ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR
|
|
|
- Ἀδελφός Διαμαντόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR UVOD STATISTIKA osnovni pojmovi BOLTZMANNOVA RAZDIOBA ATOMSKA SPEKTROSKOPIJA predavanja i seminar MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA primjena UV/VIS MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA primjena UV/VIS dodatni zadatci MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA IR, Raman i fluorescencija MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA osnove instrumentacije NMR AK2; šk.g. 2006/07; sastavila: V. Allegretti Živčić NUKLEARNA MAGNETNA REZONANCIJA subatomske čestice (elektroni, protoni i neutroni) treba zamisliti da se vrte ( spin ) oko svojih osi neki atomi (kao 1 i 13 C) jezgra posjeduje ukupni spin pravila određivanja ukupnog spina jezgara: 1. paran broj neutrona i paran broj protona jezgra NEMA spin 2. broj neutrona plus broj protona neparan jezgra ima spin jednak POLOVICI CIJELOG BROJA (tj. 1/2, 3/2, 5/2) 3. neparan broj neutrona i neparan broj protona jezgra ima CJELOBROJAN spin (tj. 1, 2, 3) 1
2 važan je ukupan spin, I prema kvantnoj mehanici: jezgra spina I ima 2I + 1 moguće orijentacije jezgra spina 1/2 ima 2 moguće orijentacije u odsutnosti vanjskog magnetnog polja te su orijentacije iste energije u prisutnosti vanjskog magnetnog polja energijske razine se razdvajaju svaka razina ima svoj magnetski kvantni broj, m jezgra u magnetnom polju napučenost energijskih razina određena je Boltzmannovom razdiobom niža energijska razina sadrži malo više jezgara od više razine kemijski pomak je funkcija jezgre i njezine okoline mjeri se relativno prema referentnom spoju za 1 NMR tetrametilsilan, Si( ) 4 primjer: etanol metilni signal cijepan u tri linije (triplet) metilenski signal cijepan u četiri linije (kvartet) zbog male interakcije između dvije skupine protona sprezanje razmaci između linija metilnog tripelta jednaki su razmacima između linija metilenskog kvarteta mjera ertz, naziv konstanta sprezanja, J. 2
3 metilenski protoni: dvije moguće orijentacije u smjeru polja ili obrnuto od smjera polja četiri moguća stanja triplet; omjer površina 1:2:1 metilni protoni: jednostavna pravila: multiplet broj ekvivaletnih protona u susjednim atomima plus jedan, tj. n + 1 kvartet; omjer površina 1:3:3:1 ekvivalentne jezgre međusobno ne reagiraju konstanta sprezanja neovisna je o primijenjenom polju multipleti se lako razlikuju od blisko smještenih linija signala općenita područja kemijskih pomaka 3
4 157. Izračunajte broj multipleta svake vrpce i njihove relativne površine za sljedeće spojeve: a) Cl Cl; b) CBr ; c) O. a) Cl Cl a b c protoni a identični protonima c multipletnost određuju protoni b: = 3; relativne površine 1:2:1 multipletnost za b određena protonima a + c: = 5; relativne površine 1:4:6:4:1 b) C(Br) a b c multipletnost a i c: = 2; relativne površine 1:1 multipletnost b: = 7; relativne površine: 1:6:15:20:15:6:1 c) O a b c multipletnost a: = 3; relativne površine 1:2:1 multipletnost b: = 4; relativne površine 1:3:3:1 multipletnost c: Predvidite izgled 1 NMR spektra visokog razlučivanja za: a) toluen; b) etilbenzen; c) cikloheksan; d) i-butan. a) singleti: δ = 2.2 i δ = b) triplet: δ = 1.1 kvartet: δ = 2.6 singlet: δ = C 2 C 2 C C2 c) singlet: δ = C d) C dublet: δ = C multiplet (10 maksimuma): δ = 1.5 4
5 NMR spektar organskog spoja empirijske formule C 5 10 O 2 prikazan je slikom. Kojem spoju odgovara takav spektar? razdioba 10 protona 6 : 4 : 4 : 6 3 : 2 : 2 : 3 singlet δ = 3,6 izolirana -skupina /tipa -O-C(=O)R/ ostatak razdiobe protona 2 : 2 : 3 mogućnost a b c c -; triplet δ = 0.9 metilna uz metilensku skupinu a - -; triplet δ = 2.2 metilenska uz karboksilnu skupinu b - -; multiplet [(2+1)(3+1)=12 pikova; vidi se samo 6, vjerojatno zbog razlučivanja instrumenta] δ= 1.7 O 3 C OC 160. U prilogu su prikazani 1 NMR spektri dva bezbojna tekuća izomera koji sadrže samo ugljik i vodik. Odredite kojim spojevima pripadaju navedeni spektri. I. spektar singlet δ = 7.2 aromatska struktura, 5 protona monosupstituirani derivat benzena multiplet δ = proton - heptet dublet δ = protona 3 C C3 II. spektar singlet δ = 6.8 aromatska struktura, 3 protona trisupstituirani derivat benzena singlet δ = protona 3 - skupine C 6 3 ( ) 3 (ne može se zaključiti o položaju supstituenata) 5
6 161. Prikazani spektar pripada organskom spoju molarne mase 72, koji sadrži ugljik, vodik i kisik. Identificirajte spoj. M = 72 triplet δ = 9.8 alifatski aldehid R-CO (M CO = 29) = 43 odgovara fragmentu C 3 7 triplet za RCO traži da uz CO bude - - ostaje C 2 5 (- ) provjera: triplet δ = 0.97 terminalna metilna skupina - multiplet δ = x 3 = 12 pikova - sekstet δ = 2.4 (2+1)(1+1) = 6 - CO zaključak: CO (M = 72) CO Dodatni zadatci 162. Skicirajte 1 NMR spektre za: a) aceton, b) metil etil keton, c) metil i-propil keton. a) singlet δ = 2.1 b) singlet δ = 2.1 kvartet δ = 2.4 triplet δ = 1.1 c) singlet δ = 2.1 heptet δ = 2.6 dublet δ = Skicirajte i objasnite 1 NMR spektre: a) 1,2-dibromo-2-metil propana, b) 1,1,2-tribromoetana. 2 C Br Br Br Br C Br C
7 164. Odredite relativne površine ispod svakog od pikova multipleta koji odgovara metinskom protonu u ( ) 2 CCl. 1 : 6 : 15 : 20 : 15 : 6 : Predvidite način cijepanja i omjer površina pikova, kako u svakom multipletu, tako i među multipletima 1 NMR spektara OC( ) 3. 1 : 2 : 1, 1 : 3 : 3 : 1, 1; 3 : 2 : Predvidite izgled 1 NMR spektara visokog razlučivanja, odredite broj multipleta i relativne površine za sljedeće spojeve: a) cikloheksan, b) 1,2-dimetoksietan ( O O ), c) dietileter. a) singlet δ = b) singleti δ = 3.2 i δ = 3.4 omjera površina 3 : 2 c) triplet δ = 1.2 kvartet δ = NMR spektar tekućega diketena C 4 4 O 2 ima dva signala jednakog intenziteta. Koja struktura spoja odgovara toj informaciji? 2 C 2 C O O 7
8 168. Reakcijom metil-diklorsilana i vinilacetata nastaje adukt, čije su moguće strukture -Si(Cl 2 )- - -O-CO- ili -Si(Cl 2 )-C( )-O-CO-. U 1 NMR spektru spoja pojavljuju se dvije vrpce jako razlučenog tripletnog stanja. Kojoj od predloženih struktura odgovara takav spektar? Objasnite. I. struktura 169. Skicirajte i objasnite 1 NMR spektar za: a) 2-kloro-5-nitrotiofen b) 2,5-diklorotiofen opaske a) nije simetrična molekula! b) simetrična molekula! 170. Uzorak ugljikovodika ima 1 NMR signale u području δ = Benzofenon upotrijebljen kao unutrašnji standard, imao je signale u području δ = 6-7. Relativni integrali iznosili su 228 i 184 jedinice za g benzofenona, odnosno g uzorka. Izračunajte postotak vodika u uzorku. w = % NMR spektar spoja sadrži singlete pri δ 3.59 i pri δ 7.29 ppm. Integrali njihovih intenziteta iznose 8, odnosno 20 jedinica. Iz podataka masene spektroskopije zaključeno je da spoj (molarna masa 246) sadrži dva sumporova atoma. Predložite strukturu opisanog spoja. S S 8
9 172. Potrebno je pomoću 1 NMR spektra rasvijetliti strukturu spoja molekulske formule C 6 13 NO 2. Analizom 5 %-tne otopine u deuterokloroformu dobivene su četiri skupine rezonantnih linija, navedenih prema rastućim vrijednostima polja: rez. linije I II III IV intenzitet multipletnost kvartet singlet singlet triplet kem. pomak (δ) Predložite strukturu opisane tvari i pripišite skupine rezonantnih linija pripadnim protonskim skupinama. ( ) 2 N- -C(O)O NMR spektrometrija: osnovni princip, analitička primjena Unutrašnji standard u 1 NMR spektroskopiji. 9
10 175. Odredite hoće li navedeni izotopi imati spin nula ili višekratnik jedne polovine ili cijelog broja: ,, Li, Li, 10 5 B, 11 5 B, 12 6 C, 13 6 C, 14 6 C, 14 7 N, 15 7 N, 16 8 O, 17 8 O, 19 9 F, P, P spin 0 n + ½ n + 1 izotopi C, C, O ,, Li, B, C, 7 N, O, F, P Li, 5 B, 7 N, 15 P 176. Prikazani anulen daje 1 NMR signale pri τ = 1.1 i τ = 11.8 ppm. Objasnite kojim protonima odgovaraju navedeni signali. τ = 11.8 ppm jako zaklonjeni unutrašnji protoni τ = 1.1 ppm manje zaklonjeni vanjski protoni 177. Metilenski protoni normalnog alifatskog lanca daju signal u 1 NMR spektru oko δ = 1,25 ppm. oće li kemijski pomak središnjih metilenskih protona 1,4- dekametilenbenzena biti veći ili manji od δ = 1,25? ( ) 10 Središnji metilenski protoni su jako zaklonjeni i apsorbiraju pri gustoći magnetnog toka većoj od 1,25 ppm. 10
11 Odredite strukturnu formulu svakog pojedinačnog spoja na temelju priloženih 1 NMR spektara (primjeri ): 178. Organski spoj sadrži jedan atom broma. Br 179. Empirijska formula C 4 7 BrO 2. Br CCOO 180. Empirijska formula C 4 8 O. O C 11
12 181. Empirijska formula C 4 8 O 2. a) O COC Spojevi a) i b) imaju empirijsku formulu C a) rješenje a): C 2 5 rješenje b): b) 12
13 183. ugljikovodik C Empirijska formula C NO 2. O O N 13
14 prilog kemijski pomaci u 1 NMR spektrima 14
15 PRISTUP ANALIZI SPEKTARA PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri 185. Odredite molekulsku formulu spoja temeljem priloženih spektara (Silverstein ; broj 6-1). 15
16 PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri I - masena spektrometrija: roditeljski pik = 150 = molekulski ion = paran broj nema N ili ima paran broj N M+2 ne dopušta postojanje S ili halogenida za M = 150 postoji 29 formula s C,, N, O M+1 = 9.9% iz tablica za M+1 = 9-11%: formula M+1 M+2 C 7 10 N C 8 8 NO C 8 10 N 2 O C 8 12 N C 9 10 O C 9 12 NO C 9 14 N eliminiraju se formule s neparnim brojem N za M+2 = 0.9% roditeljskog pika najsličnije formuli C 9 10 O 2 indikacija aromatičnosti PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri II - infracrvena spektroskopija: C=O 1745 cm -1 prisutnost 2 O u formuli ester C-O-C 1225 cm -1 = acetat jednostruko supst. benz. prsten 749 cm -1 i 697 cm -1 C=O nije konjugiran s prstenom potvrđuje se iz podataka UV spektara (eliminiran je i keton) nađeno: C 6 5 -i C(=O)O- C 8 10 O 2 oduzimanjem od molekulske formule C 9 10 O 2 ostaje fragment - - pretpostavljeni rezultat: C OC(O) 16
17 PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri III - nuklearna magnetna rezonancija: potvrda strukture 3 singleta δ intenzitet skupina benzenska metilenska metilna IV - masena spektrometrija: potvrda strukture fragmenti bazni bik na 108 pik pri masi 91 pik pri masi 43 pregrađivanje acetilne skupine (43) i vodikovog atoma benzilni ion dobiven β-cijepanjem u odnosu na prsten acetil C OC(O) PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri 186. Odredite molekulsku formulu spoja temeljem priloženih spektara (Silverstein ; broj 6-2). 17
18 PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri I - masena spektrometrija: molekulski ion = 102 molekulske formule: formula M+1 M+2 C 5 14 N C 6 2 N C 6 14 O C 7 2 O C odgovara najbolje odgovara: M+1=7.8, M+2=0.5 S i halogenidi su isključeni omjer C: ukazuje na alifatski spoj pretpostavku potvrđuju: IR-spektar UV-spektar (nema apsorpcije) NMR-spektar (nema signala za aromatski dio) nema karbonila niti hidroksilne apsorpcije kisik vezan kao eter: C-O cm -1 PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri II - nuklearna magnetna rezonancija: dublet i simetrični heptet omjer 6:1 izopropilna skupina pretpostavljeni rezultat: ( ) 2 C-O-C( ) 2 III - infracrvena spektroskopija: dublet pri 1380 cm -1 i 1370 cm -1 potvrđuju izopropilnu skupinu rastezanje C- pomaknuto prema višim valnim brojevima zbog prisutnosti kisika 1170 cm -1 rastezanje C-C pojačano grananjem 18
19 PRISTUP ANALIZI SPEKTARA - primjeri IV - masena spektrometrija: bazni pik = 45 dvostruko cijepanje i pregrađivanje α-supstituirani eteri masa 87 rezultat uklanjanja masa 43 C-O cijepanje sa zadržavanjem naboja na alkilnom dijelu ( ) 2 C-O-C( ) 2 19
ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR
ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR UVD STATISTIKA osnovni pojmovi BLTZMANNVA RAZDIBA ATMSKA SPEKTRSKPIJA predavanja i seminar MLEKULSKA SPEKTRSKPIJA primjena UV/VIS MLEKULSKA SPEKTRSKPIJA primjena UV/VIS dodatni
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
ANALITIČKA KEMIJA II BOLTZMANNOVA RASPODJELA. nositelj: prof.dr.sc. P. Novak održao: doc.dr.sc.t. Jednačak; ak.god. 2017/18.
ANALITIČKA KEMIJA II BOLTZMANNOVA RASPODJELA nositelj: prof.dr.sc. P. Novak održao: doc.dr.sc.t. Jednačak; ak.god. 2017/18. Ludwig Boltzmann rođen umro boravio nacionalnost struka 20. veljače 1844. Beč
Određivanje struktura organskih spojeva
Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za organsku kemiju Tatjana Gazivoda Kraljević Određivanje struktura organskih spojeva Nastavni tekst 1 SADRŽAJ: 1. ULTRALJUBIČASTA
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Atomska jezgra. Atomska jezgra. Materija. Kristal. Atom. Elektron. Jezgra. Nukleon. Kvark. Stanica
Atomska jezgra Materija Kristal Atom Elektron Jezgra Nukleon Stanica Kvark Razvoj nuklearne fizike 1896. rođenje nuklearne fizike Becquerel otkrio radioaktivnost 1899. Rutherford pokazao da postoje različite
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
ROTACIJSKI I VIBRACIJSKI SPEKTRI MOLEKULA
ROTACIJSKI I VIBRACIJSKI SPEKTRI MOLEKULA Davor Kirin Institut "Ruđer Bošković", Bijenička 54, Zagreb Spektroskopija se u najširem smislu riječi bavi istraživanjima energetskih nivoa u atomima, molekulama,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
PROTONSKA NMR SPEKTROSKOPIJA PROTONSKA NMR SPEKTROSKOPIJA
Jezgra izotopa koja imaju neparan broj protona i neutrona, ili oba, pokazuju mehanički spinski fenomen koji je vezan za ugaoni moment jezgra (µ). Ovaj ugaoni moment karakteriše nuklearni spinski kvantni
ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR
ANALITIČKA KEMIJA II - SEMINAR UVOD STATISTIKA osnovni pojmovi BOLTZMANNOVA RAZDIOBA ATOMSKA SPEKTROSKOPIJA predavanja i seminar MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA primjena UV/VIS MOLEKULSKA SPEKTROSKOPIJA primjena
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Elektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
= = (1) h n n. X. vježba ATOMSKA SPEKTROSKOPIJA Linijski spektri atoma vodika i helija
X. vježba ATOMSKA SPEKTROSKOPIJA Linijski spektri atoma vodika i helija SVRA RADA Snimanje emisijskih spektara atoma vodika i helija pomoću digitalnog spektrometra i određivanje položaja opaženih linija.
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Nuklearna Magnetna Rezonancija NMR
ANALITIČKA KEMIJA II uvodno predavanje općenito uzorkovanje; norme i standardi; intelektualno vlasništvo STATISTIKA osnove EKSTRAKCIJA, KROMATOGRAFIJA - osnove ELEKTROANALITIČKE METODE BOLTZMANNOVA RAZDIOBA
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
INSTRUMENTNE ANALITIČKE METODE I. seminar
INSTRUMENTNE ANALITIČKE METODE I seminar šk.g. 006/07. 8 MASENA SPEKTROMETRIJA sastavila: V. Allegretti Živčić ionski izvor računalni zaslon ili pisač s papirom visokonaponsko napajanje bezionski dio uređaja
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
To je ujedno 1/12 mase atoma ugljika koja je određena eksperimentom i koja iznosi kg. Dakle mase nukleona:
Nuklearna fizika_intro Osnovne sile u prirodi, građa atomske jezgre, nukleoni i izotopi, energija vezanja jezgre, radioaktivnost, osnovne vrste radioaktivnog zračenja i njihova svojstva, zakon radioaktivnog