1 Momenti inercije u odnosu na Dekartove koordinatne ose
|
|
- Ευρυδίκη Ζωγράφος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 M. Tadć, Predavanja z Fzke 1, ETF, grupa P3, X predavanje, Moment nercje u odnosu na Dekartove koordnatne ose Pretpostavmo da telo prkazano na slc 1 ma sva tr prostorne dmenzje razlčte od nule. Slka 1: Uz zvođenje veze zmedju aksjalnh polarnog momenta nercje. Moment nercje u odnosu na z osu je: I z = rz 2 ρd, (1) gde je r z = x 2 +y 2, a u opštem slučaju ρ = ρ(x,y,z). Dakle, I z = (x 2 +y 2 )ρd. (2) Izraz za momente nercje I x I y su slčnog oblka: I x = (y 2 +z 2 )ρd, (3) I y = (z 2 +x 2 )ρd. (4) S druge strane, moment nercje u odnosu na pol O je: I O = (x 2 +y 2 +z 2 )ρd. (5) Suma momenata nercje u odnosu na ose Dekartovog sstema je: I x +I y +I z = 2 (x 2 +y 2 +z 2 )ρd. (6) Dakle, I x +I y +I z = 2I O, (7) 1
2 odnosno zbr momenata nercje u odnosu na ose Dekartovog koordnatnog sstema jednak je dvostrukoj vrednost momenta nercje u odnosu na koordnatn početak stog koordnatnog sstema. Pokažmo sada u kom odnosu stoje I x, I y, I z I O : I O = (x 2 +y 2 +z 2 )ρd = x 2 ρd + (y 2 +z 2 )ρd. (8) Prv ntegral na desnoj stran x2 ρd > 0 (podntegralna funkcja je nenegatvna, a dmenzje tela razlčte od nule u sva tr prostorna pravca). Odavde sled Slčno se može pokazat da je I O > I y I O > I z. Dakle, I O > I x. (9) I O > I x, I O > I y, I O > I z. (10) Zaključujemo da je moment nercje u odnosu na zabran koordnatn početak Dekartovog koordnatnog sstema uvek već od momenta nercje u odnosu na blo koju od tr koordnatne ose tog sstema. Na osnovu poslednjh nejednakost I x +I y +I z = 2I O : I x +I y +I z = 2I O > 2I x, (11) odale sled: Slčno se može pokazat: I y +I z > I x. (12) I x +I y > I z, I z +I x > I y. (13) Dakle, zbr momenata nercje u odnosu na blo koje dve ose Dekartovog koordnatnog sstema već je od momenta nercje u odnosu na treću osu tog sstema. 1.1 Moment nercje homogene lopte Slka 2: Uz zvođenje zraza za moment nercje lopte. Na osnovu upravo dobjene veze zmeđu aksjalnh polarnog momenta nercje, može se vrlo jednostavno zvest zraz za moment nercje homogene lopte gustne ρ poluprečnka R prkazane na slc 2. U tom smslu 2
3 uočmo elementarnu ljusku debljne dr poluprečnka r. Takođe, uočmo da se sv delć ljuske nalaze na stom rastojanju od pola O. Moment nercje ove ljuske u odnosu na koordnatn početak je: di O = r 2 ρd = r 2 ρ4πr 2 dr. (14) Moment nercje lopte u odnosu na pol O je: R I O = r 2 ρ4πr 2 dr = 4 5 ρπr5. (15) 0 Korsteć m = (4/3)ρπR 3, zraz za moment nercje lopte u odnosu na pol O je: I O = 3 5 mr2. (16) Zbog smetrje je: Lako se zaključ: odnosno: I x = I y = I z. (17) 3I z = 2I O I z = 2 3 I O, (18) I z = 2 5 mr2. (19) Moment nercje lopte I z može se drektno (bez računanja polarnog momenta nercje) odredt tako što se prvo odred moment nercje elementarnog odsečka lopte debljne dz, a zatm ntegral po vsn od R do R. 2 Štajnerova teorema U opštem slučaju moment nercje tela je razlčt za razlčte ose. Ipak se moment nercje u odnosu na prozvoljnu osu može zračunat na osnovu momenta nercje u odnosu na osu koja prolaz kroz centar mase tela paralelna je datoj os. Slka 3: Uz dokaz Štajnerove teoreme. Posmatrajmo sstem materjalnh tačaka prkazan na slc 3. Mase materjalnh tačaka u sstemu su m 1,m 2,...,m n. 3
4 Na slc su prkazane dve ose: osa z prolaz kroz centar mase, a osa z je prozvoljna osa paralelna z. Centar mase se nalaz u ravn x y, dok je koordnatn početak Oxyz koordnatnog sstema u ravn xy paralelnoj ravn x y. Uočmo da je rastojanje zmeđu osa z z d = x 2 CM +y2 CM. (20) Izvedmo najpre uslov koj koordnate materjalne tačke spunjavaju u sstemu centra mase. Na osnovu: r CM = n m r n m, (21) sled: Odavde jednostavno sled: U Dekartovm koordnatama: r CM = r = r CM + r (22) n m ( r CM + r ) n n m = r CM + m r n m. (23) m r = 0. (24) n m x = 0, n m y = 0, m z = 0. (25) Za kontnualno telo ovaj uslov postaje: ρ( r ) r d = 0, (26) gde je r vektor položaja elementarnh delća tela u odnosu na centar mase, a ntegral je po zapremn tela. Korsteć (24) može se zvest veza zmeđu I z I z, koga ćemo označt sa I CM (I z I CM ; vodt računa da je I CM aksjaln moment nercje-cm stče aspekt da osa z prolaz kroz centar mase). Uočmo da je: I z = m (x 2 +y) 2 (27) Ako skorstmo zraz za I z postaje: I z = I CM = m (x 2 +y 2 ). (28) x = x CM +x (29) y = y CM +y, (30) [ m (x +x CM ) 2 +(y +y CM ) 2], (31) 4
5 l u razvjenoj form: I z = m (x 2 +y 2 )+2x CM n m x +2y CM m y +(x 2 CM +ycm) 2 m. (32) Prema (24), drug treć član zraza za desne strane poslednje jednakost jednak su nul. Prv član jednak je I CM, a poslednj član jednak je md 2. Prema tome Ovo je matematčk skaz Štajnerove teoreme (teoreme o paralelnm osama). I z = I CM +md 2. (33) Štajnerova teorema. Moment nercje mehančkog sstema u odnosu na neku osu jednak je zbru momenta nercje u odnosu na paralelnu osu koja prolaz kroz centar mase sstema kvadrata normalnog rastojanja zmeđu th osa. 3 Teorema o normalnm osama Posmatrajmo pločasto telo, čja je debljna mnogo manja od ostale dve dmenzje (vdet slku 4). Pretpostavmo da je telo smešteno u xy ravn. Slka 4: Uz dokaz teoreme o normalnm osama. Moment nercje tela u odnosu na osu z je: I z = σ(x,y)rz 2 ds = S S σ(x,y)(x 2 +y 2 )ds, (34) gde je r z rastojanje od z ose, a σ površnska gustna tela, koja u opštem slučaju može da zavs od koordnata x y. Moment nercje u odnosu na ose u ravn su: I x = σ(x,y)rxds 2 = σ(x,y)y 2 ds, (35) S S 5
6 Lako se zaključ: I y = S σ(x,y)ry 2 ds = σ(x,y)x 2 ds. (36) S I z = I x +I y. (37) Ovo je matematčk skaz teoreme o normalnm osama. Teorema o normalnm osama. Moment nercje pločastog tela u odnosu na osu (z) normalnu na ravan tela jednak je zbru momenata nercje u odnosu na dve ose ortogonalne na z u ravn tela (x y). 4 Moment kolčne kretanja materjalne tačke moment sle 4.1 Moment kolčne kretanja materjalne tačke Posmatrajmo materjalnu tačku mase m brzne v, koja se u nekom trenutku nalaz u položaju defnsanom vektorom položaja r (vdet slku 5). Slka 5: Uz defncju momenta kolčne kretanja materjalne tačke. Moment kolčne kretanja materjalne tačke u odnosu na pol O je vektorsk prozvod r p = m v: L O = r p = m r v = m r r. (38) Treba prmett da vrednost momenta kolčne kretanja zavs od zbora tačke O u odnosu na koju se računa moment. Ova tačka se nazva momentna tačka. U tekstu koj sled pretpostavćemo da je brzna momentne tačke u odnosu na zabran nercjaln sstem reference jednaka nul, tj. da je ova tačka nepokretna (pol nercjalnog referentnog sstema u odnosu na koj opsujemo kretanje). Ako su r p u xy (polarnoj) ravn, kao na slc 5, vektor L O je postavljen duž z ose. Name, Dakle, LO e z. j k L O = m x y 0 = m(xẏ yẋ) k. (39) ẋ ẏ 0 6
7 Ako se umesto Dekartovh koordnata korste polarne koordnate (ρ, ϕ), za materjalnu tačku koja se kreće u polarnoj (xy) ravn važ: L O = mρv ϕ e z. (40) Korsteć zraz za crkularnu projekcju vektora brzne v ϕ = ρ ϕ, zraz za L O u polarnom koordnatnom sstemu je: L O = mρ 2 ϕ e z = 2m v S. (41) Drugm rečma, ako se tačka kreće u ravn, vektor momenta kolčne kretanja jednak je dvostrukoj vrednost sektorske brzne pomnoženoj masom materjalne tačke. ektor momenta kolčne kretanja korst se u jednačnama rotaconog kretanja tela zbog toga se još nazva ugaon moment. Jednca mere za L O je [L O ] = kgm 2 /s = J s. 4.2 Moment sle Posmatramo telo na koga deluje sla F, kao što je prkazano na slc 6. Poznat je položaj napadne tačke sle r. Slka 6: Uz defncju momenta sle. Moment sle u odnosu na momentnu tačku O je vektorsk prozvod vektora položaja napadne tačke vektora sle r vektora sle F: M O = r F. (42) Ako vektor F lež u yz ravn ( F = F y +F z k), kao na slc 6, vektor momenta sle je: j k M O = m 0 y z = (yf z zf y ). (43) 0 F y F z Slčno kao L O, vrednost vektora M O zavs od zbora momentne tačke ovaj vektor se korst u jednačnama rotaconog kretanja tela. On je normalan na vektore r F njegov ntenztet je: M O = r F snα, (44) gde je α ugao zmeđu r F. Ovde je h = r snα dužna projekcje vektora r na pravac normalan na vektor F, koja se nazva krak sle. Prema tome, ntenztet vektora M O jednak je prozvodu ntenzteta vektor sle kraka sle: M O = F h. (45) 7
8 5 Teorema o promen momenta kolčne kretanja materjalne tačke Posmatrajmo materjalnu tačku koja se kreće po prozvoljnoj putanj, kao što je prkazano na slc 7. Slka 7: Uz zvođenje momentne jednačne za kretanje materjalne tačke. Njutnova jednačna kretanja za ovu materjalnu tačku ma oblk: d p = d(m v) = F rez (ext). (46) Ako se ova jednačna vektorsk pomnož sleva vektorom položaja materjalne tačke (stovremeno vektorom položaja napadne tačke sle), sled: r d(m v) = r F (ext) rez = M (ext) rez,o. (47) Ovde je M (ext) rez,o moment rezultantne spoljašnje sle u odnosu na tačku O. Takođe važ: d( r m v) = d r d(m v) m v + r. (48) S obzrom da je d r/ = v, prv član u zrazu sa desne strane ove jednakost jednak je nul. Dakle, r d(m v) = d( r m v) = d L O, (49) gde je skoršćeno L O = r m v. Zamena poslednjeg zraza u jednačnu (47) daje: d L O = M (ext) rez,o. (50) Ovo je matematčk skaz teoreme o promen momenta kolčne kretanja materjalne tačke (TMKK(MT)). Ova jednačna zapravo predstavlja II Njutnov zakon za rotacju (treba uočt da upravo dokazana teorema II Njutnov zakon d p/ = F (ext) rez maju slčan oblk). TMKK(MT). Moment rezultantne spoljašnje sle koj deluje na materjalnu tačku u odnosu na tačku O u nercjalnom sstemu reference jednak je brzn promene momenta kolčne kretanja u odnosu na O. 8
9 Slka 8: Ilustracja sstema materjalnh tačaka: uz zvodjenje veze zmeđu L O L CM. 6 eza zmedju L O L CM Analzrajmo kretanje sstema koj se sastoj od n materjalnh tačaka, kao što je prkazano na slc 8. Podsetmo se da za prkazan sstem važ: Odavde, dferencranjem po vremenu: m r = 0. (51) m r = 0. (52) Takođe, podsetmo se da se ukupn moment kolčne kretanja mehančkog sstema može zračunat kao prozvod mase sstema brzne centra mase (vdet poglavlje o teorem o kretanju centra mase): P = m v = m v CM. (53) Korsteć: r = r CM + r (54) r = r CM + r, (55) sled: L O = U razvjenoj form, ovaj zraz ma oblk: L O = m ( r CM + r ) ( r CM + r ). (56) m r CM r CM + 0 m r r CM + 0 m r CM r + m r r. (57) Na osnovu (51) (52), drug treć član u zrazu sa desne strane poslednje jednakost jednak su nul ( r CM r CM se mogu zvuć spred dve sume), tako da se dobja: L O = r p + r CM (m v CM ), (58) 9
10 gde je m = n m masa sstema. eza zmeđu momenta kolčne kretanja u odnosu na nepokretnu tačku O u nercjalnom sstemu reference momenta kolčne kretanja u odnosu na centar mase je, dakle: L O = L CM + r CM P. (59) 7 Teorema o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema Posmatrajmo sstem od n materjalnh tačaka (vdet slku 9. Mase materjalnh tačaka u sstemu su m 1, m 2,..., m n. ektor položaja materjalnh tačaka u odnosu na nepokretn pol O su r 1, r 2,..., r n. Na svaku čestcu u sstemu deluju unutrašnje sle F (nt) spoljašnje sle F (ext). Ovde je, kao kod dokaza teoreme o promen kolčne kretanja mehančkog sstema, F (nt) rezultanta svh sla kojm ostale materjalne tačke deluju na -tu tačku ( F j ): a F (ext) F (nt) = j=1,j je rezultantna spoljašnja sla koja deluje na -tu materjalnu tačku. F j, (60) Slka 9: Sstem materjalnh tačaka: na svaku tačku deluju unutrašnje spoljašnje sle. Napšmo jednačne kretanja za sve materjalne tačke u sstemu: d p 1 d p 2 d p n = F (nt) 1 + F (ext) 1, (61) = F (nt) 2 + F (ext) 2, (62). (63) = F (nt) n + F (ext) n. (64) Pomnožmo vektorsk sleva sve jednačne u sstemu vektorma položaja odgovarajućh materjalnh tačaka: r 1 / d p 1 r / d p r n / d p n = F (nt) 1 + F (ext) 1 (65). (66) = F (nt) + F (ext) (67). (68) = F (nt) n + F (ext) n. (69) 10
11 Ako se saberu sve jednačne u sstemu, leva strana dobjene jednačne je: r d p = n d( r p ) 0 d r p = d L,O = d L,O = d L O, (70) gde L,O označava moment kolčne kretanja -te materjalne tačke, a L O moment kolčne kretanja mehančkog sstema. Prema tome, d L O = r F (nt) + r F (ext). (71) Slka 10: Ilustracja uz dokaz da je ukupn moment ununtrašnjh sla koje deluju zmeđu materjalnh tačaka u mehančkom sstemu jednak nul. Razmotrmo sada prvu sumu na desnoj stran poslednje jednačne. Za tu svrhu, uočmo dve materjalne tačke masa m m j koje se nalaze na rastojanju r j (vdet slku 10). ektor položaja -te materjalne tačke je r, a j-te r j. Pretpostavmo da su unutrašnje sle kojma ove dve čestce deluju jedna na drugu centralne. Na osnovu III Njutnovog zakona: Rezultantn moment ove dve sle je: F j = F j. (72) r j F j + r F j = ( r j r ) F j = r j F j = 0. (73) Ovde je r j vektor položaja j-te tačke u odnosu na -tu tačku. Za svak par materjalnh tačaka u sstemu važ upravo dobjen rezultata, što znač da je ukupn moment unutrašnjh sla u mehančkom sstemu jednak nul: r F (nt) = 0. (74) Dakle, d L O = M n (ext) rez,o = r F (ext). (75) Ovo je teorema o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema (TMKK(MS)). TMKK(MS). Prv zvod momenta kolčne kretanja mehančkog sstema po vremenu u odnosu na nepokretn pol jednak je vektorskoj sum svh momenata spoljašnjh sla u odnosu na taj pol. 11
12 Ovo je momentna jednačna za kretanje mehančkog sstema. Umesto u nepokretnoj tačk O (polu nercjalnog sstema reference), momentna tačka se može postavt u centar mase. Podsetmo se da je: L O = m r CM v CM + L CM. (76) Dferencranjem po vremenu: d L O = m v CM v CM +m r CM a CM + d L CM. (77) S druge strane, rezultantn moment spoljašnjh sla je: M (ext) n rez,o = ( r CM + r ) F (ext) = r CM F (ext) + Uvrstmo prethodne dve jednačnu u jednačnu koja predstavlja TMKK(MS): r F (ext) = r CM F rez (ext) + M (ext) rez,cm. (78) m r CM a CM + d L CM = r CM F (ext) rez + M (ext) rez,cm. (79) Prema teorem o kretanju centra mase: m a CM = F (ext) rez. (80) Množeć poslednju jednačnu sleva sa r CM, dobja se: m r CM a CM = r CM F (ext) rez. (81) Na ovaj načn prv član na desnoj stran prv član na desnoj stran jednačne (79) međusobno se potru, tako da je, konačno, momentna jednačne za momentnu tačku u centru mase: d L CM = M (ext) rez,cm. (82) TMKKS(MS) predstavlja dferencjalnu jednačnu kretanja, čjm se rešavanjem za poznat rezultantn moment spoljašnjh sla dobja vremenska zavsnost vektora momenta kolčne kretanja. Ilustrujmo na jednostavnom prmeru značaj ove teoreme za analzu rotaconog kretanja mehančkog sstema. Ako je suma svh spoljašnjh sla jednaka nul ( F (ext) rez = 0), prema teorem o kretanju centra mase, ubrzanje centra mase sstema jednako je nul, tako da je sstem centra mase nercjaln sstem. Ako je sstem mrovao pre delovanja sla na njega, prema teorem o kretanju centra mase, centar mase sstema ostaje u stanju mrovanja ako je F (ext) rez sle koje spunjavaju uslov F (ext) rez = 0, što znač da = 0 ne mogu zazvat translacju mehančkog sstema. Međutm, rezultantn moment spoljašnjh sla M (ext) rez,cm može bt razlčt od nule ako je F rez (ext) = 0. Podsetmo se da je svako planarno kretanje kombnacja translacje rotacje, tako da ako se pol, zabran tako da se poklapa sa centrom mase, ne kreće, sstem može da rotra oko ose koja prolaz kroz centar mase. Na osnovu upravo dokazane teoreme o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema: ako je F (ext) rez = 0 M (ext) rez,cm 0, postoj promena vektora momenta kolčne kretanja L CM, što je kod sstema čj centar mase mruje moguće samo ako se sstem kreće rotacono. Pored toga, zaključujemo da teorema o kretanju centra mase ne može u potpunost opsat kretanje mehančkog sstema, što je ranje navedeno. 12
13 8 Zakon o održanju momenta kolčne kretanja mehančkog sstema Na osnovu teoreme o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema u odnosu na tačku O: d L O = M (ext) rez,o. (83) Na osnovu ove jednačne sled: M (ext) rez,o = 0 L O = const. (84) Ovo je matematčk skaz zakona o održanju momenta kolčne kretanja mehančkog sstema. ZMKK(MS). Ako je suma momenata spoljašnjh sla koje deluju na mehančk sstem u odnosu na nepokretnu tačku O koja se nalaz u nercjalnom sstemu reference jednaka nul, ukupn moment kolčne kretanja sstema u odnosu na tačku O je konstantan u toku vremena. Poseban slučaj je zolovan mehančk sstem (IMS), na koj ne deluje njedna spoljašnja sla ( F = 0). Na osnovu ZMKK(MS) sled zakon o održanju momenta kolčne kretanja mehančkog sstema za zolovan mehančk sstem. ZMKK(IMS). Moment kolčne kretanja zolovanog mehančkog sstema u odnosu na nepokretnu tačku O u nercjalnom sstemu reference održava se konstantnm u toku vremena. U prethodnom poglavlju zvel smo momentnu jednačnu za momentnu tačku u centru mase: d L CM = M (ext) rez,cm. (85) Odavde se lako dobja: M (ext) rez,cm = 0 L CM = const. (86) Ovo je matematčka formulacja zakona o održanju momenta kolčne kretanja za momentnu tačku u centru mase. 13
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραDinamika rotacije (nastavak)
Dnaka rotacje (nastaak) Naučl so: Moent sle: M r F II Njutno zakon za rotacju krutog tela oko nepokretne ose: Analogno sa: F a I je skalarna elčna analogna as predstalja nertnost tela prea rotacj. Zas
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Διαβάστε περισσότεραDinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.
Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :
BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKinematika rotacionog kretanja
Knematka rotaconog kretanja Tjelo rotra kada e ve tačke tjela kreću po kružnm putanjama čj centr leže na o rotacje. Rotacono kretanje kod kojeg je tangencjalna brzna kontantna nazva e unformno kružno kretanje.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A
Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSUČELJNI SISTEM SILA Ako se napadne linije svih sila koje sačinjavaju sistem seku u jednoj tački onda se takav sistem sila naziva sučeljnim sistemom.
SUČELJNI SISTEM SIL ko se napadne lnje svh sla koje sačnjavaju sstem seku u jednoj tačk onda se takav sstem sla nazva sučeljnm sstemom.,, Pme. k j k j 6 k j 6 k j k j k j ( ) ( ) Pme. cos6, sn 6 cos, sn
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1 Kinematika krutog tela
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ MEHANIKE ROBOTA. Mihailo P. Lazarević
ZBIRKA ZADATAKA IZ MEHANIKE ROBOTA Mhalo P. Lazarevć Beograd,6 Zahvalnost Autor duguje velku zahvalnost na pomoć,razumevanju zauzmanju da zdanje ove zbrke bude krerano do kraja nađe put do čtalaca, gospod:
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραM. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017. Konzervativne sile i potencijalna energija 1 Konzervativne sile Definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako rad te sile
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.
Διαβάστε περισσότεραPROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA
ROIZVOLJN RVNKI ITE IL I REOV REDUKCIJ ITE N ROIZVOLJNO IZBRNU TČKU Redukuje se na redukconu tačku svaka sa koja prpada sstemu Kada se prozvojna -ta sa,., redukuje na tačku, dobje se njeno ekvvaentno dejstvo,.4,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA PREDAVANJE
UNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA - - 4. PREDAVANJE - Dr Darko Mhajlov, doc. 1. ČAS Sredšte (cetar) sstema paralelh sla; Težšte krutog tela;
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραVEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.
VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραDinamika krutog tijela. 14. dio
Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo
Διαβάστε περισσότεραDinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. C. Složeno gibanje. Pojmovi: A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 12.
Pojmo:. Vekor sle F (ranslacja). omen sle (roacja) Dnamka kruog jela. do. omen romos masa. Rad kruog jela A 5. Kneka energja k 6. omen kolna gbanja L 7. u momena kolne gbanja momena sle L f ( ) Gbanje
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραRAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA
OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski oblik kompleksnog broja
Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότερα4. Perspektiviteti i perspektivne figure. Desarguesov teorem
4 Persektvtet ersektvne fgure Desarguesov teorem Promatrajmo rojektvnu ravnnu kao oeratvn rostor u njoj nz točaka ramen ravaca ( ) s vrhom, r čemu točka ne lež na ravcu ( ) na nosocu Jednoznačno obostrano
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSLOŽENO KRETANJE TAČKE
SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραr i Projekcije vektora položaja r i su odgovarajuće koordinate tačke xi
Središte sistema materijalnih tačaka. Neka je proivoljni sistem sačinjen od konačnog broja materijalnih tačaka čija međusobna rastojanja mogu biti i promenljiva. Svaka materijalna tačka sistema ima svoju
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave
THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDinamika rotacionog kretanja krutog tela.
Dnamka otaconog ketanja kutog tela. Delovanje sla momenata sla na kuto telo Čvsto (kuto) telo je sstem čvsto povezanh matejalnh tačaka (masa Δm 1, Δm,, Δm,, Δm n ) koje maju svaka svoju težnu (ΔQ 1, ΔQ,,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija 2. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekonometrja Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Svojstva ocena na malm uzorcma Asmptotska svojstva ocena Svojstva ocena dobjenh metodom ONK Svojstva ocena U regresonoj
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA. MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čović, Mihailo Lazarević. Vukman Čović Mihailo Lazarević ISBN
MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čovć, Mhalo Lazarevć UNIVERZITET U BEOGRADU ISBN 1897456 MEHANIKA ROBOTA Vukman Čovć Mhalo Lazarevć Mašnsk fakultet Beograd, 008 UNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA Vukman Čovć
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI predavač: dr Marko Petković
Gmnazja Svetozar Markovć, Nš Dodatna nastava z matematke za drug, treć četvrt razred Nedelja, 01.11.2009. POLINOMI predavač: dr Marko Petkovć 1 Osnovna teorja Defncja. Neka je R prsten. Polnom P (x) nad
Διαβάστε περισσότερα). Po njemu najveći hemijski afinitet imaju supstance čijim sjedinjavanjem dolazi do najvećeg smanjenja slobodne energije.
HEMIJSKA RAVNOTEŽA HEMIJSKI AFINITET SUPSTANCI: težnja da stupe u hemjsku reakcju. Ranje se smatralo da je krterjum afnteta brzna. Kasnje se ocena hemjskog afnteta davala na osnovu kolčne oslobođene toplote
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα). Po njemu najveći hemijski afinitet imaju supstance čijim sjedinjavanjem dolazi do najvećeg smanjenja slobodne energije.
HEMIJSKA RAVNOTEŽA HEMIJSKI AFINITET SUPSTANCI: težnja da stupe u hemjsku reakcju. Ranje se smatralo da je krterjum afnteta brzna. Kasnje se ocena hemjskog afnteta davala na osnovu kolčne oslobođene toplote
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραSistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραM. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017.
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017. 1 Kretanje neslobodne materijalne tačke Telo može biti primorano da se kreće po površi ili liniji. Takav oblik kretanja naziva se neslobodno
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότεραOSNOVNI DINAMIČKI KONCEPTI
UNIVERZIE U NOVOM SADU, PRIRODNO-MAEMAIČKI FAKULE, DEPARMAN ZA MAEMAIKU I INFORMAIKU Seminarski rad iz predmeta Seminarski rad B na temu: OSNOVNI DINAMIČKI KONCEPI U REALNOJ ANALIZI, SUDEN: Andrija Blesić,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραRešenje: U režimu praznog hoda generatora: I 1 0. Kako je unutrašnja otpornost generatora: R 0, biće: E U 1 100V. Kada se priključi otpornik:
. r raznom hodu eneratora zmeren je naon od 00 na njeovm rključcma. Kada se rključ otornk od k naon adne na 50. Odredt struje u oba slučaja, ems unutrašnju otornost eneratora. ešenje: režmu razno hoda
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότερα1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, V predavanje, 2017. 0.1 III Njutnov zakon Posmatrajmo dva tela za koja smatramo da su materijalne tačke. Ove dve čestice međusobno interaguju tako
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα12. STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLJA U PROSTORIJAMA
AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 157 12. STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLA U PROSTORIAMA 12.1 Uvod Statstčka analza zvučnog polja u prostorj, takozvan statstčk model l statstčka
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα