Završni rad GUBICI U NISKOTLAČNOM SUSTAVU ZA NAVODNJAVANJE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Završni rad GUBICI U NISKOTLAČNOM SUSTAVU ZA NAVODNJAVANJE"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET Završni rad GUBICI U NISKOTLAČNOM SUSTAVU ZA NAVODNJAVANJE Mentor: doc. dr. sc. Duška Kunštek Izradio: Luka Antolović Zagreb

2 Sadržaj 1. Fizikalna svojstva i dinamika realne tekudine Trenje u tekudinama Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekudine Određivanje gubitaka tlačnih sustava Tečenje kroz cjevovode Opis lokalnih gubitaka Tehnike tlačnih sustava za navodnjavanje Tlačni sustavi za navodnjavanje Shema i dijelovi mreže Klasifikacija sustava Klasifikacija sustava prema tlaku Klasifikacija sustava prema metodi isporuke vode Klasifikacija sustava prema vrsti instalacija Cijevne (tlačne) tehnike navodnjavanja u usporedbi s tradicionalnim metodama navodnjavanja Vrste i karakteristike niskotlačnih sustava za navodnjavanje Navodnjavanje kišenjem Samohodni automatizirani uređaji za linijsko navodnjavanje Navodnjavanje mikroprskalicama Navodnjavanje miniprskalicama Lokalizirano navodnjavanje Lokalizirano navodnjavanje fontanama Navodnjavanje kapanjem Zaključak Reference... Error! Bookmark not defined. 2

3 1. Fizikalna svojstva i dinamika realne tekućine 1.1. Trenje u tekućinama Iskustvo i eksperimentalna djelatnost pokazali su da se u nekim slučajevima tečenja utjecaj trenja moţe zanemariti i ispustiti iz jednadţbi koje opisuju ponašanje toka tekućine. U tim slučajevima govori se o tečenju idealne odnosno bezviskozne tekućine. Isto tako iz iskustva dobivenog na temelju eksperimenata poznato je da, primjerice u slučaju opstrujavanja tekućine oko nekog tijela ili kretanja tijela kroz tekućinu, postoji sila tekućine na tijelo i obratno. Ta sila je posljedica viskoznosti odnosno unutarnjeg trenja kao temeljnog svojstva realne tekućine. Isto tako, pri bilo kojem vidu tečenja, uslijed meďusobnog djelovanja susjednih djelića tekućine pojavljuje se i njihova deformacija, a što takoďer ukazuje na prisustvo naprezanja uzrokovanih trenjem. [4] Obzirom da trenje pokazuje različite vidove pojavnosti, realne tekućine se dijele na Newton-ove tekućine i anomalno viskozne tekućine (ne Newton-ove tekućine). Primjer Newton-ovih tekućina su voda, vodena para, zrak, alkohol, ulje i dr. Tekućine koje imaju linearnu ovisnost izmeďu posmičnih naprezanja i brzine deformacije nazivaju se Newton-ove tekućine. Za Newton-ove tekućine vrijedi: gdje su: μ dinamički koeficijent viskoznosti [ ], posmična naprezanja, a promjena brzine po normali. Ukoliko se dinamički koeficijent viskoznosti podijeli s gustoćom, dobiva se novi koeficijent viskoznosti, a naziva se kinematski koeficijent viskoznosti υ sa pripadnom jedinicom [ ]: gdje su: υ kinematski koeficijent viskoznosti (m/s 2 ); μ dinamički koeficijent viskoznosti [ ]; ρ gustoća tekućine (kg/m 3 ). [4] 3

4 Znanost koja proučava promjenu oblika (deformacija) elastičnih, plastičnih i tekućih tijela zbog promjene naprezanja u tom tijelu zove se reologija. Na temelju istraţivanja načinjen je opći dijagram veze izmeďu tangencijalnog naprezanja i brzine deformacije čestica materije. Reološki dijagram tekućina dan je na slici 1.1. u kojoj su prikazane ovisnosti izmeďu tangencijalnih naprezanja i promjene brzine po normali za Newtonove tekućine, pesudoplastične tekućine, dilatacijske tekućine. [4] Slika 1.1. Ovisnosti između tangencijalnih naprezanja i promjene brzine po normali za Newtonove tekućine, pesudoplastične tekućine, dilatacijske tekućine. [3] Proučavanje svojstva viskoznosti odnosno trenja u tekućinama je vrlo vaţno, jer u tehničkom smislu trenje predstavlja vrlo vaţan segment u analizi tečenja tekućina, budući da je ono i uzročnik nastalih gubitaka mehaničke energije Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine Kao što je rečeno u uvodu potrebno je razlikovati idealne od realnih tekućine. Idealne tekućine ne opisuju dobro realne situacije. Sve realne tekućine imaju neku viskoznost i nju moramo uzeti u obzir. 4

5 Prema Newton-ovom pokusu slijedi da je viskozna sila jednaka umnoškom tangencijalnog naprezanja i tangencijalne površine: F vis = gdje su: F vis viskozna sila (N); (mm 2 ). [1] posmično naprezanje (N/mm 2 ); A tangencijalna površina Kod čestica fluida viskozna sila djeluje na njezino bočno oplošje i zbog toga Bernoulli-jevoj jednadţbi moramo dodati član koji opisuje energiju potrošenu viskoznim trenjem. Da bi se gubitak energije zbog ove viskozne sile pretvorio u gubitak energetske visine, mora se rad koji ta sila učini na putu ds podijeliti s teţinom čestice ρgdv: Viskozno trenje kao i svako drugo trenje troši mehaničku energiju pretvarajući je u toplinu, a posljedica toga je da ukupna energija realne tekućine nije sačuvana, već se gubi u smjeru tečenja. [1] Bernoullijeva jednadţba realne tekućine ima oblik: 1 = gdje su: - kinetičku energiju tekućine (brzinska visina); v 2 brzina protoka (m/s) - je doprinos tlaka potencijalnoj energiji tekućine (tlačna visina); p tlak (N/m 2 ); ρ gustoća tekućine u (kg/m 3 ) z (m) - je dio potencijalne energije tekućine zbog njenog poloţaja (geodetska visina). Pijezometarska visina jendaka je zbroju tlačne visine i geodetske visine (m) visina gubitaka energije, opisuje gubitak energije viskozne tekućine izmeďu točaka 1 i 2. [2] 5

6 Za uvrštavanje u B.J. jednadţbu uzimamo vrijednosti sa centralne strujnice strujne cijevi za koju B.J. rješavamo. Ravninu z=0 provlačimo kroz najniţu točku sistema. B.J. rješavamo za dvije točke (1 i 2) na strujnici. Slika 1.2. Visina gubitaka h 1,2 opisuje gubitak energije viskozne tekućine između točaka 1 i 2. [2] 1.3. OdreĎivanje gubitaka tlačnih sustava 1. Uz konstantni protok (stacionarno strujanje) na mjestima 1 i 2 izmjerimo pijezometarsku visinu h p : h p = (z + ) gdje su: hp piezometarska visina (m); z geodetska visina (m); p vrijednost tlaka (N/m 2 ); ρ gustoća tekućine (kg/m 3 ). [2] 2. Pomoću jednadţbe kontinuiteta naďemo brzine A 1 v 1 = A 2 v 2 = Q gdje su: A 1,2 površine protočnog presjeka (m 2 ); v 1,2 brzina protoka (m/s); Q protok (m 3 /s). [2] 6

7 3. Pomoću Bernoulli-jeve jednadţbe naďemo gubitak: h 1,2 = ( 1) ( 2) gdje su: h 1,2 - visina gubitaka energije (m); v 1,2 2 brzine protoka (m/s); p 1,2 vrijednost tlaka (N/m 2 ); z 1,2 geodetska visina (m). [2] Odnosno, uz upotrebu piezometarske visine: h p1 i h p2 h 1,2 = ( ) ( ) Ako se tečenje odvija kroz cijev konstantnog presjeka, brzina je svugdje ista pa imamo još jednostavniju formulu: h 1,2 = - gdje su: h 1,2 - visina gubitaka energije (m); h p1,2 piezometarske visine (m). [2] Gubitak energije po jedinici duţine toka naziva se energetski gradijent ili energetski pad: I e = gdje su: I e energetski pad (m); h 1,2 - visina gubitaka energije (m); l duljina toka (m). [2] Pad piezometarske linije po jedinici duţine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidraulički gradijent: I p = gdje su: : I p energetski pad (m); h 1,2 - visina gubitaka energije (m); l duljina toka (m). [2] 1.4. Tečenje kroz cjevovode Ako promatramo tečenje nestlačivog fluida u cjevovodu sa stacionarnim tokom, Bernoulli-jeva jednadţba ima oblik: 1 = 7

8 gdje su: h 1,2 - visina gubitaka energije (m); v 1,2 2 brzine protoka (m/s); p 1,2 vrijednost tlaka (N/m 2 ); z 1,2 geodetska visina (m). [2] U cijevi s konstantnim poprečnim presjekom slijedi da je v 1 = v 2, a gubici su opisani izrazom: ( ) gdje su: h 1,2 - visina gubitaka energije (m); p 1,2 vrijednost tlaka (N/m 2 ); z 1,2 geodetska visina (m). [2] Ako cijev nije okrugla, umjesto promjera cijevi koristi se tzv. hidraulički polumjer koji se definira kao omjer površine presjeka i opsega cijevi: gdje su: R h hidraulički polumjer (m); A površina presjeka (m 2 ); O opseg cijevi (m). [2] Slika 1.3. Odabir čestice fluida za analizu viskoznih gubitaka u cijevi i sile koje na tu česticu djeluju [2] Za česticu fluida odaberemo volumen omeďen poprečnim presjecima cijevi razmaknutima za razmak dl. Ravnoteţa sila je: ( ) 8

9 ili gdje su: dp-promjena (pad) tlaka (m); τ posmično naprezanje (N/m 2 ); R h hidraulički polumjer (m). [2] U prethodnoj jednadţbi nepoznato je posmično naprezanje na stijenki cijevi, pa ćemo se posluţiti dimenzionalnom analizom. Pretpostavimo da je: ( ) gdje su: υ kinematski koeficijent viskoznosti (m/s 2 ) ; ρ gustoća tekućine (kg/m 3 ); v brzina protoka (m/s); R h hidraulički polumjer (m). Rješavanjem dimenzionalne jednadţbe dobijamo: gdje su: τ posmično naprezanje (N/mm 2 ); k Stricker-ov koeficijent hrapavosti (s -1 m 1/3 ); R e Reynolds-ov broj (1). [2] Izraz uvrstimo u jednadţbu za pad tlaka kojoj se promijeni predznak, pa slijedi: gdje su: dp promjena (pad) tlaka (m); τ posmična naprezanja (N/mm 2 ); R h hidraulički radijus (m); R e Reynolds-ov broj (1); k Stricker-ov koeficijent hrapavosti (s -1 m 1/3 ). [2] Integracijom po duljini cijevi dolazi se do izraza za ukupni pad tlaka na toj duljini: gdje su: ukupni pad tlaka na duljini l (m); λ bezdimenzionalni koeficijent trenja u ravnoj cijevi (1); R h hidraulički radijus (m). [2] 9

10 Ako se ograničimo na okrugle cijevi, 4R h =d, slijedi: ili izraţeno u energetskim visinama: gdje su: h 1,2 ukupni gubici po duljini cijevi (m); λ bezdimenzionalni koeficijent trenja u ravnoj cijevi (1); v 2 brzina protoka (m/s); d fizički promjer cijevi (m). [2] Ovo je Darcy-Wiessbach-ova formula za gubitke u cijevima. Po analogiji sa Darcy-Wiessbach formulom se i svi drugi gubici u cjevovodima prikazuju kao: gdje je e ζ bezdimenzionalni koeficijent otpora (koeficijent gubitka energije) za odgovarajući dio cjevovoda. [2] 1.5. Opis lokalnih gubitaka Lokalni gubici su svi gubici koji nastaju na razmjerno maloj udaljenosti zbog promjena presjeka ili smjera toka u cijevima. Njih izazivaju elementi cijevne armature, primjerice koljena, ventili, suţenja i proširenja, itd. S obzirom na malu udaljenost na kojoj se ti gubici dogaďaju, za potrebe proračunavanja ukupnih gubitaka tretira ih se kao da nastaju točno na mjestu gdje se dani element armature nalazi. Drugim riječima, u takvom računu zanemaruje se duljina lokalnoga elementa. Analogno formuli za gubitke u cijevima, lokalne gubitke opisuje se produktom koeficijenta lokalnoga otpora ζ i kvadrata brzine: [1] [2] 10

11 gdje su: Δh 1 lokalni gubitak (m); ζ koeficijent lokalnog gubitka (1); v brzina protoka iza mjesta na kojem nastaje lokalni gubitak (m/s). [1] [2] Koeficijente lokalnih gubitaka teorijski je uglavnom vrlo teško odrediti, pa se koriste eksperimentalno izmjereni koeficijenti koji su obično tabelirani u različitim tehničkim priručnicima, a često puta ih navode i proizvodaďi elemenata armature za svoje elemente. [1] Naglo proširenje Slika 1.4. Naglo proširenje presjeka cijevi izaziva jako vrtloženje na mjestu proširenja [2] Kod naglog proširenja hidraulički gubici, računaju se prema Bourda Carntonovoj formuli: gdje su: Δh 1 lokalni gubitak (m); Δv = (v 1 v 2 ) promjena brzine zbog prolaska kroz proširenje (m/s). [2] Koeficijenti lokalnog gubitka sa definiranim površinama A 1,2 (m 2 ), mogu se izračunati: ( ) ( ) 11

12 Dijafragma (prigušnica) Slika 1.5. Dijafragma (prigušnica) s eksperimentalnim vrijednostima koeficijenta lokalnog Naglo suženje gubitka ζ [2] Slika 1.6. Naglo suženje i prikaz vrijednosti koeficijenta lokalnog gubtka ζ [2] 12

13 Postepeni prijelaz (difuzor) Difuzora ima najrazličitijih kuteva i duţina. Koriste se za smanjenje gubitaka na mjestima promjene presjeka cijevi. Slika Difuzor i prikaz vrijdnosti za koef. lokalnih gubitaka ζ [2] Ako je kut difuzora veći od ca 30, gubici su vrlo veliki zbog odvajnja toka od stijenke! Kod malog kuta su gubici zbog duţine difuzora veliki! Ukupni otpor cjevovoda jednak je zbroju svih otpora njegovih dijelova, a suma se razdvaja na sumu gubitaka u cijevima i sumu svih lokalnih gubitaka. [1] [2] Slika Otpori pojedinih dijelova cjevovoda [2] 13

14 2. Tehnike tlačnih sustava za navodnjavanje 2.1. Tlačni sustavi za navodnjavanje Tlačni sustav za navodnjavanje je mreţna instalacija koja se sastoji od cijevi, spojnica i ostalih ureďaja projektiranih i instaliranih za opskrbu vodom pod pritiskom od izvora do područja navodnjavanja. [5] Osnovne razlike izmeďu tradicionalnog površinskog navodnjavanja i tlačnih (cijevnih) tehnika za navodnjavanje su: Reţim protoka vode: S tradicionalnim površinskim metodama protok bi trebao biti velik, dok sa tlačnim sustavima za navodnjavanje moţemo koristiti vrlo male protoke, čak 1 m 3 / h. Reţim toka vode: S tradicionalnim površinskim metodama, voda za navodnjavanje se prenosi od izvorišta i distribuira poljem pomoću gravitacije, putem otvorenih kanala i jaraka slijedeći konture područja. Cijevni sustav prenosi i distribuira vodu za navodnjavanje tlakom u zatvorenim cijevima slijedeći najpovoljniju (najkraću) rutu, bez obzira na nagib i topografiju područja. Odnos područja navodnjavanja i količine vode za navodnjavanje: Tradicionalnim površinskim metodama navodnjava se u velikim količinama vode po jedinici površine, dok cijevni sustavi za navodnjavanje distribuiraju vodu u malim količinama na vrlo velikom području. Potrebna vanjska energija (tlak): Tradicionalne površinske metode gravitacije ne zahtijevaju vanjsku energiju za rad, dok cijevni sustavi za navodnjavanje zahtijevaju odreďeni pritisak, koji je osiguran iz crpne jedinice ili iz opskrbnog spremnika smještenog na visokoj točki. [5] 2.2. Shema i dijelovi mreže Cjevovodi koji prenose i distribuiraju vodu za navodnjavanje na pojedinačne čestice obično su zakopani, i tako zaštićeni od poljoprivrednih operacija i opasnosti u prometu. Hidranti, uzdignuti na površinu, nalaze se na raznim mjestima u skladu s planiranim 14

15 rasporedom. S površinskim metodama voda za navodnjavanje moţe biti isporučena izravno u otvorene jarke, zemljane brazde ili bazene. Kod mikro navodnjavanja i drugih cjelovitih sustava, npr. prskalica, hidranti su spojeni s manjim cijevima razdjelnika smještenim zajedno na rubove parcela. Oni opskrbljuju lateralne cjevovode za navodnjavanje koji su postavljeni uz redove biljaka okomito na razdjelnik. Lateralne cijevi su opremljene vodenim opskrbljivačima na malim razmacima i distribuiraju vodu ujednačeno za navodnjavanje biljaka, pod odreďenim tlakom. Postoje mnoge vrste sustava za navodnjavanje. MeĎutim, temeljito ispitivanje različitih sustava, opreme i principa rada pokazuje da je primijenjen uvijek isti pristup od postupka planiranja do njihove primjene te da svi sustavi imaju zajedničku većinu svojih mogućnosti i komponenti. [5] U svim cijevnim sustavima glavni sastavni dijelovi (Sl. 2.1.) su: Kontrolna stanica (upravljačka jedinica); Glavni i sporedni cjevovodi; Hidranti; Razdjelnici; Laterali (cjevovodi za navodnjavanje) s opskrbljivačima. [5] Slika 2.1. Shema postave mreže [5] 15

16 Glavna kontrolna jedinica: Sastoji se od dovodne cijevi (kruti PVC, ili vlaknasti pocinčani čelik) postavljene horizontalno na minimalnoj visini od 60 cm iznad zemlje. Opremljena je s ventilom za puštanje zraka, kontrolnim ventilom, dva priključka u ispustu crijeva za povezivanje s ubrizgivačem gnojiva, zapornim ventilom izmeďu dva ispusta, ubrizgivačem gnojiva i filterom. Ukoliko je potreban šljunčani filter, instalira se na početku kompleksa. Glavni cjevovod: To je najveći promjer cjevovoda u mreţi. U stanju je prenijeti protok sustava pod povoljnim hidrauličkim uvjetima brzine protoka i trenja. Korištene cijevi su uglavnom zakopani stalni postav tvrdog PVC-a, crnog polietilena visoke gustoće (HDPE), ravno poloţenog crijeva, i brzo spajajućih pocinčanih laganih čeličnih cijevi u veličinama raspona od 63 do 160 mm, ovisno o području farme. Sporedne cijevi: Ovo su cjevovodi manjeg promjera koji se proteţu od glavne linije i na koje se preusmjerava protok sustava za raspodjelu na razne parcele. Cijevi su iste vrste kao i glavne. Hidranti: Oni su postavljeni na razdjelne ili glavne cijevi i opremljeni milimetarskim zapornim ventilom. Oni isporučuju cijeli tok ili dio toka razdjelnicima. Razdjelnici: To su cjevovodi manjeg promjera od sporednih cjevovoda, povezani su s hidranatima i poloţeni, obično na površinu, uz rubove zemljišta gdje opskrbljuju lateralne cijevi. Oni mogu biti od bilo koje vrste dostupnih cijevi (obično crnog polietilena visoke gustoće HDPE) u veličinama od mm. Lateralni cjevovodi (linije za navodnjavanje): To su cjevovodi najmanjeg promjera u sustavu. Mogu biti postavljeni okomito na razdjelnike ili sporedni cjevovod, poloţeni uz redove biljaka i opremljeni s opskrbljivačima na čestim fiksnim razmacima. Opskrbljivači: Opskrbljivač za navodnjavanje je ureďaj bilo koje vrste, tipa i veličine koji je postavljen na cijev. Radi pod pritiskom ispuštajući vodu u bilo kojem obliku: od puštanja mlaza vode u zrak (prskalice), malog raspršavanja ili vodene maglice (mikroklime), kontinuiranog kapanja, pomoću malog toka ili fontane itd. Ove komponente zamjenjuju one u tradicionalnim površinskim sustavima, npr. glavna vrata, glavne i sporedne kanale, vrata kanala terenske jarke i brazde ili bazene. [5] 16

17 Slika 2.2. Poboljšana metoda modernog navodnjavanja s cijevima [7] 2.3. Klasifikacija sustava Tlačni (cijevni) sustavi za navodnjavanje su klasificirani prema pritisku potrebnom za rad, metodi isporuke vode za biljke i tipu instalacije. [5] Klasifikacija sustava prema tlaku Tlak sustava je maksimalni tlak vode potreban za normalan rad sustava i obuhvaća: A. Gubitke trenja u mreţi cjevovoda iz kontrolne stanice na distalnom kraju sustava; B. Tlak potreban na opskrbljivaču; C. Razliku u visini (plus ili minus). 17

18 Sustavi se mogu svrstati kao: Sustavi niskog tlaka, gdje je potreban tlak: bara; Srednjeg tlaka, gdje je potreban tlak: bara; Visokog tlaka, gdje potreban tlak prelazi 5,0 bara. [5] Klasifikacija sustava prema metodi isporuke vode Metoda isporuke vode je način na koji se voda distribuira biljkama i prema tome sustavi se mogu svrstati kao: Prskalice. Voda se isporučuje u obliku kišnih kapi rasutih po cijelom području. Postoje mnoge varijacije ove metode u odnosu na praţnjenje i promjer pokrivenosti, visinu mlaza vode iznad tla, vrstu mehanizma prskalice, itd. Površinsko navodnjavanje brazdama, prelijevanjem, potapanjem. Voda se isporučuje na terenske parcele izravno iz glavnih ili sporednih cjevovoda i preko hidrantata se širi po cijelom području. Mikro navodnjavanje (lokalizirano navodnjavanje) koje se ostvaruje pomoću kontinuiranog kapanja opskrbljivača, malog rasprišivanja ili vodene maglice (mikroklime), malog toka ili fontana itd. Voda nije dostavljena biljkama navodnjavanjem po cijeloj površini, već se dostavlja u malim količinama na ograničene površine tla oko biljaka. [5] Način isporuke vode i vrsta opskrbljivača su glavne karakteristike cijevnog sustava za navodnjavanje. U mnogim slučajevima oni utječu i odreďuju druge osobine (tlak i vrstu instalacije) i performanse, kao što je kapacitet protoka sustava i trajanje primjene. Kapacitet protoka sustava je protok vode (u kubičnim metrima na sat ili u litrama u sekundi) dizajniran kako bi zadovoljio zahtjeve za navodnjavanje područja na vrhuncu potraţnje. On je obrnuto proporcionalan trajanju primjene. Gdje je dizajniran, obično je na najmanjoj dopuštenoj razini kako bi se uštedjelo na veličini cijevi i drugoj opremi. Trajanje primjene je vrijeme potrebno za završetak jednog ciklusa navodnjavanja. [5] 18

19 Klasifikacija sustava prema vrsti instalacija Sustavi se mogu svrstati kao: Čvrste instalacije (fiksni sustavi), gdje su sve komponente poloţene ili instalirane na fiksne ili sezonske pozicije. Polu-trajne instalacije, gdje su glavni i sporedni cjevovodi stalni a laterali su prijenosni, ručnim ili mehaničkim putem. Prijenosne instalacije, gdje su svi dijelovi prenosivi. [5] 2.4. Cijevne (tlačne) tehnike navodnjavanja u usporedbi s tradicionalnim metodama navodnjavanja Učinkovitost navodnjavanja: U mreţama otvorenih distribucijskih kanala, gubici vode se procjenjuju na do 40 posto u neobloţenim jarcima i do 25 posto u obloţenim kanalima. To su gubici zbog procjeďivanja, biljaka s dubokim korjenjem i propuštanja u vratima, preljevima itd. U cijevnim sustavima nema takvih gubitaka. Tijekom primjene na biljke, gubici vode su u rasponu od 10 posto u lokaliziranom mikro navodnjavanju do 30 posto kod konvencionalnih prskalica i površinskih metoda. Kao rezultat toga, gubitak vode moţe se smanjiti i postići učinkovitost navodnjavanja od posto. U otvorenim kanalima, učinkovitost aplikacija za navodnjavanje u rasponu od 45 posto do najviše 60 posto. [5] Ekonomski povrat po jedinici vode. Cijevni sustavi omogućavaju manipulaciju vode za navodnjavanje pod povoljnijim uvjetima nego otvoreni kanali. To moţe dovesti do povećanja prinosa od posto i poboljšanja kvalitete. Rad i odrţavanje. Radni sati potrebni u cijevnim sustavima su u rasponu od jedne desetine do jedne četvrtine onih koji su potrebni za otvorene kanale. Svaka osoba moţe lako upravljati cijevnim sustavima, dok otvoreni kanali mogu zahtijevati kvalificiranu radnu snagu. U otvorenim kanalima, provode se skupe operacije kako bi se spriječilo oštećenje uzrokovano korijenjem; propuštanjem nasipa; širenjem korova; siltacijom i sedimentacijom; začepljenjem ispusta i vrata; itd. U cijevnim sustavima, odrţavanje ili kontinuirani popravak konstrukcija nije potreban. Osnovni dijelovi cijevnog sustava zahtijevaju minimalno odrţavanje tijekom 19

20 prvih sedam godina. Kompletan cijevni sustav zahtijeva godišnje odrţavanje koje iznosi oko 5 posto početne investicije. [5] Cijena: Korištenje termoplastičnih cijevi i spojnih elemenata, izraďenih od neomekšanog polivinil klorida (kruti PVC), polietilena male gustoće (LDPE), polietilena visoke gustoće (HDPE), i polipropilena (PP), koji su proizvedeni u gotovo svakoj zemlji u raznim veličinama i klasama, smanjilo je troškove postrojenja za navodnjavanje na relativno nisku razinu u vrijeme kada otvorene kanalske mreţe postaju sve skuplje. Sloţenost sustava i mnoštvo skupe opreme je očigledno. Tehnologija cijevnog sustava za navodnjavanje je jednostavna i fleksibilna, a investicija osigurava dobar povrat. Neke mehaničke poteškoće su očekivane u ranim fazama. Nakon toga, poljoprivrednici postaju upoznati sa značajkama i komponenatama sustava i postaju ga sposobni bolje iskoristiti. Primjena cijevnih tehnika navodnjavanja stvara drastičnu promjenu u praksi upravljanja navodnjavanjem na farmi. [5] Slika 2.3. Moderne tehnike lokaliziranog navodnjavanja kapanjem [5] 20

21 Slika 2.4. Moderne tehnike navodnjavanja prskalicama [5] 3. Vrste i karakteristike niskotlačnih sustava za navodnjavanje 3.1. Navodnjavanje kišenjem Navodnjavanje kišenjem ili umjetno kišenje je takav način dodavanja vode nekoj kulturi da se ona raspodjeljuje po površini terena u obliku kišnih kapljica, oponašanjem prirodne kiše. Ovaj je način navodnjavanja vrlo povoljan za kulturnu biljku i njeno stanište jer se navodnjavanje pribliţava prirodnim prilikama tj. oborinama. Danas se unutar navodnjavanja kišenjem najviše radi na mehaniziranju i automatizaciji, uključujući kompjutersko praćenje i kontrolu cijelog sustava. Postoji velik broj načina i sustava kišenja, ali svima su zajednički sljedeći osnovni dijelovi: Crpka (nije potrebna ukoliko je voda u izvorištu pod tlakom); Usisni i glavni (dovodni) cjevovod (dovode vodu od izvorišta do mjesta korištenja); Razvodne cijevi lateralni i razdjelni cjevovod (razvode vodu po parceli); Opskrbljivači prskalice. [6] [7] 21

22 Prskalicama se omogućava tzv. navodnjavanje kišenjem gdje se voda ispuštena kroz prskalice iz zraka, pada na zemlju u kruţnom uzorku oko prskalice. Sve prskalice karakterizira: Radni tlak (kpa); Protok (m 3 /h); Domet (m); Glavni dijelovi su im glava i mlaznice; Promjer mlaznice i tlak vode odreďuje intenzitet kišenja. [6] [7] S obzirom na pojedine radne karakteristike, prskalice se dijele: prema intenzitetu kišenja, prema dometu mlaza i prema radnom tlaku. Većina poljoprivrednih prskalica ima sporo rotirajući čekić-pogon ili okretni mehanizam. Jako je vaţno da se uskladi intenzitet kišenja prskalica sa infiltracijskom sposobnosti tla, kako ne bi došlo do zamočvarenja. Prema načinu izgradnje i korištenja elemenata te organizacije rada, sustavi za navodnjavanje kišenjem mogu biti: Nepokretni ili stabilni; Polupokretni ili polustabilni; Pokretni ili prijenosni; Samopokretni ili samohodni. [5] [6] [7] Samohodni automatizirani ureďaji za linijsko navodnjavanje Samohodni automatizirani ureďaji za linijsko navodnjavanje su jedinice velikih radnih zahvata, a pogodne su za navodnjavanje velikih proizvodnih površina. Sastoje se od kišnog krila podignutoga na posebnim pokretnim tornjevima. Na krilu su postavljeni brojne prskalice različitih intenziteta kišenja, koji s visine od 2 m do 3 m iznad zemlje navodnjavaju poljoprivredne kulture. Širina zahvata ureďaja je različita, a kreće se od 300 m do 500 m s jedne, a isto toliko s druge strane ureďaja. Ovi strojevi obavljaju navodnjavanje tijekom kretanja koje moţe biti linijsko u smjeru naprijed-nazad. Pomoću njih se mogu navodnjavati gotovo sve poljoprivredne kulture, niske ili visoke, ali preteţito na ravnim terenima. Linijski strojevi za automatizirano navodnjavanje kreću se pravolinijski uzduţ table koju kiše, a kao izvorište vode sluţi im otvoreni natapni kanal koji se na različite načine dopunjuje vodom. Mogu zahvatiti tablu širine 2 x 500 m i duţine do m, što znači da jedan ureďaj 22

23 navodnjava površinu od oko 200 ha. UreĎaj se sastoji od više tornjeva koji su na meďusobnom razmaku izmeďu 32 m do 56 m. Tornjevi (ili kule ) se kontrolirano i zasebno pokreću pomoću elektromotora, što je automatikom sinkronizirano sa svim ostalim susjednim tornjevima, čime su isključeni lomovi i kvarovi. Na osnovnom se podvozju koje se kreće uz otvoreni kanal nalazi pogonska, crpna i upravljačka jedinica. Radni pritisci su relativno mali (do 2 bara), te se primjenom ovih ureďaja postiţu velike energetske uštede na distribuciji vode. Intenziteti kišenja su takoďer mali (5 mm/h do 15 mm/h), te se njima mogu zadovoljiti potrebe biljaka za vodom, a da se ne naruši vodo-zračni reţim zemljišta. Obroci i intenziteti kišenja se odreďuju na programatoru ureďaja. [6] [7] Slika 3.1. Navodnjavanje kišenjem sa samohodnim linijskim prskalicama [5] 23

24 Slika 3.2. Linijsko kretanje samohodnih prskalica za navodnjavanje [7] PREDNOSTI Visoka učinkovitost primjene navodnjavanja do 75 %. Velike energetske uštede na distribuciji vode. Tlo je manje izloţeno pogoršanju fizikalnih svojstava. Prilagodljivost za sve vrste tla i mnoge vrste ratarskih kultura. NEDOSTACI Cijene ureďaja i suvremene opreme su vrlo visoke. Znatni pogonski troškovi. Javljaju se gubici vode isparavanjem. Neravnomjerna raspodjela vode pri jakom vjetru. [6] 24

25 Radni tlak opskrbljivača i gubici Radni tlak prskalice Gubici trenja u crijevu prskalice Gubici trenja u razdjelnim cjevovodima Gubici trenja u glavnom cjevovodu Manji lokalne i drugi gubici Ukupni zahtijevani tlak sustava bar Tablica 3.1. Primjer rada samohodnih prskalica [5] Navodnjavanje mikroprskalicama Mikro-prskalice su opskrbljivači niskog kapaciteta (do 2 bara). Po tipu su prskalice, ali su manji od konvencionalnih prskalica i s protocima do 250 litara/h. Nalaze se na relativno uskom pravokutnom ili trokutastom razmaku za maksimalna preklapanja pri navodnjavanju gusto zasaďenih ratarskih kultura. Ova metoda je pouzdana, vrlo učinkovita i jednostavna za primjenu, upravljanje i rukovanje. Sustav je sezonski, niskog tlaka, čvrste instalacije koje se moţe lako postaviti u polju i brzo ukloniti na kraju sezone. [5] Slika 3.3. Mikroprskalice niskog kapaciteta za navodnjavanje gusto zasađenog bilja [5] 25

26 Slika 3.4. Navodnjavanje mikroprskalice [5] PREDNOSTI Visoka učinkovitost primjene navodnjavanja do 75 %. Mala potreba za upravljanjem i odrţavanjem. Fleksibilnost i prilagodljivost: tehnologija je jednostavna i s njom se lako upravlja. Siguran prijelaz s tradicionalne površinske metode na napredno mikro navodnjavanje moţe biti uspješno postignut kroz instalaciju ove vrste sustava. Visoka učinkovitost primjene navodnjavanja. NEDOSTACI Visoki početni troškovi nabave. [5] Radni tlak opskrbljivača i gubici Radni tlak prskalice Gubici trenja u laterali Gubici trenja u glavnom cjevovodu Gubici trenja u kontrolnoj jedinici Manji lokalni gubici Ukupni zahtijevani tlak sustava bar Tablica 3.2. Primjer rada mikroprskalica [5] 26

27 Navodnjavanje miniprskalicama Ova metoda podrazumijeva jedan opskrbljivač mini prskalice postavljen uz svako stablo. Opskrbljivač raspršuje vodu u kruţnom uzorku ispod lišća u ograničenom području oko stabla. Ovaj pristup kombinira načela i prednosti prskalice i lokaliziranog navodnjavanja kapanjem. Navodnjavanje mini prskalicama je lokaliziran pristup mikro navodnjavanja koji koristi sustav niskog tlaka u čvrstoj stalnoj ili sezonskoj instalaciji. PREDNOSTI Visoka učinkovitost primjene navodnjavanja do 75 %. Količina vode je precizno kontrolirana i samo djelomično područje je namočeno. Nema gubitaka isparavanjem, dubokog poniranja ili otjecanja. Kontrola slanosti. Kretanje vode kroz profil tla je vertikalno prema dolje i akumulirane soli u zoni korijena lako mogu doseći dublje slojeve. Fleksibilnost i prilagodljivost. To je najfleksibilniji sustava za mikro-navodnjavanje i poljoprivrednici ga lako usvajaju i prilagoďavaju mu se. Tehnologija je jednostavna i raspon opreme je relativno nizak. Mala potreba za radnom snagom NEDOSTACI Visoki početni troškovi nabave. [5] 27

28 Slika 3.5. Postav miniprskalica [5] Slika 3.6. Navodnjavanje miniprskalicama [5] Radni tlak opskrbljivača i gubici bar 28

29 Radni tlak prskalice Gubici trenja u laterali Gubici trenja u glavnom cjevovodu Gubici trenja u kontrolnoj jedinici Manji lokalni gubici Razlika u nadmorskoj visini Ukupni zahtijevani tlak sustava 2,00 0,35 0,25 0,50 0,20 0, Tablica 3.3. Primjer rada miniprskalice [5] 3.2. Lokalizirano navodnjavanje Lokalizirano navodnjavanje čini vrlo moderna i sofisticirana oprema kojom se voda dovodi i raspodjeljuje do svake biljke lokalno, vrlo precizno i štedljivo, pomoću posebnih hidrauličnih naprava. Sustavima lokaliziranog navodnjavanja se vlaţnost tla moţe odrţavati prema zahtjevima uzgajanih kultura i u granicama optimalne vlaţnosti što pogoduje biljkama. Prednosti u odnosu na ostale metode navodnjavanja: Moţe se primijeniti na svim tlima, topografskim prilikama, na parcelama raznih oblika i dimenzija te za sve kulture u poljskim uvjetima i zaštićenim prostorima. Sustavi štede vodu i pogonsku energiju, te vrlo precizno doziraju vodu. Vrlo su pouzdani i tehnički funkcionalni. Uz mogućnost elektronske regulacije i kompjuterskog upravljanja ostvaruju visok i kvalitetan prinos poljoprivrednih kultura. [7] Lokalizirano navodnjavanje fontanama Navodnjavanje fontanama je lokalizirani sustav, niskog tlaka, čvrste trajne instalacije koji se koristi u šumarcima. Svako stablo ima okrugao ili kvadratni bazen koji je potopljen vodom tijekom navodnjavanja. Voda se infiltrira u tlo i namače zonu korijena. Voda se emitira kroz opskrbljivač. [5] 29

30 PREDNOSTI Visoka učinkovitost primjene navodnjavanje, do 75 posto, što rezultira značajnim uštedama vode, s apsolutnom kontrolom navodnjavanja od izvora do bazena. Sva mreţa cjevovoda je u zemlji, tako da nema terenskih problema. Tehnologija je jednostavna i nije potrebna visoko sofisticirana oprema. Sustavom mogu upravljati nekvalificirani poljoprivrednici i radnici. Nisu potrebni filteri ili ubrizgivači gnojiva. NEDOSTACI Visoki početni troškovi nabave. Mali protoci vode ne mogu se koristiti kao u ostalim sustavima mikro-navodnjavanja. Na pješčanim tlima s visokim stopama infiltracije, teško je postići ravnomjernu distribuciju vode preko bazena. [5] Slika 3.7. Navodnjavanje voćaka fontanama [7] 30

31 Radni tlak opskrbljivača i gubici Radni tlak opskrbljivača Gubici trenja u laterali Gubici trenja u glavnom cjevovodu Gubici trenja u kontrolnoj jedinici Manji lokalni gubici Razlika u nadmorskoj visini Ukupni zahtijevani tlak sustava bar 2,00 0,30 0,20 0,20 0,20 0, Tablica 3.4. Primjer rada kod navaodnjavanja fontanama [5] Navodnjavanje kapanjem Ovaj sustav štedi vodu, te sa minimalnom količinom postiţe maksimalne učinke u biljnoj proizvodnji. Voda se dovodi cijevima do svake biljke te se vlaţi vrlo mali dio zemljišta, što smanjuje gubitke vode te se stoga naziva još lokalizirano navodnjavanje. Vrijeme navodnjavanja moţe trajati i do 24 sata, što je uvrijeţilo i izraz nonstop ili dnevno navodnjavanje. Radni pritisak pri navodnjavanju kapanjem se kreće u rasponu od 0,8 bara do 1,5 bara, a odrţava se pomoću regulatora pritiska. Kod ovog načina navodnjavanja cjevovod pripada meďu najveće investicijske troškove u izgradnji sustava, s obzirom da je za potrebe 1 ha povrtnjaka potrebno od m, voćnjaka m, a rasadnika m cijevi. Navodnjavanje kapanjem prikladno je samo za vrlo intenzivne, i dohodovne kulture koje mogu platiti visoke troškove izgradnje, korištenja i odrţavanja sustava. [6] Voda se od crpne stanice do parcele doprema tlačnim cjevovodom, promjera od 20 mm do 50 mm, a iz njih se raspodjeljuje u razvodne ili lateralne cjevovode promjera od 15 mm do 20 mm. Sustav navodnjavanja kapanjem sastoji se od: Pogonskog dijela s filtrom; Cijevi; Kapalica. [6] 31

32 Slika 3.8. Sustav navodnjavanja kapanjem [7] PREDNOST: Visoka učinkovitost primjene navodnjavanja do 90 %. Troše se male količine vode i energije; Vlaţi se samo mala zona oko biljke i unutar redova, a meďuredni prostor ostaje suh; Postiţu se veći prinosi i bolja kvaliteta plodova uzgajanih kultura; Automatski rad i kontrola ureďaja pomoću elektronike; Troškovi eksploatacije i odrţavanja sustava su relativno mali u odnosu na druge. NEDOSTACI: Visoka cijena izgradnje i opreme sustava; Navodnjavaju se samo visokodohodovne kulture; Često začepljenje kapaljki i potreba zamjene; Troškovi sakupljanja i zbrinjavanja pojedinih elemenata (cijevi) po završetku vegetacije; Oteţano kretanje strojeva po proizvodnoj površini; Laka i učestala mehanička oštećenja tijekom eksploatacije; Kontinuiran nadzor radnika tijekom rada zbog mogućih navedenih oštećenja. [6] 32

33 Radni tlak opskrbljivača i gubici Radni tlak opskrbljivača (kapaljki) Gubici trenja u laterali Gubici trenja u glavnom cjevovodu Gubici trenja u kontrolnoj jedinici Manji lokalni gubici Ukupni zahtijevani tlak sustava bar 1,00 0,10 0,43 0,90 0,22 2,65 Tablica 3.5. Primjer rada navodnjavanja kapanjem [5] 33

34 4. Zaključak U tablici 4.1. dana je rekapitulacija gubitaka analiziranih vrsta niskotlačnih sustava za navodnjavanje prema zahtijevanom tlaku rada sustava, koji je svojevrsno odreďen i gubicima koji se javljaju u procesu navodnjavanja. Vrijednosti u tablici 4.1. obojane zelenom bojom predstavljaju najučinkovitiju metodu navodnjavanja prema kriteriju gubitaka tlaka, dok su crvenom bojom obojane vrijednosti metode kod kojih su gubici tlaka najizraţeniji. Gubici tlaka u niskotlačnim sustavima za navodnjavanje Samohodni ureďaji za linijsko navodnjavanje Navodnjavanje kišenjam Navodnjavanje mikro - prskalicama Navodnjavanje mini - prskalicama Lokalizirano navodnjavanje Lokalizirano Navodnjavanje kapanjem navodnjavanje fontanama Ukupni zahtijevani tlak sustava [bar] 3,70 3,05 3,15 3,00 2,65 Radni tlak opskrbljivača [bar] 2,50 2,00 2,00 2,00 1,00 Gubici trenja u glavnom cjevovodu 0,15 0,35 0,25 0,30 0,43 [bar] Gubici trenja u laterali/razdjelnici 0,47 0,20 0,35 0,20 0,10 [bar] Gubici trenja u kontrolnoj jedinici 0,33 0,50 0,50 0,20 0,90 [bar] Lokalni gubici [bar] 0,25 0,20 0,20 0,20 0,22 Gubici razlike nadmorske visine 0,15 0,10 [bar] Ukupni gubici tlaka sustava [bar] 1,20 1,05 1,15 1,00 1,65 Tablica 4.1. Pregledna tablica gubitaka tlaka niskotlačnih sustava za navodnjavanje 34

35 U tablici 4.2. dana je rekapitulacija učinkovitsti primjene vode namijenjene za navodnjavanje, u niskotlačnim sustavima navodnjavanja. Učinkovitost primjene predstavlja odnos količine vode koja je uspješno pohranjena u odredišnoj zoni navodnjavanja i ukupnoj vodi isporučenoj za navodnjavanje. Gubici od ukupne isporučene kličine vode nastaju zbog evapotranspiracije, nedovoljne infiltracije tla, dubokog poniranja itd. Učinkovitost primjene izraţava se u postocima.vrijednosti u tablici 4.2. obojane zelenom bojom predstavljaju najučinkovitiju metodu navodnjavanja prema kriteriju učinkovitosti primjene vode, dok su crvenom bojom obojane vrijednosti metode kod kojih je učinkovitost primjene vode najmanja. Učinkovitost primjene vode niskotlačnih sustava za navodnjavanje Samohodni ureďaji za linijsko navodnjavanje Navodnjavanje kišenjam Navodnjavanje mikro - prskalicama Navodnjavanje mini - prskalicama Lokalizirano navodnjavanje Lokalizirano Lokalizirano navodnjavanje navodnjavanje fontanama kapanjem Učinkovitost primjene vode [%] Tablica 4.2. Pregledna tablica učinkovitosti primjene vode niskotlačnih sustava za navodnjavanje Analizom pregledne tablice 4.1., pručavajući minimalne i maksimalne vrijdnosti gubitaka tlaka u sutavu, zaključuje se da su gubici tlaka kod samohodnih ureďaja za linijsko navodnjavanje manji u odnosu na lokalizirano navodnjavanje kapanjem. Upotrebom samohodnih ureďaja za navodnjavanje metodom kišenja postiţu se velike energetske uštede na distribuciji vode. Analizom tablice 4.2., prema kriteriju učinkovitosti primjene vode u sustavu navodnjavanja, zaključuje se da je lokalizirano navodnjavanje kapanjem, uvjerljivo najučinkovitija metoda. Takvi sustavi vrlo precizno doziraju vodu, što im omogućuje primjena moderne i sofiticirane opreme, te sa minimalnom količinom vode postiţe maksimalne učinke u biljnoj proizvodnji. 35

36 5. Reference [1] Andreić, Ţ.: Temelji mehanike fluida; Rudarsko geološki naftni fakultet Sveučilišta u Zagrebu; e izdanje, Zagreb [2] Andreić, Ţ.: Mehanika fluida dio 5,6,7; Rudarsko geološki naftni fakultet Sveučilišta u Zagrebu; [3] Andročec, V.: Mehanika tekućina; [4] Lončar, G.: Mehanika tekućina; [5] Phocaides, A.: Tehnical handbook on pressurized irrigation techniques; Rome [6] Josipović, M.; Kovačević, V.; Rastija, D.; Tadić, L.; Šoštarić, J.; Plavšić, H.; Tadić, Z.; Dugalić, K.: Priručnik o navodnjavanju; Poljoprivredni Institut Osijek; Osijek [7] Bekić, D.: Vjeţbe iz hidrotehničkih melioracija 2; GraĎevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu; 36

MEHANIKA FLUIDA dio 5

MEHANIKA FLUIDA dio 5 MEHANIKA FLUIDA dio 5 prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn.hr http://rgn.hr/~zandreic/ Željko Andreić Mehanika fluida P5 1 sadržaj 1-2-3! Tečenje kroz

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 = HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU

MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU RAZLOZI MJERENJA DEFORMACIJA U TLU Pri projektiranju dinamički opterećenih temelja treba odrediti sljedeće: kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE Povijesni razvoj 1 Osnovni pojmovi hidraulički strojevi u kojima se mehanička energija vode pretvara u mehaničku energiju vrtnje stroja što veći raspon padova što veći kapacitet

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE Osnovni pojmovi hidrauliĉki strojevi u kojima se energija vode pretvara u mehaniĉku energiju vrtnje stroja što veći raspon padova što veći kapacitet što veći korisni uĉinak

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od Vrijedi: OD 20 LIPNJA 2012 Lindab CJENiK 2012 Sustav za odvodnju oborinskih voda i dodaci Lindab Elite sustav zaštite proizvoda >>> 3 Lindab Rainline Lindab Elite R Žlijeb Duljina: 4 m i 6 m 190 Elite

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα