ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Επιμέλεια: Στέργιος Γιάντσιος Αναπληρωτής καθηγητής i

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελίδα Κεφάλαιο Βασικές έννοιες και μοριακή μεταφορά ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα φαινόμενα μεταφοράς Η έννοια του συνεχούς μέσου Η παραδοχή της τοπικής θερμοδυναμικής ισορροπίας 4 Μηχανισμοί μεταφοράς ιδιοτήτων 4 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΕ ΜΟΡΙΑΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥΣ 5 Μεταφορά θερμότητας (heat condction 5 Μεταφορά μάζας με μοριακούς μηχανισμούς (mass diffsion 7 Μεταφορά ορμής με μοριακούς μηχανισμούς (momentm diffsion ή momentm tanspot b viscos foces 8 4 Τυπικά μεγέθη των συντελεστών μεταφοράς 5 Η αναλογία μεταξύ των τριών μηχανισμών μοριακής μεταφοράς 6 Γενίκευση για τη μοριακή μεταφορά σε τρεις διαστάσεις μεταφοράς Κεφάλαιο Γενικό ισοζύγιο ιδιότητας και εφαρμογή στη μάζα και την ενέργεια 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 Σκοπός της ενότητας 4 ii

3 Περί όγκων ελέγχου 4 Στοιχειώδη περί διανυσματικού λογισμού 5 4 Ροή ενός μεγέθους διαμέσου μιας αυθαίρετα προσανατολισμένης επιφάνειας 9 ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ Γενική διατύπωση του ισοζυγίου με λόγια Γενική διατύπωση του ισοζυγίου με σύμβολα Η εξίσωση μεταφοράς θερμότητας σε στερεά ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΗ (CONVECTION 5 4 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΜΑΖΑΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ 6 4 Η εξίσωση συνεχείας (Continit eqation 6 4 Ρυθμός μεταβολής ιδιότητας σε σχέση με κινούμενο παρατηρητή και η έννοια της υλικής παραγώγου 9 5 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 5 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΜΙΓΜΑΤΑ 5 Η γενική εξίσωση διατήρησης 5 Ορισμός των ροών διάχυσης 4 5 Ο νόμος του Fick 5 54 Εξίσωση μεταφοράς συστατικού σε ρευστό σταθερής πυκνότητας 6 55 Συναγωγή λόγω διάχυσης 7 Κεφάλαιο Η αρχή διατήρησης της ορμής και οι εξισώσεις κίνησης των ρευστών 4 Η ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ 4 iii

4 Η πίεση σε ένα ακίνητο ρευστό 4 Η εξίσωση της στατικής ισορροπίας 4 Μερικά παραδείγματα και εφαρμογές της στατικής των ρευστών 4 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 45 Λίγα πράγματα ακόμα για τον διανυσματικό λογισμό 45 Οι εσωτερικές τάσεις στα ρευστά σε κίνηση 47 Ο τανυστής των τάσεων είναι συμμετρικός 49 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 5 Η γενική εξίσωση της κίνησης των ρευστών 5 Ο τανυστής των τάσεων στα Νευτωνικά ρευστά 5 Οι εξισώσεις Navie-Stokes στα ασυμπίεστα ρευστά με σταθερό ιξώδες 54 4 Η φυσική σημασία του όρου [ ( T ] 55 5 Οι εξισώσεις Navie-Stokes στα τρία συστήματα συντεταγμένων 57 Κεφάλαιο 4 Σύνοψη των εξισώσεων μεταφοράς και περί οριακών συνθηκών 6 4 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 6 4 ΠΕΡΙ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ 64 4 Γενικά σχόλια 64 4 Οριακές συνθήκες για την ενέργεια 65 4 Οριακές συνθήκες για τη μάζα Οριακές συνθήκες για την ορμή 68 iv

5 Κεφάλαιο 5 Απλές περιπτώσεις μεταφοράς ορμής και διαστατική ανάλυση των εξισώσεων Navie-Stokes 7 5 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ 7 5 ΕΡΠΟΥΣΑ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΦΑΙΡΑ 8 5 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NVIER-STOKES 84 Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις έννοιες των οριακών στρωμάτων 87 6 ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΕ ΗΜΙ-ΑΠΕΙΡΟ ΣΤΕΡΕΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ 87 6 ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ 89 6 ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΟΡΜΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ 9 Κεφάλαιο 7 Τυρβώδης ροή 97 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 97 7 Γενικά περί τυρβώδους ροής 97 7 Ορισμός των χρονικά μέσων τιμών και των διακυμάνσεων 98 7 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΕΠΟΥΝ ΤΙΣ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ Ή ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ REYNOLDS 7 Η χρονικά μέση εξίσωση συνεχείας 7 Οι χρονικά μέσες εξισώσεις Navie-Stokes v

6 7 Οι εξισώσεις Renolds για την ενέργεια και την ορμή 74 Η υπόθεση Bossinesq 7 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ 4 7 Πειραματικές παρατηρήσεις 4 7 Ανάλυση της ροής με βάση τις εξισώσεις Renolds 5 7 Η θεωρία του μήκους ανάμιξης του Pandtl 8 74 Η κατανομή της ταχύτητας με βάση την υπόθεση του Pandtl Κεφάλαιο 8 Συντελεστές οπισθέλκουσας και τριβής 4 8 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ 4 8 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ 7 8 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΤΡΙΒΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 8 Συντελεστής τριβής στη στρωτή ροή 8 Συντελεστές τριβής στην τυρβώδη ροή σε λείους αγωγούς 4 8 Συντελεστές τριβής στην τυρβώδη ροή σε τραχείς αγωγούς 7 84 ΠΤΩΣΗ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΚΛΙΝΕΣ ΜΕ ΠΛΗΡΩΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Κεφάλαιο 9 Μακροσκοπικά Ισοζύγια 7 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7 9 ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ 9 9 Μακροσκοπικό ισοζύγιο μάζας 9 vi

7 9 Μακροσκοπικό ισοζύγιο ορμής 4 9 Μακροσκοπικό ισοζύγιο ενέργειας Ισοζύγιο μηχανικής ενέργειας Παραδείγματα εφαρμογών των μακροσκοπικών ισοζυγίων 5 96 Ο όρος των τριβών, μφ =- τ:, στα τρία συστήματα συντεταγμένων για νευτωνικά ασυμπίεστα ρευστά 6 vii

8 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες και μοριακή μεταφορά ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα φαινόμενα μεταφοράς Ξεκινώντας από ένα γενικό ορισμό, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η χημική μηχανική ασχολείται με τη μελέτη συστημάτων όπου η ύλη υφίσταται αλλαγές στη σύσταση, την ενέργεια και τη μορφολογική δομή μέσω φυσικοχημικών διεργασιών οι οποίες μπορούν να λαμβάνουν χώρα σε ένα ευρύ φάσμα χρονικών και χωρικών κλιμάκων Καθήκον του χημικού μηχανικού είναι να αναλύσει, να σχεδιάσει και να ελέγξει τα συστήματα αυτά, αξιοποιώντας τη γνώση πάνω στους φυσικούς νόμους και τους κανόνες που διέπουν τις φυσικές και χημικές αλλαγές της ύλης Είναι προφανές ότι τα συστήματα που υφίστανται τέτοιες αλλαγές βρίσκονται εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας Το βασικό εργαλείο για την ανάλυση, την κατανόηση και τον έλεγχο της συμπεριφοράς συστημάτων που είναι εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας είναι τα φαινόμενα μεταφοράς Στις φυσικοχημικές διεργασίες ασχολούμαστε κυρίως με ρευστά γιατί αυτά είναι πιο εύκολο να διακινηθούν, να αναμιχθούν, να αντιδράσουν κλπ Η πληροφορία που θέλουμε να έχουμε για να περιγράψουμε τα συστήματα αυτά αφορά την κατανομή της μάζας, της ενέργειας και της ταχύτητας (ή της ορμής των ρευστών στο χώρο και τον χρόνο Έτσι, τα φαινόμενα μεταφοράς αφορούν τις αντίστοιχες ιδιότητες της ύλης, δηλαδή την μάζα (συγκέντρωση συστατικών, την ενέργεια και την ορμή Η μελέτη των αλλαγών, δηλαδή της χωρικής κατανομής και της χρονικής εξέλιξης για τις τρείς αυτές ιδιότητες βασίζεται στις αντίστοιχες αρχές διατήρησης: την αρχή διατήρησης της μάζας που ουσιαστικά λέει ότι η μάζα δεν καταστρέφεται ούτε δημιουργείται εκ του μηδενός, την αρχή διατήρησης της ενέργειας, που ουσιαστικά είναι ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος για συστήματα εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας, και την αρχή διατήρησης της ορμής που ουσιαστικά είναι οι νόμοι του Νεύτωνα, εφαρμοσμένοι σε ρευστά που κινούνται Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και οι τρεις αρχές δεν αποδεικνύονται, αλλά είναι αξιώματα τα οποία δεχόμαστε με βάση τη διαίσθηση καθώς και την επαλήθευση των συνεπειών τους με πειραματικές παρατηρήσεις Σκοπός του παρόντος μαθήματος είναι πρώτα να αναπτύξουμε τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία και να διατυπώσουμε τις παραπάνω αρχές με την αυστηρή μαθηματική μορφή των εξισώσεων Κατόπιν θα δούμε κάποιες εφαρμογές των εξισώσεων αυτών στην ανάλυση της μεταφοράς μάζας, ενέργειας και ορμής σε απλά ή πιο σύνθετα προβλήματα που αφορούν τον χημικό μηχανικό Η έννοια του συνεχούς μέσου Μαθαίνουμε σε κάποιο στάδιο της εκπαίδευσης μας αυτό που πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες πρότειναν, ότι δηλαδή η ύλη έχει διακριτή μορφή και αποτελείται από άτομα και μόρια

9 Θα μπορούσε λοιπόν να υποθέσει κανείς ότι με βάση τους νόμους που διέπουν την συμπεριφορά των μορίων είναι δυνατό να προβλεφθούν οι αλλαγές στη σύσταση, το ενεργειακό περιεχόμενο και την κίνηση των ρευστών Η θεώρηση των φαινομένων σε μοριακό επίπεδο αποτελεί αντικείμενο της κινητικής θεωρίας, της στατιστικής μηχανικής, της μοριακής δυναμικής, της υπολογιστικής χημείας κα Όμως, για τις διαστάσεις των συστημάτων που μελετάμε στα φαινόμενα μεταφοράς κάτι τέτοιο είναι πρακτικά ανέφικτο λόγω του τεράστιου αριθμού των μορίων Αρκεί να σκεφτούμε ότι η μελέτη της ατμοσφαιρικής κίνησης, της κίνησης των ωκεανών ή του μάγματος στο εσωτερικό της γης είναι αντικείμενα των φαινομένων μεταφοράς, αν και όχι απαραίτητα αντικείμενα του χημικού μηχανικού Στα φαινόμενα μεταφοράς λοιπόν, υιοθετούμε μια μακροσκοπική θεώρηση και αγνοούμε την ύπαρξη των μορίων, υποθέτοντας ότι η ύλη είναι συνεχής και καλύπτει παντού τον χώρο Τα εργαλεία της επιστήμης για τη μελέτη σε μοριακό επίπεδο και οι αντίστοιχες γνώσεις χρησιμοποιούνται μόνο επικουρικά για να αναπληρώσουν τη χαμένη πληροφορία που συνεπάγεται αυτή η μακροσκοπική θεώρηση Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα φανταστικό όργανο που μπορεί να μετρήσει με μεγάλη ακρίβεια και στιγμιαία μια ιδιότητα στο χώρο, ας πούμε την πυκνότητα Ας υποθέσουμε επίσης ότι αυτό το φανταστικό όργανο έχει όγκο δειγματοληψίας που μπορούμε να μεταβάλλουμε κατά βούληση, από το μοριακό μέχρι το μακροσκοπικό επίπεδο Μεταβάλλοντας λοιπόν τον όγκο του οργάνου θα παίρναμε μια καμπύλη για την πυκνότητα όπως φαίνεται στο Σχ Σε μικρές διαστάσεις θα είχαμε μεγάλες αλλαγές και διακυμάνσεις ανάλογα με την πιθανότητα να πιάσουμε ή όχι ένα ή λίγα μόρια σε κάποιο σημείο του χώρου Όσο μεγαλώνει ο μετρητικός όγκος οι διακυμάνσεις αρχίζουν να σβήνουν γιατί το στατιστικό μας δείγμα μεγαλώνει και πλησιάζουμε σε μια σταθερή τιμή της πυκνότητας Η σταθερή αυτή τιμή αντιπροσωπεύει για την μακροσκοπική θεώρηση την τοπική τιμή της ιδιότητας για το συνεχές μέσο κατά τη χρονική στιγμή της υποθετικής μέτρησης Αν συνεχίσουμε να αυξάνουμε τον όγκο της δειγματοληψίας είναι πιθανό να παρατηρήσουμε αλλαγές σε άλλη πλέον κλίμακα, τις μακροσκοπικές μεταβολές Οι αλλαγές της τοπικής τιμής από θέση σε θέση και από στιγμή σε στιγμή είναι αυτές για τις οποίες ενδιαφερόμαστε στα φαινόμενα μεταφοράς ρ Μοριακές διαστάσεις Τοπική τιμή Μακροσκοπικές μεταβολές ΔV (Όγκος μετρητικού οργάνου Σχήμα Πείραμα μέτρησης της πυκνότητας με υποθετικό όργανο μεταβλητού όγκου

10 Με μια τέτοια νοητική διαδικασία θεωρούμε λοιπόν την ύλη σαν συνεχές μέσο και αποδίδουμε τοπικές τιμές για ιδιότητες όπως η πυκνότητα, ρ, οι συγκεντρώσεις, c, αν έχουμε μίγματα, η θερμοκρασία, T, η πίεση, P, η εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα όγκου, e, η ενθαλπία, h, κλπ Αυτές οι ιδιότητες θεωρούνται συνεχείς συναρτήσεις του χώρου Επιπλέον, όπως θα δούμε στα επόμενα κεφάλαια, εκφράζουμε τις αρχές διατήρησης σε διαφορική μορφή θεωρώντας στοιχειώδεις όγκους ΔV και παίρνοντας το όριο ΔV Στη διαδικασία αυτή αγνοούμε τις διακυμάνσεις σε μοριακή κλίμακα Δηλαδή, μαθηματικά, οι συναρτήσεις θεωρούνται όχι μόνο συνεχείς αλλά και παραγωγίσιμες Η παραδοχή της τοπικής θερμοδυναμικής ισορροπίας Αν σκεφτούμε την ίδια διαδικασία αλλαγής του όγκου του φανταστικού μετρητικού οργάνου, αλλά ξεκινώντας από μεγαλύτερους προς μικρότερους όγκους, φτάνουμε σε κάποιο επίπεδο όγκου δειγματοληψίας όπου εντοπίζουμε μια σταθερή τιμή, την τοπική τιμή της μετρούμενης ιδιότητας Υποθέτουμε σ αυτή τη μακροσκοπική θεώρηση του συνεχούς μέσου ότι ο όγκος αυτός είναι αρκετά μεγάλος και έχει επαρκή αριθμό μορίων, ώστε αν απομονωθεί να συμπεριφέρεται όπως και ένα μακροσκοπικό σύστημα σε θερμοδυναμική ισορροπία Υποθέτουμε δηλαδή ότι για τις τοπικές ιδιότητες ισχύουν οι νόμοι και οι καταστατικές σχέσεις της θερμοδυναμικής, παρ ότι αυτές οι ιδιότητες μπορούν να αλλάζουν στο χρόνο και από θέση σε θέση μέσα στο συνεχές μέσο Για παράδειγμα, όπως για τις αλλαγές στην εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος σε ισορροπία ισχύει: du TdS PdV, ( αντίστοιχα, για ένα σύστημα με ανομοιόμορφη θερμοκρασία, πίεση κλπ, ισχύει de Tds Pd( /, ( όπου Τ, P, ρ οι τοπικές τιμές πίεσης, θερμοκρασίας, και πυκνότητας, και e, s οι τοπικές τιμές της εσωτερικής ενέργειας και εντροπίας ανά μονάδα μάζας Σαν ένα άλλο παράδειγμα, ισχύει τοπικά ο κανόνας των φάσεων όπως και σε συστήματα σε ισορροπία: F = C-P+, ( όπου F είναι οι βαθμοί ελευθερίας, C ο αριθμός των συστατικών και P ο αριθμός των φάσεων Έτσι, για μία φάση και ένα συστατικό έχουμε δύο βαθμούς ελευθερίας (πχ Τ και P βάσει των οποίων καθορίζονται όλες οι άλλες ιδιότητες Αν λοιπόν έχουμε ιδανικό αέριο σε κίνηση και με ανομοιόμορφη θερμοκρασία, θα ισχύει τοπικά ο νόμος των ιδανικών αερίων, που μπορεί να γραφτεί στη μορφή: ρ = P MB/RT Για άλλα συστήματα υπάρχουν αντίστοιχες καταστατικές εξισώσεις που τις παίρνουμε πάλι από τη Θερμοδυναμική

11 4 Μηχανισμοί μεταφοράς ιδιοτήτων Ο πρώτος μηχανισμός που θα εξετάσουμε για την μεταφορά των ιδιοτήτων που αναφέραμε, δηλαδή της μάζας, της ενέργειας και της ορμής, είναι η μοριακή μεταφορά Παρ ότι είπαμε ότι θεωρούμε την ύλη σαν συνεχές μέσο, θα επικαλεστούμε την ύπαρξη των μορίων και την αέναη τυχαία κίνησή τους για να αντιληφθούμε τον μηχανισμό αυτό Αν σε κάποια περιοχή του χώρου υπάρχει ανομοιομορφία στη συγκέντρωση των συστατικών, η τυχαία κίνηση των μορίων τείνει να εξαλείψει τέτοια ανομοιομορφία οδηγώντας στη μοριακή μεταφορά μάζας Όμοια, αν υπάρχουν διαφορές στη θερμοκρασία, που ουσιαστικά εκφράζει την κινητική ενέργεια των μορίων, η τυχαία κίνηση και οι κρούσεις των μορίων τείνουν να εξαλείψουν τις θερμοκρασιακές διαφορές, και με τον τρόπο αυτό έχουμε μεταφορά ενέργειας από τις πιο θερμές προς τις πιο ψυχρές περιοχές Τέλος, αυτές οι κρούσεις των μορίων οδηγούν σε εναλλαγή και μεταφορά της ορμής από τα πιο ευκίνητα στα πιο αργά μόρια Στον παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες τυπικές ενδεικτικές τιμές για τις μέσες ταχύτητες των μορίων, τις αποστάσεις και τους χρόνους μεταξύ διαδοχικών κρούσεων για υγρά και αέρια σε κανονικές συνθήκες Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τον πίνακα, παρ ότι μακροσκοπικά είναι πιθανό να μην αντιλαμβανόμαστε οποιαδήποτε κίνηση σε ήρεμα ρευστά, στο μοριακό επίπεδο συμβαίνουν πάρα πολλά πράγματα σε πάρα πολύ μικρούς χρόνους τα οποία οδηγούν στη μοριακή μεταφορά Αέρια Υγρά Τυπική ταχύτητα των μορίων ~5 m/s ~ m/s Τυπική απόσταση μεταξύ διαδοχικών κρούσεων Τυπικός χρόνος μεταξύ διαδοχικών κρούσεων ~ -7 m ~ - m ~ - s ~ -5 s Ένας δεύτερος τρόπος μεταφοράς της μάζας, της ενέργειας και της ορμής είναι μέσω της μακροσκοπικής κίνησης των ρευστών Για παράδειγμα, αν υπάρχουν ανομοιομορφίες στη συγκέντρωση ή τη θερμοκρασία ενός κινούμενου ρευστού αυτή η κίνηση μεταφέρει συστατικά, δηλαδή μάζα, καθώς και ενέργεια από κάποια σημεία του χώρου προς κάποια άλλα Σαν χαρακτηριστικό παράδειγμα μπορούμε να σκεφτούμε τα καιρικά φαινόμενα, όπου η κίνηση των αερίων μαζών στην ατμόσφαιρα συνοδεύεται από τη μεταφορά θερμότερου ή ψυχρότερου, καθώς και περισσότερο ή λιγότερο υγρού αέρα, δηλαδή συνοδεύεται από τη μεταφορά ενέργειας και μάζας Ο μηχανισμός αυτός της μεταφοράς ονομάζεται συναγωγή, και σε πολλές περιπτώσεις και εφαρμογές που αφορούν το χημικό μηχανικό είναι πολύ πιο σημαντικός από τη μοριακή μεταφορά Τέλος, κυρίως για την ενέργεια, υπάρχουν και άλλοι μηχανισμοί μεταφοράς, όπως είναι η ακτινοβολία ή γενικότερα η δράση ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, η μετατροπή μιας μορφής ενέργειας σε άλλη, πχ μηχανική σε θερμική, κλπ 4

12 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΕ ΜΟΡΙΑΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥΣ Μεταφορά θερμότητας (heat condction Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ράβδο σταθερής διατομής, Α, και μήκους L, όπως φαίνεται στο Σχ (α, που αρχικά βρίσκεται σε ομοιόμορφη θερμοκρασία, Τ Τη χρονική στιγμή t = το πάνω άκρο της μεταπίπτει σε μια μεγαλύτερη θερμοκρασία, Τ, με τη βοήθεια μιας θερμής πηγής ενώ εξακολουθούμε να διατηρούμε το κάτω άκρο στην ίδια θερμοκρασία, Τ, με τη βοήθεια μιας ψυχρής πηγής Παρ ότι δεν υπάρχει οποιαδήποτε μακροσκοπική κίνηση, περιμένουμε σταδιακά τα ενδιάμεσα τμήματα της ράβδου να θερμανθούν σε κάποιο βαθμό, πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε ροή θερμότητας από τα πιο θερμά προς τα πιο ψυχρά σημεία Η ροή αυτή της θερμότητας οφείλεται στην μοριακή αγωγή T : σταθ L Δ L t t = T : σταθ (α T T (β Σχήμα Υποθετικό πείραμα με μια ράβδο της οποίας τα άκρα διατηρούνται σε διαφορετικές θερμοκρασίες Ποιοτικά, αν είχαμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε τη θερμοκρασία παντού, θα παίρναμε για διάφορους χρόνους τις κατανομές που φαίνονται στο Σχ (β Οποιοδήποτε σημείο της ράβδου θερμαίνεται σταδιακά και οι αλλαγές εμφανίζονται πρώτα στα σημεία που είναι πιο κοντά στη θερμή πηγή Μετά από κάποιο χρόνο οι αλλαγές γίνονται πιο αργές, και σε θεωρητικά άπειρο χρόνο φτάνουμε σε μια σταθερή (ή μόνιμη κατάσταση όπου υπάρχει μια γραμμική μετάπτωση κατά μήκος της ράβδου από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη θερμοκρασία Στην μόνιμη αυτή κατάσταση έχουμε σταθερή ροή ενέργειας από την θερμή προς την ψυχρή πηγή Αν q είναι η θερμότητα που μεταφέρεται στη μονάδα του χρόνου, διαισθητικά περιμένουμε ότι αυτή θα είναι ανάλογη της διαφοράς θερμοκρασίας, ΔΤ = Τ - Τ, ανάλογη του εμβαδού της ράβδου και αντιστρόφως ανάλογη του μήκους της, δηλαδή q ~ ΔΤ Α/L Για να κάνουμε την αναλογία ισότητα εισάγουμε ένα συντελεστή, k, και γράφουμε: 5

13 T ( q / k L (4 Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι έχουμε ροή ενέργειας προς τα αρνητικά, δηλαδή από την περιοχή της μεγαλύτερης θερμοκρασίας προς τη μικρότερη Το σύμβολο q/ ονομάζεται θερμική ροή και έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου Ο συντελεστής της αναλογίας, k, ονομάζεται συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας Εύκολα μπορούμε να βρούμε τις διαστάσεις του k από την εξ (4 Πχ στο SI έχουμε: k [=] J/(s m K ή W/m K Τα παραπάνω ισχύουν όχι μόνο για όλη τη ράβδο, αλλά για κάθε στοιχειώδη τομή με πάχος Δ σε οποιαδήποτε θέση Ακριβώς όπως και στη εξ (4, η θερμική ροή είναι: T( T( ( q / k (5 Αν τώρα πάρουμε το όριο Δ, έχουμε μια έκφραση για την τοπική ροή θερμότητας σε διαφορική μορφή: ( q / T( T( k lim [ ] ( q / k dt d (6 Η σχέση (6 ονομάζεται νόμος του Foie και μπορεί να διατυπωθεί με λόγια, ως εξής: YNTEETH IOPIKH POH EPMIKH X KIH EPMOTHT IMOTHT EPMOKP I Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν πρόκειται για φυσικό νόμο, αλλά ουσιαστικά για μια υπόθεση που επιβεβαιώνεται από την πειραματική παρατήρηση Σημειώνεται, τέλος, ότι ο συντελεστής της θερμικής αγωγιμότητας είναι μια φυσική ιδιότητα που διαφέρει από υλικό σε υλικό και εξαρτάται επίσης από την θερμοκρασία, την πίεση, και τη σύσταση Μεταφορά μάζας με μοριακούς μηχανισμούς (mass diffsion Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σωλήνα σταθερής διατομής, Α, και μήκους L, όπως φαίνεται στο Σχ (α, μέσα στον οποία υπάρχει δυαδικό αέριο μίγμα με ομοιόμορφη σύσταση Έστω c η αρχικά σταθερή συγκέντρωση του ενός συστατικού Τη χρονική στιγμή t = το πάνω άκρο του σωλήνα μεταπίπτει σε μια μεγαλύτερη συγκέντρωση, c, με τη βοήθεια ενός κατάλληλου αερίου ρεύματος, ενώ εξακολουθούμε να διατηρούμε το κάτω άκρο στην αρχική συγκέντρωση, c, με τη βοήθεια ενός άλλου κατάλληλου ρεύματος Παρ ότι δεν υπάρχει οποιαδήποτε μακροσκοπική κίνηση μέσα στον σωλήνα, 6

14 περιμένουμε σταδιακά να αυξηθεί η συγκέντρωση στα ενδιάμεσα τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε ροή μάζας από την περιοχή με τη μεγαλύτερη συγκέντρωση προς αυτή με τη μικρότερη Η ροή αυτή της μάζας οφείλεται ξανά στην μοριακή αγωγή που ονομάζουμε διάχυση c : σταθ L Δ L t t = c : σταθ (α c c (β Σχήμα Υποθετικό πείραμα με ένα σωλήνα του οποίου τα άκρα διατηρούνται σε διαφορετικές συγκεντρώσεις Ποιοτικά, αν είχαμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε τη συγκέντρωση παντού, θα παίρναμε για διάφορους χρόνους τις κατανομές που φαίνονται στο Σχ (β Η συγκέντρωση σε οποιοδήποτε σημείο του σωλήνα αυξάνεται σταδιακά και οι αλλαγές εμφανίζονται πρώτα στα σημεία που είναι πιο κοντά στο πάνω ρεύμα Μετά από κάποιο χρόνο οι αλλαγές γίνονται πιο αργές, και σε θεωρητικά άπειρο χρόνο φτάνουμε σε μια μόνιμη κατάσταση όπου υπάρχει μια γραμμική μετάπτωση κατά μήκος του σωλήνα από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη συγκέντρωση Στην μόνιμη αυτή κατάσταση έχουμε μια σταθερή ροή μάζας του συστατικού προς την κάτω πλευρά του σωλήνα όπου υπάρχει η μικρότερη συγκέντρωση Αν J είναι η ποσότητα γραμμομορίων που μεταφέρεται στη μονάδα του χρόνου, ακριβώς σε αντιστοιχία με τη μοριακή μεταφορά ενέργειας γράφουμε: ( J / D dc d (7 Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ξανά ότι έχουμε ροή μάζας την κατεύθυνση στην οποία μικραίνει η συγκέντρωση Το σύμβολο J/ ονομάζεται ροή μάζας και έχει διαστάσεις γραμμομορίων ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου Ο συντελεστής της αναλογίας, D, ονομάζεται συντελεστής διάχυσης Έτσι, εύκολα μπορούμε να βρούμε τις διαστάσεις του D από την εξ (7 Στο SI έχουμε: D [=] m /s Η σχέση (7 ονομάζεται νόμος του Fick και μπορεί να διατυπωθεί με λόγια, ως εξής: IOPIKH POH YNTEETH X KIH MZ IXYH YKENTPH 7

15 Ξανά, όπως και για την ενέργεια δεν πρόκειται για φυσικό νόμο, αλλά ουσιαστικά για μια υπόθεση που επιβεβαιώνεται από την πειραματική παρατήρηση Επίσης, πάλι ο συντελεστής διάχυσης είναι μια φυσική ιδιότητα του διαχεόμενου συστατικού και εξαρτάται επίσης από την θερμοκρασία, την πίεση, και την σύσταση του μίγματος Μεταφορά ορμής με μοριακούς μηχανισμούς (momentm diffsion ή momentm tanspot b viscos foces Στο τρίτο υποθετικό πείραμα που θα κάνουμε για τους μοριακούς μηχανισμούς μεταφοράς θα θεωρήσουμε δύο στερεές πλάκες εμβαδού Α σε απόσταση L, όπως φαίνεται στο Σχ 4 Η κάτω πλάκα είναι ακίνητη, ενώ την χρονική στιγμή t = η πάνω πλάκα αρχίζει και κινείται με σταθερή ταχύτητα U στη -κατεύθυνση Μεταξύ των πλακών υπάρχει ρευστό που αναγκάζεται να κινηθεί στην ίδια κατεύθυνση παρασυρόμενο από την πάνω πλάκα Η κίνηση αρχίζει στην περιοχή που είναι κοντά στην πάνω πλάκα και σταδιακά τα στρώματα του ρευστού που είναι πιο κάτω παρασύρονται και αυτά και αποκτούν ορμή Έτσι έχουμε μεταφορά -ορμής στην - κατεύθυνση που οφείλεται στην τριβή μέσα στο ρευστό, δηλαδή στις κρούσεις μεταξύ των μορίων Κατά μέσο όρο τα μόρια που βρίσκονται πιο κοντά στην πάνω πλάκα έχουν μεγαλύτερη -ορμή και οι κρούσεις επιφέρουν αυτή τη μεταφορά στην -κατεύθυνση U : σταθ L L τ t t = U = (α U U (β Σχήμα 4 Υποθετικό πείραμα με ρευστό ανάμεσα σε δύο πλάκες που κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες Ποιοτικά, αν είχαμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε την ταχύτητα παντού, θα παίρναμε για διάφορους χρόνους τις κατανομές που φαίνονται στο Σχ 4(β Η ταχύτητα σε οποιοδήποτε σημείο του ρευστού αυξάνεται σταδιακά και οι αλλαγές εμφανίζονται πρώτα στα σημεία που είναι πιο κοντά στην πάνω πλάκα Μετά από κάποιο χρόνο οι αλλαγές γίνονται πιο αργές, και σε θεωρητικά άπειρο χρόνο φτάνουμε σε μια μόνιμη κατάσταση όπου υπάρχει μια γραμμική μετάπτωση της ταχύτητας από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη τιμή Για να διατηρηθεί η κίνηση της πλάκας στη μόνιμη κατάσταση θα πρέπει να ασκούμε μια δύναμη F στη ίδια κατεύθυνση Η δύναμη αυτή διαισθητικά περιμένουμε να είναι ανάλογη του εμβαδού της πλάκας,, ανάλογη της διαφοράς ταχυτήτων, ΔU = U - U, 8

16 και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης των πλακών, L, δηλαδή F ~ΔU/L Για να κάνουμε την αναλογία ισότητα εισάγουμε ένα συντελεστή, μ, και γράφουμε: ( F / U L (8 Ο λόγος F/ είναι δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας, όπως και η πίεση, με τη διαφορά ότι είναι παράλληλη με την επιφάνεια της πλάκας, είναι δηλαδή διατμητική τάση και συμβολίζεται με το τ Ο συντελεστής της αναλογίας, μ, ονομάζεται ιξώδες ή μοριακό ιξώδες του ρευστού Έτσι, εύκολα μπορούμε να βρούμε τις διαστάσεις του μ από την εξ (8 Στο SI έχουμε: μ [=] Ν/ m s ή Pa s ή kg/m s Στο CGS το ιξώδες έχει διαστάσεις g/cm s που ονομάζεται poise Ισχύει: poise = Pa s Λόγω των τριβών, σε κάθε θέση, το ρευστό που είναι πάνω από μια νοητή γραμμή παράλληλη με τις πλάκες ασκεί την ίδια τάση στο ρευστό που είναι κάτω από την ίδια νοητή γραμμή Με τον τρόπο αυτό έχουμε μεταφορά -ορμής στην -κατεύθυνση και γράφουμε: du d (9 Σε αντιστοιχία με τη μοριακή μεταφορά ενέργειας και μάζας, η σχέση (9 ονομάζεται νόμος του Newton, και μπορεί να διατυπωθεί με λόγια ως εξής: IOPIKH POH YNTEETH X KIH Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι έχουμε ροή ορμής από περιοχές με μεγαλύτερη ταχύτητα προς περιοχές με μικρότερη Στη σχέση (9 ο πρώτος δείκτης,, δηλώνει την κατεύθυνση της μεταφοράς ορμής, ενώ ο δεύτερος δείκτης,, δηλώνει την κατεύθυνση της ορμής Έτσι, βλέπουμε ότι το σύμβολο τ έχει διπλή έννοια Μεταφορά ορμής αλλά και τάση που ασκείται σε μια επιφάνεια κάθετη στην -κατεύθυνση από το ρευστό που είναι κάτω από την επιφάνεια στο ρευστό που είναι πάνω από αυτήν Η κατεύθυνση της διατμητικής τάσης είναι η Αυτό μπορούμε να το δούμε και διαστατικά: N kg( m / s ( kgm/ s / s OPMH / [ ] m m m Αντίστοιχα με την ενέργεια και τη μάζα, το τ έχει διαστάσεις ιδιότητας, εν προκειμένω ορμής, ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου, δηλαδή ροής ορμής 4 Τυπικά μεγέθη των συντελεστών μεταφοράς Στα σχήματα 5-7 παρουσιάζονται οι περιοχές όπου κυμαίνονται οι συντελεστές του μοριακού ιξώδους, της θερμικής αγωγιμότητας και της διαχυτότητας για διάφορες φάσεις και είδη υλικών Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι τα αέρια έχουν σχετικά μικρό ιξώδες και θερμική αγωγιμότητα, ενώ οι διαχυτότητες είναι αρκετά μεγαλύτερες από ότι στα 9

17 υγρά Βλέπουμε επίσης ότι οι διαχυτότητες στα στερεά είναι αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερες Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων μπορεί να θεωρηθεί ότι δεν υπάρχει σημαντική διάχυση στα στερεά για τυπικές χρονικές κλίμακες Σχήμα 5 Περιοχές όπου κυμαίνεται το ιξώδες αερίων και μη-πολυμερικών υγρών Σχήμα 6 Περιοχές όπου κυμαίνεται η θερμική αγωγιμότητα διάφορων κατηγοριών υλικών Σχήμα 7 Περιοχές όπου κυμαίνεται η διαχυτότητα συστατικών σε αέρια, υγρά και στερεά

18 Ο ακριβής υπολογισμός των συντελεστών είναι απαραίτητος για την ανάλυση των φαινομένων μεταφοράς και αποτελεί μια ερευνητική περιοχή ενασχόλησης των χημικών μηχανικών Δεν θα επεκταθούμε στο θέμα αυτό, αλλά θα αναφέρουμε ότι υπάρχουν θεωρητικές, ημιεμπειρικές ή εμπειρικές σχέσεις για την πρόβλεψη των συντελεστών μεταφοράς, καθώς και πίνακες ή νομογραφήματα από όπου μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές των ρευστών που μας ενδιαφέρουν Περισσότερες πληροφορίες υπάρχουν στα βιβλία: Bid, Stewat, and Lightfoot, Tanspot Phenomena, Pasnit, Shewood, and Reid, The popeties of gases and liqids, Pe and Geen Chemical Enginees Handbook, CRC Handbook of Phsical and Chemical data 5 Η αναλογία μεταξύ των τριών μηχανισμών μοριακής μεταφοράς Ας θεωρήσουμε ένα ρευστό με σταθερή πυκνότητα, ρ, και σταθερή ειδική θερμότητα, c P Οι τρεις σχέσεις για τη μοριακή μεταφορά μπορούν να γραφούν: ΡΟΗ ΜΑΖΑΣ: ΡΟΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ: ΡΟΗ ΟΡΜΗΣ: ( J / D ( q / k du d dc d dt d, (α ( k c P d( cpt d( cpt d d d( U d( U ( d d, (β (γ Όπως είδαμε οι όροι στο αριστερό σκέλος εκφράζουν ροή μάζας, ενέργειας και ορμής, αντίστοιχα Στις παραγώγους έχουμε τους όρους c, ρc P T, ρu, που είναι μάζα, ενέργεια και ορμή ανά μονάδα όγκου Οι συντελεστές που πολλαπλασιάζουν τις παραγώγους (D, α, ν είναι οι διαχυτότητες μάζας, ενέργειας και ορμής και μπορούμε εύκολα να δούμε ότι και οι τρείς έχουν διαστάσεις μήκους στο τετράγωνο ανά χρόνο (sτο SI m /s Το ν ονομάζεται και κινηματικό ιξώδες Έτσι, οι τρεις σχέσεις ( μπορούν να γραφτούν γενικευμένα: ή IOPIKH POH YNTEETH X KIH IIOTHT IXYTOTHT IIOTHT d, ( d όπου Ψ είναι η ροή της ιδιότητας (ιδιότητα ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου, δ ο συντελεστής διαχυτότητας και ψ η ιδιότητα ανά μονάδα όγκου,

19 6 Γενίκευση για τη μοριακή μεταφορά σε τρεις διαστάσεις Στα υποθετικά πειράματα που περιγράψαμε στις προηγούμενες υποενότητες θεωρήσαμε μονοδιάστατη μεταφορά των ιδιοτήτων Για την ενέργεια και τη μάζα που είναι βαθμωτά μεγέθη, δηλαδή καθορίζονται πλήρως σε κάθε σημείο του χώρου με μία τιμή, είδαμε ότι η ροή ήταν στην - κατεύθυνση Δηλαδή πέρα από το μέγεθος της, που υπολογίζεται από τους νόμους του Foie και του Fick, η ροή καθορίζεται πλήρως όταν δηλωθεί και η κατεύθυνση Γενικά σε ένα ρευστό ή στερεό, μεταβολές της θερμοκρασίας ή της συγκέντρωσης στο χώρο μπορούν να υπάρχουν και στις τρεις κατευθύνσεις Αντίστοιχα, μπορεί να υπάρχει ροή ενέργειας ή μάζας και στις τρεις κατευθύνσεις Με άλλα λόγια, οι ροές ενέργειας και μάζας είναι διανύσματα Αν ορίσουμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων (,, ή (,, με αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα (i, j, k ή (e, e, e, το διάνυσμα της ροής θερμότητας έχει τρείς συνιστώσες και γράφεται: ή ( k (e j (e i (e (q/ ( q / i ( q / j ( q / k, ( (q/ ( q / e ( q / e ( q / e ( q / i e i i Για κάθε συνιστώσα, δηλαδή για τη ροή στην αντίστοιχη κατεύθυνση, γράφουμε το νόμο του Foie όπως τον γνωρίσαμε με την αντίστοιχη παράγωγο: T T ( q / k ;( q / k ;( q / Έτσι, η σχέση ( γίνεται: ή πιο σύντομα: T T (q/ k( i (q/ kt T j k k i T i e i T k, ( που είναι ο νόμος του Foie σε τρεις διαστάσεις Το σύμβολο ονομάζεται διαφορικός τελεστής κλίσης ή ανάδελτα Έχουμε δηλαδή τον ορισμό: i ( ( j k i i e i, (4 Το ανάδελτα όταν δρα σε ένα βαθμωτό μέγεθος δίνει το διάνυσμα που δηλώνει το μέτρο και την κατεύθυνση της αύξησης του μεγέθους αυτού στον τρισδιάστατο χώρο, σε αντιστοιχία με την συνήθη παράγωγο που δίνει το μέτρο της αλλαγής ενός μεγέθους σε

20 μία διάσταση αλλά και την κατεύθυνση (θετική ή αρνητική προς την οποία αυξάνεται το μέγεθος Βλέπουμε λοιπόν από το νόμο του Foie ότι η θερμότητα ρέει αντίθετα από την κατεύθυνση στην οποία αυξάνεται η θερμοκρασία στο χώρο, όπως διαισθητικά περιμένουμε Η ένταση της ροής είναι ανάλογη του μέτρου αυτού του διανύσματος και ο συντελεστής της αναλογίας είναι η θερμική αγωγιμότητα Ακριβώς όπως γράψαμε το νόμο του Foie σε τρεις διαστάσεις έχουμε τον αντίστοιχο νόμο του Fick για τη μεταφορά μάζας σε τρεις διαστάσεις: (J/ Dc (5 Για την ορμή, σε αντιδιαστολή με τη μάζα και την ενέργεια, υπάρχει μια ιδιαιτερότητα γιατί το μέγεθος αυτό είναι διάνυσμα Έχει δηλαδή τρεις συνιστώσες στον τρισδιάστατο χώρο, κάθε μια από τις οποίες μπορεί να μεταφέρεται στις τρεις κατευθύνσεις Για το λόγο αυτό έχουμε εννέα συνδυασμούς μεταφοράς και χρησιμοποιούμε δύο δείκτες για να δηλώσουμε την κατεύθυνση της μεταφοράς και την κατεύθυνση της ορμής Είδαμε ήδη ότι αυτή την έννοια έχουν οι δείκτες και στο σύμβολο τ Για λόγους πληρότητας γράφουμε εδώ τη σχέση μεταξύ μοριακής μεταφοράς και διαφορικών κλίσεων της ταχύτητας την οποία θα συζητήσουμε με περισσότερη λεπτομέρεια στο κεφάλαιο Με τη μορφή δεικτών, όπου i είναι η κατεύθυνση της μεταφοράς και j η κατεύθυνση της ορμής, έχουμε: ij ( i j i j (6 Τα εννέα σύμβολα για τους συνδυασμούς των δεικτών μπορούν να θεωρηθούν στοιχεία ενός πίνακα με διαστάσεις Με τη χρήση διανυσματικών συμβόλων και του ανάδελτα η σχέση (6 γράφεται: τ [ ( T ] (7 Όπως βλέπουμε από το δεξιό σκέλος της σχέσης (6, ο δείκτης Τ δηλώνει το ανάστροφο του αντίστοιχου πίνακα, δηλαδή την εναλλαγή γραμμών και στηλών

21 Κεφάλαιο Γενικό ισοζύγιο ιδιότητας και εφαρμογή στη μάζα και την ενέργεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η μαθηματική διατύπωση των αρχών διατήρησης στη γενική μορφή και η εφαρμογή της για τη μάζα και την ενέργεια Ήδη στο προηγούμενο κεφάλαιο διατυπώσαμε με λόγια την αρχή διατήρησης της μάζας που ουσιαστικά λέει ότι η μάζα δεν καταστρέφεται ούτε δημιουργείται εκ του μηδενός, καθώς και την αρχή διατήρησης της ενέργειας, που επίσης λέει ότι η ενέργεια δεν καταστρέφεται ούτε δημιουργείται εκ του μηδενός, αλλά μπορεί να μετατρέπεται από μια μορφή στην άλλη, πχ θερμική, μηχανική, χημική, ηλεκτρική και ηλεκτρομαγνητική, κλπ Ουσιαστικά η αρχή αυτή είναι ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος για συστήματα εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας Περί όγκων ελέγχου Θα εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης σε νοητούς όγκους που περιέχουν το ρευστό υπό θεώρηση, οι οποίοι μπορεί να είναι είτε στοιχειώδεις διαφορικοί είτε μακροσκοπικοί με πεπερασμένο μέγεθος Γενικά τους όγκους ελέγχου τους επιλέγουμε αυθαίρετα και όπως μας εξυπηρετεί για να εστιάσουμε στα φαινόμενα που μας ενδιαφέρει να αναλύσουμε Μερικά παραδείγματα μακροσκοπικών όγκων φαίνονται στο Σχ Στο (α φαίνεται ένα δοχείο στο οποίο υπάρχουν ρεύματα εισερχόμενου και εξερχόμενου ρευστού, υπάρχει προσθήκη μηχανικής ενέργειας για ανάδευση, καθώς και προσθήκη ή αφαίρεση θερμικής ενέργειας μέσω της επιφάνειας σε μορφή σπείρας Ο όγκος ελέγχου μπορεί να περικλείει το ρευστό όλου του δοχείου, όπως φαίνεται με την διακεκομμένη γραμμή, αν για παράδειγμα θέλουμε να αναλύσουμε τη μάζα συστατικών ή την ορμή Θα μπορούσε να είναι ένας μικρότερος όγκος που περικλείει μόνο τη θερμαντική σπείρα, αν μας ενδιέφερε να εστιάσουμε στην εναλλαγή θερμότητας Στο (β φαίνεται ένας αυθαίρετος μακροσκοπικός όγκος ο οποίος παραμένει σταθερός στο χώρο και από τα όρια του οποίου μπορεί να εισέρχεται ή να εξέρχεται ρευστό, όπως δείχνουν τα βέλη μεταφέροντας με αυτό τον τρόπο μάζα ή ενέργεια Τέτοιους αυθαίρετους όγκους θα χρησιμοποιήσουμε για να καταλήξουμε στη μαθηματική διατύπωση των αρχών διατήρησης Στο (γ φαίνεται πάλι ένας αυθαίρετος όγκος ρευστού ο οποίος όμως κινείται στο χώρο ακολουθώντας την κίνηση του ρευστού Με την έννοια του συνεχούς μέσου αυτός ο όγκος περιέχει πάντα το ίδιο υλικό και ονομάζεται υλικός όγκος (mateial volme Τέτοιου είδους όγκοι ελέγχου είναι επίσης χρήσιμοι για τη μαθηματική διατύπωση των αρχών διατήρησης 4

22 (α (β (γ Σχήμα Παραδείγματα μακροσκοπικών όγκων ελέγχου Στο Σχ φαίνονται μερικά παραδείγματα διαφορικών όγκων ελέγχου Όταν μας εξυπηρετεί να χρησιμοποιήσουμε καρτεσιανές συντεταγμένες συνήθως ο όγκος ελέγχου που επιλέγουμε είναι ένα στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο (α με όγκο dv = ddd Σε περιπτώσεις που εξυπηρετούν οι κυλινδρικές συντεταγμένες ο αντίστοιχος όγκος (β είναι συνήθως ένας κυλιδρικός φλοιός με πάχος d, μήκος d και όγκο dv=πdd Τέλος, σε περιπτώσεις που εξυπηρετούν οι σφαιρικές συντεταγμένες μπορεί να επιλέξουμε ένα σφαιρικό φλοιό (γ με πάχος d και όγκο dv=4π d Παρόμοιους όγκους ελέγχου και κάποιες παραλλαγές θα συναντήσουμε στις παρακάτω υποενότητες (α (β (γ d d d θ d d d Σχήμα Παραδείγματα διαφορικών όγκων ελέγχου Στοιχειώδη περί διανυσματικού λογισμού Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Στο σημείο αυτό θα κάνουμε μια παρένθεση για να σημειώσουμε λίγα πράγματα περί διανυσμάτων τα οποία θα μας είναι χρήσιμα στη συζήτηση που ακολουθεί Έχουμε ήδη δει ότι οι ροές των ιδιοτήτων είναι διανυσματικά μεγέθη και για το λόγο αυτό χρειαζόμαστε τα εργαλεία του διανυσματικού λογισμού ( για τους μαθηματικούς χειρισμούς k (e j (e i (e ( ( Έχουμε ήδη πει ότι ένα βαθμωτό μέγεθος προσδιορίζεται πλήρως σε μια θέση του χώρου δίνοντας μια τιμή, πχ ρ = ρ(,,,t Σε αντιδιαστολή ένα διάνυσμα προσδιορίζεται πλήρως δίνοντας την τιμή (μέτρο αλλά και την κατεύθυνση στο χώρο Δηλαδή, για κάθε θέση στο χώρο μπορούμε να φανταστούμε το διάνυσμα, πχ την ταχύτητα ή τη ροή μάζας και ενέργειας, σαν ένα βέλος με 5

23 συγκεκριμένο μέγεθος και κατεύθυνση Σε καρτεσιανές συντεταγμένες ένα διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως: i j k, ( όπου οι συνιστώσες,,, είναι οι προβολές στους αντίστοιχους άξονες Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε αριθμημένους δείκτες και να γράψουμε πιο σύντομα: e e e i e i ( Το χαρακτηριστικό των διανυσμάτων είναι ότι δεν αλλάζουν ούτε μέτρο ούτε κατεύθυνση όταν περιστρέψουμε τους άξονες αναφοράς Μόνο οι συνιστώσες αλλάζουν με συγκεκριμένο κανόνα έτσι ώστε το διάνυσμα να παραμένει αναλλοίωτο Μπορούμε να αναφέρουμε στο σημείο αυτό ότι με βάση τα παραπάνω δίνεται και ο πιο αυστηρός ορισμός των διανυσμάτων ως μια τριάδα αριθμών που μετασχηματίζονται κατά την περιστροφή των αξόνων με συγκεκριμένο κανόνα ' θ Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ' ' Σαν παράδειγμα, σε δύο διαστάσεις είναι εύκολο να βρούμε τον κανόνα αυτό από την τριγωνομετρία Αν περιστρέψουμε τους άξονες, κατά γωνία θ και ονομάσουμε τους νέους άξονες,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, βρίσκουμε ότι οι καινούριες συντεταγμένες ενός διανύσματος συνδέονται με τις παλιές μέσω της σχέσης με μορφή πινάκων: ' ' cos sin sin cos Ορίζουμε σαν εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, v το βαθμωτό μέγεθος που δίνεται από τη σχέση: v v cos, ( όπου και v τα μέτρα των διανυσμάτων και θ η γωνία μεταξύ τους Μπορεί το εσωτερικό γινόμενο να θεωρηθεί σαν το γινόμενο του μέτρου του πρώτου επί την προβολή του δεύτερου στο πρώτο Για τα μοναδιαία διανύσματα το εσωτερικό γινόμενο οποιουδήποτε από αυτά με τον εαυτό του είναι ίσο με τη μονάδα, ενώ το εσωτερικό γινόμενο διαφορετικών είναι ίσο με το μηδέν επειδή είναι κάθετα μεταξύ τους Μπορούμε να γράψουμε γενικά: e e i j ij αν i j αν i = j 6

24 7 εισάγοντας έτσι το σύμβολο δ ij, που ονομάζεται δέλτα του Konecke Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες τους: i i i j ij j i i j j i i j j i i v v v v j i j i e e e e v, ή v v v v (4 Δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων είναι απλά το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συνιστωσών Ο διαφορικός τελεστής κλίσης ή ανάδελτα Έχουμε ήδη δώσει τον ορισμό του διαφορικού τελεστή κλίσης: e i k j i i i (5 Ο τελεστής δρώντας σε βαθμωτό μέγεθος μας δίνει διάνυσμα, πχ k j i T T T T, που είναι το μέτρο και η κατεύθυνση των αλλαγών στης θερμοκρασίας σε κάθε θέση του χώρου Δρώντας σε διάνυσμα σαν εσωτερικό γινόμενο μας δίνει βαθμωτό μέγεθος: i i i j ij i j i j j i j i j i i j i j i e e e e, δηλαδή, (6 Τη φυσική σημασία του παραπάνω όρου θα τη δούμε σε λίγο Με βάση τους ορισμούς και την τεχνική της χρήσης των δεικτών μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι όταν ο τελεστής κλίσης δρα σε γινόμενο βαθμωτών μεγεθών έχουμε: a b b a ab, (7 σε αντιστοιχία με την παραγώγιση γινομένων συναρτήσεων Επίσης για το γινόμενο βαθμωτού μεγέθους και διανύσματος μπορούμε εύκολα να δείξουμε: (8 Τέλος, ο τελεστής κλίσης μπορεί να δρα σαν εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του δίνοντας πάλι βαθμωτό μέγεθος

25 i i Ο παραπάνω βαθμωτός διαφορικός τελεστής ονομάζεται τελεστής Laplace Τη φυσική του σημασία θα τη δούμε επίσης σύντομα Το θεώρημα του Geen για βαθμωτά μεγέθη και διανύσματα Θα κλείσουμε αυτή την περένθεση στο διανυσματικό λογισμό αναφέροντας χωρίς απόδειξη ένα βασικό θεώρημα που θα χρησιμοποιήσουμε n στη μαθηματική διατύπωση των αρχών διατήρησης θεωρώντας ένα αυθαίρετο όγκο, V, σταθερό στο χώρο, που ds περικλείεται από την επιφάνεια S Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα ds αυτής της επιφάνειας αντιστοιχεί ένα κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα n, με φορά προς το εξωτερικό του κλειστού όγκου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα S Το θεώρημα του Geen μετατρέπει ένα ολοκλήρωμα όγκου V σε επιφανειακό ολοκλήρωμα ή αντίστροφα Ουσιαστικά αποτελεί επέκταση σε τρεις διαστάσεις του απλού κανόνα: b a df d d f ( b f ( a (9 Βλέπουμε στην παραπάνω σχέση ότι το ολοκλήρωμα μιας παραγώγου μπορεί να εκφραστεί μέσω των τιμών της συνάρτησης στα δύο άκρα, και επιπλέον ότι στο αριστερό άκρο υπάρχει αρνητικό πρόσημο Αντίστοιχα, σε τρεις διαστάσεις το θεώρημα του Geen για βαθμωτό μέγεθος P είναι: V PdV S PndS ( Σε αντιστοιχία με την εξ (9 η παράγωγος σε μια διάσταση μετατράπηκε στο ανάδελτα, ενώ στο δεξιό σκέλος οι τιμές της συνάρτησης στα δύο άκρα αντικαταστάθηκαν με το ολοκλήρωμα σε όλη την επιφάνεια Σε μία διάσταση υπάρχει η αρνητική και η θετική κατεύθυνση, ενώ στις τρείς υπάρχουν όλες οι πιθανές κατευθύνσεις, που δείχνονται με το διάνυσμα n Παρατηρήστε ότι η σχέση ( είναι διανυσματική ισότητα Αντίστοιχα, για διανύσματα έχουμε την εξής μορφή του θεωρήματος του Geen V dv nds S ( Παρατηρήστε ότι και στα δύο σκέλη της εξ ( περιέχονται βαθμωτά μεγέθη, σαν εσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων 8

26 4 Ροή ενός μεγέθους διαμέσου μιας αυθαίρετα προσανατολισμένης επιφάνειας k Δ i j ΔΑ θ Δ n Δ Στο τέλος του προηγούμενου κεφαλαίου μιλήσαμε για μοριακή μεταφορά στις τρεις διαστάσεις και είδαμε τις τρεις συνιστώσες των ροών στις τρεις κατευθύνσεις των καρτεσιανών συντεταγμένων Το ερώτημα που θέλουμε να απαντήσουμε τώρα είναι πώς συνδέονται αυτές οι τρεις συνιστώσες με τη ροή κάθετα σε μια επιφάνεια που έχει ένα διαφορετικό και αυθαίρετο προσανατολισμό Η συζήτηση που ακολουθεί είναι και ένα πρώτο δείγμα της διατύπωσης ισοζυγίων, και σαν παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε τη μεταφορά θερμότητας σε ένα στερεό Για το σκοπό αυτό θα θεωρήσουμε ένα στοιχειώδη όγκο ελέγχου με σχήμα τετραέδρου ή τριγωνικής πυραμίδας, όπως φαίνεται στο διπλανό σκαρίφημα Οι τρείς κάθετες πλευρές έχουν μήκη Δ, Δ, Δ Ελαφρά σκιασμένη φαίνεται η αυθαίρετα προσανατολισμένη επιφάνεια του τετραέδρου ΔΑ, που χαρακτηρίζεται από το κάθετο διάνυσμα n Οι άλλες τρεις επιφάνειες βρίσκονται στα επίπεδα των αξόνων και συμβολίζονται με ΔΑ (για την επιφάνεια στο επίπεδο,, ΔΑ, και ΔΑ Έχουν κάθετα διανύσματα i, j, και k, αντίστοιχα Η θερμότητα που εισέρχεται στην μονάδα του χρόνου στον όγκο ελέγχου από τη επιφάνεια ΔΑ είναι το γινόμενο της αντίστοιχης ροής επί την επιφάνεια αυτή, δηλαδή (q/ ΔΑ Αντίστοιχα από τις άλλες δύο κάθετες επιφάνειες η θερμότητα που εισέρχεται είναι (q/ ΔΑ και (q/ ΔΑ Τέλος, η θερμότητα που εξέρχεται από την επιφάνεια ΔΑ είναι (q/ n ΔΑ Δηλαδή συνολικά η καθαρή εισροή θερμότητας στη μονάδα του χρόνου για τον όγκο ελεγχου είναι: ( q / ( q / ( q / ( q / n ( Η εισροή αυτή στη μονάδα του χρόνου θα πρέπει να είναι ίση με την αλλαγή της θερμικής ενέργειας του όγκου ελέγχου, η οποία είναι: mc P T t Vc P T t c 6 P T ( t Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα τρία μήκη Δ, Δ, Δ μικραίνουν με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρείται η αναλογία μεταξύ τους και ο προσανατολισμός της επιφάνειας ΔΑ να μην αλλάζει Δηλαδή τα μήκη αυτά είναι ανάλογα του Δl, το οποίο μικραίνει αυθαίρετα Τότε ο όρος της εισροής θερμότητας στη σχέση ( μικραίνει ανάλογα με το Δl, αφού οι όλες οι επιφάνειες είναι ανάλογες του Δl Σε αντίθεση, ο όρος της αλλαγής θερμικής ενέργειας στη σχέση ( μικραίνει πολύ περισσότερο αφού είναι ανάλογος του Δl Για να διατηρηθεί λοιπόν η ισότητα μεταξύ της εισροής και της αλλαγής της θερμικής ενέργειας του όγκου ελέγχου θα πρέπει ο όρος στο δεξιό σκέλος της σχέσης ( να τείνει στο μηδέν όταν το Δl τείνει στο μηδέν γιατί διαφορετικά θα είχαμε άπειρο ρυθμό αλλαγής της θερμοκρασίας 9

27 Στο όριο λοιπόν Δ, Δ, Δ γράφουμε σε διαφορική μορφή: ( q / d ( q / d ( q / d ( q / n d (4 Παρατηρήστε τώρα ότι οι κάθετες επιφάνειες του τετραέδρου είναι οι προβολές της ΔΑ στα αντίστοιχα επίπεδα Για παράδειγμα, η ΔΑ και η ΔΑ έχουν κοινή βάση και διαφορετικά ύψη, τα οποία φαίνονται στο σχήμα με τις διακεκομμένες γραμμές Δηλαδή ισχύει d = cosθ d Τέλος, η γωνία θ είναι ίδια με αυτή μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων n και k, δηλαδή nk = cosθ = n, όπου n είναι η -συνιστώσα του n Οπότε μπορούμε να γράψουμε: d ( dn ;d ( dn ;d ( d n (5 Αντικαθιστώντας την εξ (5 στη (4 και απαλοίφοντας τον κοινό όρο ΔΑ έχουμε: ( q / n ( q / n ( q / n ( q / n Βλέπουμε δηλαδή τελικά ότι η θερμική ροή κάθετα στην αυθαίρετα προσανατολισμένη επιφάνεια ΔΑ που έχει κάθετο διάνυσμα n είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων (q/ και n ( q / n (q/n (6 Γενικότερα, αν Ψ είναι το διάνυσμα της ροής μιας ιδιότητας και n το κάθετο διάνυσμα μιας αυθαίρετης επιφάνειας d τότε η ποσότητα της ιδιότητας που διέρχεται ανά μονάδα χρόνου είναι: ( Ψnd (7 n Μπορούμε τώρα να δούμε τη φυσική σημασία του όρου με τη βοήθεια της σχέσης ( από το θεώρημα του Geen Αν το αντιπροσωπεύει τη ροή κάποιας ιδιότητας, το δεξιό σκέλος της σχέσης αυτής είναι η συνολική εκροή της ιδιότητας από ένα όγκο Στο όριο λοιπόν που ο όγκος αυτός τείνει στο μηδέν ο όρος αντιπροσωπεύει την τοπική τιμή της εκροής της ιδιότητας ανά μονάδα όγκου σε κάθε θέση του χώρου Μπορούμε επίσης να δούμε τη φυσική σημασία του τελεστή Laplace Ο όρος -kt αντιπροσωπεύει τη ροή θερμικής ενέργειας με μοριακά μέσα Επομένως, ο όρος (- kt = -k T αντιπροσωπεύει την τοπική εκροή θερμικής ενέργειας με μοριακά μέσα ανά μονάδα όγκου (για σταθερό k Αντίστοιχα, χωρίς το αρνητικό πρόσημο ο τελεστής Laplace αντιπροσωπεύει την τοπική εισροή με μοριακά μέσα ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ Γενική διατύπωση του ισοζυγίου με λόγια Αν θεωρήσουμε οποιαδήποτε ιδιότητα που μπορεί να μετρηθεί ποσοτικά σε ένα σταθερό όγκο ελέγχου για κάποια χρονική περίοδο, μπορούμε να γράψουμε γενικά για τις αλλαγές στη χρονική αυτή περίοδο:

28 Η παραπάνω αρχή έχει ισχύ όχι μόνο για τις ιδιότητες που μελετάμε στα φαινόμενα μεταφοράς, αλλά και γενικότερα Για παράδειγμα, ο όγκος ελέγχου θα μπορούσε να είναι τα όρια μιας πόλης, η ιδιότητα να είναι οι κάτοικοί της και η χρονική περίοδος μια μέρα ή ένας χρόνος Θα μπορούσαμε επίσης να βρούμε αρκετά παραδείγματα από οικονομικά μεγέθη Να σημειώσουμε επίσης ότι ο όρος παραγωγή είναι γενικός και μπορεί να είναι αρνητικός αν έχουμε καταστροφή ή απώλεια Οι ιδιότητες που μας ενδιαφέρουν στα φαινόμενα μεταφοράς είναι συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου και επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε σαν χρονική περίοδο ένα αυθαίρετο Δt, να διαιρέσουμε την παραπάνω σχέση με το Δt, και να πάρουμε το όριο Δt Τότε οι όροι μπορούν να γραφούν ως εξής πάλι με λόγια: ' (8 Την παραπάνω γενική αρχή διατήρησης είμαστε τώρα σε θέση να τη διατυπώσουμε σε μαθηματική μορφή με τα εργαλεία που έχουμε στη διάθεσή μας και κατόπιν να τη εξειδικεύσουμε για τη μάζα και την ενέργεια Η διαφορά των ρυθμών εισόδου και εξόδου είναι ο καθαρός ρυθμός εισροής Γενική διατύπωση του ισοζυγίου με σύμβολα Έστω ψ η συγκέντρωση μιας ιδιότητας σε κάποια χρονική στιγμή και σε κάποιο σημείο του χώρου, δηλαδή η ποσότητα της ιδιότητας ανά μονάδα όγκου (πχ ρ για τη συνολική μάζα ή c για τη μάζα ενός συστατικού Α Έστω επίσης Ψ η συνολική τοπική ροή της ιδιότητας, η οποία είναι διάνυσμα και έχει διαστάσεις της ποσότητας ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου Έστω, τέλος ο n ρυθμός παραγωγής της ιδιότητας ανά μονάδα όγκου Σαν όγκο ελέγχου θα χρησιμοποιήσουμε ένα αυθαίρετο όγκο, V, ds σταθερό στο χώρο, που περικλείεται από την επιφάνεια S Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα ds της εξωτερικής επιφάνειας αντιστοιχεί ένα κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα n, με φορά προς το εξωτερικό του όγκου V S Γράφουμε λοιπόν για κάθε όρο της εξίσωσης: d dt V G dv (9α

29 S ΨndS dv G V (9β (9γ Στην πρώτη σχέση, επειδή ο όγκος είναι σταθερός μπορούμε να μεταφέρουμε την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα και να γράψουμε: d dt V dv V dv t Στη δεύτερη σχέση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Geen στη μορφή ( που αφορά διανύσματα και να μετατρέψουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα όγκου: S ΨndS ΨdV V Έχοντας λοιπόν εκφράσει με σύμβολα όλους τους όρους της εξ (8 σαν ολοκληρώματα του ίδιου όγκου μπορούμε να γράψουμε: V ( Ψ t G dv ( Τέλος, επειδή ο όγκος V είναι αυθαίρετος και μπορούμε να τον επιλέξουμε όπως θέλουμε, για να ισχύει η ισότητα ( θα πρέπει η ποσότητα που ολοκληρώνεται να είναι εκ ταυτότητας μηδέν παντού Έτσι καταλήγουμε στη μαθηματική μορφή του γενικού ισοζυγίου ιδιότητας που είναι μια διαφορική εξίσωση και συνδέει τις χρονικές μεταβολές της ιδιότητας με τον τοπικό ρυθμό εκροής και τον τοπικό ρυθμό παραγωγής: Ψ t G ( Η εξίσωση μεταφοράς θερμότητας σε στερεά Η εξίσωση με τη χρήση του γενικού ισοζυγίου Σαν μια πρώτη εφαρμογή του γενικού ισοζυγίου ( θα θεωρήσουμε την ενέργεια ενός στερεού σώματος για το οποίο θα υποθέσουμε ότι έχουμε σταθερή πυκνότητα, ρ, και ειδική θερμότητα, c P Η ιδιότητα τώρα είναι η ενέργεια ανά μονάδα όγκου, δηλαδή έχουμε ψ = ρc P( Τ-Τ, όπου Τ είναι μια θερμοκρασία αναφοράς Πιο γενικά, από τις σχέσεις της θερμοδυναμικής που μας δίνουν τις μεταβολές των ιδιοτήτων έχουμε dψ = ρc P dt Στα στερεά ο μηχανισμός μεταφοράς είναι μόνο μοριακός, δηλαδή έχουμε: Ψ = - kt Τέλος, θα διατηρήσουμε αόριστα το όρο της παραγωγής, ο οποίος θα μπορούσε να οφείλεται σε χημικές αντιδράσεις, μετατροπή ηλεκτρικής ενέργειας σε θερμική κλπ Θα εξειδικεύσουμε μόνο χρησιμοποιώντας για την ενέργεια το σύμβολο q Μπορούμε να G

30 αντικαταστήσουμε τώρα στη γενική εξίσωση ( και να γράψουμε την εξίσωση μεταφοράς θερμότητας σε στερεά: c T t ( kt P q G ( Αν, επιπλέον η θερμική αγωγιμότητα θεωρηθεί σταθερή, έχουμε τελικά τη μορφή c T P k T q G t ( Ο όρος στο αριστερό σκέλος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ανά μονάδα όγκου, και αυτός ισούται με τα άθροισμα της τοπικής εισροής ανά μονάδα όγκου με μοριακά μέσα, που εκφράζεται με τον τελεστή Laplace, και του ρυθμού παραγωγής Η ίδια εξίσωση με τη χρήση ενός στοιχειώδους όγκου Μπορούμε να βρούμε την ίδια εξίσωση ξεκινώντας από τη διατύπωση του γενικού ισοζυγίου (8 και χρησιμοποιώντας ένα στοιχειώδη όγκο ελέγχου O τρόπος αυτός είναι μαθηματικά πιο απλός γιατί αποφεύγει το φορμαλισμό του θεωρήματoς του Geen, αλλά απαιτεί περισσότερους χειρισμούς και είναι λιγότερο κομψός, ειδικά για τις περιπτώσεις μεταφοράς σε ρευστά Θεωρώντας λοιπόν ξανά ένα στερεό σώμα με σταθερή πυκνότητα, ρ, και ειδική θερμότητα, c P, θα χρησιμοποιήσουμε Δ Δ ένα στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις Δ, Δ, Δ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Οι επιφάνειες δια μέσου των οποίων υπάρχει θερμική ροή με μοριακούς μηχανισμούς είναι οι Δ έξι έδρες του παραλληλεπιπέδου Ονομάζουμε ΔΑ, και ΔΑ +Δ τις δύο έδρες που είναι κάθετες στον άξονα (οι ελαφρά χρωματισμένες επιφάνειες Αντίστοιχα, έχουμε τις έδρες ΔΑ, και ΔΑ +Δ, ΔΑ, και ΔΑ +Δ, που είναι κάθετες στους δύο άλλους άξονες Έχουμε, λοιπόν για τους όρους του γενικού ισοζυγίου: ΡΥΘΜΟΣ ΣΥΣΣΩΡΕΥΣΗΣ: mc P T t Vc P T t ( c P T t ΡΥΘΜΟΣ ΕΙΣΟΔΟΥ: ( q / ( q / ( q / ( q / ( q / ( q / ΡΥΘΜΟΣ ΕΞΟΔΟΥ: ( q / ( q / ( q / ( q / ( q / ( q / ΡΥΘΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ: Vq ( q G G

31 Αν αντικαταστήσουμε στην εξ (8 και διαιρέσουμε με ΔΔΔ έχουμε: c P T t ( q / ( q / ( q / ( q / ( q / ( q / Το επόμενο βήμα είναι να θεωρήσουμε το όριο Δ, Δ, Δ, όπου τα κλάσματα στο δεξιό σκέλος γίνονται παράγωγοι και έχουμε: c c P T t T t ( q / (q/ P q G ( q / ( q / q G q G (4 Τέλος, αν χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Foie (, (q/ kt, για τη θερμική ροή σε τρεις διαστάσεις καταλήγουμε στην ίδια μορφή, όπως η εξ (: c T t kt P q G, (5 η οποία για σταθερή θερμική αγωγιμότητα μας δίνει την ( Ο τελεστής Laplace, Έχοντας την εξίσωση ( μπορούμε να αντιμετωπίσουμε προβλήματα μεταφοράς θερμότητας σε στερεά Η πλειοψηφία των προβλημάτων που μπορούν να αντιμετωπισθούν με αναλυτικές τεχνικές επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων αφορούν γεωμετρίες όπου χρησιμοποιούνται καρτεσιανές, κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες Θα αναφέρουμε εδώ τις αντίστοιχες μορφές που παίρνει ο τελεστής Laplace Καρτεσιανές συντεταγμένες (,, T T T T (6 4

32 Κυλινδρικές συντεταγμένες (, θ, θ T T ( T T (7 Σφαιρικές συντεταγμένες (, θ, φ θ φ T sin T T ( (sin T sin (8 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΗ (CONVECTION Είδαμε ως τώρα με λεπτομέρεια τους μοριακούς μηχανισμούς μεταφοράς, αλλά όπως έχουμε αναφέρει, η μεταφορά με την κίνηση των ρευστών είναι επίσης μηχανισμός μεταφοράς που ονομάζεται συναγωγή και μάλιστα είναι πολύ πιο σημαντική από την μοριακή μεταφορά σε πολλές εφαρμογές που αφορούν τον χημικό μηχανικό Α Δl ΔΑ Για να εκφράσουμε μαθηματικά τη ροή ιδιοτήτων με συναγωγή θα θεωρήσουμε πρώτα μια ομοιόμορφη ροή ρευστού με σταθερή ταχύτητα κάθετα σε μια νοητή επιφάνεια Α, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Θα εστιάσουμε σε ένα στοιχειώδες τμήμα, ΔΑ, της επιφάνειας αυτής Μετά από χρόνο Δt όλα τα σημεία του ρευστού θα μετακινηθούν κατά μια απόσταση Δl = Δt, και επομένως ένας όγκος ρευστού ίσος με ΔV = Δl ΔΑ = ΔtΔΑ θα διέλθει μέσα από την επιφάνεια 5

33 ΔΑ Έτσι, αν ψ η συγκέντρωση μιας ιδιότητας στο ρευστό, η ποσότητα της ιδιότητας που θα διέλθει από την ΔΑ θα είναι ψδv = ψδtδα Επομένως, η ροή της ιδιότητας δηλαδή η ποσότητα που μεταφέρεται ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου θα είναι ψ Στη γενική περίπτωση που η ταχύτητα δεν είναι ομοιόμορφη σε κάθε σημείο του ρευστού αλλά αντιπροσωπεύεται από ένα τοπικό διάνυσμα, αντίστοιχα και η ροή με συναγωγή που είναι επίσης διάνυσμα θα δίνεται από τη σχέση: Ψ C : (9 Για παράδειγμα, μερικές ιδιότητες και οι αντίστοιχες ροές φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Ιδιότητα ανά μονάδα όγκου ψ Ψ C Ροή με συναγωγή Συνολική μάζα ρ ρ Ροή μάζας Μάζα συστατικού Α ρ Α ρ Α Ροή μάζας συστατικού Α Γραμμομόρια συστατικού Α c c Γραμμομοριακή ροή συστατικού Α Όγκος Ογκομετρική ροή Ενέργεια ρc P T ρc P T Ροή θερμικής ενέργειας με συναγωγή Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότεροι του ενός μηχανισμοί μεταφοράς, η συνολική ροή μιας ιδιότητας είναι το άθροισμα των επιμέρους ροών Έτσι, αν έχουμε ταυτόχρονα συναγωγή και μοριακή μεταφορά, η συνολική ροή ιδιότητας που πρέπει να χρησιμοποιηθεί στο γενικό ισοζύγιο ιδιότητας ( είναι: Ψ Ψ C Ψ D, ( όπου η ροή με συναγωγή δίνεται από τη σχέση (9 και η ροή με μοριακούς μηχανισμούς, γενικεύοντας τη σχέση ( στις τρεις διαστάσεις, είναι: Ψ D ( 4 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΜΑΖΑΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ 4 Η εξίσωση συνεχείας (Continit eqation Έχοντας εκφράσεις για τη ροή με συναγωγή και με μοριακούς μηχανισμούς μπορούμε τώρα να εξειδικεύσουμε το γενικό ισοζύγιο ιδιότητας ( για τη μάζα και την ενέργεια Πρώτα θα ασχοληθούμε με τη συνολική μάζα ενός ρευστού, και στις επόμενες υποενότητες με την ενέργεια και τη μάζα συστατικών σε μίγματα Δεν υπάρχει ροή μάζας σε σχέση με τη μέση-κατά-μάζα ταχύτητα ενός ρευστού, δηλαδή, εξ ορισμού δεν υπάρχει μοριακή μεταφορά για τη συνολική μάζα ενός ρευστού Επομένως στην περίπτωση αυτή η ιδιότητα είναι ψ = ρ και η ροή είναι Ψ = ρ Δεν υπάρχει επίσης παραγωγή για τη συνολική μάζα Μπορεί τα επιμέρους συστατικά να 6

34 αντιδρούν και να μετατρέπονται το ένα στο άλλο, αλλά η συνολική μάζα δεν αλλάζει Με βάση λοιπόν τα παραπάνω, αντικαθιστώντας στο γενικό ισοζύγιο, έχουμε: t ( Η παραπάνω διαφορική σχέση ονομάζεται εξίσωση συνεχείας των ρευστών Σύμφωνα με αυτά που είπαμε στην υποενότητα και με βάση την εξ (8, η εξίσωση συνεχείας μπορεί να γραφτεί επίσης: ( t Αν τώρα η πυκνότητα είναι σταθερή, πχ ανεξάρτητη της πίεσης, το ρευστό ονομάζεται ασυμπίεστο, και οι δύο πρώτοι όροι στην εξ ( είναι μηδέν Τότε, η εξίσωση συνεχείας για ασυμπίεστα ρευστά παίρνει τη μορφή: (4 Η εξ (4 δηλώνει ότι η ογκομετρική εκροή από οποιοδήποτε όγκο ασυμπίεστου ρευστού είναι μηδέν Αν σε κάποιο τμήμα της εξωτερικής επιφάνειας ενός σταθερού όγκου ελέγχου υπάρχει εισροή μάζας, σε κάποιο άλλο τμήμα θα πρέπει να υπάρχει ίση εκροή Για τους υπολογισμούς στα φαινόμενα μεταφοράς ασυμπίεστα ρευστά θεωρούμε συνήθως όλα τα υγρά Οι συνήθεις αλλαγές της πίεσης σε τυπικές ροές επιφέρουν ασήμαντες αλλαγές στην πυκνότητα Θεωρούμε επίσης και τα αέρια σε πολλές περιπτώσεις σαν ασυμπίεστα Μόνο όταν οι ταχύτητες είναι συγκρίσιμες με την ταχύτητα του ήχου (υποηχητικές και υπερηχητικές ροές και στις αντίστοιχες εφαρμογές της αεροναυπηγικής χρειάζεται να ληφθούν υπόψη τα φαινόμενα συμπιεστότητας του αέρα και να χρησιμοποιηθεί η γενικότερη σχέση ( Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται επιπλέον και μια καταστατική σχέση, πχ ο νόμος των ιδανικών αερίων Τέλος, μπορούμε να αναφέρουμε ότι ακόμη και στην ανάλυση φαινομένων όπου η κίνηση των ρευστών οφείλεται σε διαφορές πυκνότητας από θέση σε θέση λόγω διαφορών θερμοκρασίας, συνήθως πάλι χρησιμοποιείται η απλούστερη μορφή (4 της εξίσωσης συνεχείας, η οποία αντιστοιχεί σε ασυμπίεστα ρευστά Περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό το φαινόμενο που ονομάζεται φυσική συναγωγή θα δούμε στο μάθημα των Φαινομένων Μεταφοράς ΙΙ 7

35 Ο όρος στα τρία συστήματα συντεταγμένων Καρτεσιανές συντεταγμένες (,, (5 Κυλινδρικές συντεταγμένες (, θ, θ θ ( (6 Σφαιρικές συντεταγμένες (, θ, φ φ θ φ θ ( sin ( (7 sin sin 8

36 4 Ρυθμός μεταβολής ιδιότητας σε σχέση με κινούμενο παρατηρητή και η έννοια της υλικής παραγώγου Θα επικαλεσθούμε πάλι για τη συζήτηση αυτή το υποθετικό όργανο που μετράει την τοπική πυκνότητα και θα υποθέσουμε ότι μπορεί να κινείται στο χώρο Για την ιδιότητα αυτή θα ισχύει ρ = ρ(,,,t, όπου τα (,, μας δίνουν τη στιγμιαία θέση του οργάνου Όπως γνωρίζουμε για τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών που συναντήσαμε και στη θερμοδυναμική, για οποιαδήποτε στοιχειώδη μεταβολή του ρ που καταγράφεται στο όργανο θα ισχύει: d dt d d d (8 t Οι στοιχειώδεις μεταβολές d, d, d αντιπροσωπεύουν τώρα την πιθανή μετατόπιση του οργάνου στο χώρο Έτσι, από την εξ (8, για τις μεταβολές που καταγράφονται θα ισχύει: d d d d dt t dt dt dt (9 Αν τώρα το όργανο κινείται με ταχύτητα w, για τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας αυτής ισχύει προφανώς: w d d d ; w ; w (4 dt dt dt Έτσι, τελικά, η σχέση (9 γράφεται: d w w w w dt t t (4 Η εξ (4 δίνει το ρυθμό μεταβολής σε σχέση με κινούμενο παρατηρητή που κινείται με ταχύτητα w, και συμβολίζεται: d dt ( w w t (4 Αν ο παρατηρητής είναι ακίνητος, ο ρυθμός της μεταβολής αυτής είναι ίσος με τη μερική παράγωγο ως προς το χρόνο Ένας κινούμενος παρατηρητής όμως καταγράφει αλλαγές ακόμα και αν η ιδιότητα παρέμενει αμετάβλητη στο χρόνο, αν υπάρχουν τέτοιες αλλαγές από θέση σε θέση Για παράδειγμα, ένα όργανο που καταγράφει την πυκνότητα του αέρα θα δείχνει αλλαγές αν αλλάζει υψόμετρο με κάποια ταχύτητα, και οι αλλαγές αυτές θα είναι πιο γρήγορες όσο πιο μεγάλη είναι η ταχύτητα ανόδου ή καθόδου Ή ένα όργανο μέτρησης της υδροστατικής πίεσης θα καταγράφει αλλαγές πίεσης αν αλλάζει βάθος στο νερό με κάποια ταχύτητα Η έννοια της υλικής παραγώγου Αν τώρα υποθέσουμε ότι το όργανο μέτρησης της πυκνότητας βρίσκεται σε ένα κινούμενο ρευστό και αφήνεται να παρασυρθεί από αυτό, τότε η ταχύτητα του οργάνου 9

37 σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι ίδια με την τοπική ταχύτητα του ρευστού, δηλαδή θα ισχύει w = Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: D Dt t, (4 με κεφαλαίο D για την παράγωγο, την οποία ονομάζουμε υλική παράγωγο Ο λόγος είναι ότι ακολουθώντας την κίνηση του ρευστού, παρατηρούμε συνεχώς το ίδιο υλικό (με την έννοια του συνεχούς μέσου Δηλαδή, η παράγωγος αυτή δίνει τις μεταβολές στις ιδιότητες πάντα του ίδιου υλικού, πχ μιας νοητής μικροσκοπικής σταγόνας ρευστού όπως αυτή κινείται μέσα στο χώρο περιβαλλόμενη από το γειτονικό ρευστό Με βάση την υλική παράγωγο η εξίσωση συνεχείας, ξεκινώντας από τη μορφή (, μπορεί να γραφεί: D t Dt D Dt (44 Ο όρος στο αριστερό σκέλος είναι ο ρυθμός της σχετικής αλλαγής της πυκνότητας ενός στοιχειώδους υλικού όγκου και ισούται με τον όρο στο δεξιό σκέλος που όπως έχουμε δει με το αρνητικό πρόσημο αντιπροσωπεύει τον τοπικό ρυθμό ογκομετρικής εισροής ανά μονάδα όγκου 5 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Θα περιοριστούμε στη συζήτηση αυτή σε μεταβολές της ενέργειας των ρευστών που οφείλονται σε θερμικά φαινόμενα, υποθέτοντας ότι τα φαινόμενα αυτά είναι πολύ πιο σημαντικά από άλλους παράγοντες, πχ την κινητική ενέργεια ή το έργο των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα ρευστό Η ιδιότητα στην οποία αναφερόμαστε τώρα και την οποία θα χρησιμοποιήσουμε στο γενικό ισοζύγιο είναι ψ =, δηλαδή η εσωτερική ενέργεια του ρευστού ανά μονάδα όγκου, η οποία συνδέεται με την εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα μάζας, e, με τη σχέση: ê e (Σε μια γενικότερη θεώρηση θα έπρεπε να είχαμε συμπεριλάβει και την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου, που είναι /ρ, καθώς και το έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο ρευστό Όσο αφορά τη ροή της ιδιότητας ψ θα πρέπει να συμπεριλάβουμε τη συναγωγή, Ψ C = ρe, καθώς και τη ροή με μοριακή μεταφορά που είναι Ψ D = -kt Έχουμε δηλαδή Ψ = ρe - kt Τέλος, θα αφήσουμε αόριστο τον όρο της παραγωγής χρησιμοποιώντας το σύμβολο Αντικαθιστώντας τους παραπάνω όρους στο γενικό ισοζύγιο ιδιότητας ( έχουμε για την εσωτερική ενέργεια ενός ρευστού: q G e ( e kt q G (45 t ê

38 Ο πρώτος όρος στο αριστερό σκέλος γράφεται: e e e t t t και ο δεύτερος όρος, με τη βοήθεια της σχέσης (8, ( e e e( οπότε το αριστερό σκέλος γίνεται:, e e ( e ( e e( t t t, (46 Ο όρος μέσα στη δεύτερη παρένθεση είναι εκ ταυτότητας μηδέν από την εξίσωση συνεχείας Έτσι το γενικό ισοζύγιο για την εσωτερική ενέργεια ενός ρευστού γίνεται e ( e kt t ή, τέλος, χρησιμοποιώντας την υλική παράγωγο: De kt Dt q G q G, (47 Ο όρος στο αριστερό σκέλος αντιπροσωπεύει το ρυθμό αλλαγής της εσωτερικής ενέργειας ενός υλικού όγκου ανά μονάδα όγκου και, όπως έχουμε δει, ισούται με το άθροισμα του ρυθμού εισροής θερμικής ενέργειας με μοριακά μέσα ανά μονάδα όγκου, που αντιπροσωπεύει ο πρώτος όρος στο δεξιό σκέλος, και του ρυθμού παραγωγής Αν η θερμική αγωγιμότητα είναι σταθερή η θερμική εισροή με μοριακά μέσα μας δίνει τον τελεστή Laplace Για να προχωρήσουμε τώρα σε μια έκφραση που περιλαμβάνει μόνο τη θερμοκρασία θα πρέπει να επικαλεστούμε τις σχέσεις της θερμοδυναμικής Γενικά, η εσωτερική ενέργεια είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας και της πίεσης ή της θερμοκρασίας και του όγκου, καθώς επίσης και της σύστασης Θα υποθέσουμε ότι πιθανές αλλαγές στη σύσταση δεν επιφέρουν σημαντικές αλλαγές (πχ λόγω ενθαλπίας διάλυσης, οπότε για την εσωτερική ενέργεια μιας συγκεκριμένης μάζας ρευστού θα ισχύει U = U(T,P ή U = U(T,V Αντίστοιχα, για την εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα μάζας θα έχουμε: e = e(t,p ή e = e(t,ρ Τέλος, θα υποθέσουμε ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο, δηλαδή έχει σταθερή πυκνότητα, οπότε η εσωτερική ενέργεια είναι συνάρτηση μόνο της θερμοκρασίας, δηλ e = e(t Με βάση όλες τις παραπάνω απλοποιητικές παραδοχές, για τις μεταβολές της εσωτερικής ενέργειας ισχύει από τη θερμοδυναμική: de c dt (48 P Αντικαθιστώντας στην εξ (47 έχουμε: c DT kt Dt P q G

39 ή P q G T k T t T ( c (49 Τέλος, όπως προαναφέραμε, αν η θερμική αγωγιμότητα είναι σταθερή έχουμε: P q G T k T t T ( c (5 Η εξίσωση αυτή περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας σε ασυμπίεστα ρευστά με σταθερή θερμική αγωγιμότητα Η διαφορά της με τα στερεά, όπου ισχύει η εξ (, έγκειται μόνο στην παρουσία ενός επιπλέον όρου, δηλαδή της μεταφοράς με συναγωγή Ήδη γνωρίζουμε πως εκφράζεται ο τελεστής Laplace στα τρία συστήματα συντεταγμένων Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε όλη την εξίσωση (5 στα συστήματα αυτά αν ξέρουμε και τις αντίστοιχες μορφές του όρου της συναγωγής, που δίνονται παρακάτω Ο όρος της συναγωγής στα τρία συστήματα συντεταγμένων Καρτεσιανές συντεταγμένες (,, T T T T e e e (5 και e e e, (5 οπότε το εσωτερικό γινόμενο T γίνεται: T T T T (5 Κυλινδρικές συντεταγμένες (, θ, T T T T e e e (54 και e e e, (55 οπότε το εσωτερικό γινόμενο T γίνεται: T T T T (56

40 και T T e e T e e Σφαιρικές συντεταγμένες (, θ, φ e T e sin (57, (58 οπότε το εσωτερικό γινόμενο T γίνεται: T T T T sin (59 5 Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΜΙΓΜΑΤΑ 5 Η γενική εξίσωση διατήρησης Θε περιοριστούμε επίσης στη συζήτηση αυτή σε δυαδικά μίγματα Έστω λοιπόν ένα μίγμα δύο συστατικών που τα ονομάζουμε Α και Β Εστιάζοντας στο συστατικό Α, η ιδιότητα ψ στην οποία αναφερόμαστε τώρα σε σχέση με το γενικό ισοζύγιο είναι η συγκέντρωση του συστατικού Συμβολίζουμε με c τη γραμμομοριακή συγκέντρωση (kmol/m στο SI και με ρ Α τη συγκέντρωση κατά μάζα (kg/m στο SI Προφανώς ισχύει: c M όπου Μ Α το μοριακό βάρος του Α, (6 Εξετάζοντας τώρα τη ροή Ψ του συστατικού, χωρίς ακόμα να εξειδικεύσουμε για τον μηχανισμό της μεταφοράς, συμβολίζουμε με (Ν Α /Α το διάνυσμα της συνολικής γραμμομοριακής ροής (kmol/ m s στο SI, και με (n Α /Α το διάνυσμα της συνολικής ροής κατά μάζα (kg/ m s στο SI Παρόμοια, ισχύει: ( n / ( N / M (6 Τέλος, συμβολίζουμε με R και, αντίστοιχα, τον γραμμομοριακό ρυθμό παραγωγής και τον ρυθμό παραγωγής κατά μάζα του συστατικού, οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με παρόμοια σχέση μέσω του μοριακού βάρους Με βάση τους παραπάνω ορισμούς και συμβολισμούς, το γενικό ισοζύγιο ιδιότητας ( μπορεί να γραφεί με όρους γραμμομορίων: c t ή με όρους μάζας: t ( N / R, (6 ( n / (6 Τα ίδια πράγματα ακριβώς μπορούμε να γράψουμε και για το συστατικό Β

41 5 Ορισμός των ροών διάχυσης Για την ολική γραμμομοριακή συγκέντρωση c και την πυκνότητα ρ ισχύει σε κάθε θέση του χώρου: και c c c B B, (64 (65 Τα γραμμομοριακά κλάσματα και τα κλάσματα μάζας σε κάθε θέση του χώρου ορίζονται από τις σχέσεις: και c / c; B c B / c ; / Ισχύει προφανώς: και B / B B B, (66 (67, (68 Έστω τώρα,, B, οι μέσες ταχύτητες των δύο συστατικών που ορίζονται μέσω των γραμμομοριακών ή των μαζικών ροών και ( / N c ( N / B c B B και και ( /, (69 n B ( n / B B, (7 Ορίζουμε τη μέση γραμμομοριακή ταχύτητα από τη σχέση: B B ( M, (7 και τη μέση κατά μάζα ταχύτητα: B B Α B (M Α Β Στη γενική περίπτωση, αν υπάρχουν τοπικές διαφορές στις συγκεντρώσεις, οι ταχύτητες των δύο συστατικών δεν θα είναι ίδιες λόγω του φαινομένου της διάχυσης Για παράδειγμα, αν το γραμμομοριακό κλάσμα του Α μικραίνει στη -κατεύθυνση και αντίστοιχα μεγαλώνει το γραμμομοριακό κλάσμα του Β, όπως φαίνεται στο 4

42 διπλανό σχήμα, η διάχυση θα τείνει να επιταχύνει το Α και να επιβραδύνει το Β σε σχέση με τη μέση ταχύτητα Ορίζουμε τη γραμμομοριακή ροή λόγω διάχυσης του συστατικού Α σαν τη ροή σε σχέση με τη μέση γραμμομοριακή ταχύτητα και συμβολίζουμε με το (J / Δηλαδή έχουμε: ( N / c c [ ( M ( ( M ] c( M ( J / (7 Αντίστοιχα, ορίζουμε τη μαζική ροή λόγω διάχυσης του συστατικού Α σαν τη ροή σε σχέση με τη μέση κατά μάζα ταχύτητα και συμβολίζουμε με το (j / Δηλαδή έχουμε: ( n / [ ( ] ( j / Όμοια, για το συστατικό Β: και ( B (74 N B / cb( M ( J /, (75 ( B B nb / ( j / (76 Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει μια σχέση ανάμεσα στις ροές διάχυσης των δύο συστατικών Έχουμε: και ( / ( N / c c c( c N B B ( N / ( N B / c( M ( J / cb( M ( J B / c( M ( J / ( J B οπότε, ( J / ( J B / B B B ( M, / (77 Όμοια οι ροές διάχυσης κατά μάζα συνδέονται με τη σχέση: ( j / ( jb / (78, 5 Ο νόμος του Fick Ο νόμος του Fick, τον οποίο είδαμε ήδη στο πρώτο κεφάλαιο, συνδέει τις ροές λόγω διάχυσης με τις διαφορικές κλίσεις της συγκέντρωσης και διατυπώνεται αυστηρά για δυαδικά μίγματα ως εξής: Για τη γραμμομοριακή ροή της διάχυσης: ( J / cd B και για τη ροή κατά μάζα: D B, (79 ( j / (8 Σαν D B ορίζεται ο συντελεστής διάχυσης του συστατικού Α στο Β Το πρώτο σημείο που θα τονίσουμε είναι ότι οι δύο παραπάνω σχέσεις είναι ισοδύναμες και ο συντελεστής 5

43 διάχυσης που εμφανίζεται είναι ο ίδιος Δηλαδή, ξεκινώντας από τη μία σχέση και τους ορισμούς που ήδη δόθηκαν μπορούμε να αποδείξουμε την άλλη Αντίστοιχα, τώρα, για το συστατικό Β ισχύει για τη γραμμομοριακή ροή της διάχυσης: ( J / cd B B και για τη ροή κατά μάζα: B D B B B, (8 ( j / (8 Σαν D ΒΑ ορίζεται ο συντελεστής διάχυσης του συστατικού Β στο Α Το δεύτερο σημαντικό σημείο σε σχέση με το νόμο του Fick είναι ότι για δυαδικά μίγματα οι δύο συντελεστές διάχυσης D ΑΒ και D ΒΑ είναι ίσοι μεταξύ τους Αυτό αποδεικνύεται ως εξής Από τη σχέση (77 έχουμε: ( J / ( J / cd cd B Από τη σχέση (68 το γραμμομοριακό κλασμα του Β είναι B = -, οπότε: cd B c ( D DB D B cd B D B B ( B cd B B B cd B (8 Δηλαδή, για δυαδικά μίγματα μας χρειάζεται ένας συντελεστής διάχυσης Το παραπάνω δεν ισχύει γενικά για μίγματα περισσοτέρων των δύο συστατικών, όπως επίσης και η έκφραση για τις ροές της διάχυσης που δίνεται στις σχέσεις ( Εξίσωση μεταφοράς συστατικού σε ρευστό σταθερής πυκνότητας Χρησιμοποιούμε τη σχέση (6, για το ισοζύγιο συστατικού Α με όρους μάζας: t ( n / τη σχέση (74 για τη συνολική ροή: ( n / ( j /, (6 (74 και το νόμο του Fick στη μορφή (8 για τη ροή διάχυσης: ( j / (8 D B Επειδή έχουμε υποθέσει σταθερή πυκνότητα για το ρευστό, έχουμε: t t ( D ( D Ο τρίτος όρος στο αριστερό σκέλος είναι μηδέν από την εξίσωση συνεχείας ασυμπίεστου ρευστού, οπότε καταλήγουμε στη μορφή: 6

44 t D (8 ή διαιρώντας με το μοριακό βάρος: c t c Dc R (8 Η εξίσωση (8 είναι όμοια σε μορφή με την εξίσωση ενέργειας (49 και αν ο συντελεστής διάχυσης είναι σταθερός, όπως και στην εξίσωση (5 έχουμε: Dc Dt c t c D c R (8 Η φυσική σημασία των όρων που εμφανίζονται είναι αντίστοιχη με την εξίσωση ενέργειας, και οι μορφές τους στα τρία συστήματα συντεταγμένων μπορούν επίσης να βρεθούν από τις σχέσεις (6-8 και (5-59 Με την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να αναλύσουμε προβλήματα μεταφοράς μάζας σε υγρά, όπου η πυκνότητα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή Παρ ότι είπαμε ότι η μορφή του νόμου του Fick για δυαδικά μίγματα δεν ισχύει γενικά για μίγματα περισσότερων των δύο συστατικών, μπορούμε να αναλύσουμε τέτοια προβλήματα με την εξ (8 αν υπάρχει ένα κύριο συστατικό, πχ νερό, και τα υπόλοιπα είναι σε μικρές συγκεντρώσεις Για τη μεταφορά μάζας σε αέρια μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί η ίδια εξίσωση αν η συγκέντρωση ενός συστατικού είναι μικρή, πχ υδρατμός στον αέρα 55 Συναγωγή λόγω διάχυσης Στα αέρια η παραδοχή ότι η πυκνότητα είναι σταθερή δεν είναι πάντα καλή Σε κάποια προβλήματα η πίεση και η θερμοκρασία είναι σταθερή, οπότε αυτό που παραμένει σταθερό είναι η συνολική γραμμομοριακή συγκέντρωση Εξυπηρετεί λοιπόν να εκφράσουμε τις ροές με όρους γραμμομορίων Γενικά, με βάση τους ορισμούς που δόθηκαν στις προηγούμενες υποενότητες, ισχύει: οπότε, ( N c ( c c / c c B ( M B ( J cd / c ( ( N / ( N / N / cd B B cd B (84 Ξεκινούμε πάντα την ανάλυση του γενικού ισοζυγίου (6 χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για τη μοριακή ροή Θα εξετάσουμε εδώ τρεις απλές περιπτώσεις μονοδιάστατης μεταφοράς μάζας σε αέριο μίγμα δύο συστατικών, όπου δεν υπάρχει επιβαλλόμενη μακροσκοπική κίνηση, δεν υπάρχουν όροι παραγωγής λόγω αντιδράσεων και, επιπλέον, έχουμε μόνιμη κατάσταση Με βάση τα παραπάνω, από το γενικό ισοζύγιο έχουμε για μονοδιάστατη μεταφορά, πχ στη -κατεύθυνση:, 7

45 d( N / ( N / N /, (85 d και, όμοια, για το συστατικό Β: ( N / N / (86 Ισογραμμομοριακή αντιδιάχυση (eqimola contediffsion Η πρώτη περίπτωση είναι όταν έχουμε διαφορετικά αέρια σε δύο χώρους που επικοινωνούν μεταξύ τους, και παντού σταθερή πίεση και θερμοκρασία, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Η διάχυση θα τείνει να επιφέρει ομογενοποίηση των συγκεντρώσεων, και για κάθε μόριο του ενός συστατικού που μεταφέρεται στη μια κατεύθυνση θα υπάρχει αντίστοιχη ροή του άλλου συστατικού στην αντίθετη κατεύθυνση Θα ισχύει, ( N / N B /, δηλαδή η συνολική ροή και η μέση γραμμομοριακή ταχύτητα θε είναι μηδέν, οπότε η σχέση (84 γίνεται: ( N d / ( J / cd d η οποία μας δίνει γραμμική κατανομή για το γραμμοριακό κλάσμα του συστατικού Α Έχοντας βρει τη ροή του ενός συστατικού μπορούμε αμέσως να βρούμε και τη ροή του άλλου που θα είναι ίση και αντίθετη, Διάχυση μέσα από μη διαχεόμενο αέριο (diffsion thogh stagnant gas Η περίπτωση αυτή αντιπροσωπεύεται με το παράδειγμα της διάχυσης του ατμού ενός υγρού Α δια μέσου αερίου Β, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Ξεκινώντας πάλι από τις ίδιες υποθέσεις έχουμε τις σχέσεις (85-86 για τον ατμό και τον αέριο Β Η μερική πίεση του ατμού στη διεπιφάνεια υγρού-αερίου είναι ίση με την τάση ατμών, ενώ στην κορυφή του δοχείου υποθέτουμε ότι είναι μικρότερη Αυτή η c c B διαφορά ωθεί στην διάχυση ατμών προς το πάνω μέρος του δοχείου Υποθέτουμε επίσης ότι το αέριο Β είναι πρακτικά αδιάλυτο στο υγρό, οπότε από τη σχέση (86 η σταθερή ροή του είναι μηδέν, αφού είναι μηδέν στη διεπιφάνεια Τότε η σχέση (84 για τη σταθερή ροή του ατμού γίνεται: Α 8

46 d ( N / ( N / cd d d ( ( N / cd d d ( N / / cd d Βλέπουμε ότι η μέση γραμμομοριακή ταχύτητα δεν είναι μηδέν, αφού υπάρχει ροή του ατμού αλλά όχι του αερίου Στην περίπτωση αυτή, δηλαδή, υπάρχει συνολικά μια μέση κίνηση του ρευστού που οφείλεται στη διάχυση και η οποία ονομάζεται συναγωγή λόγω διάχυσης Η παραπάνω σχέση μπορεί επίσης εύκολα να ολοκληρωθεί για να μας δώσει την κατανομή της συγκέντρωσης του Α, η οποία γενικά δεν θα είναι γραμμική Μη-ισογραμμομοριακή αντιδιάχυση (non-eqimola contediffsion Τέλος, θα θεωρήσουμε την περίπτωση όπου και τα δύο συστατικά ενός αερίου μπορούν να διαχέονται, αλλά με διαφορετικούς ρυθμούς Η περίπτωση αυτή αντιπροσωπεύεται από το παράδειγμα μιας καταλυτικής επιφάνειας προς την οποία διαχέεται ένα συστατικό Α και αντιδρά δίνοντας προϊόν Β, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Αντίστοιχα το παραγόμενο Β διαχέεται προς την αντίθετη κατεύθυνση Αν η στοιχειομετρία της αντίδρασης είναι Α νβ, όπου ν, τότε οι ροές των δύο Α συστατικών δεν θα είναι ίδιες, αφού για κάθε μόριο νβ Α που μεταφέρεται προς την καταλυτική επιφάνεια, ν μόρια Β θα μεταφέρονται στην αντίθετη κατεύθυνση Ξεκινώντας πάλι από τις ίδιες υποθέσεις έχουμε τις σχέσεις (85-86 για τα αέρια Α και Β και, επιπλέον, Η σχέση (84 για τη σταθερή ροή του συστατικού Α γίνεται: ( N B / ( N / ( N ( N / / [ ( [ ( [( N [( N ]( N d ] d d / ( N B / ] cd d d / ( N / ] cd d d / cd d ( N / / cd Πάλι, δηλαδή, αν ν έχουμε συναγωγή λόγω διάχυσης Η παραπάνω σχέση μπορεί επίσης εύκολα να ολοκληρωθεί για να μας δώσει την κατανομή της συγκέντρωσης του συστατικού Α 9

47 Κεφάλαιο Η αρχή διατήρησης της ορμής και οι εξισώσεις κίνησης των ρευστών Όπως έχουμε ήδη πει στο πρώτο κεφάλαιο, η ανάλυση της κίνησης των ρευστών βασίζεται στους νόμους του Νεύτωνα, δηλαδή, στην αρχή της δράσης και αντίδρασης και στην αρχή ότι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ίσος με το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα αυτό Πριν όμως εξετάσουμε ρευστά που κινούνται, είναι χρήσιμο και θα βοηθήσει στη συζήτησή μας να εξετάσουμε ακίνητα ρευστά Η ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Η ανάλυση της στατικής των ρευστών στηρίζεται στις ίδιες αρχές Στην ισορροπία, εφ όσον δεν υπάρχει κίνηση και μεταβολές της ορμής, το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται σε οποιοδήποτε σώμα και σε οποιοδήποτε νοητό όγκο ελέγχου θα είναι μηδέν Ένα άλλο χαρακτηριστικό των ρευστών, σε αντιδιαστολή με τα στερεά, είναι ότι στην ισορροπία δεν μπορούν να αντισταθούν σε διατμητικές τάσεις σε οποιαδήποτε νοητή επιφάνεια Η διάτμηση, οσοδήποτε μικρή, συνεπάγεται την έναρξη κίνησης Τα ακίνητα ρευστά μπορούν να δέχονται μόνο κάθετες τάσεις δηλαδή πιέσεις σε οποιαδήποτε νοητή επιφάνεια Σαν πρώτο βήμα θα εξετάσουμε τη μορφή των κάθετων αυτών τάσεων για να δούμε αυτό που διαισθητικά ίσως είναι προφανές, ότι δηλαδή οι κάθετες τάσεις σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου αντιπροσωπεύονται από ένα μέγεθος, την τοπική πίεση Η πίεση σε ένα ακίνητο ρευστό Για τη συζήτηση αυτή θα θεωρήσουμε ένα ακίνητο ρευστό και θα χρησιμοποιήσουμε πάλι σαν όγκο ελέγχου το στοιχειώδες τετράεδρο, που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο Το τετράεδρο έχει τρεις επιφάνειες ΔΑ, ΔΑ, και ΔΑ, με μοναδιαία κάθετα διανύσματα i, j, και k, Δ αντίστοιχα, και μια αυθαίρετα προσανατολισμένη n επιφάνεια που χαρακτηρίζεται από το μοναδιαίο ΔΑ Δ κάθετο διάνυσμα n k i j Δ Θα εξετάσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στον όγκο αυτό, αρχίζοντας από τις κάθετες πιέσεις που δέχονται οι επιφάνειες από το γειτονικό ρευστό και συμπεριλαμβάνοντας επίσης τη δύναμη της βαρύτητας Αν η πίεση που δέχεται η 4

48 επιφάνεια ΔΑ (η ελαφρά χρωματισμένη επιφάνεια είναι P, η δύναμη που ασκείται είναι: F P i, και, αντίστοιχα, αν για τις άλλες δύο επιφάνειες οι πιέσεις είναι P και P, οι δυνάμεις είναι: F P j και F P k Τέλος, αν η πίεση στην επιφάνεια ΔΑ είναι Ρ, η αντίστοιχη δύναμη είναι: F Pn Αθροίζοντας όλα τα παραπάνω, η συνολική δύναμη που δέχεται ο όγκος ελέγχου λόγω των πιέσεων από το γειτονικό ρευστό είναι: F s P i P Η επιπλέον δύναμη της βαρύτητας είναι: F g j P k Pn mg Vg g 6 Επειδή το ρευστό είναι σε ισορροπία το άθροισμα των παραπάνω δυνάμεων είναι μηδέν Αν τώρα θεωρήσουμε ότι οι τρεις διαστάσεις Δ, Δ, Δ, είναι ανάλογες ενός μήκους Δl το οποίο μικραίνει αυθαίρετα, έτσι ώστε ο προσανατολισμός της ΔΑ να μην αλλάζει, τότε η δύναμη της βαρύτητας μικραίνει ανάλογα με το Δl, ενώ οι δύναμη από τις πιέσεις μικραίνει πιο αργά, αφού οι επιφάνειες είναι ανάλογες του Δl Στο όριο λοιπόν Δl θα πρέπει οι επιφανειακές δυνάμεις να ισορροπούν Έτσι γράφουμε: P di P d j P d k Pdn ( Αλλά, όπως έχουμε δει, ισχύει: d ( dn ;d ( dn ;d ( d n, ( αφού οι κάθετες επιφάνειες είναι οι προβολές της ΔΑ στα επίπεδα των αξόνων Αντικαθιστώντας στην ( έχουμε: P n i P n P n i P n j P n j P n k Pn k P( n i n j n ( k Η διανυσματική αυτή ισότητα μας δίνει τρεις σχέσεις, μια για κάθε κατεύθυνση: P P; P P; P P (4 που σημαίνει ότι οι τρεις κάθετες τάσεις είναι ίσες μεταξύ τους Αποδείξαμε δηλαδή ότι η κατάσταση των τάσεων σε ένα ακίνητο ρευστό, σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, χαρακτηρίζεται από ένα βαθμωτό μέγεθος, την πίεση 4

49 Η εξίσωση της στατικής ισορροπίας Θεωρούμε τώρα, όπως και πριν, σαν όγκο ελέγχου ένα αυθαίρετο όγκο ακίνητου ρευστού, V, σταθερό στο χώρο, που περικλείεται από την επιφάνεια S Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα ds της εξωτερικής επιφάνειας n αντιστοιχεί ένα κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα n, με φορά προς το εξωτερικό του όγκου Ξανά, τα είδη των δυνάμεων ds που ασκούνται στον όγκο αυτό είναι οι πιέσεις στην επιφάνεια S απο τό γειτονικό ρευστό, καθώς και η δύναμη της βαρύτητας Έχουμε λοιπόν: V S PndS, και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Geen στη μορφή ( μετατρέπουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα όγκου: S PndS V PdV Επίσης, για τη δύναμη της βαρύτητας: gdv (5 V (6 Το άθροισμα των δύο δυνάμεων στην ισορροπία είναι μηδέν, και εφ όσον και οι δύο όροι είναι εκφρασμένοι σαν ολοκληρώματα του ίδιου όγκου, έχουμε: V S ( P g dv (7 Τέλος, αφού ο όγκος ελέγχου είναι αυθαίρετος, για να ισχύει η ισότητα θα πρέπει η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα να είναι εκ ταυτότητας μηδέν Έτσι καταλήγουμε στη διαφορική μορφή της εξίσωσης της στατικής ισορροπίας των ρευστών, η οποία είναι: P g (8 Μερικά παραδείγματα και εφαρμογές της στατικής των ρευστών α Υδροστατική πίεση σε υγρό σταθερής πυκνότητας P =P ατμ Ας θεωρήσουμε ένα υγρό σταθερής πυκνότητας, ρ, σε επαφή με την ατμόσφαιρα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Η βαρύτητα δρα στην αρνητική -κατεύθυνση και οι αλλαγές πίεσης είναι μόνο στην κατεύθυνση αυτή Έχουμε δηλαδή: g = - ge, και P =(dp/de, οπότε από τη εξίσωση της στατικής ισορροπίας (8: dp g P P g (9 d 4

50 Αν χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του νερού (ρ = kg/m μπορούμε να δούμε ότι η πίεση αυξάνεται κατά μία ατμόσφαιρα για κάθε m βάθους β Βαρόμετρα υδραργύρου Η P =P ατμ Το βαρόμετρο υδραργύρου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι μια δεξαμενή υδραργύρου σε επαφή με την ατμόσφαιρα στην οποία υπάρχει βυθισμένος ένας ανεστραμμένος κύλινδρος Μέσα στον κύλινδρο και πάνω από τον υδράργυρο υπάρχει ουσιαστικά κενό, γιατί έχουμε υγρό σε ισορροπία με τους ατμούς του και η τάση ατμών του υδραργύρου μπορεί να θεωρηθεί πρακτικά μηδέν Ισχύει πάλι η ίδια ανάλυση και η εξ (9, από όπου για το σημείο σε ύψος H όπου η πίεση είναι μηδέν βρίσκουμε: Ξέροντας δηλαδή P gh την πυκνότητα του υδραργύρου και το ύψος H μπορούμε να υπολογίσουμε την ατμοσφαιρική πίεση γ Μανόμετρα στήλης υγρού P P P gh Δh Στα μανόμετρα αυτά χρησιμοποιείται σωλήνας σχήματος U στον οποίο περιέχεται νερό ή άλλο υγρό πυκνότητας κατάλληλης για την περιοχή πιέσεων που μετράμε Η μία πλευρά του σωλήνα συνδέεται με το σημείο μέτρησης, ενώ η άλλη είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα Είναι επίσης δυνατό τα δύο άκρα να συνδέονται με διαφορετικά σημεία μεταξύ των οποίων θέλουμε να μετρήσουμε τη διαφορά πίεσης Ισχύει πάλι η εξ (9, οπότε για το προς μέτρηση σημείο που είναι σε ύψος = -Δh έχουμε: Από τη διαφορά δηλαδή στις δύο στάθμες μπορούμε να υπολογίσουμε την σχετική πίεση στο σημείο μέτρησης, ή τη διαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων δ Η πυκνότητα του αέρα σε σχέση με το υψόμετρο Θα κάνουμε μια εκτίμηση της πυκνότητας του αέρα με το υψόμετρο ξεκινώντας από την εξίσωση της ισορροπίας: dp g ( d 4

51 Θεωρώντας ιδανικό αέριο ισχύει: PMB RT RT P MB Αν κάνουμε την παραδοχή ότι η θερμοκρασία είναι σταθερή, η οποία προφανώς δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική, τότε dp d d RT d MB Αντικαθιστώντας στην ( βρίσκουμε μια διαφορική εξίσωση για την πυκνότητα που έχει τη μορφή: d MBg RT d την οποία μπορούμε να ολοκληρώσουμε και να βρούμε: ep( MBg RT, ( όπου ρ είναι η πυκνότητα στο επίπεδο της θάλασσας Δηλαδή, η παραδοχή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η πυκνότητα του αέρα πέφτει εκθετικά με το υψόμετρο Με βάση την ( μπορούμε να εκτιμήσουμε ότι στα m η πυκνότητα είναι 99ρ, στα m 89ρ, και στα m ρ ε Άνωση σε ένα βυθισμένο σώμα V πίεσης έχουμε: F n Αν θεωρήσουμε ένα βυθισμένο σώμα σε ρευστό σταθερής πυκνότητας ρ Y, όπως στο διπλανό σχήμα, για την πίεση στο ρευστό ισχύει η εξίσωση (8 Η δύναμη που ασκείται από το ρευστό στο βυθισμένο σώμα είναι: F S PndS V PdV όπου το επιφανειακό ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα όγκου με βάση το θεώρημα του Geen Χρησιμοποιώντας, την εξ (8 για τη διαφορική κλίση της gdv Vg ( V S Y ds Y Δηλαδή, η εξ ( εκφράζει την αρχή του Αρχιμήδη που λέει ότι ένα βυθισμένο σώμα δέχεται άνωση, ή δύναμη αντίθετα προς την κατεύθυνση της βαρύτητας, ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει, 44

52 στ Πυκνόμετρα B V g V g από όπου βρίσκεται η σχετική πυκνότητα: V V V V Sh h, Τα πυκνόμετρα είναι γυάλινα όργανα με σχήμα παρόμοιο όπως στο διπλανό σχήμα Στο διογκωμένο κάτω τμήμα τοποθετούνται μεταλλικά σφαιρίδια για να ρυθμιστεί το βάρος ενώ το επάνω τμήμα είναι κυλινδρικό και βαθμονομημένο Η διαβάθμιση μηδέν αντιστοιχεί σε ένα υγρό αναφοράς σε σχέση με το οποίο μετρούνται οι πυκνότητες άλλων υγρών Όταν το πυκνόμετρο βυθίζεται στο υγρό αναφοράς ή στο προς μέτρηση υγρό το βάρος του είναι ίσο με την άνωση (αγνοώντας την άνωση από τη αέρα που είναι ασήμαντη Ισχύει λοιπόν και για τα δύο υγρά: S είναι η διατομή του κυλινδρικού τμήματος και h το επιπλέον ύψος του κυλίνδρου που βυθίζεται στο προς μέτρηση υγρό Έχοντας σαν σχεδιαστικές μεταβλητές το V, το h και το S είναι δυνατό με βάση την παραπάνω σχέση να σχεδιαστούν πυκνόμετρα που καλύπτουν διάφορες περιοχές σχετικών πυκνοτήτων ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ Λίγα πράγματα ακόμα για τον διανυσματικό λογισμό Έχουμε ήδη τονίσει ότι η μάζα και η ενέργεια είναι βαθμωτά μεγέθη και ότι οι αντίστοιχες ροές είναι διανύσματα Έχουμε επίσης αναφέρει ότι η ορμή, όπως και η ταχύτητα, είναι διανύσματα Κάθε μια συνιστώσα μπορεί να μεταφέρεται στις τρεις κατευθύνσεις, και έτσι έχουμε εννέα συνδυασμούς μεταφοράς, καθένας από τους οποίους συνδέεται με δύο κατευθύνσεις: την κατεύθυνση της ορμής και την κατεύθυνση της μεταφοράς Η ροή λοιπόν της ορμής είναι μια διανυσματική έννοια ανώτερης τάξης Απευθείας γινόμενο διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα, v Ορίζουμε το απευθείας γινόμενο των δύο διανυσμάτων από τη σχέση: v e v e i i j j i j i j v i j e e i j ( Υπάρχουν εννεά όροι, i v j, καθένας από τους οποίους συνδέεται με δύο κατευθύνσεις e i και e j Είναι δηλαδή το παραπάνω γινόμενο μια διανυσματική έννοια δεύτερης τάξης που ονομάζεται τανυστής Μπορεί να παρασταθεί και με τη μορφή πίνακα: 45

53 v v v v v v v (4 v v v Οι τανυστές, όπως και τα διανύσματα, είναι έννοιες που παραμένουν αναλλοίωτες όταν αλλάζουν οι άξονες αναφοράς Τα εννέα στοιχεία όμως μετασχηματίζονται κατά την περιστροφή των αξόνων με κανόνες παρόμοιους όπως και στα διανύσματα Δεν είναι απαραίτητο τα εννέα στοιχεία ενός τανυστή να -τ προκύπτουν από το γινόμενο δύο διανυσμάτων Για παράδειγμα, έχουμε ήδη συναντήσει μια παρόμοια έννοια -τ με εννέα στοιχεία, τα οποία αντιπροσωπεύουν τη -τ μεταφορά ορμής ή τις τάσεις λόγω ιξώδους σε ένα -τ ρευστό που κινείται Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, όπου παρουσιάζονται οι τάσεις μόνο στο επίπεδο,, το στοιχείο -τ ij αντιπροσωπεύει την τάση που έχει κατεύθυνση j και η οποία ασκείται από το γειτονικό ρευστό σε μια επιφάνεια κάθετη στο i Χωρίς το αρνητικό πρόσημο έχουμε τη μοριακή μεταφορά ορμής j στην κατεύθυνση i Ο τανυστής αυτός μπορεί να γραφεί: τ i j e e i j i j (5 Εσωτερικό γινόμενο τανυστών και διανυσμάτων Αντίστοιχα με τα διανύσματα ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο τανυστή με διάνυσμα από τη σχέση: τ e e e e ( e e e ή αναλυτικά ij i j k k ij k i j k ij k i jk i j k i j k i j k i j τ ( e ( e ( e ij j (6 Βλέπουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο κατεβάζει την τάξη και από τανυστή παίρνουμε διάνυσμα, όπως αντίστοιχα από δύο διανύσματα παίρνουμε βαθμωτό μέγεθος Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται το διπλό εσωτερικό γινόμενο τανυστή με τανυστή, όπου η τάξη κατεβαίνει δυό φορές και παίρνουμε βαθμωτό μέγεθος τ : σ (7 i j ij ji e i 46

54 Ο διαφορικός τελεστής κλίσης Ο διαφορικός τελεστής κλίσης που είναι διάνυσμα, δρώντας σαν απευθείας γινόμενο σε ένα διάνυσμα δίνει τανυστή: e i j j i i j i j e i j e e Δρώντας σαν εσωτερικό γινόμενο σε τανυστή δίνει διάνυσμα ή αναλυτικά i j (8 kj kj τ ei ikjeke j ( ei ek e j ike i i k j i j k i i j k τ e ij i j i j, (9 i j τ ( e ( e ( Χρησιμοποιώντας την παραπάνω τεχνική των δεικτών μπορούμε να αποδείξουμε για το απευθείας γινόμενο δύο διανυσμάτων ότι: ab ( a b a b Το θεώρημα του Geen για τανυστές ( Αντίστοιχα με αυτά που είδαμε στην υποενότητα ( για ένα αυθαίρετο όγκο ισχύει τdv V τnds S e ( Η παραπάνω σχέση μετατρέπει ένα ολοκλήρωμα όγκου σε επιφανειακό ολοκλήρωμα Στο πρώτο ολοκλήρωμα εμφανίζεται η διαφορική κλίση του τανυστή, ενώ στο δεύτερο το εσωτερικό γινόμενο του τανυστή με το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια Οι εσωτερικές τάσεις στα ρευστά σε κίνηση -σ (n (α (β n σ (n Έχουμε πει ότι σε κάθε νοητή επιφάνεια ακίνητου ρευστού αναπτύσσονται μόνο κάθετες τάσεις Σε ρευστά όμως που είναι σε κίνηση οι μοριακοί μηχανισμοί οδηγούν στην ανάπτυξη διατμητικών τάσεων Έτσι γενικά, η τάση σε κάθε νοητή επιφάνεια μπορεί να έχει οποιοδήποτε προσανατολισμό Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου η νοητή επιφάνεια χωρίζει το ρευστό σε δύο τμήματα (α και (β, η τάση που ασκεί το τμήμα (β στο (α είναι ίση και αντίθετη με αυτή που 47

55 ασκεί το τμήμα (α στο (β Αυτό είναι συνέπεια της αρχής δράσης και αντίδρασης Αν δηλαδή: σ (n : η τάση που ασκεί το (β στο (α, τότε: σ (-n = - σ (n : η τάση που ασκεί το (α στο (β Θα θεωρήσουμε τώρα πάλι το γνωστό μας τετράεδρο για να δούμε πως εκφράζονται οι εσωτερικές τάσεις σε ένα ρευστό για μια επιφάνεια που έχει αυθαίρετο προσανατοτολισμό Στον στοιχειώδη αυτό όγκο ελέγχου, έστω σ (n η τάση που ασκείται από το σ (n γειτονικό ρευστό στην επιφάνεια ΔΑ Επειδή θεωρούμε ότι το ρευστό είναι σε κίνηση η Δ n κατεύθυνση της τάσης αυτής δεν ταυτίζεται με το ΔΑ Δ n Στην επιφάνεια ΔΑ (ελαφρά χρωματισμένη, k που έχει κάθετο διάνυσμα j, η τάση που ασκείται j είναι σ (- = - σ ( Αντίστοιχα, για τις επιφάνειες i ΔΑ, ΔΑ έχουμε τις τάσεις - σ ( και - σ ( Η -σ συνολική δύναμη που ασκείται στον όγκο ελέγχου ( Δ από το γειτονικό ρευστό μέσω των τεσσάρων επιφανειών είναι: F S σ ( σ( σ( σ( n ( Επιπλέον, στον όγκο ελέγχου θεωρούμε τη δύναμη της βαρύτητας που είναι: F g mg Vg g 6 ( Τέλος, αν είναι η μέση ταχύτητα στο στοιχειώδη όγκο ελέγχου, η μεταβολή της ορμής η οποία θα πρέπει να ισούται με το άθροισμα των δυνάμεων είναι: d d d m V dt dt 6 dt (4 Βλέπουμε ότι ο όρος της μεταβολής της ορμής, καθώς και ο όρος της δύναμης της βαρύτητας είναι ανάλογοι του όγκου, δηλαδή μικραίνουν ανάλογα με τις διαστάσεις του όγκου ελέγχου υψωμένες στην τρίτη δύναμη Σε αντιδιαστολή η επιφανειακή δύναμη είναι ανάλογη των διαστάσεων υψωμένων στο τετράγωνο, και μικραίνει πολύ πιο αργά Στο όριο λοιπόν Δ, Δ, Δ θα πρέπει η δύναμη αυτή να τείνει στο μηδέν γιατί διαφορετικά θα είχαμε άπειρη επιτάχυνση του όγκου ελέγχου Στο όριο αυτό η εξ ( γράφεται: σ ( d σ d και, κατά τα γνωστά, αφού d καταλήγουμε στη σχέση: σ d σ ( ( ( n d ( dn ;d ( dn ;d ( d n,, 48

56 σ ( n σ( n σ( n σ( n (5 Δηλαδή, η τάση για μια αυθαίρετη επιφάνεια μπορεί να βρεθεί συναρτήσει των τάσεων στα επίπεδα των αξόνων Η σχέση (5 είναι μια διανυσματική ισότητα που μπορεί να αναλυθεί στις τρεις συνιστώσες: -κατεύθυνση: σ ( n σ( n σ( n σ( n, -κατεύθυνση: σ ( n σ( n σ( n σ( n, -κατεύθυνση: σ ( n σ( n σ( n σ( ή, σύμφωνα με αυτά που είδαμε για τους τανυστές, σ ( n nσ n,, (6 όπου σ είναι ο τανυστής των τάσεων στο ρευστό, με τα εννέα στοιχεία: σ (7 Ο τανυστής των τάσεων είναι συμμετρικός Βλέπουμε από την (7 ότι για να περιγράψουμε τις τάσεις σε ένα ρευστό σε κίνηση χρειαζόμαστε ένα τανυστή, δηλαδή τα εννέα στοιχεία του Θα αποδείξουμε ότι ο τανυστής αυτός είναι συμμετρικός, πράγμα που σημαίνει ότι από τα στοιχεία είναι ίσα με τρία άλλα Δηλαδή χρειαζόμαστε έξι στοιχεία Η συμμετρία αποδεικνύεται εξετάζοντας τις ροπές των τάσεων που ασκούνται σε ένα στοιχειώση όγκο ελέγχου, και -σ σ -σ -σ Ω 4 σ -σ σ σ για το σκοπό αυτό θα θεωρήσουμε ένα στοιχειώδη κύβο με πλευρές Δ = Δ = Δ = a Θα εξετάσουμε τις ροπές σε σχέση με το κέντρο του κύβου οι οποίες τείνουν να τον περιστρέψουν γύρω από τον άξονα Έτσι, μια προβολή, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα μας είναι αρκετή Η ισορροπία των τάσεων στο όριο a μας δίνει ότι οι τάσεις στις αντίθετες επιφάνειες είναι ίσες και αντίθετες, όπως έχουν συμβολιστεί στο σχήμα Θεωρητικά οι ροπές όμως τείνουν να περιστρέψουν τον όγκο ελέγχου με γωνιακή ταχύτητα Ω, όπως φαίνεται στο σχήμα Στην επιφάνεια η διατμητική τάση σ δεν ασκεί ροπή αφού διέρχεται από το κέντρο του κύβου, ενώ η σ ασκεί θετική ροπή: Τ = (σ ΔΑΔ/ = σ ΔΔΔ/ Αντίστοιχα, στην επιφάνεια, η -σ ασκεί θετική ροπή: Τ = (σ ΔΑΔ/ = σ ΔΔΔ/ Όμοια, στην επιφάνεια η σ δεν ασκεί ροπή αφού διέρχεται από το κέντρο του κύβου, ενώ η σ ασκεί αρνητική ροπή: Τ = -(σ 49

57 ΔΑΔ/ = -σ ΔΔΔ/ Tέλος, στην επιφάνεια 4 έχουμε επίσης αρνητική ροπή Τ = - (σ ΔΑΔ/ =- σ ΔΔΔ/ Επομένως, η συνολική ασκούμενη ροπή είναι: Τ = σ ΔΔΔ- σ ΔΔΔ = (σ - σ a (8 Από την αρχή διατήρησης της στροφορμής, η ροπή αυτή είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδρανείας και της γωνιακής επιτάχυνσης: όπου, για κύβο, d T I, (9 dt 5 a a a I m a Βλέπουμε λοιπόν ότι στο όριο a η ροπή μικραίνει ανάλογα με το a υψωμένο στην τρίτη δύναμη ενώ η ροπή αδρανείας μικραίνει πολύ πιο γρήγορα, όντας ανάλογη του a στην πέμπτη δύναμη Δηλαδή στο όριο a πρέπει να έχουμε (σ - σ =, γιατί διαφορετικά θα είχαμε το αφύσικο αποτέλεσμα ότι ο ρυθμός περιστροφής απειρίζεται Επομένως, ισχύει: ( Όμοια μπορούμε να δείξουμε ότι σ = σ, σ = σ, που αποδεικνύουν τη συμμετρία του τανυστή των τάσεων Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ Η γενική εξίσωση της κίνησης των ρευστών Για ένα σώμα που κινείται στο χώρο ο νόμος του Νεύτωνα μπορεί να διατυπωθεί με λόγια ως εξής: Για ένα σταθερό όγκο ελέγχου στον οποίο μπορεί να έχουμε εισροή και εκροή μάζας και ορμής ο ίδιος νόμος διατυπώνεται ως εξής: Οι δύο πρώτοι όροι στο δεξιό σκέλος εκφράζουν τον καθαρό ρυθμό εισροής ορμής ( 5

58 Η ιδιότητα την οποία εξετάζουμε τώρα είναι το διάνυσμα της ορμής ανά μονάδα όγκου, δηλαδή ψ = ρ Η ροή της ιδιότητας είναι η ροή ορμής με συναγωγή, δηλαδή ο τανυστής Ψ = ρ Στον αυθαίρετο όγκο ελέγχου που έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει για τη μάζα και την ενέργεια μπορούμε να εκφράσουμε με σύμβολα όλους τους n όρους του ισοζυγίου ορμής V S ds d dt V dv V dv t S nds ( dv όπου χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα του Geen στη μορφή ( που αφορά τανυστές Για τις δυνάμεις, έχουμε αυτές που οφείλονται στις τάσεις που ασκεί το γειτονικό ρευστό στον όγκο ελέγχου: S nσds σdv Βλέπουμε ότι ο όρος σ εκφράζει την τοπική τιμή της δύναμης ανά μονάδα όγκου του ρευστού που ασκείται λόγω των εσωτερικών τάσεων Τέλος έχουμε τη δύναμη της βαρύτητας: gdv V Όλοι οι όροι της σχέσης ( έχουν διατυπωθεί σαν ολοκληρώματα του ίδιου όγκου, οπότε μπορούμε να γράψουμε: V [ ( σ g ]dv, t και επειδή ο όγκος είναι αυθαίρετος, κατά τα γνωστά, ισχύει για την ποσότητα που ολοκληρώνεται: V ( σ g ( t, 5

59 Τέλος, αν επεξεργαστούμε τους όρους στο αριστερό σκέλος της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε: t t t και με τη βοήθεια της σχέσης ( ( ( Οπότε το αριστερό σκέλος της ( γίνεται, ( ( [ ( ] t t t όπου ο όρος μέσα στις αγκύλες είναι εκ ταυτότητας μηδέν από τη γενική εξίσωση συνεχείας Έτσι, η γενική εξίσωση της ορμής για τα ρευστά είναι τελικά: ( σ g t ( Μπορεί επίσης η γενική εξίσωση της ορμής να γραφεί με τη χρήση της υλικής παραγώγου στη μορφή: D σ g Dt Στο αριστερό σκέλος έχουμε τη μάζα ανά μονάδα όγκου ενός υλικού όγκου επί την επιτάχυνσή του και στο δεξιό σκέλος τις δυνάμεις ανά μονάδα όγκου από τις εσωτερικές τάσεις και τη βαρύτητα Η παραπάνω σχέση ισχύει για όλα τα ρευστά Για τα απλούστερα που ονομάζονται νευτωνικά και χαρακτηρίζονται από ένα ιξώδες, όπως είναι το νερό και ο αέρας αλλά και τα πιο πολύπλοκα στη συμπεριφορά τους, όπως είναι τα πολυμερή και τα σύνθετα ρευστά (πυκνά αιωρήματα και γαλακτώματα Αυτό που αλλάζει είναι η έκφραση για τον τανυστή των εσωτερικών τάσεων, τον οποίο θα εξετάσουμε τώρα για τα νευτωνικά ρευστά, Ο τανυστής των τάσεων στα Νευτωνικά ρευστά Έχουμε ήδη αναφέρει ότι στα ακίνητα ρευστά υπάρχουν μόνο κάθετες τάσεις που εκφράζονται μέσω της πίεσης, ενώ οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν Δηλαδή, ισχύει σ = σ = σ, και σ = σ = σ = -P Έτσι με τη μορφή πινάκων μπορούμε να γράψουμε: P σ P PI, (4 P όπου Ι είναι ο μοναδιαίος τανυστής Στα ρευστά που είναι σε κίνηση υπάρχουν διατμητικές τάσεις λόγω της δράσης του ιξώδους και επιπλέον οι κάθετες τάσεις σ, σ, σ που δεν είναι απαραίτητα ίδιες 5

60 μεταξύ τους Διαχωρίζουμε την πίεση ορίζοντας σαν P τον μέσο όρο των κάθετων τάσεων και γράφουμε: P (5 Η παραπάνω σχέση είναι ο μηχανικός ορισμός της πίεσης που ταυτίζεται με τη στατική πίεση όταν δεν υπάρχει κίνηση Έτσι, έχουμε γενικά: P σ P P P P P, (6 όπου ο δεύτερος πίνακας υπάρχει μόνο όταν υπάρχει κίνηση του ρευστού Ο τανυστής αυτός είναι ο τανυστής των τάσεων λόγω του ιξώδους τ και η (6 μπορεί να γραφεί σ PI τ (7 Όπως έχουμε δει το τ συμβολίζει επίσης τη μοριακή μεταφορά ορμής Για διάφορα είδη ρευστών υπάρχουν καταστατικές εξισώσεις ή μοντέλα που συνδέουν το τ με τις διαφορικές κλίσεις της ταχύτητας Οι εξισώσεις αυτές μπορεί να είναι απλές αλγεβρικές, διαφορικές, ή ολοκληρωτικές και διαφορικές μαζί και εισάγουν διάφορες παραμέτρους που αναφέρονται στο ιξώδες, την ελαστικότητα των ρευστών κα Η μελέτη και η ανάλυση αυτής της συμπεριφοράς των ρευστών εντάσσεται στην περιοχή της ρεολογίας Το πιο απλό μοντέλο που αντιστοιχεί σε απλά και ισοτροπικά ρευστά, όπως το νερό και ο αέρας, εισάγει μόνο μια παράμετρο, το ιξώδες των ρευστών, και θεωρεί γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και διαφορικών κλίσεων της ταχύτητας Τα ρευστά αυτά ονομάζονται Νευτωνικά Αν είναι και ασυμπίεστα αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο: ή ij ( i j τ [ ( i j T (8 ] (9 όπου μ είναι το ιξώδες Δεν θα αποδείξουμε την παραπάνω σχέση αλλά θα δούμε σε λίγο τη φυσική σημασία του όρου Για τα συμπιεστά ρευστά ισχύει: ( T τ [ ( ] ( ( I T, (4 όπου το κ ονομάζεται εκτατικό ιξώδες και θεωρείται συνήθως ασήμαντο 5

61 54 Οι εξισώσεις Navie-Stokes στα ασυμπίεστα ρευστά με σταθερό ιξώδες Έχοντας την έκφραση για τον τανυστή των τάσεων συναρτήσει της ταχύτητας στη μορφή: ] ( [ P T I σ, (4 μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη γενική εξίσωση της ορμής ( και να βρούμε τις εξισώσεις που φέρουν το όνομα των Navie και Stokes, οι οποίοι πρώτοι τις διετύπωσαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο το 8 κα το 845 αντίστοιχα Ο όρος σ γίνεται: ] ( [ P T σ (4 Με την τεχνική των δεικτών μπορούμε να επεξεργαστούμε τους δύο όρους μέσα στις αγκύλες: k i k i k k ij i j k j i k k j j k j k i i e e e e e i e k k k k k ( (4 και k i k k i i k ij i j k k i j k j j k k j i i T ( e e e e e i ( ( ( k k i i i k T e, (44 λόγω της εξίσωσης συνεχείας Με βάση τις (4-44 η (4 γίνεται: σ P, και αντικαθιστώντας στη γενική εξίσωση ορμής, έχουμε τελικά τις εξισώσεις Navie- Stokes: g P t (, (45 με τις οποίες μπορούμε να αναλύσουμε τη ροή ρευστών που είναι ασυμπίεστα και έχουν σταθερό ιξώδες Η διανυσματική εξίσωση (45 αναλύεται σε τρεις εξισώσεις για τις αντίστοιχες κατευθύνσεις από τις οποίες βρίσκουμε τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας Ο τέταρτος άγνωστος που εμφανίζεται, δηλαδή η πίεση, βρίσκεται με τη βοήθεια της τέταρτης εξίσωσης που είναι η εξίσωση συνεχείας Μερικές φορές μας εξυπηρετεί πριν λύσουμε για τις ταχύτητες να βρούμε την κατανομή των τάσεων σε ένα ρευστό Με τη χρήση της εξ (7 η εξίσωση της ορμής γράφεται:

62 ( P τ g t (46 4 Η φυσική σημασία του όρου [ ( Για να δούμε τη σημασία του παραπάνω όρου θα θεωρήσουμε για λόγους καλύτερης εποπτείας μια διδιάστατη ροή (,,t κοντά σε ένα τυχαίο σημείο, όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτουμε την αρχή των αξόνων Αναπτύσσοντας σε σειρά Talo για μια συγκεκριμένη τιμή του χρόνου έχουμε: (, (, v v v(, v(, T ] όροι ανώτερης τάξης όροι ανώτερης τάξης Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να γραφούν με τη μορφή μητρώων για την ταχύτητα σε σχέση με το σημείο αναφοράς (,: ή v v v, (47 Χρησιμοποιώντας τον ανάστροφο τανυστή, η (47 μπορεί να γραφεί: ή [ ( D Ω T ] [ ( T ], (48 όπου το D ονομάζεται τανυστής παραμόρφωσης και το Ω τανυστής περιστροφής Ο πρώτος είναι συμμετρικός και ο δεύτερος αντισυμμετρικός Ας εξετάσουμε χωριστά την επίδραση τους στη συμπεριφορά του πεδίου ροής γύρω από το σημείο (,, αρχίζοντας από το Ω Λόγω της αντισυμμετρικότητάς του θα έχει τη μορφή: Ω (48 55

63 Ισχύει Δ = d/dt = γ και Δv = d/dt = -γ Διαιρώντας κατά μέλη: d/d = -/ d +d = ( + = σταθ Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι τα σημεία του ρευστού ακολουθούν κυκλικές τροχιές, με ταχύτητα ανάλογη της απόστασης από την αρχή των αξόνων Δηλαδή η κίνηση είναι όμοια με αυτή ενός στερεού σώματος σε απλή περιστροφή Για το λόγο αυτό το Ω ονομάζεται τανυστής περιστροφής Κατά την περιστροφή η απόσταση μεταξύ δύο τυχαίων σημείων δεν αλλάζει, δηλαδή δεν υπάρχει παραμόρφωση του ρευστού και κατά συνέπεια οι τάσεις που αναπτύσσονται λόγω του ιξώδους στο ρευστό δεν μπορούν να είναι συνάρτηση του Ω Ας εξετάσουμε τώρα την επίδραση του D που είναι συμμετρικός τανυστής Στη γενική μορφή θα έχουμε: D, (49 αλλά με κατάλληλη περιστροφή των αξόνων μπορούμε να μηδενίσουμε τα μη-διαγώνια στοιχεία του παραπάνω πίνακα Θα ισχύει στη περίπτωση αυτή Δ = d/dt = α, και Δv = d/dt = -α Η συμπεριφορά του πεδίου ροής γύρω από το σημείο (, θα είναι ποιοτικά όπως στο διπλανό σχήματα σημεία του ρευστού στον άξονα παραμένουν στον άξονα αυτό γιατί Δ = και πλησιάζουν την αρχή των αξόνων με μειούμενη ταχύτητα Τα σημεία στον άξονα επίσης παραμένουν στον άξονα αυτό γιατί Δv = και απομακρύνονται από την αρχή των αξόνων με αυξανόμενη ταχύτητα Τα σημεία στο πρώτο τεταρτημόριο πλησιάζουν τον άξονα με μειούμενη ταχύτητα και ταξιδεύουν δεξιά με αυξανόμενη ταχύτητα Δηλαδή ακολουθούν ποιοτικά τις τροχιές που φαίνονται στο σχήμα Όμοια και για τα άλλα τεταρτημόρια Αν θέλουμε να εξετάσουμε την εικόνα της ροής πιο αυστηρά έχουμε για το πρώτο τεταρτημόριο Δ = d/dt = α, και Δv = d/dt = -α Διαιρώντας τις δύο αυτές σχέσεις έχουμε: d/d = -/ dln+dln= ln( = σταθ = σταθ Η τελευταία σχέση περιγράφει καμπύλες που είναι υπερβολές Δηλαδή τα σημεία του ρευστού ακολουθούν υπερβολικές τροχιές Στο παρακάτω σχήμα, τα σημεία του ρευστού στο ΑΒ έχουν σταθερό (έστω και επομένως την ίδια αρνητική ταχύτητα στην -κατεύθυνση Μετά από χρόνο Δt θα μετακινηθούν κατά το ίδιο διάστημα στην -κατεύθυνση ίσο με α Δt Παράλληλα, 56

64 57 αυτά που έχουν θετικό θα μετακινηθούν δεξιά, και αντίστοιχα αυτά με αρνητικό προς τα αριστερά Όμοια τα σημεία του ΒΓ έχουν την ίδια ταχύτητα στη -κατεύθυνση και θα μετακινηθούν δεξιά κατά ένα διάστημα ίσο με α Δt Αντίστοιχη είναι η συμπεριφορά για τα τμήματα ΓΔ και ΑΔ Δηλαδή τελικά, μετά από χρόνο Δt το τετράγωνο του ρευστού θα παραμορφωθεί σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, όπως φαίνεται στο σχήμα Το ρευστό υφίσταται θλιπτικές τάσεις στην - κατεύθυνση και εφελκυστικές τάσεις στη - κατεύθυνση, όπως διαισθητικά περιμένουμε με βάση την παραμόρφωση που είδαμε παραπάνω Εφ όσον υπάρχει παραμόρφωση είναι λογικό οι διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται στο ρευστό να εξαρτώνται από τον τανυστή D που για το λόγο αυτό ονομάζεται τανυστής παραμόρφωσης Η αναλογία D τ είναι η πιο απλή υπόθεση που μπορεί να γίνει, και ισχύει για τα ασυμπίεστα Νευτωνικά ρευστά 5 Οι εξισώσεις Navie-Stokes στα τρία συστήματα συντεταγμένων Καρτεσιανές συντεταγμένες (,, Οι εξισώσεις με όρους ταχύτητας -ορμή: g ( P t ( -ορμή: g ( P t ( -ορμή: g ( P t ( (5 Οι εξισώσεις με όρους του τανυστή τ -ορμή: g ( P t ( -ορμή: g ( P t ( -ορμή: g ( P t ( (5 B Γ Δ Β Γ Δ

65 58 Σχέση διατμητικής τάσης-κλίσης ταχύτητας ; ; ( ( ( (5 Κυλινδρικές συντεταγμένες (, θ, Οι εξισώσεις με όρους ταχύτητας -ορμή: g ] ( ( [ P t ( θ-ορμή: g ] ( ( [ P t ( -ορμή: g ] ( ( [ P t ( (5

66 Οι εξισώσεις με όρους του τανυστή τ -ορμή: θ-ορμή: -ορμή: ( t P ( [ ] g ( t P ( [ ] g ( t P ( [ ] g (54 Σχέση διατμητικής τάσης-κλίσης ταχύτητας ; ( ; [ ( ( ( ] (55 59

67 6 Σφαιρικές συντεταγμένες (, θ, φ Οι εξισώσεις με όρους ταχύτητας -ορμή: g ] sin cot [ P sin t ( θ-ορμή: g ] sin cos sin [ P cot sin t ( φ-ορμή: g ] sin cos sin sin [ P sin cot sin t ( (56 Ο όρος του τελεστή Laplace στις παραπάνω εξισώσεις έχει δοθεί με την εξ (8 sin (sin sin (

68 -ορμή: Οι εξισώσεις με όρους του τανυστή τ ( t sin ( ( sin sin sin P [ ] g θ-ορμή: ( t P ( ( sin cot [ ] g sin sin φ-ορμή: ( cot t sin ( cot sin sin P [ ] g ; Σχέση διατμητικής τάσης-κλίσης ταχύτητας ( ; [ ( ( sin ] sin ( / sin [ ] sin ( / [ ] sin (57 cot (58 6

69 Κεφάλαιο 4 Σύνοψη των εξισώσεων μεταφοράς και περί οριακών συνθηκών 4 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Με βάση τις γενικές αρχές διατήρησης, τις υποθέσεις για τη μοριακή μεταφορά που ονομάσαμε νόμους του Fick, του Foie και του Newton για τη μάζα, την ενέργεια και την ορμή αντίστοιχα, καθώς και με βάση κάποιες παραδοχές, όπως πχ ασυμπίεστα ρευστά με σταθερές ιδιότητες (μ, k, D, καταλήξαμε στις εξισώσεις: c T P( T k T q G t για την ενέργεια, c c D t για τη μάζα, και c R ( P t, (4, (4 g, (4 για την ορμή Η τελευταία εξίσωση λύνεται μαζί με την εξίσωση συνεχείας: (44 Και οι τρεις εξισώσεις έχουν κοινά χαρακτηριστικά Το αριστερό σκέλος περιλαμβάνει τη χρονική παράγωγο και τη μεταφορά με συναγωγή Αυτοί οι όροι μπορούν να γραφούν επίσης στη μορφή: c P DT Dc ; Dt Dt D ; Dt με τη βοήθεια της υλικής παραγώγου που αντιπροσωπεύει τη χρονική μεταβολή της ενέργειας, της μάζας συστατικού και της ορμής ανά μονάδα όγκου ενός υλικού σημείου όπως αυτό κινείται στο χώρο Το δεξιό σκέλος περιλαμβάνει τη μοριακή μεταφορά, μέσω του τελεστή Laplace, καθώς και όρους παραγωγής Όταν οι ιδιότητες του ρευστού είναι σταθερές η εξίσωση της ορμής είναι ανεξάρτητη από τις δύο άλλες και μπορεί να λυθεί ξεχωριστά Η μεγαλύτερη δυσκολία προέρχεται από τον όρο της συναγωγής, ο οποίος είναι μη-γραμμικός Σε αντιδιαστολή, οι εξισώσεις για τη μεταφορά μάζας και ενέργειας είναι γραμμικές και υπάρχει πληθώρα αναλυτικών τεχνικών για την αντιμετώπιση διαφόρων ειδών προβλημάτων Θα πρέπει όμως πρώτα να έχει υπολογισθεί το πεδίο ροής το οποίο υπεισέρχεται στη μεταφορά με συναγωγή 6

70 Γενικά, οι αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων αυτών στην πλήρη τους μορφή είναι πολύ λίγες, ειδικά για την ορμή Πολύ περισσότερα σύνθετα προβλήματα αντιμετωπίζονται σήμερα με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή Πέραν αυτών όμως υπάρχουν πάρα πολλές περιπτώσεις όπου μπορούμε να βρούμε αναλυτικές λύσεις όταν οι εξισώσεις απλοποιηθούν με κάποιο τρόπο Για παράδειγμα, αν δεν υπάρχει μεταφορά με συναγωγή (πχ μετάδοση θερμότητας σε στερεά, ή διάχυση σε ακίνητα ρευστά και υπάρχει επιπλέον μόνιμη κατάσταση, τότε οι εξισώσεις (4 και (4 απλοποιούνται στη μορφή: και k T D q G c R, (45, (46 Στις περιπτώσεις αυτές οι λύσεις βασίζονται στην εξίσωση Laplace,, για την οποία υπάρχει πληθώρα αναλυτικών τεχνικών Παρόμοιες τεχνικές εφαρμόζονται για την ανάλυση προβλημάτων όπου υπάρχει μεταβατική κατάσταση: t ή μονοδιάστατη μεταφορά με συναγωγή:, Ακόμα πιο απλές είναι οι περιπτώσεις όπου υπάρχουν συμμετρίες στα πεδία θερμοκρασιών, συγκεντρώσεων ή ταχυτήτων, πχ εξάρτηση μόνο από μία συντεταγμένη Στην περίπτωση αυτή καταλήγουμε σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις τις οποίες μπορούμε να αντιμετωπίσουμε σχετικά εύκολα Πχ σε καρτεσιανές ή κυλιδρικές συντεταγμένες, έχουμε απλοποιήσεις του τύπου: d d d ή ( d d d Για την ορμή υπάρχουν επίσης περιπτώσεις όπου οι όροι της συναγωγής είναι εκ ταυτότητας μηδέν (πχ μονοδιάστατες ροές σε κανάλια, αγωγούς, κα Τότε η εξίσωση της ορμής απλοποιείται στη μορφή: P g, (47 η οποία έχει το σημαντικό πλεονέκτημα ότι είναι γραμμική Ακόμα μεγαλύτερες είναι οι απλοποιήσεις όταν υπάρχουν συμμετρίες όπως αυτές που αναφέραμε παραπάνω Πέραν αυτών των περιπτώσεων όμως, σε κάποια είδη προβλημάτων παρ ότι οι όροι της συναγωγής δεν είναι εκ ταυτότητας μηδέν μπορούμε να τους αγνοήσουμε Γενικά αυτό συμβαίνει σε αργές ροές, σε μικρές διαστάσεις και σε ρευστά με μεγάλο ιξώδες Τέτοιου είδους ροές ονομάζονται έρπουσες (ceeping flows Η λύση τους βασίζεται πάλι στις τεχνικές της εξίσωσης Laplace Για παράδειγμα, με τη χρήση της εξίσωσης συνεχείας στην εξ (47 είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι η πίεση ικανοποιεί την εξίσωση Laplace 6

71 Συχνές είναι οι περιπτώσεις όπου συμβαίνει το αντίθετο, δηλαδή οι όροι της μοριακής μεταφοράς ορμής να είναι ασήμαντοι και να μπορούν να αγνοηθούν (πχ μεγάλες ταχύτητες και διαστάσεις, μικρό ιξώδες Τέτοιου είδους ροές ονομάζονται ιδανικές (ideal ή potential flows Τότε έχουμε πάλι κάποιας μορφής απλοποίηση και μπορεί να αποδειχθεί ότι η εξίσωση Laplace περιγράφει το πεδίο ροής Τέλος, συχνή είναι η περίπτωση όπου η μοριακή μεταφορά είναι ασήμαντη και μπορεί να αγνοηθεί σχεδόν παντού σε ένα πεδίο ροής εκτός από μια μικρή περιοχή του, συνήθως κοντά σε στερεές επιφάνειες Τέτοιου είδους περιπτώσεις είναι πολύ σημαντικές και από την τεχνική σκοπιά και ονομάζονται ροές οριακών στρωμάτων Πάλι στην περίπτωση αυτή υπάρχουν απλοποιήσεις στις εξισώσεις μεταφοράς που επιτρέπουν να πάρουμε με μεγαλύτερη ευκολία λύσεις και σημαντικές τεχνικές πληροφορίες 4 ΠΕΡΙ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ 4 Γενικά σχόλια Σε όλα τα προβλήματα, για να πάρουμε λύσεις είτε αναλυτικά είτε υπολογιστικά, εκτός από τις εξισώσεις πρέπει να έχουμε κάποια πληροφορία για τις μεταβλητές που αναλύουμε στα όρια του χώρου που μελετάμε Από τη μαθηματική σκοπιά, για τις εξισώσεις μεταφοράς, οι οποίες είναι δευτέρου βαθμού ως προς τις μεταβλητές, έχουμε συνήθως τρία είδη οριακών συνθηκών: (α Μπορεί στα όρια του χώρου που μελετάμε να καθορίζεται η μεταβλητή, δηλ ψ = γνωστό Τέτοιου είδους οριακές συνθήκες ονομάζονται συνθήκες Diichlet (β Μπορεί στα όρια να καθορίζεται η κάθετη παράγωγος της μεταβλητής, δηλ ονομάζονται συνθήκες Nemann (γ Μπορεί, τέλος, στα όρια να καθορίζεται ένας συνδυασμός της μεταβλητής και της κάθετης παραγώγου, δηλ n = γνωστό Τέτοιου είδους οριακές συνθήκες ονομάζονται συνθήκες Robin n = γνωστό Τέτοιου είδους οριακές συνθήκες Τι είναι τα όρια Το πιο συνηθισμένο όριο που συναντάμε στη μελέτη των προβλημάτων μεταφοράς είναι η διεπιφάνεια μεταξύ δύο διαφορετικών υλικών ή φάσεων Για παράδειγμα, όταν μελετάμε τη ροή σε ένα σωλήνα το φυσικό όριο για τη ροή είναι η εσωτερική επιφάνεια του σωλήνα, δηλαδή η διεπιφάνεια ρευστού-στερεού Ή κατά την εξάτμιση ενός υγρού ένα φυσικό όριο είναι η διεπιφάνεια μεταξύ του υγρού και της αέριας φάσης Ένα δεύτερο είδος ορίου που συναντάμε είναι το άπειρο Σε πολλά προβλήματα οι περιοχές όπου υπάρχουν σημαντικές μεταβολές στις ιδιότητες είναι μικρές σε σχέση με την απόσταση από οποιοδήποτε φυσικό όριο Τότε μας διευκολύνει να επεκτείνουμε το χώρο της μελέτης στο άπειρο αγνοώντας την παρουσία φυσικών ορίων Τέλος, μπορούμε σε κάποιες περιπτώσεις να θέσουμε αυθαίρετα όρια μέσα σε κάποιο ρευστό Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ένα κύκλωμα ροής που περιλαμβάνει σωληνώσεις, γωνίες, βάνες, κλπ μπορούμε να κάνουμε μια κατάτμηση του προβλήματος της ροής θεωρώντας χωριστά τα ευθύγραμμα τμήματα των σωληνώσεων, τις γωνίες κλπ 64

72 Τι καθορίζει τις οριακές συνθήκες Στις διεπιφάνειες μεταξύ διαφορετικών υλικών ή φάσεων οι οριακές συνθήκες καθορίζονται από τη θερμοδυναμική και μηχανική ισορροπία καθώς και τις αρχές διατήρησης Αν τα όρια είναι αυθαίρετα σε ένα ρευστό ή είναι το άπειρο, τότε συνήθως κάνουμε κάποιες λογικές παραδοχές ή υποθέσεις Για παράδειγμα μια μεταβλητή πρέπει να είναι πεπερασμένη στο άπειρο και συνήθως τείνει σε μια σταθερή τιμή Θα εξετάσουμε με περισσότερη λεπτομέρεια κάποια κοινά είδη οριακών συνθηκών χωριστά για τη ενέργεια, τη μάζα και την ορμή 4 Οριακές συνθήκες για την ενέργεια Σε διεπιφάνειες ισχύει η θερμοδυναμική ισορροπία S n II Έστω μια διεπιφάνεια, S, μεταξύ δύο υλικών I και ΙΙ, η οποία έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Από τη θερμοδυναμική ισορροπία ισχύει: I II T T στην S (48 I Αν για παράδειγμα η θερμοκρασία στο υλικό ΙΙ είναι γνωστή, έστω Τ, και μας ενδιαφέρει η κατανομή θερμοκρασίας στο υλικό Ι, τότε η οριακή συνθήκη τύπου Diichlet είναι: Τ Ι = Τ στην S Σε διεπιφάνειες δεν υπάρχει συσσώρευση ενέργειας Οι διεπιφάνειες δεν έχουν μάζα και επομένως ούτε και θερμοχωρητικότητα Άρα η ροή ενέργειας στο ένα υλικό πρέπει να είναι ίση με τη ροή στο άλλο, δηλαδή: I II ( q/ n ( q/ n (49 Αν, για παράδειγμα, έχουμε ροή θερμότητας μόνο με μοριακά μέσα θα ισχύει: I I I II II k T n k T n (4 S II Στην περίπτωση επίπεδης διεπιφάνειας κάθετης στο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, η παραπάνω σχέση απλοποιείται στη μορφή: I I I T II T k k, στο = Αν με κάποιο τρόπο καθορίζεται η θερμική ροή στο υλικό ΙΙ, έστω q, τότε έχουμε γνωστή την κάθετη παράγωγο, δηλαδή έχουμε συνθήκη Nemann: I I T k q (4 65

73 Μια συχνή περίπτωση που συναντάμε είναι αυτή των θερμικά μονωμένων επιφανειών Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει ροή θερμότητας, δηλαδή ο όρος q στην (4 είναι μηδέν Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι η θερμική ροή είναι πολύ μικρή και μπορεί να αγνοηθεί Υπάρχει η περίπτωση να μετατρέπεται μιας μορφής ενέργεια σε άλλη επάνω στη διεπιφάνεια, πχ απελευθέρωση λανθάνουσας n II (Ν/Α θερμότητας κατά την εξάτμιση υγρού, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Τότε αυτή η θερμότητα λαμβάνεται υπόψη στο ισοζύγιο S Για το παράδειγμά μας η οριακή συνθήκη I γίνεται: όπου ΔΗ είναι η ενθαλπία εξάτμισης Οριακές συνθήκες στο άπειρο I k T I II II n k T n ( H ( N/ n Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, συνήθως η θερμοκρασία πλησιάζει σε μια ομοιόμορφη γνωστή τιμή μακριά από την περιοχή που μας ενδιαφέρει, δηλ Τ Τ για (4 Πολλές φορές η συνθήκη ότι η θερμοκρασία είναι πεπερασμένη είναι πληροφορία που μπορεί να αξιοποιηθεί στην ανάλυση προβλημάτων Το σημείο = σε κυλινδρικές συντεταγμένες Το σημείο = παρουσιάζει μια ιδιομορφία σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες Αν περιλαμβάνεται στο χώρο που μελετάμε, τότε το γεγονός ότι η θερμοκρασία και η παράγωγός της πρέπει να είναι πεπερασμένες μπορεί επίσης να αξιοποιηθεί Για παράδειγμα σε κυλινδρικές συντεταγμένες έχουμε συμπεριφορές παρόμοιες με το εξής παράδειγμα: d dt ( d d dt d c dt d c Το γεγονός ότι η παράγωγος πρέπει να είναι πεπερασμένη μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι c =, 66

74 4 Οριακές συνθήκες για τη μάζα Συνθήκες για τις συγκεντρώσεις Η θερμοδυναμική ισορροπία στη διεπιφάνεια καθορίζει μια σχέση ανάμεσα στις I II συγκεντρώσεις c και c ενός συστατικού στις δύο φάσεις Για παράδειγμα, στην εξάτμιση καθαρού υγρού Ι σε ιδανικό αέριο ΙΙ ισχύει: c II Pvap RT, όπου P vap είναι η τάση ατμών του Α στην αντίστοιχη θερμοκρασία Στην εξάτμιση από ιδανικό υγρό μίγμα Ι σε ιδανικό αέριο ΙΙ ισχύει ο νόμος του Raolt: όπου υγρό II P P P II vap,, είναι η μερική πίεση του Α στο αέριο και το μοριακό κλασμα του Α στο Για αέρια συστατικά που έχουν μικρή διαλυτότητα σε υγρά ισχύει ο νόμος του Hen: P II H, όπου Η είναι η σταθερά του Hen Υπάρχουν παρόμοιες σχέσεις και σε άλλες περιπτώσεις τις οποίες μας δίνει η θερμοδυναμική Συνθήκες για ροές συστατικών σε διεπιφάνειες Αντίθετα με την ενέργεια, είναι πιθανό να υπάρχει συσσώρευση μάζας συστατικού σε μια διεπιφάνεια (πχ επιφανειοδραστικές ουσίες Αν αγνοήσουμε την περίπτωση αυτή και υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει παραγωγή έχουμε μια συνθήκη παρόμοια με την (49, δηλαδή: I II ( N/ n ( N/ n πχ για καθαρά μοριακή μεταφορά: (4 I I II II D c n D c n (4 Αν το υλικό ΙΙ είναι στερεό τότε D II ~ Συνήθως δηλαδή θεωρούμε ότι δεν υπάρχει ροή συστατικού σε διεπιφάνεια ρευστού-στερεού Αν όμως η στερεή επιφάνεια είναι μια καταλυτική επιφάνεια τότε υπάρχει παραγωγή που πρέπει να λάβουμε υπόψη Για παράδειγμα σε μια επίπεδη καταλυτική διεπιφάνεια όπου το συστατικό Α μετατρέπεται σε άλλο προϊόν με κινητική πρώτης τάξης ισχύει η συνθήκη: dc d I I II D kc, η οποία είναι τύπου Robin Τέλος, για το άπειρο και την αρχή κυλινδρικών ή σφαιρικών συντεταγμένων ισχύουν παρόμοια πράγματα όπως για την ενέργεια 67

75 44 Οριακές συνθήκες για την ορμή Συνθήκες για την ταχύτητα σε διεπιφάνεια ρευστού-στερεού n t Ας θεωρήσουμε το πεδίο ροής ενός ρευστού κοντά σε ακίνητο στερεό, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, όπου n και t είναι τα μοναδιαία διανύσματα κάθετα και παράλληλα με τη στερεή επιφάνεια Προφανώς, στο τοίχωμα η ταχύτητα του ρευστού κάθετα σ αυτό είναι μηδέν, δηλαδή: n (44 Η παραπάνω συνθήκη για την ταχύτητα ονομάζεται συνθήκη μη-διείσδυσης Αλλά και για την ταχύτητα του ρευστού παράλληλα με το τοίχωμα ισχύει το ίδιο, δηλαδή: t (45 Η παραπάνω συνθήκη ονομάζεται συνθήκη μη-ολίσθησης Αυτή η συνθήκη δεν είναι προφανής, αλλά επιβεβαιώνεται πειραματικά Αυτό γίνεται έμμεσα από τις συνέπειές της, που είναι η ύπαρξη τριβών και τάσεων που ασκούνται στα στερεά, αλλά και άμεσα με ειδικές τεχνικές Επιβεβαιώνεται επίσης και από θεωρητικές προσομοιώσεις μοριακής δυναμικής Για παράδειγμα, αν έχουμε ροή πάνω από επίπεδο τοίχωμα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, θα ισχύει: = και = στο = θ Παρόμοια, για ροή σε αγωγό κυκλικής διατομής και ακτίνας θα ισχύει: =, θ = και = στο = Η πρώτη σχέση είναι συνθήκη μη-διείσδυσης και οι άλλες δύο συνθήκες μη-ολίσθησης Γενικότερα, για κινούμενο στερεό, ισχύει πάνω στο τοίχωμα: στερεού = ρευστού (46 Συνθήκες σε διεπιφάνειες ρευστών Αν έχουμε δύο διαφορετικά ρευστά Ι και ΙΙ, ισχύει για τις ταχύτητες στη διεπιφάνεια: Ι = ΙΙ (47 68

76 Επιπλέον σε διεπιφάνειες ρευστών έχουμε συνθήκες από τη μηχανική ισορροπία Επειδή οι διεπιφάνειες δεν έχουν μάζα, άρα και αδράνεια, θα πρέπει οι τάσεις που ασκούνται από τα δύο ρευστά να ισορροπούν Αν η διεπιφάνεια είναι επίπεδη και η κίνηση των ρευστών είναι παράλληλα με αυτή, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε για τις διατμητικές τάσεις θα ισχύει: I I I I II II (48 Η ισορροπία των κάθετων τάσεων στην ίδια επίπεδη διεπιφάνεια μας δίνει: P I = P II, (49 Αν το ένα ρευστό είναι αέρας επειδή έχουμε μ ΙΙ << μ Ι, συνήθως η διατμητική τάση είναι ασήμαντη και μπορούμε να γράψουμε: I I Τότε έχουμε ελεύθερη επιφάνεια που σημαίνει ελεύθερη διατμητικών τάσεων Αν έχουμε καμπύλη διεπιφάνεια, τότε II υπεισέρχεται και ένας άλλος παράγοντας που είναι η επιφανειακή τάση Στο διπλανό σχήμα φαίνονται R δύο ακίνητα ρευστά Ι και ΙΙ, των P II οποίων η διεπιφάνεια είναι σφαίρα ακτίνας R, πχ μια σταγόνα ή μια φυσαλλίδα Θεωρούμε σαν όγκο ελέγχου ένα ημισφαίριο παίρνοντας μια τομή που φαίνεται με τη γ σκιασμένη επιφάνεια Στον όγκο αυτό P I ασκείται η πίεση P II από το ρευστό ΙΙ I μέσω της καμπύλης επιφάνειας, καθώς και η πίεση P I από το ρευστό Ι μέσω της σκιασμένης τομής Επιπλέον, πάνω στη χρωματισμένη γραμμή που είναι η τομή της διεπιφάνειας και του σκιασμένου κύκλου ασκείται δύναμη από την επιφανειακή τάση, γ Η επιφανειακή τάση εκφράζει δύναμη ανά μονάδα μήκους ή ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας Η ισορροπία δυνάμεων στον όγκο ελέγχου δίνει: από όπου I II P ( R P ( R ( R P I I II S, II P (4 R 69

77 Τέλος, για οποιαδήποτε καμπύλη επιφάνεια υπάρχουν δύο ακτίνες καμπυλότητας, R και R Η γενική σχέση για την ισορροπία των τάσεων σε διεπιφάνειες ρευστών που κινούνται, η οποία περιλαμβάνει και τις τάσεις λόγω του ιξώδους, είναι: όπου [ σ II n σ σ PI τ I n ] n ( (4 R R 7

78 Κεφάλαιο 5 Απλές περιπτώσεις μεταφοράς ορμής και διαστατική ανάλυση των εξισώσεων Navie- Stokes 5 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ Ροή μεταξύ παράλληλων πλακών, η μια από τις οποίες κινείται Σε όλες τις περιπτώσεις που θα εξετάσουμε θα υποθέσουμε ότι έχουμε ρευστό με σταθερή πυκνότητα και ιξώδες Σαν πρώτο και απλούστερο παράδειγμα θα θεωρήσουμε τη ροή ενός ρευστού ανάμεσα σε δύο πλάκες, η μια από τις οποίες βρίσκεται σε κίνηση / Όπως είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο όπου ορίσαμε το ιξώδες, περιμένουμε η ταχύτητα του ρευστού να είναι γραμμική, δηλαδή ροή απλής διάτμησης h Για να αναλύσουμε το πρόβλημα θα κάνουμε κάποιες παραδοχές Θεωρούμε μόνιμη κατάσταση (, μονοδιάστατη ροή στην κατεύθυνση της κίνησης της πλάκας ( = =, και αγνοούμε την επίδραση τυχόν πλευρικών τοιχωμάτων ( υποθέτοντας ότι το πλάτος W των πλακών στην -κατεύθυνση είναι μεγάλο (W >> H Τέλος θα υποθέσουμε ότι η πίεση στο ρευστό είναι παντού ομοιόμορφη Από την εξίσωση συνεχείας: και επειδή υπάρχει μόνο μια συνιστώσα της ταχύτητας έχουμε:, / t, (5 δηλαδή η μοναδική συνιστώσα της ταχύτητας που δεν είναι μηδέν είναι συνάρτηση μόνο του Άρα: = ( (5 υτό σημαίνει ότι το πεδίο ροής δεν αλλάζει στη -κατεύθυνση (πλήρως διαμορφωμένη ροή πό την εξίσωση της -ορμής έχουμε: + - τ U 7

79 ( P ( t Λόγω των παραδοχών που διατυπώσαμε όλοι οι όροι της συναγωγής στο αριστερό σκέλος είναι μηδενικοί Λόγω της μόνιμης κατάστασης ο πρώτος όρος είναι μηδέν, λόγω της πλήρως διαμορφωμένης ροής ο δεύτερος όρος είναι μηδέν, και λόγω της μονοδιάστατης ροής και οι υπόλοιποι δύο όροι είναι μηδέν Στο δεξιό σκέλος ο όρος της πίεσης είναι μηδέν και, με βάση την (5, από τους όρους του ιξώδους επιβιώνει μόνο η παράγωγος της ταχύτητας ως προς Δηλαδή τελικά: d d (5 Oλοκληρώνουμε την (5 για την κατανομή ταχύτητας και έχουμε: d d c (54 c (55 c Από την ολοκλήρωση προέκυψαν δύο άγνωστες σταθερές, τις οποίες προσδιορίζουμε από τις οριακές συνθήκες μη-ολίσθησης στις δύο στερεές επιφάνειες Στο =, = Στο = h, = U c c c h U Άρα, όπως περιμέναμε, έχουμε γραμμική κατανομή ταχύτητας: U h Η (54 μας δίνει τη διατμητική τάση: d d U h U h (56 (57 η οποία είναι σταθερή Μπορούμε να θυμηθούμε βλέποντας το σχήμα ότι ο όρος τ αντιπροσωπεύει την τάση που ασκείται μέσω μιας νοητής επιφάνειας κάθετης στο (η διακεκομμένη γραμμή από το ρευστό κάτω από την επιφάνεια, (το -, στο ρευστό πάνω από την επιφάνεια, (το + Η σταθερή αυτή τάση ασκείται επίσης από το ρευστό στην πάνω πλάκα και για να διατηρηθεί η κίνηση θα πρέπει εμείς να ασκούμε τάση ίση και αντίθετη, δηλ να ασκούμε τάση στην κατεύθυνση της κίνησης Η ίδια σταθερή τάση ασκείται από την κάτω πλάκα στο ρευστό και επομένως το ρευστό ασκεί στην κάτω πλάκα τάση ίση και αντίθετη, δηλαδή τείνει να την παρασύρει προς την κατεύθυνση της κίνησης 7

80 Με βάση την κατανομή ταχύτητας μπορούμε επίσης να βρούμε την ογκομετρική παροχή ανά μονάδα πλάτους των πλακών, δηλαδή τον όγκο του ρευστού που περνάει από μια τομή S κάθετα στις πλάκες: Q S ds h d καθώς και τη μέση ταχύτητα: U h U U h d h, (58 Q Q (59 S h Ροή μεταξύ παράλληλων ακίνητων πλακών υπό την επίδραση διαφοράς πίεσης = h P = -h Θα θεωρήσουμε τώρα την ίδια γεωμετρία, με τη διαφορά ότι οι πλάκες δεν κινούνται αλλά στα άκρα τους ασκούνται διαφορετικές πιέσεις Αυτή η διαφορά ωθεί το ρευστό να κινηθεί ανάμεσα στις πλάκες Η πίεση στο = είναι P και στο = L είναι P L Θα ξεκινήσουμε πάλι από τις ίδιες παραδοχές, δηλαδή μόνιμη κατάσταση (, μονοδιάστατη ροής ( = =, και θα αγνοήσουμε την επίδραση τυχόν πλευρικών τοιχωμάτων ( υποθέτοντας ότι το πλάτος W των πλακών στην -κατεύθυνση είναι μεγάλο (W >> H / Από την εξίσωση συνεχείας έχουμε πάλι: / t, (5 δηλαδή η μοναδική συνιστώσα της ταχύτητας που δεν είναι μηδέν είναι συνάρτηση μόνο του Άρα: = ( (5 Παρ ότι δεν υπάρχει κίνηση στη -κατεύθυνση εξετάζουμε την εξίσωση της -ορμής για να εξάγουμε πληροφορία για την πίεση Η εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: P ( ( t g Επειδή =, όλοι οι όροι που περιέχουν την ταχύτητα είναι μηδενικοί και επομένως: P g, (5 από την οποία προκύπτει: L P L 7

81 P g P m ( (5 Βλέπουμε δηλαδή ότι η βαρύτητα δεν επηρεάζει την κίνηση Ο όρος P m, που προκύπτει αν αφαιρέσουμε την υδροστατική πίεση από την συνολική, ονομάζεται δυναμική πίεση (dnamic ή modified pesse Οι διαφορές της δυναμικής πίεσης είναι αυτές που ωθούν το ρευστό και επηρεάζουν την κίνησή του Εξετάζουμε τώρα την εξίσωση της -ορμής: ( P ( t Όμοια με το προηγούμενο πρόβλημα, λόγω των παραδοχών που διατυπώσαμε όλοι οι όροι της συναγωγής στο αριστερό σκέλος είναι μηδενικοί Στο δεξιό σκέλος υπάρχει ο όρος της πίεσης και η παράγωγος της ταχύτητας ως προς Δηλαδή τελικά: P (54 Χρησιμοποιώντας τη δυναμική πίεση που είναι συνάρτηση μόνο του, καθώς και την (5, οι μερικές παράγωγοι μπορούν να αντικατασταθούν με συνήθεις και έχουμε: dp m d d d (55 Στο αριστερό σκέλος έχουμε μια συνάρτηση του και στο δεξιό σκέλος μια συνάρτηση του Για να ισχύει λοιπόν αυτή η ισότητα θα πρέπει και οι δύο συναρτήσεις να είναι ίσες με μια σταθερά, έστω c Έτσι από την (55 παίρνουμε δύο εξισώσεις που θα μας δώσουν την κατανομή της πίεσης και της ταχύτητας: dp m d c d c d, (56 (57 Ολοκληρώνουμε πρώτα την (56 και εφαρμόζουμε τις δοσμένες οριακές συνθήκες για την πίεση για να προσδιορίσουμε τη σταθερά c P m c c Δηλαδή η πίεση είναι γραμμική συνάρτηση της απόστασης από την είσοδο του καναλιού Από τις οριακές συνθήκες για την πίεση βρίσκουμε τις σταθερές: Στο =, P = P c = P Στο = L, P = P L P L = cl + c, οπότε c = (P L -P /L = -ΔP/L Oλοκληρώνουμε τώρα την (57 για την κατανομή ταχύτητας και έχουμε: 74

82 d d c (58 c c c (59 Από την ολοκλήρωση προέκυψαν δύο άγνωστες σταθερές, τις οποίες προσδιορίζουμε από τις οριακές συνθήκες μη-ολίσθησης στις δύο στερεές επιφάνειες Στο = -h, = ch ch c ch Στο = h, = ch c, από όπου: c και c ch Στην περίπτωση αυτή η κατανομή ταχύτητας είναι παραβολική: c ( h P ( h L Η μέγιστη ταχύτητα είναι προφανώς στο κέντρο μεταξύ των δύο πλακών και ίση με: ma P h L (5 (5 Η (58 μας δίνει τη διατμητική τάση που είναι γραμμική συνάρτηση του : d d P L Τέλος, η ογκομετρική παροχή είναι: Q S ds και η μέση ταχύτητα: h h P d L h h ( h P d [ h L ] h h Ph L, (5 (5 Q Q Ph (54 S h L Δηλαδή η μέση ταχύτητα είναι τα / της μέγιστης 75

83 Ροή υγρού υμένα σε κεκλιμένο επίπεδο Στο παράδειγμα αυτό θα θεωρήσουμε ένα υμένα υγρού που ρέει παράλληλα με ένα κεκλιμένο επίπεδο υπό την επίδραση της βαρύτητας Η γεωμετρία της ροής φαίνεται στο σχήμα g Θα ξεκινήσουμε πάλι από τις ίδιες παραδοχές, δηλαδή μόνιμη κατάσταση ( / t, μονοδιάστατη ροή ( = =, και θα αγνοήσουμε την επίδραση της τρίτης διάστασης ( / Από την εξίσωση συνεχείας έχουμε πάλι:, (55 δηλαδή η μοναδική συνιστώσα της ταχύτητας που δεν είναι μηδέν είναι συνάρτηση μόνο του Άρα: = ( (56 Παρ ότι δεν υπάρχει κίνηση στη -κατεύθυνση εξετάζουμε την εξίσωση της -ορμής για να εξάγουμε πληροφορία για την πίεση Επειδή =, όλοι οι όροι που περιέχουν την ταχύτητα είναι μηδενικοί και επομένως: P g cos από την οποία προκύπτει: θ P g cos P, (57 m h ( (58 Στην ελεύθερη επιφάνεια, = h, η πίεση είναι σταθερή και ίση με την ατμοσφαιρική Επομένως και ο όρος P m είναι σταθερός και ανεξάρτητος του Εξετάζουμε τώρα την εξίσωση της -ορμής Όμοια με τα προηγούμενα προβλήματα όλοι οι όροι της συναγωγής στο αριστερό σκέλος είναι μηδενικοί Στο δεξιό σκέλος ο όρος της πίεσης είναι επίσης μηδέν Επιβιώνει μόνο η παράγωγος της ταχύτητας ως προς και η συνιστώσα της βαρύτητας στην κατεύθυνση της κίνησης Έχουμε στην περίπτωση αυτή ισορροπία μεταξύ της βαρύτητας που τείνει να επιταχύνει το ρευστό και των τριβών λόγω του ιξώδους Δηλαδή τελικά: d g sin (59 d Η παραπάνω σχέση μπορεί να ολοκληρωθεί εξ ίσου εύκολα με τα προηγούμενα προβλήματα Έχουμε: και d g sin c (5 d 76

84 g sin c c (5 Εφαρμόζουμε τώρα τις οριακές συνθήκες στο κάτω και πάνω άκρο του υμένα Από τη συνθήκη της μη-ολίσθησης στο τοίχωμα έχουμε: Στο =, = c Στη ελεύθερη επιφάνεια, όπως συζητήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, ο αέρας ασκεί ασήμαντη διάτμηση στο υγρό Επομένως η συνθήκη είναι: Στο = h, τ = d d c gh sin Έχοντας προσδιορίσει τις σταθερές η κατανομή ταχύτητας είναι: g sin ( h, (5 Η μέγιστη ταχύτητα είναι προφανώς στη ελεύθερη επιφάνεια όπου η παράγωγος της ταχύτητας μηδενίζεται: gh sin ma (5 Η (5 μας δίνει τη διατμητική τάση που είναι γραμμική συνάρτηση του : d d Η ογκομετρική παροχή είναι: g sin( h (54 Q h h g sin g sin d ( h d [ h και η μέση ταχύτητα: Q h gh sin Δηλαδή, πάλι η μέση ταχύτητα είναι τα / της μέγιστης ] 6 h gh sin (55, 77

85 Ροή δύο διαφορετικών ρευστών σε κανάλι Θα θεωρήσουμε πάλι τη γεωμετρία των δύο οριζόντιων ακίνητων πλακών, στα άκρα των οποίων ασκούνται διαφορετικές P ΙΙ h II P L πιέσεις Στο κανάλι που δημιουργείται από τις δύο πλάκες υπάρχουν δύο στρώματα διαφορετικών ρευστών, Ι και ΙΙ (πχ νερό h I Ι και λάδι, που διαχωρίζονται από μια επίπεδη διεπιφάνεια και ρέουν στην L κατεύθυνση της επιβαλλόμενης διαφοράς πίεσης Τα δύο ρευστά έχουν διαφορετικά πάχη h I και h IΙ, καθώς και διαφορετικά ιξώδη, μ Ι και μ ΙΙ Υποθέτουμε ξανά μόνιμη κατάσταση, μονοδιάστατη ροή και ομοιομορφία ως προς την τρίτη διάσταση Χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνεχείας βρίσκουμε επίσης ξανά ότι έχουμε πλήρως διαμορφωμένη ροή Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της -ορμής μπορούμε να βρούμε ότι η πίεση στα δύο ρευστά είναι η υδροστατική συν την δυναμική πίεση P m που εξαρτάται μόνο από το Τέλος, από τις εξισώσεις της -ορμής συμπεραίνουμε πάλι ότι η συναγωγή είναι εκ ταυτότητας μηδέν Έχουμε μια ισορροπία ανάμεσα στη διαφορική κλίση της δυναμικής πίεσης η οποία ωθεί τα ρευστά και των τριβών λόγω του ιξώδους που αντιστέκονται στην κίνηση Όπως και στο πρόβλημα με το ένα ρευστό, οι εξισώσεις είναι: και dp m d dp m d d I d I, (56 II d II (57 d Επίσης πάλι επειδή έχουμε συνάρτηση του στο αριστερό σκέλος και συνάρτηση του στο δεξιό, όλοι οι όροι έιναι σταθεροί: dp m d c P / L Ολοκληρώνοντας για τις ταχύτητες έχουμε: d I I c c, (58 d d II II c c (59 d Ολοκληρώνοντας ξανά: I I c c c, (54 78

86 II II c c c 4 (54 Οι τέσσερις σταθερές θα προκύψουν από τις οριακές συνθήκες Στις δύο στερεές επιφάνειες οι ταχύτητες είναι μηδέν Στο = -h I, I = Στο = h II, II = hi c ch hii c ch I c II c 4 (54 (54 Οι άλλες δύο σχέσεις προκύπτουν από τις συνθήκες στη διεπιφάνεια των κινούμενων ρευστών Η συνέχεια των ταχυτήτων δίνει: στο =, I = IΙ c /μ Ι = c 4 /μ ΙΙ, (544 και από την ισορροπία των διατμητικών τάσεων στην διεπιφάνεια: στο =, I II I d I d II d d II c c (545 Μπορούμε τώρα να λύσουμε για τις σταθερές από τις ( Μετά από λίγες αλγεβρικές πράξεις βρίσκουμε: ( I hii II hi c c c, ( h h c c 4 c h h I I II c h h II I II I II II hi hii ( h h I II I II hi hii ( h h I II II I I, Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι κατανομές της ταχύτητας στα δύο ρευστά είναι παραβολικές Επίσης, στη διεπιφάνεια οι ταχύτητες είναι ίδιες αλλά οι κλίσεις είναι διαφορετικές αν τα ιξώδη είναι διαφορετικά, όπως δείχνει η (545 Ροή σε οριζόντιο αγωγό κυκλικής διατομής Θα θεωρήσουμε τώρα ένα αγωγό κυκλικής διατομής και ακτίνας, στα άκρα του οποίου ασκούνται διαφορετικές πιέσεις Αυτή η διαφορά P P L ωθεί το ρευστό να κινηθεί στον αγωγό Η πίεση στο = είναι P και στο = L είναι P L L Στην περίπτωση αυτή οι παραδοχές μας είναι πάλι μόνιμη κατάσταση ( / t, μονοδιάστατη ροή ( = θ = και, επιπλέον, συμμετρία ως προς θ ( / Η εξίσωση συνεχείας μας δίνει: 79

87 8 ( (546 Δηλαδή η μοναδική συνιστώσα της ταχύτητας που δεν είναι μηδέν είναι συνάρτηση μόνο του : ( = ( υτό σημαίνει ότι το πεδίο ροής δεν αλλάζει στη -κατεύθυνση και έχουμε πλήρως διαμορφωμένη ροή Παρότι υπάρχει κίνηση μόνο στην - κατεύθυνση, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, εξετάζουμε τις εξισώσεις της - και της θ-ορμής για να εξάγουμε πληροφορία για την πίεση Οι εξισώσεις αυτές σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι: sin ] ( [ ( g P t και g cos ] ( ( [ P t ( Όλοι οι όροι της ταχύτητας είναι μηδενικοί, οπότε οι εξισώσεις γίνονται: sin g P, (547a και g cos P, (547b οι οποίες ολοκληρώνονται για να δώσουν: ( sin P g P m (548 Εφαρμόζουμε τώρα την εξίσωση της -ορμής, δηλαδή στην κατεύθυνση της κίνησης του ρευστού: ] ( [ P t ( από όπου ξανά, λόγω των παραδοχών που διατυπώσαμε, οι όροι της συναγωγής είναι μηδενικοί και ο μόνος όρος του ιξώδους που επιβιώνει είναι η παράγωγος ως προς ] d d ( d d [ d dp ] ( [ P m (549

88 Όπως και πριν, ο όρος της πίεσης είναι συνάρτηση του και ο όρος του ιξώδους είναι συνάρτηση του Επομένως: dp m c d, (55 [ d ( d d d ] c (55 πό την εξίσωση (55 βρίσκουμε την κατανομή της πίεσης: P c c, και από τις οριακές συνθήκες προσδιορίζουμε τις σταθερές c και c : Στο =, P = P c = P Στο = L, P = P L P L = cl + P, οπότε, c =- (P -P L /L = -ΔP/L (55 Ολοκληρώνοντας την (55 για την ταχύτητα: και d ( d c 4 d d d c d c c d d c c c ln c, (55 (554 Η οριακή συνθήκη μη-ολίσθησης στην επιφάνεια του αγωγού είναι: στο = R, = c c ln c 4 Η δεύτερη πληροφορία βρίσκεται στο κέντρο του αγωγού, =, όπου η ταχύτητα πρέπει να είναι πεπερασμένη Παρατηρούμε ότι ο λογαριθμικός όρος απειρίζεται Επομένως θα πρέπει c = Με βάση τα παραπάνω η κατανομή της ταχύτητας είναι c ( 4 P ( 4L (555 Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται προφανώς στο κέντρο του αγωγού και είναι: ma P (556 4 L Η διατμητική τάση βρίσκεται από την (55: 8

89 d P, (557 d L και είναι γραμμική συνάρτηση του Είναι μηδενική στο κέντρο και μέγιστη στα τοιχώματα του αγωγού Η ογκομετρική παροχή είναι: Q S ds P d L 8 4 (558 Παρατηρούμε ότι η παροχή είναι ανάλογη της πτώσης πίεσης και της ακτίνας υψωμένης στην τέταρτη δύναμη Η σχέση αυτή ονομάζεται νόμος των Hagen-Poiseille, οι οποίοι πρώτοι την διατύπωσαν τον 9 ο αιώνα με βάση τις πειραματικές τους παρατηρήσεις Τέλος, διαιρώντας την παροχή με τη διατομή βρίσκουμε τη μέση ταχύτητα: P 8L (559 Δηλαδή, η μέση ταχύτητα είναι το ½ της μέγιστης 5 EΡΠΟΥΣΑ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΦΑΙΡΑ R θ a Σαν τελευταίο παράδειγμα θα θεωρήσουμε τη ροή ενός ρευστού γύρω από μια σφαίρα ακτίνας a Πολύ μακριά από τη σφαίρα η ταχύτητα του ρευστού είναι ομοιόμορφη προς τα πάνω με μέτρο U Κοντά στη σφαίρα οι ροϊκές γραμμές (οι διακεκομμένες γραμμές παραμορφώνονται καθώς το ρευστό αναγκάζεται να παρακάμψει το στερεό σώμα Στην περίπτωση αυτή οι όροι της συναγωγής στις εξισώσεις Navie-Stokes δεν είναι μηδέν, αλλά μπορούν να αγνοηθούν υπό κάποιες προϋποθέσεις (μικρή ταχύτητα και ακτίνα της σφαίρας, μεγάλο ιξώδες, τις οποίες θα διατυπώσουμε αυστηρά στην επόμενη υποενότητα Υπό αυτές τις προϋποθέσεις έχουμε έρπουσα ροή και οι U εξισώσεις απλοποιούνται, όπως συζητήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο Ισχύει P για την ορμή και, θεωρώντας πάλι ασυμπίεστο ρευστό, από την εξίσωση συνεχείας Θεωρώντας σφαιρικές συντεταγμένες μπορούμε να γράψουμε τις αντίστοιχες μορφές των παραπάνω εξισώσεων Η ροή είναι συμμετρική ως προς τη συντεταγμένη φ, δηλαδή εξαρτάται μόνο από το και το θ Δεν θα επιχειρήσουμε τη λύση των εξισώσεων αλλά θα πάρουμε από τη βιβλιογραφία τη λύση για την πίεση και την ταχύτητα που είναι: U a P cos, (56 P θ 8

90 a a U ( cos a a U ( sin 4 4, (56, (56 (56 Θα χρησιμοποιήσουμε όμως την παραπάνω λύση για να υπολογίσουμε τη δύναμη που ασκείται στη σφαίρα Κατά τα γνωστά, η τάση σε οποιαδήποτε επιφάνεια είναι σ (n =nσ, όπου n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια και σ = -PI τ Στην επιφάνεια της σφαίρας n = e και επομένως: nσ Pe e e e (564 Με τη βοήθεια των σχέσεων (58 που δίνουν τις συνιστώσες του τανυστή των τάσεων λόγω ιξώδους σε σφαιρικές συντεταγμένες, βρίσκουμε: [ a (, ] a U a ( / [ ] sin sin Η συνολική δύναμη που ασκείται στη σφαίρα ονομάζεται οπισθέλκουσα (dag foce και βρίσκεται αν ολοκληρώσουμε τις στοιχειώδεις δυνάμεις πάνω στην επιφάνεια: F D S nσds S Pe ds S e ds Η συνεισφορά της πίεσης, που είναι το πρώτο ολοκλήρωμα στο δεξιό σκέλος, ονομάζεται οπισθέλκουσα μορφής (fom dag ενώ η συνεισφορά των τάσεων λόγω ιξώδους, που είναι το δεύτερο ολοκλήρωμα, ονομάζεται οπισθέλκουσα τριβής (fiction dag Επειδή διαισθητικά περιμένουμε η συνολική οπισθέλκουσα να είναι στην κατεύθυνση της κίνησης του ρευστού, δηλαδή προς τα πάνω, μας εξυπηρετεί να χρησιμοποιήσουμε τα μοναδιαία διανύσματα κυλινδρικών συντεταγμένων, e και e R, βάσει των οποίων τα e και e θ είναι: e e e cos e sin e sin e cos Η οπισθέλκουσα μορφής γίνεται: F Fom S Pe R R ds S, U U ( P cos eds a a αφού ο σταθερός όρος δεν έχει συνεισφορά Επομένως:, cose ds, S 8

91 F Fom U a cos( e cos e R sin a sindd Το e R αλλάζει με τη γωνία φ και για κάθε συνεισφορά από μια θέση υπάρχει η αντίθετη από την αντιδιαμετρική θέση Επομένως το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι μηδέν Έτσι έχουμε: F F Fom Fom U a U ae cos sine Όμοια, για την οπισθέλκουσα τριβής έχουμε: F Fiction U F Fiction U e ds a a S sin ( sine 4U ae Έτσι η συνολική οπισθέλκουσα είναι: F D d U d a sin( e cos d cose sin e R cos a (565 sindd (566 6U a (567 Η σχέση (567 ονομάζεται νόμος του Stokes Βάσει αυτής της σχέσης μπορεί να προβλεφθεί η ταχύτητα μικρο-σωματιδίων σε ρευστά, πχ λόγω καθίζησης 5 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NVIER-STOKES Στην ανάλυση προβλημάτων μεταφοράς μας εξυπηρετεί να χρησιμοποιούμε αδιάστατες μεταβλητές Ο λόγος είναι ότι για τα ίδια προβλήματα σε παρόμοιες γεωμετρίες ο αριθμός των παραμέτρων μπορεί να ελαττωθεί πολύ σημαντικά αν χρησιμοποιηθούν αδιάστατες μεταβλητές Σαν παράδειγμα θα αναφέρουμε ένα κλασσικό πρόβλημα στην L U υπολογιστική ρευστοδυναμική, που είναι ροή νευτωνικού ρευστού η οποία οδηγείται από την κίνηση μιας πλάκας πάνω από μια κλειστή τετραγωνική κοιλότητα Ποιοτικά οι ροϊκές γραμμές του ρευστού μέσα στην κοιλότητα είναι όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Επειδή η γεωμετρία είναι πολύ απλή, είναι σχετικά εύκολο να εφαρμοστούν τεχνικές της αριθμητικής ανάλυσης και να βρεθούν λύσεις στον υπολογιστή Έτσι υπάρχει πληθώρα λύσεων στη βιβλιογραφία τις οποίες μπορεί να αξιοποιήσει κανείς για να ελέγξει την αξιοπιστία και την ποιότητα των αλγορίθμων που αναπτύσσει Το πρόβλημα της ροής του ρευστού περιγράφεται από τις εξισώσεις Navie-Stokes: 84

92 ( t P, (568 και εξαρτάται από τέσσερις παραμέτρους: την ταχύτητα U, το μήκος L, και τις ιδιότητες του ρευστού, ρ και μ Με τη χρήση όμως αδιάστατων μεταβλητών, οι παραπάνω τέσσερις παράμετροι συνδυάζονται σε μόνο μία όπως θα δούμε αμέσως Επιλέγουμε χαρακτηριστικά μεγέθη για τις μεταβλητές που εμφανίζονται στις εξισώσεις Navie-Stokes, δηλαδή για τα μήκη,, τον χρόνο t, την ταχύτητα, και για την πίεση P Με βάση αυτά ορίζουμε αδιάστατα μεγέθη, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα Χαρακτηριστικά Αδιάστατα μεγέθη μεγέθη Μήκος L ( ˆ, ŷ ( / L, / L Ταχύτητα U Xρόνος t = L/ U Πίεση P = ρ U ˆ / U tˆ t / Pˆ P / t P Με όρους των αδιάστατων μεταβλητών, η (568 γράφεται: ( ˆ U [ ( ˆ U ( tˆt U [( t U ( L ˆ U ( tˆ L L P ˆ ˆ ˆ ] ( L ˆ U ( ˆ ˆ ˆ ( tˆ L ] L ˆ ( ˆ U ˆ U Pˆ ( L ˆ U Pˆ ( L ˆ ( Pˆ P L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ U (569 Διαιρώντας και τα δύο σκέλη με ρu /L έχουμε μια μορφή που είναι παρόμοια με την (568 αλλά εμφανίζει μόνο μία παράμετρο, το λόγο ρu L/μ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ Pˆ ( ˆ tˆ U L ˆ Η αδιάστατη παράμετρος αυτή, η οποία συνδυάζει τις τέσσερις που προαναφέραμε, ονομάζεται αριθμός Renolds: U L Re (57 Έτσι, τελικά, η αδιάστατη εξίσωση μπορεί να γραφεί: ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ Pˆ ˆ ˆ (57 tˆ Re Με τη χρήση των αδιάστατων μεταβλητών έχει κανείς να επιλύσει το αριθμητικό πρόβλημα που συζητάμε σε ένα τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα και με ταχύτητα του ρευστού στην πλάκα επίσης ίση με τη μονάδα Η μόνο παράμετρος που χρειάζεται να μελετηθεί είναι ο αριθμός Renolds Αντίστροφα, αν είχε κανείς στη διάθεσή του 85

93 πειραματικά δεδομένα για μια συγκεκριμένη διάσταση της κοιλότητας και ένα συγκεκριμένο ρευστό, θα μπορούσε εύκολα να μετατρέψει τα αδιάστατα αποτελέσματά του σε διαστατικά Σε αντιδιαστολή, αν επέλεγε κανείς να εργασθεί με διαστατικές μεταβλητές, ας πούμε δέκα τιμές για κάθε μια από τις τέσσερις παραμέτρους, ο κόπος θα ήταν πολλαπλάσιος και σε πολλές περιπτώσεις η συμπεριφορά της ροής θα ήταν η ίδια γιατί θα αντιστοιχούσε στον ίδιο αριθμό Renolds Πέραν αυτών, είναι πολύ σημαντικό να σημειώσουμε τη φυσική σημασία του αδιάστατου αριθμού Renolds που προέκυψε από την παραπάνω ανάλυση Ο όρος ρu /L που πολλαπλασιάζει το αριστερό σκέλος της εξ (569 ουσιαστικά εκφράζει μια ποσοτική εκτίμηση των όρων συναγωγής ορμής ή αλλιώς των όρων της αδράνειας του ρευστού Ο όρος μu /L που πολλαπλασιάζει τη μοριακή μεταφορά ορμής στο δεξιό σκέλος εκφράζει μια ποσοτική εκτίμηση αυτής της μεταφοράς ή των δυνάμεων που αναπτύσσονται στο ρευστό λόγω του ιξώδους Ο λόγος τους λοιπόν, που είναι ο αριθμός Renolds, μπορεί να γραφτεί με λόγια ότι εκφράζει: REYNOLDS Με τον αριθμό Renolds λοιπόν έχουμε μια εκτίμηση για το πόσο σημαντικό ρόλο παίζουν στη ροή οι παραπάνω δυνάμεις ή αντίστοιχα πόσο σημαντική είναι η μεταφορά ορμής με συναγωγή σε σχέση με τη μοριακή μεταφορά Στο πρόβλημα της έρπουσας ροής που αναλύσαμε πριν λίγο, η προϋπόθεση ήταν ότι η συναγωγή είναι ασήμαντη σε σχέση με τη μοριακή μεταφορά Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε αυστηρά τον περιορισμό για την ισχύ της προϋπόθεσης, ο οποίος είναι: Re << Δηλαδή για να έχουμε έρπουσα ροή ο αριθμός Renolds πρέπει να είναι πολύ μικρός Αντίστοιχα, όταν Re >> η επίδραση του ιξώδους είναι ασήμαντη παντού, εκτός πιθανώς από μικρές περιοχές του πεδίου ροής που ονομάσαμε οριακά στρώματα και θα δούμε με λίγη παραπάνω λεπτομέρεια στο επόμενο κεφάλαιο 86

94 Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις έννοιες των οριακών στρωμάτων Έχουμε ήδη αναφέρει στο κεφάλαιο 4 ότι οριακά στρώματα είναι λεπτές περιοχές ενός πεδίου συγκέντρωσης, θερμοκρασίας ή ταχύτητας μέσα στις οποίες η αντίστοιχη μοριακή μεταφορά είναι σημαντική, ενώ στο υπόλοιπο πεδίο υπερισχύει η συναγωγή και η μοριακή μεταφορά μπορεί να αγνοηθεί Συνήθως, αλλά όχι αποκλειστικά, οριακά στρώματα εμφανίζονται κοντά σε στερεές επιφάνειες Η συζήτηση που ακολουθεί μπορεί επίσης να ειδωθεί και από ένα άλλο πρίσμα Θα εξετάσουμε κάποιες περιπτώσεις μεταφοράς όπου δεν έχουμε εξάρτηση της μεταφερόμενης ιδιότητας μόνο από μια συντεταγμένη, όπως στα προβλήματα που έχουμε δει ως τώρα Στις περιπτώσεις αυτές οι εξισώσεις που περιγράφουν τη μεταφορά είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις Η υπόθεση ότι η μοριακή μεταφορά περιορίζεται σε λεπτές περιοχές του πεδίου μας επιτρέπει να απλοποιήσουμε τις γενικές εξισώσεις σε κάποιο βαθμό Αυτή η απλοποίηση είναι αρκετή για να μας επιτρέψει να πάρουμε αναλυτικές ή ημι-αναλυτικές λύσεις Από τις πολλές και ποικίλες τεχνικές που υπάρχουν για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, αυτή που συνήθως είναι κατάλληλη είναι η τεχνική των μεταβλητών ομοιότητας, ένα παράδειγμα της οποίας θα δούμε ευθύς αμέσως 6 ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΕ ΗΜΙ-ΑΠΕΙΡΟ ΣΤΕΡΕΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Θεωρούμε ένα στερεό σώμα με μια επιφάνεια στο = Υποθέτοντας ότι το σώμα αυτό έχει μεγάλη έκταση καί στις τρεις κατευθύνσεις μπορούμε να το εξιδανικεύσουμε σαν ημι-άπειρο στερεό που καταλαμβάνει την περιοχή, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Αρχικά στο στερεό έχει ομοιόμορφη θερμοκρασία Τ, αλλά τη χρονική στιγμή t = έρχεται σε επαφή με ένα άλλο σώμα μεγαλύτερης θερμοκρασίας Τ, οπότε η επιφάνεια αποκτά ακαριαία την νέα θερμοκρασία και έχουμε σταδιακή μεταφορά θερμότητας στο σώμα που εξετάζουμε Ποιοτικά, για διάφορους t χρόνους θα έχουμε τις κατανομές θερμοκρασίας που επίσης φαίνονται στο σχήμα Υποθέτοντας μονοδιάστατη μεταφορά T T ενέργειας στην -κατεύθυνση, η μεταφορά αυτή περιγράφεται από την εξίσωση: 87

95 ή c P T t T t T k T,, (6 όπου α είναι η θερμική διαχυτότητα του στερεού Σταδιακά θα έχουμε αύξηση της θερμοκρασίας μέσα στο σώμα και μια επέκταση του θερμικού μετώπου Δηλαδή, όσο προχωρά ο χρόνος η αλλαγή της θερμοκρασίας θα γίνεται αισθητή σε μεγαλύτερο ύψος Για παράδειγμα, η θέση όπου η θερμοκρασία έχει αυξηθεί κατά το % της διαφοράς ΔΤ = Τ Τ θα είναι % = δ(t Για να προχωρήσουμε στη λύση υποθέτουμε ότι υπάρχει μια ομοιότητα στις κατανομές /δ(t της θερμοκρασίας για διάφορους χρόνους Δηλαδή αν η θερμοκρασία παρασταθεί σαν συνάρτηση του /δ(t, όλες οι κατανομές θα συμπίπτουν, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Αυτή η υπόθεση μας οδηγεί να αναζητήσουμε μια μεταβλητή ομοιότητας = / δ(t, από την οποία και μόνο εξαρτάται η 68 %ΔΤ θερμοκρασία Συνήθως οι μεταβλητές ομοιότητας είναι της μορφής = / t a, (6 όπου a είναι σταθερά Στην περίπτωσή μας μπορούμε μετά από λίγη άλγεβρα να βρούμε από την (6 ότι ο εκθέτης a είναι / Αυτό σημαίνει ότι οι αλλαγές στη θερμοκρασία γίνονται αισθητές στο στερεό σε απόσταση που είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του χρόνου Με βάση τα παραπάνω μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στην εύρεση των κατανομών θερμοκρασίας σχετικά πιο εύκολα Μετατρέπουμε τις παραγώγους ως προς και t σε παραγώγους ως προς η Ισχύει: και T t dt dt ( ( / d t d t T dt dt ( ( d d t T dt ( / d t / Αντικαθιστώντας στην (6 έχουμε:, d dt ( / d d t dt t d, d T ( d t 88

96 dt a d T t d t d d T dt a d d (6 Το σημαντικό για τη συζήτησή μας είναι ότι καταλήξαμε από μια μερική διαφορική εξίσωση σε μια συνήθη, με μεταβλητή Τ που εξαρτάται μόνο από το Έτσι έχουμε μια μεγάλη διευκόλυνση για τη επίλυση αλλά και για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων Για λόγους πληρότητας αναφέρουμε κάποια βήματα από την επίλυση της (6 Ολοκληρώνοντας μια φορά έχουμε: dt ep( / 4a, d και μετά από δεύτερη ολοκλήρωση: T T n ep( / 4 a d Η σταθερά β βρίσκεται από τη συνθήκη ότι στο άπειρο η θερμοκρασία είναι Τ Η τελική λύση γράφεται: ή T T T T T T (T T [ ef ( [ / 4at ep( ] efc( 4at 4at d],, (64 όπου ef( είναι η συνάρτηση σφάλματος (eo fnction και efc( η συμπληρωματική της Πίνακες με τις τιμές των συναρτήσεων αυτών υπάρχουν σε βιβλία μαθηματικών (πχ bamowit and Stegn, Handbook of Mathematical Fnctions 6 ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ H T = T Κατανομή θερμοκρασίας δ( L Σαν δεύτερο βήμα στη συζήτηση μας θα θεωρήσουμε μια πλήρως διαμορφωμένη ροή ασυμπίεστου ρευστού με σταθερές ιδιότητες μεταξύ δύο πλακών Το σύστημα είναι ισόθερμο σε θερμοκρασία Τ, αλλά θα υποθέσουμε ότι μετά από κάποιο σημείο, =, η μία πλάκα θερμαίνεται σε μια μεγαλύτερη θερμοκρασία Τ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Όπως έχουμε ήδη δει στο προηγούμενο κεφάλαιο η κατανομή της ταχύτητας είναι παραβολική και για το σύστημα συντεταγμένων που επιλέξαμε εδώ η 89

97 ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: U [ ( H H ] (65 U είναι η μέγιστη ταχύτητα στο μέσο της απόστασης μεταξύ των πλακών Πέρα από το σημείο = το ρευστό θα αρχίσει να αισθάνεται σταδιακά σε μεγαλύτερo ύψος την επίδραση της πιο θερμής πλάκας Το ύψος αυτό το ονομάζουμε δ( Διαισθητικά περιμένουμε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του ρευστού και όσο μικρότερη είναι η θερμική αγωγιμότητά του, τόσο μικρότερη θα είναι η απόσταση όπου θα γίνει αισθητή αυτή η αλλαγή θερμοκρασίας Υποθέτουμε λοιπόν ότι δ << Η Τη λεπτή αυτή περιοχή όπου υπάρχουν σημαντικές μεταβολές της θερμοκρασίας, δηλ δ(, την ονομάζουμε θερμικό οριακό στρώμα Μέσα στο θερμικό οριακό στρώμα έχουμε επίδραση της διάχυσης θερμότητας, ενώ πέρα από αυτό η θερμοκρασία είναι σχεδόν ομοιόμορφη και η μοριακή μεταφορά ασήμαντη Η γενική εξίσωση που περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας στη μόνιμη κατάσταση είναι: T T T cp k( (66 Εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι οι σημαντικές αλλαγές της θερμοκρασίας συμβαίνουν μέσα σε ένα λεπτό στρώμα πάχους δ(, μπορούμε να απλοποιήσουμε την παραπάνω μερική διαφορική εξίσωση και να βρούμε σχετικά πιο εύκολα τη λύση Πρώτον, όσο αφορά την ταχύτητα μπορούμε να αγνοήσουμε τον όρο U (/H επειδή είναι πολύ μικρότερος από τον όρο U /H για δ << Η Έτσι γράφουμε: U H όπου γ είναι ο ρυθμός διάτμησης στην κάτω πλάκα, (67 Βλέπουμε επίσης ότι οι αλλαγές στη θερμοκρασία είναι πολύ απότομες στην - κατεύθυνση, ενώ είναι πολύ πιο σταδιακές στη Έτσι η θερμοκρασία μεταπίπτει από την τιμή Τ στην τιμή Τ μέσα σε μια απόσταση δ, ενώ η ίδια μετάπτωση στη - κατεύθυνση γίνεται σε ένα μήκος L Επομένως οι παράγωγοι της θερμοκρασίας στις δύο κατευθύνσεις θα είναι επίσης πολύ διαφορετικές Προσεγγιστικά ισχύει: T T και T T L Η παραπάνω προσεγγιστικές εκτιμήσεις των παραγώγων ονομάζονται εκτιμήσεις τάξης μεγέθους και γράφονται: T T O( και T T O( L (68 Το σύμβολο Ο διαβάζεται τάξη μεγέθους (ode of magnitde Ισχύει λοιπόν με βάση τις παραπάνω εκτιμήσεις: 9

98 T T Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εκτιμήσουμε τις δεύτερες παραγώγους: T Δηλαδή ξανά: T T O( T, και T T O( L (69 που σημαίνει ότι η διάχυση θερμότητας στην -κατεύθυνση είναι πολύ πιο σημαντική από τη διάχυση στη -κατεύθυνση Η υπόθεση λοιπόν ότι το θερμικό οριακό στρώμα είναι πολύ λεπτό μας επιτρέπει να κάνουμε μια μικρή απλοποίηση στην εξίσωση μεταφοράς (66 Η απλοποίηση αυτή είναι αρκετή για να βρούμε αναλυτικά το πεδίο θερμοκρασίας Η (66 γίνεται: T T a (6 Η παραπάνω εξίσωση ουσιαστικά λέει ότι μέσα στο θερμικό οριακό στρώμα έχουμε μια ισορροπία μεταξύ συναγωγής στη -κατεύθυνση και μοριακής μεταφοράς στην - κατεύθυνση Χρησιμοποιώντας πάλι την ανάλυση τάξης μεγέθους έχουμε για τους δύο όρους στην (6: και T T O(, (6 L T T O( a a (6 Η ισορροπία των δύο παραπάνω όρων μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε το πάχος του θερμικού οριακού στρώματος Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των (6-6 βρίσκουμε: O( al / ή O( al / δηλαδή το πάχος αυξάνεται ανάλογα με την κυβική ρίζα του μήκους και της θερμικής διαχυτότητας και αντιστρόφως ανάλογα της κυβικής ρίζας του ρυθμού διάτμησης Η ίδια εξάρτηση υποθέτουμε ότι ισχύει όχι μόνο για το άκρο L της θερμής πλάκας, αλλά για κάθε θέση, δηλαδή: / / ( O( a / (6, 9

99 Τέλος, εισάγουμε την υπόθεση της ομοιότητας Υποθέτουμε δηλαδή ότι σε κάθε θέση η κατανομή θερμοκρασίας είναι η ίδια αν παρασταθεί σαν συνάρτηση της μεταβλητής /δ( Έτσι οδηγούμαστε στην υπόθεση ότι η θερμοκρασία είναι συνάρτηση μόνο μιας μεταβλητής, που είναι συνδυασμός των και, της μεταβλητής ομοιότητας: / / Η υπόλοιπη ανάλυση είναι πλέον θέμα άλγεβρας Για λόγους πληρότητας παρατίθενται μερικά βήματα Ισχύει: T Η (6 γίνεται: dt T ; 4 / d / d d T dt a d d d T, (64 η οποία είναι συνήθης διαφορική και μπορεί να ολοκληρωθεί με απλά βήματα Η λύση είναι: T T (T T ( /, 9a ( /, (65 όπου Γ( είναι η συνάρτηση γάμμα και Γ(,χ η ατελής συνάρτηση γάμμα Είναι γνωστές και τυποποιημένες σε πίνακες βιβλίων των μαθηματικών (Για ακέραιους αριθμούς ισχύει: Γ(+n = n!, δηλαδή είναι το γνωστό μας παραγοντικό Τέλος, από την τεχνική σκοπιά είναι ενδιαφέρον να εκτιμηθεί ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από την πλάκα στο ρευστό Με βάση την παραπάνω λύση μπορούμε να βρούμε: L T L / Q k d kt( ( /, (66 όπου Γ(/ = 679 Παρόμοιες σχέσεις, που προκύπτουν είτε θεωρητικά είτε πειραματικά και οι οποίες μπορούν να αξιοποιηθούν στο σχεδιασμό συσκευών, θα δούμε στα μάθημα των Φαινομένων Μεταφοράς ΙΙ 6 ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΟΡΜΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ Όταν ένα ρεύμα ρευστού, με ομοιόμορφη ταχύτητα U, συναντά μια επίπεδη πλάκα που είναι προσανατολισμένη παράλληλα με το ρεύμα, έχουμε μια παρόμοια συμπεριφορά του πεδίου ροής, όπως είχαμε για τη θερμότητα στο προηγούμενο παράδειγμα Η συνθήκη της μη-ολίσθησης αναγκάζει το ρευστό που είναι πολύ κοντά στην πλάκα να επιβραδύνει Έτσι έχουμε μια πολύ λεπτή περιοχή βραδύτερα κινούμενου ρευστού η οποία ονομάζεται οριακό στρώμα ορμής 9

100 Ποιοτικά, η κατανομή της ταχύτητας είναι όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Έξω από το οριακό στρώμα το δ( ρευστό παραμένει σχεδόν ανεπηρέαστο και με ομοιόμορφη L ταχύτητα, ενώ μέσα στο οριακό στρώμα υπάρχει μετάπτωση προς τη μηδενική ταχύτητα πάνω στην πλάκα Υπάρχουν δηλαδή σημαντικές κλίσεις της ταχύτητας και επομένως υπάρχει και σημαντική δράση του ιξώδους ή μοριακή μεταφορά ορμής Η πίεση παντού στο ρευστό παραμένει σχεδόν ομοιόμορφη Υποθέτοντας μόνιμη κατάσταση και ομοιομορφία ως προς την τρίτη κατεύθυνση, η εξίσωση της -ορμής που περιγράφει την ταχύτητα αυτή είναι: (, (67 μαζί με την εξίσωση συνεχείας: (68 Όπως και στο παράδειγμα του θερμικού οριακού στρώματος υποθέτουμε ότι δ( << L, που σημαίνει ότι οι μεταβολές στην ταχύτητα είναι πολύ πιο απότομες στην - κατεύθυνση από ότι στη Eκτιμούμε λοιπόν την τάξη μεγέθους των όρων που εμφανίζονται παραπάνω με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν: Επομένως, ισχύει: U O( ; U O( ; L U O( U O( L ; (69, (6 δηλαδή η συνεισφορά της μοριακής μεταφοράς στη -κατεύθυνση είναι πολύ πιο μικρή και μπορεί να αγνοηθεί Έτσι, η εξίσωση της -ορμής γίνεται:, (6 9

101 η οποία μας λέει ότι μέσα στο οριακό στρώμα έχουμε ισορροπία μεταξύ συναγωγής και μοριακής μεταφοράς ορμής στην -κατεύθυνση Έστω τώρα V μια εκτίμηση της τάξης μεγέθους στης ταχύτητας Οι δύο όροι της εξίσωσης συνεχείας πρέπει να ισορροπούν, πράγμα που σημαίνει: O( O( U V O( L U V O( O( L (6 Δηλαδή, όπως διαισθητικά περιμένουμε, η ταχύτητα του ρευστού κάθετα στην πλάκα είναι πολύ μικρότερη Επιστρέφοντας στην (6 μπορούμε να εκτιμήσουμε τους δύο όρους της συναγωγής U O( ; L U V U O( O( L (6 Δηλαδή και οι δύο όροι είναι της ίδιας τάξης μεγέθους και δεν μπορούμε να αγνοήσουμε κάποιον από αυτούς Μπορούμε όμως με βάση τα παραπάνω να εκτιμήσουμε το πάχος του οριακού στρώματος ορμής, αφού μέσα σ αυτό έχουμε ισορροπία μεταξύ συναγωγής και διάχυσης στην -κατεύθυνση Ισχύει: U U O( O( L L / O( U Όπως και στο παράδειγμα του θερμικού οριακού στρώματος υποθέτουμε ότι μια παρόμοια εκτίμηση ισχύει για όλες τις θέσεις,, στην πλάκα, οπότε: ( O( U / (64 Δηλαδή, το οριακό στρώμα ορμής αυξάνεται ανάλογα της τετραγωνικής ρίζας της απόστασης από την αρχή της πλάκας Τέλος, εισάγουμε πάλι την υπόθεση της ομοιότητας Δηλαδή, σε οποιαδήποτε θέση οι κατανομές της ταχύτητας συμπίπτουν αν παρασταθούν σαν συνάρτηση της μεταβλητής /δ( Ο Blasis εισήγαγε τη μεταβλητή: και υπέθεσε ότι: U ( / / (65 U f ' (, (66 94

102 όπου ο τόνος δηλώνει παράγωγο ως προς η Τότε από την εξίσωση συνεχείας μπορεί να βρεθεί ότι η ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: U ( / ( f ' f (67 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (66-67 στην εξίσωση της -ορμής ο Blasis κατέληξε σε μια συνήθη διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση f: f ''' ff με οριακές συνθήκες: '' f f ' f ', (68 Προς τιμή του η (68 ονομάζεται εξίσωση του Blasis Είναι μια μη-γραμμική συνήθης διαφορική εξίσωση την οποία έλυσε με τη βοήθεια αριθμητικών τεχνικών Πίνακες με τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων υπάρχουν σε βιβλία μηχανικής των ρευστών (πχ Schlichting, Bonda lae theo Εδώ θα αρκεστούμε να δούμε τη συμπεριφορά της παραγώγου f, που είναι ανάλογη της ταχύτητας, καθώς και της μορφής ηf f, που αντιπροσωπεύει την ταχύτητα Όπως βλέπουμε στο Σχ 6 για η =49, f = 99 Δηλαδή το πάχος του οριακού στρώματος μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι: U / ( 5( Σχήμα 6 Κατανομή ταχύτητας σε οριακό στρώμα πάνω από επίπεδη πλάκα Την κατανομή της ταχύτητας μπορούμε να δούμε από το Σχ 6 95

103 Σχήμα 6 Κατανομή της κάθετης ταχύτητας σε οριακό στρώμα πάνω από επίπεδη πλάκα Τέλος, με βάση την αριθμητική επίλυση, μπορούμε να υπολογίσουμε ένα μέγεθος που είναι σημαντικό από την τεχνική σκοπιά Είναι η τάση που ασκεί το ρευστό στην πλάκα Η τάση αυτή είναι: d ( ( d '' U f ( U ( / Η τιμή του f ( βρίσκεται από την αριθμητική επίλυση ότι είναι, οπότε: U U ( / (69 Μπορούμε επίσης να βρούμε τη συνολική δύναμη ή την οπισθέλκουσα που ασκείται ανά μονάδα πλάτους της πλάκας Έχουμε: οπότε: F F D L U d U ( 664U U L ( / D L / / d, (6 Η λεπτή πλάκα που είναι παράλληλη με το ρεύμα του ρευστού μπορεί να θεωρηθεί σαν το ιδανικό αεροδυναμικό σχήμα Βλέπουμε ότι η οπισθέλκουσα είναι ανάλογη της ταχύτητας υψωμένης στη δύναμη / Σε αντιδιαστολή, για πλάκες που έχουν αρκετά διαφορετικό προσανατολισμό ή για άλλα σώματα η οπισθέλκουσα γίνεται πολύ μεγαλύτερη, καθώς είναι ανάλογη της ταχύτητας στο τετράγωνο όπως θα δούμε στα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ 96

104 Κεφάλαιο 7 Τυρβώδης ροή 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7 Γενικά περί τυρβώδους ροής Έχουμε δει μέχρι τώρα κυρίως ροές που είναι σχετικά απλές, όπως οι μονοδιάστατες στο κεφάλαιο 5, ή λίγο πιο σύνθετες, όπως τα οριακά στρώματα στο κεφάλαιο 6 Το κοινό τους χαρακτηριστικό ήταν η μόνιμη κατάσταση και η ύπαρξη ροϊκών γραμμών που ήταν ευθείες ή καμπύλες οι οποίες παρουσίαζαν τοπικά μια παραλληλία μεταξύ τους Θα μπορούσε να πει κανείς ότι η κίνηση του ρευστού είναι σαν να υπάρχουν επάλληλα στρώματα που κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες, ποιοτικά όπως τα φύλλα μιας τράπουλας Οι ροές αυτές ονομάζονται στρωτές και ο όρος είναι απόδοση του αγγλικού lamina flows Στη φύση όμως και την τεχνολογία, οι ροές των ρευστών στις περισσότερες περιπτώσεις είναι συνήθως ακόμα πιο σύνθετες Είναι τρισδιάστατες, ασταθείς και η κίνηση των ρευστών έχει ένα χαοτικό χαρακτήρα Σε αντιδιαστολή λοιπόν με τις στρωτές, οι ροές που παρουσιάζουν αυτά τα χαρακτηριστικά, δηλ της αστάθειας και της τρισδιάστατης χαοτικής συμπεριφοράς, ονομάζονται τυρβώδεις Στο Σχ 7 παρουσιάζονται εικόνες από κάποιες περιπτώσεις ασταθών και τυρβωδών ροών που είναι περισσότερο ή λιγότερο οικείες (α (β (γ (δ (ε Σχήμα 7 Παραδείγματα ασταθούς και τυρβώδους ροής (α Καπνός του τσιγάρου, (β ροή γύρω από σφαίρα, (γ οριακό στρώμα, (δ φλέβα ρευστού, (ε θερμικά ανοδικά ρεύματα 97

105 Η κατάσταση μιας ροής προσδιορίζεται συνήθως από τον αδιάστατο αριθμό Renolds Σε χαμηλούς αριθμούς Renolds οι δυνάμεις του ιξώδους και η τριβή παίζουν καθοριστικό ρόλο και οι ροές είναι στρωτές Όταν ο αριθμός Renolds ξεπεράσει κάποιο όριο, το οποίο γενικά είναι διαφορετικό για διαφορετικά είδη ροών, οι δυνάμεις του ιξώδους δεν είναι αρκετές για να αντισταθούν στις δυνάμεις αδρανείας Τότε εμφανίζεται αστάθεια και σταδιακά, όσο αυξάνεται ο αριθμός Renolds, αυτή γίνεται πιο έντονη και περίπλοκη και οδηγεί στην τυρβώδη συμπεριφορά Αν υπεισέρχονται άλλοι παράγοντες, όπως για παράδειγμα η κίνηση ρευστών λόγω τοπικών διαφορών στην πυκνότητα που προέρχονται από τοπικές διαφορές της θερμοκρασίας, τότε υπάρχουν άλλοι αδιάστατοι αριθμοί που χαρακτηρίζουν το είδος της ροής Τέτοιες περιπτώσεις θα γνωρίσουμε στα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ Για την περίπτωση ροής ρευστού σε αγωγό κυκλική διατομής, η οποία είναι σημαντική από την τεχνική σκοπιά γιατί η διακίνηση ρευστών γίνεται συνήθως με τέτοιους αγωγούς, η συμπεριφορά μπορεί να φανεί από το Σχ 7 Οι εικόνες παρουσιάζουν μια επανάληψη των πειραμάτων που πρώτος έκανε ο Osbone Renolds το 88 Σε ένα γυάλινο αγωγό, με κατάλληλα διαμορφωμένη είσοδο ώστε να υπάρχει κατά το δυνατόν ομαλή μετάπτωση της ροής στην πλήρως διαμορφωμένη κατάσταση, εισήγαγε μαζί με το ρευστό μια χρωστική στο κέντρο με τη βοήθεια σύριγγας Στη στρωτή ροή η διαδρομή της χρωστικής ήταν μια ευθεία γραμμή, αλλά μετά από κάποια τιμή του αριθμού που φέρει το όνομά του εμφανιζόταν μια χαρακτηριστική αστάθεια, η οποία μπορούσε να γίνει αντιληπτή με την κίνηση της χρωστικής Σε αγωγούς κυκλικής διατομής η αστάθεια αυτή και η μετάπτωση στην τυρβώδη κατάσταση εμφανίζεται σε αριθμούς Renolds κοντά στο Σχήμα 7 Το πείραμα του Renolds Στη στρωτή ροή η χρωστική ακολουθεί ευθεία πορεία, ενώ στην ασταθή δείχνει τις διακυμάνσεις του πεδίου ροής 7 Ορισμός των χρονικά μέσων τιμών και των διακυμάνσεων Αν σε μια τυρβώδη ροή έχουμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε την χρονική εξέλιξη της ταχύτητας σε μια θέση στο χώρο, ποιοτικά θα πάρουμε μια συμπεριφορά όπως φαίνεται στο Σχ 7 Θα βλέπουμε δηλαδή ακανόνιστες διακυμάνσεις με διάφορες συχνότητες γύρω από μια χρονικά μέση τιμή 98

106 Σχήμα 7 Χρονική συμπεριφορά της στιγμιαίας ταχύτητας στην τυρβώδη ροή Από τη θεωρητική σκοπιά μπορεί να μας ενδιαφέρουν όλες οι λεπτομέρειες για τη μελέτη και την κατανόηση μηχανισμών της τυρβώδους ροής, πχ το πλάτος και οι συχνότητες των διακυμάνσεων Κάποιες από αυτές τις χαοτικές συμπεριφορές μπορούμε επίσης να αναπαράγουμε σήμερα με την αριθμητική ανάλυση και τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, οπότε είναι ενδιαφέρον να συγκρίνουμε με πειράματα και να αναλύσουμε τις λεπτομέρειες Πέραν όμως αυτών, από την τεχνική σκοπιά μας ενδιαφέρουν κυρίως πιο άμεσα μακροσκοπικά μεγέθη, πχ παροχές, μέσες ταχύτητες, μέση πτώση πίεσης και διατμητική τάση σε ένα αγωγό, κλπ Τέτοιου είδους πληροφορίες είναι συνήθως επαρκείς για τη μελέτη και τον σχεδιασμό συσκευών και διεργασιών Επιπλέον, είναι προφανές ότι το κόστος, είτε πειραματικό είτε υπολογιστικό, για να ανακτηθούν όλες οι λεπτομέρειες είναι πολλές φορές απαγορευτικό Θα εστιάσουμε λοιπόν την προσοχή μας σε παρόμοια χρονικά μέσα μεγέθη Oρίζουμε την χρονικά μέση τιμή της ταχύτητας από τη σχέση: ( t T tt / dt tt /, (7 όπου ΔΤ είναι ένα επαρκώς μεγάλο χρονικό διάστημα Στην περίπτωση που αυτή η μέση τιμή αλλάζει με το χρόνο, όπως στο Σχ 7, ο ορισμός του ΔΤ πρέπει να γίνει με προσοχή έτσι ώστε να μη χάσουμε τις μεταβολές της μέσης τιμής σε μεγάλες χρονικές κλίμακες Υπάρχουν επίσης άλλες έννοιες και τεχνικές για να οριστεί η μέση τιμή, αλλά για τη συζήτησή μας ο ορισμός (7 είναι αρκετός Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε χρονικά μέσες τιμές για άλλα μεγέθη που μπορεί να μας ενδιαφέρουν στα φαινόμενα μεταφοράς, πχ την πίεση, την θερμοκρασία, ή την συγκέντρωση c ενός συστατικού Α P Με βάση τον παραπάνω ορισμό μπορούμε επίσης να ορίσουμε και τις διακυμάνσεις γύρω από τη μέση τιμή Έτσι, για την ταχύτητα έχουμε: T 99

107 ', (7α και όμοια για τα άλλα μεγέθη: P P P' T T T' c c c, (7β, (7γ ' (7δ Η μέση τιμή των διακυμάνσεων είναι προφανώς μηδέν: ' ' ' (7 7 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΕΠΟΥΝ ΤΙΣ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ Ή ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ REYNOLDS Για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά των χρονικά μέσων τιμών της ταχύτητας, της θερμοκρασίας ή της συγκέντρωσης στην τυρβώδη ροή χρειαζόμαστε εξισώσεις που διέπουν αυτά τα μεγέθη Στη συζήτηση μας θα περιοριστούμε σε ασυμπίεστα ρευστά με σταθερές ιδιότητες και είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η μεταφορά των ιδιοτήτων, είτε στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή, περιγράφεται από τις εξισώσεις για τις στιγμιαίες τιμές που έχουμε ήδη γνωρίσει Δηλαδή η κίνηση των ρευστών περιγράφεται από τις εξισώσεις Navie-Stokes και την εξίσωση συνεχείας, και η μεταφορά ενέργειας και μάζας από τα αντίστοιχα ισοζύγια που διατυπώσαμε στο κεφάλαιο με τις εξισώσεις (5 και (8 Ξεκινούμε λοιπόν από αυτές για να βρούμε τις μορφές που διέπουν τις χρονικά μέσες τιμές 7 Η χρονικά μέση εξίσωση συνεχείας Αρχίζουμε από την εξίσωση ( ' ' και χρησιμοποιώντας τον ορισμό (7α έχουμε: (74 Παίρνουμε τώρα τη χρονικά μέση τιμή της παραπάνω εξίσωσης με τον ίδιο τρόπο που ορίσαμε τη μέση τιμή των μεταβλητών στην (7, πχ tt / ( ( dt T tt / Η ολοκλήρωση στο χρόνο και η παραγώγιση μέσω του τελεστή κλίσης μπορούν να αλλάξουν σειρά, οπότε: Όμοια, tt / ( ( dt T tt / (75

108 ' dt ' T ( ' / T t / T t (76 Με βάση λοιπόν τις (75-76 η (74 γίνεται: (77 Δηλαδή, η εξίσωση συνεχείας για τη χρονικά μέση τιμή της ταχύτητας παραμένει η ίδια Ο λόγος είναι ότι η εξίσωση αυτή είναι γραμμική Σε αντιδιαστολή οι εξισώσεις Navie- Stokes που έχουν μη-γραμμικότητα για την ταχύτητα στους όρους συναγωγής εμφανίζουν κάποια διαφορά, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω 7 Οι χρονικά μέσες εξισώσεις Navie-Stokes Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία γράφουμε: g P t ( g ' ( P' P ( ] ' ( ' ( t ' ( [, και παίρνουμε τη χρονικά μέση τιμή της παραπάνω εξίσωσης Εξετάζοντας κάθε όρο στο δεξιό σκέλος χωριστά έχουμε: g g, ' ' ( ' (, P P' P P' P ( P' P ( Ο όρος της συναγωγής μπορεί να αναλυθεί ως: ' ' ' ' ' ( ' ( Για κάθε όρο στο δεξιό σκέλος χωριστά:, ' ', ' ', ' ' ' ( ' ' ' ' ' Ο τελευταίος όρος δεν είναι μηδέν επειδή είναι γινόμενο των διαταραχών Τέλος για τη χρονική παράγωγο μπορούμε επίσης να δείξουμε ότι: t t ' ( t ' (

109 Συνολικά δηλαδή, μόνο ο όρος της συναγωγής είναι διαφορετικός δίνοντας το γινόμενο των διαταραχών Με βάση όλα τα παραπάνω, οι χρονικά μέσες εξισώσεις Navie-Stokes είναι: ( P t ' ' g (78 Ο μόνος επιπλέον όρος είναι η διαφορική κλίση του τανυστή, ο οποίος συμβολίζεται με το τ (t και ονομάζεται τανυστής της τυρβώδους μεταφοράς ορμής, αντίστοιχα με τον μοριακό όρο Επίσης αντίστοιχα, το -τ (t αντιπροσωπεύει τάσεις που ασκούνται στο ρευστό λόγω του τυρβώδους και ονομάζεται τανυστής των τάσεων Renolds (Renolds stess tenso Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω όρο η εξίσωση (78 μπορεί επίσης να γραφεί: ( P τ g t ' ', (79 όπου τ είναι το άθροισμα της μοριακής και της τυρβώδους μεταφοράς ορμής: τ τ ( m Στρωτή ροή Τυρβώδης ροή τ ( t (7 Την αντιστοιχία μπορούμε να δούμε από το διπλανό σχήμα Αν έχουμε στρωτή ροή απλής διάτμησης, η μακροσκοπική κίνηση του ρευστού είναι σε μια κατεύθυνση, αλλά σε μοριακό επίπεδο έχουμε τις τυχαίες κινήσεις που κατά μέσο όρο μεταφέρουν ορμή από τις περιοχές με μεγαλύτερη ταχύτητα προς αυτές με τη μικρότερη Αντίστοιχα, στην τυρβώδη ροή όταν έχουμε απλή διάτμηση για τη χρονικά μέση ταχύτητα, μακροσκοπικά τμήματα του ρευστού με τη χαοτική τους κίνηση δίνουν ένα επιπλέον μηχανισμό μεταφοράς ορμής που είναι πάλι στην ίδια κατεύθυνση 7 Οι εξισώσεις Renolds για την ενέργεια και την ορμή Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία όπως παραπάνω, μπορούμε να δείξουμε ότι η εξίσωση για την ενέργεια είναι: T cp( T k T cp ' T' q G (7 t

110 Ο όρος δηλαδή: c P ' T' είναι η ροή ενέργειας μέσω των διαταραχών ή η τυρβώδης μεταφορά, (q/ (t = c P ' T' Αντίστοιχα, για τη μεταφορά μάζας συστατικών έχουμε: c t ( c D c ' c' R και η τυρβώδης μεταφορά μάζας είναι:, (7 (J/ (t = ' c ' 74 Η υπόθεση Bossinesq Βλέπουμε ότι και οι τρεις εξισώσεις Renolds για τη χρονικά μέση ταχύτητα, την θερμοκρασία και τη συγκέντρωση είναι της ίδιας μορφής με αυτές για τις στιγμιαίες μεταβλητές, με μόνη διαφορά ότι περιέχουν τον επιπλέον όρο της τυρβώδους μεταφοράς Όπως για την μοριακή μεταφορά χρειάστηκε να εισάγουμε τις υποθέσεις που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο, έτσι και με την τυρβώδη μεταφορά χρειάζεται να κάνουμε κάτι παρόμοιο για να έχουμε ένα πλήρες σύστημα εξισώσεων για την περιγραφή της Το πρόβλημα αυτό που είναι ακόμη πιο περίπλοκο από ότι στη μοριακή μεταφορά αποδίδεται στα αγγλικά με το όρο close poblem Η πιο απλή υπόθεση, η οποία είναι αντίστοιχη με τη μοριακή μεταφορά, είναι αυτή του Bossinesq, ο οποίος πρότεινε για την ορμή: ( t ( t d d ( t d d, (7 εισάγοντας έτσι την έννοια του τυρβώδους ιξώδους μ (t Αντίστοιχα, το ν (t ονομάζεται τυρβώδης διαχυτότητα ή δινοδιαχυτότητα ορμής Παρόμοια, για την τυρβώδη μεταφορά ενέργειας και μάζας υποθέτουμε: και ( q / ( J / ( t ( t c D ( P t a ( t dc d dt d, (74 (75 Οι όροι a (t και D (t ονομάζονται τυρβώδεις διαχυτότητες ενέργειας και μάζας αντίστοιχα (t και συχνά τους συναντούμε με τα σύμβολα ε H και ε (t Μ Σε πολλές περιπτώσεις τυρβώδους μεταφοράς γίνεται συνήθως η υπόθεση: ν (t = a (t = D (t, (76 που ονομάζεται αναλογία Renolds

111 Θα πρέπει να σημειώσουμε εδώ ότι σε πολλές περιπτώσεις τυρβώδους μεταφοράς η υπόθεση Bossinesq δεν είναι σωστή και το ίδιο ισχύει για την αναλογία Renolds Παρ όλα αυτά είναι διαδεδομένη η χρήση των δινοδιαχυτοτήτων στη μελέτη τυρβώδους μεταφοράς Υπάρχουν διάφορα μοντέλα για τη δινοδιαχυτότητα ορμής και θα συζητήσουμε παρακάτω αυτό που προτάθηκε από τον Pandtl Πέραν αυτού όμως μπορούμε να αναφέρουμε ότι είναι δυνατό να βρεθούν εξισώσεις για τις τάσεις Renolds με παρόμοιο τρόπο, όπως είδαμε για τις χρονικά μέσες ιδιότητες Με αυτή τη διαδικασία εμφανίζονται καινούριοι πιο περίπλοκοι όροι, όπως στις εξισώσεις Renolds εμφανίστηκαν οι όροι της τυρβώδους μεταφοράς Για τους καινούριους όρους χρειάζεται ξανά να γίνουν υποθέσεις (close poblem Η πιο διαδεδομένη τέτοια προσέγγιση αρχίζει με τη διατύπωση εξισώσεων για τον όρο k = '', που είναι η κινητική ' : ' ενέργεια των διαταραχών (ανά μονάδα μάζας, και τον όρο, που εκφράζει τη μετατροπή της κινητικής ενέργειας των διαταραχών σε θερμότητα από τη δράση του μοριακού ιξώδους Με βάση τα παραπάνω μεγέθη αναπτύσσεται το πιο διαδεδομένο μοντέλο για την προσομοίωση τυρβώδους ροής που ονομάζεται μοντέλο k- ε 7 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ 7 Πειραματικές παρατηρήσεις Όπως είδαμε στο κεφάλαιο 5, για την πλήρως διαμορφωμένη στρωτή ροή σε αγωγό έχουμε μια παραβολική κατανομή της ταχύτητας και η μέγιστη ταχύτητα είναι διπλάσια από τη μέση Σε αντιδιαστολή, όπως βλέπουμε στο Σχ 74, η κατανομή της μέσης ταχύτητας στην τυρβώδη ροή είναι πιο πεπλατυσμένη κοντά στο κέντρο του αγωγού και έχει πολύ πιο απότομη κλίση κοντά στα τοιχώματα Σχήμα 74 Κατανομή της ταχύτητας σε αγωγό στη στρωτή και την τυρβώδη ροή 4

112 Αν χρησιμοποιηθεί μια συντεταγμένη που αρχίζει από τα τοιχώματα του αγωγού και είναι μονάδα στο κέντρο, δηλαδή = - /R, τότε οι μετρήσεις της χρονικά μέσης ταχύτητας δείχνουν πολύ καλή συμφωνία με την έκφραση: ma / n, (77 όπου το n στον εκθέτη είναι κοντά στο 7 αλλά αλλάζει με τον αριθμό Renolds, όπως φαίνεται στο Σχ 75 Μια τέτοια έκφραση μπορεί να αξιοποιηθεί για τον υπολογισμό της παροχής ή για άλλου είδους προσεγγιστικές αναλύσεις Σχήμα 75 Κατανομές ταχύτητας κατά την τυρβώδη ροή σε αγωγό για διάφορους αριθμούς Renolds και προσέγγιση με την σχέση (77 7 Ανάλυση της ροής με βάση τις εξισώσεις Renolds Θα εξετάσουμε με βάση τις εξισώσεις Renolds την ίδια ροή, δηλαδή την κατά μέσο όρο σταθερή και πλήρως διαμορφωμένη τυρβώδη ροή σε αγωγό Σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων όπου είναι η κατεύθυνση της ροής θα έχουμε επειδή η ροή είναι πλήρως διαμορφωμένη Επιπλέον, μπορούμε να υποθέσουμε κυλινδρική συμμετρία για τις χρονικά μέσες τιμές, δηλαδή Έτσι, η χρονικά μέση ταχύτητα εξαρτάται μόνο από το Το ίδιο ισχύει και για τις τάσεις Renolds πό τη χρονικά μέση εξίσωση συνεχείας: και επειδή για όλα τα, στα τοιχώματα, έχουμε: / /, (78 Με βάση τις υποθέσεις της μόνιμης κατάστασης και της πλήρως διαμορφωμένης ροής, η εξίσωση Renolds για την -ορμή παίρνει τη μορφή: 5

113 P ( [ ] Δηλαδή, όλοι οι όροι της συναγωγής είναι μηδέν, ακριβώς όπως και στη στρωτή ροή, καθώς και όλοι οι όροι του ιξώδους Μένουν μόνο όροι των τάσεων Renolds οι οποίοι είναι συναρτήσεις του Έτσι: P ( [ ] ( P [ ]d P w( R, (79 όπου είναι η πίεση κατά μήκος του τοιχώματος, η οποία μπορεί να θεωρηθεί αντίστοιχη της δυναμικής πίεσης που γνωρίσαμε στη στρωτή ροή P w ( Θεωρούμε τώρα την εξίσωση της -ορμής Ξανά, οι όροι της συναγωγής μηδενίζονται Από τους όρους στο δεξιό σκέλος έχουμε: P ( [ ] dp w ( [ ] d (7 Όπως και στη στρωτή ροή, το αριστερό σκέλος είναι συνάρτηση του και το δεξιό του Επομένως: dpw c, d d( [ ] c d Η πρώτη σχέση ολοκληρώνεται κατά τα γνωστά και δίνει: P w c (7 c, (7 και από τις πιέσεις στα άκρα του αγωγού έχουμε με τον ίδιο τρόπο: c = P και c =- ΔP/L Οπότε, από τις ( και (5 η κατανομή της πίεσης είναι: P ( P P [ ]d L R (7 Δηλαδή έχουμε πάλι γραμμική εξάρτηση από το και μια επιπλέον συνεισφορά στην - κατεύθυνση λόγω των τάσεων Renolds, καμμιά από τις οποίες δεν είναι μηδέν Ολοκληρώνοντας την (7 για τη συνολική διατμητική τάση, η οποία περιλαμβάνει τη μοριακή και την τυρβώδη συνεισφορά, έχουμε: 6

114 d d c c / c c / c και επειδή η τάση πρέπει να είναι πεπερασμένη στο = έχουμε c = Άρα: P L (74 Έχουμε δηλαδή, όπως και στη στρωτή ροή, μια γραμμική εξάρτηση της συνολικής διατμητικής τάσης από το Η τάση τ που ασκεί το ρευστό στο τοίχωμα είναι: P L R (75 Επομένως, η (75 μπορεί να γραφεί και στη μορφή: ( m ( t R /, (76 Όπως φαίνεται στο Σχ 76, πειραματικές μετρήσεις δείχνουν ότι η συνεισφορά της μοριακής διάχυσης ορμής περιορίζεται πολύ κοντά στο τοίχωμα Εκεί, λόγω της συνθήκης της μη-ολίσθησης η ταχύτητα τείνει σε μια σταθερή τιμή, τη μηδενική, και επομένως οι διακυμάνσεις τείνουν και αυτές στο μηδέν Στην υπόλοιπη διατομή υπερισχύει η τάση Renolds Σχήμα 76 Κατανομή της συνολικής διατμητικής τάσης και της τυρβώδους τάσης 7

115 Έτσι, το πεδίο ροής μπορεί να χωριστεί σε τρεις περιοχές, όπως φαίνεται στο Σχ 77 Κοντά στο τοίχωμα έχουμε το ιξώδες υπόστρωμα (viscos sblae, όπου η δράση του μοριακού ιξώδους υπερισχύει Σε μια μεγάλη περιοχή, που ονομάζεται τυρβώδης πυρήνας (tblent coe και περιλαμβάνει το κέντρο του αγωγού, υπερισχύει η τυρβώδης μεταφορά ορμής Τέλος, μεταξύ των δύο αυτών περιοχών υπάρχει η μεταβατική ζώνη (bffe lae Ιξώδες υπόστρωμα Μεταβατική ζώνη Τυρβώδης Πυρήνας = R Σχήμα 77 Διαχωρισμός του πεδίου ροής σε τρεις περιοχές ανάλογα με τη συνεισφορά της μοριακής και της τυρβώδους μεταφοράς ορμής 7 Η θεωρία του μήκους ανάμιξης του Pandtl Για να περιγραφεί με περισσότερη λεπτομέρεια η κατανομή της ταχύτητας χρειάζεται να υπάρχει ποσοτική + πληροφορία για την τυρβώδη μεταφορά ορμής Η πιο γνωστή προσέγγιση είναι η θεωρία του μήκους ανάμιξης l του Pandtl, ο οποίος θεώρησε μια τυρβώδη ροή απλής διάτμησης Για τις στιγμιαίες ταχύτητες υπέθεσε ότι l - σωματίδια ρευστού, λόγω της τυχαίας κίνησης, διέρχονται από μια επιφάνεια, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Κατά μέσο όρο τα σωματίδια αυτά διανύουν μια διαδρομή που ονόμασε l Κατά μέσο όρο επίσης, τα σωματίδια που προέρχονται από το + έχουν μεγαλύτερη -ορμή από αυτή στο και, αντίστοιχα, αυτά που προέρχονται από το - έχουν μικρότερη ορμή Με την υπόθεση ότι η μέση ταχύτητα d είναι γραμμική, η διαφορά αυτή είναι l και αντιπροσωπεύει ένα τυπικό μέγεθος d των διακυμάνσεων στην -ταχύτητα στη θέση Τα σωματίδια που προέρχονται από το 8

116 + έχουν αρνητική -ταχύτητα και αυτά που προέρχονται από το - έχουν θετική - ταχύτητα Ο Pandtl υπέθεσε ότι και αυτές οι -ταχύτητες είναι του ίδιου μεγέθους, δηλαδή d l d Με βάση τα παραπάνω η τυρβώδης μεταφορά ορμής είναι: + l - l ' ' l ( d d (77 Αν η μέση ταχύτητα έχει αρνητική κλίση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε ότι η τυρβώδης μεταφορά ορμής είναι προς τα πάνω, δηλαδή: ' ' l ( d d (78 Έτσι, γενικεύοντας, οι (77-78 μπορούν να γραφούν: ' d d ' l ( (79 d d Μπορεί τώρα να βρεθεί μια έκφραση για την τυρβώδη διαχυτότητα: ' ' l d d ( d d ( t ( d d, από όπου: l ( t d d (7 Δηλαδή, σύμφωνα με την υπόθεση του Pandtl η τυρβώδης διαχυτότητα είναι ανάλογη της κλίσης της μέσης ταχύτητας Όπως γνωρίζουμε η διαχυτότητα έχει διαστάσεις μήκους στο τετράγωνο ανά χρόνο Μπορεί λοιπόν η παραπάνω σχέση να ειδωθεί σαν το τετράγωνο ενός χαρακτηριστικού μήκους, που είναι το l, πολλαπλασιασμένο επί ένα χαρακτηριστικό αντίστροφο χρόνο, που είναι η κλίση της ταχύτητας Τέλος, θεωρώντας τυρβώδεις ροές κοντά σε τοιχώματα, ο Pandtl υπέθεσε ότι η απόσταση l που μπορούν να διανύουν τα τυχαία κινούμενα μακροσκοπικά σωματίδια του ρευστού κάθετα στις γραμμές της μέσης ροής είναι ανάλογη της απόστασης από το τοίχωμα, δηλαδή: l = κ, (7 όπου κ είναι μια σταθερά που ονομάζεται σταθερά του Pandtl 9

117 Με βάση όλα τα παραπάνω, η τυρβώδης διαχυτότητα ορμής γίνεται: t ( d d (7 74 Η κατανομή της ταχύτητας με βάση την υπόθεση του Pandtl Ξεκινώντας από την εξίσωση (76 για την κατανομή της διατμητικής τάσης σε αγωγό, έχουμε: t ( ( R d d, (7 όπου τ είναι η διατμητική τάση στο τοίχωμα Χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή = R, που είναι η απόσταση από το τοίχωμα και την έκφραση (7 από τη θεωρία του Pandtl για την τυρβώδη διαχυτότητα, η παραπάνω σχέση γίνεται: ( ( R d d ( / R ( d d d d d d (74 Η παραπάνω σχέση μπορεί να ολοκληρωθεί αριθμητικά με ακρίβεια για να δώσει την κατανομή της ταχύτητας Μπορούμε όμως προσεγγιστικά να δούμε τα σημαντικά χαρακτηριστικά της κατανομής Στο ιξώδες υπόστρωμα Πολύ κοντά στο τοίχωμα, δηλαδή για /R <<, η τυρβώδης διαχυτότητα τείνει στο μηδέν και η τυρβώδης συνεισφορά στη μεταφορά ορμής μπορεί να αγνοηθεί Η (74 απλοποιείται στη μορφή: d ( ( d (75 Δηλαδή στο ιξώδες υπόστρωμα η κατανομή της ταχύτητας είναι γραμμική Στην αρχή του τυρβώδους πυρήνα Στον τυρβώδη πυρήνα ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή η συνεισφορά της μοριακής μεταφοράς ορμής είναι ασήμαντη σε σχέση με την τυρβώδη μεταφορά και μπορεί να αγνοηθεί Επιπλέον, ο τυρβώδης πυρήνας ξεκινά σε μικρή απόσταση σε σχέση με την ακτίνα του αγωγού Έτσι, η (74 μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή:

118 από όπου d d (, d d d ( d d ( d Η παραπάνω σχέση μπορεί να ολοκληρωθεί εύκολα: ln B', (76 όπου Β είναι μια σταθερά ολοκλήρωσης Βλέπουμε δηλαδή ότι στην αρχή του τυρβώδους πυρήνα η ταχύτητα έχει λογαριθμική κατανομή Ο όρος / έχει διαστάσεις ταχύτητας, ονομάζεται ταχύτητα τριβής και συμβολίζεται με το * Αν υπάρχουν μετρήσεις πτώσης πίεσης στον αγωγό μπορεί να προσδιοριστεί η διατμητική τάση τ από τη σχέση (75 καθώς και η ταχύτητα τριβής Με βάση το * η γραμμική κατανομή στο ιξώδες υπόστρωμα μπορεί να γραφεί σε αδιάστατη μορφή: ( * * * ( * / * Το ν/ * έχει διαστάσεις μήκους και το συμβολίζουμε σαν l* Έτσι, η κατανομή ταχύτητας στο ιξώδες υπόστρωμα γράφεται: όπου / *, (77 και / l* Χρησιμοποιώντας τα ίδια χαρακτηριστικά μεγέθη για την ταχύτητα και το μήκος, η κατανομή στη αρχή του τυρβώδους πυρήνα μπορεί επίσης να γραφεί στην αδιάστατη μορφή: ln B (78 Πειραματικές μετρήσεις για την κατανομή ταχύτητας σε αγωγούς δείχνουν πολύ καλή συμφωνία με την παραπάνω έκφραση όταν κ = 4 και Β = 55 Επιπλέον τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η έκφραση αυτή ισχύει όχι μόνο στην αρχή του τυρβώδους πυρήνα αλλά για όλα τα εκτός από μια στενή περιοχή κοντά στο κέντρο του αγωγού Η γενικευμένη κατανομή της ταχύτητας Παρόμοια συμπεριφορά, δηλαδή γραμμική στο ιξώδες υπόστρωμα και λογαριθμική στον τυρβώδη πυρήνα, έχει η κατανομή της ταχύτητας και σε άλλες περιπτώσεις ροής κοντά

119 σε τοιχώματα, όπως είναι η ροή σε κανάλια ορθογωνικής διατομής, τα τυρβώδη οριακά στρώματα, κα Έτσι, οι παραπάνω σχέσεις (77-78 αποτελούν μέρος αυτού που ονομάζεται γενικευμένη κατανομή ταχύτητας (nivesal velocit pofile για τυρβώδεις ροές κοντά σε τοιχώματα Οι πιο συνήθεις εκφράσεις για τη γενικευμένη κατανομή δίνονται παρακάτω μαζί με τα όρια των τριών περιοχών της ροής: για 5 (ιξώδες υπόστρωμα 5 ln 5 για 5 (μεταβατική ζώνη 5ln 5 5 για (τυρβώδης πυρήνας (79 Οι καμπύλες από τις εξισώσεις της γενικευμένης κατανομής μαζί με πειραματικά αποτελέσματα φαίνονται στο Σχ 77 Σχήμα 77 Γενικευμένη κατανομή ταχύτητας για τυρβώδη ροή παράλληλη σε τοίχωμα και σύγκριση με πειραματικά δεδομένα Όπως αναφέραμε και πριν, αν έχουμε μετρήσεις της πτώσης πίεσης μπορούμε να βρούμε τη διατμητική τάση στο τοίχωμα, την ταχύτητα τριβής και το αντίστοιχο χαρακτηριστικό μήκος Με βάση αυτά μπορεί να βρεθεί η κατανομή ταχύτητας και η παροχή Αντίστροφα από μετρήσεις της παροχής μπορεί να βρεθεί η διατμητική τάση και η πτώση πίεσης, όπως θα δούμε στα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ Κλείνοντας, θα αναφέρουμε ότι η θεωρία του μήκους ανάμιξης του Pandtl ουσιαστικά έδωσε ένα χαρακτηριστικό μήκος και ένα χαρακτηριστικό χρόνο, με βάση τα οποία προσδιορίστηκε η δινοδιαχυτότητα ορμής Στο πιο διαδεδομένο μοντέλο για την

120 προσομοίωση της τυρβώδους ροής, που είναι το μοντέλο k-ε, σαν χαρακτηριστικό μήκος επιλέγεται το k / και σαν χαρακτηριστικός χρόνος το ε/k Έτσι η τυρβώδης διαχυτότητα είναι: ν (t = ck /ε, όπου c είναι μια σταθερά του μοντέλου Επιλύοντας για την κατανομή του k και του ε ταυτόχρονα με την κατανομή ταχύτητας βρίσκεται η τυρβώδης διαχυτότητα για κάθε θέση του χώρου και για κάθε χρονική στιγμή

121 Κεφάλαιο 8 Συντελεστές οπισθέλκουσας και τριβής 8 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Από την εμπειρία και τη διαίσθηση γνωρίζουμε ότι ένα σώμα βυθισμένο σε ρευστό και εκτεθειμένο στη ροή του δέχεται δυνάμεις Οι δυνάμεις αυτές κατά μείζονα λόγο, αλλά όχι αποκλειστικά, είναι παράλληλες με τη κύρια κατεύθυνση της ροής και αντιτίθενται στη σχετική κίνηση Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η κίνηση ενός ποδηλάτη που υφίσταται την αντίσταση του αέρα και κατ αντιστοιχία η κίνηση οχημάτων και αεροπλάνων, ιστιοφόρων, αλεξιπτώτων, κα Παρόμοια φαινόμενα συμβαίνουν κατά την κίνηση ρευστών γύρω από στατικά σώματα, πχ του αέρα γύρω από κτίρια ή άλλες κατασκευές Αξίζει να αναφέρουμε ότι υπάρχουν ερευνητικές περιοχές της μηχανικής των ρευστών με τους χαρακτηριστικούς τίτλους όπως ace ca aeodnamics που ασχολούνται με την αεροδυναμική αυτοκινήτων αγώνων ή όπως spots aeodnamics που μεταξύ άλλων ασχολούνται με τη συμπεριφορά της μπάλας σε διάφορα αθλήματα κατά την κίνηση της διαμέσου του αέρα με απώτερο στόχο τη βελτιστοποίηση των συνθηκών κίνησης σε σχέση με το επιθυμητό αποτέλεσμα Πιο κοντά στην ενασχόληση του χημικού μηχανικού είναι πολλές και σημαντικές διεργασίες με ρευστά που περιέχουν σωματίδια, όπως πχ η ρευστοαιώρηση, η καθίζηση, οι καταλυτικές διεργασίες και οι διαχωρισμοί σε σταθερές κλίνες (πχ επεξεργασία νερού, χρωματογραφία Σε κάποιες περιπτώσεις είναι επιθυμητό να ελαχιστοποιούνται οι δυνάμεις αυτές ενώ σε άλλες να μεγιστοποιούνται (πχ η αντίσταση του αέρα στην κίνηση του ποδηλάτου και σε αντιδιαστολή η αντίσταση του αέρα κατά την πτώση ενός αλεξιπτώτου Σε κάποιες περιπτώσεις είναι επιθυμητό να υπάρχει ταυτόχρονα ελαχιστοποίηση των δυνάμεων στην κατεύθυνση της κίνησης και μεγιστοποίηση σε μια κάθετη κατεύθυνση Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν τα αεροπλάνα όπου επιδιώκεται ταυτόχρονα ελαχιστοποίηση της αντίστασης του αέρα και μεγιστοποίηση της δύναμης που είναι κάθετη στην κίνηση και αντίθετη με τη βαρύτητα Ο πρώτος στόχος συνδέεται με την ελαχιστοποίηση της κατανάλωσης καυσίμου, ενώ ο δεύτερος συνδέεται με την βελτιστοποίηση της πτητικής ικανότητας και τη δυνατότητα μεταφοράς ωφέλιμου φορτίου Παρόμοια ζητήματα υπάρχουν κατά την κίνηση των ιστιοφόρων αντίθετα στον άνεμο Δεν είναι δύσκολο να αντιληφθούμε ότι η ακριβής επίλυση των εξισώσεων της ροής για τον προσδιορισμό των δυνάμεων είναι ζήτημα κάθε άλλο παρά τετριμμένο σε μια πληθώρα προβλημάτων που αφορούν βυθισμένα σώματα Αρκεί να λάβουμε υπόψη την πολυπλοκότητα στις γεωμετρίες, το μη-γραμμικό χαρακτήρα των εξισώσεων, την αστάθεια και το τυρβώδες που σε πολλές περιπτώσεις συνοδεύουν τις ροές αυτές Λόγω της τεχνικής τους σπουδαιότητας όμως επιδιώκουμε να έχουμε απλουστευμένες, προσεγγιστικές μεθόδους οι οποίες έχουν όσο το δυνατό γενικευμένο χαρακτήρα για σώματα με ομοειδή γεωμετρικά χαρακτηριστικά, πχ σφαίρες, κυλίνδρους, ελλειψοειδή, διδιάστατα τυπικά σχήματα (κύκλοι, τετράγωνα, παραλληλόγραμμα, κλπ 4

122 Για οποιαδήποτε κατηγορία τέτοιων σωμάτων μπορούμε προσεγγιστικά να υποθέσουμε ότι η δύναμη που δέχονται, όντας εκτεθειμένα σε μια ροή, είναι ανάλογη μιας χαρακτηριστικής διαφοράς πίεσης και μιας χαρακτηριστικής επιφάνειας, δηλ F ~ P (8 Ως χαρακτηριστική επιφάνεια συνήθως χρησιμοποιούμε την λεγόμενη μετωπική επιφάνεια, δηλαδή την προβολή του τρισδιάστατου σώματος σε ένα επίπεδο κάθετο στην κίνηση Εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι αυτή η επιλογή είναι εύλογη αν θυμηθούμε ότι ο ποδηλάτης σε μεγάλες ταχύτητες προσπαθεί να μειώσει την αντίσταση του αέρα σκύβοντας έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει την μετωπική του επιφάνεια Ως χαρακτηριστική πίεση χρησιμοποιούμε τον όρο P U, (8 όπου U είναι η ταχύτητα του ρευστού σε σχέση με το βυθισμένο σώμα Τον όρο στο δεξιό σκέλος τον έχουμε ήδη συναντήσει σαν κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού Μπορούμε να αντιληφθούμε ότι αντιπροσωπεύει επίσης πίεση με διάφορους τρόπους Ένας τρόπος είναι μέσα από τη διαστατική ανάλυση των εξισώσεων της ροής όπως συζητήθηκε στο κεφ 5 Αν U είναι μια χαρακτηριστική ταχύτητα σε μια ροή γύρω από βυθισμένο σώμα και L μια χαρακτηριστική διάσταση (πχ η διάμετρος μιας σφαίρας η τάξη μεγέθους των όρων της αδράνειας του ρευστού είναι Ο(ρU /L Αντίστοιχα αν ΔΡ είναι η μια εκτίμηση των μεταβολών της πίεσης στη ροή η τάξη μεγέθους των όρων της πίεσης είναι Ο(ΔΡ/L Στην πλειοψηφία των ροών όπου ο αριθμός Renolds δεν είναι πολύ μικρός υπάρχει μια ισορροπία της αδράνειας και των δυνάμεων της πίεσης, τουλάχιστον στη μεγαλύτερη έκταση της γεωμετρίας μιας ροής Επομένως, εξισώνοντας τις εκτιμήσεις των δύο όρων βρίσκουμε πάλι ότι οι χαρακτηριστικές μεταβολές της πίεσης είναι στη τάξη μεγέθους που δίνει η εξ (8 Ένας δεύτερος τρόπος για να αντιληφθούμε τη σημασία του όρου /ρu είναι με τη βοήθεια πειραματικών μετρήσεων Στο Σχήμα 8 παρουσιάζεται η κατανομή της πίεσης στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου εκτεθειμένου στη ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού Η πίεση στη θέση Α, στη μετωπική πλευρά του κυλίνδρου όπου προσπίπτει το ρευστό, είναι αυξημένη κατά /ρu σε σχέση με την ομοιόμορφη τιμή P πολύ μακριά από τον κύλινδρο Κοντά στη θέση Β, όπου το ρευστό παρουσιάζει τη μέγιστη ταχύτητα επειδή αναγκάζεται να παρακάμψει τον κύλινδρο, η πίεση παρουσιάζει τη ελάχιστη τιμή της που είναι μειωμένη κατά /ρu σε σχέση με την P Στην θέση Γ πίσω από τον κύλινδρο το ρευστό στροβιλίζεται και γενικά επικρατούν μικρές ταχύτητες Εκεί εμφανίζεται μια σχετική ανάκτηση της πίεσης, αλλά διατηρούνται διαφορές σε σχέση με την εμπρόσθια πλευρά που εξαρτώνται από τον αριθμό Renolds αλλά κυμαίνονται στα επίπεδα πάλι του /ρu Μόνο για τα ιδανικά ρευστά υπάρχει θεωρητικά πλήρης ανάκτηση της πίεσης Για το λόγο αυτό και επειδή στα ιδανικά ρευστά δεν υπάρχουν τάσεις λόγω του ιξώδους (θεωρείται μηδενικό η θεωρία των ρευστών αυτών προβλέπει μηδενική οπισθέλκουσα Αυτό είναι το λεγόμενο παράδοξο του D lembet 5

123 Β Α Γ Σχήμα 8 Κατανομή της πίεσης πάνω στην επιφάνεια κυλίνδρου εκτεθειμένου σε ομοιόμορφη ροή Όλα τα παραπάνω δικαιολογούν τη χρήση του όρου ρu / στη σχέση (8 Για να γίνει τώρα η προσεγγιστική αυτή αναλογία μια ακριβής ισότητα εισάγεται ένας συντελεστής, c D Έτσι γράφουμε: F D cd U, (8 όπου ο δείκτης D προέρχεται από τη λέξη dag την οποία μεταφράζουμε σαν οπισθέλκουσα και ο συντελεστής c D ονομάζεται συντελεστής οπισθέλκουσας Ο συντελεστής αυτός ουσιαστικά εμπεριέχει και συμπυκνώνει όλη τη μικροσκοπική πληροφορία της ροής και πιο συγκεκριμμένα τις στοιχειώδεις τάσεις και πιέσεις πάνω στην επιφάνεια του βυθισμένου σώματος Αν η πληροφορία αυτή υπάρχει, είτε αναλυτικά είτε υπολογιστικά, είναι εύκολο να προσδιορισθεί ο συντελεστής, όπως κάναμε στο κεφάλαιο 5 για την έρπουσα ροή γύρω από σφαίρα Συνήθως όμως κάτι τέτοιο είναι δύσκολο ή ανέφικτο, οπότε καταφεύγουμε στο πείραμα Αντίστοιχα, η δύναμη που πιθανώς δέχεται ένα βυθισμένο σώμα κάθετα στην κατεύθυνση της κίνησης δίνεται από μια παρόμοια σχέση: F L cl U (84 Η δύναμη και ο αντίστοιχος συντελεστής ονομάζονται δύναμη και συντελεστής άνωσης (lift λόγω της προφανούς σχέσης και της μεγάλης σημασίας τους στη πτήση των αεροπλάνων Παρόλα αυτά οι έννοιες είναι ευρύτερες και αφορούν οποιαδήποτε περίπτωση δυνάμεων κάθετων στην κατεύθυνση της κίνησης Ας σημειώσουμε ότι στην περίπτωση της άνωσης η χαρακτηριστική επιφάνεια Α μπορεί να ορίζεται διαφορετικά (πχ η επιφάνεια των πτερυγίων για τα αεροπλάνα 6

124 Τέλος, με εντελώς αντίστοιχο τρόπο χειριζόμαστε τα φαινόμενα ροής ρευστών σε σωληνώσεις και αγωγούς για να προβλέψουμε την πτώση πίεσης και τις απαιτήσεις σε άντληση Η δύναμη τριβής που δέχεται το ρευστό από το τοιχώματα ενός αγωγού δίνεται από τη σχέση F f U, (85 όπου f είναι ο συντελεστής τριβής και Α η διαβρεχόμενη επιφάνεια του αγωγού 8 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ Σφαίρες Το πιο απλό ίσως σχήμα βυθισμένου σώματος είναι αυτό της σφαίρας που όπως αναφέρθηκε παραπάνω σχετίζεται με πολλές διεργασίες σωματιδίων Ήδη έχουμε συζητήσει στο Κεφ 5 το πρόβλημα της έρπουσας ροής γύρω από σφαίρα και υπολογίσαμε την οπισθέλκουσα από τη σχέση (567: F D 6U a U D (567 Εξισώνοντας με την έκφραση (8, όπου η μετωπική επιφάνεια της σφαίρας είναι πd /4, βρίσκουμε για το συντελεστή οπισθέλκουσας c 4 4 D UD Re, (86 η οποία ισχύει υπό την προϋπόθεση της έρπουσας ροής, δηλαδή, για Re << Η ανάλυση που οδήγησε στη εξ (86 μπορεί να επεκταθεί για χαμηλούς αριθμούς Renolds με βάση την τεχνική της ανάλυσης διαταραχών (petbation analsis Το πιο γνωστό αποτέλεσμα είναι αυτό του Oseen (βλ Van Dke, Petbation Methods in Flid Mechanics 4 c D ( Re (87 Re 6 Υπάρχουν αρκετά περισσότερα θεωρητικά αποτελέσματα με ισχύ σε μια διευρυμένη περιοχή αριθμών Renolds, αλλά όχι πολύ παραπάνω από τη μονάδα (βλ Clift, Gace and Webe, Bbbles, Dops and Paticles Όσο αυξάνεται ο αριθμός Renolds η συμπεριφορά της ροής γίνεται όλο και πιο σύνθετη Όταν ο αριθμος Re γίνει περίπου εμφανίζονται κλειστές δίνες ανακυκλοφορίας πίσω από τη σφαίρα, ενώ κοντά στο μεταίχμιο Re = εμφανίζεται αστάθεια και αποκόλληση των δινών Κάποιες χαρακτηριστικές εικόνες από την συμπεριοφορά της ροής και τις δίνες αυτές παρουσιάζονται στο Σχήμα 8 7

125 α β γ δ Σχήμα 8 Το πεδίο ροής πίσω από μια σφαίρα εκτεθειμένη σε ομοιόμορφο ρεύμα για αριθμούς Renolds (α 77, (β 76, (γ 8 και (δ 55, αντίστοιχα Η έκταση των δινών αυξάνεται με τον αριθμό Renolds, ενώ στην τιμή 55 η αστάθεια της ροής είναι πλέον πολύ έντονη Πέρα από τα αναλυτικά και υπολογιστικά αποτελέσματα, η περισσότερη πληροφορία όσο αφορά την οπισθέλκουσα λαμβάνεται από πειράματα Η συμπεριφορά του συντελεστή σαν συνάρτηση του αριθμού Renolds φαίνεται στο Σχήμα 8 Παρατηρείται ότι σε μια ευρεία περιοχή αριθμών Renolds (5<Re< 5 ο συντελεστής είναι περίπου σταθερός και κοντά στην τιμή 44 με ένα σφάλμα μικρότερο του % Πέρα από αυτή την τιμή εμφανίζονται δραστικές αλλαγές στη δομή του οριακού στρώματος στην επιφάνεια της σφαίρας και στον ολκό που έχουν σαν αποτέλεσμα την απότομη πτώση του συντελεστή οπισθέλκουσας που φτάνει την τιμή 7 σε Re = 4 5 (βλ Clift, et al Το φαινόμενο αυτό αποκαλείται dag cisis 8

126 Σχήμα 8 Συντελεστής οπισθέλκουσας κατά τη ροή γύρω από σφαίρα, σαν συνάρτηση του αριθμού Renolds Με βάση τις πειραματικές μετρήσεις υπάρχουν αρκετοί εμπειρικοί συσχετισμοί που έχουν προταθεί για τον υπολογισμό της οπισθέλκουσας για σφαίρες Ενδεικτικά αναφέρονται κάποιοι από αυτούς: 4 4 Re Re c D / 4 με σφάλμα % για Re < 5, και c D, ( ( 5 Re 4( 4 5 Re Re με σφάλμα 6% για Re < 5 Κύλινδροι (89 Η ανάλυση για πολύ μικρούς αριθμούς Renolds με τις μεθόδους της θεωρίας των διαταραχών δίνει το εξής αποτέλεσμα για τον συντελεστή οπισθέλκουσας (Van Dke, Petbation Methods in Flid Mechanics c D [log( ] Re Re (8 Η συμπεριφορά της ροής με την αύξηση του αριθμού Renolds έχει μελετηθεί εκτεταμένα πειραματικά καθώς και σε κάποιο βαθμό υπολογιστικά και είναι ποιοτικά παρόμοια με αυτή των σφαιρών Εμφανίζονται δηλαδή κλειστές ζώνες ανακυκλοφορίας πίσω από τον κύλινδρο για Re > 5 Οι δίνες αυτές εκδηλώνουν αστάθεια και αρχίζουν να ταλαντώνονται για Re > και μετά από το μεταίχμιο Re ~ 4 εμφανίζουν περιοδική αποκόλληση και παρασύρονται από τη ροή δίνοντας τη χαρακτηριστική εμφάνιση της 9

127 σειράς δινών Von Kaman (Σχήμα 84 που μπορεί να αναγνωρισθεί μέχρι Re ~ 5 Πέρα από την τιμή αυτή τα χαρακτηριστικά της ροής στον ολκό γίνονται έντονα τυρβώδη α β γ Σχήμα 84 Εμφάνιση και αποκόλληση δινών πίσω από κύλινδρο εκτεθειμένο σε ομοιόμορφη ροή για αριθμούς Renolds (α 6, (β 4 και (γ, αντίστοιχα Η τελευταία φωτογραφία είναι αποτύπωση του φαινομένου στη φύση κατά τη ροή του ανέμου γύρω από ένα μικρό νησί (Jej Island του Ειρηνικού κοντά στη Ν Κορέα με μεγάλο υψόμετρο (9 μ Ο συντελεστής οπισθέλκουσας σαν συνάρτηση του αριθμού Renolds φαίνεται στο Σχήμα 85 Οι παρακάτω συσχετισμοί είναι χρήσιμοι για υπολογισμούς της ελεύθερης κίνησης κυλινδρικών σωματιδίων μέσα σε ρευστά σε σχετικά χαμηλούς αριθμούς Renolds (βλ Clift et al c c c D D D Re ( 47 Re Re ( 7 Re Re ( 88Re 8 ( < Re < 5 (8α (5 < Re < 4 (8β (4 < Re < 4 (8γ

128 Σχήμα 85 Συντελεστής οπισθέλκουσας κατά τη ροή γύρω από κύλινδρο, σαν συνάρτηση του αριθμού Renolds Τυπικά διδιάστατα και τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα Στο παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζονται ενδεικτικά κάποια αποτελέσματα για τον συντελεστή οπισθέλκουσας γεωμετρικών σχημάτων που μπορούν να θεωρηθούν ότι προσεγγίζουν σε κάποιο βαθμό ρεαλιστικές κατασκευές και να δώσουν προσεγγιστικές απαντήσεις σε πραγματικά προβλήματα

129 Σχήμα 86 Συντελεστής οπισθέλκουσας κατά τη ροή γύρω από τυπικά γεωμτρικά σχήματα σαν συνάρτηση του αριθμού Renolds 8 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΤΡΙΒΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Η συζήτηση που ακολουθεί έχει κύριο σκοπό να υπογραμμίσει κάποια σημαντικά σημεία από τα θέματα ροής σε αγωγούς και όχι να καλύψει πλήρως τις θεωρητικές, πειραματικές και τεχνικές πτυχές τους Για το λόγο αυτό και για μια πληρέστερη παρουσίαση του θέματος είναι απαραίτητη η μελέτη των προτεινόμενων συγγραμμάτων του μαθήματος, καθώς και άλλων όπως πχ το κλασικό σύγγραμμα Bonda-Lae theo του H Schlichting Θα θεωρήσουμε ένα ευθύγραμμο οριζόντιο τμήμα αγωγού κυκλικής διατομής μέσα στο οποίο ρέει ασυμπίεστο ρευστό σε σταθεροποιημένη κατάσταση και υπό καθεστώς P τ D P L πλήρους διαμόρφωσης Ας υποθέσουμε ότι το μήκος του αγωγού είναι L και η διάμετρός του L D, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Επιπλέον οι πιέσεις στα δύο άκρα είναι P, P L, αντίστοιχα, και η διατμητική τάση που ασκείται από το τοίχωμα στο ρευστό είναι τ Θυμηθείτε ότι για τη γεωμετρία που συζητάμε η τάση αυτή είναι η -τ Εξετάζοντας το ρευστό που περιέχεται στιγμιαία στον όγκο ελέγχου, μπορούμε να πούμε ότι επειδή έχουμε σταθεροποιημένη κατάσταση δεν υπάρχει επιτάχυνση και μεταβολή της ορμής Επομένως το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται στο ρευστό του όγκου ελέγχου θα είναι μηδέν Οι δυνάμεις που δέχεται ο όγκος αυτός στην κύρια κατεύθυνση της ροής προέρχονται αφενός από τις πιέσεις στα δύο άκρα και αφετέρου από την διάτμηση ή την τριβή με το τοίχωμα Ισχύει λοιπόν

130 P D 4 D 4 S PL S P PL DL, (8 από την οποία βρίσκουμε μια σχέση που συνδέει την πτώση πίεσης στον αγωγό με την διατμητική τάση στο τοίχωμα: P L P L P 4 L D (8 Χρησιμοποιώντας τώρα τον ορισμό των συντελεστών τριβής (εξ 85 μπορούμε να συνδέσουμε τα παραπάνω μεγέθη με τους συντελεστές αυτούς: F DL f F U DL, (84 όπου U είναι η μέση ταχύτητα του ρευστού Από τη παραπάνω σχέση προκύπτει ότι και f F U P 4 f F U L / D (85 (86 Ο συντελεστής f F ονομάζεται συντελεστής τριβής του Fanning Ευρύτερη χρήση όμως στη βιβλιογραφία έχει ένας διαφορετικός συντελεστής, ο οποίος στην παραπάνω σχέση ενσωματώνει τον αριθμητικό παράγοντα 4, οπότε ισχύει: P f D U / D (87 L Ο συντελεστής f D ονομάζεται συντελεστής του Dac και ισχύει προφανώς f D 4 f F και f D U 8 (88 8 Συντελεστής τριβής στη στρωτή ροή Όταν ο αριθμός Renolds είναι χαμηλότερος από την κρίσιμη τιμή ~ τότε, όπως συζητήσαμε στα προηγούμενα κεφάλαια, η ροή είναι στρωτή, η σταθεροποιημένη κατάσταση που υποθέσαμε είναι πραγματικά μόνιμη και η ροή πραγματικά μονοδιάστατη Ισχύουν λοιπόν η ανάλυση και τα αποτελέσματα που βρήκαμε στο Κεφ 5 Συγκεκριμένα είχαμε βρει για την κατανομή της ταχύτητας: P ( 4 L για τη μέση ταχύτητα: U P L, (555 D, (559

131 και για τη διατμητική τάση στο τοίχωμα: P D L 4, (557 Η τελευταία σχέση προέρχεται από τη επίλυση των διαφορικών ισοζυγίων ορμής και εύλογα είναι ίδια με την (8 που προκύπτει πολύ απλούστερα από το στοιχειώδες μακροσκοπικό ισοζύγιο (8 Αναδιατάσσοντας τη σχέση (559 έτσι ώστε να έρθει πιο κοντά στη μορφή (87 έχουμε: L P U U / D U D UD Re / D (89 Επομένως, η ανάλυση για τη στρωτή ροή μας δίνει τον συντελεστή τριβής του Dac: 64 f D Re (8 Αξίζει να προσέξουμε ότι ο συντελεστής, όντας αδιάστατος, εκφράζεται σαν συνάρτηση της αδιάστατης παραμέτρου που χαρακτηρίζει τη ροή σε σωλήνες, η οποία είναι ο αριθμός Renolds 8 Συντελεστές τριβής στην τυρβώδη ροή σε λείους αγωγούς Όπως συζητήσαμε στο Κεφ 7, η ποσοτική περιγραφή της τυρβώδους ροής είναι ένα ζήτημα αρκετά πιο περίπλοκο και η θεωρητική πρόβλεψη των συντελεστών τριβής πιο δύσκολη Το πρώτο αποτέλεσμα που θα αναφέρουμε προέρχεται από διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα τυρβώδους ροής σε λείους σωλήνες τα οποία επεξεργάστηκε ο Blasis και παρουσίασε το 9 Με βάση αυτά πρότεινε το συσχετισμό f D 64Re / 4, (8 ο οποίος φέρει το όνομα του Όπως φαίνεται από την καμπύλη του Σχ 87 η συμφωνία του παραπάνω συσχετισμού με τα πειραματικά δεδομένα είναι πολύ καλή στην περιοχή 4 < Re < 5, όπου και μπορεί να χρησιμοποιηθεί με αξιοπιστία Για μεγαλύτερους αριθμούς Renolds η απόκλιση αρχίζει και γίνεται αισθητή 4

132 Σχήμα 87 Πειραματικά αποτέλεσματα για τον συντελεστή τριβής κατά τη ροή σε λείους σωλήνες Η καμπύλη είναι για τη στρωτή ροή, η είναι η εξίσωση του Blasis και η είναι η σχέση του Pandtl Η παραπάνω σχέση αν συνδυαστεί με την (87 προβλέπει ότι η πτώση πίεσης στην τυρβώδη ροή γίνεται ανάλογη της ταχύτητας υψωμένης στη δύναμη 7/4 Σε αντιδιαστολή λοιπόν με την στρωτή ροή, όπου υπάρχει άμεση αναλογία πτώσης πίεσης και ταχύτητας στην τυρβώδη ροή η πτώση πίεσης και επομένως το κόστος της διακίνησης των ρευστών αυξάνεται πολύ πιο γρήγορα με την ταχύτητα Το επόμενο σημαντικό αποτέλεσμα έχει ημι-θεωρητικό, ημι-εμπειρικό χαρακτήρα και προέρχεται από τον Pandtl το 95 Βασίζεται στη χρήση της γενικευμένης κατανομής, η οποία στην αδιάστατη μορφή που παρουσιάστηκε στο Κεφ 6 είναι ουσιαστικά μια σχέση μεταξύ τοπικής ταχύτητας και διατμητικής τάσης στο τοίχωμα, μια και η ταχύτητα τριβής που χρησιμοποιείται στην αδιαστατοποίηση δίνεται από τη σχέση * / (8 Αν λοιπόν χρησιμοποιηθεί η γενικευμένη κατανομή μπορεί να βρεθεί μια σχέση μεταξύ μέσης ταχύτητας και διατμητικής τάσης, η οποία μπορεί να μεταφρασθεί σε μία σχέση μεταξύ συντελεστή τριβής και αριθμού Renolds Ο Pandtl έκανε την παρατήρηση ότι σε μεγάλους αριθμούς Renolds το ιξώδες υπόστρωμα καθώς και η μεταβατική περιοχή καλύπτουν ένα πολύ μικρό τμήμα της ροής κοντά στα τοιχώματα, ενώ το μεγαλύτερο τμήμα καταλαμβάνεται από τον τυρβώδη πυρήνα Η κατανομή ταχύτητας τον τυρβώδη πυρήνα και σχεδόν μέχρι το κέντρο ενός σωλήνα περιγράφεται ικανοποιητικά από τη λογαριθμική σχέση (78 Δέχθηκε λοιπόν ότι η λογαριθμική αυτή σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε όλη τη διατομή πράγμα που διευκολύνει τους αλγεβρικούς χειρισμούς 5

133 Η μέση ταχύτητα μπορεί να υπολογισθεί από την έκφραση U R d R, (8 και ακολουθώντας απλές αλγεβρικές διαδικασίες βρίσκουμε U * R* [ 5ln( 75] Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (84 βρίσκουμε * / και f D U 8 U 8 * f D (85 Άρα R* DU ln ln f 8 D DU f ln( Αντικαθιστώντας στην (84 βρίσκουμε τελικά f D log Re f D 9 D ln ln Re 8 f D 7, (86 όπου για λόγους συμφωνίας με τις αυθεντικές εκφράσεις του Pandtl αντικαταστήσαμε τον νεπέριο λογάριθμο με τον δεκαδικό Η παραπάνω σχέση συνδέει τον αριθμό Renolds και τον συντελεστή τριβής και όπως δείχνει το Σχ 87 (καμπύλη οδηγεί σε εξαιρετική συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα μέχρι τον αριθμό Renolds 4 6 Για το σκοπό αυτό χρειάζεται μόνο μια μικρή τροποποίηση των αριθμητικών συντελεστών στη μορφή f D log Re f D 8 (87 Η παραπάνω έκφραση φέρει το όνομα του Pandtl (Pandtl s nivesal law of fiction fo smooth pipes Κλείνοντας θα αναφέρουμε ότι το πρόβλημα της τυρβώδους ροής σε σωλήνα και οι διάφορες πτυχές του εξακολουθούν και σήμερα να προσελκύουν το ενδιαφέρον των ερευνητών Για παράδειγμα, σχετικά πρόσφατα οι McKeon, Zagaola, Smits (Jonal of Flid Mechanics, 5 πρότειναν με βάση τα πειράματά τους την παρακάτω τροποποίηση η οποία δίνει μεγαλύτερη ακρίβεια στην περιοχή 4 < Re < 8 6

134 f D 9log Re f D 57 (88 8 Συντελεστές τριβής στην τυρβώδη ροή σε τραχείς αγωγούς Στην πράξη οι αγωγοί που χρησιμοποιούνται για τη διακίνηση ρευστών στις διάφορες εφαρμογές και στη βιομηχανία δεν είναι απόλυτα λείοι όπως υποθέσαμε στην προηγούμενη συζήτηση Ακόμα και οι επιφάνειες που μακροσκοπικά δίνουν την αίσθηση ότι είναι πολύ λείες, όπως αυτές του ανοξείδωτου χάλυβα στη βιομηχανία τροφίμων έχουν μετρήσιμη μικροτραχύτητα μικροτραχύτητα η οποία μπορεί να καταστεί μετρήσιμη με τη βοήθεια μεθόδων όπως το οπτικό ή το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο Επιπλέον η τραχύτητα των επιφανειών αλλάζει σταδιακά με τη χρήση, είτε λόγω πιθανής διάβρωσης είτε λόγω δημιουργίας επικαθίσεων Η τραχύτητα στην τυρβώδη ροή παίζει σημαντικό ρόλο και συνήθως αυξάνει την τριβή κατά την κίνηση των ρευστών Για το λόγο αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη στους τεχνικούς υπολογισμούς που αφορούν την τυρβώδη ροή Μαζί με αυτά τα εισαγωγικά στοιχεία είναι ίσως ενδιαφέρον να αναφέρουμε παρενθετικά ότι υπάρχουν περιπτώσεις οργανωμένης τραχύτητας οι οποίες έχουν σαν αποτέλεσμα τη μείωση των τριβών Πιστεύεται ότι μια τέτοια διαμόρφωση μικροτραχύτητας που μειώνει την οπισθέλκουσα υπάρχει στο δέρμα του καρχαρία και του δίνει ένα επιπλέον πλεονέκτημα για να κινείται με μεγάλες ταχύτητες Εξειδικευμένες κυματοειδείς διαμορφώσεις που μειώνουν τις τριβές έχουν μελετηθεί πειραματικά στο εργαστήριο αλλά και θεωρητικά με τη βοήθεια υπολογιστικών προσομοιώσεων Έχουν συνήθως τη μορφή μικροαυλακώσεων κατά μήκος της ροής και έχουν ελεγχθεί σε αεροπλάνα, αγωνιστικά σκάφη αλλά και στην αθλητική περιβολή κολυμβητών ολυμπιακού επιπέδου Τα πειράματα του Nikadse με τεχνητή τραχύτητα από κόκκους άμμου Αν κανείς λάβει υπόψη το εύρος των σχημάτων, μεγεθών αλλά και την κατανομή των μικροστοιχείων τραχύτητας μπορεί να αντιληφθεί ότι η επιπλέον παράμετρος της τραχύτητας δεν μπορεί να ποσοτικοποιηθεί εύκολα Στην κατεύθυνση αυτή καταλυτική θεωρείται η συνεισφορά του Nikadse ο οποίος το 9 παρουσίασε μια πειραματική μελέτη της επίδρασης της τραχύτητας χρησιμοποιώντας κόκκους άμμου ομοιόμορφου μεγέθους με τους οποίους κάλυψε την εσωτερική επιφάνεια αγωγών πυκνά, χωρίς δηλαδή να αφήνει κενά ανάμεσά στους κόκκους Χρησιμοποιώντας διάφορα μεγέθη κόκκων και σωληνώσεων κάλυψε μια περιοχή σχετικής τραχύτητας k s /R από /5 μέχρι /5, όπου k s η διάμετρος των κόκκων και R η ακτίνα των σωλήνων Στην περίπτωση λοιπόν αυτή των ομοιόμορφων κόκκων που είναι πυκνά διευθετημένοι μπορεί κανείς να δεχθεί ότι επαρκεί μια επιπλέον παράμετρος πέραν του αριθμού Renolds για τον χαρακτηρισμό της ροής και αυτή είναι η σχετική τραχύτητα k s /R Τα αποτελέσματα του Nikadse παρουσιάζονται στο Σχ 88, όπου Δ/d = k s /R είναι ο λόγος των διαμέτρων η των ακτίνων κόκκων και αγωγών 7

135 Σχήμα 88 Πειραματικά αποτέλεσματα του Nikadse για τον συντελεστή τριβής κατά τη ροή σε αγωγούς με τεχνητή τραχύτητα άμμου Αυτό που μπορεί να παρατηρηθεί είναι ότι για κάθε τιμή της σχετικής τραχύτητας υπάρχει μια περιοχή αριθμών Renolds όπου ο συντελεστής οπισθέλκουσας ακολουθεί την ίδια συμπεριφορά όπως στους λείους σωλήνες (I, II, III αλλά πέραν αυτής εμφανίζεται βαθμιαία απόκλιση προς μεγαλύτερες τιμές (IV και σταθεροποίηση σε τελική τιμή ανεξάρτητη του αριθμού Renolds (V Όσο αυξάνεται η σχετική τραχύτητα η μετάπτωση εμφανίζεται σε μικρότερο αριθμό Renolds και η τελική σταθεροποιημένη τιμή του συντελεστή είναι μεγαλύτερη Η κατάσταση όπου ο συντελεστής γίνεται ανεξάρτητος του αριθμού Renolds ονομάζεται καθεστώς πλήρους τραχύτητας και στην περίπτωση αυτή η πτώση πίεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας ή της παροχής υψωμένης στο τετράγωνο, αυξάνεται δηλαδή ακόμα πιο γρήγορα από ότι στους λείους αγωγούς Μια δεύτερη παρατήρηση από τις μετρήσεις του Nikadse προέρχεται από τη σύγκριση του μεγέθους της τραχύτητας με το χαρακτηριστικό μήκος l* που προκύπτει από την ταχύτητα τριβής, l* =ν/*, ανάλογο του οποίου είναι το πάχος του ιξώδους υποστρώματος (κεφ 7 Οι αγωγοί συμπεριφέρονται σαν λείοι όταν k s /l* = k s + < 5, όταν δηλαδή τα στοιχεία τραχύτητας είναι τόσο μικρά ώστε να είναι βυθισμένα στο ιξώδες υπόστρωμα Η απόκλιση από τους λείους αγωγούς εμφανίζεται όταν 5 < k s +, όταν δηλαδή τα στοιχεία τραχύτητας εισέρχονται ή υπερβαίνουν τη μεταβατική περιοχή (5 < + < Τέλος, το καθεστώς πλήρους τραχύτητας εμφανίζεται για k s + > 7, όταν δηλαδή τα στοιχεία τραχύτητας προεξέχουν μέσα στον τυρβώδη πυρήνα και αλληλεπιδρούν σημαντικά με τις τυρβώδεις δίνες Ίσως προσεγγιστικά θα μπορούσε να πει κανείς ότι στο καθεστώς πλήρους τραχύτητας η τριβή πλέον δεν καθορίζεται από διατμητικές τάσεις μεταξύ του ρευστού και του τοιχώματος αλλά από την οπισθέλκουσα των στοιχείων τραχύτητας που είναι αρκετά μεγάλα ώστε να εκτίθενται στην έντονη ροή του τυρβώδους πυρήνα Είναι λοιπόν εύλογο να υποθέσει κανείς ότι τα μικροστοιχεία 8

136 παρουσιάζουν οπισθέλκουσα ανεξάρτητη του αριθμού Renolds, όπως συμβαίνει και με τα βυθισμένα σώματα που συζητήσαμε στην αρχή του κεφαλαίου αυτού Μια τρίτη παρατήρηση από τις μετρήσεις του Nikadse είναι ότι κατά τη μετάπτωση προς το καθεστώς πλήρους τραχύτητας η κατανομή ταχύτητας στον τυρβώδη πυρήνα εξακολουθεί να διατηρεί τη λογαριθμική μορφή και δίνεται από μια παρόμοια σχέση όπως στους λείους αγωγούς * * 5ln B, (89 όπου όμως η σταθερά Β είναι τώρα συνάρτηση της σχετικής τραχύτητας k s + Στο καθεστώς πλήρους τραχύτητας προκύπτει ks* B 8 5 5ln (8 Συνδυάζοντας τα παραπάνω, έχουμε για το καθεστώς αυτό * 5ln 8 5 k s, (8 μια κατανομή δηλαδή που δεν σχετίζεται με το ιξώδες και τον αριθμό Renolds αλλά εξαρτάται μόνο από την τραχύτητα Η παραπάνω κατανομή μπορεί να μας δώσει μια σχέση μεταξύ μέσης ταχύτητας και της ταχύτητας τριβής, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως εφαρμόσθηκε από τον Pandtl για τους λείους αγωγούς Η σχέση αυτή μπορεί να μετατραπεί σε έκφραση για το συντελεστή τριβής και όπως εύκολα μπορεί να αντιληφθεί κανείς θα είναι συνάρτηση μόνο της σχετικής τραχύτητας και όχι του αριθμού Renolds μια και το ιξώδες δεν εμφανίζεται Ολοκληρώνοντας την κατανομή με βάση την έκφραση (8 βρίσκουμε τη μέση ταχύτητα: R U * ( 5ln 4 75 k s, (8 και ακολουθώντας τα ίδια βήματα που οδήγησαν στη σχέση (86 βρίσκουμε f D log R k s 68 (8 Η τελική έκφραση που προτάθηκε έχει ελαφρώς τροποποιημένες σταθερές για καλύτερη συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα του Nikadse: f D R log 74 (84 k s Η τραχύτητα εμπορικών αγωγών Στην πράξη οι εμπορικοί αγωγοί που είναι κατασκευασμένοι από διάφορα υλικά (χάλυβα, χυτοσίδηρο, πολυαιθυλένιο, κλπ έχουν τραχύτητα η οποία δεν είναι τόσο καλά 9

137 καθορισμένη όπως στα πειράματα του Nikadse Εν τούτοις παρουσιάζουν ποιοτικά μια παρόμοια συμπεριφορά με κυριότερο χαρακτηριστικό ότι σε σχετικά μεγάλους αριθμούς Renolds εμφανίζουν καθεστώς πλήρους τραχύτητας Επιπλέον η μετάβαση από τη συμπεροφορά λείου αγωγού σε πλήρη τραχύτητα είναι πιο ομαλή από ότι στα πειράματα του Nikadse με τους κόκκους άμμου Ο Mood το 944 παρουσίασε μια εκτενή μελέτη πολλών εμπορικών αγωγών και με βάση το καθεστώς πλήρους τραχύτητας προσδιόρισε για αυτούς την ισοδύναμη τραχύτητα, ε/d, την τραχύτητα δηλαδή που θα έπρεπε να έχει ένας αγωγός με κόκκους άμμου του Nikadse για να έχει τον ίδιο τελικό συντελεστή τριβής Τα αποτελέσματά του για διάφορα υλικά κατασκευής των αγωγών παρουσιάζονται στο Σχ 89 από όπου μπορεί να προσδιορισθεί η σχετική τραχύτητα Σχήμα 89 ποτελέσματα του Mood για την ισοδύναμη τραχύτητα εμπορικών αγωγών

138 Με βάση τη μέτρηση της ισοδύναμης τραχύτητας ο Mood κατασκεύασε το περίφημο διάγραμμα που φέρει το όνομα του και αναπαράγεται στο Σχ 8 Το διάγραμμα αυτό δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια παρεμβολή ανάμεσα στο καθεστώς λείου αγωγού που περιγράφεται από την εξίσωση 88 και το καθεστώς πλήρους τραχύτητας που περιγράφεται από την εξίσωση 84 Η παρεμβολή βασίζεται στην πρόταση του Colebook το 98 να υπολογισθεί ο συντελεστής τριβής από το άθροισμα των εξ 88 και 84 f D ( log Re f D 8 ( log D / 74, (85 οπότε για χαμηλούς ή υψηλούς αριθμούς Renolds υπερισχύει η μία ή η άλλη συμπεριφορά Αναδιατάσσοντας τους όρους ο Colebook πρότεινε τη μορφή f D / D 5 log( 7 Re f D (86 Το διάγραμμα Mood δηλαδή δεν είναι παρά η γραφική παράσταση της παραπάνω εξίσωσης Ευνόητο είναι ότι υπάρχουν σφάλματα σε σχέση με την πράξη που μπορεί να πλησιάζουν το %

139 Σχήμα 8 Το διάγραμμα του Mood για τον συντελεστή τριβής σε αγωγούς σαν συνάρτηση του αριθμού Renolds και της ισοδύναμης τραχύτητας

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα