ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ"

Πραξιτέλης Μαυρίδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ). Γ. α., β. 8, γ. 44 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α. Η f είναι συνεχής για <, ως ολυωνυµική και για >, ως άθροισµα της τριγωνοµετρικής ηµ µε την σταθερή c() λ. Στο έχουµε: f() (ηµ λ) λ f() ((µ ) ) Ακόµα f(). Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο ρέει και αρκεί: f() f() f() λ Εοµένως, η ζητούµενη τιµή είναι λ. β. Για > έχουµε: Για < έχουµε: f() f() ηµ λ ηµ ηµ ÈÅÌÁÔÁ 8 f() f() (µ ) (µ ) µ Για να είναι η συνάρτηση αραγωγίσιµη στο ρέει και αρκεί: f() f() f() f() µ µ Εοµένως, η ζητούµενη τιµή είναι µ. γ. Είναι.χ. f () f() λ, άρα η συνάρτηση δεν είναι.

2 Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 δ. Είναι ηµ, f(), αν > αν και ΘΕΜΑ 3 ο f() d f() d f() d ( ) d α. i. Για κάθε IR είναι : f () ( )' ( [ συν ] )' (ηµ ) d Εειδή > είναι f () < στο IR, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ii. Για κάθε IR είναι: f () ( )' ( )' ( ) ( ÈÅÌÁÔÁ 8 ) Έτσι:f () ( ) και f () > >, f () < < H f είναι συνεχής στο IR µε f () < στο διάστηµα (, ), άρα στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα (, ]. Ακόµα είναι f () > στο διάστηµα (, ), άρα η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [, ). Τέλος, η συνάρτηση έχει σηµείο καµής το (, f ()), γιατί εκατέρωθεν του αλλάζει κυρτότητα και υάρχει η εφατοµένη της γραφικής της αράστασης σ αυτό, αφού είναι αραγωγίσιµη. Είναι f () έτσι, η συνάρτηση έχει σηµείο καµής το (, ). β. Θα βρούµε, αν υάρχουν, τα όρια: f() ( ) και f() ( ) Θέτουµε u οότε: Τότε είναι: u (- ) και u (- ) - και - f() ( ) u u

3 Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 f() ( u ) ( ) Εοµένως, η γραφική αράσταση της συνάρτησης έχει οριζόντια ασύµτωτη την y στο και την y στο. u γ. Με βάση τις ληροφορίες των ροηγουµένων ερωτηµάτων σχεδιάζουµε την γραφική αράσταση της συνάρτησης: y δ. Στο α ερώτηµα βρήκαµε f () <, οότε f () f () και έτσι: E f ' () d f ' () d ΘΕΜΑ 4 ο / [ ()] τµ f f() f α. Εειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt, ου ορίζονται αό ολοκλήρωµα, είναι αραγωγίσιµες, έτσι µορούµε να αραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της (), οότε έχουµε: ( f(t) dt )' ( g(t)dt)' ÈÅÌÁÔÁ 8 ή f () g() g(t) dt (3) Για αίρνουµε: f () Με αό την (3) έχουµε: και: y Ο y f() y g(t) dt g() g(t)dt f () f () f () 3

4 Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 4 f() g() g(t)dt Εειδή η g είναι συνεχής στο IR, άρα και στο, είναι g( ) g(). Η συνάρτηση h(), οότε: Εοµένως, το όριο: g(t) dt, IR, είναι αραγωγίσιµη, άρα είναι συνεχής στο g(t)dt h() h() g(t)dt g(t)dt είναι µορφή / και υολογίζεται µε τον κανόνα του D L Hospital: Έτσι: οότε, τελικά: g(t)dt ( f() g() g(t)dt)' g() g() ()' g(t)dt g() f() f() f() f '() g() β. H () για δίνει g(t) dt (4) Εειδή η g() δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής στο IR διατηρεί ρόσηµο σ αυτό. Αν ήταν g() > τότε g(t)dt > > Άτοο. Άρα είναι g() <, για κάθε IR. γ. H () για δίνει f(t) dt f(t) dt (5) Είναι g() < g() > για κάθε IR, έτσι: ÈÅÌÁÔÁ 8 µε είναι [ g(t)]dt g(t)dt, άρα: g(t) dt µε < είναι [ g(t)]dt > g(t)dt >, άρα: g(t) dt < Εοµένως, για κάθε IR αό την () είναι: g(t) dt f(t) dt 4

5 Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 5 f(t) dt [ f(t) dt αό (5)] f(t) dt f(t) dt ος τρόος: Έστω η συνάρτηση F() f(t) dt, IR για την οοία F () f (). Αό την (3), αφού g() <, βρίσκουµε: µε > είναι f () g() g(t) dt < F () < µε είναι f () F () µε < είναι f () g() g(t) dt > F () > οότε η F() έχει µέγιστο το F(), άρα για κάθε IR : F() F() f(t) dt f(t) dt δ. (Αόδειξη µε Roll σε αρχική). Θεωρούµε την συνάρτηση: Η() f(t) dt g(t)dt µε [, ] Εειδή οι f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt ως οριζό- µενες αό ολοκλήρωµα, είναι αραγωγίσιµες. Ακόµα η είναι αραγωγίσιµη, ως ολυωνυµική, άρα η Η(), ως αλγεβρικό άθροισµα αραγωγίσιµων συναρτήσεων, είναι: Παραγωγίσιµη στο εδίο ορισµού της, άρα και στο (, ) µε Η () f () g() συνεχής στο [, ], ως αραγωγίσιµη σ αυτό. Ακόµα: Η() και Η() f(t) dt g(t)dt f(t) dt g(t)dt () [ αό (4) και (5) ] Εοµένως, εφαρµόζεται για την Η() το θεώρηµα του Roll, οότε υάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) µε ÈÅÌÁÔÁ 8 Η (ξ) f (ξ) g(ξ) f (ξ) g(ξ), ου σηµαίνει ότι το ξ είναι ρίζα στο (, ) της εξίσωσης f () g(). 5

Σχετικά έγγραφα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()