DINAMIKA FLUIDA Osnovni zakoni dinamike fluida

Transcript

1 MEHANIKA FLUIDA K DINAMIKA FLUIDA Osnon zakon dnamke fluda Dnamka plnoa se temel na osnonm zakonma klasčne fzke u koe spadau. Zakon očuana mase,. Zakon očuana kolčne gbana, 3. Zakon očuana momenta kolčne gbana, 4. Zakon očuana energe, 5. Drug zakon termodnamke. Zakon kolčne gbana momenta kolčne gbana su konceptualno defnran u klasčno mehanc, a posledna da u termodnamc. O su zakon defnran za susta materalnh točaka odnosno za zatoren termodnamčk susta, a u dnamc fluda će bt prmenen na materaln olumen V M (t), ko će u općem slučau s remenom menat so položa, oblk elčnu, al će se uek sastoat od ednh te sth čestca fluda. Struana fluda se mogu podelt na nestlača (u koma e gustoća fluda konstantna, uglanom su to struana kaplena) stlača struana (struana plnoa pr ećm brznama u usporedb s brznom zuka). Pr nestlačom struanu olumen čestca fluda ostau konstantn, što znač da se čestce fluda ne može komprmrat (pr čemu b se poećala unutarna energa fluda na račun rada komprese) nt ekspandrat (pr čemu b se dobo mehančk rad na račun unutarne energe), što znač da će se mehančka energa pretarat u unutarnu samo putem skoznh sla, što e ednosmeran proces. U dosadašnem delu kolega smo se bal samo nestlačm struanem, te smo u modfcrano Bernoulleo ednadžb pretorbu mehančke energe u unutarnu nazal gubcma mehančke energe, er se ednom pretorena mehančka energa še ne može poratt z unutarne energe nestlačog fluda. Sada ćemo defnrat općent model stlačog struana u koem posto dosmern proces pretorbe: z mehančke energe u unutarnu obrnuto, te u energsku ednadžbu moramo uklučt unutarnu energu, koa e defnrana u prom zakonu termodnamke, te ćemo pre nego defnramo osnone zakone dnamke fluda načnt kratak pregled osnonh termodnamčkh relaca, te naglast specfčnost nhoe prmene u opsu struana fluda. Do sada smo se bal ntegralnm prstupom, a u nastaku ćemo dat naglasak na dferencaln prstup, ko e osnoa za računalnu dnamku fluda, danas se rašren prstup rešaanu problema struana fluda popratnh poaa.

2 MEHANIKA FLUIDA K Koncept z termodnamke Termodnamčk susta materaln olumen Termodnamčk susta e olumen spunen materom ko e grancom odelen od okolne. Granca može bt saka geometrsk zatorena poršna (starna l zamšlena) s defnranm sostma u sako neno točk. Granca može bt nepomčna l pomčna, toplnsk proodla l neproodla (adabatska), a također propusna za masu (kada se goor o otorenom sustau) l nepropusna za masu (kada se goor o zatorenom sustau). Materaln olumen u mehanc fluda e prmer zatorenog termodnamčkog sustaa, te će se dalna razmatrana ogrančt na take termodnamčke sustae. Ranotežno stane termodnamčkog sustaa elčne stana Sak zatoren termodnamčk susta, prepušten sam seb (bez zmene toplne rada s okolnom), težt će usled spontanh procesa u sustau (procesa ko se odau sam od sebe), som ranotežnom stanu. Ranotežno stane sustaa se ne može še menat samo od sebe. Se makroskopsk merle elčne, koe som rednostma opsuu stane termodnamčkog sustaa, nazau se elčnama stana. Take su elčne npr. tlak p, olumen V, temperatura T, unutarna energa V, entropa S td. Velčne stana koma rednost ose o kolčn matere unutar termodnamčkog sustaa se nazau ekstenznm (npr. V, V, S ) a elčne koma rednost ne os o kolčn matere se nazau nteznm elčnama ( p T ). Ekstenzne elčne zražene po ednc mase se nazau specfčnm elčnama stana. Npr. specfčn olumen e dv defnran zrazom = dm = ρ, što e po defnc ednako recpročno rednost gustoće fluda. Spontan proces ko doode termodnamčk susta u ranotežno stane, a ko se odau sam od sebe, posledca su postoana gradenata fzkalnh elčna (npr. prelaz toplne s područa še na područe nže temperature e posledca postoana gradenta temperature, mešane plnoa e posledca postoana gradenta koncentrace). Spontan proces su kao što e poznato z skusta ednosmern proces (nkad se neće dogodt da toplna sama od sebe pređe s hladneg na tople područe, a ednom zmešan plno se neće nkad sam od sebe razdot). Iz rečenog e asno da u ranotežnom stanu, u koem su ščezl s spontan proces, nema še gradenata ntenznh specfčnh elčna stana. Jednadžbe stana saršen pln Sako ranotežno stane termodnamčkog sustaa, opsano e skupom elčna stana, pr čemu među elčnama stana postoe eze, dane ednadžbama stana, tako da e ranotežno stane ednoznačno defnrano ogrančenm broem elčna stana. Saka homogena tar karakterzrana e som ednadžbama stana do koh se dolaz merenem, a u nekm posebnm slučaema s pomoću statstčke mehanke, odnosno knetčke teore plnoa. Tako e npr. za model dealnog plna (ko će se u mehanc fluda zat saršenm, er e termn dealn rezerran za neskozne flude), ranotežno stane određeno s de elčne stana, npr. T. Tlak e defnran toplnskom (termčkom) ednadžbom stana p = RT l p = ρrt gde e R plnska konstanta. Unutarna energa saršenog plna funkca e samo temperature, što e skazano kalorčkom ednadžbom stana

3 MEHANIKA FLUIDA K 3 gde e du= c d T l u= ct + konst. c specfčn toplnsk kapactet pr konstantnom olumenu. Za specfčn toplnsk kapactet pr konstantnom tlaku red konstante. Uz oznaku κ = c / c p red: cp c = c + R. Za saršen pln su p κ = R κ c = R. κ c, c R Termodnamčk proces Ranotežno stane termodnamčkog sustaa se može proment samo deloanem z okolne, npr. doođenem toplne l rada termodnamčkom sustau, što se naza termodnamčkm procesom. Za termodnamčk proces se kaže da e ranotežan ako termodnamčk susta tekom procesa prolaz samo kroz ranotežna stana. To b značlo da se stane termodnamčkog sustaa mena samo pod deloanem zana, a prestankom tog procesa prestae se menat stane termodnamčkog sustaa. Drugm rečma, ranotežn proces ne zaza spontane procese, što znač da se tekom ranotežnog procesa u termodnamčkom sustau ne poaluu gradent elčna stana. Iz rečenog e asno da će sak neranotežn proces zbog zazanh spontanh procesa bt ednosmeran l reerzblan. Nužan uet da b se proces mogao odat u oba smera e da e ranotežan. Pr zakon termodnamke (zakon očuana energe) Zakon očuana energe kaže da će promena ukupne energe termodnamčkog sustaa zmeđu da stana (npr. početnog stana kraneg stana ) bt ednaka zmeneno topln zmenenom radu s okolnom zmeđu ta da stana. Pod ukupnom energom sustaa podrazumea se suma sh oblka energe ko se tekom procesa menau. Ako se promatra mruuć pln onda e doolno promatrat unutarnu energu U, a u mehanc fluda gde dolaz do promene brzne struane plna bt će nužno uest knetčku energu E fluda. Ako e Q zmenena toplna zmeđu da stana, W zmenen rad, tada red ( ) ( ) E + U E + U = Q + W (Napomena: Rad toplna su defnrane kao poztne elčne ako se doode termodnamčkom sustau). Prmer prmene prog zakona termodnamke Prmer. Jouleo pokus Termodnamčk susta se sasto od toplnsk zolrane posude, mruuće skozne kaplene sustaa utega, kolotura lopatca. Uteg som spuštanem za snu h rš rad W = G h kom se putem užeta kolotura pokreću lopatce flud, čme m se poećaa knetčka energa. Ako se zanemar uteca trena u sustau kolotura užeta, sa zršen rad G će se predat lopatcama fludu. Usled h skoznost fluda on će se nakon određenog remena spontano zaustat tako ponoo doć u ranotežno stane. Ako e posuda bla toplnsk zolrana, p

4 MEHANIKA FLUIDA K 4 zaklučue se da se sa rad utega pretoro u unutarnu energu fluda, lopatca posude, što se očtue kroz porast nhoe temperature. Treba prmett da e termodnamčk susta zmeđu početnog kraneg ranotežnog stana prolazo kroz neranotežna stana u koma se flud gbao, usled čega su postoal gradent elčna stana. Zakon očuana energe prmenen zmeđu početnog kraneg ranotežnog stana mroana glas: U U = W l u u = w Prmer. Stlačane plna u toplnsk zolranom clndru Termodnamčk susta sadrž pln, ko se nalaz u toplnsk zolranom clndru s pomčnm stapom. Pretpostala se da pln u početnom trenutku mrue, te da ga se polako stlačue putem stapa, koeg se pomče bez trena, slom F koa e u sakom trenutku u ranotež sa slom tlaka unutar clndra, dakle, F=pA (pretpostala se da e ansk tlak ednak nul). Buduć e suma sla na stap ednaka nul, on se po prom Newtonoom zakonu može gbat edno A konstantnom brznom. Neka se stap gba beskonačno F pa malom brznom, tako da se knetčka energa čestca plna u clndru može zanemart. Buduć da nema zmene toplne, sa rad ko se ulaže putem sle F = pa s troš se na promenu unutarne energe plna, t. red: V U U= pv d l u u= p d V s s V W = Fds = pa ds = pdv S s dv V Prmer 3. Grane plna pr konstantnom olumenu Termodnamčk susta sasto se od zadane kolčne plna, početne temperature T 0, smeštene u krutu posudu zadanog olumena, kroz ču se stenku plnu dood toplna od ogrenog spremnka temperature T. Buduć da e posuda stalnog olumena, pr granu plna ne dolaz do V=konst. pomcana stenk posude prema okoln što znač da pln ne rš nkaka rad, pa sa doedena toplna Q prelaz u unutarnu energu termodnamčkog sustaa, t. red T 0 U U = Q l u u = q Specfčn toplnsk kapactet e toplna kou treba doest ednc mase tar da b o se temperatura posla za K. Specfčn toplnsk kapactet c pr konstantnom dq du olumenu se defnra kao c = = ogren spremnk, T dt = konst. dt.

5 MEHANIKA FLUIDA K 5 Prmer 4. Grane plna pr konstantnom tlaku Termodnamčk susta sadrž pln konstantne početne temperature, ko e zatoren u clndru s pomoću pomčnog stapa (ko dealno brt, a pomče se bez trena), ča e poršna A, a težna zaedno s utegom G, h tako da e konstantn tlak u plnu p=g/a (pretpostala G se da e ansk tlak ednak nul). Doođenem toplne termodnamčkom sustau mena se olumen plna te A dolaz do pomcana stapa s utegom prema gore, što znač da termodnamčk susta rš mehančk rad, ko p=g/a=konst. e ednak umnošku težne G sne h pomaka stapa. Ako se težna G zraz s pomoću tlaka plna G=pA, tada zraz za zršen rad termodnamčkog sustaa glas: ogren spremnk, T W = pah= p V V ( ) gde su V V olumen plna u početnom kranem ranotežnom stanu. Prema tome ako e Q toplna doedena zmeđu početnog kraneg stana, pr zakon termodnamke poprma oblk U U = Q p V V l u u = q p ( ) ( ) Treba ponoo naglast, da će termodnamčk susta pr prelazu z stana u stane prolazt kroz nz ranotežnh stana samo ako se doođene toplne oda rlo sporo. U tom se slučau pr zakon termodnamke može postat za da rlo blska stana zmeđu koh e doedena dferencalno mala kolčna toplne dq, zršen e nfntezmalno mal rad dw=-pd, pa e promena unutarne energe du nfntezmalno mala. Tme se dolaz do dferencalnog oblka prog zakona termodnamke, ko glas du = dq pd Treba oš ednom naglast da gorn oblc prog zakona termodnamke rede samo za ranotežne promene stana. Kod brzog doođena toplne, u plnu b se poao gradent temperature, gbane plna gradent tlaka, te za stap še ne b redla mehančka ranoteža (G=pA), er b se on mogao gbat ubrzano, te postć konačnu brznu. U tom slučau ne b redo zraz za zršen rad pa zbog toga n dan zraz za pr zakon termodnamke. Entalpa Iz dferencalne formulace prog zakona termodnamke du = dq pd, asno e da za =konst. sa doedene toplna prelaz u unutarnu energu, pa sled ednostan zraz za specfčn toplnsk kapactet c. Za procese pr konstantnom tlaku zgodno e uest entalpu h u oblku d h = dq + dp. Držeć p=konst. (dp=0) asno e da se sa doedena toplna pretara u entalpu, pa se dobe ednostana defnca specfčnog toplnskog kapacteta c p pr konstantnom tlaku c dq dh p = = T. d dt p p Veza zmeđu entalpe unutarne energe se dobe ako se desno stran zraza kom e defnrana entalpa doda oduzme član pd, te sled zraz d h = dq pd + pd + dp du d ( p), a nakon ntegrace sled

6 MEHANIKA FLUIDA K 6 h = u + p l H = U + pv U gornm relacama entalpa e zražena samo elčnama stana pa e ona također elčna stana. Poratn, neporatn proces entropa Ako se susta određenm procesom doede z ednog u drugo ranotežno stane ako b se susta mogao ratt u početno ranotežno stane bez da u okoln ostane tranh zametlh promena, proces e poratan l reerzblan. S prrodn l spontan proces posledca su postoana gradenata fzkalnh elčna u termodnamčkom sustau neporatn su l reerzbln. Prema tome, nužan uet da b proces bo reerzblan e da e ranotežan. Prmer reerzblnog procesa e polagana kompresa plna bez trena u toplnsk zolranom clndru, kao što e opsano u prmeru. Iz tog e prmera dlo da u adabatskom procesu bez trena pr polagano kompres (koa se oda pr mehančko ranotež) unutarna energa predstala potencal za slu tlaka (odnosno tlak) er se uložen mehančk rad komprese može putem polagane ekspanze u potpunost poratt. Iz prog zakona termodnamke za ta sluča očto e da red: du p = d bez zmene toplne, bez trena u ranotežnom procesu gde se gorna deraca odnos na sluča ranotežnog procesa bez trena bez zmene toplne. Da ne bsmo moral opsno daat uz koe uete red gorna ednadžba, uod se noa elčna stana, entropa s, koa pod danm uetma ostae konstantna. U općem slučau unutarna energa e funkca du elčna stana, te se gorna ednadžba pše u p = s Uođenem entrope u gornem zrazu ne oš defnrana nena elčna. Jedno e očto da će do promene entrope s doć kada dođe do zmene toplne, trena l neranoteže. Ako se dogoor da za sluča doođena toplne pr stalnom olumenu kao u prmeru 3 (gde rastu unutarna energa temperatura plna) entropa s raste, tada se elčna promene entrope s defnra z relace u T s = S obzrom da e apsolutna temperatura T poztna elčna, sako poećane unutarne energe (doođene toplne) pr konstantnom olumenu ma za posledcu poećane entrope, a odođene toplne smanene entrope. Ako se unutarna energa prkaže kao funkca entrope olumena, tada red u u du = ds+ d, odnosno s s T p du = T ds pd l du = T ds pdv usporedbom gorneg zraza (Gbbsoa relaca) s zrazom za pr zakon termodnamke du = dq pd sled d q = T ds l d Q = T ds

7 MEHANIKA FLUIDA K 7 Treba naglast da e gorn zraz zeden pod pretpostakom neprekdne toplnske mehančke ranoteže termodnamčkog sustaa što znač da e alan samo za ranotežne procese. Drug zakon termodnamke (a) Ako se stane termodnamčkog sustaa mena od stana do stana ranotežnm procesom, promena entrope defnrana e ntegralom dq dq s s = l S S = T T (b) Sak spontan proces (ko e po defnc neranotežan) u zolranom zatorenom termodnamčkom sustau od poećanu entrope S. Susta dolaz u ranotežno stane kada entropa S postgne so maksmum. Prema tome, kod neranotežnh procesa dolaz do poećana entrope termodnamčkog sustaa kad nema zmene toplne, te se prethodn zraz može poopćt tako da red za blo ko proces, t. za promenu entrope termodnamčkog sustaa red dq dq s s l S S T T gde se znak ednakost odnos na ranotežne procese, a znak eće na neranotežne, a samm tm na reerzblne procese. Temelem prethodnog zraza može se defnrat produkca entrope dq dq σ = ds 0 l = d 0 T S T gde se ponoo znak ednakost odnos na ranotežne procese. U zolranom termodnamčkom sustau produkca entrope ednaka e promen entrope. Ako u zolranom termodnamčkom sustau nema promene entrope proces e reerzblan, a ako posto porast entrope proces e reerzblan. Treba naglast da u termodnamčkom sustau ko zmenue toplnu s okolnom entropa može rast (ako mu se toplna dood ) l padat (kada mu se toplna odod). S druge strane produkca entrope, koa e mera neporatnost termodnamčkog procesa, mora bt ednaka nul (za ranotežne procese) l poztna elčna (za reerzblne procese). Termodnamčk koncept struane fluda Postala se ptane kako gore zložen koncept z termodnamke ko e defnran prmen na ranotežna stana termodnamčkog sustaa, prment u struanu fluda u koem se tpčno poaluu gradent brzne, tlaka temperature, koe e dakle neranotežno. Odgoor lež u prncpu lokalne ranoteže u koem se saka čestca fluda (z koncepta kontnuuma) smatra termodnamčkm sustaom. Buduć da čestca fluda mase dm zauzma nfntezmaln olumen dv (pr čemu e dm=ρdv), se ekstenzne elčne stana unutar čestce fluda će također bt nfntezmalne: du=ρudv, ds=ρsdv, a ntenzne specfčne elčne stana će unutar čestce fluda bt konstantne, što prema zloženom konceptu odgoara ranotežnm uetma, pa se pre spomenute relace rede za saku čestcu fluda. Prema hpotez kontnuuma, saka čestca fluda zauzma samo ednu točku prostora, pa se u sako točk prostora defnrau elčne stana one čestce fluda koa se u promatranom trenutku uprao nalaz u promatrano točk prostora. Na ta će načn ntenzne specfčne elčne stana čestca fluda bt opsane polma fzkalnh elčna koa su funkca prostornh remenske koordnate. S obzrom da saka

8 MEHANIKA FLUIDA K 8 čestca fluda ostae celo reme u ranotežnom stanu, znač da toplnska ednadžba stana red u sako točk prostora u sakom remenskom trenutku. Također red Gbbsoa relaca du = T ds pd, gde se dferencal specfčne unutarne energe, specfčne entrope olumena odnose na čestcu fluda, koa e elementarn termodnamčk susta. Delenem gorneg zraza s dferencalom remena dt dobu se remenske promene specfčne unutarne energe, specfčne entrope specfčnog olumena čestce fluda, koe se zražaau materalnom deracom, te Gbbsoa relaca glas: D u D s D D s p Dρ = T p = T + ρ Slčno b se delenem dferencalnog oblka prog zakona termodnamke danog zrazom (u koem se uzma u obzr knetčka energa fluda, a promena potencalne energe uzma kroz mehančk rad) s dferencalom remena doblo D( e + u) dq dw = + dt dt što b se moglo skazat rečma da e brzna promene knetčke unutarne energe čestce fluda ednaka brzn doođena toplne (dq/dt) mehančkog rada (dw/dt) (odnosno snaz anskh sla na čestcu fluda). Čestca fluda e u materalnom olumenu okružena čestcama koe su razlčth temperatura od promatrane čestce, te dolaz do prelaza toplne od l prema promatrano čestc. S druge strane čestce se dodruu, što ma za posledcu poau poršnskh sla, putem koh promatrana čestce prma l rš rad. U mehanc fluda će se zakon očuana energe prmenat na materaln olumen, ko se sasto od elkog broa čestca fluda. Zakon očuana energe za materaln olumen dobe se zbraanem ednadžb očuana energe sh čestce fluda koe čne ta materaln olumen. Buduć da su knetčka unutarna energa ekstenzne elčne brzna promene th energa materalnog olumena bt će ednaka zbrou brzna promena th energa sh čestca fluda unutar materalnog olumena. Zbro brzna zmene toplne sh čestca fluda unutar materalnog olumena, bt će ednak brzn zmene toplne materalnog olumena s okolnom, er će se zmena toplne među čestcama unutar materalnog olumena međusobno ponštt. Isto red za snagu poršnskh sla. Ako de čestce u unutrašnost materalnog olumena zmenuu energu putem snage poršnskh sla, onda e zbro th snaga ednak nul, a u materalnom olumenu ostae samo snaga poršnskh sla koa se zmenue s okolnom na granc materalnog olumena. Snaga masenh sla koe deluu na materaln olumen, ednaka e zbrou snaga koe deluu na čestce fluda. Dakle, skazano rečma, zakon održana energe za materaln olumen glas: Brzna promena knetčke unutarne energe materalnog olumena ednaka e snaz anskh masenh poršnskh sla koe deluu na materaln olumen brzn zmene toplne materalnog olumena s okolnom.

9 MEHANIKA FLUIDA K 9 OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA Zakon očuana mase (ednadžba kontnuteta) Zakon očuana mase, za materaln olumen, glas: Brzna promene mase materalnog olumena ednaka e nul. Matematčk zaps oog zakona e D d = 0 D ρ V t V M ( t) Dferencal dv remensk promenog materalnog olumena V () t M, ko odgoara olumenu čestce fluda, e također remensk promen, pr čemu red Dd ( V ) = dv x pa e D Dρ Dd ( V ) Dρ dv dv d ρ = + ρ = + ρ M() M() M() x V = 0 V t V t V t ρ ρ dv + t U grančnom prelazu kada se materaln olumen sman na čestcu fluda (materalnu Dρ točku), gorn zraz prelaz o oblk + ρ dvm = 0, z čega e asno da red D ρ ρ ρ + ρ = + + ρ = 0. t Gorn zraz se može zapsat u oblku ρ ( ρ ) + = 0 t ko se naza konzeratnm oblkom zakona očuana mase (ednadžbe kontnuteta). Za nestlačo struane (staconarno l nestaconarno) ednadžba kontnuteta glas: = 0 a zražaa čnencu da nema promene olumena čestce fluda. Da pomoćna prala u zodu osnonh zakona dnamke fluda Blo koe fzkalno sosto fluda (masa, kolčna gbana, energa, ) moguće e zrazt olumenskom gustoćom Φ l masenom gustoćom ϕ (fzkalna elčna zražena po ednc mase e specfčna rednost fzkalne elčne). Tako e npr. olumenska gustoća mase m ednaka Φ =d m/ dv = ρ, specfčna masa ϕ =d m/ dm =. Za knetčku energu m / e olumenska gustoća Φ= ρ /, a specfčna knetčka energa e ϕ= /. Veza zmeđu olumenske gustoće specfčne fzkalne elčne e Φ = ρϕ U sm zakonma dnamke fluda poalue se poam brzne promene sadržaa fzkalnog sosta unutar materalnog olumena. Brzna promene zražaa se materalnom

10 MEHANIKA FLUIDA K 0 deracom, a sadrža fzkalne elčne ntegralom po materalnom olumenu. Ta se sadrža može zrazt l s pomoću olumenske gustoće Φ l s pomoću masene gustoće ϕ fzkalnog sosta, u oblku ΦdV = ρϕ, pa za brznu promene sadržaa red dv VM() t VM() t D D D Dϕ Dϕ ΦdV dv dm dm = ϕρ = ϕ ρ dv = = VM() t VM() t dm m m VM () t U gornm e zrazma skorštena čnenca da e masa m materalnog olumena konstantna (kao masa dm čestce fluda), pa se u tom slučau pr uođenu operatora materalne derace, operator prmenue samo na podntegralnu funkcu. Dakle ala zapamtt pralo (nazomo ga pralom A) D Dϕ dv dv ρϕ = ρ pralo A VM() t VM() t Podntegralna funkca u gornem zrazu nakon razoa operatora materalne derace e D ρ ϕ ρ ϕ = + ϕ t x Ako se desno stran gorneg zraza doda ednadžba kontnuteta pomnožena s ϕ sled Dϕ ϕ ϕ ρ ( ρ ) ρ = ρ + ρ + ϕ + t t dobe se: = 0 prema ednadžb kontnuteta ( ρϕ ) ( ρ ϕ ) Dϕ ϕ ϕ ρ = ρ + ρ = + t t pralo B Vala zapamtt oo ednostano pralo koe će poslužt za defnrane konzeratnh oblka osnonh zakona (treć oblk u pralu B). Zakon očuana kolčne gbana (ednadžba gbana fluda) Zakon kolčne gbana za materaln olumen glas: Brzna promene kolčne gbana materalnog olumena ednaka e sum anskh masenh poršnskh sla koe deluu na materaln olumen. Matematčk zaps, rečma skazanog zakona kolčne gbana e (pogledat sažetak 8. predaana z MFI): D ρdv = ρfdv + σ d D ds = ρ f V + nσ ds t VM() t VM() t SM() t n VM() t SM() t σ Prmenom prala A na leu stranu gorneg zraza prkazom poršnskh sla preko olumenskog ntegrala, sled: D σ d d ρ V = f V ρ + dv VM() t VM() t VM() t Iz gorneg zraza sled nekonzeratn dferencaln zaps zakona kolčne gbana ko glas: D σ ρ = ρ f + x

11 MEHANIKA FLUIDA K Množenem gorneg zraza s olumenom čestce fluda, dobe se poznat oblk drugog Newtonoog zakona za gbane čestce fluda, u koem e lea strana ednadžbe ednaka umnošku mase čestce fluda nena ubrzana (materalna deraca brzne), a desna strana e ednaka zbrou sla koe deluu na čestcu fluda, ode su to masena poršnska sla. Volumenska gustoća ukupne poršnske sle na čestcu fluda e matematčk σ defnrana dergencom tenzora naprezana, što narano označue ektor. Komponente toga ektora dobu se razoem zraza za =, 3, npr. komponenta poršnske sle u smeru os x (za = ) e σ σ σ σ 3 = Fzkalna nterpretaca gorna tr člana sled z analze poršnskh sla na čestcu fluda oblka elementarnog paraleloppeda sa strancama dx, dx dx 3, kao što prkazue slka. Na prkazanu čestcu fluda ucrtane su x 3 samo sle u smeru os x, a na sm σ3 σ σ poršnama su pretpostalene poztne 3 + dx3 x3 komponente tenzora naprezana. Težšta 3' σ poršna u koma deluu poršnske sle σ σ + dx x su označena broema do 3 ' do 3'. ' Poršne do 3 mau normale u ' negatnm smeroma os, pa na nma x 3 poztna naprezana gledau u negatnom smeru os x (det x σ σ σ 3 + dx x 0 dogoor o predznacma naprezana u sažetku. predaana z MF I). Normale poršna ' do 3' su u poztnm smeroma os, pa poztna naprezana na tm poršnama gledau u poztnom smeru os x. Komponente naprezana su u općem slučau funkce prostornh koordnata. Ako na poršn (u težštu ) lada naprezane σ, onda će u blsko točk ', koa e od točke pomaknuta u smeru os x, doć do σ σ prrasta naprezana dx tako da e u težštu ' naprezane σ + dx. Slčno red x za prraste naprezana σ σ 3. Elementarna sla u smeru os x na poršn e σ σdxdx3, a na poršn ' σ + dx dxdx3. Doprnos poršnsko sl u smeru os σ x na poršn e σdxdx 3, a na poršn ' σ + dx dxdx3. Analogno red za poršne 3 3'. Ukupna poršnska sla na čestcu fluda ednaka e zbrou sla na šest poršna znos σ σ σ σ 3 σ + + dxdxdx3= dv, pa e asno da e olumenska 3 gustoća poršnske sle na čestcu fluda u smeru os x. x x

12 MEHANIKA FLUIDA K Prmenom prala B na leu stranu gore dane ednadžbe kolčne gbana D σ ρ = ρ f + sled konzeratn dferencaln zaps zakona kolčne gbana, x ko glas: ( ρ ) ( ρ) σ + = + t ρ ρ ρ f ρ f x σ + = + t što e nekonzeratn oblk ednadžbe kolčne gbana.,, a prema pralu B asno e da red Zakon očuana momenta kolčne gbana Zakon momenta kolčne gbana za materaln olumen glas: Brzna promene momenta kolčne gbana materalnog olumena, u odnosu na odabran pol, ednaka e sum momenata anskh masenh poršnskh sla koe deluu na materaln olumen, u odnosu na ta st odabran pol. Ako se pretposta da u fludu nema momenata (spregoa sla) raspodelenh po poršn materalnog olumena l unutar samog olumena, tada se zakon očuana momenta kolčne gbana sod na čnencu smetrčnost tenzora naprezana σ k = σ k (det sažetak. predaana z MFI). Ako se unapred pretposta smetrčnost tenzora naprezana, to znač da e ednadžba momenta kolčne gbana eć zadoolena (može se trdt da e eć skorštena pr defnranu tenzora naprezana), pa se tu ednadžbu še ne treba uklučat u skup osnonh ednadžb dnamke fluda. Zakon očuana energe Zakon očuana energe za materaln olumen glas: Brzna promene zbroa knetčke unutarne energe materalnog olumena ednaka e snaz anskh masenh poršnskh sla koe deluu na materaln olumen, te brzn zmene toplne materalnog olumena s okolnom. σ Ako se sa u označ specfčna ds unutarna energa čestce fluda, tada n e zbro knetčke unutarne energe ds unutar čestce fluda mase dm= ρdv x f x 3 O q S M dm=ρdv x V M ρ f d V ednak ρdv + ρdvu = ρ + u dv. Energa materalnog olumena ednaka e zbrou (ntegralu) energa sh čestca unutar materalnog olumena, a brzna promene te energe označue se materalnom deracom toga ntegrala, t. red

13 MEHANIKA FLUIDA K 3 Brzna promene energe V M = D D e u dv edv V ρ + = ρ = D ρ d, D VM() t t VM() t VM() t Gde e za zbro specfčne knetčke unutarne energe uedena oznaka e, prmeneno pralo A, za materalnu deracu ntegrala po remensk promenom materalnom olumenu. Snaga masenh sla na čestcu fluda zražaa se skalarnm produktom masene sle na čestcu fluda f ρ dv nene brzne, a ukupna snaga masenh sla u materalnom olumenu ednaka e zbrou, odnosno ntegralu th elementarnh snaga unutar materalnog olumena, t. red Snaga masenh sla u materalnom olumenu = ρ f dv Vanske poršnske sle deluu po materalno poršn S M (t), a defnrane su ektorom naprezana σ, ko e ednak skalarnom umnošku ednčnog ektora normale n na materalnu poršnu tenzora naprezana σ u točk materalne poršne σ = n σ. Na sak elementarn do ds materalne poršne delue elementarna poršnska sla σ ds, a snaga te elementarne sle se dobe nenm skalarnm množenem s ektorom brzne pomcana materalne poršne (koa e ednaka brzn struana fluda). Ukupna snaga poršnskh sla koe deluu na materaln olumen dobe se zbraanem, odnosno ntegrranem th elementarnh snaga po čtao materalno poršn, t. red: Snaga poršnskh sla na V M = e V M ( t) ( σ ) σds = nσ ds = dv, SM() t SM() t VM() t gde e skorštena Gaussoe formula da se ukupna snaga poršnskh sla na materaln ( σ ) olumen, prkaže olumenskm ntegralom. Tako b član mao fzkalno značene olumenske gustoće snage poršnskh sla na čestcu fluda. Treć uzrok promen energe materalnog olumena e zmena toplne kroz materalnu poršnu. Ako se sa označ ektor poršnske gustoće toplnskog toka (ednca u SI q sustau mera e W/m ), onda e toplnsk tok (zmenena toplna u ednc remena) kroz elementarn do materalne poršne razmeran normalno komponent tog ektora (ektor q skalarno pomnožen s ednčnm ektorom n anske normale na materalnu poršnu) elementarno poršn d S. Ukupna snaga toplnskog toka ednaka e ntegralu th elementarnh tokoa kroz celu materalnu poršnu: q Toplnsk toka kroz materalnu poršnu = qnds = dv S t V t M() M() Toplnsk tok se uzma s negatnm predznakom er poztna normalna komponenta ektora poršnske gustoće toplnskog toka qn označue odođene toplne z materalnog olumena što znač smanene ukupne energe materalnog olumena. Jasno e da se poršnsk ntegral može prmenom Gaussoe formule preest na olumensk q ntegral, u koem dergenca ektora poršnske gustoće toplnskog toka označue olumensku gustoću brzne zmene toplne čestce fluda s okolnom. Matematčk zaps rečma skazanog zakona očuana energe e dakle

14 MEHANIKA FLUIDA K 4 De d d ( σ ) q d ρ V = ρ f V + V dv VM() t VM() t VM() t VM() t Sažmanem materalnog olumena na čestcu fluda delenem gorneg zraza s olumenom čestce fluda dobe se dferencaln oblk zakon očuana energe ( σ ) De q ρ = ρ f + Prmenom prala B na leu stranu gorneg zraza dobe se e e ( σ ) q ρ + ρ = ρ f + t ( ρe) ( ρe) ( σ ) q + = + t ρ f x gde e oa posledn oblk konzeratn zaps zakona očuana energe. U gorno ednadžb drug član desne strane označue olumensku gustoću snage poršnskh sla, a može se derranem produkta razložt na da dela: ( ) σ σ σ = + σ = + σ D naprezane tenzor D rezultrauća na poršn brzne + V poršnska čestce deformace sla snaga poršnskh sla ubrzaa čestcu fluda mena knetčku energu koa se troš na deformacu čestce fluda mena unutarnu energu Iz dferencalnog oblka ednadžbe kolčne gbana e poznato da dergenca tenzorskog pola naprezana σ / označue rezultantnu poršnsku slu na čestcu fluda zraženo po ednc olumena, te će umnožak tog člana s brznom čestce fluda označaat olumensku gustoću snage poršnske sle koom se mena knetčku energu čestce fluda, sukladno zakonu knetčke energe u mehanc. U drugom članu gorne ednadžbe se poalue tenzor gradenta brzne / x, ko se, kao što e poznato z knematke, može prkazat zbroem tenzora brzne deformace tenzora rtložnost. Tenzor rtložnost e antsmetrčan tenzor, te e nego dostruk skalarn produkt sa smetrčnm tenzorom naprezana ednak nul, tako da e drug član produkt tenzora naprezana (poršnske sle) tenzora brzne deformace, z čega se zaklučue da on označue do snage poršnskh sla koom se deformra čestca fluda, a snaga te deformace se pretara u unutarnu energu, kao što e poznato z termodnamke. Drug zakon termodnamke Drug zakon termodnamke spada u skup osnonh zakona, a ukazue na ednosmernost odana realnh termodnamčkh procesa. Oa e zakon zražen čnencom da entropa zolranog sustaa mora rast l u nabolem slučau ostat sta, odnosno da produkca entrope u otorenom termodnamčkom sustau mora bt poztna l ednaka nul. Glana prmena oog zakona u dnamc fluda e za ocenu alanost (fzkalnost) dobenh rešena struana fluda. Ukolko posto še rešena nekog problema struana,

15 MEHANIKA FLUIDA K 5 uzma se ono koe e u skladu s drugm zakonom termodnamke. Brzna promene entrope čestce fluda defnrana e Gbbsoom ednadžbom danom u prethodnom predaanu, a koa glas Du Ds Dρ ρ = ρt + p ρ Prmenom ednadžbe kontnuteta D ρ = na zadn član desne strane gorneg ρ x zraza, sled: Ds Du ρ T = ρ + p S obzrom da se entropa ne poalue u ostalm osnonm zakonma dnamke fluda, gorna se ednadžba može rešaat nezasno od ostalh ednadžb, pa se ona naza pasnom ednadžbom, što znač da se drug zakon termodnamke prmenue neosno od prethodnh zakona. U tom smslu ga se neće uzmat u skup osnonh ednadžb, nego će ga se prmenat po potreb (ukolko posto potreba za sptanem fzkalnost rešena). Skup ednadžb osnonh zakona dnamke fluda U skup osnonh zakona dnamke fluda spadau opsan zakon: očuana mase, kolčne gbana, momenta kolčne gbana, očuana energe drug zakon termodnamke. Dan matematčk zaps naedenh zakona rede uz pretpostaku hpoteze kontnuuma, homogenog, ednofaznog kemsk nertnog fluda u koem nema poršnskh masenh momenata. Kao što e rečeno, za ta se sluča zakon momenta kolčne gbana sod na čnencu smetrčnost tenzora naprezana, te, ako se ta smetrčnost unapred pretposta, ednadžbu momenta kolčne gbana se spušta z skupa osnonh dferencalnh ednadžb, er ne nos nkaku nou nformacu u odnosu na ednadžbu kolčne gbana. Drug zakon termodnamke, e kao što e rečeno pasna ednadžba, te se n ona ne mora uklučt u osnon skup ednadžb, te od skupa osnonh zakona ko opsuu struane fluda ostau: -zakon očuana mase (ednadžba kontnuteta) ρ ( ρ = ) t -zakon kolčne gbana (ednadžba kolčne gbana) ( ρ ) ( ρ ) σ = + ρ f + t -zakon očuana energe (energska ednadžba) ( ρe) ( ρe ) ( σ ) q = + ρ f + t Jednadžba kolčne gbana e ektorska ednadžba (koa se može razložt na tr skalarne ednadžbe), a ednadžba kontnuteta energska ednadžba su skalarne ednadžbe, tako da susta ednadžb označuu susta pet skalarnh ednadžb. U tm ednadžbama poznata e gustoća masenh sla f, a nepoznata pola su: pole gustoće ρ, tr komponente ektorskog

16 MEHANIKA FLUIDA K 6 pola brzne, šest komponent smetrčnog tenzora naprezana σ, energe e tr komponente ektora poršnske gustoće snage toplnskog toka q, što čn 4 nepoznath pola. Očt e nesklad u brou ednadžb brou nepoznath pola, te naeden susta ne može ednoznačno opsat struane fluda. Unerzaln zakon fzke ko rede za se flude bez obzra na nhou rstu stane nsu u stanu ednoznačno opsat struane fluda, te e u clu usklađana broa ednadžb broa nepoznath pola nužno uest dopunske pretpostake o reološkm termodnamčkm sostma fluda. Te dopunske relace nemau unerzaln karakter, te će tako zatoren susta ednadžb bt alan samo za određenu kategoru fluda.

17 MEHANIKA FLUIDA K 7 Odnos za saršen pln KONSTITUTIVNE (DOPUNSKE) JEDNADŽBE Za toplnsko kalorčk saršen pln red toplnska ednadžba stana: p = RT ρ kalorčka ednadžba stana: u = ct pr čemu su specfčn toplnsk kapactet pr konstantnom tlaku konstantnom olumenu konstantn, pa e nho odnos konstantan ( c =konst., c =konst., κ = c / =konst.). p p c Fourero zakon toplnske odlost Fourero zakon toplnske odlost uspostala lnearnu ezu zmeđu ektora poršnske gustoće toplnskog toka gradenta temperature, koa uz pretpostaku zotropnost fluda, poprma oblk: q T = λ U gornem zrazu e λ toplnska proodnost fluda ([ ] W/ ( m K) λ = ), poztna e elčna funkca e lokalnog termodnamčkog stana. Predznak mnus na desno stan zraza označue da će toplna spontano prelazt uek s mesta še temperature prema mestu s nžom temperaturom, dakle u smeru suprotnom gradentu temperature, dakle ektor toplnskog toka gradenta temperature su suprotno usmeren kolnearn ektor. SI Newtono zakon skoznost Newtono zakon skoznost uspostala lnearnu ezu zmeđu smetrčnog tenzora naprezana tenzora brzne deformace (smetrčnog dela gradenta brzne). Polazeć od čnence da u mruućem plnu lada termodnamčk tlak p, a da su tangencalna naprezana ednaka nul, tenzor naprezana se može prkazat u oblku: σ = pδ + Σ gde e δ ednčn tenzor, a Σ smetrčn tenzor skoznh naprezana, ko se uz pretpostaku zotropnost fluda, modelra zrazom: k Σ = μ + + μ μ δ = μd + μ μ D δ x x 3 k 3 V V kk U gornem zrazu e μ dnamčka skoznost, V μ olumenska skoznost, a D tenzor brzne deformace. Kontrakcom ndeksa u gornem zrazu negom delenem s tr, sled:

18 MEHANIKA FLUIDA K 8 σ 3 = p + μ V k k D(d V ) dv Lea strana gorneg zraza e sredne mehančko naprezane, ča se negatna rednost naza mehančkm tlakom, a ko se razlkue od termodnamčkog tlaka za član ko e razmeran olumensko skoznost relatno brzn promene olumena čestce fluda. Uteca olumenske skoznost e značaan u struanma sa značanm gradentma gustoće fluda, kao što su eksploze udarn alo. Volumenska skoznost ednoatomnh plnoa ednaka e nul, a u struanma gde e brzna promene olumena čestca fluda (odnosno gustoće fluda) mala koefcent olumenske skoznost se može zanemart. U tom slučau zraz za tenzor skoznh naprezana prelaz u: Σ = μ + μ 3 k k δ = μd μ D 3 kk δ U nestlačom struanu e dergenca pola brzne e dentčk ednak nul te su skozna naprezana opsana sledećm zrazom: Σ μ = + = D x x μ Vskoznost μ μ V su poztne elčne, a funkce su lokalnog termodnamčkog stana fluda. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE NEWTONSKOG SAVRŠENOG PLINA Treba naglast da osnon zakon klasčne fzke rede za se flude, a poedn matematčk model struana fluda razlkuu se edno po dopunskm l konsttutnm relacama, koe opsuu specfčno ponašane poednh fluda. Urštaanem konsttutnh relaca u ednadžbe osnonh zakona doba se matematčk model u koem e bro nepoznath pola usklađen s broem ednadžb, a ko red samo za flude ko se ponašau sukladno uedenm konsttutnm relacama. Tako su osnone ednadžbe dnamke newtonskog saršenog plna: - ednadžba kontnuteta ρ ( ρ ) = t - ednadžba kolčne gbana ( ρ ) ( ρ) p Σ = + ρ f + t, gde e k Σ = μ + + μ μ δ = μd + μ μ D δ x x 3 k 3 V V kk

19 MEHANIKA FLUIDA K 9 - energska ednadžba ( p ) ( Σ ) T ρ + u = ρ + u + ρ f + + λ t - toplnska ednadžba stana p = ρrt - kalorčka ednadžba stana u = c T V Naeden susta ednadžb e susta sedam ednadžb u koma se poalue sedam nepoznath pola ( ρ,, p, u T ). Uz zadane početne rubne uete, oa susta ednoznačno opsue problem struana newtonskog saršenog plna. Narano, zbog nelnearnost (npr. konekcsk član u ednadžb kolčne gbana - pr član desne strane) uglanom se neće moć nać analtčko rešene postalenog sustaa, nego će za negoo rešaane trebat prment numerčke metode. Poaom računala, došlo e do razoa računalne dnamke fluda (Computatonal Flud Dynamcs- CFD), grane unutar mehanke fluda, koa obuhaća metode numerčkog rešaana gorneg sustaa ednadžb. MATEMATIČKI MODEL NESTLAČIVOG STRUJANJA Posebnu klasu struana čne nestlača struana, u koma gustoća fluda tekom struana ostae konstantna. To se uglanom odnos na struane kaplena, ako u struanma s elkm gradentma tlaka (npr. pododna eksploza) može doć do razlke u gustoć kaplena (er su kaplene stlače) tako da b struane trebal promatrat kao stlačo. S druge strane struane plnoa (ko su zrčto stlač) pr malm brznama struana u odnosu na brznu zuka, možemo smatrat nestlačm. Tako npr. struane zraka u entlacskom kanalu brznom do desetak metara u sekund, uzrokue rlo mal pad tlaka (sega nekolko paskala) po ednc dulne kanala. Ako se uzme da e tlak zraka reda elčne atmosferskog tlaka (dakle reda elčne Pa), a struane prblžno zotermčko, onda e z ednadžbe stana asno da zbog pada tlaka neće doć do značane promene gustoće zraka, pa se tako struane također opsue modelom nestlačog struana. U nestlačom struanu se dakle toplnska ednadžba stana p = ρrt zamenue s ρ = konst., čme se gub zasnost gustoće od temperature (odnosno unutarne energe) fluda. Ako se može zanemart promena skoznost fluda o temperatur, tada ednadžba kontnuteta ednadžba kolčne gbana postau pose nezasne od temperature. U tom se slučau rešaanem th du ednadžb dolaz do pola tlaka brzne, a nakon toga se rešaa energska ednadžba (koa, osm kalorske ednadžbe stana ostae edna ednadžba u koo se poalue temperatura) čme se dolaz do pola temperature (odnosno specfčne unutarne energe). Ako nas pole temperature ne zanma energsku ednadžbu ne moramo nt rešaat. Jednadžbe koe opsuu nestlačo struane uz μ =konst. su: - ednadžba kontnuteta 3 = 0 l + + = 0 3

20 MEHANIKA FLUIDA K 0 - ednadžba kolčne gbana ( ρ ) ( ρ ) p = + ρ f + μ t Energsku ednadžbu za sluča nestlačog struana ćemo kasne defnrat. Početn rubn uet Dan susta ednadžb opsue nestlačo struane blo koeg newtonskog fluda, u blo kakom geometrskom područu. Kad b znal analtčk ntegrrat oe ednadžbe, dobl bsmo nhoo opće analtčko rešene u koem b se poale određene funkce ntegrace, koe b čnle opće rešene neodređenm, se dok se ne zada područe u koem se neko struane analzra, uet ko ladau u tom područu u početnom trenutku ntegrace (početn uet), kao uet ko ladau na rubu tog područa tekom remena ntegrace (rubn uet). Ako nas zanma samo staconarno rešene (rešene koe se dobe kad ščeznu se remenske promene), početne uete ne potrebno zadaat. Tpčn rubn uet za brznu ) Rubn uet na nepropusno stenc. Vskozn flud se lep na stenku, tako da e brzna fluda na stenc ednaka brzn stenke (nema relatne brzne zmeđu fluda stenke, kao što e to bo sluča u potencalnom struanu). Jasno e da e na mruućo stenc brzna fluda ednaka nul. ) Rubn uet na granc dau fluda. Ako se da fluda (razlčth gustoća skoznost) koa se ne mešau, gbau lamnarno sak u som slou, pr čemu se sloe dodruu, tada se dodrna poršna ponaša kao nepropusna stenka, na koo nema relatne brzne zmeđu da sloa. Po prncpu akce reakce sloe deluu edan na drugoga stom slom po elčn suprotnom po predznaku, što znač da su poršnske sle na dodrno granc neprekdne. 3) Rubn uet na slobodno poršn. Slobodna poršna e u prncpu razdelna poršna dau fluda, od koh edan ma puno manu gustoću skoznost od drugoga (prmer struane ode u kanalu gustoća skoznost zraka su za tr reda elčne man od gustoće skoznost ode). U tom se slučau skozne sle u fludu s malom skoznošću (u spomenutom prmeru u zraku) mogu zanemart, pa rubn uet na slobodno poršn prelaz u uet nultog smčnog naprezana. U tako se stuac promatra struane samo u fludu eće gustoće ( u spomenutom prmeru u od). Potencalna energa ALTERNATIVNI OBLICI ENERGIJSKE JEDNADŽBE Kao što e poznato z mehanke, rad (snagu) potencalne masene sle se može prkazat promenom (brznom promene) potencalne energe. Ako se sa e P označ masena gustoća potencala specfčne masene sle (npr. potencalna energa za slu težne (gratace) e EP = mgz = mgx3, a specfčn potencal e ep = E / P m= gz = gx3), pr čemu ta potencal ne remensk promen, tada se specfčna masena sla može prkazat gradentom tog potencala:

21 MEHANIKA FLUIDA K f e x P = na prmer za slu gratace: ( gx ) ( ) 3 f = = gδ3 = 0,0, g Uzmauć u obzr gornu defncu, član ko označue snagu masenh sla u energsko ednadžb, može se psat u oblku: ep ( ρ ) ρ f = ρ = ( ρe P) + ep ρ prema JK = t Ako se u zadnem članu gorne ednadžbe prmen ednadžba kontnuteta kao što e naznačeno, te uzme u obzr da ne funkca remena, sled: e P ρ f ( ρ ) ( ρ ) e e De = + = ρ t P P P U gornem zrazu e skoršteno pralo B (det prethodna predaana) za prelaz s konzeratnog na nekonzeratn zaps. Rečma skazan, gorn zraz glas: Snaga anske potencalne masene sle koa delue na čestcu fluda ednaka e negatno brzn promene potencalne energe čestce fluda. Dakle poztna snaga masene sle t. gbane čestce flud u smeru masene sle (npr. gbane čestce prema dole u polu gratace) označue smanene potencalne energe, obrnuto kada e skalarn umnožak f negatan, to označue poećane potencalne energe čestce fluda. Urštaanem gorneg zraza za snagu masenh sla u energsku ednadžbu, ona prelaz u oblk: ρ t + u + e P = ρ + u + e P ( p ) ( Σ ) u koem se poalue zbro knetčke, unutarne potencalne energe. Jednadžba knetčke unutarne energe + + T λ U prethodnom oblku energske ednadžbe smo del da pr struanu fluda u polu potencalne sle pod ukupnom energom možemo promatrat zbro tru oblka energe, što e zgodno u ntegralnom prstupu rešaana problema. U dferencalnom prstupu ćemo uek težt naednostanem oblku energske ednadžbe. Kao što smo del z modela nestlačog struana, pole brzne tlaka su određen ednadžbom kontnuteta ednadžbom kolčne gbana, a kada e poznato pole brzne uek možemo odredt knetčku energu fluda, stoga se samo od sebe nameće kao dea da z energske ednadžbe elmnra knetčku energu fluda. To se može učnt na načn da se od energske ednadžbe oduzme ednadžba knetčke energe. Kao što e poznato z mehanke ednadžba knetčke energe se dobe skalarnm množenem ednadžbe kolčne gbana s brznom. Prmeneno na nekonzeratn oblk ednadžbu kolčne gbana u dferencalnom oblku dobe se D p Σ ρ = ρ f + D

22 MEHANIKA FLUIDA K Podsetmo se fzkalnog značena članoa s poršnskm slama. Član p / x označue rezultantnu slu tlaka na čestcu fluda, a nen skalarn umnožak s ektorom brzne označue snagu tlačnh sla koom se mena knetčka energa fluda. Ako e pole tlaka konstantno, onda e rezultantna sla tlaka na čestcu fluda ednaka nul (setmo se statke fluda u MFI sla konstantnog tlaka na zatorenu poršnu ednaka e nul) pa e doprnos toga člana knetčko energ fluda ednak nul. Zadn član gorne ednadžbe e skalarn umnožak rezultantne skozne sle na čestcu fluda s brznom čestce, t. označue doprnos skoznh sla promen knetčke energe čestce fluda. Ako se u nekonzeratnom zapsu energske ednadžbe derrau člano ko označuu poršnske sle dobe se D p Σ T ρ + u= ρ f p + + Σ + λ pr čemu su plaom boom označen člano ko se poaluu u ednadžb knetčke energe. Oduzmanem ednadžbe knetčke energe od ednadžbe ukupne energe (energske ednadžbe) dobe se ednadžba unutarne energe (člano označen crenom boom u gorno ednadžb), koa glas Du T ρ = p + Σ + λ, koa u konzeratnom oblku (dobe se prmenom prala B z prethodnh predaana) glas: ( ρu) ( ρu ) T = p + Σ + λ t p dv ( V ) Φ Dd 0 Iz termodnamke e poznato da e zraz za mehančk rad u ranotežnom procesu ednak p dv pdv, te b snaga bla pd V / dt, a olumenska gustoća te snage. U mehanc V dt fluda se sukladno prncpu lokalne ranoteže za termodnamčk susta uzma čestca fluda ( V dv ), a remensku promenu koa se odnos na čestcu fluda (materalnu deracu) se označue s D/, pa e asno da član p/ x u ednadžb unutarne energe označue olumensku gustoću snage sle tlaka koa doprnos promen unutarne energe. Pr ekspanz se olumen čestce fluda poećaa ( dv > 0), a nena se unutarna energa smanue, što znač da čestca rš rad prema soo okoln. Pr kompres e dv < 0 (olumen čestce fluda se smanue) pa se unutarna energa čestce fluda poećaa, što znač da se čestc dood rad z nene okolne. Iz rečenog e asno da se putem tlačnh sla mehančka energa može pretarat u unutarnu obrnuto. Član u ednadžb unutarne energe označue olumensku gustoću snage skoznh sla Φ koa doprnos promen unutarne energe. Ako se gradent brzne zbroem smetrčnog tenzora brzne deformace D / prkaže antsmetrčnog tenzora rtložnost V, uzmauć u obzr da e dostruk skalarn produkt smetrčnog antsmetrčnog tenzora ednak nul, može se psat: Φ = Σ = Σ ( D + V) = Σ D

23 MEHANIKA FLUIDA K 3 Ako se u gorn zraz urst za skozna naprezana urst Newtono zakon skoznost, gorn zraz za olumensku gustoću snage skoznh sla, nakon razoa po nemm ndeksma, prelaz u oblk: Φ = Σ D = μ ( D D) + ( D D33) + ( D33 D ) μ D + D + D + μv D + D + D ( ) ( ) 3 3 S obzrom da su koefcent skoznost poztne elčne, z gorneg e zraza asno da e snaga skoznh sla uek poztna elčna, što fzkalno znač da će se unutarna energa čestce fluda zbog deloana skoznh sla uek poećaat. Ako se gleda ukupna energa zolranog sustaa, onda e asno da to poećane može ć edno na račun mehančke energe. Vskozna pretorba mehančke u unutarnu energu trae se dok posto gradent brzne. U nestlačom struanu e dergenca brzne ednaka nul, odnosno nema promene olumena čestce fluda, te nema promene unutarne energe čestce fluda putem sle tlaka, pa ednadžba unutarne energe prelaz u oblk ( ρu) ( ρu ) T = + Φ + λ t, gde e Φ = Σ D = μdd Za sluča nestlačog struana edn mehanzam zmene unutarne mehančke energe e putem skoznh sla, a ta e zmena kako e rečeno uek ednosmerna, t. usled skoznh sla mehančka se energa pretara u unutarnu, a nkad obrnuto. Taka proces e dakle neporatan, te će prema drugom zakonu termodnamke zazat porast entrope. S obzrom da se u nestlačom struanu unutarna energa ne može pretort u mehančku, ona nema značena sa staalšta struana. Stoga se u analz nestlačog struana razmatra samo mehančka energa, a brzna pretorbe mehančke energe u unutarnu se naza gubcma mehančke energe (det hdraulčk proračun ceooda u MFI). Prmenom kalorčke ednadžbe stana ednadžba unutarne energe se može preest u temperaturnu ednadžbu, koa e za saršen pln oblka: DT ρcv p Σ λ T = + + Φ Za nestlačo struane temperaturna ednadžbe prelaz u oblk DT ( ρct) ( ρct V V ) T ρcv = + = Φ + λ t U krutm telma, gde nema deformace čestca zbog 0, temperaturna ednadžba se sod na poznatu ednadžbu proođena toplne, koa glas: T T T T T ρc = λ = λ + λ + λ t

24 MEHANIKA FLUIDA K 4 Narano, u zodu prethodne ednadžbe ne uzeta u obzr mogućnost postoana toplnskh zora raspodelenh po olumenu fluda. Za sluča konstantne toplnske proodnost, ednadžba se može psat u oblku T λ T = t ρc a gde e a temperaturna proodnost. Ta sluča staconarnog proođena toplne dobe se pole temperature koe e opsano Laplaceoom ednadžbom. T = 0 Dakle staconarno proođene toplne potencalno struane su analogne poae, pr čemu temperatura odgoara potencalu brzne, a ektor toplnskog toka podelen s toplnskom proodnošću odgoara ektoru brzne. Drug zakon termodnamke produkca entrope Promena entrope čestce fluda, kao elementarnog termodnamčkog sustaa, defnrana e zrazom Ds Du ρt = ρ + p Ako se u gorn zraz urst ednadžba unutarne energe on prelaz u oblk: Ds Φ T ρ = + λ T T q Jednadžba ukazue da do promene entrope čestce fluda dolaz zbog deloana skoznh sla (pr član desne strane ednadžbe) na čestcu fluda, te zbog zmene toplne (drug član desne strane) čestce fluda s okolnom. Kao što e pokazano Φ e uek poztan, što znač da će uek zazat porast entrope, što se za edan spontan proces očekue. Izmena toplne čestce fluda također mena nenu entropu, pr hlađenu čestce, entropa o opada, a pr granu raste. Za ocenu ma l u promatranom sustau uzroka neporatnost procesa poslužt će produkca entrope (det koncept z termodnamke u 3. predaanma), a za brznu produkce entrope red Ds q σ = ρ + 0 T Urštaanem zraza za promenu entrope čestce fluda u gorn zraz, sled: Φ λ T σ = + T T Iz gorneg zraza e očto da će brzna produkce entrope uek bt poztna elčna, a ednaka e nul samo za neskozno ( μ = μ = 0 ) adabatsko (λ=0) struane. Pod tm uetma struane će bt zentropsko poratno.