Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije. 1 Polje smjerova. 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda. 3 Ortogonalne trajektorije
|
|
- Ποδαργη Δουρέντης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 1 / 34 Sadržaj: Sadržaj 1 Polje smjerova 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda 3 Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 2 / 34
2 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Naučiti što je polje smjerova i što su izokline Kako Eulerovom (numeričkom) metodom riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda Naći diferencijalnu jednadžbu zadane jednoparametarske familije krivulja Kako odrediti ortogonalne trajektorije zadane familije krivulja Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 3 / 34 Općenito o diferencijalnim jednadžbama prvog reda Općenito o diferencijalnim jednadžbama prvog reda Diferencijalna jednadžba prvog reda F(x,y,y )=0 najčešće nije ni separabilna ni linearna niti se može svesti na takve jednadžbe. Ne možemo je eksplicitno rješiti, osim u nekim posebnim slučajevima. Općenito, moramo se poslužiti numeričkim ili kakvim drugim aproksimativnim metodama. Pritom je korisno imati jasnu sliku o geometrijskom značenju diferencijalne jednadžbe prvog reda. Pretpostavimo da je zadana jednadžba F(x,y,y )=0 rješivapoy,pa je možemo zapisati u obliku y = f (x,y). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 4 / 34
3 POLJE SMJEROVA Polje smjerova Jednadžba y = f (x,y) ima slijedeću grafičku interpretaciju: u svakoj točki (x, y) područja U definicije funkcije f odreden je nagib tangente y na rješenje y = y(x) u toj točki (tangens kuta tangente iznosi upravo f (x, y)). Ako u svakoj točki područja U povučemo malu crticu nagiba f (x,y), dobit ćemo polje smjerova. Riješiti jednadžbu y = f (x,y) znači pronaći putanju kroz njezino polje smjerova za koju se koeficijent smjera tangente u svakoj njenoj točki podudara sa smjerom polja u toj točki. Takvu putanju zvat ćemo integralna krivulja. Integralnih krivulja ima beskonačno mnogo, a svaka se dobije zadavanjem neke početne točke (x 0,y 0 ) U kojom krivulja treba proći. Na taj način moguće je konstruirati graf rješenja diferencijalne jednadžbe. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 5 / 34 IZOKLINE Polje smjerova Izokline Zbog lakšeg crtanja, odredujemo izokline (krivulje konstantnog nagiba): krivulje u čijim se točkama podudaraju nagibi tangenti. To su krivulje s jednadžbom f (x,y)=c, jer je u njima y = C. Crtamo ih za neke istaknute vrijednosti konstante C. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 6 / 34
4 Polje smjerova Primjer PRIMJER 1. Skicirajmo polje smjerova za jednadžbu y = x. Rješenje: Ovdje je f (x,y) =x i jednadžbe izoklina glase x = C. Dakle, sve su to pravci paralelni sa osi y. Na svakoj izoklini koeficijent smjera iznosi upravo C. Ako primjerice treba pronaći izoklinu s koeficijentom smjera tgα = 1, onda je to pravac x = 1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 7 / 34 Polje smjerova ZADATAK 1. Skiciraj polja smjerova sljedećih jednadžbi: A) y = y x B) y = x y C) y = x y. Rješenje 1. A): U slučaju jednadžbe y = y x imamo f (x,y)= y x. Jednadžbe izoklina glase y x = C y = Cx, što su pravci koji prolaze kroz ishodište. Na svakoj izoklini koeficijent smjera iznosi upravo C, pa u slučaju ove jednadžbe nagib integralnih krivulja na izoklini nagib je same izokline. Dakle, polje smjerova izgleda kao na slici desno. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 8 / 34
5 Polje smjerova Očito je da su integralne krivulje pravci y = cx, što se može i egzaktno izračunati rješavanjem diferencijalne jednadžbe: y = y x dy dx = y x dy y = dx x ln y = ln x + c y = cx Rješenje 1. B): U slučaju jednadžbe y = x y jednadžbe izoklina glase x y = C x = Cy y = 1 C x. Dakle, izokline su opet pravci kroz ishodište, no sada je nagib integralnih krivulja recipročan i suprotan nagibu same izokline, pa su paralelne male crtice na izoklini okomite na samu izoklinu. Dakle, polje smjerova izgleda kao na slici desno. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 9 / 34 Polje smjerova Očito je da su integralne krivulje koncentrične kružnice x 2 + y 2 = c 2, što se može i egzaktno izračunati: y = x y dy dx = x y ydy = xdx y 2 2 = x c x 2 + y 2 = c 2 Rješenje 1. C): U slučaju jednadžbe y = x y jednadžbe izoklina glase x y = C x = Cy y = 1 C x. Dakle, izokline su opet pravci kroz ishodište. Što se tiče nagiba integralnih krivulja, on je za C = 1 jednak nagibu izokline, a u ostalim slučajevima sve veći nagib izokline daje sve manji nagib integralnih krivulja, i obrnuto. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 10 / 34
6 Polje smjerova Tj. nagib integralnih krivulja na izoklini y = Cx recipročan je nagibu same izokline, y = x y = 1 C, što znači da te integralne krivulje imaju nagib one izokline koja je zadanoj simetrična s obzirom na simetrale y = ±x. Polje smjerova izgleda kao na slici desno. Čini se da su integralne krivulje hiperbole x 2 y 2 = ±c 2 sa zajedničkim asimptotama y = ±x, te same asimptote, što se može i egzaktno izračunati: y = x y dy dx = x y ydy = xdx y 2 2 = x c x 2 y 2 = ±c 2 (uz c 2 = 2 c.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 11 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda EULEROVA METODA ZA NUMERIČKO RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI PRVOG REDA Promatramo Cauchyjev problem: y = f (x,y), y(x 0 )=y 0 na intervalu [x 0,x 0 + nδx] Nakon aproksimacije y (x i ) Δy i Δx = y i+1 y i, Δx dobivamo diskretizirani oblik gornjeg problema kako slijedi: y i+1 y i Δx = f (x i,y i ), i = 0,1,...,n 1 Iz toga redom možemo izračunati vrijednost aproksimacije rješenja (tzv. eksplicitna Eulerova metoda) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 12 / 34
7 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Primjer PRIMJER 2. Eulerovom metodom riješimo Cauchyjev problem y = x y, y ( 1 2) = 1 na intervalu [ 1 2,1] s korakom x = 0.1. Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 13 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Greška Eulerova metoda ne upotrebljava se za rješavanje praktičnih problema. Da bi se povećala preciznost Eulerove metode, potrebno je smanjiti korak (vidjeti Zadatak 3). Oprez! Numerički proračun derivacije sadrži potencijalnu opasnost pojave greške zaokruživanja kod oduzimanja dva vrlo slična broja. Eulerova metoda ne koristi se u ozbiljnijim numeričkim proračunima. Ima važno teorijsko značenje, jer se druge, mnogo efikasnije metode, zasnivaju na ovoj ideji. U slučaju Primjera 2 na slici desno prikazano je egzaktno i aproksimirano rješenje u polju smjerova: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 14 / 34
8 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Egzaktno i aproksimirano rješenje Nadimo egzaktno rješenje Cauchyjevog problema iz Primjera 2. Opće rješenje: y = x y dy dx = x y ydy = xdx y 2 2 = x c x 2 + y 2 = c 2 Partikularno rješenje uz uvjet y ( 1 2) = 1: Egzaktno rješenje y (1.): = c 2 x 2 + y 2 = 1.25 x = 1. y(1.) 2 = = 0.25 y(1.)=0.5 Eulerova metoda dala je (vidjeti str. 13): y(1.) y 5 = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 15 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda ZADATAK 2. Eulerovom metodom riješimo Cauchyjev problem y = y x, y ( 1 2) = 1na intervalu [ 1 2,1] s korakom x = 0.1. Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 16 / 34
9 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Egzaktno i aproksimirano rješenje Nadimo egzaktno rješenje Cauchyjevog problema iz Zadatka 2. Opće rješenje: y = y x dy dx = y x dy y = dx x ln y = ln x + c y = cx Partikularno rješenje uz uvjet y ( 1 2) = 1: Egzaktno rješenje y (1.): 1 = c 2 y = 2x x = 1. y(1.)=2 1. = 2. y(1.)=2. Eulerova metoda dala je takoder: y 5 = 2. Zašto? Pogledaj predhodnu sliku polja smjerova! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 17 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda ZADATAK 3. Eulerovom metodom riješimo Cauchyjev problem y = x y, y ( 1 2) = 1na intervalu [ 1 2,1] s koracima x = 0.1 i x = Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 18 / 34
10 Uvod Uvod u ortogonalne trajektorije: F(x,y,y )=0 f (x,y,c)=0 Rješenja (tj. integralne krivulje) diferencijalne jednadžbe F(x,y,y )=0 tvore jednoparametarsku familiju krivulja f (x, y, c)=0. Primjerice: y + x y = 0 = x 2 + y 2 = c 2 (TEŽE) Vrijedi i obratno, svaka jednoparametarska familija krivulja f (x,y,c)=0 ima svoju diferencijalnu jednadžbu F(x,y,y )=0 kojoj je ona rješenje. Primjerice: y + x y = 0 = x 2 + y 2 = c 2 (LAKŠE) PRIMJER 3. Skicirajmo sljedeće familije krivulja i nadimo njihove diferencijalne jednadžbe: A) y = cx 2 B) (x c) 2 + y 2 = 1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 19 / 34 Primjeri Rješenje 3. A): y = cx 2 je familija parabola koje prolaze kroz ishodište. y = cx 2 d dx y = 2cx c = y Uvrštavanjem u početnu jednadžbu slijedi: y = y 2x 2x x 2 y = 2y x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 20 / 34
11 Primjeri Rješenje 3. B): (x c) 2 + y 2 = 1 je familija kružnica sa središtima S(c,0) i radijusa r = 1. (x c) 2 + y 2 = 1 d 2(x c)+2yy = 0 x c = yy dx Uvrštavanjem u početnu jednadžbu slijedi: ( yy ) 2 + y 2 = 1 y 2 y 2 + y 2 = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 21 / 34 ZADATAK 4. Skicirajmo sljedeće familije krivulja i nadimo njihove diferencijalne jednadžbe: a) y = cx + 1 b) y = c/x c) y = x 2 cx d) (x c) 2 + y 2 = c 2 e) (x + c) 2 + y 2 = c 2 1. Rješenje 4. a): y = cx + 1 je familija pravaca koji prolaze kroz točku S(0,1). y = cx + 1 d y = c dx y = y x + 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 22 / 34
12 Rješenje 4. b): y = c x je familija hiperbola sa zajedničkim asimptotama y = 0ix = 0. y = c x xy = c d dx y + xy = 0 Rješenje 4. c): y = x 2 cx je familija parabola s nultočkama x 1 = 0ix 2 = c. y = x 2 cx d dx y = 2x c c = 2x y y = x 2 (2x y )x y = xy x 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 23 / 34 Rješenje 4. d): (x c) 2 + y 2 = c 2 je familija kružnica sa središtima S(c, 0) i radijusima r = c: (x c) 2 + y 2 = c 2 d dx 2(x c)+ 2yy = 0 c = x + yy ( yy ) 2 + y 2 =(x + yy ) 2 y 2 y 2 + y 2 = x 2 + 2xyy + y 2 y 2 y 2 = x 2 + 2xyy Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 24 / 34
13 Rješenje 4. e): (x + c) 2 + y 2 = c 2 1 je familija kružnica sa središtima S( c, 0) i radijusima r = c 2 1, c > 1: (x + c) 2 + y 2 = c 2 1 d dx 2(x + c)+ 2yy = 0 c = x yy ( yy ) 2 + y 2 =( x yy ) 2 1 y 2 y 2 + y 2 = x 2 + 2xyy + y 2 y 2 1 y 2 x = 2xyy Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 25 / 34 Kako naći ortogonalne trajektorije ORTOGONALNE TRAJEKTORIJE Krivulje familije g(x,y,c)=0 ortogonalne su trajektorije familije krivulja f (x,y,c)=0 ako je svaka krivulja g-familije okomita na svaku krivulju f -familije. Ako (crvena) familija krivulja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu F(x,y,y )=0, onda familija njezinih (plavih) ortogonalnih trajektorija zadovoljava diferencijalnu jednadžbu F(x,y, 1/y )=0, jer su y i 1/ y medusobno okomiti nagibi! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 26 / 34
14 Primjer PRIMJER 4. Nadimo ortogonalne trajektorije familije parabola y = cx 2. Rješenje: y = cx 2 y = 2cx c = y 2x y = y 2x x 2 2y = y x diferencijalna jednandžba početne familije 2y = 1 y x diferencijalna jednandžba ortogonalne familije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 27 / 34 Primjer Riješimo diferencijalnu jednadžbu ortogonalne familije: 2yy = x 2y dy dx = x 2ydy = xdx y 2 = x c2 x2 2c 2 + y2 c 2 = 1 ortogonalne trajektorije su elipse Familija parabola i familija elipsa sijeku se pod pravim kutom. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 28 / 34
15 ZADATAK 5. Odredite ortogonalne trajektorije familije krivulja: a) y = cx + 1 b) x = y 2 c 2 c) x 2 y 2 = c 2. Rješenje 5. a): y = cx + 1 y = c = y = y x + 1 = y = 1 y x + 1 y 1 = x dx dy (y 1)dy = xdx (y 1)2 2 (y 1) 2 + x 2 = A 2 ortogonalne trajektorije su kružnice sa središtem u S(0,1) = x c2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 29 / 34 Familija pravaca i familija kružnica sijeku se pod pravim kutom. Rješenje 5. b): x = y 2 c 2, tj. x =(y c)(y + c) su parabole s nultočkama y = ±c x = y 2 c 2 = 1 = 2yy = 1 = 2y ( 1y ) y = 2y dy dy = 2y dx y = 2dx ln y = 2x + c y = Ae 2x ortogonalne trajektorije su eksponencijalne funkcije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 30 / 34
16 Familija parabola i familija eksponencijalnih funkcija sijeku se pod pravim kutom. Rješenje 5. c): x 2 y 2 = c 2 su hiperbole s asimptotama y = ±x x 2 y 2 = c 2 2x 2yy = 0 = x = yy = x = y y xy = y x dy dx dy = y y = dx x ln y = ln x + c y = A 1 x ortogonalne trajektorije su hiperbole s asimptotama x = 0 i y = 0 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 31 / 34 Familije hiperbola sijeku se pod pravim kutom. ZADATAK 6. Pokus pokazuje da su sve kružnice koje prolaze točkama ( 1,0) i (1, 0) silnice električnog polja, koje stvaraju dva medusobno jednaka naboja smještena u tim točkama. Nadimo krivulje konstantnog potencijala, tzv. ekvipotencijale, koje su ortogonalne trajektorije familije silnica. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 32 / 34
17 Rješenje: Kružnica koja ima središte u (0,c) i prolazi točkama ( 1,0) i (1,0) ima radijus 1 + c 2. Dakle, familija silnica ima jednadžbu: x 2 +(y c) 2 = 1 + c 2 Odredimo diferencijalnu jednadžbu te familije: x 2 +(y c) 2 = 1 + c 2 d dx 2x + 2(y c)y = 0 y c = x y c = y + x y Uvrštavanjem u polaznu jednadžbu dobivamo: ( x 2 + x ) 2 ( y = 1 + y + x ) 2 y x 2 + x 2 y 2 = 1 + y 2 + 2y x y + x 2 y 2 2xy y = y 2 x diferencijalna jednandžba familije silnica Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 33 / 34 Slijedi da je diferencijalna jednandžba ortogonalne familije (familije ekvipotencijala): 2xyy = y 2 x Ovo je diferencijalna jednadžba Bernoullijevog tipa (koju supstitucijom z = y 2 svodimo na linearnu diferencijalnu jednadžbu). Medutim, u Zadatku 4. e) već smo vidjeli da je rješenje te diferencijalne jednadžbe: Dakle, ekvipotencijale su kružnice. (x + c) 2 + y 2 = c 2 1 Familija silnica električnog polja i familija ekvipotencijala su kružnice koje sijeku se pod pravim kutom. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 34 / 34
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60 Sadržaj Sadržaj: 1 Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda Princip superpozicije rješenja homogene linearne jednadžbe 2 Homogena
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραObi ne diferencijalne jednadºbe
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Vježbe 2017/ lipnja 2018.
Matematika Vježbe 17/18. 3. lipnja 18. Predgovor Ova neslužbena i nedovršena skripta prati auditorne vježbe iz kolegija Matematika koje se u ljetnom semestru ak. god. 17/18. na Gradevinskom fakultetu u
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραIterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότερα5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe
Poglavlje 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Primjeri diferencijalnih jednadžbi Primjer 1.1 (Kosi hitac). Tijelo mase m bačeno je u vis početnom brzinom v pod kutem α u polju sile teže. Odredite trajektoriju
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραUvod. - linearne jednadžbe. - nelinearne jednadžbe
Uvod - linearne jednadžbe - direktne metode - Gaussova eliminacija - Gauss-Jordanova metoda - iterativne metode - Gauss-Seidlova metoda - Jacobijeva metoda - nelinearne jednadžbe - iterativne metode -
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka.
Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević MATEMATIKA Zbirka zadataka http://www.fesb.hr/mat Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότερα