Instrumenti za merenje mase
|
|
- Ευσταχηιος Κακριδής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Glava 2 Instrumenti za merenje mase 2.1 Terazije Terazije su mehanički instrument za merenje mase kojim se nepoznata masa uporedjuje sa poznatom masom tegova. Izradjuju se u raznim opsezima i tačnostima. Na slici 2.1 su prikazane terazije koje se koriste u studentskoj laboratoriji. Tačnost ovakvih terazija je reda centigrama (0,01 g). Slika 2.1: Centigram terazije; opseg 500 g i tačnost reda 0,01 g. 1
2 2 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE Komplet tegova koji se koristi za merenje je prikazan na narednoj slici 2.2. Slika 2.2: Komplet tegova sa pincetom za terazije; najveći teg je mase 200 g, a najmanji 1 mg. UPOZORENJE Sve operacije sa terazijima (npr dodavanje na tasove, korekcija položaja terazija,..) vršiti sa zakočenim terazijama. U suprotnom će doći do oštećenja terazija. Terazije se smeju otkočiti samo kada su skoro uravnotežene. Pošto obično ne znamo da li su terazije skoro uravnotežene nikad ne otkočiti terazije odjednom do kraja. Terazije otkočivati pomalo prateći položaj kazaljke. Tek kada smo sigurni da će kazaljka ostati unutar skale otkočiti terazije potpuno. U suprotnom, sprovesti uravnotežavanje.
3 2.1. TERAZIJE Priprema terazija za rad Pre početka merenja potrebno je pripremiti terazije za rad što uključuje: 1. postavljanje terazija u pravilan položaj, 2. odredjivanje praktične nule i 3. odredjivanje tačnosti terazija. Slika 2.3: Skala terazija. Postavljanje terazija u pravilan položaj Libelom (koja se nalazi se na postolju iza stuba, vidi sliku 2.3) utvrditi da li je postolje terazija horizontalno. Postolje je horizontalno kada se vazdušni mehur u libeli nalazi na sredini nacrtanog kruga. Ako postolje nije horizontalno, postaviti ga u horizontalan položaj okretanjem nožica terazija.
4 4 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE Odredjivanje praktične nule Ravnotežni položaj kazaljke neopterećenih terazija bi trebalo da se nalazi na nuli skale. Kada se, medjutim, neopterećene terazije otkoče i puste da osciluju, one se nakon nekog vremena zaustavljaju u realnom ravnotežnom položaju 1 koji se naziva praktična nula terazija koja može da odstupa od nule skale. Sva uravnotežavanja terazija tokom merenja se vrše u odnosu na praktičnu nulu. Odredjivanje praktične nule terazija se vrši po sledećoj proceduri: a) neopterećene terazije se otkoče i puste da osciluju; b) registruje se 5 sukcesivnih amplitudnih položaja kazaljke koji se naizmenično smenjuju sa jedne odnosno druge strane; c) nadje se srednja vrednost 3 očitavanja sa jedne i 2 očitavanja sa druge strane, pa se za praktičnu nulu uzme zaokružena srednja vrednost ove dve srednje vrednosti. Primer: Neka su očitani amplitudni položaji 5; 3; 5; 2; 4. Sa leve strane skale su očitani 5; 5; 4 i njihova srednja vrednost je ( 5 5 4)/3 = 4, 67, a sa desne 3; 2 i njihova srednja vrednost je (3 + 2)/2 = 2, 5 te je praktična nula na ( 4, , 5)/2 = 1, 08, odnosno na 1 nakon zaokruživanja. Napomena: Pomoću matica za korekciju praktična nula se može poklopiti sa nulom skale. Ovo doterivanje terazija ne vrše studenti već izvodjači nastave. 1 Striktno govoreći, terazije se zbog statičkog trenja izmedju poluge i prizme preko koje se poluga oslanja na stub terazija zaustavljaju u neposrednoj blizini praktične nule. Položaj u kojem se terazije zaustavljaju zavisi od detalja kretanja terazija i praktično ga je nemoguće predvideti. Ako je prizma oštra statičko trenje je zanemarivo, te se može smatrati da se terazije zaustavljaju u praktičnoj nuli.
5 2.1. TERAZIJE 5 Odredjivanje osetljivosti i tačnosti neopterećenih terazija Kao što je poznato, osetljivost instrumenta je S = dy/dx gde je y indikatorska veličina, a x veličina koju merimo. 2 Kod terazija se za indikatorsku veličinu y uzima ugao ϕ koji kazaljka zaklapa sa vertikalom, 3 dok se za x uzima m - masa pretega, tj razlika merene mase od mase tegova na drugom tasu. Stoga je osetljivost terazija data sa S = dϕ dm ϕ m i izražava se brojem podelaka za koji skrene kazaljka terazija po jediničnom pretegu (koji se obično izražava u miligramima). Za tačnost izgradnje terazija se uzima recipročna vrednost osetljivosti τ = 1/S, te je tačnost terazija data masom pretega po podeoku skretanja kazaljke terazija. Odredjivanje tačnosti neopterećenih terazija se vrši po sledećoj proceduri: a) na jedan tas neopterećenih terazija se stavi mali preteg m zbog čega će terazije kada se otkoče skreniti u odnosu na praktičnu nulu; najbolje je staviti najveći preteg za koji kazaljka još uvek ostaje unutar skale terazija. b) pročita se broj podelaka skale n za koji je kazaljka skrenula u odnosu na praktičnu nulu i izračuna tačnost τ = m n. 2 Ispravnije je reći da je osetljivost S = y/ x zato što indikatorksa veličina y u opštem slučaju zavisi i od nekih drugih veličina a ne samo od merene veličine x, te se umesto običnog izvoda mora koristiti parcijalni izvod. 3 Ovde je broj podelaka za koji je skrenula kazaljka najzgodnija jedinica za ugao ϕ.
6 6 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE Postupak merenja Miligramske tegove hvatati pincetom za ušice tega, nikako rukama. Ostale tegove hvatati čistim rukama. Tegovi se ne smeju zaprljati. Posle rada zatvoriti kutiju sa tegovima da po njima ne pada prašina. Merenje nepoznate mase se vrši tako što se na jedan tas terazija stavi telo čija se masa meri a na suprotni stave tegovi. Potrebno je staviti onoliko tegova da terazije budu uravnotežene, tj da kazaljka bude na praktičnoj nuli kada se terazije potpuno otkoče. Prvi korak u uravnotežavanju terazija je da se na tas stavi toliko tegova da njihova masa m v bude veća od merene mase. Odredjivanje na kom se tasu nalazi veća masa se vrši tako što se kočnica malo oslobodi (ne do kraja). Kazaljka skreće ka lakšem tasu. Nadjena veća masa m v omogućava da znamo interval (m m ; m v ) koji čine manja masa m m (za koju se na početku merenja može uzeti m m = 0) i veća masa m v a kojem se nalazi merena masa m, tj interval za koji važi m m m m v. Tokom merenja nastoji da što više suzimo interval (m m ; m v ), što se najbrže radi njegovim polovljenjem kao u sledećem primeru. Zamislimo da merimo masu m = 53, 256 g. Neka smo u prvom koraku našli da je m v = 100 g, tj da merena masa leži u intervalu (0; 100) g. Probamo sa tegom od 50 g i nalazimo da je njegova masa manja od m, te za sledeći interval uzimamo (50; 100) g. Jednostavnije od polovljenja je da probamo dodajući teg od 20 g. Tako nalazimo da je m < 70 g, te je novi interval (50; 70) g. Nastavljamo sa 60 g (tako što skinemo teg od 20 g a stavimo teg od 10 g) i dobijamo interval (50; 60) g, zatim skidamo 10 g i dodajemo 5 g tj dobijamo interval (50; 55) g. Ako sada skinemo 5 g i dodamo 2 g nalazimo da je masa tegova manja od merene mase te imamo novo m m = 52 g, tj interval (52; 55) g. Dalje dodajemo još 2 g te nalazimo novo m v = 54 g, tj interval (52; 54) g, pa onda skidamo 2 g i dodajemo 1 g i nalazimo (53; 54) g i tako redom dok ne stignemo do intervala (53, 250; 53, 260) g, kada terazije postaju uravnotežene. Pokušaji finijeg uravnotežavanja korišćenjem tegova od 5 mg, 2 mg i 1 mg (najverovatnije) ne daje rezultat jer su terazije centigramske tačnosti, tj njihov najmanji podelak vredi oko 10 mg.
7 2.1. TERAZIJE 7 Nasuprot opisanoj situaciji gde terazije ne osećaju najmanje tegove, postoje slučajevi kada najmanji teg koji imamo dovodi do skretanja za više od 1 podeoka. Tada se terazije ne mogu uravnotežiti tegovima već je potrebno izvršiti korekciju na uravnotežavanje. Ako je kazaljka skrenula za n podelaka u odnosu na praktičnu nulu onda korekcija iznosi m c = nτ, (2.1) i tu korekciju treba dodati kada je masa tegova manja od mase tela, odnosno oduzeti u suprotnom slučaju. Greška pojedinačnog merenja terazijama Za grešku pojedinačnog merenja terazijama m po dogovoru uzimamo maksimiziranu vrednost tačnosti terazija, tj m = τ tj najmanji broj miligrama sa jednom cifrom različitom od nule a koji je veći od τ; ako je prva cifra 1, dozvoljava se i druga cifra. Primer: Za τ = 23, 4 mg je m = 30 mg, dok je za τ = 14, 6 mg m = 15 mg. Napomena: Tačnost (i osetljivost) terazija zavise od njihovog opterećenja. Ova zavisnost je obično toliko slaba da je dovoljno naći tačnost neopterećenih terazija i koristiti je pri svim opterećenjima. Ispravnije je, medjutim, dodati mali preteg pri tekućem opterećenju i tako naći tačnost. Krajnji rezultat pojedinačnog merenja terazijama Krajnji rezultat pojedinačnog merenja terazijama navodimo u obliku m ± m, gde je m izmerena masa (sa eventualnom korekcijom na uravnotežavanje) usaglašena zaokruživanjem sa greškom pojedinačnog merenja m. Primer: Za m = 30 mg i (nezaokruženim) m = 53, 2584 g dobijenim uz korekciju je krajnji rezultat merenja m = (53, 26 ± 0, 03) g, dok bi za m = 15 mg krajnji rezultat merenja trebalo da glasi m = (53, 258 ± 0, 015) g. Napomena: Ukoliko je merena masa prosečne gustine koja se znatno razlikuje od gustine tegova ρ = 7, 9 g/cm 3 potrebno je izvršiti korekciju na potisak - vidi poglavlje Principijelno je takodje moguće da krakovi poluge terazija nisu jednaki te je potrebno proveriti da li je potrebna korekcija na nejednakost krakova - vidi poglavlje
8 8 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE Princip rada terazija - osnovna teorija U osnovi terazije rade na principu ravnokrake poluge. Kada na raznostranu polugu krakova l L i l D deluju momenti sila G L = F L l L i G D = F D l D koji nastoje da okrenu polugu u suprotnim smerovima i koji su nastali dejstvom sila F L i F D na levi, odnosno desni, kraje poluge, uslov ravnoteže poluge glasi G l = G D, odnosno F L l L = F D l D, gde su l L i l D dužina levog, odnosno desnog, kraka poluge. Kod terazija sile F L i F D potiču od težina m L g i m D g masa m L i m D stavljenih na tasove terazija, odakle sledi uslov ravnoteže m L l L = m D l D. (2.2) U idealnom slučaju krakovi terazija su jednaki, l L = l D, te prethodni uslov postaje m L = m D, i po njemu su terazije u ravnoteži kada je merena masa m (stavljena na jedan tas terazija) jednaka masi tegova m w (stavljenih na suprotni tas terazija). Prethodni opis se odnosi na pojednostavljenu i idealizovanu situaciju. Zanemarana je masa tasova, masa njihovih držača, masa poluge, uzeto je da se centar mase poluge sa kazaljkom nalazi na osloncu,... itd. Detaljniji opis principa rada terazija koji vodi računa o ovim faktorima je dat u narednom poglavlju i pri prvom čitanju se može preskočiti Princip rada terazija - detaljnija teorija Na slici 2.4 je dat dijagram najvažnijih sila koje deluju na terazije. Polugu sa kazaljkom posmatramo kao jedno telo mase M čiji se centar mase nalazi na rastojanju s od tačke oslonoca O; dužina levog kraka poluge je l L, a desnog l D. Tačka vešanja levog tasa je na rastojanju h L od poluge; analogno imamo h D za desni tas. U idealnom slučaju bi trebalo da bude h L = h D = 0, a u realnom su ove dve veličine znatno manje od 1 mm, a mogu se i korigovati zavrtnjima (1) na slici 2.1. Masa okačena na levoj strani poluge je m L = m LT + m L, gde je m LT masa levog tasa sa držačem, dok je m L masa levog tereta (telo ili tegovi). Analogno na desnoj strani imamo okačenu masu m D = m DT + m D sastavljenu iz mase desnog tasa sa držačem m DT i mase desnog tereta m D.
9 2.1. TERAZIJE 9 Slika 2.4: Dijagram osnovnih sila koje deluju na terazije. Jednačina kretanja poluge sa kazaljkom je J ϕ = G gde je J moment inercije, a G rezultujući moment sile koji kada je poluga izvedena iz horizontalnog položaja za ugao ϕ aproksimativno glasi G = Mgs sin ϕ m Dg[l D cos ϕ + h D sin ϕ] + m Lg[l L cos ϕ h L sin ϕ] + G r, gde G r označava moment sila otpora vazduha i trenja u osloncu poluge. U ravnotežnom položaju je G = 0 i G r 0 (jer se statičko trenje u ležištu obično može zanemariti). Ako je opterećenje obeju strana poluge skoro isto tada je ugao ϕ koji odgovara ravnotežnom položaju mali, te je sin ϕ ϕ a cos ϕ 1. Tako nalazimo da je sasvim generalno ϕ = m L l L m D l D Ms + m L h L + m D h D. (2.3) U slučaju neopterećenih terazija je m L = m D = 0, tj m L = m LT i m D = m DT, te iz prethodne formule (2.3) nalazimo ugao praktične nule ϕ 0 = m LT l L m DT l D Ms + m LT h L + m DT h D. (2.4)
10 10 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE Iz formule (2.4) se vidi da se praktična nula poklapa sa nulom skale, ϕ 0 = 0, ako npr levi i desni tas sa držačem imaju jednake mase, m LT = m DT, i ako su krakovi poluge jednaki, l L = l D. Ako se na npr levi tas neopterećenih terazija stavi mali preteg m, zbog Ms + m L h L + m D h D Ms + m LT h L + m DT h D, vidimo da ugao skretanja u odnosu na praktičnu nulu ϕ ϕ ϕ 0 iznosi ϕ = ml L Ms + m LT h L + m DT h D odakle, uzimajući l = l L za dužinu kraka terazija, nalazimo izraz za osetljivost neopterećenih terazija ( ) ϕ l S 0 = = l/m, (2.5) m Ms + m LT h L + m DT h D s 0 gde je u poslednjoj aproksimaciji uzeto da je m LT h L + m DT h D 0. Iz ovog izraza se vidi da su terazije tim osetljivije što im je krak veći, tačnije količnik l/m veći (jer se povećanjem l povećava i M), a težište što više, tj s što manje. Sličnim postupkom se može naći da osteljivost terazija opterećenih masom m iznosi S m = ( ) ϕ = m m l (Ms + m LT h L + m DT h D ) + m(h L + h D ), (2.6) odakle se vidi da osetljivost zavisi od opterećenja m, kao i da opada sa m kada je h L + h D > 0, što je tipičan slučaj. Zavisnost osetljivosti od opterećenja je tipično slaba jer je član m(h L + h D ) znanto manji od konstantnog člana Ms + m LT h L + m DT h D zato što su h-ovi znatno manji od s. Formula za korekciju na uravnotežavanje je realtivno komplikovana; ako je, medjutim, član m L h L+m D h D zanemariv u odnosu na Ms i ako se krakovi mogu smatrati jednakim, l L = l D = l, tada ugao skretanja približno iznosi ϕ (m L l L m D l D)/Ms, dok je u istoj aproksimaciji ugao praktične nule ϕ 0 (m LT l L m DT l D )/Ms. Stoga ugao skretanja u odnosu na praktičnu nulu glasi ϕ ϕ 0 l/m s (m L m D ) = S m m, (2.7) gde je S m osetljivost na opterećenju m m L m D, dok je m c = m L m D tražena korekcija. Znajući da je tačnost terazija τ = 1/S m tako dobijamo formulu za korekciju (2.1).
11 2.1. TERAZIJE Korekcija na nejednakost krakova terazija Kada se govori o korekcijama tada pretpostavljamo da su korekcije male i da ih je potrebno vršiti u odnosu na idealan slučaj ravnoteže terazija. Videli smo, jednačina (2.2), da uslov ravnoteže terazija glasi m L l L = m D l D, kada krakovi terazija nisu jednaki. Zamislimo da je merena masa m stavljena na levi tas uravnotežena masom tegova m wd stavljenim na desni tas terazija. Tada je ml L = m wd l D. Neka smo zatim stavili masu m na desni tas i uravnotežili je masom tegova m wl stavljenim na levi tas terazija; tada je m wl l L = ml D. Deobom poslednje dve jednačine nalazimo odakle je m m wl = m wd m, m = m wl m wd, (2.8) što pretstavlja Gausovu metod eliminacije nejednakosti krakova terazija. Obzirom da su krakovi terazija približno jednaki, moraju biti približno jednake i mase tegova m wl i m wd te se prethodni izraz svodi na m m wl + m wd 2. (2.9) Napomenimo da pored Gausovog postoje i drugi metodi eliminacije nejednakosti krakova terazija o kojima zainteresovani čitalac može saznati više u specijalizovanoj literaturi.
12 12 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE 2.2 Digitalna vaga Digitalna vaga je elektronski uredjaj za merenje mase. Izmerena vrednost se prikazuje na digitalnom LCD displeju. Kod ovog instrumenta se senzorom meri sila kojom masa deluje na tas vage. Digitalne vage se izradjuju u velikom rasponu njihovih karakteristika (opseg, tačnost, rezolucija...). Na slikama 2.5 i 2.6 su dva tipa digitalnih vaga koje se koriste u studentskoj laboratoriji. Slika 2.5: Digitalna vaga opsega g; tačnost 0,01 g. (1) - uključivanje/isključivanje vage; (2) - ; (3) - ; (4) - ; (5) i (6) - tariranje. Vagi je potrebno 30 min da se zagreje. Tariranje Digitalne vage imaju mogućnost tariranja, tj postavljanja skale na nulu i ako je vaga opterećena. Tariranje se vrši tako što se vaga optereti željenom masom i pritisne dugme za tariranje nakon čega skala vaga pokazuje nulu.
13 2.2. DIGITALNA VAGA 13 Slika 2.6: Digitalna vaga opsega g; tačnost 0,1 g; rezolucija 0,1 g. (1) - kratak pritisak: ako je isključena, vaga se uključuje; ako je vaga uključena skala se postavlja na nulu (tj tarira ako je vaga opterećena). Nakon tariranja vaga prikazuje razliku tekućeg opterećenja i opterećenja pri kojem je izvršeno tariranje. To npr znači da ako je vaga tarirana pri opterećenju od 100 g, ona će prikazivati 50 g kada se optereti sa još 50 g, tj ukupno sa 150 g. Ako je ukupno opterecenje smanjeno na 80 g, vaga pokazuje -20 g. Tariranje neopterećenje vage je isto što i nulovanje skale.
14 14 GLAVA 2. INSTRUMENTI ZA MERENJE MASE Korekcija na potisak Korekcija na potisak je potrebna kad god se meri masa čija je gustina znatno različita od gustine tegova. Ova korekcija se vrši kako kod terazija tako i kod digitalnih vaga. Na jedan tas terazija deluje težina mg merenog tela umanjena za potisak vazduha ρ v V g koje trpi telo; ovde je ρ v gustina vazduha, 4 a V - zapremina tela. Analogno tome, na drugi tas terazija deluje težina tegova m w g umanjena za potisak vazduha ρ v V w na tegove zapremine V w. Stoga pri idealno uravnoteženim terazijama vredi m ρ v V = m w ρ v V w, odakle nalazimo da korekcija na potisak vazduha, m p m m w, iznosi ( m m p = ρ v (V V w ) = ρ v ρ m ) w, ρ w gde je ρ gustina merenog tela, a ρ w gustina tegova. Kako je m m w, to je ( 1 m p ρ v m ρ 1 ), ρ w odnosno m p m ρ v ρ ( 1 ρ ) ρ w Iz nadjenog izraza za relativnu korekciju se vidi da se korekcija javlja kada je ρ ρ w. Pri ρ > ρ w korekcija negativna (jer telo trpi manji potisak od tegova), dok je pri ρ < ρ w korekcija pozitivna. Za tela male gustine korekcija može biti znatna i data je prostijim izrazom m p m ρ v ρ. Uočimo da je za nalaženje korekcije potrebno makar približno znati gustinu tela ili pak njegovu zapreminu. Korekcija na potisak je potrebna i kod elektronskih vaga koje mere masu pomoću senzora sile. Ovaj senzor se kalibriše tako što se njime izmeri kalibracioni teg (i eventualno unese poznata vrednost ubrzanja Zemljine teže). No, ni senzor sile ne zna da obračuna potisak vazduha pa je korekcija na potisak potrebna i ovde. 4 Pri normalnim uslovima gustina vazduha iznosi ρ v =1,29 kg/m 3..
15 Glava 3 Merenje gustine čvrstih tela 3.1 Gustina Srednja gustina mase je ρ = m V, gde je m masa, a V zapremina tela. Jedinica za gustinu je [ρ] = [m]/[v ], tj količnik jedinice za masu i jedinice za zapreminu, i u SI sistemu to je 1 kg/m 3. Pored ove jedinice, u praksi se dosta koristi g/cm 3. Srednja gustina je prosečna karakteristika tela. Pored nje uvodi se i lokalna gustina mase ρ = m V gde je m masa sadržana u maloj zapremini V oko tačke tela u kojoj odredjujemo lokalnu gustinu. Uzimajući da je masa kontinualno raspodeljena u prostoru lokalnu gustinu možemo definisati i sa ρ = dm dv, gde je dm masa sadržana u beskonačno maloj zapremeni dv oko posmatrane tačke tela. Znajući kako se lokalna gustina menja u prostoru, masu sadržanu u zapremini V možemo izračunati kao m = V ρ( r)dv. Lokalna gustina se može menjati od tačke do tačke tela. Ako je lokalna gustina ista u svim tačkama tela, onda kažemo da je telo homogeno i za njega se lokalna i srednja gustina poklapaju. 15
16 16 GLAVA 3. MERENJE GUSTINE ČVRSTIH TELA Gustina na prvom mestu zavisi od vrste materijala od kojeg je telo. Gustina materijala je jedna od važnih karakteristika materijala. Gustina materijala zavisi od temperature i pritiska, odnosno gravitacionog polja, a u manjoj meri i od električnog i magnetnog polja u kojima se materijal nalazi. 3.2 Merenje gustine čvrstih tela piknometrom Piknometer, slika 3.1, je stakleni balon koji služi za merenje gustine granulisanih (usitnjenih) čvrstih materijala i tečnosti. Zapremina piknometra i temperatura na kojoj je zapremina kalibrisana obično su naznačeni na piknometru. Pri merenju gustine čvrstih tela koristi se tečnost poznate gustine ρ 0 ; u studentskoj laboratoriji je to voda čija je gustina u funkciji temperature data na slici 3.1 desno. Slika 3.1: Piknometar (levo) i gustina destilisane vode na normalnom pritisku u funkciji temperature (desno). Čvrsto telo (materijal) čija se gustina meri piknometrom mora biti usitnjeno (granulisano), nerastvorno u tečnosti koja se koristi i da ne upija tu
17 3.2. MERENJE GUSTINE ČVRSTIH TELA PIKNOMETROM 17 tečnost. Postupak merenja Merenje gustine čvrstog tela se vrši na sledeći način: 1. izmeri se masa čvrstog tela m t 2. na isti tas terazija se stave čvrsto telo i piknometar napunjen do vrha tečnošću poznate gustine ρ 0, pa se izmeri njihova zajednička masa m 1 3. telo se zatim stavi u piknometar iz koga istekne višak tečnosti; piknometar se izbriše, pa se zatim izmeri masa m 2 piknometra sa tečnošću i telom u njemu. Zapremina tela V t je jednaka zapremini tečnosti koju je telo istisnulo iz piknometra. Obzirom da je m 1 m 2 masa istisnute tečnosti, ova zapremina je jednaka V t = m 1 m 2 ρ 0, odakle za gustinu čvrstog tela ρ t = m t /V t nalazimo m t ρ t = ρ 0. m 1 m 2
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα