hidratacije, jedino je Ca(OH) - portlandit, spoj točno definiranog kemijskog sastava, što omogućava njegovo kvantificiranje i predstavlja jedan od načina praćenja hidratacijskih procesa. Sadržaj portlandita u uzorcima pasta/mortova određen je iz gubitka mase u temperaturnom području od o C. Toplinska razgradnja Ca(OH) - portlandita se može prikazati sljedećom kemijskom reakcijom: o C min ;cm min N OH CaO (s) H (g) Ca O (s) (3) Iz gubitka mase, što odgovara gubitku kemijski vezane vode, izračunava se sadržaj Ca(OH) prema jednadžbi (5): gdje je: 3545 C ( m w(ca(oh) ) 35 o /18,1) 74, C w(cementa) (31) m 1 m o - gubitak mase u temperaturnom području od o C, mg, uzroka m uzroka - masa suhog uzorka pri 15 o C, mg, w (cementa) - maseni udio cementa, %. Sadržaj kemijski vezane vode u hidratiziranim uzorcima određen je iz ukupnog gubitka mase ( gubitka mase u temperaturnom području od 15-1ºC) od kojeg treba oduzeti gubitak mase zbog toplinske razgradnje karbonata u temperaturnom području od

34 Diplomski rad Eksperimentalni dio 8 ºC i gubitak mase zbog razgradnje Ca(OH)-portlandita u temperaturnom području od 35-45ºC. Butt-Taylor je definirao sadržaj kemijski vezane vode prema jednadžbi: w m m m m 31 C 315 C 3545 C 658 C ( H O) kemijski. vezana muzorka 1 (1 w( LP) /1 (3) gdje je: -Δm 3-1ºC-ukupni gubitak mase u temperaturnom području od 3-1ºC -Δm 3-15ºC-gubitak mase u temperaturnom području od 3-15ºC -Δm 35-45ºC-gubitak mase zbog toplinske razgradnje Ca(OH) u temperaturnom intervalu od 35-45ºC Δm 65-8ºC -gubitak mase zbog razgradnje karbonata u temperaturnom području od 65-8ºC muzorka -masa uzorka (15),mg w(lp)- maseni udio letećeg pepela,% 3.6. ODREĐIVANJE STUPNJA HIDRATACIJE U HIDRATIZIRANIM UZORCIMA CEMENTNE PASTE Za proučavanje kinetike hidratacije u primijenjenim istraživanjima, stupanj hidratacije se ne mjeri direktno nego je izračunat na temelju promjena udjela hidratacijom nastalog CH tijekom hidratacijskog procesa. Stupanj hidratacije cementa računa se prema izrazu: α=mch(t)/mch( ) (33) gdje je: mch(t) - sadržaj portlandita hidratiziranog uzorka za vrijeme t mch( )-maksimalni sadržaj portlandita u potpuno hidratiziranom uzorku cementnih pasta - 3 -

35 4. REZULTATI I RASPRAVA

36 Rezultati i rasprava 4. REZULTATI I RASPRAVA Rezultati kemijske analize letećeg pepela (LP) iz TE Plomin prikazani su u tablici 3. Iz tablice je vidljivo da elektrofiltarski pepeo sadrži 78,43 mas. % (SiO + AlO3 + FeO3) i,81 mas. % CaO, te se sukladno američkoj normnoj specifikaciji ASTM C 618 (tablica ) može okarakterizirati kao pepeo klase F (niski sadržaj CaO), tj. leteći pepeo podrijetlom od antracitnog ili bituminoznog ugljena. Specifična površina letećeg pepela je 31,9 m kg -1, a gustoća od 1,839 kgm -3 potvrđuje njegovu klasu F, budući je niža nego gustoća letećeg pepela klase C (,6 -,7 kgm -3 ) [5,7]. Iz rezultata dobivenih pretražnom elektronskom mikroskopijom (SEM), prikazanih na slici 5, je vidljivo da je leteći pepeo vrlo heterogen materijal koji sadrži čestice različitih veličina uglavnom sferičnog oblika. Slika 7. Morfologija letećeg pepela snimljena uporabom pretražne elektronske mikroskopije (SEM) [5]. Difrakcijske slike polikristalnih uzorka praha letećeg pepela, snimljene u širokom kutnom području od 4-6 o Theta (slika 7), ukazuju da leteći pepeo pored kristalne sadrži i određeni udio amorfne faze. Glavne kristalne faze, utvrđene analizom difrakcijskih slika uzorka letećeg pepela, su: mulit, hematit i kvarc. Prošireni (difuzni) difrakcijski maksimum u kutnom području 15 o <Theta<3 o ukazuje na prisutnost amorfne (strukturno neuređene) alumosilikatne faze [7]

37 Rezultati i rasprava Slika 8. Difrakcijska slika polikristalnog uzorka letećeg pepela iz TE Plomin [13]. Za reakcije hidratacije u sustavima suspenzija koje se odvijaju uz konstantno miješanje pri temperaturi od o C nakon pretpostavlja se da su reakcije hidratacije potpune nakon 7 sata hidratacije. Primjenom ove pretpostavke omogućeno je praćenje reakcije hidratacije preko neke konačne vrijednosti izdvojenog portlandita koji se koristi u svrhu određivanja stupnja hidratacije cementa (α). Kreiranje ovisnosti stupnja hidratacije u ovisnosti o vremenu hidratacije kao i primjeni odgovarajućih matematičkih formulacija (jednadžba 19, 1 i 3) koje prate pretpostavljeni slijed odvijanja procesa hidratacije (NR-I-D) omogućena je analiza kinetike hidratacije cementa u vodenim suspenzija odnosno određivanje utjecaja zamjenskog dodatka letećeg pepela na procese hidratacije. Njihova prva derivacija služi kao osnova za primjenu kinetičkih jednadžbi preuzetih iz modela primjenjivog na reakcije u krutom stanju, jednadžba, i 4. Primjenom termogravimetrijske (TG) metode grijanjem uzorka moguće je pratiti promjene koje se dešavaju u sustavu uslijed gubitka/porasta mase uzorka koji je izložen određenom režimu grijanja i u određenom temperaturnom području. Ukoliko se istovremeno mogu pratiti i toplinski efekti koji potiču od reakcija koje se odvijaju u uzorku prilikom razgradnje ili pak fazne transformacije popraćene sa/bez gubitka mase onda je moguće dobiti kao izlazni podatak i energiju razgradnje odnosno fazne transformacije u ispitivanom sustavu. Prema postavljenom zadatku završnog rada, iako je korištena metoda TG/DTG-DTA sustava u svrhu praćenja kinetike hidratacije korišten je samo signal dobiven promjenom mase uzorka tj. TG signal. Zahvaljujući svojstvu portlandita odnosno njegovoj dobroj kristaliničnosti i ne preklapanju drugih hidratacijskih produkata sa temperaturnim intervalom termičke dekompozicije portlandita omogućeno je i njegovo kvantitativno određivanje u različitim periodima - 5 -

38 Rezultati i rasprava hidratacije. Rezultati analize sadržaja portlandita u cementnim pastama dobivenih iz cementnih suspenzija prikazani su u tablici 5(vidi prilog), a grafički prikaz promjene sadržaja portlandita u ovisnosti o vremenu hidratacije je prikazan na slikama 9,1 i 11: Slika 9. Grafovi ovisnosti mase portlandita o vremenu za seriju uzorka PB Slika1. Grafovi ovisnost mase portlandita o vremenu za seriju uzorka PB5 Slika 11 Grafovi ovisnost mase portlandita o vremenu za seriju PB1 Prikazane promjene sadržaja portlandita u istraživanim sustavima cementnih pasta dobivenih iz sustava vodenih suspenzija ukazuju na konstantni prirast sadržaja portlandita, - 6 -

39 Rezultati i rasprava CH, do 48 sati hidratacije. Naglo povećanje sadržaja portlandita u svim ispitivanim sustavima vidljivo je u periodu od 3 do 1 sati hidratacije. U vremenskom intervalu od i 4 sata, uočava se blagi prirast sadržaja portlandita nakon čega slijedi ponovni nešto veći prirast do 48 sati hidratacije.. Budući da se kinetička analiza hidratacije cementa može temeljiti na istraživanjima vremenske promjene jednog od promatranih efekta kao što su: oslobođena toplina hidratacije, sadržaj portlandita-ca(oh), sadržaj kemijski vezane vode istraživanog sustava cement-voda tijekom hidratacije. Sve navedene promjene u reakcijskim sustavima daju mogućnost uz primjenu odgovarajući matematičkih modela utvrđivanje kinetike hidratacije cementa. Kalcijev hidroksid (portlandit) predstavlja jedan od glavnih produkata nastalih hidratacijom portland cementa, koji ima točno definirani sastav i strukturno uređenje. Mogućnost mjerenja sadržaja portlandita omogućava ujedno i praćenje napredovanja procesa hidratacije tijekom vremena. Prema već opisanom modelu hidratacije kao i pretpostavci o slijedu kojim se određeni procesi koji određuju sveukupnu brzinu hidratacije smjenjuju (NR-I-D) te uz primjenu kinetičkih oblika integralnih jednadžbi koje opisuju navedene procese moguće je odrediti kinetičke parametre za svaki navedeni kontrolirajući proces kao i vrijeme u kojem je svaki od procesa dominantan. Osnova za provedbu kinetičke analize predstavljaju promjene stupnja hidratacije u vremenu u ovisnosti o vremenu hidratacije (ddt-t). Stupanj hidratacije se računa prema relaciji α=mch(t)/mch( ). Na slici 1. Prikazane su krivulje ovisnosti stupnja hidratacije cementa u ovisnosti o vremenu hidratacije. Iz rezultata je vidljivo povećanje dodatka letećeg pepela utječe na smanjenje stupnja proreagiranosti cementa. Ovaj podatak je u suprotnosti sa već uočenim efektima u hidrataciji koja se odvija u sustavima pasta. Naime, u sustavima pasta uloga letećeg pepela kao nukleacijskog mjesta utječe na povećanje stupnja proreagiranosti cementa[5]

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično.

Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično. Vapno Vapno je naziv koji se koristi za čitav niz proizvoda dobivenih preradom (kalcinacijom i/ili hidratacijom) vapnenca ili dolomita. Proizvodi se razlikuju prema kemijskom sastavu i svojstvima te fizikalnom

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Zavod za hidrotehniku Katedra za zdravstvenu hidrotehniku i okolišno inženjerstvo

Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Zavod za hidrotehniku Katedra za zdravstvenu hidrotehniku i okolišno inženjerstvo Napomena: Ovaj Izvještaj direktno se nastavlja na Izvještaj br. 3 Fizikalne i kemijske karakteristike pepela iz kolovoza 2015. godine. Sve metode korištene prilikom fizikalnih i kemijskih analiza provedenih

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Komponente betona: Cement

Komponente betona: Cement Komponente betona: Cement Predavanje, 29.10.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Vrste mineralnih veziva Općenito o cementu Hidratacija cementa Tehnologija proizvodnje

Διαβάστε περισσότερα

Komponente betona: Cement

Komponente betona: Cement Komponente betona: Cement Predavanje, 23.10.2012. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Vrste mineralnih veziva Općenito o cementu Hidratacija cementa Tehnologija proizvodnje

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI RAD FRANE MRŠIĆ-BOŽINOVIĆ

ZAVRŠNI RAD FRANE MRŠIĆ-BOŽINOVIĆ SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO ARHITEKTONSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD FRANE MRŠIĆ-BOŽINOVIĆ SPLIT,2015 SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO ARHITEKTONSKI FAKULTET Utjecaj mineralnih dodataka na svojstva betona

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα