Primjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x [-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.

Transcript

1 Primjer II-. Skiciraj grafik y=+ u opsegu [-,] i nađi vrijenost y za =. i vrijenost za y=-, te nađi graijent (nagib) i presjecišta s i y osom. f( ) f( ) 9 f( ) 9 5 f( ) 5 f (.).8 5 f( ) = y = = Nagib: = Presjecište s -osom (y=): = Presjecište s y-osom (=): y = = Primjer II-. Skiciraj sljeeće grafike u rasponu [-,] : y=; y=+; y=-, te nađi njihove graijente (nagib) i presjecišta s i y osom. f ( ) f ( ) f ( )

2 6 f ( ) f ( ) f ( ) 6 Nagibi su za sve krive (pravca) jenaki, što se vii iz oblika jenačina (koeficijenti pravca) - stoga su pravci međusobno paralelni Presjecišta s -osom (y=): a b = f f f b = a Presjecište s y-osom (=): f f f Primjer II-. Nađi graijete sljeećih pravaca: y=5-, +y=, pravac koji prolazi kroz tačke (-,5) i (,), pravac koji prolazi kroz tačke (-,-) i (-,). f ( ) 5 Graijent: 5 f ( ) Graijent: (-,5) i (,) Graijent: 5 ( ). (-,-) i (-,) Graijent: ( ) 6 ( )

3 Primjer II-. Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa ( C) i stepenima Farenhajta ( F) ata je u Tabeli ole. a) Prikaži atu ovisnost grafički b) Očitaj vrijenost temperature 55 C u F c) Očitaj vrijenost temperature 7 F u C ) Izvei jenačinu koja aje vezu C i F C ( 6 8 ) T F ( ) T a) F C b) 55 C je oko F c) 7 F je oko 78 C ) Koristeći prva va poatka (,5) i (,68), može se obiti jenačina pravca u obliku y y y 5 y y = 68 5 = ( ) pa je y = 9 5 Dakle, jenačina F 9 5 C aje ovisnost stepeni Farenhajta i Celzijusa Primjer II-.5 Prilikom testiranja sijalice, obivene su vijenosti otpora R u omima () i napona U u voltima (V). Dobivene vrijenosti su aproksimirane linearnom funkcijom s poacima atim u Tabeli. a) Prikaži atu ovisnost grafički (otpor kao y-osu) b) Orei graijent c) Orei presjek s R-osom ) Kolika bi vrijenost otporna bila za V e) Izvei jenačinu pravca

4 U ( ) T R ( ) T a) R U b) Koristeći prva va poatka (6,) i (9,6.5), može se izračunati graijent (ubrzanje) graijent = graijent y y c) S grafika: Presjek s R osom je oko ) S grafika: Vrijenost optora za V bi bila oko 5 e) Koristeći prva va poatka (6,) i (9,6.5), može se obiti jenačina pravca u obliku y y = y y y 6.5 = ( 6) pa je y 9 6 = 5 Primjer II-.6 Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati ati su u Tabeli. Prikaži atu ovisnost grafički (vrijeme kao -osu)

5 Orei graijent (ubrzanje) Orei brzinu nakon s Orei vrijeme pri m/s Izvei jenačinu pravca t ( ) T v ( ) T a) v b) Koristeći prva va poatka (,6.9) i (5,9), može se izračunati graijent (ubrzanje) t graijent = graijent y y c) S grafika: brzina nakon s je oko.5 m/s ) S grafika: vrijeme za v= m/s je oko 6.5 s e) Koristeći prva va poatka (,6.9) i (5,9), može se obiti jenačina pravca u obliku y y = y 6.9 y y = ( ) pa je y 5 = Dakle, jenačina u.7t 5.5 aje ovisnost brzine i vremena.

6 Primjer II-.7 Za funkcije f()= +-5 i y= a) Nacrtaj grafike b) Nađi nule c) Nađi koorinate i prirou ekstrema. f ( ) 5 f ( ) a) Grafici f ( ) f ( ) b) Nule 5 ( ) 9 9 ( 5) 7..5 ( 5) 5 ( ) 9 9 ( 5) 7..5 ( 5).6. c) Ekstremi.5 9 ( 5).9 minimum (>) maksimum (-5<) Primjer II-.8 Za funkciju f()= -- primijenjujući interval [-,] a) Nacrtaj grafik b) Nađi nule c) Nađi koorinate i prirou ekstrema ) Nađi vrijenost y za =. e) Nađi vrijenost za y= f ( ) a) Grafik

7 f( ) b) Nule ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).5. c) Ekstremi.65 minimum (>) ) f (.) e) = = solve Primjer II-.9 Otpor R električnog konenzatora na temperaturi [ C] at je izrazom R=R e, gje je konstanta, a R =5. Orei (na značajne cifre), kaa je R=6 i =5 C. Također, nađi temperaturu kaa je otpor R=5. R( θ) = 5 e αθ Prema uslovima zaatka: 6 = 5 e α5 Logaritmirajući lijevu i esnu stranu imamo: ln( 6) = ln 5 e α5 = ln( 5) α 5

8 Saa se lako obija ln 6Ω 5Ω 5Δ C.5 Δ C.5 θ Prema uslovima zaatka: 5 = 5 e Logaritmirajući lijevu i esnu stranu imamo:.5 θ ln( 5) = ln 5 e = ln( 5).5 θ Saa se lako obija θ.5 ln 5Ω 5Ω Δ C 6. Δ C Primjer II-. Temperatura [ C] kalema koji se zagrijava električnom strujom u vremenu t ata je izrazom = (-e t/ ), gje je temperatura za t=, a je konstanta. Izračunati: a) temperaturu kaa je =5 C, t=s, a =6s b) vrijeme t, kaa temperatura ima vrijenost polovine θ () t = θ e t τ a) 5Δ C Prema uslovima zaatka: θ s 6s e 7.75 Δ C b) Prema uslovima zaatka: Logaritmiranjem lijeve i esne strane obija se θ t ln(.5) 6s.589 s t t t τ τ τ = θ e pa je e =.5 tj. e t τ lne = ln(.5) tj. t = τ ln(.5) =.5 Primjer II-.

9 Jačina naizmjenične struje ata je izrazom t=sin(t+.7) u amperima [A]. Nađi amplituu, perio, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima). Amplitua: A Perio: T π s. s π Frekvencija: f 5 Hz T Fazni ugao:.7ra 5.7 Primjer II-. Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje o.5 m i frekvenciju o 6 Hz. U vremenu t=, pomjeranja je 9 cm. Izrazi pomjeranje u opštem obliku Asin(t ± ). Prema uslovima zaatka: Amplitua: A.5m Ugaona brzina: f 6Hz ω π f s Fazni ugao:.9 =.5 sin( α) pa je α asin.9.5. Primjer II-. Trenutna vrijenost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojem vremenu t ata je izrazom u= sin(5t.5) u voltima[v]. Orei: a) amplituu, perio, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima) b) vrijenost napona za t= c) vrijenost napona za t=ms ) vrijeme kaa napon ostigne vrijenost V e) vrijeme kaa napon ostigne maksimalnu vrijenost Skiciraj grafik funkcije. f ( t) sin( 5 π t.5) V a) Amplitua: Perio: Frekvencija: V π T s. s 5 π f T 5 Hz b) Fazni ugao:.5ra.997

10 f( ) V c) f (.) 9.6 V ) V = sin( 5 π t.5) V t asin.5 5 π s 7.8 ms e) sin( 5 π t.5) = t ( asin( ).5) 5 π s. ms f( z) z Primjer II-. Orei poluprečnik i koorinate kruga atog jenačinom +y +8-y+8=. Zaata jenačina kruga se može prikazati kao: 8 6 y y 8 7 = ( ) ( y ) = Dakle, centar kruga je u (-,), a poluprečnik je.

11 Primjer II-.5 Skiciraj grafik sljeeće jenačine: +y -+6y-=. Zaata jenačina kruga se može prikazati kao: y 6y 9 = ( ) ( y ) = Dakle, centar kruga je u (,-), a poluprečnik je Primjer II-.6 Skiciraj grafike y=(-) i f()= -8. f a ( ) f a ( ) ( ) f b ( ) f b ( ) 8 8 f a ( z) 6 f a ( z) f b ( z) f b ( z) z z

12 Primjer II-.7 Skiciraj grafike y=5-(+) i f()=+sin. f a ( ) f a ( ) ( ) f a ( ) 5 ( ) f b ( ) sin( ) f b ( ) sin( ) f b ( ) sin( ) f b ( ) sin( ) f a ( z) f a ( z) f a ( z) 5 5 z f b ( z) f b ( z) f b ( z) f b ( z) 6 z Primjer II-.8 Skiciraj grafik y = -. Data jenačina se može napisati u obliku f a ( ) f a ( ) y = = = f a ( ) f a ( z) f a ( z) f a ( z) z

13 Primjer II-.9 Orei inverzne funkcije za a) f()=+ b) f()=5+ c) f()=/+ Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije. f ( z) z a) f a ( ) Zamjenom i y = y pa je f ainv ( ) f a ( z) f ainv ( z) f( z) b) 5 5 f b ( ) 5 Zamjenom i y = 5y pa je f binv ( ) z 5 f b ( z) c) f b ( ) f binv ( z) f( z) Zamjenom i y = pa je f binv ( ) y z f b ( z) f binv ( z) f( z) z

14 Primjer II-. Izračunaj vrijenosti sljeećih funkcija: arcsin(-), arccos(.5), arctg(.5), arcctg(), arcsin(/)+arccos(/5)+arctg(8/9) u raijanima i stepenima. asin( ).57 asin( ) 9 acos(.5).7 acos(.5) 6 atan(.5).6 atan(.5) atan asin.6 atan acos atan 8.7 asin 5 9 acos 5 atan Primjer II-. Nacrtaj krivu f()= - za vrijenosti [-, ]. Na grafiku označi tačke J i K s koorinatama (, f()) i (, f()), respektivno, i nađi graijent tetive JK. Pomjerajući se prema K nađi graijent trangente u K. f ( ) 8 f( z) f( ) f( ) 6 K J z J : f( ) 5 K : f( ) Nagib JK f( ) f( ) 6 f( ) f( ) f (.5) f( ).5

15 f (.) f( ). f (.) f( ) f (.) f( ). 8. Graijent u K teži ka 8. Primjer II-. Nađi izvoe sljeećih funkcija (po ): y= 7, y=/, y=5, ( 5) Primjer II-. Nađi izvoe sljeećih funkcija (po z): y=sin z, f(z)=sin z 5cos z. sin z z ( ( )) cos( z) sin( z) 5 cos z z ( ( )) cos( z) sin( z) Primjer II-. Jačina naizmjenične struje ata je izrazom i=5sin t, gje je t vrijeme u sekunama. Orei brzinu promjene struje kaa je t=.s. Da li u toj tački jačina struje raste ili opaa? Skiciraj na grafiku!!! it ( ) 5 sin( t) Prvi izvo je: 5 sin t t ( ( )) 5 cos( t) Brzina promjene struje: 5 cos(.) 7.5 Brzina promjene je pozitivna, pa struja raste

16 6 iz ( ) i(.) z. Primjer II-.5 Nađi graijent krive toj tački raste ili opaa? za =. Da li funkcija u sin( ) e ln( ) f' ( ) e 8 cos( ) 6 f' ( ).57 Dakle, funkcija opaa u tački =. Primjer II-.6 Njutnov zakon hlađenja je at izrazom = e kt. Orei brzinu promjene temperature nakon 5 s, ako je = C i k=-.. Da li se temperatura povećava ili smanjuje? θ 5Δ C k. s θ() t θ e kt Prvi izvo je: θ e kt t θ' () t k θ e kt Brzina promjene temperature: θ' ( 5s). K s Brzina promjene je negativna, pa temperatura opaa

17 5 θ( z) θ( 5s) z5 Primjer II-.7 Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p e h/c, gje je p pritisak na zemlji, a c je konstanta. Orei promjenu pritiska na visini 55 m, ako je p = kpa, a c=6. m. p kpa c 6. m ph ( ) p e h c h p e h c p' ( h) p e c h c p' ( 55m).57 Pa m 5 pz ( ) p( 55m) Primjer II z55 Nađi integrale sljeećih funkcija (po ): y= 7, y=/, y=5, 7 8 +c

18 +c 5 5 +c sin( ) e ln( ) e cos( ) ln( ) 6 +c Primjer II-.9 Nađi integrale sljeećih funkcija (po t): y=sin t, f(t)=sin t 5cos t, sin( t) t cos( t) +c 5 sin( t) ( sin( t) 5 cos( t) ) t cos( t) +c t t t t t +c t Primjer II-. Izračunaj:

19 a) b) c) ) a) ln( ).886 b) cos( t) t sin( t) cos( t) t.56 c) u u ln( u) u. u ) e e e 5.97 Primjer II-. Nađi površinu koja je omeđena krivom y=+, -osom i orinatama = i =. f ( ) y f( z) 5 y y 5 5 z (površina trapeza!!!)

20 Primjer II-. Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] ata je izrazom v=t +5. Nađi pređeni put tijela u vremenu o o s. t vt () t 5 vt () va ( ) vz ( ) z z 5 z a A v ( ) Primjer II-. Skiciraj grafik funkcije između =- i = i nađi

21 povrđinu koju kriva zaklapa s osom. f ( ) 5 6 f( ) -6-8 f( a) 5 5 a f( z) z z z 5 z 6 z A f( ) f( ).8

22