MEHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtiti DINAMIKA FLUIDA

Transcript

1 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 7 5. DINAMIKA FLUIDA Materaln olumen (fludno telo) e ekalentno sustau materalnh točaka u mehanc, te zatorenom termodnamčkom sustau u termodnamc, pa će s zakon mehanke termodnamke bt drektno prmen na materaln olumen. U mehanc su defnran Newtono zakon gbana, od koh se drug Newtono zakon, može zapsat u oblku zakona kolčne gbana, zakona momenta kolčne gbana l zakona knetčke (mehančke) energe, a u termodnamc su defnran pr zakon termodnamke (zakon očuana energe) drug zakon termodnamke. S su t zakon, kao zakon očuana mase, osnon za klasčnu fzku pa tako za mehanku fluda. U termodnamc se uod koncept toplne, unutarne energe entrope, a radn med e uglanom pln, koemu se deloanem sle tlaka može menat olumen. Za smanane olumena plna unutar termodnamčkog sustaa (kada se goor o kompres), potrebno e ulagat mehančk rad, a pr šrenu plna (ekspanz) pln rš rad u odnosu na okolnu. U procesma pr konstantnom olumenu korsn mehančk rad ednak e nul. Osm tlačnh sla u sustau deluu sle trena (u fludu su to skozne sle). Buduć su sle trena uek suprotne pomaku, nhom se deloanem uek mehančka energa pretara u unutarnu, a nkad obrnuto. Iz rečenog se zaklučue da se u sustama s konstantnm olumenom ne može poećat mehančka energa na račun unutarne. Zato se u mehanc krutog tela (sustaa materalnh točaka, koma e olumen konstantan) ne razmatrau termodnamčk zakon, odnosno unutarna energa, er se z unutarne energe ne može dobt mehančka energa, odnosno ne može se deloat na gbane tela. U mehanc se rad sla trena, kom se mehančka energa (zbro knetčke potencalne energe) pretara u unutarnu označue kao gubtak mehančke energe (er e asno da e ta pretorba ednosmerna). U mehanc fluda se btno razlkue stlačo od nestlačog struana. U stlačom struanu se gustoća fluda u struanu mena, dok e u nestlačom struanu (načešće se rad o struanu kaplena) gustoća fluda (dakle olumen čestca) konstantna. S obzrom na gore rečeno u nestlačom struanu se neće moć unutarnu energu skorstt u gbanu fluda, te će se gbane fluda opsat samo Newtonom zakonma, kao u mehanc krutog tela, dok će za ops stlačog struana bt nužno uzet termodnamčke zakone, što e dano u sledećo tablc. Nestlačo struane ( ρ = konst. ) Stlačo struane ) Zakon očuana mase ) Zakon očuana kolčne gbana 3) Zakon očuana momenta kolčne gbana 4) Zakon mehančke (knetčke) energe 4) Zakon očuana energe (I. zakon termodnamke) 5) II. zakon termodnamke

2 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 8 Osnon zakon dnamke nestlačog struana fluda za materaln olumen Mehanka (susta materalnh točaka) F F F Mehanka fluda (materaln olumen) n σ ds Susta Okolna f 3 ds V M dm=ρdv Materaln susta se sasto od n točaka Unutrašne sle nho moment se ponštaau prema III. Newtonoom zakonu (snage ne!) F k = rezultrauća anska sla na k-tu točku F k = rezultrauća unutrašna sla na k-tu točku m, = masa brzna k-te točke k k Zakon očuana mase materalnog sustaa n d mk = 0 k= Brzna promene mase materalnog sustaa Zakon kolčne gbana za materaln susta Suma anskh sla n n d mkk = Fk k= k= Brzna promene kolčne gbana sustaa Zakon momenta kolčne gbana za materaln susta Suma momenata anskh sla n n d rk mkk = rk Fk k= k= Brzna promene momenta kolčne gbana sustaa Zakon mehančke energe za materaln susta Snaga anskh sla n n d n ' mkk = Fk k + Fk k k = k= k= Brzna promene knetčke energe sustaa Snaga unutrašnh sla unutar sustaa O S M Poršnske sle dodra među čestcama fluda unutar V M su unutarne sle, a sle dodra s okolnom (po S M ) su anske. Zakon očuana mase za V M D dv 0 Dt V ρ = M Brzna promene mase VM Zakon kolčne gbana za V M Suma anskh sla na VM D dv fdv ds Dt ρ = ρ + σ VM VM SM Brzna promene Ukupna masena Ukupna poršnska kolčne gbana VM sla na VM sla na VM Zakon momenta kolčne gbana za V M Suma momenata anskh sla na V M D k dv k fdv k ds Dt ε ρ = ε ρ + ε σ VM VM SM Brzna promene momenta Moment masenh Moment anskh kolčne gbana VM sla na VM poršnskh sla na VM Zakon mehančke energe za V M Snaga anskh sla na VM D dv fdv ds PF Dt ρ = ρ + σ VM VM SM Snaga ρ f d V Brzna promene Snaga anskh Snaga anskh knetčke energe VM masenh poršnskh sla na VM sla na VM unutrašnh poršnskh sla unutar VM U nestlačom struanu se snaga unutarnh sla odnos na skozne sle koe uek pretarau mehančku energu u unutarnu, pa e snaga P F uzeta s negatnm predznakom (smanene mehančke energe), pr čemu e P F >0.

3 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 9 Formulaca osnonh zakona za kontroln olumen Za praktčno rešaane problema struana fluda osnon zakon će se uglanom korstt za kontroln olumen, kako e to pokazano na prmeru ednadžbe kontnuteta. Zakon se od formulace za materaln olumen transformrau u oblke za mruuć kontroln olumen prmenom Reynoldsoa transportna teorema, ko e dan u poglalu knematke, a ko glas: Φ dv D t VKV dv nds Dt Φ = + Φ d VM S ΦdV KV VKV na lee strane osnonh zakona formulranh za materaln olumen. Velčna Φ u gorno formul poprma rednost: ρ u zakonu očuana mase, ρ / u zakonu mehančke energe, ρ u zakonu očuana kolčne gbana te ε k ρ u zakonu očuana momenta kolčne gbana. Fzkalno gledauć olumensk ntegral na desno stran gorne formule označue brznu promene sadržaa fzkalnog sosta unutar kontrolnog olumena, a poršnsk protok fzkalnog sosta kroz kontrolnu poršnu, kao posledcu struana fluda. Sledeća tablca dae pregled sh zakona za mruuć kontroln olumen. Zakon očuana mase mehančke d ρdv = ρ n d S VKV SKV Brzna promene mase protok mase kroz u kontronom olumenu kontrolnu poršnu Formulaca za kontroln olumen d ρ dv ρ n ds ρ fdv VKV SKV VKV energe + ( ) = kolčne gbana momenta kolčne gbana Brzna promene knetčke Protok knetčke energe Snaga masenh sla energe kontronog olumena kroz kontrolnu poršnu na kontron olumen d dv n ds fdv ds ρ + ρ = ρ + σ VKV SKV VKV SKV Brzna promene Protok kolčne ukupna masena ukupna poršnska kolčne gbana KV gbana kroz KP sla na KV sla na KV Brzna promene momenta Protok momenta kolčne ukupn moment masenh kolčne gbana KV gbana kroz KP sla na KV + σ d S P F SKV Snaga anskh poršnskh sla na KV d k dv k r nrds k fdv k ε ρ + ε ρ = ε ρ + ε σ ds VKV SKV VKV SKV ukupn moment poršnskh sla na KV Snaga unutarnh poršnskh sla unutar KV U nastaku ćemo posebno obra redom, zakon mehančke energe, pa zakone očuana kolčne gbana momenta kolčne gbana. Ponot će se defnce zakona za materaln olumen, formulrat će h se za kontroln olumen, te prment pro na sluča ednodmenzskog struana u cema, a zatm dat praktčne prmene th zakona u stroarstu.

4 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 30 Zakon mehančke (knetčke) energe Defnca zakona knetčke energe za materaln olumen dana e u gorno tablc, a može se skazat sledećm rečma: Brzna promene knetčke energe materalnog olumena ednaka e zbrou snaga anskh sla (masenh poršnskh) koe deluu na materaln olumen, te snaz unutarnh sla koe deluu u materalnom olumenu. Matematčk zaps zakona knetčke energe za materaln olumen: f 3 O n S M σ ds V M U struanu fluda u polu masene sle f uočen e materaln olumen V M ko e od okolnog fluda odelen materalnom poršnom S M. Na saku čestcu fluda, koo e knetčka energa ρ dv, delue elementarna masena sla ρ f dv, a snaga te sle e ρ f dv. Na sak delć poršne S M elementarna poršnska sla σ ds, a nena snaga e σ ds, pr čemu e Slka uz defncu zakona kolčne gbana ektor naprezana σ defnran zbroem tlačnh skoznh sla f σ = pn + σ. Poršnske sle koe deluu po materalno poršn su za materaln olumen anske sle (sle dodra zmeđu čestca materalnog olumena okolne), a unutar materalnog olumena (među čestcama materalnog olumena) deluu unutarne poršnske sle. U nestlačom struanu e snaga sla tlaka ednaka nul (er nema promene obuma čestca fluda), te snagu unutarnh sla defnrau samo skozne sle. Vskozne sle uek pretarau mehančku energu u unutrašnu, te će uek o smananu mehančke energe. Ako se snaga unutarnh sla označ s P F defnra kao poztna elčna, tada će se u ednadžb knetčke energe ona poalat s negatnm predznakom, er smanue knetčku energu materalnog olumena. Matematčk zaps zakona e: D dv fdv ds P F Dt ρ = ρ + σ VM VM SM ds dm=ρdv snaga unutrašnh Brzna promene snaga masenh snaga anskh sla unutar knetčke energe VM sla na VM poršnskh VM sla na VM ρ f d V U zakonma kolčne gbana momenta kolčne gbana se unutarne sle nho moment međusobno ponštaau po trećem Newtonoom zakonu (prnckce reakce). Buduć e snaga skalarn umnožak ektora sle ektora brzne, snage sle akce reakce na de čestce neće bt ednake, buduć da se čestce mogu gbat razlčtm brznama.

5 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 3 Formulaca zakona mehančke energe za kontroln olumen Kao što e pre rečeno, za potrebe rešaane praktčnh problema, osnon zakon će se preformulrat za kontroln olumen. U sakom trenutku se promatra ona materaln olumen ko spunaa odabran kontroln olumen (olumen stalan u remenu). U tom se slučau olumensk poršnsk ntegral po materalnom olumenu materalno poršn mogu smatrat ntegralma po kontrolnom olumenu kontrolno poršn, a brzna promene sadržaa knetčke energe unutar materalnog olumena se skazue ntegralma po kontrolnom olumenu kontrolno poršn, prema Reynoldsou transportnom teoremu (RTT). Prmenom RTT na leu stranu gorne ednadžbe dobe se formulaca zakona mehančke energe za kontroln olumen koa glas: d dv ( n ) ds fdv ρ + ρ = ρ + σ d S P F VKV SKV VKV Brzna promene knetčke Protok knetčke energe Snaga masenh sla energe kontronog olumena kroz kontrolnu poršnu na kontron olumen SKV Snaga anskh poršnskh sla na KV Snaga unutarnh poršnskh sla unutar KV Prmena zakona knetčke energe na ednodmenzsko struane u ceoodu U strogom smslu reč struane e ednodmenzsko u elementarno struno ce. S obzrom da elementarna struna ce ma nfntezmalnu poršnu, može se pretpostat da su se elčne po poprečnom preseku elementarne strune ce konstantne, a u staconarnom struanu se menau samo uzduž ce (dakle u smeru edne dmenze). Struane u realnm cema će bt prblžno ednodmenzsko, ako e promena poršne poprečnog preseka ce blaga (nema naglh prošrena l sužena) kada e radus zakrlenost ce elk u odnosu na nen promer. U realno ce elčne po preseku nsu konstantne pa se barata s nhom srednm rednostma po preseku. Pretpostake: 3. Flud e nestlač A. Masena sla e sla =n gratace f = gδ3 3. Vektor brzne A A okomt na preseke, a S w uod se faktor =-n korekce knetčke ds =dse energe u oblku dv=dads 3 α = ds 3 A Integracom ednadžbe knetčke energe, po kontrolnom olumenu prema slc uz naedene pretpostake, dobe se d dv ( n ) ds fdv ds PF ρ + ρ = ρ + σ VKV SKV VKV SKV ρqg( z z ) Q( p p ) ρq ds ρq( α α ) t gde su prosečne brzne na presecma A (ulazn) sr A (zlazn), a Q protok kroz ce. Zakon knetčke energe za ednodmenzsko struane označue modfcranu Bernoulleu ednadžbu, koa glas A

6 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 3 αρ p ρgz Q αρ p ρgz Q + + = + + PF ρq ds t snaga na zlazu z ce snaga na ulazu u ce brzna promene knetčke energe KV Ako u ceoodu zmeđu preseka posto stro (pumpa koa predae snagu P fludu l turbna koa oduzma snagu P T od fluda), onda se modfcrana ednadžba može poopćt u sledeć oblk αρ + p + ρgz Q = αρ + p + ρgz Q PF ρq ds + P PT t snaga na zlazu z ce snaga na ulazu u ce brzna promene knetčke energe KV Pumpa e pogonena motorom, pr čemu motor predae pump snagu P korsnost pumpe η P = P P M P M, pa e faktor. Turbna občno pogon generator, pr čemu generatoru predae snagu P G, pa e faktor korsnost turbne defnran odnosom P G η T =. PT U gore prkazanom oblku modfcrane Bernoullee ednadžbe, sak član ma dmenzu snage, a korste se sledeć oblc te ednadžbe Oblk Dmenza αρ + p + ρgz = αρ + p + ρgz ρ ds + Q t Q Q P F P P T p p P F T α + + gz = α + + gz ds P P ρ ρ ρq + t ρq ρq snaga olumenk protok snaga masen protok snaga težnsk protok p p P F T α + + z = α + + z ds P P g ρg g ρg ρgq g + t ρgq ρgq U zadnem oblku modfcrane Bernoullee ednadžbe občno se uode oznake P hp = =sna dobae pumpe, ρgq PT ht = =pad sne energe u turbn ρgq PF hf = =sna gubtaka mehančke energe (energe pretorene u unutarnu energu) ρgq Za sluča račana ceooda oblc modfcrane Bernoullee ednadžbe z gorne tablce postalau se duž strunce. Prmer: Slka prkazue račastu ce s da ulazna preseka ( ) te da zlazna preseka (3 4). Između točaka 5 6 se nalaz pumpa koa predae fludu snagu P P. Prema ednadžb kontnuteta ukupn protok kroz pumpu e Q = Q + Q = Q3 + Q4. Ako nema gubtaka energe u rač, u točkama 5 6 sna energe (energa po ednc težnskog protoka) ostae konstantna neosno o protoku.

7 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 33 Integraln oblk zakona knetčke energe za staconarno struane fluda kaže da e snaga na zlazu z KV (presec 3 4) ednaka snaz na ulazu (presec ) uećano za snagu pumpe umaneno za snagu skoznh sla, t. 3 4 αρ p ρgz Q αρ p ρgz Q αρ p ρgz Q + + αρ p ρgz = Q + P P Modfcrana Bernoullea ednadžba postalena zmeđu točaka do5 e: 5 p 5 p α5 z P 5 α z F5 + + = + + hf5 g ρg, gde e h F5= g ρg ρgq P F Modfcrana Bernoullea ednadžba zmeđu točaka 5 6 glas 6 p 6 5 p 5 α6 z 6 α5 z PF56 P + + = hp hf56 g ρg, gde su h g ρg F56= hp=, ρgq ρgq a zmeđu točaka p 3 p 6 α + + z = α + + z h g ρg g ρg F63 PF63, gde e hf63= ρgq Iz kombnace prethodnh ednadžb dobe se modfcrana Bernoullea ednadžba zmeđu preseka 3 3 p 3 p α3 + + z 3 = α + + z + hp hf5 hf56 hf63 g ρg g ρg Dakle modfcrana Bernoullea ednadžba red duž strunce. Analogno se dobe zraz za modfcranu Bernoulleu ednadžbu zmeđu preseka 4 l zmeđu preseka 3 l zmeđu preseka 4. Važno e zapamtt da se snaga skoznh sla dobe množenem sne gubtaka h F s prpadaućm težnskm protokom, kao snaga pumpe (u oom prmeru P = ρg( Q+ Q) h ). P P 3 Promena tlaka okomto na strunce (ntegral ednadžbe gbana fluda po putu okomtom na strunce) Izraz za promenu tlaka okomto na strunce e: g 3 n p= p ρg( z z) + ρ dn R udalenost n se mer od sredšta zakrlenost strunce. O R=radus zakrlenost Slka uz defncu promene tlaka okomto na strunce. U struanu fluda s ranm struncama ( R= ) promena tlaka okomto na strunce sta e kao u fludu u mroanu.. U struanu fluda u horzontalno rann sa zakrlenm struncama tlak raste od sredšta zakrlenost strunca. 3. Strunca ne može bt slomlena krula, er b u točk loma blo R=0, pa b dp/dn blo beskonačno, što ne fzkalno.

8 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 34 Ilustraca sadržaa modfcrane Bernoullee ednadžbe Za grafčk prkaz sadržaa Bernoullee ednadžbe pogodno e korstt oblk u koem su s člano zražen kao snaga po ednc težnskog protoka (l energa po ednc težne fluda), ko za sluča staconarnog struana α =, glas p p PF P PT + + z z g ρg = geometrska g ρg (geodetska) ρgq ρgq ρgq sna sna sna h knetcke tlaka F hp ht defnra GL energe sna sna pad pezometrcka sna gubtaka dobae sne defnra HGL pumpe energe u turbn Vsna ukupne energe =EL er e sak član zražen snom stupca fluda. U sakom preseku ce energa fluda e defnrana zbroem sna knetčke energe potencalnh energa tlaka položaa. Jasno e da e za struane ažna razlka potencalnh energa (što odgoara radu sle težne) od ulaza do zlaza, što znač da se sna z može mert od prozolne horzontalne ranne (nazomo u referentnom rannom). Slčno red za rad sle tlaka ko e ednak razlc sna tlaka na ulazu zlazu z ce, pa se može računat l s apsolutnm tlakom l s manometarskm tlakom (razlka će ostat sta). Geometrska l geodetska lna (GL) prolaz smetralom ce, Hdraulčka gradentna lna (HGL) defnra zbro geometrske sne sne tlaka, a ukupna energa se prkazue Energskom lnom (EL), koa označue zbro sa tr oblka energe. Prema Bernoulleo ednadžb energa će, gledano u smeru struana, opadat zbog gubtaka trena (u ce konstantnog poprečnog preseka t su gubc lnearno razmern duln ce) prolaskom kroz turbnu (er turbna oduzma energu fludu), a rast će prolaskom kroz pumpu (er pumpa dodae energu fludu). Jasno e da u neskoznom struanu, bez pumpe turbne u ceoodu, energa fluda ostae konstantna, što znač da e Energska lna, horzontaln praac. Dona slka prkazue prmer th lna za edan ceood s pumpom (P) turbnom (T). Pr kaltatnom grafčkom prkazanu sadržaa Bernoullee ednadžbe nabole se držat sledećeg redosleda: ) Nacrtat ceood, a smetrala ceooda čn Geometrsku lnu (GL). Nakon toga se zabere referentna ranna (z=0) od koe se mer sna. Ta se ranna občno bra da bude nža od nanže točke ceooda (tako da z bude poztno u sako točk ceooda). Eentualno se referentnu rannu može odabrat tako da prolaz nanžom točkom ceooda. ) Barem u edno točk zračunat ukupnu snu energe (npr. u točk /l točk 6). Vala mat na umu da se ukupnu snu energe može defnrat s apsolutnm p / ρ g tlakom l pretlakom. Ako se ona defnra s apsolutnm tlakom, onda član ( ) ne može bt negatan (t. HGL ne može presecat GL), što ne sluča kad se rad s pretlakom. 3) Nakon toga se pro crta EL. Kod kaltatnog crtana EL, počne se od poznate točke na EL (u koo možemo defnrat ukupnu snu energe). Ako se de u smeru struana EL se snžaa za snu gubtaka pad sne energe u turbn, a

9 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 35 poećaa za snu dobae pumpe, pr prolasku kroz pumpu. Ako se de u suprotnom smeru od smera struana fluda, tada EL raste za snu gubtaka pad sne energe kroz turbnu, te pada za snu dobae pumpe, kroz pumpu. Ako mamo še točaka s poznatom snom energe, tada se crtane kombnra malo od edne, malo od druge točke, tako da EL prođe kroz se točke sa zadanom snom energe. 4) Nakon što e defnrana EL, crta se HGL tako da se u sako točk ce od EL oduzme sna knetčke energe. Pr tome se od računa da će u ce maneg promera sna knetčke energe bt eća (er e po ednadžb kontnuteta, brzna u tako ce eća). Slčno red za gubtke trena, pr zadanom protoku, on će bt eć u ce maneg promera (ponoo zbog eće brzne, što će posle bt pokazano). 5) Kad se mau defnrane se lne, u sakom se preseku (npr. u preseku A, prema slc) može očtat geometrska sna, sna tlaka sna brzne, čme se steče predodžba o promen th elčna duž ceooda. αf3 4 hf3 4 EL h P g 3 4 h T αf5 6 hf5 6 g αf p A ρg g 5 6 p 6 ρg 6 p ρg HGL P 3 A T 5 4 Smetrala ce = GL z 6 z A z Referentna ranna z=0 Napomena: U kaltatnom prkazu za promere ce d3 4 < d < d5 6, pa e 5 6 < < 3 4, a nagb za prace ko prkazuu gubtke su αf5 6 < αf < αf3 4. U kratkm cema se gubc trena mogu zanemart, pa u staconarnom struanu bez stroa, ukupna energa ostae konstantna duž strunce.

10 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 36 Prmer lustrace sadržaa Bernoullee ednadžbe u staconarnom neskoznom struanu: 3 g g E.L. g g g H.G.L. H.G.L. p ρg p ρg p ρg p ρg p 3 ρg z z G.L. z=0 - Promer ce e konstantan, pa e prema ednadžb kontnuteta konstantna brzna. - Dolaz do preraspodele sne tlaka geodetske sne, a promena tlaka e sta kao u fludu u mroanu. - Smer struana neodređen (slka e sta za oba smera struana). - Položa z=0 se odabre prozolno. - Energetska lna se može defnrat l s apsolutnm tlakom l s pretlakom (ako e defnrana s apsolutnm tlakom, tada sna tlaka ne može bt negatna, t. HGL ne može bt spod GL, kao n EL). 3 z z z z=0 - Vsna z e konstantna, pa dolaz do preraspodele zmeđu sne brzne sne tlaka. - Iz ednadžbe kontnuteta Q=A=konst., sled da će u preseku mane poršne A bt eća brzna, a z Bernoullee ednadžbe e asno da će pr ećo brzn bt nž tlak. - Mnmalna rednost tlaka e dakle u naužem preseku, a ne može bt mana od tlaka para (tlaka kod koeg flud pr zadano temperatur počne sparaat). - Mnmalnm tlakom e defnrana maksmalna brzna struana, odnosno maksmaln protok Q. B pa A A - Geodetska sna zlaznog kraa ce e presoka, pa nema struana fluda. - Bernoullea ednadžba se sod na osnonu ednadžbu hdrostatke (prncp spoenh posuda). - Skraćanem prklučne ce, dolaz do struana fluda, a sna mlaza ednaka e sn fluda u elkom spremnku. (za sluča skoznog struana, ta b sna bla nešto mana zbog pretorbe mehančke energe u unutarnu). g z EL GL= sredna mlaza z ma g mn g z Mlaz: p = pa = konst. Dolaz do preraspodele knetčke energe potencalne energe. Bernoullea ednadžba e stog oblka kao zakon mehančke energe za materalnu točku u mehanc m / + mgz = konst., er nakon delena s mg, sled B.J.: z konst. g + =

11 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 37 Kataca g p ρg Poae prncp rada nekh uređaa ko se mogu obasnt Bernoulleom ednadžbom Q Q> Q g p ρg E.L. G.L. p p A A Poećanem protoka uz stu ukupnu energu struana dolaz do smanena tlaka u naužem preseku (na slc e prkazan pomak HGL kada se protok poeća od Q na Q ) Kada se tlak u naužem preseku snz na rednost tlaka sparaana poaluu se mehurć pare (kataca), čme se smanue poprečn presek te dolaz do zagušana struana. Protok pr koem se poalue kataca e maksmalno moguć protok za zadanu snu energe. Mehurć pare bau nošen u područe šeg tlaka, gde mplodrau (ponoo se pretarau u kapletu fazu). Poaa katace e popraćena bracama bukom, a pr mploz mehurća pare u blzn stenke dolaz do nena oštećena. U nestaconarnom struanu se kataca može poat usled naglog ubrzaana fluda. Eektor Struane prmarnog fluda protokom Q u suženom preseku zaza smanene tlaka, koe ma za posledcu ussaane sekundarnog fluda, protokom Q, tako da e na zlazu z eektora protok Q +Q. Oa se prncp korst npr. u uređama za boane, u koma se u struu zraka ulač boa. Istecane z elkog spremnka Slka prkazue zamšlenu struncu unutar spremnka. Ako se pretposta elk spremnk, brzna fluda na slobodno poršn unutar spremnka će bt rlo mala. Brzna se poećaa prblžaanem ulazu u ce. Za potrebe crtana hdraulčke gradentne lne će se pretpostat da e u sako točk spremnka brzna ednaka nul, pa će sna ukupne energa u spremnku bt ednaka pezometrčko sn (koa e za sluča mroana ednaka u sm točkama spremnka).

12 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 38 Prema tome Bernoulleu ednadžbu može se postalat od blo koe točke u spremnku, a občno se bra točka na slobodno poršn. Bernoullea ednadžba postalena od točke 0 na slobodno poršn do točke na zlazu z ce glas pa pa + H= + l = gh ρg g ρg z koe e asno da se potencalna energa fluda u spremnku pretorla u knetčku energu mlaza na zlazu z ceooda, što prkazue slka. (Iz mehanke e poznato da b kuglca u slobodnom padu puštena z stana mroana na putu H postgla brznu = gh ). Gubtak utecana u elk spremnk h 3 Q H=h -h 4 g h U prethodnom prmeru e mlaz fluda stecao u atmosferu, pa e u nemu ladao atmosfersk tlak, a ode mlaz steče u mruuć flud u elkom spremnku, a eksperment pokazuu da će u mlazu ladat tlak defnran ednadžbom hdrostatke p = p + ρgh 4 a Bernoullea ednadžba postalena duž strunce zmeđu točaka 4 (gde e z 4 =0) glas pa pa + h= + + h ρg g ρg p4 / ρg l uz h h= H : H= g Ponoo e asno da će brzna bt funkca razlke sna u spremncma. Ako se za desn spremnk uso model mruućeg fluda onda će energa desnog spremnka bt ednaka pezometrčko sn bt će mana od energe leog spremnka. Dakle u ce će prema Bernoulleo ednadžb sna ukupne energe bt ednaka energ leog spremnka, a ulaskom u desn spremnk energetska lna skokoto opada za snu H, odnosno za snu brzne, te se goor o gubtku utecana (l stecana) u elk spremnk. Bernoullea ednadžba se formalno postala od slobodne poršne leog spremnka do slobodne poršne desnog spremnka, s tm da se pr ulasku u spremnk obračuna gubtak sne ukupne energe ko e ednak sn brzne. Tako b Bernoullea ednadžba zmeđu točaka, prema prethodno slc, (uz z =0), glasla: pa pa + H = + ρg ρg g energa u točk energa u točk gubtak

13 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 39 ρg g =H H.G.L. 3 4 E.L. ρg Lea slka prkazue energetsku lnu (EL) za struane zmeđu da elka spremnka. Oduzmanem sne brzne od EL dobe se HGL. Prema pre rečenom pretpostala se da su brzne u spremncma ednake nul, te se HGL skokoto mena pr ulazu u ce, u koo e brzna za sluča konstantnog promera ce konstantna. Sfon r 0 h H d=konst Struane kroz sfon će se ostart ako e ce u početnom trenutku bla spunena fludom l e potrebno stort polak na zlaznom krau ce (točka ) tako da se flud podgne preko točke. Iz Bernoullee ednadžbe od 0 do e H= l = gh g Spuštanem zlaznog kraa poećaa se brzna stecana. Iz Bernoullee ednadžbe od p= p ρg H+ h a ( ) Spuštanem zlaznog kraa l podzanem točke smanue se tlak p, ko mora bt eć od tlaka para p da ne b nastupla kataca, čom b se poaom struane preknulo. Maksmalna sna ussaana pumpe Da b se uklučanem pumpe uspostalo struane, ussna pumpa ce mora bt spunena fludom. Da b se zbegla poaa katace tlak u točk mora bt š od tlaka para. Iz Bernoullee ednadžbe od 0 do e pa p p h = h+ + a 0 ρg ρg g p Uz pretpostaku da su sne + zanemare, ρg g teorsk maksmalna sna ussaana e ednaka sn atmosferskog tlaka, a starno e to mane.

14 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 40 Korekce brzne protoka pr stecanu kroz otore A 0 A Strunca ne može bt slomlena crta, er b u točk loma radus zakrlenost strunce bo ednak nul, te b deraca tlaka okomto na struncu bla beskonačna, što ne b blo fzkalno. Zbog toga pr stecanu fluda kroz otor poršne A 0 s oštrm rubom dolaz do sužena mlaza. Slka prkazue presek u koemu su strunce paralelne, a tlak konstantan. U tom preseku se mer poršna A poprečnog preseka mlaza. C = A/ A. Faktor kontrakce mlaza e c 0 Realn flud su skozn te će se do mehančke energe na putu od točke 0 do točke usled deloana skoznh sla pretort u unutarnu energu, što znač da će mehančka energa (odnosno brzna) za sluča realnog fluda bt mana. To se uzma u obzr skustenm faktorom korekce brzne C (ko se određue ekspermentalno) prema formul = Cd= C gh. Jasno e da e faktor brzne uek man od edan. Protok Q fluda kroz otor će bt ednak umnošku starne brzne starne poršne mlaza: Q= A= C Cc d A0= CdQd, gde e Cd= CCc faktor korekce protoka (često se Cd označue s C ) Q Qd Prmer faktora brzne faktora kontrakce za neke tpčne slučaee: Tanka stenka-oštr rub: C c =0.6 C =0.98 Lepo zaoblen rub: C c = C =0.98 Ispust: C c = C =0.8 Ispust: C c = C =0.74 Formula za zračunaane remena pražnena posude g A( z) 0 0 =- dz A 0 C d t=t H t= t 0 H 0 z Pretpostake:. Posuda e otorena prema atmosfer.. Vsna z se mer od preseka mlaza u koem su strunce paralelne (ena contracta). 3. Poršna poprečnog preseka posude A(z), e puno eća od poršne A 0 otora na dnu (kazstaconarno struane = gz ). d Vreme t potrebno da se razna fluda spust s sne z = H 0 na z = H d 0 H H0 ( ) A z t t0= t= dz C A g z

15 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 4 Merene brzne z g A h h ρ B Sluča otorenog struana s ranm struncama Cečca A (pezometrčka ce) mer snu tlaka u točk. Promena tlaka okomto na rane strunce sta e kao u fludu u mroanu, pa će razna fluda u cečc bt u slobodno poršn. Cečca B (Ptotoa ce) mer snu tlaka u točk, u koo e brzna ednaka nul (zaustana točka). Prema Bernoulleo ednadžb sna zaustanog tlaka p / ρ g e eća od sne tlaka p / ρ g u točk za snu brzne h = / g. Člano Bernoullee ednadžbe se mogu tumačt na sledeć načn p + ρ + ρ gz = kost. statčk tlak dnamčk tlak hdrostatsk tlak zaustan tlak totaln tlak Bernoullea ednadžba kaže da totaln tlak ostae konstantan duž strunce. h Merene brzne struana fluda u cema Lea cečca mer statčk tlak u točk, a Ptotoa ce zaustan tlak u točk. Razlka ta da tlaka e sna brzne, pa red = g h. Očto e da se brzna računa z merene razlke tlakoa, koa se občno mer dferencalnm manometrom. h ρ 0<ρ ρ R R ρ h ρ 0>ρ Sluča kada e dferencaln manometar spunen fludom mane gustoće od fluda ko stru u ce ρ0 = g h ρ Sluča kada e dferencaln manometar spunen fludom eće gustoće od fluda ko stru u ce g h ρ ρ 0 =

16 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 4 Pranl-Ptotoa ce Sasto se od de koaksalne ce, pr čemu e unutarna cečca som otorom suprotstalena struanu mer zaustan tlak (točka na slc). Vanska ce ma po obodu rupce s otorma preko koh čestce fluda prolaze tangencalno koma se mer statčk tlak (točka 3 na slc). Dona slka kaltatno prkazue promenu tlaka duž strunce --3. U točk zastoa e brzna ednaka nul, a tlak e maksmalan. Od točke zastoa flud se ponoo ubrzaa, a tlak opada. U područu zmeđu točaka 3 brzna na nekm mestma premašue brznu, te tlak opada spod tlaka p, al se na određeno udalenost od točke tlak ponoo raća na rednost tlaka p. Ako se zanemar učnak skoznh sla u neogrančenom struanu fluda tlak p 3 će bt ednak tlaku p, pa će se z 0 merene sne h moć zračunat brzna, pr čemu red zraz g h ρ = ρ. tlak p ρ 3 p = p 3 h ρ 0>ρ Merene protoka u struanu kroz ce Slka shematsk prkazue tr razlčta merna uređaa za merene protoka u struanu kroz ce, redom merna blenda, merna sapnca Venturea ce. U sm uređama e prncp merena st: u suženom preseku tlak e zbog poećana brzne nž. Razlka tlaka u presecma raste s porastom protoka, te se z merene razlke tlaka može zaklučt o protoku kroz ce. Prmenom Bernoullee ednadžbe se dolaz do protoka dealnog fluda, a uođenem faktora korekce brzne kontrakce mlaza se dolaz do protoka realnog fluda.

17 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 43 Venturea ce Q D D ρ 0 ρ, µ h h 0 z=0 Slka shematsk prkazue Ventureu ce postalenu u kosom ceoodu, u koo se dferencalnm manometrom mer razlka tlaka u da preseka. Iz ednadžbe kontnuteta, Bernoullee ednadžbe ednadžbe manometra sled zraz za protok dealnog fluda ρ 0 gh 0 Dπ ρ Qd= 4 4 D D Protok realnog fluda skoznost µ e Q= C C Q. Venturea ce se zod tako da e faktor kontrakce mlaza C c=, a faktor korekce ρd brzne C e funkca Reynoldsoa broa Re =. Prmer zasnost faktora C o µ Reynoldsou brou Re e dan na sledećo slc. c d

18 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 44 Prmena zakona kolčne gbana momenta kolčne gbana za kontroln olumen f 3 O n S M ds σ ds dm=ρdv V M ρ f d V U struanu fluda u polu masene sle f uočen e materaln olumen V M ko e od okolnog fluda odelen materalnom poršnom S M. Na saku čestcu fluda delue elementarna masena sla ρ f dv, a na sak delć poršne S M elementarna poršnska sla σ ds. Kolčna gbana čestce fluda e ρ dv, a moment kolčne gbana u odnosu na shodšte koordnatnog sustaa ε ρ V. k d Zakon očuana kolčne gbana za materaln olumen glas: Brzna promene kolčne gbana materalnog olumena ednaka e sum anskh sla (masenh poršnskh) koe deluu na materaln olumen. Matematčk zaps toga zakona e D D ρdv = ρ fdv + σ ds Dt l ρdv = ρ f dv + σds t VM VM SM D V M V M S M Zakon očuana momenta kolčne gbana za materaln olumen glas: Brzna promene momenta kolčne gbana materalnog olumena ednaka e sum momenata anskh sla (masenh poršnskh) koe deluu na materaln olumen. Matematčk zaps toga zakona e D Dt D ε ρ dv = ε ρ f dv + ε σ ds l k k k VM VM SM r ρdv = r ρ f dv + r σds Dt V M V M S M Prmenom Reynoldsoa transportnog teorema na lee stranu ednadžbe kolčne gbana ednadžbe momenta kolčne gbana za materaln olumen, slede ednadžba kolčne gbana za kontroln olumen (KV) s mruućm grancama: - ednadžba kolčne gbana d ρdv + ρ n ds = ρ fdv + σ ds VKV SKV VKV SKV brzna promene protok kolčne gbana ukupna masena ukupna poršnska kolčne gbana KV-a kroz kontrolnu poršnu sla na KV sla na KV - ednadžba momenta kolčne gbana d k dv k pnpds k fdv k ε ρ + ε ρ = ε ρ + ε σ ds VKV SKV VKV SKV Brzna promene momenta Protok momenta kolčne ukupn moment masenh kolčne gbana KV-a gbana kroz KP sla na KV ukupn moment poršnskh sla na KV

19 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 45 u Kontrolna poršna S KV se općento može prkazat zbroem ulaznog dela S (kroz ko flud uteče u kontroln olumen), zlaznog dela S (kroz ko flud napušta kontroln w olumen) poršne plašta (stenke nekog uređaa, stroa l konstrukce) S kroz ko nema struana fluda n = 0 ). S = S + S + S KV u w Uz pretpostaku nestlačog struana, uzmauć da e masena sla ednaka sl težne f = gδ ednadžba kolčne gbana se može napsat u oblku ( ) 3 d dv g 3 dv ( n ) ds ds ρ = ρ δ ρ σ + σ V u w KV VKV S + S S brzna promene G =težna fluda u KV w -F =sla stenke kolčne gbana KV na flud Posledn ntegral u gorno ednadžb dae ukupnu poršnsku slu zmeđu stenke fluda to slu koom okolna (stenka) delue na flud. Ta e sla po trećem Newtonoom zakonu ednaka negatno rednost sle F koom flud delue na stenku. Vektor poršnske sle se može prkazat zbroem sle tlaka skoznh sla f σ = pn + σ w pr čemu se skozne sle na ulazno zlazno poršn občno zanemaruu (tangencalne skozne sle se občno međusobno ponštaau, a normalne komponente skoznh sla su male u odnosu na tlačne sle), tako da zakon kolčne gbana za kontroln olumen prelaz u oblk d f w ρdv = G ( ρ n + pn σ ) ds F V u KV S + S brzna promene kolčne gbana KV Analogno se dobe za zakon momenta kolčne gbana: d G f w k dv k G k d rnr pn S M k ( F ) ε ρ = ε ε ρ + σ V u KV moment sle S + S n moment sle gde su brzna promene momenta kolčne gbana KV G ( ) w krako što h sle težne Mk G w w fluda na plašt= εk F G w F čne s shodštem koordnatnog sustaa. U uetma staconarnog struana (kada se slka struana ne mena s remenom) brzna promene kolčne gbana kontrolnog olumena (lea strana ednadžbe) e ednaka nul, te će zakon kolčne gbana zražen za kontroln olumen služt za određane sle koom flud delue na stenku w f F G ρ n pn σ w f = + ds l F = G u ρ n + pn σ ds u S + S n n S + S a zakon momenta kolčne gbana u odnosu na shodšte koordnatnog sustaa w w G f ε k F = ε k G ε k ρ d r nr + pn σ S u S + S n l

20 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 46 w w G f r F r G r = ρ ( n) + pn σ ds u S + S n Očto e da će za određane sle koom flud delue na stenku bt potrebno poznaane profla brzne tlaka na ulaznom zlaznom delu kontrolne poršne, te skoznh naprezana po ulaznm zlaznm deloma kontrolne poršne. Vskozna naprezana su redoto puno mana od tlaka, te se ona uobčaeno zanemaruu, kao što e to učneno u ednadžb mehančke energe. Sledeća tablca dae rekaptulacu osnonh zakona za sluča staconarnog nestlačog struana fluda, za sluča da e sla gratace edna masena sla te uz zanemarene sla skoznost na ulaznm zlaznm deloma kontrolne poršne. Zakon očuana mase (edn. kont. JK) mehančke energ. (JME) kolčne gbana u S + S Matematčk zaps za mruuć kontroln olumen n ds = 0 Q = n ds = n ds = konst. ( ) l ( ) ( ) u S PF = ρg dv ρ + p n ds u n VKV S + S F = G n pn + ds u S + S n w (JKG) ρ ( ) momenta kolčne r F = r G r n pn + ds u S + S n w w G gbana (JMKG) ρ ( ) Iz tablce e očto da ednadžba kontnuteta uspostala ezu među brznama na ulaznm zlaznm deloma kontrolne poršne, da ednadžba mehančke energe defnra snagu gubtaka unutar kontrolnog olumena, odnosno ako e ta snaga zanemara uspostala ezu među tlakoma na ulaznom zlaznom preseku. Za sluča struana u ceoodma, posto model za snagu gubtaka, a u tom slučau ednadžba mehančke energe (modfcrana Bernoullea ednadžba) služ za određane tlaka l brzne po ulaznm l zlaznm presecma (osno što e zadano). Jednadžba kolčne gbana dae slu koom flud delue na plašt kontrolnog olumena, a ednadžba momenta kolčne gbana moment te sle (odnosno nen položa). Koe ćemo od naedenh zakona prment zas od toga što nas zanma. Na prmer ako nas ne zanma sla na plašt kontrolnog olumena, onda nećemo korstt ednadžbe kolčne gbana momenta kolčne gbana, l ako nas zanma samo sla, a ne neno hatšte, tada ćemo korstt zakon kolčne gbana, al ne zakon momenta kolčne gbana. U prethodnom poglalu smo za sluča ednodmenzskog struana z zakona mehančke energe zel modfcranu Bernoulleu ednadžbu, a posle ćemo u to ednadžb defnrat model snage gubtaka skorstt u za hdraulčk proračun ceooda. U hdraulčkom proračunu ceooda će nas zanmat promena tlaka brzne struana (l protoka) u ceoodnom sustau pa će se ta proračun temelt samo na prmen ednadžbe kontnuteta modfcrane Bernoullee ednadžbe. Ponekad će nas zanmat sla fluda na mlaznce, rače l kolena u ceoodu, što se određue z ednadžbe kolčne gbana ednadžbe momenta kolčne gbana, pa se u nastaku t zakon prmenuu na ednodmenzsko struane. S

21 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 47 Prmena ednadžbe kolčne gbana momenta kolčne gbana za određane sle fluda na plašt ce 3 O f =g p, () Za ulazn presek p, () 3 p 3, (3) 4 p 4, (4) Slka prkazue edan kontroln olumen ko obuhaća unutrašnost račaste ce, a na kontrolno poršn se mogu uočt da ulazna preseka (presec ) da zlazna preseka (3 4). U tm su presecma strunce međusobno paralelne, a ektor brzne su okomt na presek, pr čemu red Za Izlazn presek n n A u A = n = n = n ρ n pn + ds = n ( ρ + p) ds u u A A n = ε k ρ d r nr + pn S = u A n = u A ( ρ ) ε + p n ds k = n = n = n ρ n pn + ds = n ( ρ + p) ds A A n = ε k ρ d r nr + pn S = A n = A ( ρ ) ε + p n ds k Pr struanu skoznog fluda brzna po poprečnom preseku ce ne konstantna, al se ntegral kadrata brzne po preseku može prkazat pomoću kadrata sredne brzne faktora spraka kolčne gbana u oblku ds = βsr A gde e faktor spraka kolčne gbana defnran zrazom β = ds sr A. Vrednost faktora β su: A Struane dealnog fluda ednolk profl brzne po preseku: β= Lamnarno struane u okruglm cema polumera R posto r analtčko rešene za profl brzne = ma R : β=,33 Turbulentno struane u okruglm cema profl brzne zas od ρd Reynoldsoa broa Re=, a koefcent β se kreće u rasponu µ β=,0 (pr šm rednostma Re>0 6 ) do β=,03 (pr nžm rednostma Re) A β=,0,03

22 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 48 U praks e struane načešće turbulentno pa se uzma da e β= (bez da se btno naruš točnost rezultata) U struanu fluda kroz ce strunce su paralelne, pa će promena tlaka po preseku bt sta kao u fludu u mroanu, t. bt će lnearna. Ako se promatra strunca koa prolaz težštem poprečnog preseka ce, tada e ntegral tlaka po poršn poprečnog preseka ednak umnošku tlaka na strunc poršn poprečnog preseka pds = pa. Konačan zraz za zračunaane sle koom flud delue na plašt ce est ( k ) w ( k ) w F = G + n ( βρ + p) A = G + I l F = G + I k ( k ) I = mulsna funkca gde e k bro ulaznh zlaznh deloa kontrolne poršne. Ako su poršne poprečnh preseka male u odnosu na elčnu radus ektora, tada se u ntegralu ko se poalue u ednadžb momenta kolčne gbana promene radus ektora po poršn poprečnog preseka mogu zanemart zament ga u konstantnm radus ektorom do težšta preseka, pa umnožak ε k n može zlučt spred ntegrala, te red ε ( ρ + p) n ds = ε n ( ρ + p) ds = ε I A A k k k k ( βρ ) I = n + p A odnosno zakon momenta kolčne gbana prelaz u oblk ( ) ( k ) w w G ( k ) G ( k ) ( k ) k F = k G + k n p A + = k G + k I ( k ) ( k ) ( k ) I = mulsna funkca ( k ) w w G ( k ) G ( k ) ( k ) ε ε ε βρ ε ε r F = r G + r n + p A = r G + r I l ( βρ ) ( k ) ( k ) I = mulsna funkca Impulsna funkca e ektor, ko e po elčn ednak ( βρ ) A ( k ) k ( k ) I = + p A, okomt e na poršnu A gleda suprotno od anske normale (uek gleda u kontroln olumen bez obzra rad l se o ulaznom l zlaznom delu kontrolne poršne), kao na sledećo slc. Ako se mpulsne funkce shate kao sle, tada se () problem određana sle I (3) I koom flud delue na plašt f =g ce sod na problem statke t. određane suma sla. 3 (4) Zakonom kolčne gbana I defnrana e elčna smer O sle fluda na plašt, a hatšte () I G te sle e defnrano zakonom momenta kolčne gbana, koa se sod na sumrane momenata sle težne mpulsnh funkca.

23 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 49 Postupak zračuna sle: Prmenom ednadžbe kontnuteta Bernoullee ednadžbe odrede se brzne tlako na ulaznm zlaznm deloma kontrolne poršne. Iz zračunath brzna tlakoa računau se rednost mpulsnh funkca na ulaznm zlaznm deloma kontrolne poršne. Vektorskm zbraanem (u analtčkom postupku sumranem komponent sla u smeroma os) mpulsnh funkca sle težne se dobe sla koom flud delue na plašt ce. Moment te sle ednak e sum momenta sle težne momenata mpulsnh funkca. Kad se zna moment sle zna se položa praca u koem sla delue. Treba naglast da gorna formula red za blo kaka oblk kontrolnog olumena, edno e ažno da na ulaznm zlaznm presecma strunce budu međusobno paralelne da su ektor brzne okomt na prpadauće preseke. Impulsne funkce računate s apsolutnm tlakom defnrau slu fluda na stenku (dakle slu na plašt samo s unutrašne strane). Ako s anske strane plašta delue atmosfersk tlak, onda b rezultantna sla na plašt bla ednaka zbrou unutarne sle anske sle atmosferskog tlaka. Do rezultantne sle se dolaz tako da se u mpulsnu funkcu umesto apsolutnog tlaka urštaa manometarsk tlak, dakle red F = G + n βρ + p A ( M ) gde e F rezultantna sla (zana znutra) na plašt ce.

24 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 50 Prmena ednadžbe kolčne gbana za određane sle mlaza fluda na lopatce Slka prkazue mlaz fluda poršne poprečnog preseka A, ko brznom protokom Q= A, nalaz na ranu lopatcu (ploču ednčne šrne) koa na seb ma razdelnk struana (nosć) kom se mlaz del na de grane označene ndeksma 3. Ako e poršna mlaza mala u odnosu na poršnu lopatce mlaz će tangencalno napuštat lopatcu. Mlaz stru u atmosfer, a s druge strane lopatce lada atmosfersk tlak. Na slc e ucrtan odabran kontroln olumen (crta-točka lna) na čo se kontrolno poršn može uočt ulazn presek mlaza, da zlazna preseka, rub mlaza poršna lopatce. Ako se pretpostae ednolk profl brzne po presecma lnearnu promenu tlaka, tada će se mpulsne funkce računat po stm formulama kao pr određanu sle fluda na plašt ce. Ako se traž rezultantna sla na lopatcu (uzmauć u obzr slu atmosferskog tlaka s anske strane, mpulsne funkce se računau s manometarskm tlakom, ko e u sm presecma ednak nul, te za elčnu mpulsne funkce red I= ρ A= ρq Na ulaznm na zlaznm deloma kontrolne poršne mpulsne funkce gledau u kontroln olumen, a okomte su na poršne. Po rubu mlaza također treba zračunat mpulsnu funkcu, er ta poršna ne do poršne lopatce na koo se žel odre slu. Međutm buduć da kroz tu poršnu nema struana, a na no e pretlak ednak nul, zaklučue se da e mpulsna funkca ednaka nul, te preostau samo mpulsne funkce kao prema slc. Tražena sla ednaka e ektorskom zbrou mpulsnh funkca sle težne. Položa praca na koem lež fla F, dobe se prmenom ednadžbe momenta kolčne gbana, a koa kaže da e moment sle F u odnosu na blo kou točku ednak zbrou momenta od sle težne sum momenata od mpulsnh funkca I, I I 3 u odnosu na tu odabranu točku. Ako b struane blo neskozno (nema smčnh naprezana), a ploča bla rana (nema razdelnka struana) sla fluda b bla okomta na ploču (er postoe samo sle tlaka), a protoc Q Q 3 b bl uprao tak da nema tangencalne komponente sle na ploču.

25 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 5 Prmer : Određane sle fluda na branu u rannskom struanu. Dona skca prkazue slku struana u ednom otorenom toku, ko skreće usled brane. Jasno e da za skretane struana treba sla, što znač da brana mora deloat na flud, tako da on skrene (prema slc e to u leo), a to znač da flud delue na branu po prncpu akce reakce slom F u desno. Pretpostat ćemo struane neskoznog fluda, što znač da od poršnskh sla postoe samo sle tlaka, a to znač da će sla fluda na ranu stenku uek bt okomta na stenku. Znač, sla F na ertkalnu branu -3 (koa nas ode zanma) će bt horzontalna (u smeru os ), a sla na podlogu 4-5 će bt ertkalna (u smeru os z). To znač da ćemo za određane sle F skorstt samo -komponentu ednadžbe kolčne gbana. Jednadžba kolčne gbana glas F G = ρ ( n) p Mn + d S, u S + S n a nena -komponenta e F = ρ ( n) p Mn + ds u S + S n U ednadžb kolčne gbana e koršten manometarsk tlak, što znač da e F (odnosno F ) rezultantna sla u koo e obračunata sla atmosferskog tlaka zana. g tlak n V H=3, m ρ=000 kg/m L=0,45 m h=3,9 m p 4 = +ρgh z B= m 6 3 Ako za kontroln olumen zaberemo osenčen olumen označen točkama , tada e poršna -4 ulazna, a poršna 3-6 zlazna poršna. Kroz poršne nema protoka fluda ( n = 0 ), a na nma ρ n + p M n ds = 0 = 0 lada atmosfersk tlak (pretlak e nula), pa e rednost ntegrala ( ) S ko defnra mpulsnu funkcu ednak nul. Poršnu S w na kou delue sla F čne poršne 4-5 (na kou delue z-komponenta sle F ) poršna -3 na kou delue -komponenta sle F ). Prema tome, od zraza za slu F ostae ( ) ( ) H F ρ n pm n ds = ρ n p M n + + ds = ρv HB + ρ g HB (a) 4 V V gh 3 6 S ρ S = 0 0 = 0 Na poršn 3-6 ektor anske normale gleda u smeru z, što znač da o e komponenta u smeru os, n = 0, a sto red za -komponentu brzne (buduć e brzna na to poršn ertkalna). Ostae dakle samo ntegral po poršn -4. Na to poršn brzna e horzontalna, pa e = V, kao ektor anske normale, ko gleda u negatnom smeru os, pa e n =, buduć da ektor brzne ektor normale gledau u suprotnm smeroma, nho skalarn produkt e n = V. Uz pretpostaku da e profl brzne ednolk po preseku -4, protok kolčne gbana e ρ V HB (gde e uzeto u obzr da e struane rannsko promatra ga se za ednčnu šrnu (B= m) okomto na rannu slke). Kao što e pre rečeno promena tlaka okomto na rane paralelne strunce e sta kao u fludu u mroanu, što znač da e raspodela tlaka od točke do točke 4 hdrostatska, a u preseku 3-6, ko e horzontalan, e tlak konstantan ednak atmosferskom

26 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 5 tlaku. Prema tome manometarsk tlak po preseku -4 se mena lnearno po zakonu p M = ρgh, gde e h dubna koa se mer od slobodne poršne. Kao što se zna z hdrostatke ntegral lnearno promenog tlaka po poršn ednak e umnošku tlaka u težštu (ode ρ gh / ) poršne (ode HB). Da bsmo zračunal slu F prema zrazu (a) trebamo odre brznu V, a za to mamo na raspolaganu ednadžbu kontnuteta Bernoulleu ednadžbu. Jednadžba kontnuteta kaže da e protok Q na ulazu u kontroln olumen ednak protoku na zlazu, t. H Q = VHB = LB l = V (b) L S obzrom da smo zanemarl skozne sle, red Bernoullea ednadžba koa kaže da energa duž strunce ostae konstantna. U prkazanom struanu, možemo uočt de strunce: Prmetmo da e točka, točka zastoa. U točk zastoa e dnamčk tlak ρ V /, pretoren u potencalnu energu položaa (er e tlak konstantan), pa će se slobodna poršna fluda pred branom post, kako e naznačeno na skc. Bernoullea ednadžba duž strunce --3 (zmeđu točaka do 3, pr čemu e z=0 u točk 3) glas: V + h =, (c) g g a Bernoullea ednadžba duž strunce (zmeđu točaka 4 6) glas: ρgh V pm4 + + h H = g ρg g H Uzmauć u obzr da e pretlak u točk 4 pm4 = ρgh, očto e da obe Bernoullee ednadžbe dau st rezultat. Urštaanem ednadžbe (b) u (c) dae gh V = =, 4 m/s H L što uršteno u zraz (a) dae H F / B = ρv + ρg H = 55, 5 kn/m. Prmer : Određane sle otpora tela z hdrodnamčke slke struana Dona skca prkazue rannsku stuacu optecana mruućeg profla (okomto na rannu slke dulna profla e doolno elka da se može pretpostat da slka struana ostae sta u smeru os z, pa uzmamo ednčnu šrnu B= m) ednolkm proflom brzne = konst. (doolno daleko od tela brzna e neporemećena, a ndeks asocra na udalenost doolno daleko od tela). y = A B z = konst. ansko neskozno struane y ( y)= + D H A u D S w rtložn trag 0,5 D D = ρ=konst. A B A defct u proflu brzne Poremeća u polu brzne se naše oseća neposredno uz poršnu profla (područe grančnog sloa unutar koeg se brzna struana mena od nule, na samo poršn, do brzne neporemećenog struana) unutar

27 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 53 rtložnog traga, ča e granca na skc označena crtkanom lnom. Izan grančnog sloa rtložnog traga uteca skoznost se može zanemart, pa se može pretpostat da e komponenta brzne ednaka brzn u čtaom područu zan rtložnog traga. Na zlaznom preseku se uteca tela očtue kroz defct u proflu brzne, ko e ode dealzran trokutastm oblkom. Za odabran kontroln olumen ko e na gorno skc osenčan, kontrolna poršne se sasto od ulazne poršne A u, zlazne poršne A, de bočne poršne A B poršne profla S w. Iz ednadžbe kontnuteta e asno da su bočne poršne zlazne poršne, er kroz nh mora protecat flud razmerno defctu u proflu brzne, ko se može za trokutast oblk defcta brzne ednostano zračunat kao poršna trokuta osnoce 4DB sne 0,5, što znos DB, odnosno red n ds = DB (a) B A Ukupna sla fluda na poršnu S w defnrana e zakonom kolčne gbana, ko za sluča staconarnog struana zanemarana skoznh sla po ulazno zlaznm poršnama glas: F G = ρ ( n) p Mn + d S u S + S n U promatranom slučau struane e u horzontalno rann (z=konst.), pa sla težne delue okomto na rannu slke (ma komponentu samo u smeru os z), a uz pretpostaku smetrčnost tela, bt će slka struana smetrčna, pa će komponenta sle F u smeru os y bt ednaka nul. Doolno daleko od tela, gde brzna poprma rednost neporemećene brzne, tlak poprma rednost neporemećenog tlaka p, pa ćemo pretpostat da na ulazno zlaznm poršnama lada neporemećen tlak p, odnosno da e pretlak pm = p p ednak nul. Na temelu rečenoga -komponenta ednadžbe kolčne gbana prelaz u oblk F = ρ n ds ρ n ds ρ n ds ( ) ( ) ( ) u B A A A pr čemu su ntegral po bočnm strancama prkazan, zbog smetre, za obe poršne ednm ntegralom. Na ulazno poršn e = n=, na bočnm strancama e također =, a ntegral n po bočnm strancama e defnran ednadžbom kontnuteta (a), dok e na zlazno poršn potrebno ntegrrat promen profl brzne po koordnat y, u područu D< y< D. Pr tome će se zbog smetre ntegrrat po polon zlazne grance, pa će se ntegral množt faktorom da. Na temelu rečenoga gorna ednadžba se može psat u oblku u ntegral po A D H / y ρ ρ ρ ρ F = HB + dyb dyb n ds D + 0 D B A Integrranem zraza u uglato zagrad, sled D D 0 0 prema (a)= DB y + y y ρ D 7 + dyb B + dy B D DB D ρ 4 D ρ = = = ρ H / D H ρ dyb = ρ B D Pa zraz za traženu slu postae 7 H 7 F = ρ HB ρ DB + ρ B D ρ DB = + 4 ρ DB = ρ DB Uočmo da sla F ne zas od elčne zabranog olumena, eć samo od profla defcta brzne u zlaznom preseku. F e sla otpora, a načešće se zražaa u oblku bezdmenzskog koefcenta, ko se dobe delenem sle s umnoškom dnamčkog tlaka ρ / poršne profla suprotstalene struanu DB, pa e koefcent otpora promatranog profla ρ DB F 3 4 C F = = = =, 33 ρ DB ρ DB 3 3 D 0

28 MEHANIKA FLUIDA I Što ala zapamtt 54 Prmena osnonh zakona za kontroln olumen ko se translatra konstantnom brznom Često će u analz nženerskh problema trebat korstt kontroln olumen ko se gba, odnosno koemu se grance pomču. Pr tome btno razlkuemo da slučaa: pr u koem se kontroln olumen gba nekom brznom, pr čemu kontroln olumen zadržaa so oblk elčnu, pa e za promatrača ko se gba zaedno s kontrolnm olumenom ta olumen nepomčan nepromenog oblka elčne, drug sluča u koem se grance kontrolnog olumena gbau potpuno prozolno, tako da se menau oblk elčna kontrolnog olumena (npr. olumen u clndru motora s unutarnm zgaranem omeđen stenkama clndra čelom gbaućeg stapa). U prom slučau kontroln olumen se može gbat konstantnom brznom (po elčn smeru), pa promatrač ko se gba neće osećat nkake nercske sle, što znač da e taka koordnatn susta nercsk kao apsolutno mruuć koordnatn susta (defnral smo ga kao koordnatn susta črsto ezan za Zemlu, ako znamo da se Zemla gba). Naprot, ako b se koordnatn susta gbao promenom brznom, promatrač ko se gba zaedno s takm koordnatnm sustaom b oseto nercske sle (umnožak negatnog ubrzana koordnatnog sustaa mase promatrača) pa b taka koordnatn susta bo nenercsk. U ednadžbama koe opsuu osnone zakone u nenercskom koordnatnom sustau, masenm slama (npr. sl gratace) se dodau nercske sle usled gbana koordnatnog sustaa. Ode će nas zanmat poseban sluča kontrolnog olumena (odnosno koordnatnog sustaa ko e ezan za kontroln olumen) ko se gba praocrtno konstantnom brznom. Tako b na prmer aon ko let konstantnom brznom V prema dono leo slc, zazao gbane čestca zraka koe b za promatrača z apsolutnog koordnatnog sustaa oyz (ko mrno sto na zeml) blo nestaconarno, er b aon menauć so položa zazao gbane čestca mruućeg zraka na razlčtm pozcama. V V z o y koordnatn susta ezan za Zemlu X Z O Y koordnatn susta ezan za aon Nasuprot tome ako se oko aona formra kontroln olumen, ko se gba zaedno s aonom brznom V u leo, za promatrača ko sto u shodštu O pomčnog koordnatnog sustaa OXYZ, ko se gba zaedno s kontrolnm olumenom, aon će mroat, a čnt će mu se da na nega nastruaa zrak relatnom brznom V suprotnom od brzne gbana aona. Jednako tako u prethodnom prmeru u koemu e profl mroao, a na nega nastruaao flud ednolkm proflom brzne, problem se mogao formulrat tako da e flud mroao, a kroz nega se gbao profl konstantnom brznom. S obzrom da e gledano z gbaućeg koordnatnog sustaa tako struane staconarno, občno se korst