ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙO 5 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε διάφορες μορφές ελέγχου της υπόθεσης ότι ένα δείγμα παρατηρήσεων προέρχεται από κάποια συγκεκριμένη κατανομή. Στην περίπτωση που έχουμε δύο ανεξάρτητα δείγματα παρατηρήσεων, ενδέχεται να ενδιαφερόμαστε να ξέρουμε εάν κάθε ένα από αυτά μπορεί εύλογα να υποτεθεί ότι προέρχεται από την ίδια άγνωστη κατανομή. Παρόμοια είναι και η περίπτωση δύο δειγμάτων τα οποία προέρχονται από διαφορετικούς πληθυσμούς. Στην περίπτωση αυτή, ο ερευνητής ενδέχεται να ενδιαφέρεται να προσδιορίσει αν οι δύο συναρτήσεις κατανομής που σχετίζονται με τους δύο πληθυσμούς ταυτίζονται ή όχι. Ελεγχοι, όπως ο έλεγχος της διαμέσου, ο έλεγχος Mann-Whitney ή ο παραμετρικός έλεγχος t ενδέχεται να είναι κατάλληλοι στις περιπτώσεις αυτές. Ομως, οι έλεγχοι αυτοί είναι ευαίσθητοι μόνο σε διαφορές μεταξύ των πληθυσμών οι οποίες αναφέρονται στις μέσες τιμές τους ή στις διαμέσους τους, αλλά δεν έχουν την δυνατότητα να ανιχνεύσουν διαφορές άλλου τύπου, όπως διαφορές στις διασπορές των πληθυσμών. Ενα από τα πλεονεκτήματα των ελέγχων οι οποίοι θα εξετασθούν στο κεφάλαιο αυτό είναι ότι είναι συνεπείς έναντι όλων των τύπων των διαφορών, οι οποίες ενδέχεται να υπάρχουν μεταξύ δύο συναρτήσεων κατανομών: Οι κατανομές μπορεί να έχουν την ίδια μέση τιμή, αλλά διαφορετικές διασπορές, η μία μπορεί να είναι ασύμμετρη και η άλλη συμμετρική ή μπορεί να έχουν ίσες μέσες τιμές και ίσες διασπορές, αλλά η μία να είναι συμμετρική και η άλλη ασύμμετρη κ.ο.κ. 547

2 Ο πρώτος έλεγχος ο οποίος εξετάζεται είναι γνωστός ως έλεγχος Smirnov, που εξετάσθηκε από τον Smirnov το 939. Πρόκειται για μία μορφή ελέγχου Kolmogorov προσαρμοσμένη για την περίπτωση δύο ανεξαρτήτων δειγμάτων και ονομάζεται μερικές φορές έλεγχος Kolmogorov - Smirnov για δύο δείγματα. Αντίστοιχα, ο έλεγχος Kolmogorov ονομάζεται συχνά έλεγχος Kolmogorov-Smirnov βασισμένος σε ένα δείγμα. Ο έλεγχος Smirnov διακρίνεται σε μονόπλευρο και αμφίπλευρο έλεγχο. Για την περίπτωση αμφίπλευρης εναλλακτικής, εξετάζεται και μια άλλη μορφή ελέγχου, ο έλεγχος Cramér-Von Mises για δύο δείγματα. Αν και η ελεγχοσυνάρτηση του ελέγχου αυτού είναι περισσότερο δύσκολο να υπολογισθεί σε σύγκριση με την ελεγχοσυνάρτηση του ελέγχου Smirnov, ο έλεγχος Cramér-Von Mises προτιμάται αρκετά συχνά, κυρίως γιατί φαίνεται ότι κάνει περισσότερο αποτελεσματική χρήση των δεδομένων. Στην πραγματικότητα, όμως, υπάρχει πολύ μικρή διαφορά στην ισχύ των δύο ελέγχων. 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Εστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα,,..., n και,,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (x), x(,+) και F (y), y(,+) είναι οι αντίστοιχες άγνωστες συναρτήσεις κατανομής των τυχαίων μεταβλητών και. Οι υποθέσεις που ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε έχουν μία από τις εξής τρεις μορφές: Α. (Αμφίπλευρη εναλλακτική υπόθεση) Η 0 : F (x) = F (x), για κάθε x(,+) 548

3 Η : F (x) F (x), για τουλάχιστον ένα x(,+). Η εναλλακτική υπόθεση της περίπτωσης αυτής διατυπώνεται συχνά ως εξής: "τα τείνουν να είναι μικρότερα από τα ". Είναι, δηλαδή, η μορφή αυτής της εναλλακτικής υπόθεσης γενικότερη από κάποια εναλλακτική η οποία θα έλεγε ότι τα Χ και διαφέρουν μόνο κατά μία παράμετρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο). Β. (Μονόπλευρη εναλλακτική υπόθεση) Η 0 : F (x) = F (x), για κάθε x(,+) Η : F (x) F (x), για τουλάχιστον ένα x(,+). Γ. (Μονόπλευρη εναλλακτική υπόθεση) Η 0 : F (x) = F (x), για κάθε x(,+) Η : F (x) F (x), για τουλάχιστον ένα x(,+). Η περίπτωση Β είναι κατάλληλη για προβλήματα όπου έχει έννοια να ελέγξουμε αν τα Χ είναι μετατοπισμένα προς τα αριστερά των (αν τα Χ τείνουν να είναι μικρότερα από τα ). Αντίστοιχα, η περίπτωση Γ είναι κατάλληλη για τα προβλήματα στα οποία επιθυμούμε να ελέγξουμε αν τα Χ είναι μετατοπισμένα προς τα δεξιά των (δηλαδή αν τα Χ τείνουν να είναι μεγαλύτερα από τα ). Οπως και στην περίπτωση του ελέγχου Kolmogorov, είναι φυσικό η στατιστική συνάρτηση για τον έλεγχο των παραπάνω υποθέσεων να βασίζεται στις εμπειρικές κατανομές των δύο δειγμάτων παρατηρήσεων. Εστω S (x) η εμπειρική συνάρτηση κατανομής βασισμένη στο τυχαίο δείγμα,,..., n και έστω S (y) η εμπειρική συνάρτηση κατανομής βασισμένη στο δεύτερο τυχαίο δείγμα, 549

4 ,..., m. Η στατιστική συνάρτηση ελέγχου ορίζεται διαφορετικά για κάθε ένα από τα τρία διαφορετικά σύνολα υποθέσεων: Α. (Αμφίπλευρος έλεγχος): Η φυσική επιλογή στατιστικής συνάρτησης είναι η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο εμπειρικών συναρτήσεων κατανομής: T sup S x 550 S x. x Β. (Μονόπλευρος έλεγχος): Ως ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων της μορφής Β, ορίζεται η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση Δηλαδή, που επιτυγχάνεται από την S (x) υπεράνω της S (x). x T sup S S x x Γ. (Μονόπλευρος έλεγχος): Για τον μονόπλευρο έλεγχο της περίπτωσης Γ, η ελεγχοσυνάρτηση ορίζεται ως η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση Δηλαδή, που επιτυγχάνεται από την S (x) υπεράνω της S (x). x Τ sup S S x. x Είναι προφανές ότι και στις τρεις περιπτώσεις εναλλακτικών υποθέσεων, μεγάλες τιμές της ελεγχοσυνάρτησης αποτελούν ένδειξη εναντίον της μηδενικής υπόθεσης. Επομένως, ο κανόνας απόφασης έχει την εξής μορφή: Η μηδενική υπόθεση Η 0 απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν η τιμή της κατάλληλης στατιστικής συνάρτησης ( T, T ή ) υπερβαίνει το ( α)-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της, όπως αυτό δίνεται από τον πίνακα 0 του παραρτήματος, για n=m ή από τον πίνακα, για nm. Προσεγγίσεις των ποσοστιαίων σημείων της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Smirnov δίνονται.

5 στο τέλος του πίνακα για τιμές του μεγέθους του δείγματος που δεν καλύπτονται από αυτόν. Παράδειγμα 5..: Ενα τυχαίο δείγμα μεγέθους 9, Χ, Χ,..., Χ 9 επιλέγεται από ένα πληθυσμό. Ένα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους 5,,,..., 5 επιλέγεται ανεξάρτητα από το πρώτο δείγμα από έναν δεύτερο πληθυσμό. Η μηδενική υπόθεση είναι ότι οι δύο πληθυσμοί έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής. Δηλαδή, αν οι αντίστοιχες συναρτήσεις κατανομής συμβολίζονται με F (x), x(,+) και F (y), y(,+), τότε η μηδενική υπόθεση μπορεί να γραφεί με την μορφή Η 0 : F (x) = F (x), για κάθε x(,+). Η εναλλακτική υπόθεση μπορεί να διατυπωθεί με την μορφή Η : F (x) F (x), για τουλάχιστον μία τιμή του x. Για την ευχερέστερη διεξαγωγή του ελέγχου, τα δύο δείγματα διατάσσονται κατά αύξουσα σειρά μεγέθους, ως εάν αποτελούσαν ένα ενιαίο δείγμα. Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τις τιμές των δύο αυτών δειγμάτων διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά μεγέθους μαζί με τις τιμές της διαφοράς S (x) S (x) των εμπειρικών συναρτήσεων κατανομής. 55

6 i i S (x) S (x) i i S (x) S (x) 5. 0 /5 = / /9 8/5 = / /5 = / /9 8/5 = / /5 = /5 0. 7/9 8/5 = / /5 = 4/ /9 8/5 = 6/ /5 = / /9 9/5 = 3/ /9 5/5 = /9. 9/5 = /5 8. /9 6/5 = 3/45.3 0/5 = /3 8.4 /9 6/5 = 8/45.5 /5 = 4/ /9 6/5 = /5.3 /5 = / /9 6/5 = /45.5 3/5 = /5 9. 4/9 7/5 = / /5 = / /9 7/5 = 4/ = 0 Η κατάλληλη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των παραπάνω υποθέσεων είναι η T sup S x S x. x Από τον παραπάνω πίνακα, προκύπτει ότι η μεγαλύτερη τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ επιτυγχάνεται στην τιμή.. Είναι δηλαδή T sup S x S x S x. S. /

7 Η τιμή 0.4 της στατιστικής συνάρτησης Τ μπορούσε επίσης να προσδιορισθεί γραφικά με την κατασκευή της γραφικής παράστασης των εμπειρικών συναρτήσεων κατανομής των δύο δειγμάτων. Από τα γραφήματα των συναρτήσεων αυτών, εύκολα μπορεί να δει κανείς ότι η διαφορά S (x) S (x) αλλάζει τιμή μόνο στις παρατηρούμενες τιμές των Χ i, i =,,..., 9 ή των i, i =,,...,5. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο αρκεί να υπολογίσουμε την διαφορά S (x) S (x) μόνο στις παρατηρηθείσες τιμές του δείγματος, όπως κάναμε στον παραπάνω πίνακα. Από τον πίνακα του παραρτήματος βλέπουμε ότι το 0.95-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Τ, για τον αμφίπλευρο έλεγχο και για n=9=n και m=5=ν, είναι w 0.95 = 8/5. Για τα δεδομένα του προβλήματός μας, η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι τ = /5 w Επομένως, η μηδενική υπόθεση Η 0 δεν απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Από τον πίνακα, μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι το κρίσιμο επίπεδο αˆ είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από 0.0. Αν, για τα δεδομένα του προβλήματός μας ήταν περισσότερο κατάλληλος ένας μονόπλευρος έλεγχος αντί του αμφίπλευρου που εξετάσαμε, η στατιστική συνάρτηση για την περίπτωση Β των υποθέσεων έχει τιμή T sup [S (x) S (x)] /5 0.4 x Αντίστοιχα, για την περίπτωση Γ των υποθέσεων, η κατάλληλη στατιστική συνάρτηση έχει τιμή 553

8 Τ sup[s (x) S (x)] /3 x Δηλαδή, στην περίπτωση Β, η τιμή της στατιστικής συνάρτησης είναι η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση της S (x) υπεράνω της S (y) και την αναζητούμε μεταξύ των θετικών διαφορών, ενώ στην περίπτωση Γ η τιμή της στατιστικής συνάρτησης είναι η μέγιστη κατακόρυφη απόσταση της S (x) κάτω από την S (y) και την αναζητούμε μεταξύ των αρνητικών διαφορών. Τα κρίσιμα επίπεδα και για τους δύο μονόπλευρους ελέγχους εύκολα διαπιστώνονται ότι είναι μεγαλύτερα από 0.0. Λύση με το MINITAB: To MINITAB δεν δίνει την δυνατότητα διεξαγωγής του ελέγχου Kolmogorov-Smirnov για δύο ανεξάρτητα δείγματα. Είναι όμως δυνατή η διεξαγωγή του με έμμεσο τρόπο. Αυτό γίνεται ως εξής: Σε μία στήλη (έστω a), καταχωρίζουμε και τα δύο δείγματα, ενώ, σε μία άλλη στήλη (έστω d), καταχωρίζουμε μία κωδική μεταβλητή, της οποίας οι τιμές δείχνουν από ποιο δείγμα προέρχεται κάθε παρατήρηση (π.χ. 0 αν η παρατήρηση προέρχεται από το δείγμα τιμών της Χ και αν η παρατήρηση προέρχεται από αυτό της Υ). Στην συνέχεια, διατάσσουμε τις τιμές της στήλης που περιέχει το συνενωμένο δείγμα κατά αύξουσα σειρά μεγέθους. Υπολογίζουμε, για κάθε δείγμα χωριστά, τις τιμές της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και τις αποθηκεύουμε σε μία άλλη μεταβλητή, έστω ra. Στην συνέχεια, ορίζουμε δύο ακόμη μεταβλητές (έστω sx και sy). Σε κάθε κελλί της sx, καταχωρίζουμε την τιμή του αντίστοιχου κελλιού της ra αν αυτό περιέχει παρατήρηση του δείγματος Χ (μας το δείχνει η d) ή την μεγαλύτερη από τις τιμές της ra που είναι πάνω από το συγκεκριμένο κελλί και αντιστοιχούν σε παρατηρήσεις του δείγματος Χ αν το συγκεκριμένο κελλί περιέχει παρατήρηση του δείγματος Υ. Αν δεν 554

9 υπάρχουν παρατηρήσεις του δείγματος Χ πάνω από το εν λόγω κελλί, καταχωρίζουμε την τιμή 0. Με όμοιο τρόπο, εργαζόμαστε και στην περίπτωση της μεταβλητής sy. Μόλις αυτή η διαδικασία ολοκληρωθεί, η sx θα δίνει τις τιμές της S (.) και η sy τις τιμές της S (.) στις τιμές που αντιστοιχούν στις παρατηρήσεις των δειγμάτων. Η κορυφή του παραθύρου δεδομένων δείχνει ως εξής: Τέλος, σε μία άλλη στήλη (έστω ds) καταχωρίζουμε τις τιμές των απόλυτων διαφορών μεταξύ sx και sy. Η μέγιστη τιμή της στήλης αυτής είναι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ. Στο παράδειγμα μας, η τιμή της Τ προκύπτει ίση με 0.4, και δεν υπερβαίνει το 0.95 ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της κάτω από την Η 0, η τιμή του οποίου είναι 8/5. Κατά συνέπεια, τα δύο δείγματα μπορούν να θεωρηθούν ως προερχόμενα από πληθυσμούς με την ίδια κατανομή σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Για να υπολογίσουμε τις τιμές των στατιστικών συναρτήσεων Τ + και Τ -, αρκεί να αναζητήσουμε την ελάχιστη και την μέγιστη των τιμών της ds, αντίστοιχα. 555

10 Λύση με το SPSS: Για την διεξαγωγή του ελέγχου Kolmogorov- Smirnov για δύο ανεξάρτητα δείγματα με το SPSS, τα δεδομένα εισάγονται με την εξής μορφή: σε μία μεταβλητή (έστω x), καταχωρίζουμε και τα δυο δείγματα και, σε μία άλλη (έστω y), καταχωρίζουμε κωδικές τιμές που δείχνουν σε ποιο δείγμα ανήκει η κάθε παρατήρηση (π.χ. 0 για τις τιμές του πρώτου δείγματος και για τις τιμές του δεύτερου). Στην συνέχεια, επιλέγουμε Analyze, Nonparametric Tests, Independent Samples και οδηγούμεθα στο ίδιο πλαίσιο διαλόγου που έχουμε χρησιμοποιήσει και για τον έλεγχο Wilcoxon-Mann-Whitney. Η μόνη διαφορά τώρα είναι ότι, στο πεδίο Test Type, επιλέγουμε Kolmogorov-Smirnov Z. Επειδή τα δείγματα είναι μικρά, επιλέγουμε Exact από το πλαίσιο διαλόγου Exact Tests. Τα αποτελέσματα του ελέγχου είναι: Frequencies N Total 4 Test Statistics a Most Extreme Differences Absolute.400 Positive.333 Negative Kolmogorov-Smirnov Z.949 Asymp. Sig. (-tailed).39 Exact Sig. (-tailed).65 Point Probability.05 a Grouping Variable: Στον πρώτο πίνακα, βλέπουμε πόσες παρατηρήσεις προέρχονται από κάθε δείγμα. Στον δεύτερο, μας δίνονται (στα πεδία Most Extreme + Differences) οι τιμές των συναρτήσεων Τ, Τ και Τ -. Το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας δίνεται μόνο για δίπλευρο έλεγχο. Παρατηρούμε ότι οι τιμές του ακριβούς και του ασυμπτωτικού 556

11 κρίσιμου επιπέδου (Exact Sig. και Asymp. Sig. αντίστοιχα) διαφέρουν (λόγω του μικρού μεγέθους των δειγμάτων). Η σωστή επιλογή είναι η τιμή του ακριβούς κρίσιμου επιπέδου (0.65). Με βάση την τιμή η μηδενική υπόθεση μπορεί να θεωρηθεί εύλογη. Σημειώνεται ότι, για μονόπλευρο έλεγχο, χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε πίνακες αφού το πακέτο δεν δίνει κρίσιμο επίπεδο. Πρέπει όμως να προσέξουμε ποια στατιστική συνάρτηση χρησιμοποιούμε. Θα είναι μία από τις positive και negative του πεδίου Most Extreme Differences. Το SPSS ορίζει το πρόσημό τους με βάση τις διαφορές των τιμών του μικρότερου δείγματος από τις τιμές του μεγαλύτερου δείγματος (Συμβολικά, παρατηρήσεις δείγματος με τις περισσότερες παρατηρήσεις παρατηρήσεις δείγματος με τις λιγότερες). Αν λοιπόν εδώ συμβολίσουμε με Υ το δεύτερο δείγμα (POP=) και με το πρώτο (POP=0), έχουμε positive=sup(s (.)-S (.)) και negative=sup(s (.)-S (.)). Οταν τα δείγματα έχουν το ίδιο μέγεθος, τότε στις παραπάνω διαφορές μειωτέοι είναι οι τιμές του δείγματος του οποίου τον κωδικό έχουμε δηλώσει πρώτο στο πλαίσιο Define Groups. Λύση με το SAS: Η διεξαγωγή του ελέγχου Smirnov γίνεται με την εντολή proc nparway edf; όπως φαίνεται στα παρακάτω. data sample; input x code cards; ; run; proc nparway edf; class code; var x; run; Το αποτέλεσμα που δίνεται είναι: The SAS System N P A R W A P R O C E D U R E 557

12 Kolmogorov-Smirnov Test for Variable Classified by Variable CODE Deviation EDF from Mean CODE N at Maximum at Maximum Maximum Deviation Occurred at Observation 9 Value of at Maximum Kolmogorov-Smirnov -Sample Test (Asymptotic) KS = D = KSa = Prob > KSa = 0.39 Το πακέτο δίνει την επισήμανση ότι η μεγαλύτερη τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ επιτυγχάνεται στην παρατήρηση με αύξοντα αριθμό 9, που αντιστοιχεί στην τιμή.. Η τιμή της ελεγχοσυνάρτησης δίνεται στο πεδίο D= Η ασυμπτωτική τιμή του κρίσιμου επιπέδου υπολογίζεται ίση με Παράδειγμα 5..: Ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι ο πληθυσμός των βιβλίων στατιστικού περιεχομένου στα ράφια της βιβλιοθήκης του Σκωτσέτζου Καθηγητή του παραδείγματος 3.3. διαφέρει από αυτόν των βιβλίων γενικού ενδιαφέροντος ως προς τον αριθμό σελίδων, με βάση τα ανεξάρτητα τυχαία δείγματα των βιβλίων στατιστικής και των 6 βιβλίων γενικού ενδιαφέροντος που επέλεξε. Οι αριθμοί των σελίδων των βιβλίων αυτών που κατεγράφησαν δίνονται, για ευκολία, στον πίνακα που ακολουθεί κατά αύξουσα σειρά τάξης μεγέθους. Αριθμός σελίδων Βιβλία Στατιστικού Περιεχομένου Βιβλία Γενικού Ενδιαφέροντος

13 Με βάση τα στοιχεία του πίνακα αυτού, θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς ότι υπάρχουν ενδείξεις ότι τα δύο τυχαία δείγματα βιβλίων προήλθαν από πληθυσμούς που διαφέρουν ως προς τον αριθμό σελίδων; Λύση: Ακολουθώντας τα ίδια βήματα που ακολουθήσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, κατασκευάζουμε τον πίνακα 5... Από τον πίνακα, προκύπτει ότι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι και παρατηρείται στην τιμή 369 του δείγματος των αριθμών των σελίδων των βιβλίων γενικού ενδιαφέροντος, δηλαδή T sup S x S x S x 369 S Από τον πίνακα του παραρτήματος βλέπουμε ότι το 0.95 ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Τ, για τον αμφίπλευρο έλεγχο και για n==n και m=6=ν, είναι w 0.95 = 3/48 = Επομένως, σε επίπεδο σημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση ταυτοτικής ισότητας των συναρτήσεων κατανομών των αριθμών των σελίδων των δύο πληθυσμών βιβλίων. Πίνακας 5.. Αριθμοί σελίδων βιβλίων γενικού ενδιαφέροντος και στατιστικού περιεχομένου Αριθμός βιβλίων w i Γενικού ενδιαφέροντος Στατιστικής S (w i ) S (w i ) S (w i ) S (w i )

14 Λύση με το MINITAB: Εργαζόμενοι όπως στο παράδειγμα για την διεξαγωγή του ελέγχου Kolmogorov-Smirnov για δύο δείγματα, προκύπτει ότι η τιμή της ελεγχοσυνάρτησης Τ είναι ίση με και δεν υπερβαίνει την τιμή του 0.95 ποσοστιαίου σημείου της κατανομής Τ, το οποίο είναι ίσο με

15 Λύση με το SPSS: Εργαζόμενοι όπως στο παράδειγμα, για την διεξαγωγή του ελέγχου Kolmogorov-Smirnov για δύο ανεξάρτητα δείγματα, οδηγούμεθα στα εξής αποτελέσματα: Frequencies N 0 6 Total 8 Test Statistics a Most Extreme Differences Absolute.438 Positive.438 Negative Kolmogorov-Smirnov Z.46 Asymp. Sig. (-tailed).45 Exact Sig. (-tailed).3 Point Probability.09 a Grouping Variable: Και εδώ, χρησιμοποιούμε την τιμή του ακριβούς επιπέδου σημαντικότητας (0.3) και συμπεραίνουμε ότι η Η 0 μπορεί να θεωρηθεί εύλογη στα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας. Λύση με το SAS: Εργαζόμενοι όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, πληκτρολογούμε τις εντολές: data books; input x code cards; ; run; proc nparway edf; class code; var x; run; Τα αποτελέσματα περιέχονται στον εξής πίνακα: The SAS System N P A R W A P R O C E D U R E Kolmogorov-Smirnov Test for Variable 56

16 Classified by Variable CODE Deviation EDF from Mean CODE N at Maximum at Maximum Maximum Deviation Occurred at Observation 9 Value of at Maximum Kolmogorov-Smirnov -Sample Test (Asymptotic) KS = D = KSa =.4564 Prob > KSa = H μεγαλύτερη τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ επιτυγχάνεται στην παρατήρηση με αύξοντα αριθμό 9, που αντιστοιχεί στην τιμή 5. (Η ίδια τιμή της στατιστικής συνάρτησης επιτυγχάνεται και στην τιμή 369 που δόθηκε στην αναλυτική λύση). Η τιμή της ελεγχοσυνάρτησης δίνεται στο πεδίο D= Η ασυμπτωτική τιμή του κρίσιμου επιπέδου υπολογίζεται ίση με Σημείωση: Ας σημειωθεί ότι, για την εφαρμογή του ελέγχου αυτού, τα δεδομένα θα πρέπει να βρίσκονται σε διατεταγμένη κλίμακα τουλάχιστον. Ο έλεγχος Smirnov είναι ακριβής στην περίπτωση που οι τυχαίες μεταβλητές είναι συνεχείς. Αν οι τυχαίες μεταβλητές είναι διακριτές, τότε ο έλεγχος εξακολουθεί να ισχύει, αλλά είναι περισσότερο συντηρητικός. Παρατήρηση: Αν και δεν είναι προφανές, οι στατιστικές συναρτήσεις Τ, και, εξαρτώνται μόνο από την τάξη των μεταβλητών και στο διατεταγμένο ενιαίο δείγμα των και και, για τον υπολογισμό τους, δεν απαιτείται γνώση των αριθμητικών τιμών των παρατηρήσεων. Για την καλύτερη κατανόηση του γεγονότος αυτού, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τρεις τιμές Χ και δύο τιμές. Υπάρχουν τότε 5 0 δυνατές τοποθετήσεις των στοιχείων του ενιαίου 56

17 δείγματος. Ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει τις δυνατές αυτές τοποθετήσεις μαζί με τις τιμές των στατιστικών συναρτήσεων, και που αντιστοιχούν σ αυτές. Διάταξη T Διάταξη T 0 /3 /3 /3 /3 /3 0 / /6 / / / /6 /3 /3 /3 / / / /3 0 /3 /3 /3 /3 0 Αν η μηδενική υπόθεση στον αμφίπλευρο έλεγχο είναι αληθής, οι δύο συναρτήσεις κατανομής ταυτίζονται και οι δυνατές τοποθετήσεις είναι ισοπίθανες κάτω από την υπόθεση ότι οι τυχαίες μεταβλητές είναι συνεχείς. Επομένως, στον αμφίπλευρο έλεγχο, η πιθανότητα κάθε μιας τοποθέτησης είναι: m. 5 0 n n 3 Επομένως, συνάγονται οι εξής κατανομές πιθανότητας για τις στατιστικές συναρτήσεις, και : P P P T 3 /0 PT 0 / 5 PT 0 T 3/0 PT 5 /0 PT 5 T 3 / 5 PT 3 P(T ) /5 P(T P P P(T T 3 / 5 PT 3 / T /0 PT /0. / 5 / ) / 5 P T /3) /5 / 5 /0 /

18 Το γεγονός ότι οι κατανομές των στατιστικών συναρτήσεων και ταυτίζονται για n=3 και m=, δεν είναι συμπτωματικό. Οι κατανομές αυτές ταυτίζονται για όλες τις τιμές των n και m. Ομως, η τεχνική εξοικονόμησης χώρου η οποία χρησιμοποιήθηκε στην παρουσίαση των ποσοστιαίων σημείων των πινάκων 0 και του παραρτήματος, σύμφωνα με την οποία το ( α)-ποσοστιαίο σημείο της στατιστικής συνάρτησης T στον αμφίπλευρο έλεγχο ταυτίζεται με το ( α/)-ποσοστιαίο σημείο της στατιστικής συνάρτησης στον μονόπλευρο έλεγχο, ισχύει μόνο όταν το επίπεδο σημαντικότητας α είναι μικρό. Ας σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι στην περίπτωση αυτή των πέντε τιμών, P(T ) = P( ) και P(T /3) = P( /3), αλλά P(T /) P( /). Η μηδενική κατανομή (δηλαδή, η κατανομή όταν η υπόθεση Η 0 αληθεύει) στους μονόπλευρους ελέγχους προσδιορίζεται με τον ίδιο τρόπο, γιατί κάτω από τη μονόπλευρη μηδενική υπόθεση, το μέγεθος της κρίσιμης περιοχής είναι μέγιστο όταν F (x) = F (x), για κάθε x. 564

19 5. Ο EΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ CRAMÉR-VON MISES Ο έλεγχος που εξετάζεται στην ενότητα αυτή αποτελεί μια εναλλακτική μορφή ελέγχου της υπόθεσης ισότητας δύο κατανομών έναντι αμφίπλευρης εναλλακτικής υπόθεσης μόνο. Ο υπολογισμός της τιμής της ελεγχοσυνάρτησης, η οποία χρησιμοποιείται στο πλαίσιο του ελέγχου αυτού είναι πολυπλοκότερος από τον υπολογισμό της ελεγχοσυνάρτησης του ελέγχου Smirnov. Eστω Χ, Χ,..., Χ n ένα τυχαίο δείγμα n παρατηρήσεων πάνω στην τυχαία μεταβλητή Χ. Έστω,,..., m ένα τυχαίο δείγμα m παρατηρήσεων πάνω στην τυχαία μεταβλητή, ανεξάρτητο του πρώτου δείγματος. Έστω, επιπλέον, ότι F (x), x(,+) και F (y), y(,+) συμβολίζουν τις συναρτήσεις κατανομής των τυχαίων μεταβλητών και, αντίστοιχα. Οι υποθέσεις τις οποίες ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε είναι οι εξής: H 0 : F (x) = F (x), για κάθε x(,+) H : F (x) F (x), για τουλάχιστον ένα x(,+). Oπως και στην περίπτωση του ελέγχου Smirnov, η στατιστική συνάρτηση η οποία προτείνεται ως ελεγχοσυνάρτηση βασίζεται στις εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής των δύο δειγμάτων S (x) και S (y), αντίστοιχα και εκφράζει ένα μέτρο της μέσης τετραγωνικής απόκλισής τους. Συγκεκριμένα, T mn m n S (x) S (x), x,..., x n y,..., y m όπου οι τετραγωνικές αποκλίσεις στο άθροισμα υπολογίζονται σε κάθε τιμή του δείγματος Χ, Χ,..., Χ n και κάθε τιμή του δείγματος, 565

20 ,..., m. Μια σαφέστερη μορφή της παραπάνω ελεγχοσυνάρτησης είναι η εξής: T mn n m ) S (x i ) S (x i ) S (y i ) S (y i m n i j Είναι προφανές ότι μεγάλες τιμές της στατιστικής συνάρτησης Τ αποτελούν ένδειξη εναντίον της μηδενικής υπόθεσης. Επομένως, ο κανόνας απόφασης έχει την εξής μορφή: Η μηδενική υπόθεση Η 0 απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ υπερβαίνει το ( α)-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της. Δηλαδή, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν Τ w -α. Η ακριβής μορφή της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης των Cramér - von Mises μπορεί να προσδιορισθεί με τον ίδιο τρόπο που προσδιορίζεται η κατανομή της ελεγχοσυνάρτησης Smirnov. Τα ακριβή ποσοστιαία σημεία της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής της στατιστικής συνάρτησης Τ προσδιορίσθηκαν από τον Anderson το 96 για μικρά δείγματα. Η ασυμπτωτική κατανομή της στατιστικής συνάρτησης Τ είχε νωρίτερα προσδιορισθεί από τους Anderson και Darling (95) σε μία εργασία τους, η οποία αναφερόταν στην ελεγχοσυνάρτηση που είχε προταθεί από τους Cramér και von Mises στο πλαίσιο προβλημάτων ελέγχου υποθέσεων καλής προσαρμογής. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο η στατιστική συνάρτηση Τ ονομάζεται ελεγχοσυνάρτηση των Cramér και von Mises, παρά το γεγονός ότι ούτε ο Cramér ούτε ο von Mises την είχαν επινοήσει. Στην συνέχεια, παραθέτουμε ορισμένα ποσοστιαία σημεία της ασυμπτωτικής κατανομής της στατιστικής συνάρτησης 566

21 Τ, όπως αυτά υπολογίσθηκαν από τους Anderson και Darling το 95. (Τα ακριβή ποσοστιαία σημεία της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Τ για n+m 7 δόθηκαν από τον Burr (963, 964): w 0.0 = w 0.50 = 0.9 w 0.0 = w 0.0 = 0.06 w 0.60 = 0.47 w 0.0 = 0.46 w 0.30 = w 0.70 = 0.84 w 0.0 = w 0.40 = w 0.80 = 0.4 w 0.0 =.68. Παράδειγμα 5..: Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παραδείγματος 5.. της προηγούμενης ενότητας, έχουμε ότι και 9 e' S x S x i i 5 S y j S y j j Επομένως, T Η μηδενική υπόθεση ότι οι δύο συναρτήσεις κατανομής ταυτίζονται δεν απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05, γιατί η παρατηρούμενη τιμή της Τ είναι εκτός της κρίσιμης περιοχής. Πράγματι, τ = 0.6 w 0.95 = Το κρίσιμο επίπεδο, μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι είναι περίπου αˆ 0.8. Όπως παρατηρούμε, το επίπεδο αυτό είναι 567

22 ελαφρώς χαμηλότερο από το αντίστοιχο κρίσιμο επίπεδο του ελέγχου Smirnov για τα ίδια δεδομένα. Λύση με το MINITAB: Το MINITAB δεν διαθέτει τον έλεγχο Cramér von Mises. Μπορεί όμως να διεξαχθεί με έμμεσο τρόπο, υπολογίζοντας την τιμή της ελεγχοσυνάρτησης Τ στην οποία βασίζεται και, στην συνέχεια, συγκρίνοντάς την με το κατάλληλο ποσοστιαίο σημείο. Ο υπολογισμός της ελεγχοσυνάρτησης Τ γίνεται ως εξής: Υπολογίζουμε τις τιμές των δύο εμπειρικών συναρτήσεων κατανομής και καταχωρίζουμε σε δύο στήλες τις τιμές που παίρνουν σε όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στις παρατηρήσεις των δειγμάτων. Σε μία άλλη στήλη, καταχωρίζουμε τα τετράγωνα των διαφορών των τιμών των δύο στηλών τους. Το άθροισμα των στοιχείων της στήλης αυτής πολλαπλασιαζόμενο με τον κατάλληλο συντελεστή (mn/(m+n) ) δίνει την τιμή της ελεγχοσυνάρτησης Τ. Λύση με Το SPSS: O έλεγχος Cramér von Mises δεν είναι διαθέσιμος στο SPSS. Η διεξαγωγή του όμως είναι δυνατή με έμμεσο τρόπο. Αυτό γίνεται ως εξής: Σε μία στήλη (έστω a) καταχωρίζουμε και τα δύο δείγματα. Σε μία άλλη στήλη (έστω d), καταχωρίζουμε μία κωδική μεταβλητή της οποίας οι τιμές δείχνουν από ποιο δείγμα προέρχεται κάθε παρατήρηση (π.χ. 0 για τις παρατηρήσεις του δείγματος της Χ και για τις παρατηρήσεις του δείγματος της Υ). Στην συνέχεια, για να υπολογίσουμε τις S (.) και S (.), επιλέγουμε Transform, Rank Cases και οδηγούμεθα στο εξής πλαίσιο διαλόγου: 568

23 Στο πεδίο Variable(s), δηλώνουμε την στήλη που περιέχει τα δείγματα (a), ενώ, στο πεδίο By, δηλώνουμε την κωδική μεταβλητή (d). Με αυτόν τον τρόπο, υπολογίζονται χωριστά οι τάξεις μεγέθους κάθε δείγματος. Από το πλαίσιο διαλόγου στο οποίο οδηγεί το πλήκτρο Ties, επιλέγουμε High (όπως και σε προηγούμενα παραδείγματα) και, στο επανεμφανιζόμενο αρχικό πλαίσιο διαλόγου, πιέζουμε το πλήκτρο Rank Types. Αυτό οδηγεί στο εξής πλαίσιο: Ακυρώνουμε την επιλογή του πεδίου Rank και επιλέγουμε Fractional rank. Έτσι, προκύπτει απ ευθείας η εμπειρική συνάρτηση κατανομής κάθε δείγματος χωρίς να χρειασθεί να διαιρέσουμε εμείς με το μέγεθος του κάθε δείγματος. 569

24 Αφού ολοκληρώσουμε την διαδικασία αυτή, θα έχουμε, σε μία στήλη με όνομα ra, τις δύο εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής. Πρέπει όμως να τις ξεχωρίσουμε σε δύο στήλες. Αυτό γίνεται εύκολα για μικρά δείγματα όπως αυτά του παραδείγματός μας: Ταξινομούμε σε αύξουσα τάξη μεγέθους την μεταβλητή a. Ταυτόχρονα αναδιατάσσονται οι τιμές των μεταβλητών d και ra. Ορίζουμε δύο νέες μεταβλητές (έστω sx και sy). Σε κάθε κελλί της sx, καταχωρίζουμε την αντίστοιχη τιμή της ra αν αυτό περιέχει παρατήρηση του δείγματος Χ (μας το δείχνει η d) ή την μεγαλύτερη από τις τιμές της μεταβλητής ra που είναι πάνω από το εν λόγω κελλί και αντιστοιχούν σε παρατηρήσεις του δείγματος Χ, αν αυτό περιέχει παρατήρηση του δείγματος Υ. Αν δεν υπάρχουν παρατηρήσεις του δείγματος Χ πάνω από το συγκεκριμένο κελλί, καταχωρίζουμε 0. Αντίστοιχη διαδικασία ακολουθείται και για την sy. Για να γίνουν τα παραπάνω περισσότερο κατανοητά δείχνουμε τις πρώτες καταχωρίσεις του φύλλου δεδομένων μετά από όλες τις παραπάνω διαδικασίες: Σημειώνεται ότι η διαδικασία δημιουργίας των sx και sy από την ra με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω, είναι έυκολη μόνο 570

25 για μικρά δείγματα. Για μεγάλα δείγματα είναι χρονοβόρα και μπορεί να οδηγήσει σε λάθη. Αυτό που απομένει είναι να δημιουργήσουμε μία μεταβλητή που θα περιέχει τα τετράγωνα των διαφορών των καταχωρίσεων των sx και sy, να υπολογίσουμε το άθροισμα των στοιχείων της και να το πολλαπλασιάσουμε με τον κατάλληλο συντελεστή (mn/(m+n) ) για να υπολογίσουμε την τιμή της ελεγχοσυνάρτησης Τ. Λύση με το SAS: Όπως παρατηρήθηκε σε προηγούμενo παράδειγμα, οι έλεγχοι Smirnov και Cramér-von Mises παρέχονται με την εντολή proc nparway edf; όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. data sample; input x code cards; ; run; proc nparway edf; class code; var x; run; Το αποτέλεσμα που προκύπτει περιέχεται στον πίνακα που ακολουθεί. The SAS System N P A R W A P R O C E D U R E Cramer-von Mises Test for Variable Classified by Variable CODE Summed Deviation CODE N from Mean Cramer-von Mises Statistic (Asymptotic) CM = CMa = Η παρατηρούμενη τιμή της Τ δίνεται στο πεδίο CMa = Σύγκριση της τιμής αυτής με την w 0.95 = 0.46 οδηγεί σε μη απόρριψη 57

26 της μηδενικής υπόθεσης ότι οι δύο συναρτήσεις κατανομής ταυτίζονται, σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 Παρατήρηση: Μία ισοδύναμη μορφή της στατιστικής συνάρτησης Τ λαμβάνεται αν συμβολίσουμε με R( (i) ) και R( (j) ) τους βαθμούς (τις τάξεις), στο ενιαίο διατεταγμένο δείγμα, της i κατά αύξουσα σειρά μεγέθους παρατήρησης του δείγματος των Χ (Χ (i) ) και της j κατά αύξουσα σειρά μεγέθους παρατήρησης του δείγματος των ( (j) ), αντίστοιχα. Τότε, αν δεν υπάρχουν περιπτώσεις ταύτισης τιμών, η Τ γράφεται με την μορφή T mn n R (i) m (j) n m R n m. i m n i m nm j n j nm Αν, επιπλέον, n = m, η Τ γράφεται με την μορφή T n m (i) (j) R i R j. 4n i j Παρατήρηση: Για την εφαρμογή του ελέγχου αυτού, τα δεδομένα θα πρέπει να βρίσκονται σε κλίμακα διάταξης τουλάχιστον. Ο έλεγχος των Cramér-von Mises είναι ακριβής, εάν οι τυχαίες μεταβλητές είναι συνεχείς. Εάν οι τυχαίες μεταβλητές είναι διακριτές, ο έλεγχος ενδέχεται να είναι συντηρητικός. 57

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να ελεγχθεί η μηδενική υπόθεση ότι F(x) G(x), αν οι παρατηρήσεις που προέρχονται από τον πληθυσμό που περιγράφεται από την συνάρτηση κατανομής F(x) είναι οι 0.6, 0.8,. και.4 και οι παρατηρήσεις που προέρχονται από τον πληθυσμό που περιγράφεται από την συνάρτηση κατανομής G(x) είναι οι.3,.3,.8,.4 και.9.. Σε ένα τυχαίο δείγμα πέντε μαθητών της έκτης τάξης ενός Δημοτικού σχολείου που ανήκε σε μία περιοχή κάποιας πόλης, δόθηκε ένα τεστ γνώσεων με τα εξής αποτελέσματα: 8, 74, 87, 86, 75. Σε ένα άλλο τυχαίο δείγμα οκτώ μαθητών της έκτης τάξης ενός άλλου Δημοτικού σχολείου που ανήκε σε μία διαφορετική περιοχή της πόλης, δόθηκε το ίδιο τεστ γνώσεων με αποτελέσματα: 88, 7, 9, 88, 94, 93, 83, 94. Θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς ότι υπάρχει διαφορά στις γνώσεις, όπως αυτές μετριούνται με αυτό το τεστ, των δύο πληθυσμών μαθητών της έκτης τάξης; (Να χρησιμοποιηθεί ο έλεγχος Smirnov). 3. Να χρησιμοποιηθεί ο έλεγχος των Cramér-von Mises στα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης και να συγκριθούν τα αποτελέσματα με αυτά του ελέγχου Smirnov. 573

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Οι έλεγχοι που εξετάζονται στο κεφάλαιο αυτό αποτελούν επεκτάσεις για την περίπτωση περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Οι πληθυσμοί, ανεξάρτητα από το αν έχουν ίδιες θέσεις (ίσες μέσες τιμές) ή ίσες διασπορές, ενδέχεται να διαφέρουν πάρα πολύ ως προς άλλα χαρακτηριστικά τους. Έτσι, οι έλεγχοι

Διαβάστε περισσότερα

έρευνας και στατιστική» παραμετρικές συγκρίσεις»

έρευνας και στατιστική» παραμετρικές συγκρίσεις» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Μεθοδολογία έρευνας και στατιστική» Μάθημα μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών Διάλεξη: «Μη παραμετρικές συγκρίσεις» ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 4ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δείγμα από κανονική κατανομή Έστω Χ= Χ Χ Χ τ.δ. από Ν µσ τότε ( 1,,..., n) (, ) Τ Χ Χ Ν Τ Χ σ σ Χ Τ Χ n Χ S µ S µ 1( ) = (0,1), ( ) = ( n 1)

Διαβάστε περισσότερα

if code='1' then type='fixed'; else if code='2' then type='variable'; else type='unknown'; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

if code='1' then type='fixed'; else if code='2' then type='variable'; else type='unknown'; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Πολλές φορές, αντί να χρησιμοποιούμε μια σειρά από IF-THEN εντολές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή ELSE, για να δηλώσουμε μια εναλλακτική ενέργεια όταν η συνθήκη στην IF-THEN εντολή δεν ικανοποιείται.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks)

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) Στο κεφάλαιο αυτό, εξετάζονται ορισμένες τεχικές ανάλυσης δεδομένων, οι

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών.

Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών. Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών. Η μέση τιμή ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάλυση μεταβλητών με το IBM SPSS Statistics

Εισαγωγή στην ανάλυση μεταβλητών με το IBM SPSS Statistics Εισαγωγή στην ανάλυση μεταβλητών με το IBM SPSS Statistics Στόχοι του κεφαλαίου Εξοικείωση με το περιβάλλον του SPSS Εξοικείωση με τις διαδικασίες περιγραφικής ανάλυσης μιας μεταβλητής Εξοικείωση με τη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Βασικές έννοιες ελέγχων υποθέσεων και έλεγχοι κανονικότητας

Κεφάλαιο 5. Βασικές έννοιες ελέγχων υποθέσεων και έλεγχοι κανονικότητας Κεφάλαιο 5 Σύνοψη Βασικές έννοιες ελέγχων υποθέσεων και έλεγχοι κανονικότητας Βασικές έννοιες και ορισμοί του ελέγχου υποθέσεων, γραφικοί έλεγχοι κανονικότητας μέσω των ιστογραμμάτων (διαδρομές Analyze

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4Β: Έλεγχοι Κανονικότητας Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ,

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, -- Άσκηση. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα 5 7 8 9 5 X 8 5 5 5 9 7 Y. 5.. 7..7.7.9.. 5.... 8.. α) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς β) εξετάστε τα μοντέλα Υ = β + β Χ + ε, (linear),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (Non Parametrc Regresson) Το κεφάλαιο αυτό συνδέεται άμεσα με το κεφάλαιο που αναφέρεται στην συσχέτιση τάξης μεγέθους με την έννοια υπό την οποία η κλασική παραμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος ότι η παράμετρος θέσης ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Ανάλυση μιας μεταβλητής

Κεφάλαιο 3: Ανάλυση μιας μεταβλητής Κεφάλαιο 3: Ανάλυση μιας μεταβλητής Γενικά Στο Κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε κάποιες μεθόδους της Περιγραφικής Στατιστικής και της Στατιστικής Συμπερασματολογίας που αφορούν στην ανάλυση μιας μεταβλητής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΝΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (THE ANALYSIS OF CROSS-TABULATIONS) Απαρίθμηση και Ταξινόμηση Σύγκριση Δύο ποσοστών Συχνά,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, 2001 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iii ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο

Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο Εαρινό εξάμηνο 2009-2010 Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο 2009-2010 Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES 5000 Daily calorie

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (ypothesis Testig) Βασικές έννοιες Γενική μεθοδολογία Σφάλμα τύπου Ι και -vlue Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 4 ο - Κ. Μπλέκας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση!

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! ΘΕΜΑ ο [Μονάδες 20] Ερώτημα i (4 μονάδες). Για να κάνουμε τους υπολογισμούς που χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα : Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα