MATEMATIKA 2. Gordan Radobolja. 22. rujna PMF. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
|
|
|
- Πιλάτος Αγγελίδου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMATIKA 2 Gordan Radobolja PMF 22. rujna Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
2 Dekompozicija kvadra Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od n zatvorenih segmenata: K = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] R n, [a i, b i ] R, i = 1,..., n. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
3 Dekompozicija kvadra Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od n zatvorenih segmenata: K = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] R n, [a i, b i ] R, i = 1,..., n. { } Neka je D i = x (i) 0, x (i) 1,..., x n (i) jedan rastav segmenta [a i, b i ], tj. a i = x (i) 0 x (i) 1 x (i) 2 x (i) n 1 x (i) n = b i. S D i označimo skup svih rastava segmenta [a i, b i ]. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
4 Dekompozicija kvadra Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od n zatvorenih segmenata: K = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] R n, [a i, b i ] R, i = 1,..., n. { } Neka je D i = x (i) 0, x (i) 1,..., x n (i) jedan rastav segmenta [a i, b i ], tj. a i = x (i) 0 x (i) 1 x (i) 2 x (i) n 1 x (i) n = b i. S D i označimo skup svih rastava segmenta [a i, b i ]. Kartezijev produkt D = D 1 D 2 D n, gdje je D i D i, zove se rastav (dekompozicija) kvadra K. Skup svih rastava kvadra K označit ćemo s D. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
5 Integralne sume Definicija Neka je f : K R omeđena funkcija, tj. postoje m, M R takvi da je m f (x 1, x 2,..., x n ) M, (x 1, x 2,..., x n ) K. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
6 Integralne sume Definicija Neka je f : K R omeđena funkcija, tj. postoje m, M R takvi da je m f (x 1, x 2,..., x n ) M, (x 1, x 2,..., x n ) K. Svakom rastavu D D kvadra K možemo pridružiti gornju integralnu sumu = k 1 i 1 =1 k 2 i 2 =1 k n i n =1 g (f, D) = ( M i1,i 2,...,i n x (1) i 1 x (1) i 1 1 ) ( x (2) i 2 x (2) i 2 1 ) ( ) x (n) i n x (n) i n 1, gdje je { [ ]} M i1,i 2,...,i n = sup f (x 1, x 2,..., x n ) : x k x (k) i k 1, x (k) i k, Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
7 Integralne sume Definicija Analogno definiramo donju integralnu sumu = k 1 i 1 =1 k 2 i 2 =1 k n i n =1 d (f, D) = ( m i1,i 2,...,i n x (1) i 1 x (1) i 1 1 ) ( x (2) i 2 x (2) i 2 1 ) ( ) x (n) i n x (n) i n 1, gdje je m i1,i 2,...,i n = inf { [ ]} f (x 1, x 2,..., x n ) : x k x (k) i k 1, x (k) i k, Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
8 Višestruki integral Definicija Ako je inf {g (f, D) : D D} = sup {d (f, D) : D D} = I, onda se broj I naziva određeni (višestruki, n-terostruki) integral funkcije f na kvadru K. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
9 Višestruki integral Definicija Ako je inf {g (f, D) : D D} = sup {d (f, D) : D D} = I, onda se broj I naziva određeni (višestruki, n-terostruki) integral funkcije f na kvadru K. Tada kažemo da je f integrabilna na K i pišemo I = f (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2 dx n = = K K f (x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2 dx n Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
10 Višestruki integral Izračunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s f (x, y) = 3 x 4 y 3. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
11 Višestruki integral Izračunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s f (x, y) = 3 x 4 y 3. Primjetimo da se radi o dijelu ravnine z = x 1 3 y koji se nalazi iznad kvadra (pravokutnika) K = [0, 4] [0, 3]. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
12 Višestruki integral Izračunajmo dvostruki integral funkcije f : [0, 4] [0, 3] R definiranu s f (x, y) = 3 x 4 y 3. Primjetimo da se radi o dijelu ravnine z = x 1 3 y koji se nalazi iznad kvadra (pravokutnika) K = [0, 4] [0, 3]. Vrhovi tog prostornog pravokutnika su točke (0, 0, 3), (4, 0, 1), (0, 3, 2) i (4, 3, 0). Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
13 Višestruki integral Na slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
14 Višestruki integral Na slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova: segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na šest dijelova. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
![Višestruki integral Na slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova: segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na šest dijelova.](/docs-images/84/89845067/images/15-0.jpg "Na svakom dijelu [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] funkcija očito postǐze maksimum u prednjem lijevom, a minimum u stražnjem desnom uglu: Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22.")
15 Višestruki integral Na slici se vidi jedan rastav kvadra (pravokutnika) na 48 dijelova: segment [0, 4] je rastavljen na osam, a segment [0, 3] na šest dijelova. Na svakom dijelu [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] funkcija očito postǐze maksimum u prednjem lijevom, a minimum u stražnjem desnom uglu: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
16 Višestruki integral M i,j = max (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i 1, y j 1 ) = 3 x i 1 4 y j 1 3, m i,j = min (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i, y j ) = 3 x i 4 y j 3. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
17 Višestruki integral M i,j = max (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i 1, y j 1 ) = 3 x i 1 4 y j 1 3, m i,j = min (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i, y j ) = 3 x i 4 y j 3. Uz oznake x i = x i x i 1 i y i = y i y i 1, donja suma je jednaka ( d (f, D) = f (x i, y i ) x i y j = 3 x i i j i j 4 y ) j x i y j = 3 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
18 Višestruki integral M i,j = max (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i 1, y j 1 ) = 3 x i 1 4 y j 1 3, m i,j = min (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i, y j ) = 3 x i 4 y j 3. Uz oznake x i = x i x i 1 i y i = y i y i 1, donja suma je jednaka ( d (f, D) = f (x i, y i ) x i y j = 3 x i i j i j 4 y ) j x i y j = 3 = 3 i x i y j 1 j 4 j y j x i x i 1 i 3 i x i y j y j = j Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
19 Višestruki integral M i,j = max (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i 1, y j 1 ) = 3 x i 1 4 y j 1 3, m i,j = min (x,y ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] f (x, y) = f (x i, y j ) = 3 x i 4 y j 3. Uz oznake x i = x i x i 1 i y i = y i y i 1, donja suma je jednaka ( d (f, D) = f (x i, y i ) x i y j = 3 x i i j i j 4 y ) j x i y j = 3 = 3 i x i y j 1 j 4 j y j x i x i 1 i 3 i x i y j y j = j = i x i x i 4 3 j y j y j. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
20 Višestruki integral Prelaskom na limes kada x i 0 i y j 0 i korištenjem definicije određenog integrala funkcije jedne varijable imamo sup d (f, D) = lim x i 0 y j 0 d (f, D) = x dx y dy = 24. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
21 Višestruki integral Prelaskom na limes kada x i 0 i y j 0 i korištenjem definicije određenog integrala funkcije jedne varijable imamo sup d (f, D) = Slično se pokaže da je lim x i 0 y j 0 d (f, D) = inf g (f, D) = lim x i 0 y j x dx 4 3 g (f, D) = y dy = 24. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
22 Višestruki integral Prelaskom na limes kada x i 0 i y j 0 i korištenjem definicije određenog integrala funkcije jedne varijable imamo sup d (f, D) = Slično se pokaže da je lim x i 0 y j 0 d (f, D) = inf g (f, D) = lim x i 0 y j x dx 4 3 g (f, D) = 24 pa je f integrabilna na kvadru K i vrijedi ( 3 x 4 y ) dx dy = K 3 0 y dy = 24. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
23 Integral nad neravnim područjem integracije Definicija Neka je f : D R, D R n omeđena funkcija i neka je D sadržano u nekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proširenje funkcije f : { f (x1,..., x g (x 1,..., x n ) = n ), (x 1,..., x n ) D, 0, (x 1,..., x n ) K \ D. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
24 Integral nad neravnim područjem integracije Definicija Neka je f : D R, D R n omeđena funkcija i neka je D sadržano u nekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proširenje funkcije f : { f (x1,..., x g (x 1,..., x n ) = n ), (x 1,..., x n ) D, 0, (x 1,..., x n ) K \ D. Ako je g integrabilna na K, onda integral funkcije f na D definiramo kao f (x 1,..., x n ) dx 1 dx n = g (x 1,..., x n ) dx 1 dx n. D K Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
25 Integral nad neravnim područjem integracije Definicija Neka je f : D R, D R n omeđena funkcija i neka je D sadržano u nekom kvadru. Funkciju g : K R definiramo kao proširenje funkcije f : { f (x1,..., x g (x 1,..., x n ) = n ), (x 1,..., x n ) D, 0, (x 1,..., x n ) K \ D. Ako je g integrabilna na K, onda integral funkcije f na D definiramo kao f (x 1,..., x n ) dx 1 dx n = g (x 1,..., x n ) dx 1 dx n. D Skup D je područje integracije. K Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
26 Svojstva višestrukog integrala Ako su f i g integrabilne na području D vrijedi: linearnost, odnosno (αf + βg) dx 1 dx n = α D D f dx 1 dx n +β D g dx 1 dx n, gdje su α, β R i Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
27 Svojstva višestrukog integrala Ako su f i g integrabilne na području D vrijedi: linearnost, odnosno (αf + βg) dx 1 dx n = α D D f dx 1 dx n +β D g dx 1 dx n, gdje su α, β R i integriranje po dijelovima područja integracije, odnosno f dx 1 dx n = f dx 1 dx n + f dx 1 dx n, D D 1 D 2 gdje je D = D 1 D 2 i D 1 D 2 =. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
28 Dvostruki integral nad kvadrom Dvostruki integral računamo uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala pomoću Newton-Leibnitzove formule: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
29 Dvostruki integral nad kvadrom Dvostruki integral računamo uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala pomoću Newton-Leibnitzove formule: Teorem (Fubini) Neka je f : K R neprekidna funkcija definirana na pravokutniku K = [a, b] [c, d]. Tada je d b b d f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. K c a a c Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
30 Dvostruki integral nad kvadrom Dvostruki integral računamo uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala pomoću Newton-Leibnitzove formule: Teorem (Fubini) Neka je f : K R neprekidna funkcija definirana na pravokutniku K = [a, b] [c, d]. Tada je d b b d f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. K c a Dokaz se temelji na činjenici da kod dvostrukih suma možemo zamijeniti poredak zbrajanja m n i=1 j=1 a ij = Detalje dokaza izostavljamo. ( m n ) a ij = i=1 j=1 a ( n m ) a ij = j=1 i=1 c n j=1 m i=1 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70 a ij.
31 Dvostruki integral nad kvadrom Ako je K = [a, b] [c, d], izračunajmo I = xy 2 dx dy. K Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
32 Dvostruki integral nad kvadrom Ako je K = [a, b] [c, d], izračunajmo Prema teoremu je I = b a d c xy 2 dy dx = = 1 ( d 3 c 3) x b a I = xy 2 dx dy. = 1 6 K b a [ x y 3 3 ] d dx = c b ( d 3 c 3) ( b 2 a 2). a ( d 3 x 3 c3 3 ) dx = Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
33 Dvostruki integral nad kvadrom Isti rezultat dobije se i računajući I = d b c a xy 2 dx dy. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
34 Dvostruki integral nad kvadrom Isti rezultat dobije se i računajući Napomena I = d c b a xy 2 dx dy. Iz prethodnog primjera vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim po drugoj varijabli, pri čemu rezultat ne ovisi o redosljedu integriranja. Slično vrijedi i kada područje integracije nije pravokutnik, kao i kod integrala viših dimenzija. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
35 Dvostruki integral nad kvadrom Napomena Integral iz prethodnog primjera je integral sa separiranim varijablama, odnosno može se rastaviti na produkt dva jednostruka integrala što općenito nije slučaj: b a d c xy 2 dy dx = b a d x dx c y 2 dy. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
36 Dvostruki integral nad neravnim područjem Ako je područje integracije zadano dvama neprekidnim funkcijama, D = {(x, y) : a x b, g (x) y h (x)}, onda je D f (x, y) dx dy = b a h(x ) g (x ) f (x, y) dy dx. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
37 Dvostruki integral nad neravnim područjem Ako je područje integracije zadano dvama neprekidnim funkcijama, onda je D = {(x, y) : a x b, g (x) y h (x)}, D f (x, y) dx dy = b a h(x ) g (x ) f (x, y) dy dx. Naravno, uloge varijabli x i y mogu biti zamijenjene. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
38 Dvostruki integral nad neravnim područjem Izračunajmo integral I = omeđeno krivuljama y = x 2 i y = x 4. D ( x + y 2 ) dx dy, pri čemu je D područje Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
39 Dvostruki integral nad neravnim područjem Izračunajmo integral I = D ( x + y 2 ) dx dy, pri čemu je D područje omeđeno krivuljama y = x 2 i y = x 4. Za određivanje granica integracije potrebno je skicirati područje D: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
40 Dvostruki integral nad neravnim područjem Izračunajmo integral I = D ( x + y 2 ) dx dy, pri čemu je D područje omeđeno krivuljama y = x 2 i y = x 4. Za određivanje granica integracije potrebno je skicirati područje D: Vidimo da je D = { (x, y) : 1 x 1, x 4 y x 2}. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
41 Dvostruki integral nad neravnim područjem Dakle I = = x 2 x 4 = ( x + y 2 ) dy dx = (x 3 + x 6 6 x 5 x ) dx = [xy + y 3 3 ] x 2 x dx = [ x x 7 42 x 6 6 x 13 ] 1 = 39 1 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
42 Dvostruki integral nad neravnim područjem Dakle I = = x 2 x 4 = ( x + y 2 ) dy dx = (x 3 + x 6 6 x 5 x ) dx = [xy + y 3 3 ] x 2 x dx = [ x x 7 42 x 6 6 x 13 ] 1 = 39 1 No možemo i zamijeniti redoslijed pa integrirati prvo po varijabli x. U tom slučaju je potrebno područje D rastaviti na uniju dva disjunktna područja: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
43 Dvostruki integral nad neravnim područjem Stavimo D 1 = {(x, y) : 0 y 1, 4 y x y}, D 2 = {(x, y) : 0 y 1, y x 4 y} Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
44 Dvostruki integral nad neravnim područjem Stavimo pa je I = 1 0 y 4 y D 1 = {(x, y) : 0 y 1, 4 y x y}, D 2 = {(x, y) : 0 y 1, y x 4 y} ( x + y 2 ) dx dy y ( x + y 2 ) dx dy = = y Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
45 Volumen i površina Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R 2, neprekidna i nenegativna te neka je područje D omeđeno s po djelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
46 Volumen i površina Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R 2, neprekidna i nenegativna te neka je područje D omeđeno s po djelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom. Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenu tijela Ω koje je omeđeno bazom D (u xy-ravnini) i plohom z = f (x, y) V (Ω) = f (x, y) dx dy = zdp. D D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
47 Volumen i površina Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R 2, neprekidna i nenegativna te neka je područje D omeđeno s po djelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom. Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenu tijela Ω koje je omeđeno bazom D (u xy-ravnini) i plohom z = f (x, y) V (Ω) = f (x, y) dx dy = zdp. D Izraz dp = dx dy označava element površine, odnosno površinu pravokutnika sa stranicama dx i dy. D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
48 Volumen i površina Neka je podintegralna funkcija f : D R, D R 2, neprekidna i nenegativna te neka je područje D omeđeno s po djelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom. Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenu tijela Ω koje je omeđeno bazom D (u xy-ravnini) i plohom z = f (x, y) V (Ω) = f (x, y) dx dy = zdp. D Izraz dp = dx dy označava element površine, odnosno površinu pravokutnika sa stranicama dx i dy. Za z = f (x, y) = 1 dvostruki integral daje površinu područja D P (D) = V (Ω) = dp. D D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
49 Volumen i površina Izračunajmo obujam tijela omeđenog plohom z = x 2 + y 2 i ravninama z = 0, y = x, y = 3x, y = 2 x, y = 4 x. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
50 Volumen i površina Izračunajmo obujam tijela omeđenog plohom z = x 2 + y 2 i ravninama z = 0, y = x, y = 3x, y = 2 x, y = 4 x. Zadana ploha je kružni paraboloid sa središtem u ishodištu. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
51 Volumen i površina Izračunajmo obujam tijela omeđenog plohom z = x 2 + y 2 i ravninama z = 0, y = x, y = 3x, y = 2 x, y = 4 x. Zadana ploha je kružni paraboloid sa središtem u ishodištu. Područje integracije u xy-ravnini je omeđeno s četiri pravca: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
52 Volumen i površina Nakon što odredimo točke presjeka zadanih pravaca, područje integracije ćemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
53 Volumen i površina Nakon što odredimo točke presjeka zadanih pravaca, područje integracije ćemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo V = x 2 x ( x 2 + y 2) 2 dy dx x x ( x 2 + y 2) dy dx. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
54 Volumen i površina Nakon što odredimo točke presjeka zadanih pravaca, područje integracije ćemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo V = x 2 x ( x 2 + y 2) 2 dy dx x x ( x 2 + y 2) dy dx. Alternativno, možemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x: 3 2 y ( x 2 + y 2) 2 dx dy + y ( x 2 + y 2) 3 dx dy + 4 y ( x 2 + y 2) dx dy. 1 2 y 3 2 y 3 2 y 3 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
55 Volumen i površina Nakon što odredimo točke presjeka zadanih pravaca, područje integracije ćemo rastaviti na dva dijela, pravcem x = 1. Sada imamo V = x 2 x ( x 2 + y 2) 2 dy dx x x ( x 2 + y 2) dy dx. Alternativno, možemo D rastaviti na tri dijela i integrirati prvo po x: 3 2 y ( x 2 + y 2) 2 dx dy + y ( x 2 + y 2) 3 dx dy + 4 y ( x 2 + y 2) dx dy. 1 2 y 3 2 y 3 2 y 3 Na oba načina se dobije rezultat V = Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
56 Volumen i površina Volumen tijela Ω omeđenog plohama z = f (x, y) i z = g (x, y) pri čemu je f, g : D R, g (x, y) f (x, y) (x, y) D, se računa po formuli V (Ω) = D (f (x, y) g (x, y)) dx dy. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
57 Volumen i površina Volumen tijela Ω omeđenog plohama z = f (x, y) i z = g (x, y) pri čemu je f, g : D R, g (x, y) f (x, y) (x, y) D, se računa po formuli V (Ω) = D (f (x, y) g (x, y)) dx dy. To je prirodno poopćenje formule za računanje površine ravninskih likova pomoću jednostrukog integrala. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
58 Polarne koordinate Neka je podrčuje D R 2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kao D = {(r, ϕ) : ϕ 1 ϕ ϕ 2, r 1 (ϕ) r r 2 (ϕ)}, gdje su r 1, r 2 : [ϕ 1, ϕ 2 ] R neprekidne funkcije. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
59 Polarne koordinate Neka je podrčuje D R 2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kao D = {(r, ϕ) : ϕ 1 ϕ ϕ 2, r 1 (ϕ) r r 2 (ϕ)}, gdje su r 1, r 2 : [ϕ 1, ϕ 2 ] R neprekidne funkcije. Tada za računanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
60 Polarne koordinate Neka je podrčuje D R 2 zadano u polarnom koordinatnom sustavu kao D = {(r, ϕ) : ϕ 1 ϕ ϕ 2, r 1 (ϕ) r r 2 (ϕ)}, gdje su r 1, r 2 : [ϕ 1, ϕ 2 ] R neprekidne funkcije. Tada za računanje dvostrukog integrala koristimo supstituciju x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Element površine u polarnim kordinatama: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
61 Polarne koordinate Formula za površinu kružnog isječka daje dp = 1 2 (r + dr)2 dϕ 1 2 r 2 dϕ = 1 2 = r dr dϕ (dr)2 dϕ r dr dϕ, ( r 2 + 2r dr + (dr) 2 r 2) dϕ pri čemu izraz 1 2 (dr)2 dϕ možemo zanemariti jer teži k nuli brže od izraza r dr dϕ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
62 Polarne koordinate Formula za površinu kružnog isječka daje dp = 1 2 (r + dr)2 dϕ 1 2 r 2 dϕ = 1 2 = r dr dϕ (dr)2 dϕ r dr dϕ, ( r 2 + 2r dr + (dr) 2 r 2) dϕ pri čemu izraz 1 2 (dr)2 dϕ možemo zanemariti jer teži k nuli brže od izraza r dr dϕ. Prema tome, vrijedi D f (x, y) dx dy = ϕ 2 ϕ 1 r 2 (ϕ) r 1 (ϕ) f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
63 Polarne koordinate Formula za površinu kružnog isječka daje dp = 1 2 (r + dr)2 dϕ 1 2 r 2 dϕ = 1 2 = r dr dϕ (dr)2 dϕ r dr dϕ, ( r 2 + 2r dr + (dr) 2 r 2) dϕ pri čemu izraz 1 2 (dr)2 dϕ možemo zanemariti jer teži k nuli brže od izraza r dr dϕ. Prema tome, vrijedi D f (x, y) dx dy = ϕ 2 ϕ 1 r 2 (ϕ) r 1 (ϕ) f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ. U polarnim koordinatama se integrira prvo po r pa onda po ϕ! Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
64 Polarne kordinate Ako je D polukrug u prvom kvadrantu omeđen kružnicom ( ) x y 2 = 1 4 i osi x, izračunajte 1 x 2 y 2 dx dy. D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
65 Polarne kordinate Ako je D polukrug u prvom kvadrantu omeđen kružnicom ( ) x y 2 = 1 4 i osi x, izračunajte 1 x 2 y 2 dx dy. D Radi se o volumenu tijela što ga iz polukugle z = 1 x 2 y 2 izreže cilindar s bazom D. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
66 Polarne koordinate Uvrštavanjem supstitucije u jednadžbu zadane kružnice dobijemo ( r cos ϕ 1 ) 2 + (r sin ϕ) 2 = 1 2 4, Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
67 Polarne koordinate Uvrštavanjem supstitucije u jednadžbu zadane kružnice dobijemo ( r cos ϕ 1 ) 2 + (r sin ϕ) 2 = 1 2 4, odnosno r (r cos ϕ) = 0 pa jednadžba zadane kružnice u polarnim koordinatama glasi r = cos ϕ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
68 Polarne koordinate Uvrštavanjem supstitucije u jednadžbu zadane kružnice dobijemo odnosno ( r cos ϕ 1 ) 2 + (r sin ϕ) 2 = 1 2 4, r (r cos ϕ) = 0 pa jednadžba zadane kružnice u polarnim koordinatama glasi Dakle, područje D je opisano s D = { (r, ϕ) : ϕ r = cos ϕ. [ 0, π ] }, r [0, cos ϕ] 2 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
69 Polarne koordinate Dakle, imamo I = π 2 0 cos ϕ 0 1 r 2 r dr dϕ = { 1 r 2 = t 2r dr = dt r 0 cos ϕ t 1 sin 2 ϕ } Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
70 Polarne koordinate Dakle, imamo I = π 2 0 cos ϕ 0 1 r 2 r dr dϕ = { 1 r 2 = t 2r dr = dt r 0 cos ϕ t 1 sin 2 ϕ } = 1 2 π 2 0 sin 2 ϕ 1 t dt dϕ = 1 3 π 2 0 t 3 2 sin2 ϕ 1 dϕ = {sin ϕ > 0} Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
71 Polarne koordinate Dakle, imamo I = π 2 0 cos ϕ 0 1 r 2 r dr dϕ = { 1 r 2 = t 2r dr = dt r 0 cos ϕ t 1 sin 2 ϕ } = 1 2 π 2 0 sin 2 ϕ 1 t dt dϕ = 1 3 π 2 0 t 3 2 sin2 ϕ 1 dϕ = {sin ϕ > 0} = 1 3 π 2 0 ( sin 3 ϕ 1 ) dϕ = 1 3 ϕ π π 2 0 ( 1 cos 2 ϕ ) sin ϕ dϕ Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
72 Polarne koordinate Dakle, imamo I = π 2 0 cos ϕ 0 1 r 2 r dr dϕ = { 1 r 2 = t 2r dr = dt r 0 cos ϕ t 1 sin 2 ϕ } = 1 2 π 2 0 sin 2 ϕ 1 t dt dϕ = 1 3 π 2 0 t 3 2 sin2 ϕ 1 dϕ = {sin ϕ > 0} = 1 3 π 2 0 ( sin 3 ϕ 1 ) dϕ = 1 3 ϕ π π 2 0 ( 1 cos 2 ϕ ) sin ϕ dϕ = {cos ϕ = u} = π ( 1 u 2 ) du = π Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
73 Nepravi integral Nepravi integrali funkcija više varijabli se definiraju pomoću limesa, slično kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
74 Nepravi integral Nepravi integrali funkcija više varijabli se definiraju pomoću limesa, slično kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable. Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slični onima koji se javljaju kod proučavanja limesa funkcija više varijabli. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
75 Nepravi integral Nepravi integrali funkcija više varijabli se definiraju pomoću limesa, slično kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable. Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slični onima koji se javljaju kod proučavanja limesa funkcija više varijabli. Ovdje ih nećemo detaljno izučavati, već navodimo samo jedan zanimljivi primjer: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
76 Nepravi integral Nepravi integrali funkcija više varijabli se definiraju pomoću limesa, slično kao i nepravi integrali funkcije jedne varijable. Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slični onima koji se javljaju kod proučavanja limesa funkcija više varijabli. Ovdje ih nećemo detaljno izučavati, već navodimo samo jedan zanimljivi primjer: Izračunajmo I = e x 2 dx. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
77 Nepravi integral Radi se o površini između krivulja y = e x 2 i osi x. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
78 Nepravi integral Radi se o površini između krivulja y = e x 2 i osi x. y x y = e x 2 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
79 Nepravi integral Radi se o površini između krivulja y = e x 2 i osi x. y x y = e x 2 Ovaj integral se koristi u teoriji vjerojatnosti. Vidi link. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
80 Nepravi integral Zbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi r I = 2 e x 2 dx = 2 lim e x 2 dx 2 lim I r. r r 0 0 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
81 Nepravi integral Zbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi r I = 2 e x 2 dx = 2 lim e x 2 dx 2 lim I r. r r 0 Ako lim r I r postoji, onda je 0 ( ) 2 lim I r = lim I 2 r r r Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
82 Nepravi integral Zbog parnosti podintegralne funkcije i prelaska na limes vrijedi r I = 2 e x 2 dx = 2 lim e x 2 dx 2 lim I r. r r 0 Ako lim r I r postoji, onda je 0 ( ) 2 lim I r = lim I 2 r r r pa je I = 2 lim r I 2 r. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
83 Nepravi integral Vrijedi r Ir 2 = I r I r = D 0 r e x 2 dx 0 e (x 2 +y 2 ) dx dy. e y 2 dy = r r 0 0 e (x 2 +y 2 ) dx dy gdje je područje integracije D kvadrat stranice r u prvom kvadrantu. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
84 Nepravi integral Vrijedi r Ir 2 = I r I r = D 0 r e x 2 dx 0 e (x 2 +y 2 ) dx dy. e y 2 dy = r r 0 0 e (x 2 +y 2 ) dx dy gdje je područje integracije D kvadrat stranice r u prvom kvadrantu. Neka je K r četvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je upisana kvadratu D, a K 2r četvrtina kruga u prvom kvadrantu koja je opisana kvadratu D. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
85 Nepravi integral Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
86 Nepravi integral Kako je e (x 2 +y 2 ) > 0 i Kr D K 2r, vrijedi e (x 2+y 2 ) dx dy I 2 r K r e (x 2 +y 2 ) dx dy. K 2r Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
87 Nepravi integral U polarnim koordinatama vrijedi K r e (x 2+y 2 ) dx dy = π 2 r 0 0 e t2 t dt dϕ (koristimo polarne koordinate (t, ϕ) jer r već označava duljinu stranice kvadrata i javlja se u granicama integracije). Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
88 Nepravi integral U polarnim koordinatama vrijedi K r e (x 2+y 2 ) dx dy = π 2 r 0 0 e t2 t dt dϕ (koristimo polarne koordinate (t, ϕ) jer r već označava duljinu stranice kvadrata i javlja se u granicama integracije). Uz supstituciju t 2 = u vrijedi e t2 t dt = 1 2 e u du = 1 2 e u = 1 2 e t2. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
89 Nepravi integral Dakle, K r e (x 2+y 2 ) dx dy = π 2 ( 12 e t2 ) r 0 = π 4 ( ) e r pa vrijedi K r e (x 2+y 2 ) dx dy π 4 kada r. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
90 Nepravi integral Dakle, K r e (x 2+y 2 ) dx dy = π 2 ( 12 e t2 ) r 0 = π 4 ( ) e r pa vrijedi K r e (x 2+y 2 ) dx dy π 4 kada r. Slično vrijedi i e (x 2 +y 2 ) π ( ) dx dy = e 2r π 4 4 K 2r kada r. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
91 Nepravi integral Sada relacija e (x 2+y 2 ) dx dy I 2 r K r K 2r e (x 2 +y 2 ) dx dy i Teorem o ukliještenoj funkciji povlače lim I 2 r r = π 4 pa je I = π. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
92 Trostruki integral nad kvadrom Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R 3 se računa slično kao i dvostruki. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
93 Trostruki integral nad kvadrom Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R 3 se računa slično kao i dvostruki. Ako je područje integracije kvadar D = [a, b] [c, d] [e, g], onda je D f (x, y, z) dx dy dz = b a d g c e f (x, y, z) dz dy dx Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
94 Trostruki integral nad kvadrom Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R 3 se računa slično kao i dvostruki. Ako je područje integracije kvadar D = [a, b] [c, d] [e, g], onda je D f (x, y, z) dx dy dz = b a d g c e f (x, y, z) dz dy dx Pri tome je dv = dx dy dz element volumena. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
95 Trostruki integral nad kvadrom Trostruki integral neprekidne funkcije f : D R, D R 3 se računa slično kao i dvostruki. Ako je područje integracije kvadar D = [a, b] [c, d] [e, g], onda je D f (x, y, z) dx dy dz = b a d g c e f (x, y, z) dz dy dx Pri tome je dv = dx dy dz element volumena. Kao i kod dvostrukog integrala, mogući su razni redosljedi integriranja. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
96 Trostruki integral nad neravnim Ako je područje D određeno relacijama a x b h 1 (x) y h 2 (x) g 1 (x, y) z g 2 (x, y) Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
97 Trostruki integral nad neravnim Ako je područje D određeno relacijama a x b h 1 (x) y h 2 (x) g 1 (x, y) z g 2 (x, y) onda je D f (x, y, z) dv = b a h 2 (x ) h 1 (x ) g 2 (x,y ) g 1 (x,y ) f (x, y, z) dz dy dx. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
98 Primjene trostrukog integrala Tipične primjene trostrukog integrala su sljedeće: ako je f (x, y, z) gustoća tijela koje zaprema područje D u točki T = (x, y, z), onda je trostruki integral f (x, y, z) dv jednak masi tog dijela; D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
99 Primjene trostrukog integrala Tipične primjene trostrukog integrala su sljedeće: ako je f (x, y, z) gustoća tijela koje zaprema područje D u točki T = (x, y, z), onda je trostruki integral f (x, y, z) dv jednak masi tog dijela; ako je f (x, y, z) = 1, onda trostruki integral daje volumen područja D V (D) = dv = D b a h 2 (x ) D g 2 (x,y ) h 1 (x ) g 1 (x,y ) dz dy dx. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
100 Primjene trostrukog integrala Tipične primjene trostrukog integrala su sljedeće: ako je f (x, y, z) gustoća tijela koje zaprema područje D u točki T = (x, y, z), onda je trostruki integral f (x, y, z) dv jednak masi tog dijela; ako je f (x, y, z) = 1, onda trostruki integral daje volumen područja D V (D) = dv = D b a h 2 (x ) D g 2 (x,y ) h 1 (x ) g 1 (x,y ) dz dy dx. Naime, integriranjem po z dobijemo ranije navedenu formulu b a h 2 (x ) h 1 (x ) (g 2 (x, y) g 1 (x, y)) dy dx za izračunavanje volumena preko dvostrukog integrala. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
101 Trostruki integral Odredite volumen tijela omeđenog plohama z = x 2 + y 2 i z = x 2 + y 2. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
102 Trostruki integral Odredite volumen tijela omeđenog plohama z = x 2 + y 2 i z = x 2 + y 2. Radi se o volumenu područja između paraboloida i stošca. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
103 Trostruki integral Odredite volumen tijela omeđenog plohama z = x 2 + y 2 i z = x 2 + y 2. Radi se o volumenu područja između paraboloida i stošca. Presjek područja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
104 Trostruki integral Odredite volumen tijela omeđenog plohama z = x 2 + y 2 i z = x 2 + y 2. Radi se o volumenu područja između paraboloida i stošca. Presjek područja D s ravninom y = 0 je prikazan na slici: Za postavljanje integrala trebamo opisati područje D. Nađimo presjek zadanih ploha izjednačavajući jednadžbe po z: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
105 Trostruki integral Jednadžba x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ima rješenja x = y = 0 i x 2 + y 2 = 1, odnosno x 2 + y 2 = 1. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
106 Trostruki integral Jednadžba x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ima rješenja x = y = 0 i x 2 + y 2 = 1, odnosno x 2 + y 2 = 1. Prvo rješenje je ishodište (u kojem se plohe očito sijeku). Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
107 Trostruki integral Jednadžba x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ima rješenja x = y = 0 i x 2 + y 2 = 1, odnosno x 2 + y 2 = 1. Prvo rješenje je ishodište (u kojem se plohe očito sijeku). Iz drugog rješenja vidimo da se plohe još sijeku u jediničnoj središnjoj kružnici u ravnini z = 1. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
108 Trostruki integral Jednadžba x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ima rješenja x = y = 0 i x 2 + y 2 = 1, odnosno x 2 + y 2 = 1. Prvo rješenje je ishodište (u kojem se plohe očito sijeku). Iz drugog rješenja vidimo da se plohe još sijeku u jediničnoj središnjoj kružnici u ravnini z = 1. Stoga imamo V = 1 1 x x 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 dz dy dx. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
109 Trostruki integral Jednadžba x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ima rješenja x = y = 0 i x 2 + y 2 = 1, odnosno x 2 + y 2 = 1. Prvo rješenje je ishodište (u kojem se plohe očito sijeku). Iz drugog rješenja vidimo da se plohe još sijeku u jediničnoj središnjoj kružnici u ravnini z = 1. Stoga imamo V = 1 1 x x 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 dz dy dx. Integral ćemo riješiti prelaskom na cilindrične koordinate. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
110 Cilindrične koordinate Cilindrični koordinatni sustav, tj. cilindrične koordinate su zadane transformacijama x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, pri čemu je r 0 i ϕ [0, 2π] ili ϕ [ π, π]. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
111 Cilindrične koordinate Cilindrični koordinatni sustav, tj. cilindrične koordinate su zadane transformacijama x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, pri čemu je r 0 i ϕ [0, 2π] ili ϕ [ π, π]. Dakle, element volumena jednak je umnošku površine baze i visine, s time što se površina baze računa u polarnim koordinatama: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
112 Cilindrične koordinate Dakle, dv = r dr dϕ dz Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
113 Cilindrične koordinate Dakle, pa je D dv = r dr dϕ dz f (x, y, z) dv = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕ dz. D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
114 Cilindrične koordinate Izračunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindrične koordinate: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
115 Cilindrične koordinate Izračunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindrične koordinate: 1 1 x 2 x 2 +y 2 2π 1 r V = dz dy dx = dz r dr dϕ = 1 1 x 2 x 2 +y r 2 Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
116 Cilindrične koordinate Izračunajmo volumen iz prethodnog primjera prelaskom na cilindrične koordinate: 1 1 x 2 x 2 +y 2 2π 1 r V = dz dy dx = dz r dr dϕ = 1 1 x 2 x 2 +y r 2 = ϕ 2π (z r r 2) r dr = 2π 0 ( r 2 r 3) dr = π 6. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
117 Sferne koordinate Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate su zadane transformacijama x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, pri čemu je r 0, a obično se odabere θ [0, π] i ϕ [ π, π]. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
118 Sferne koordinate Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate su zadane transformacijama x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, pri čemu je r 0, a obično se odabere θ [0, π] i ϕ [ π, π]. Uz oznaku ρ = r sin θ možemo pisati x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = r cos θ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
119 Sferne koordinate Sferni kordinatni sustav: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
120 Sferne koordinate Sferni kordinatni sustav: Za prelazak iz kartezijevog u sferni sustav, koristimo relacije tg ϕ = y x, θ = arccos z x 2 + y 2 + z 2, r = x 2 + y 2 + z 2. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
121 Sferne koordinate Jedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je često u upotrebi su zemljopisne karte. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
122 Sferne koordinate Jedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je često u upotrebi su zemljopisne karte. Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina, Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
123 Sferne koordinate Jedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je često u upotrebi su zemljopisne karte. Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina, kut ϕ je zemljopisna dužina koja se mjeri istočno i zapadno od Greenwicha, što odgovara odabiru ϕ [ π, π] Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
124 Sferne koordinate Jedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je često u upotrebi su zemljopisne karte. Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina, kut ϕ je zemljopisna dužina koja se mjeri istočno i zapadno od Greenwicha, što odgovara odabiru ϕ [ π, π] kut θ je zemljopisna širina koja se mjeri sjeverno i južno od ekvatora, što odgovara odabiru θ [ π 2, π ] 2. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
125 Sferne koordinate Jedna verzija sfernog koordinatnog sustava koji je često u upotrebi su zemljopisne karte. Udaljenost r se prikazuje kao nadmorska visina, kut ϕ je zemljopisna dužina koja se mjeri istočno i zapadno od Greenwicha, što odgovara odabiru ϕ [ π, π] kut θ je zemljopisna širina koja se mjeri sjeverno i južno od ekvatora, što odgovara odabiru θ [ π 2, π ] 2. Odabir θ [0, π] je matematički povoljniji jer je tada sin θ 0. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
126 Sferne koordinate Za računanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate, potrebno je izračunati element volumena dv. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
127 Sferne koordinate Za računanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate, potrebno je izračunati element volumena dv. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
128 Sferne koordinate Za računanje trostrukog integrala prelaskom na sferne koordinate, potrebno je izračunati element volumena dv. Vidimo da je dv ab dr, pri čemu je a = r sin θ dϕ, b = r dθ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
129 Sferne koordinate Dakle, dv r 2 sin θ dθ dr dϕ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
130 Sferne koordinate Dakle, dv r 2 sin θ dθ dr dϕ. Točan izraz za dv sadrži joši druge članove, no oni teže k nuli brže nego glavni izraz pa ih izostavljamo. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
131 Sferne koordinate Dakle, dv r 2 sin θ dθ dr dϕ. Točan izraz za dv sadrži joši druge članove, no oni teže k nuli brže nego glavni izraz pa ih izostavljamo. Dakle, u sfernim koordinatama vrijedi f (x, y, z) dv = D D = f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r 2 sin θ dθ dr dϕ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
132 Sferne koordinate Volumen kugle radijusa R jednak je V = 1 dv = π π R r 2 sin θ dθ dr dϕ = = K π π π dϕ 0 π 0 R sin θ dθ 0 0 r 2 dr = ϕ π π ( cos θ) π 0 r 3 3 R 0 = = 4 3 R3 π. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
133 Zamjena varijabli Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindrične ili sferne koordinate su primjeri zamjene varijabli. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
134 Zamjena varijabli Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindrične ili sferne koordinate su primjeri zamjene varijabli. Kod svake takve zamjene potrebno je uzeti u obzir diferencijal, odnosno element površine / volumena. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
135 Zamjena varijabli Prelasci iz Kartezijevih u polarne, cilindrične ili sferne koordinate su primjeri zamjene varijabli. Kod svake takve zamjene potrebno je uzeti u obzir diferencijal, odnosno element površine / volumena. Bez dokaza navodimo teorem o zamjeni varijabli za trostruki integral. Analogni rezultati vrijede i u drugim dimenzijama. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
136 Zamjena varijabli Teorem (o zamjeni varijabli) Neka je zadan integral I = f (x, y, z) dx dy dz, D R 3 D i neka je funkcija f neprekidna i integrabilna na skupu D. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
137 Zamjena varijabli Teorem (o zamjeni varijabli) Neka je zadan integral I = f (x, y, z) dx dy dz, D R 3 D i neka je funkcija f neprekidna i integrabilna na skupu D. Neka je D R 3 i neka su α, β, γ : D R diferencijabilne funkcije za koje je preslikavanje p : D D definirano s bijekcija. p (u, v, w) = (α (u, v, w), β (u, v, w), γ (u, v, w)) Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
138 Zamjena varijabli Teorem (o zamjeni varijabli) Ako je Jakobijan ( Jacobijeva matrica) α α α u v w β β β J (u, v, w) = u v w = 0, (u, v, w) D, γ u γ v γ w Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
139 Zamjena varijabli Teorem (o zamjeni varijabli) Ako je Jakobijan ( Jacobijeva matrica) α α α u v w β β β J (u, v, w) = u v w = 0, (u, v, w) D, γ onda je = u D γ v γ w f (x, y, z) dx dy dz = D f (α (u, v, w), β (u, v, w), γ (u, v, w)) J du dv dw. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
140 Zamjena varijabli Teorem (o zamjeni varijabli) Ako je Jakobijan ( Jacobijeva matrica) α α α u v w β β β J (u, v, w) = u v w = 0, (u, v, w) D, γ onda je = u D γ v γ w f (x, y, z) dx dy dz = D f (α (u, v, w), β (u, v, w), γ (u, v, w)) J du dv dw. x, y i z mogu biti varijable u bilo kojem sustavu (ne nužno Kartezijevom). Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
141 Zamjena varijabli Kod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav možemo uzeti u = r, α (r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, v = θ, β (r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ, w = ϕ, γ (r, θ, ϕ) = r cos θ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
142 Zamjena varijabli Kod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav možemo uzeti u = r, α (r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, v = θ, β (r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ, w = ϕ, γ (r, θ, ϕ) = r cos θ. Nadalje, ako je D = R 3, onda je D = [0, ) [0, π] [ π, π]. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
143 Zamjena varijabli Kod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav možemo uzeti u = r, α (r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, v = θ, β (r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ, w = ϕ, γ (r, θ, ϕ) = r cos θ. Nadalje, ako je D = R 3, onda je D = [0, ) [0, π] [ π, π]. Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje bijekcija. p : D D, p (r, θ, ϕ) = (x, y, z) Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
144 Zamjena varijabli Kod prelaska iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav možemo uzeti u = r, α (r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, v = θ, β (r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ, w = ϕ, γ (r, θ, ϕ) = r cos θ. Nadalje, ako je D = R 3, onda je D = [0, ) [0, π] [ π, π]. Iz definicije sfernih koordinata vidimo da je preslikavanje p : D D, p (r, θ, ϕ) = (x, y, z) bijekcija. Funkcije α, β, γ su diferencijabilne, a Jakobijan je: Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
145 Zamjena varijabli J = α r β r γ r α θ β θ γ θ α ϕ β ϕ γ ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ 0 = r 2 sin θ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
146 Zamjena varijabli J = α r β r γ r α θ β θ γ θ α ϕ β ϕ γ ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ 0 = r 2 sin θ. Zbog uvjeta θ [0, π] imamo sin θ 0 pa je J = r 2 sin θ = r 2 sin θ. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
147 Zamjena varijabli J = α r β r γ r α θ β θ γ θ α ϕ β ϕ γ ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ 0 = r 2 sin θ. Zbog uvjeta θ [0, π] imamo sin θ 0 pa je J = r 2 sin θ = r 2 sin θ. Zadatak Izvedite Jakobijan za cilindrične koordinate. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
148 Zamjena varijabli Za n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako što zanemarimo treću varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
149 Zamjena varijabli Za n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako što zanemarimo treću varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda. Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi x = r cos ϕ α (r, ϕ), y = r sin ϕ β (r, ϕ). Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
150 Zamjena varijabli Za n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako što zanemarimo treću varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda. Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi x = r cos ϕ α (r, ϕ), y = r sin ϕ β (r, ϕ). Stoga je J = α r β r α ϕ β ϕ = cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ = r Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
151 Zamjena varijabli Za n = 2 Teorem o zamjeni varijabli primjenjujemo tako što zanemarimo treću varijablu pa Jakobijan postaje determinanta materice drugog reda. Npr. za prelazak iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi x = r cos ϕ α (r, ϕ), y = r sin ϕ β (r, ϕ). Stoga je J = α r β r α ϕ β ϕ pa zbog r 0 imamo J = r. = cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ = r Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
152 Momenti i težišta Promotrimo ravnu ploču P gustoće ρ (x, y) koja zauzima područje D R 2. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
153 Momenti i težišta Promotrimo ravnu ploču P gustoće ρ (x, y) koja zauzima područje D R 2. Podijelimo ploču na male pravokutnike P ij površine P = x y. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
154 Momenti i težišta Promotrimo ravnu ploču P gustoće ρ (x, y) koja zauzima područje D R 2. Podijelimo ploču na male pravokutnike P ij površine P = x y. Označimo središte pravokutnika P ij s ( x i, y j ). Masa mij tada je približno jednaka m ij ρ ( x i, y j ) P. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
155 Momenti i težišta Promotrimo ravnu ploču P gustoće ρ (x, y) koja zauzima područje D R 2. Podijelimo ploču na male pravokutnike P ij površine P = x y. Označimo središte pravokutnika P ij s ( x i, y j ). Masa mij tada je približno jednaka m ij ρ ( x i, y j ) P. Momenti oko osi x i osi y su približno jednaki [M x ] ij m ij y ij = [ ρ ( x i, y j ) P ] y ij, [M y ] ij m ij x ij = [ ρ ( x i, y j ) P ] x ij. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
156 Momenti i težišta Sumirajući po svim i i j te prelaskom na limes kada P teži k nuli dobijemo m = lim m ij = ρ (x, y) dp, P 0 i,j D M x = lim [M x ] ij = yρ (x, y) dp, P 0 i,j D M y = lim [M y ] P 0 ij = xρ (x, y) dp, i,j pri čemu su m, M x i M y redom masa ploče P, moment ploče P oko osi x i moment ploče P oko osi y. D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
157 Momenti i težišta Sumirajući po svim i i j te prelaskom na limes kada P teži k nuli dobijemo m = lim m ij = ρ (x, y) dp, P 0 i,j D M x = lim [M x ] ij = yρ (x, y) dp, P 0 i,j D M y = lim [M y ] P 0 ij = xρ (x, y) dp, i,j pri čemu su m, M x i M y redom masa ploče P, moment ploče P oko osi x i moment ploče P oko osi y. Koordinate težišta ploče P su jednake D x = M y m, y = M x m. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
158 Momenti i težišta Odredite težište polukružne ploče čija je gustoća jednaka udaljenosti od središta kruga. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
159 Momenti i težišta Odredite težište polukružne ploče čija je gustoća jednaka udaljenosti od središta kruga. Ako središte kruga smjestimo u ishodište, jednadžba kruga glasi x 2 + y 2 = a 2 pa je gustoća ploče u točki (x, y) dana formulom ρ (x, y) = x 2 + y 2. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
160 Momenti i težišta Odredite težište polukružne ploče čija je gustoća jednaka udaljenosti od središta kruga. Ako središte kruga smjestimo u ishodište, jednadžba kruga glasi x 2 + y 2 = a 2 pa je gustoća ploče u točki (x, y) dana formulom ρ (x, y) = x 2 + y 2. Prelaskom na polarne kordinate imamo m = D ρ (x, y) dp = D x 2 + y 2 dp = π a 0 0 r r dr dϕ = 1 3 πa3. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
161 Momenti i težišta Kako su ploča i funkcija gustoće simetrične s obzirom na os y težište se nalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
162 Momenti i težišta Kako su ploča i funkcija gustoće simetrične s obzirom na os y težište se nalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0. y = 1 m D yρ (x, y) dp = 3 πa 3 π a 0 0 r sin ϕ r r dr dϕ = 3a 2π. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
163 Momenti i težišta Kako su ploča i funkcija gustoće simetrične s obzirom na os y težište se nalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0. y = 1 m D yρ (x, y) dp = 3 πa 3 π a 0 0 r sin ϕ r r dr dϕ = 3a 2π. Dakle, težište se nalazi u točki T = ( 0, 3a 2π ). Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
164 Momenti i težišta Kako su ploča i funkcija gustoće simetrične s obzirom na os y težište se nalazi na y-osi, odnosno vrijedi x = 0. y = 1 m D yρ (x, y) dp = 3 πa 3 π a 0 0 r sin ϕ r r dr dϕ = 3a 2π. Dakle, težište se nalazi u točki T = ( 0, 3a 2π ). Zadatak Nađite težište trokutaste ploče s vrhovima (0, 0), (2, 0) i (0, 1) i funkcijom gustoće ρ (x, y) = 1 + 2x + y. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
165 Moment inercije Moment inercije ili moment drugog reda čestice mase m oko osi x definiran je kao md 3 pri čemu je d udaljenost čestice od osi. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
166 Moment inercije Moment inercije ili moment drugog reda čestice mase m oko osi x definiran je kao md 3 pri čemu je d udaljenost čestice od osi. Kao i prije podijelimo ploču na pravokutnike, zbrojimo momente inercije oko osi x svih pravokutnika te pređemo na limes kada površine pravokutnika teže u nulu. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
167 Moment inercije Moment inercije ili moment drugog reda čestice mase m oko osi x definiran je kao md 3 pri čemu je d udaljenost čestice od osi. Kao i prije podijelimo ploču na pravokutnike, zbrojimo momente inercije oko osi x svih pravokutnika te pređemo na limes kada površine pravokutnika teže u nulu. Na ovaj način dobijemo moment inercije ploče P oko osi x: I x = y 2 ρ (x, y) dp. D Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
6. Redovi potencija. a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) a n (z z 0 ) n +, (6.0.1)
REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine
, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
8 Tangencijalna ravnina plohe
8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
ZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1