Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
|
|
- Περσεφόνη Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44
2 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija) za funkciju f ako vrijedi F (x) = f (x). Neodredeni integral je skup primitivnih funkcija: f (x) dx = F (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta. 2 / 44
3 Primjer Odredite skup funkcija čija je derivacija: a) y =, b) y = 2x, c) y = e x, d) y = sin x. Rješenje a) y(x) = x + C, b) y(x) = x 2 + C, c) y(x) = e x + C, d) y(x) = cos x + C, tj. dx = x + C, 2x dx = x 2 + C, e x dx = e x + C, sin x dx = cos x + C. 3 / 44
4 Zadatak Dokažite da je funkcija F primitivna funkcija za funkciju f, ako je: F (x) = x 2 a 2 + x 2 + a2 2 ln(x + a 2 + x 2 ) + C, f (x) = a 2 + x 2. Zadatak Nadite funkciju čija je derivacija y = cos x, ako je za x = π 2 vrijednost funkcije 0. Zadatak Odredite primitivnu funkciju za funkciju f (x) = 2x + koja ima vrijednost za x = 0. 4 / 44
5 Tablica osnovnih integrala x a dx = x a+ + C; a ; a + 0 dx = C dx = x + C x dx = ln x + C, x 0 a x dx = ax ln a + C e x dx = e x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx cos 2 x = tg x + C dx sin 2 x = ctg x + C dx x 2 + a 2 = a arctg x a + C, a 0 dx a 2 x = arcsin x 2 a + C, a > 0 5 / 44
6 Pravila integriranja Iz definicije neodredenog integrala lako se dokazuju sljedeća svojstva: f (x)dx = f (x). d dx 2. d[f (x)] = f (x) dx = f (x) + C 3. Af (x) dx = A f (x) dx, gdje je A konstanta različita od nule 4. [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx 6 / 44
7 Neposredna integracija Zadatak Koristeći tablicu osnovnih integrala i pravila integriranja izračunajte neodredene integrale: a) (2x + e x 5 cos 2 x ) dx, b) ( 3 x + 2x 5 x 3 x ) dx, c) (6x + x x ) dx, d) ( x + + ) dx, x 2 +x 2 e) ( x + 3 x + n x) dx, f) x x x dx, 7 / 44
8 Odredeni integral Newton-Leibnizova formula (veza izmedu odredenog i neodredenog integrala ) Ako je f (x) dx = F (x) + C, onda je b a f (x) dx = F (x) b a = F (b) F (a). 8 / 44
9 Zadatak Pomoću Newton-Leibnizove formule izračunajte odredene integrale: a) c) e) 2 /2 0 x(x + ) dx, b) ln 2 x dx, d) dx, f) 4 x e x dx, +x 2 dx, ( x x ) dx, g) 2 x dx, h) 3π 4 0 cos x dx, 9 / 44
10 Metoda supstitucije Ako u integralu f (x)dx uvedemo supstituciju x = g(t), dx = g (t)dt, dobivamo: f (x)dx = f (g(t))g (t)dt = H(t) + C = H(g (x)) + C. g je inverzna funkcija funkcije g. 0 / 44
11 Primjer Ako je f (x)dx = F (x) + C, dokažite da je f (ax + b)dx = af (ax + b) + C. Supstitucija: ax + b = t, adx = dt, dx = a dt. f (ax + b)dx = f (t)dt = a a F (t) + C = F (ax + b) + C. a Zadatak Koristeći rezultat prethodnog primjera i tablicu elementarnih integrala izračunajte integrale: a) (7x + )dx b) (2x 3) 20 dx c) 2x dx d) dx 3x+4 e) e 5x dx f ) 2 x+ dx g) sin(4x 3)dx h) cos(2 + 5x)dx i) sin 2 (3x 5) dx / 44
12 Primjer Dokažite da je f (x) f (x) dx = ln f (x) + C. Supstitucija: t = f (x), dt = f (x)dx. Dakle, f (x) f (x) dx = dt = ln t + C = ln f (x) + C. t Zadatak Koristeći rezultat prethodnog primjera izračunajte integrale: a) 2x 5 x 2 5x+7 dx b) tg xdx c) cos x +sin x dx d) e x +e x dx e) x +x 2 dx f ) dx x(+ln x) 2 / 44
13 Supstitucija i odredeni integral Odredeni integral dva načina: b f (x)dx metodom supstitucije možemo izračunati na a I. Supstitucijom x = g(t) izračunamo neodredeni integral f (x)dx = F (x) + C i primijenimo Newton-Leibnizovu formulu: b a f (x)dx = F (b) F (a) II. Pri supstituciji x = g(t) ne moramo se vraćati na varijablu x ako odredimo granice c i d za varijablu t: b a gdje je a = g(c) i b = g(d). f (x)dx = d c f (g(t))g (t)dt, 3 / 44
14 Primjer Izračunajte integral: 4 e x x dx. Rješenje Supstitucijom t = x izračunamo e x x dx = 2e x + C. Primijenimo Newton-Leibnizovu formulu: 4 e x x = 2e x 4 = 2e(e ). Pokažimo da se nismo morali vraćati na varijablu x, jer ako je x =, onda je t =, a ako je x = 4, onda je t = 2, pa je 4 e x 2 dx = 2 x e t dt = 2e t 2 = 2e(e ) 4 / 44
15 Zadatak Izračunajte integrale: a) π 4 0 sin 2xdx b) 9 x d) x dx e) e g) ln x x dx 2 2 h) π 0 (2x 3) 20 dx c) xdx f ) cos 2 x 3 0 dx i) 0 2x dx e 2x +e 2x dx 4 x 2 dx 5 / 44
16 Metoda parcijalne integracije Metoda se sastoji od povoljnog rastava zadanog integrala u obliku: f (x)dx = u(x) dv(x) = u(x) v(x) v(x)du(x); b a f (x)dx = b Kraći zapis: udv = uv vdu. a b u(x) dv(x) = u(x) v(x) b a a v(x)du(x) 6 / 44
17 Zadatak Izračunajte integrale: a) e ln x dx, b) ln x dx Zadatak Izračunajte integrale: a) arcsin x dx b) (2x + ) ln x dx c) x 2 e x dx d) x sin(2x 5) dx e) (x ) cos 3x dx f ) e x sin x dx g) 0 ln(x + ) dx h) 0 xe x dx i) 0 arctg x dx 7 / 44
18 Integrali nekih jednostavnijih racionalnih funkcija Primjer Izračunajte: dx. x 2 a 2 Rješenje Podintegralna funkcija se prikaže pomoću parcijalnih razlomaka: x 2 a 2 = A x a + B x + a. Pomnožimo prethodnu jednakost s (x 2 a 2 ). Dobit ćemo A(x + a) + B(x a), za svaki x. Za x = a dobivamo A = 2a, a za x = a dobivamo B = 2a. x 2 a 2 dx = ( 2a dx x a ) dx x + a = 2a ln x a x + a + C 8 / 44
19 Zadatak Izračunajte integrale: (a) 2x+ x dx (b) x 2 x 2 dx (c) x 3 + x 2 +5 dx (d) 2x x 2 +4 dx (e) x 2 4 dx (f ) 2x x 2 4x+3 dx (g) 3x x 2 4x+8 dx (h) (x+) 2 x 3 x dx (i) x+2 x 2 2x+ dx 9 / 44
20 Integrali nekih jednostavnijih trigonometrijskih funkcija Za integrale trigonometrijskih funkcija koristimo identite: sin 2 x = cos 2x, cos 2 x = 2 + cos 2x, sin x cos x = sin2x 2 2 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α β)], 2 sin α sin β = [cos(α β) cos(α + β)], 2 cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α β)] / 44
21 Osim toga, koristimo i tzv. opću supstituciju za R(sin x, cos x) dx, pri čemu je R(x, y) = P(x,y) Q(x,y), a P(x, y) i Q(x, y) su polinomi u dvije varijable. Supstitucijom tg x 2 = t dobiva se : sin x = 2t t2 2dt, cos x =, x = 2 arctg x, dx = + t2 + t2 + t 2. Integral R(sin x, cos x) dx svodi se na R (t)dt, gdje je R (t) racionalna funkcija u varijabli t. 2 / 44
22 Primjer Izračunajte 4 sin x+3 cos x+5 dx. Rješenje Pomoću opće supstitucije tg x 2 dobiva se: = t i sredivanjem podintegralne funkcije 4 sin x + 3 cos x + 5 dx = dt (t + 2) 2 = t C = tg x C 22 / 44
23 Zadatak Izračunajte integrale: () sin 2 3x dx (2) cos 4 x dx (3) sin 2 x cos 2 x dx (4) (5) sin x (7) π 3 0 dx (6) sin 2x cos 3x dx, (8) 2π 0 π 2 0 π 6 0 sin 3x cos 4x dx sin x cos 7 x dx, sin 2x cos 2 x dx 23 / 44
24 Integrali nekih iracionalnih funkcija Integrali koji se (odredenom supstitucijom) svode na jedan od integrala oblika: f (x, x 2 ± a 2 ) dx ili f (x, a 2 ± x 2 ) dx 24 / 44
25 Zadatak Izračunajte za a > 0: (a) a 2 x 2 dx (b) a 2 x 2 dx (c) x 2 ±a 2 dx Rješenje Integrale (a) i (b) možemo izračunati supstitucijom: x = a sin t, dx = a cos t dt, t = arcsin x a, a 2 x 2 = a cos t. (a) dx = a dt = t + C = arcsin x 2 x 2 a + C a (b) 2 x 2 dx = a 2 cos 2 t dt = a2 2 ( + cos2t) dt = a2 2 (arcsin x a + x a 2 a 2 x 2 ) + C 25 / 44
26 Rješenje (c) Supstitucija: x + x 2 ± a 2 = t, x 2 ±a 2 dx = t dt x 2 ± a 2 dx = t dt = ln t + C = ln x + x 2 ± a 2 + C 26 / 44
27 Nepravi integral Nepravi integral je integral kod kojeg područje integracije ima barem jednu beskonačnu granicu, ili kada funkcija unutar područja integracije nije omedena (na primjer, ima vertikalnu asimptotu). Neprave integrale računamo pomoću limesa. Ako je nepravi integral konačan, kažemo da konvergira, u protivnom divergira. 27 / 44
28 Integrali s beskonačnim granicama Primjer Ispitajte konvergenciju integrala : (a) x dx, s R; (b) a x dx, a > 0, a. s Rješenje (a) za s dx = lim x s b = lim b b x s x s dx = lim b s b b s. s Za s > integral konvergira jer je lim b b s = 0, pa je x = s s. 28 / 44
29 Rješenje Za s integral divergira jer je lim b b s =. Za s = integral divergira jer je x dx = lim ln x b b = lim [ln b ln ] = 0 =. b (b) a x dx = lim c c a x dx = lim c = ln a lim (a c ac ). a x ln a c Za a > integral konvergira jer je lim c ac = 0, pa je Za a < integral divergira jer je lim c ac =. a x dx = a. 29 / 44
30 Integrali neograničene funkcije Primjer 0 Izračunajte: 2 3 (+x) 2 dx Rješenje 0 3 ( + x) 2 2 dx = lim ε 0 + lim ε 2 0 dx ( + x) 2 3 δ 0 +δ dx ( + x) 2 3 = 3[ lim 3 + x ε ε lim 3 + x 0 +δ ] δ 0 = 3[ lim( 3 ε 3 ) + lim ( 3 3 δ)] ε 0 δ 0 = 6 30 / 44
31 Zadaci Zadatak Izračunajte: (a) + x 2 dx (b) 0 3 x dx (c) + x 2 dx Zadatak Izračunajte: (a) 0 3 x dx; (b) 2 x dx 3 / 44
32 Primjene odredenog integrala. Površina krivolinijskog trapeza omedenog dijelom krivulje funkcije y = f (x), f (x) 0, i pravcima x = a, x = b, izražena je odredenim integralom: P = b a f (x)dx. Ako je na intervalu (a, b) funkcija f (x) negativna, tj. f (x) < 0, onda je površina krivolinijskog trapeza predstavljena integralom: P = b a f (x) dx. 32 / 44
33 Površina krivolinijskog trapeza Ako je lik kojemu želimo izračunati površinu omeden dijelovima krivulja y = f (x) i y = f 2 (x) tj. S = {(x, y) R 2 : a x b, f (x) y f 2 (x)}, onda je površina skupa S: P(S) = b a (f 2 (x) f (x))dx. 33 / 44
34 Površina krivolinijskog trapeza Ako je lik kojemu želimo izračunati površinu omeden dijelovima krivulja x = g (y) i x = g 2 (y) tj. S = {(x, y) R 2 : c y d, g (y) x g 2 (y)}, onda je površina skupa S: P(S) = d c (g 2 (y) g (y))dy. 34 / 44
35 Površina krivolinijskog trapeza Zadatak Izračunajte i grafički prikažite površinu lika omedenog sa: a) y = 2x x 2, y = 0; b) y = e x, y = e x, x = ; c) y = ln x, x = e, y = 0. Rješenje a) P = 2 0 (2x x 2 )dx = (x 2 x3 3 ) 2 0 = / 44
36 Površina krivolinijskog trapeza Rješenje b) P = 0 (e x e x )dx = (e x + e x ) 0 = e 2 + e e c) P = ln xdx = x(ln x ) e = / 44
37 Površina krivolinijskog trapeza Zadatak Izračunajte i grafički prikažite površinu lika omedenog sa: a) y = 3 2x x 2, y = 0; b) y = x 2, y = 2 x 2 ; c) y = x 2 + 4x, y = x + 4; d) 4y = x 2, y = 4x; e) y = x 2, y = 2; f) y = sin x, y = cos x, x = 0, x = π 2 ; g) y = arcsin x, y = π 4, x =, x = 0; h) y = arctg x, y = 0, x = 0, x =. 37 / 44
38 Duljina luka krivulje (rektifikacija) Duljina luka krivulje y = f (x), x [a, b] je: s = b a b + (y (x)) 2 dx = Duljina luka krivulje x = g(y), y [c, d] je: s = d c d + (x (y)) 2 dy = a c + [f (x)] 2 dx. + [g (y)] 2 dy. 38 / 44
39 Duljina luka krivulje (rektifikacija) Zadatak Pomoću integrala izračunajte opseg kružnice polumjera r = 3. Rješenje Jednažba kružnice je : x 2 + y 2 = 9, te je y = x y, (y ) 2 = x2, tj. 9 x O = 4 + x2 dx = 2 9 x 2 dx = 2 arcsin x 3 9 x = 6π / 44
40 Duljina luka krivulje (rektifikacija) Zadatak Izračunajte duljinu luka krivulje y = ln(sin x), x [ π 3, 2π 3 ]. Rješenje y = cos x sin x + (y ) 2 = sin 2 x, tj. l = 2π 3 Zadatak Izračunajte duljinu luka krivulje: (a) y = x x, x [0, 5] π 3 sin x dx = ln tg x 2 2π 3 π 3 = ln 3. (b) x = 4 y 2 2 ln y, y [, e] 40 / 44
41 Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Rotacija oko osi apscisa (osi x): Ako skup S = {(x, y) R 2 : a x b, 0 y f (x)}, f je neprekidna funkcija, rotira oko osi apscisa dobivamo tijelo čiji je volumen: b V x = π a y 2 (x) dx = π b a [f (x)] 2 dx. 4 / 44
42 Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Rotacija oko osi ordinata (osi y): Ako skup S = {(x, y) R 2 : c y d, 0 x g(y)}, g je neprekidna funkcija, rotira oko osi ordinata dobivamo tijelo čiji je volumen: d V y = π c x 2 (y) dy = π d c [g(y)] 2 dy. Ako skup S = {(x, y) R 2 : 0 a x b, 0 y f (x)}, f je neprekidna funkcija, rotira oko osi ordinata dobivamo tijelo čiji je volumen: b V y = 2π a b x y dx = 2π a x f (x)dx. 42 / 44
43 Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Zadatak Odredite volumen tijela koje nastaje rotacijom elipse x2 4 + y 2 = (a) oko osi x, (b) oko osi y. Rješenje (a) V x = π (b) V y = π 2 2 y 2 dx = π x 2 dy = π 2 2 ( x2 4 )dx = π(x x ) 2 2 = = 8π 3. 4( y 2 )dy = 4π(y y 3 3 ) = = 6π / 44
44 Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Zadatak Pomoću integrala izračunajte volumen rotacijskog tijela nastalog rotacijom skupa sa slike: (a) oko osi x, (b) oko osi y. Zadatak Odredite volumen rotacijskog tijela nastalog rotacijom krivulje y = e x od x = 0 oko osi x. 44 / 44
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka.
Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević MATEMATIKA Zbirka zadataka http://www.fesb.hr/mat Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA seminari. smjer: Nutricionizam
MATEMATIKA seminari smjer: Nutricionizam Sadržaj Realne funkcije realne varijable 4 Granična vrijednost funkcije jedne varijable. a ±............................... Granična vrijednost i neprekidnost.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Ivan Slapničar. Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
Ivan Slapničar MATEMATIKA 2 http://www.fesb.unist.hr/mat2 Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak 27. Sadržaj Popis slika Predgovor xv xvii. NEODREDENI INTEGRAL.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Poglavlje Integral. Neodreženi integral Neka je zadana funkcija f : (a, b) R: Funkcija F : (a, b) R za koju je F () = f() za svaki (a, b) naziva se
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma
INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem
Integrali. Pojam neodre denog integrala Uvod u površinski problem Iako većina razmišlja o integralu isključivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog računa sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραRADNA VERZIJA. Matematika 2. Zbirka zadataka. Ivan Slapničar. Josipa Barić. w w w. f e s b. h r / m a t 2. Split, 2012.
S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević Matematika RADNA VERZIJA Zbirka zadataka w
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραQETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa A. x 2, g : x. 1 (x 2 + y 2 dx dy. QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa B. ln x (x 1) 3/2.
1. Izraqunati QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, 1995. x arctan x 1 + x dx. Grupa A. Izraqunati povrxinu koju ograniqavaju pozitivan deo x - ose i grafici funkcija 3. Ako je oblast ograniqena krivama
Διαβάστε περισσότερα6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je
6 Neodreženi integrali 39 6 Neodreženi integrali Funkcija F (x) na intervalu (a, b) R je primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f(x), ako je x (a, b) F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραFARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU. IZVEDBENI PLAN akademska godina 2012./2013. zimski semestar
Naziv kolegija: Matematika sa statističkom analizom Naziv studija: Studij farmacije i medicinske biokemije Godina i semestar studija: Prva, zimski semestar FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραNeodred eni integrali
Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za
Διαβάστε περισσότεραRedovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότεραNositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1
Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Gordan Radobolja. 22. rujna PMF. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
MATEMATIKA 2 Gordan Radobolja PMF 22. rujna 2013. Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 1 / 70 Dekompozicija kvadra Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od n zatvorenih
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότερα