FAZNI DIJAGRAMI TERMIČKA ANALIZA
|
|
- ψυχή Παπανδρέου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vježba 1. FAZNI DIJAGRAMI TERMIČKA ANALIZA Tvari se, ovisno od veza koje atomi međusobno ostvaruju, pojavljuju u nekoliko različitih stanja. Oblik u kojem može postojati neka tvar naziva se agregatno stanje tvari. Sve tvari se prema agregatnim stanjima ili fazama mogu pojaviti u tri stanja ili forme: čvrstoj, tekućoj i plinovitoj. Faza ima slijedeće karakteristike: 1. Faza ima istu strukturu ili atomski raspored. 2. Faza ima u svom prostoru približno isti kemijski sastav i svojstva. 3. Postoji određena granica između faze i okolnih faza. Čiste tvari kao što su voda, NaCl, Cu i sl. mogu se smatrati jednokomponentnim sustavima, a njihovi fazni dijagrami pokazuju koje se faze pojavljuju kao funkcija temperature i tlaka. Na primjer, zatvorimo li komad leda u vakumsku komoru, led se počinje topiti i isparavati, tako da istovremeno imamo tri faze: čvrsto tijelo (led), tekućinu, i vodenu paru. U svakoj od ovih stanja H 2 O je različita faza, a svaka faza ima različiti atomski raspored, jedinstvena svojstva i definiranu granicu između svakog stanja. Na slici 1.1. prikazan je fazni dijagram za vodu. Granice između jednofaznih područja predstavljaju koegzistenciju dviju faza. Npr. krivulja vrelišta vode kao funkcija tlaka (što je identično naponu pare vode u ovisnosti o temperaturi) razdvaja tekuće (tj. vodu) i parno područje. Točka u kojoj se sastaju sve krivulje (opisuje uvjete koegzistencije sve tri faze) naziva se trojna točka. Trojna točka predstavlja vrijednost temperature i pritiska gdje mogu postojati 3 faze. Isparavanje opisuje prelazak iz tekuće u plinovitu fazu, taljenje prijelaz iz krute u tekuću, a sublimacija iz krute u plinovitu. Slika 1.1. Fazni dijagram za H 2 O 1
2 Na sličan način ukapljivanje ili kondenzacija opisuje prijelaz iz plinovite u tekuću, smrzavanje iz tekuće u krutu te depozicija iz plinovite u krutu fazu. Fazni dijagram jasno pokazuje da se promjena agregatnog stanja u nekim uvjetima može postići promjenom temperature ili promjenom tlaka. Za nas je vrlo često najintuitivnija promjena agregatnih stanja zagrijavanjem odnosno hlađenjem (taljenje, isparavanje, ukapljivanje). Ova granica završava kod kritične temperature i tlaka (tj. kritične točke - K). Iznad temperature kritične točke, plinovita faza se ni za jedan tlak para ne može prevesti u tekuću fazu. To znači da je energija atoma ili molekula na tim temperaturama veća od njihovih privlačnih sila koje ih drže na malim udaljenostima u tekućoj i krutoj fazi. Kod niskih i umjerenih tlakova druge jednokomponentne supstancije imaju slične fazne dijagrame. Primjer je jednokomponentni fazni dijagram za magnezij koji je dan na slici 1.2. Slika 1.2. Jednokomponentni fazni dijagram za magnezij pri tlaku od 1 atm. Slika 1.2. prikazuje fazni dijagram jedne komponente (čisti magnezij) gdje linije razdvajaju faze: krutinu, tekućinu i paru. Ovisno o temperaturi i tlaku mogu biti jedna, dvije ili tri faze prisutne u svakom vremenu. Pri atmosferskom tlaku (isprekidana linija) dobiju se uobičajene temperature taljenja i vrenja za magnezij. Na vrlo niskim temperaturama krutina može sublimirati ili direktno preći u paru bez topljenja prilikom zagrijavanja. Tališta mnogih supstancija se povećavaju porastom tlaka, budući da većina krutina imaju veću gustoću od svojih tekućina. Talište kao funkcija tlaka i napon pare kao funkcija temperature (ili slično temperatura sublimacije kao funkcija tlaka) predstavljaju krajnu granicu uporabe kristalnih krutina u inženjerskoj primjeni. Znači, ako se kristalična krutina počinje taliti ili isparavati, ona gubi svoj mehanički integritet. 2
3 Promjene temperature i tlaka mogu uzrokovati alotropske ili polimorfne transformacije, koje nastaju kod vrlo visokih temperatura za mnoge supstancije, te ih je teško eksperimentalno postići. Na slici 1.3. prikazan je fazni dijagram za ugljik, iz kojeg se vidi da je grafit kao kruta faza stabilan kod atmosferskog tlaka, dok je dijamant stabilan kod visokih tlakova. Dijamant je zbog toga važan materijal za rezaće alate zbog svoje tvrdoće. Dijamant Tekućina Grafit Para Slika 1.3. Fazni dijagram za ugljik. Kada je prisutno više komponenata, fazni dijagrami su daleko složeniji, budući su tada varijable temperatura, tlak i sastav. Većina je inženjerskih materijala sastavljena iz više komponenti. Primjena ovih materijala obično je kod tlakova blizu atmosferskog, te je stoga važno ispitati odnose ravnoteže faza koje mogu postojati u višekomponentnim sustavima kod konstantnog tlaka. Važan primjer dvokomponentnog sustava kod kojeg postoji potpuna topljivost u čvrstom stanju je slitina bakar nikal. Ako se tekuća slitina Cu-Ni skrutne i ohladi na sobnu temperaturu, nastat će samo jedna faza. Poslije skrućivanja bakar i nikal se ne odvajaju nego se ravnomjerno postavljaju u točke površinski centrirane kubične (FCC) rešetke. Unutar 3
4 krutine, struktura, svojstva i sastav su jednaki i nikakva granica ne postoji između atoma bakra i nikla. Zato bakar i nikal imaju neograničenu topljivost. Kruta faza je čvrsta otopina. - Uvjeti za neograničenu topljivost Da bi jedna slitina, kao što je bakar-nikal, imala neograničenu topljivost, mora biti zadovoljeno nekoliko uvjeta: 1. Faktor veličine: Atomi moraju biti slične veličine, radijusi njihovih atoma ne smiju se razlikovati više od 15%, kako bi se smanjila naprezanja rešetki. 2. Kristalne strukture: Materijali moraju imati iste kristalne strukture, jer drugačije dolazi do točaka prijelaza iz jedne faze u drugu. 3. Valencija: Atomi moraju imati istu valenciju, jer inače valentni elektroni pospješuju nastanak spojeva prije nego otopine. 4. Elektronegativnost: Atomi moraju imati približno istu elektronegativnost. Ako je značajna razlika u elektronegativnosti, formiraju se spojevi, npr. natrij i klor daju natrijev-klorid. Krivulje hlađenja slitine Na slici 1.4 prikazane su krivulje hlađenja taline čistog metala i slitine. Slika 1.4. Krivulje hlađenja a) čistog metala; b) slitine Kristalizacija oslobađa takozvanu latentnu toplinu koja poništava odvođenje topline za vrijeme hlađenja. Latentna toplina je energija koju sistem prima ili otpušta prilikom promjene faze, a još se naziva i energija faznog prijelaza. Kod krivulja hlađenja ona se manifestira na slijedeći način: kod čistih metala temperatura stoji za vrijeme skrućivanja sve dok sva talina (T) ne prijeđe u krutinu (K), što se odvija vremenski između točaka L i S. Krivulja hlađenja pokazuje da prije početka skrućivanja postoji samo jedna faza talina (T), za vrijeme trajanja skrućivanja postoje dvije faze talina (T) i kruta faza (K), a nakon završetka skrućivanja postoji samo jedna, krutina (K). Kod slitina je latentna toplina oslobođena kristalizacijom 4
5 nedovoljna da nadoknadi odvedenu toplinu, pa prilikom hlađenja ne dolazi do pojave zastoja temperature, nego se pad temperature usporava za vrijeme skrućivanja (od t L do t S ). Kod slitina druga komponenta ometa proces kristalizacije prve komponente i obrnuto. Često kruta faza kod slitina nije jedinstvena, nego se sastoji od dvije ili više faza. Za određivanje dijagrama stanja za slitine, potreban je veći broj krivulja hlađenja. Talina T Kruta otopina α Slika 1.5. a) Dijagrami krivulja hlađenja Cu-Ni slitina različitog sastava b) Fazni dijagram Cu-Ni slitine. Na slici 1.5 a) prikazane su krivulje hlađenja čistog Cu i Ni kao i Cu-Ni slitina različitog sastava, dok je na slici 1.5 b) prikazan fazni dijagram Cu-Ni slitine. Krivulje hlađenja iz dijagrama a) projeciraju se u točke granica pretvorbi u dijagram b). Krivulje hlađenja čistih komponenti Cu i Ni daju po jednu točku L Cu i S Cu odnosno L Ni i S Ni, početka skrućivanja i završetka skrućivanja. Druge krivulje hlađenja daju po dvije točke u dijagramu stanja odnosno početka skrućivanja i završetka skrućivanja. Kada su samo dva elementa prisutna u slitini može se konstruirati binarni sustav slitina. U izomorfnom sustavu Cu-Ni formira se samo jedna čvrsta faza uslijed potpune topljivosti Cu i Ni. Ordinata faznog dijagrama (slika 1.5. b)) predstavlja vrijednosti temperature, a na apcisi su prikazani maseni % komponenata. Gornja krivulja u dijagramu predstavlja likvidus krivulju za Cu-Ni slitinu (lat. likvidus-tekuće). Da bi kompletna slitina postala tekućina ona se mora 5
6 zagrijati iznad solidus krivulje (lat. solidus- kruto), a onda se može lijevati u željene oblike. Tekuća slitina počinje se skrućivati kad se temperatura snizi do likvidus temperature. Za slitinu Cu-40%Ni, likvidus temperatura je 1280 ºC. Cu-Ni slitina se tali i skrućuje u području između likvidusa i solidusa. Temperaturna razlika između likvidusa i solidusa je područje skrućivanja. Unutar područja skrućivanja istodobno postoje dvije faze: talina i kruta otopina. Cu-Ni slitina nije potpuno kruta sve dok se metal ne ohladi ispod solidus temperature, koja za Cu-40%Ni slitinu iznosi 1240 ºC. Krutina je kruta otopina Cu-Ni atoma; krute faze se obično označuju s malim grčkim slovima, kao što je α. Za slitinu Cu-40%Ni područje skrućivanja je 1280 ºC 1240 ºC = 40 ºC. Vodoravna linija unutar dvofaznog područja na određenoj temperaturi naziva se vezna linija (slika 1.6). Krajevi vezne linije prezentiraju sastav dvije faze u ravnoteži. Za bilo koji originalan sastav koji se nalazi između C L i C S, sastav tekućine je C L sastav krutine je C S. Slika 1.6. Vezna linija u faznom dijagramu za određivanje sastava dviju faza Dijagram na slici 1.5. b) moguće je dobiti tako da se npr. čisti Cu zagrije do 1300 ºC (temperatura iznad temperature tališta T Cu ) i dodaje Ni, pri čemu se sastav mijenja duž vodoravne linije. Nastala otopina je homogena tekuća otopina sve do sastava koji odgovara 47 tež. % Ni, gdje dolazi do zasićenja s Ni. Ovo je metoda topljivosti i zasićenja. Drugi način dobivanja ovog dijagrama je tzv. metoda termičke analize. Princip ove metode sastoji se u zagrijavanju slitina različitog sastava do temperatura u jednofaznom tekućem području, njihovom laganom hlađenju i mjerenju temperatura u ovisnosti o vremenu. Ovako se dobiju krivulja hlađenja kao na slici 1.5. a) koje imaju nekoliko promjena nagiba koji ukazuju na pojavu novih faza. Podaci dobiveni iz krivulja hlađenja služe za konstrukciju odgovarajućeg faznog dijagrama. 6
7 Kao primjer određivanja sastava faza u faznom dijagramu možemo uzeti slitinu sastava Cu-40Ni koja se zagrijana iznad temperature tališta slitine lagano hladi (slika 1.7.). Kakav će biti sastav svake faze na temperaturama 1300 ºC, 1270 ºC, 1250 ºC i 1200 ºC? Slika 1.7. Sastav faza za Cu-40% Ni slitinu na nekoliko temperatura 1300 ºC: Prisutna je samo talina koja sadrži 40% Ni ºC: Prisutne su dvije faze. Povučena vodoravna linija unutar α+t područja koja prolazi kroz krajnju točku na likvidus krivulji pokazuje da maseni % Ni iznosi 37% i to je sadržaj nikla u tekućoj fazi. Krajnja točka na solidus krivulji, koja je u kontaktu sa α područjem, je na 50% Ni i predstavlja sadržaj nikla u krutoj fazi ºC: Opet su prisutne dvije faze. Vezna linija na ovoj temperaturi pokazuje da tekućina sadrži 32% Ni, a krutina sadrži 45% Ni ºC: Samo krutina α je prisutna, tako da krutina mora sadržavati 40% Ni. Kada se jedna slitina, kao što je Cu-40%Ni, rastali, a zatim skrutne, za skrućivanje je potrebna nukleacija i rast. Heterogena nukleacija dozvoljava malo ili nikakvo pothlađenje, tako da skrućivanje nastaje kada talina dostigne likvidus temperaturu. Fazni dijagram na slici 1.8., s veznom linijom na solidus krivulji, pokazuje da se prva formira krutina sastava Cu-52%Ni. 7
8 Slika 1.8. Promjena strukture Cu-40%Ni slitine za vrijeme ravnotežnog skrućivanja. Na početku hlađenja, talina sadrži Cu-40%Ni, a prva krutina sadrži Cu-52%Ni. Atomi Ni moraju difundirati i koncentrirati se da bi se krutina formirala. Daljnjim hlađenjem na 1250 ºC, skrućivanje je napredovalo i iz faznog dijagrama je vidljivo da talina sadrži 32% Ni, a krutina 45% Ni. Prilikom hlađenja iz taline do 1250 ºC, neki atomi Ni prije očvrsnu nego nova krutina, reducirajući Ni u prvoj krutini. Dodatni atomi Ni difundiraju iz očvrsnute taline u novu krutinu. U međuvremenu, atomi Cu se sakupljaju (difuzijom) unutar preostale taline. Ovaj proces se mora nastaviti sve dok se ne dostigne solidus temperatura, gdje se preostala talina, koja sadrži Cu-28%Ni, skrućuje i formira krutinu koja sadržava Cu-40%Ni. Na temperaturama ispod solidus linije, kompletna krutina mora sadržavati jednoliku koncentraciju od 40% Ni. 8
9 Vrlo važna vrsta faznog dijagrama kod kojeg se susreće dvofazna krutina je jednostavni eutektički sustav slika 1.9. T a) b) Slika 1.9. Primjer konstrukcije eutektičkog faznog dijagrama. Eutektički dijagram stanja definira stanja sustava slitina kojega čine elementi (komponente A i B) s potpunom topljivošću u rastaljenom stanju, a djelomičnom topljivošću u krutom stanju. Na dijagramu se mogu uočiti karakteristične linije: Likvidus granica je A - E - B, a solidus granica je A - C - E - D - B. Iznad likvidus krivulje jedina faza je talina, T. Što će se dogoditi kada temperatura taline dostigne likvidus liniju, ovisit će o sastavu promatrane slitine. Za konstrukciju ovakvog ravnotežnog dijagrama odredi se niz krivulja hlađenja za različite odnose komponenti A i B (slika 1.5. b)). Očita se temperatura na kojoj dolazi do početka skrućivanja (promjena nagiba na krivulji hlađenja) i temperatura na kojoj dolazi do zastoja (Slika 1.7. T L i T E ) Ove se vrijednosti nanesu na dijagram temperatura sastav. U ovom slučaju na slici 1.5. b) prikazane su krivulje hlađenja slitina sastava X 1, X 2, X E, X 3 i X 4. U jednom dijelu eutektičkog dijagrama prevladava utjecaj komponente A (slitine sastava X 1 i X 2 ) pa se tu stvaraju pretežno kristali mješanci s rešetkom komponente A (α-kristali mješanci), a u drugom dijelu prevladava utjecaj komponente B pa se tu pretežno stvaraju kristali mješanci s rešetkom komponente B (β-kristali mješanci). Granica između ta dva područja je slitina eutektičkog sastava, X E. X E : slitina eutektičkog sastava X < X E : slitine podeutektičkog sastava X > X E : slitine nadeutektičkog sastava 9
10 Promatrane slitine sastava X 1, X 2, X E, X 3 i X 4 kristaliziraju na sljedeći način: Slitina sastava X 1 Slitina sastava X 1 počinje skrućivanje u točki L 1 koja na krivulji hlađenja označuje početak smanjenja brzine hlađenja, a završava u točki S 1 kada je slitina potpuno skrućena. Kristali koji nastaju između točaka L 1 i S 1 imaju rešetku komponente A koja u sebi sadrži i atome komponente B i označeni su s α. Sastav tih kristala mješanaca može se za pojedinu temperaturu očitati na presjecištu izoterme s dijelom solidus crte A - C. Ovi kristali mješanci zovu se alfa-primarni i označuju s α'. Za vrijeme hlađenja od točke L 1 do S 1 stvara se sve više kristala α' sa sve većim sadržajem atoma komponente B. Istodobno se mijenja i sastav preostale taline (po crti A - E), ali joj se smanjuje maseni udio. U svakom trenutku maseni udjeli taline i krute faze α' mogu se izračunati primjenom polužnog pravila. Dok traje ovaj proces, krivulja hlađenja ima usporenje (od točke L 1 do S 1 ). Nakon završetka skrućivanja u točki S 1 slitina X 1 se sastoji samo od kristala mješanaca α' i daljnjim hlađenjem joj se struktura ne mijenja. Slitina sastava X 2 Slitina sastava X 2 je podeutektičkog sastava. Njeno skrućivanje počinje u točki L 2 izlučivanjem iz taline α -kristala mješanca. Daljnjim hlađenjem stvara se sve više α -kristala mješanaca u kojima raste sadržaj atoma komponente B. Maseni udio taline u sustavu se smanjuje, a sastav mijenja (bogatija na B). Kada temperatura padne na T E (eutektička temperatura), α' dostiže granični sastav (točka C). U α -kristale mješance ne može se ugraditi više komponente B. Istodobno, preostala talina poprima sastav X E i ulazi u eutektičku pretvorbu: T α e + β e α e + β e = E U eutektičkoj pretvorbi istodobno se stvaraju kristali mješanci s rešetkom komponente A (alfa-eutektički, α e ) i kristali mješanci s rešetkom komponente B (beta-eutektički, β e ). Zajednički α e i β e čine pseudofazu koja se naziva eutektikum i označuje s E. Termin pseudofaza upotrijebljen je zato jer nije homogena tvorevina (ima kristale različitih rešetaka), a ipak ima neka obilježja faze, npr. granice, prosječnu tvrdoću, prosječni sastav, oblik zrna i slično. Sastavni dijelovi faza i pseudofaza uobičajeno se nazivaju konstituenti. Pritom su vezani oni konstituenti koji su uključeni u pseudofaze, dok su ostali slobodni konstituenti. U nekim sustavima slitine pojedini konstituenti, faze i pseudofaze dobivaju posebna imena. Kristalizacija eutektikuma ima obilježje kristalizacije čistog metala (temperatura stoji) jer je, 10
11 zbog istodobnog stvaranja α i β-kristala, oslobođena količina latentne topline dovoljna za nadoknadu odvedene topline. Nakon završetka eutektičke pretvorbe slitina X 2 je potpuno skrućena i ima strukturu α'+e koju zadržava i na nižim temperaturama. Ova tvrdnja nije sasvim točna jer su time zanemarene promjene strukture koje nastaju uslijed promjena sastava α-kristala mješanaca (crta C - F) i β-kristala mješanaca (crta D - G). Ipak, te promjene su toliko male da ih je opravdano zanemariti. Slična analiza vrijedi za sve podeutektičke slitine, tj. u polju A -C - E njihova se struktura sastoji od slitine i α', a u polju C - E - E' - F od α' i eutektikuma. Slitina eutektičkog sastava X E Slitina eutektičkog sastava ističe se time što ima najniže skrutište (i talište) od svih slitina toga sustava što je važno iz tehnoloških razloga. Naime, za taljenje eutektičke slitine potrebno je najmanje energije. Zato lemovi uglavnom imaju eutektički sastav, kao i sivi lijev, jedan od najzastupljenijih ljevačkih materijala. Kod ove slitine ne pojavljuju se primarni kristali mješanci, nego se skrućivanje sastoji samo od eutektičke kristalizacije na eutektičkoj temperaturi, slično kao kod čistih metala, što je ilustrirano krivuljom hlađenja. Nakon skrućivanja ova slitina sastoji se samo od eutektikuma: E = α e + β e. Slitina sastava X 3 Slitina sastava X 3 započinje skrućivanje u točki L 3 izlučivanjem kristala mješanaca s rešetkom komponente B koji se zovu beta-primarni i označuju s β.za nadeutektičke slitine vrijedi slična analiza kao za podeutektičke, ali umjesto α' sada se pojavljuje β'-kristal mješanac. Dakle, u polju E - D - B bit će prisutni talina i β', a u polju E - D - G - E' bit će prisutni β' i eutektikum. Slitina sastava X 4 Slitina sastava X 4 započinje skrućivanje u točki L 4, a završava skrućivanje kao monofazna (β') i dalje joj se struktura ne mijenja. Shematski prikaz strukturnih stanja u eutektičkom dijagramu stanja prikazan je na slici
12 Slika Shematski prikaz strukturnih stanja u eutektičkom dijagramu stanja. Postupak Cilj vježbe je konstruirati fazni dijagram bizmut kadmij na temelju krivulja hlađenja triju uzoraka slitine Bi-Cd različitog sastava. Na radnom stolu nalaze se tri željezne epruvete u kojima se nalaze uzorci slitine bizmut kadmij različitog sastava. Uzme se prva epruveta i učvrsti se na stativ te zagrijava Bunsenovim plamenikom dok se ne postigne temperatura koja je nešto iznad temperature tališta Cd (T T (Cd) = ºC). Temperatura se mjeri pomoću termoelementa sonde, koju je potrebno postaviti u epruvetu prije samog zagrijavanja. Nakon postignute odgovarajuće temperature, prestane se sa zagrijavanjem i uključi štoperica te se očitava temperatura u intervalima od 30 sekundi do kraja skrućivanja (do temperature oko 115 ºC). Isti postupak ponavlja se i za epruvetu 2 i 3. Sastav slitine u epruvetama dan je u slijedećoj tablici: Epruveta I II III Sastav 20% Cd, 80% Bi 40% Cd, 60% Bi 60% Cd, 40% Bi T T (Bi) = ºC T T (Cd) = ºC 12
13 Zadatak Na temelju dobivenih podataka temperatura vrijeme konstruiraj krivulje hlađenja zadanih slitina. Iz odgovarajućih vrijednosti temperatura, očitanih iz krivulja hlađenja konstruiraj fazni dijagram. Odredi topljivost Bi u Cd kod temperature. ºC. Prikaz rezultata 1. Tablični prikaz mjernih podataka Epruveta 1 Epruveta 2 Epruveta 3 t / min T / ºC t / min T / ºC t / min T / ºC Iz tabličnog prikaza konstruirati krivulje hlađenja kao na slici 1.4. b. 3. Konstruirati fazni dijagram Bi-Cd kao na slijedećoj slici (temperaturu izraziti u ºC). 1 Celzijev stupanj = 33.8 stupnjeva Fahrenheita (1 ο C = 33.8 ο F) T / ºF Talina (jedna faza) kruti Bi + talina (dvije faze) kruti Cd + talina (dvije faze) kruti Bi + kruti Cd (dvije faze) kadmij (maseni %) 13
14 Literatura Lj. Aljinović, Vježbe iz konstrukcijskih materijala i zaštite, Sveučilište u Splitu, Tehnološki fakultet, Split V. Ivušić, M. Franz, Materijali I 2. dio, Autorizirana predavanja 2005./2006., FSB Zagreb. 14
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραMetastabilni Fe-C dijagram stanja
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku STROJARSKI FAKULTET U SLAVONSKOM BRODU Metastabilni Fe-C dijagram stanja Prof. dr. sc. Ivica Kladarić Plan predavanja 1. Uvod - Općenito o kemijskim elementima Fe
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα