MEĐIMURSKO VELEUČILIŠTE U ČAKOVCU ODRŽIVI RAZVOJ MARIN NOVAK RADIOAKTIVNI OTPAD NA ODLAGALIŠTIMA OTPADA I NJEGOVO ZBRINJAVANJE ZAVRŠNI RAD

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MEĐIMURSKO VELEUČILIŠTE U ČAKOVCU ODRŽIVI RAZVOJ MARIN NOVAK RADIOAKTIVNI OTPAD NA ODLAGALIŠTIMA OTPADA I NJEGOVO ZBRINJAVANJE ZAVRŠNI RAD"

Transcript

1 MEĐIMURSKO VELEUČILIŠTE U ČAKOVCU ODRŽIVI RAZVOJ MARIN NOVAK RADIOAKTIVNI OTPAD NA ODLAGALIŠTIMA OTPADA I NJEGOVO ZBRINJAVANJE ZAVRŠNI RAD ČAKOVEC, 2017.

2 MEĐIMURSKO VELEUČILIŠTE U ČAKOVCU ODRŽIVI RAZVOJ MARIN NOVAK RADIOAKTIVNI OTPAD NA ODLAGALIŠTIMA OTPADA I NJEGOVO ZBRINJAVANJE RADIOACTIVE WASTE ON LANDFILLS AND IT'S CARE ZAVRŠNI RAD MENTOR: dr.sc. Dragica Kemeter ČAKOVEC, 2017.

3 ZAHVALA Zahvaljujem svojoj mentorici na usmjeravanju i vođenju pri izradi završnoga rada, čime mi je omogućila da odabranu temu kvalitetno razložim i sročim u strukturiranu i koherentnu cjelinu. Marin Novak

4 SAŽETAK Završni rad opisuje nastajanje radioaktivnog otpada i njegovo različitim tehnologijama. Navedene su klasifikacije radioaktivnog otpada te njihove međusobne razlike. Prikazan je proces odabira lokacije budućeg odlagališta radioaktivnog otpada, kao i istražni radovi koji se obavljaju na odabranoj lokaciji. Rad prikazuje različite vrste odlagališta radioaktivnog otpada, načine njegova skladištenja, odnosno odlaganja te obradu. Navedeni su neki primjeri modernih odlagališta u razvijenim zemljama svijeta. Detaljno je obrađena problematika odlagališta radioaktivnog otpada u Hrvatskoj. Prikazane su trenutne količine i aktivnosti radioaktivnog otpada na teritoriju Republike Hrvatske. Objašnjene su i metode izbora lokacije budućeg odlagališta radioaktivnog otpada Čerkezovac na Trgovskoj gori u Hrvatskoj. Opisan je i mogući utjecaj centra za radioaktivnog otpada na okoliš i ljude u Hrvatskoj. Ključne riječi:odlagalište radioaktivnog otpada, skladištenje i odlaganje radioaktivnog otpada, nisko i srednje radioaktivni otpad, visoko radioaktivni otpad

5 SADRŽAJ 1. UVOD OPĆI DIO Nastajanje radioaktivnog otpada Klasifikacija radioaktivnog otpada Radioaktivnost CILJ RADA Zbrinjavanje radioaktivnog otpada Radioaktivni otpad na odlagalištima Odabir lokacije odlagališta RAO-a Istražni radovi na lokaciji odabranog odlagališta TIPOVI ODLAGALIŠTA I NAČINI SKLADIŠTENJA RAO-a Skladištenje radioaktivnog otpada Skladištenje nisko i srednje radioaktivnog otpada (NSRAO) Skladištenje visoko radioaktivnog otpada (VRAO) Mokro skladištenje Suho skladištenje ODLAGALIŠTA RADIOAKTIVNOG OTPADA Izvedbe površinskog načina odlaganja radioaktivnog otpada Odlagalište za visoko radioakitvni otpad (VRAO) Barijere kod odlaganja VRAO RADIOAKTIVNI OTPAD U HRVATSKOJ Količine i aktivnosti radioaktivnog otpada u Hrvatskoj PLAN IZGRADNJE ODLAGALIŠTA RADIOAKTIVNOG OTPADA U HRVATSKOJ Utjecaj centra za RAO-a na ljude i okoliš REZULTATI ZAKLJUČAK LITERATURA... 32

6 1. UVOD Radioaktivni otpad (RAO) materijal je koji sadrži prirodne radioaktivne nuklide i/ili nuklearnim reakcijama umjetno stvorene radionuklide u udjelima većim od prirodnih, a nema praktičnu upotrebu. RAO predstavlja potencijalnu opasnost za okoliš, pa ga stoga treba tretirati na prikladan način. [1] Radioaktivni otpad nastaje procesiranjem tvari (npr. plin, nafta, ugljen, minerali) koje sadrže radionuklide prirodnih uranijevih ili torijevih nizova te korištenjem radionuklida u dijagonističke i terapijske svrhe u medicinskim ustanovama; industrija i znanstvenoistraživačke ustanove također stvaraju manje količine radioaktivnog otpada, a najveće količine nastaju kao posljedica aktivnosti svake od faza nuklearnog gorivog ciklusa. [2] Klasifikacija radioaktivnog otpada određuje se vremenom trajanja radioaktivnosti otpada, količinom radioaktivnog materijala u otpadu i stvaranjem topline u otpadu. [3] Slika 1. Volumen radioaktivnog otpada Izvor: hrvatska klasifikacija RAO, NN 44/2008 1

7 2. OPĆI DIO 2.1 Nastajanje radioaktivnog otpada Radioaktivne tvari su one tvari kod kojih specifična aktivnost prelazi 74 bekerela po gramu. Specifična aktivnost je aktivnost jednog radionukleida po jedinici mase tog radionukleida. [5] Radioaktivni otpad nastaje u djelatnostima u kojima se koristi radioaktivno zračenje, a to su: energetika, poljoprivreda, znanost, industrija i medicina. Najveća količina radioaktivnog otpada nastaje radom nuklearnih elektrana i u fazama nuklearnog gorivnog ciklusa.odustajanjem od prerade i recikliranja nuklearnog goriva, istrošeni gorivni elementi postali su radioaktivni otpad. Osim istrošenog goriva, nuklearne elektrane svakodnevno proizvode radioaktivni otpad koji se naziva i pogonski otpad koji uključuje različite dijelove opreme (ventili, cijevi, manometri), otpad nastao pročišćavanjem vode i plinova (filteri) te različitu zaštitnu opremu (rukavice, kombinezoni). [4] Slika 2. Izvori radioaktivnog otpada Izvor: 2

8 U medicini radioaktivni otpad nastaje korištenjem radioaktivnih materijala i ionizirajućih zračenja za liječenje ili dijagnozu bolesti. Takav radioaktivni otpad traži poseban tretman. Posude koje sadržavaju kontaminirani materijal pohranjuju se sve dok njihova aktivnost ne padne ispod dopuštenih granica. Razvojem znanosti došlo je do smanjenja količine radioaktivnog otpada zbog smanjenja upotrebe dugoživućih izotopa. U industriji RAO se javlja u obliku istrošenih gromobrana i detektora dima te ostalih uređaja koji nisu u upotrebi, a sadrže radioaktivne izvore. Pri izvođenju eksperimenata u znanstvenoistraživačkim institutima također nastaje radioaktivni otpad zbog korištenja izvora ionizirajućeg zračenja. 2.2 Klasifikacija radioaktivnog otpada Pri klasifikaciji radioaktivnog otpada utvrđuje se koliko će vremena otpad biti radioaktivan, koliki je udio radioaktivnog materijala u otpadu i stvara li otpad toplinu. Međunarodno su prihvaćene sljedeće kategorije radioaktivnog otpada: vrlo nisko, nisko, srednje i visoko radioaktivni otpad. Vrlo nisko radioaktivni otpad - sadrži zanemarivu specifičnu aktivnost pa nije opasan za zdravlje i okoliš pučanstva i može se zbrinjavati na isti način kao i standardni komunalni otpad. Nisko radioaktivni otpad - sadrži malu specifičnu aktivnost i zanemariv ud radionuklida s dugim vremenom poluraspada. Stvara se u medicinskim ustanovama, industriji i nuklearnom gorivom ciklusu. Kod ovog otpada nije potrebno koristiti štitove od nuklearnog zračenja prilikom transporta i rukovanja. Zbog smanjenja volumena otpad se spaljuje ili kompaktira. Za konačno provodi se površinsko odlaganje (plitko potkapanje). Srednje radioaktivni otpad - zbog veće specifične aktivnosti potrebno je koristiti sredstva zaštite pri rukovanju i transportu. Nastaje pri izgradnji nuklearnih elektrana i u pogonu nuklearnih reaktora. Otpad se prvo solidificira u betonu ili bitumenu, a konačno 3

9 ovisi o vremenu poluraspada prisutnih radionuklida. Otpad koji sadrži radionuklide s kratkim vremenom poluraspada zbrinjava se u površinskom odlagalištu, a otpad s radionuklidima s dugim vremenom poluraspada zbrinjava se u dubokim podzemnim odlagalištima.visoko radioaktivni otpad - javlja se u obliku fisijskih produkata i transuranijskih elemenata koji se stvaraju u jezgri reaktora. Prije konačnog zbrinjavanja treba se godinama hladiti zbog stvaranja značajnih količina topline. Pojavljuje se u dva oblika: kao istrošeno gorivo koje se ne prerađuje i kao fisijski produkti dobiveni preradbom istrošenoga goriva. Istrošeno se gorivo radi hlađenja i smanjenja radioaktivnosti privremeno pohranjuje (na 20 do 50 godina) na lokaciji nuklearne elektrane u bazenu za istrošeno gorivo i u suhim betonskim ili željeznim spremnicima. Fisijski produkti najprije se prevode u čvrsti oblik njihovom ugradnjom u posebnu vrstu borosilikatnoga stakla (vitrifikacija), a zatim se radi hlađenja i smanjenja radioaktivnosti pohranjuju u privremenom odlagalištu. Konačno se zbrinjavaju odlaganjem u stabilne geološke formacije na dubini od 500 do 1000 m. [6] Tablica 1. Vrijeme poluraspada odabranih radioaktivnih izotopa Ime Simbol Vrijeme poluraspada ugljik C 5730 godina kobalt Co 5,3 godina vodik-3 3 1H 12,3 godina jod J 8,1 dan stronicij Sr 28 godina 4

10 tehnicij-99 m 99m 43Te 6h uranij U 710 miljuna godina Izvor: Korigirano prema Caret i sur., Vrijeme poluraspada ukazuje na stabilnost nekog radioaktivnog izotopa. Izotopi s kratkim vremenom poluraspada brzo se raspadaju i vrlo su nestabilni. [6] 2.3 Radioaktivnost Radioaktivnost je proces kojim prirodne radioaktivne tvari otpuštaju energetske čestice ili zrake. Radioaktivnost je nuklearni događaj, pa tvar i energija otpušteni tijekom ovog procesa potječu iz jezgre atoma. [6] Atomi nekog elementa nisu podložni radioaktivnom raspadanju. Jedan izotop nekog elementa može biti radioaktivan, no drugi izotopi istog elementa mogu biti potpuno stabilni. Postoje tri vrste zraka koje otpuštaju nestabilne jezgre i to alfa, beta i gama. Alfa čestice imaju relativno veliku masu, pa se otpuštene iz radioaktivnih izotopa sporo gibaju i vrlo lako se zaustavljaju preprekom tankom poput nekoliko listova knjige. Beta čestice su manje i brže te imaju više energije nego alfa-čestice. Prodornije su pa ih zaustavljaju gusti materijali poput drveta, metala ili nekoliko slojeva tkanine. Najprodorniji oblik nuklearnog zračenja su gama-zrake. Predstavljaju čistu energiju koja nema ni masu ni naboj te su zbog toga gama zrake najprodorniji oblik nuklearnog zračenja. [6] 5

11 Slika 3. Prodornost zračenja Izvor: Tablica 2. Glavna svojstva alfa, beta i gama zraka Ime i simbol Osobina Naboj Brzina Prodornost alfa (α) jezgra helija % brzine niska svjetlosti beta (β) elektron -1 do 90% brzine srednja svjetlosti gama (γ) blještava energija 0 brzina svjetlosti visoka Izvor: korigirano prema Caret i sur.,

12 3. CILJ RADA Cilj rada je odgovoriti na pitanje je li se na našim odlagalištima otpada pojavio i radioaktivni otpad te, ako jeste, što se učinilo ili što će se učiniti s njime. Ujedno će rad dati obradu načina zbrinjavanja radioaktivnog otpada. Također će se odgovoriti na pitanje stvara li se kod nas i uvozimo li radioaktivni otpad. 3.1 Zbrinjavanje radioaktivnog otpada Zbrinjavanje radioaktivnog otpada uključuje više postupaka: predobradu RAO-a i istrošenog nuklearnog goriva (spaljivanje, kompaktiranje, solidifikaciju i sl.), privremeno ili dugotrajno skladištenje, pakiranje u spremnike te odlaganje koje uključuje odvajanje otpada od okoliša slabopropusnim barijerama i/ili ukapanje u tlo. [7] Gospodarenje RAO-om, tj. način njegova zbrinjavanja mijenjao se proporcionalno napretku tehnologije i znanosti do razine kada se mogao postići minimalni rizik kod postupanja otpadom. Važan zadatak kod stvaranja kvalitetnog programa gospodarenja RAO-om je uključivanje svih sudionika, od političkih stranaka, lokalnih uprava, nevladinih udruga do šire javnosti i Vlade u program. Mnogi progami gospodarenja otpadom propali su zbog odbijanja, odnosno zbog neinformiranosti. [7] 3.2 Radioaktivni otpad na odlagalištima Radioaktivni otpad potrebno je odložiti na način kojim se osigurava dugoročna stabilnost skladišta otpada da bi se spriječio bilo kakav kontakt radioaktivnih izotopa s biosferom, a posebice s podzemnim vodama. Stabilnost radioaktivnog materijala u matrici zaštitne posude ovisi o izvedbi čelične bačve i prirodne geološke formacije u koju se otpad odlaže. Za imobilizaciju radioaktivnih izotopa najčešće se koriste smole i cement kod niskoaktivnog otpada, a kod visokoaktivnog otpada vitrificirana staklena masa. 7

13 3.3 Odabir lokacije odlagališta RAO-a Odabir lokacije odlagališta radioaktivnog otpada skup je i dugotrajan proces na koji utječu različiti čimbenici. " U početnoj fazi potrage za lokacijom budućeg odlagališta nastoji se primjenom različitih isključnih kriterija, koji se prvenstveno odnose na geološke (litologija, tektonika, seizmika i dr.), hidrogeološke i hidrološke uvjete, eliminirati široka područja s obzirom na postavljene kriterije. U sljedećoj fazi nastoji se rangirati potencijalne lokacije korištenjem različirih usporednih kriterija. Ako je na raspolaganju više potencijalnih lokacija, među kriterijima koji utječu na odabir, najvažniji bi trebao biti kriterij prirodne pogodnosti terena za lociranje odlagališta i izolaciju otpada radi sprječavanja širenja onečišćenja u okoliš." (Nađ i Kavur, 2016.) Proces odabira lokacije mora biti javan i transparentan te bi ga trebala usmjeravati struka. Važno je da se na početku jasno postave ciljevi, tehnički i drugi zahtjevi te kriteriji, koji će se primjenjivati tijekom procesa odabira lokacije. Na konačan odabir lokacije odlagališta prevladavajući utjecaj imaju stav društvene zajednice i politika. [8] 3.4 Istražni radovi na lokaciji odabranog odlagališta Kada je lokacija odabrana, potrebno je istražnim radovima utvrditi sve relevantne značajke matične stijene i ostatka geosfere. Program istražnih radova potrebno je smisleno planirati, obično po fazama, te voditi, nadzirati i prilagođavati tijekom samih radova, ovisno o razultatima istraživanja. Rezultati istraživanja trebaju potvrditi značajke matične stijene kao i šire geosfere koje se od njih očekuju. Kod istražnih radova glavni naglasak je na detaljnoj geološkoj karakterizaciji strukture matične stijene i njene propusnosti. Istražni radovi najčešće uključuju duboka bušenja s kontinuiranim jezgrovanjem nabušenih stijena te terenske pokuse vodopropusnosti. Istražni radovi vrlo su skupa invensticija u koju se ulazi s neizvjesnim ishodom, npr. Njemačka je uložila 1,5 milijardi eura u istraživanja ležišta soli u Gorlebenu da bi se utvrdilo je li ta lokacija sigurna za buduće duboko geološko odlagalište. [8] 8

14 Slika 4. Koncept dubokog geološkog odlagališta RAO Izvor: Inženjerstvo okoliša Slika 4 prikazuje tipični koncept kopanog odlagališta koji podrazumijeva izradu dubokih okana do dubine matične stijene koja može iznositi i nekoliko stotina metara. Dubina pristupnih okana kontrolirana je lokalnim geološkim uvjetima. [8] 4. TIPOVI ODLAGALIŠTA I NAČINI SKLADIŠTENJA RAO-a Odlagališta RAO-a u praksi se dijele na tri osnovna tipa: A. Privremena odlagališta B. Odlagališta za nisko i srednje radioaktivni otpad (vrijeme poluraspada 30 godina) C. Odlagališta za visoko radioaktivni otpad (trajanje radioaktivnosti više stoljeća) Najbolje rješenje bilo bi sav radioaktivni otpad zbrinuti na isti način, npr. u dubokom i geološki stabilnom odlagalištu. Zbog različitih vrsta radioaktivnog otpada i 9

15 manjka dubokih geoloških formacija, preskupo je održavati i graditi takva odlgališta, kada bi se u njih smjestio sav otpad. Slika 5. Dugoročno skladište NSRAO u mjestu Borssele, Nizozemska Izvor: Brošura - Radioaktivni otpad 4.1 Skladištenje radioaktivnog otpada Kod zbrinjavanja radioaktivnog otpada javljaju se dva različita pojma: "skladištenje" i "odlaganje". Skladište služi za čuvanje RAO-a na određeno vrijeme ( godina) pod stalnim aktivnim nadzorom, nakon čega se RAO uklanja iz skladišta, a skladište se razgradi. Odlagalište služi za otpada na neograničeno vrijeme, bez namjere da ga se ikad vadi. Kod odlagališta nadzor se provodi samo u nekom početnom periodu i bez izravnog pristupa otpadu. [9] 4.2 Skladištenje nisko i srednje radioaktivnog otpada (NSRAO) Nisko i srednje radioaktivni otpad javlja se u različitim oblicima: tekućem, čvrstom i plinovitom, a prema vrsti otpada može biti: zapaljivi, disperzibilni, tekućine koje sadrže taloge, a sva navedena svojstva moraju biti označena na deklaraciji spreminika. Skladište za NSRAO mora biti jednostavno ali otporno. Može se sagraditi pripovršinski ili površinski, ovisno o očekivanom inventaru skladišta i lokalnim parametrima. Struktura skladišta mora biti sagrađena od visokokvalietnog betona u oba 10

16 slučaja. Prostor se dizajnira na način da primi što veći volumen otpada, s time da mora sadržavati prostor za pristup i prijenom svakoj jedinici inventara te sekundarni manipulativni kapacitet za inspekciju i rukovanje inventarom prije smještaja. [9] Inventarom skladišta upravlja se ručno (u slučaju neznatnog zračenja otpada) i strojevima poput viljuškara i dizalica kojima se može upravljati računalno ili ručno. Da bi se maksimalno iskoristio prostor skladišta, vrlo se često ugrađuju metalne konstrukcije na koje se spremnici postavljaju uspravno ili vodoravno. [9] Slika 6. Skladište NSRAO u Slovačkoj Izvor: JAVYS 4.3 Skladištenje visoko radioaktivnog otpada (VRAO) Visoko radioaktivni otpad i istrošeno nuklearno gorivo (ING) skladište se zbog nekoliko razloga. radioaktivnost svježeg ING-a i VRAO-a koji nastaje nakon prerade ING-a, mnogostruko se umanji već nakon nekoliko godina nakon skladištenja, što značajno olakšava daljnje postupanje njima za odlaganje treba pričekati pad topline koju razvija ING/VRAO jos uvijek ne postoji odglagalište koje bi moglo nepovratno odložiti VRAO VRAO se skladišti na dva načina: 11

17 mokro skladištenje suho skladištenje [10] Mokro skladištenje Nakon vađenja iz reaktora, istrošeno gorivo pohranjuje se u bazenu s bornom vodom da bi se ohladilo i smanjila radioaktivnost. ING se pohranjuje najmanje na 9-12 mjeseci. Najčešće se ING pohranjuje na nekoliko godina u bazenu u krugu nuklearne elektrane. ING se u bazenu nalazi u metalnim konstrukcijama koje drže gorivne elemente u vertikalnom položaju. Dubina bazena iznosi metara, a gorivo se u bazenu hladi prirodnom cirkulacijom (miješanje tople i hladne vode). Bazen je opremljen posebnim sustavom za efikasnije hlađenje istrošenog goriva. [10] Slika 7. Mokro skladištenje VRAO i ING Izvor: Nuklearna elektrana Krško 12

18 4.3.2 Suho skladištenje Nakon što je gorivo provelo dovoljno vremena u bazenu, može se premijestiti u suho skladište. Suho skladištenje primjenjuje se kada bazen za ING nema dovoljan kapacitet za primanje cjelokupnog istrošenog goriva nastalog tijekom životnog vijeka nuklearne elektrane. Prednost ovog sustava su manji operativni troškovi zbog jednostavnijeg sustava hlađenja. Razvijeno je mnogo različitih sustava za suho skladištenje ING-a, a uobičajeni tipovi tih sustava su: samostojeći masivni spremnici (eng. cask) koji se nalaze u jednostavnoj zgradi ili se drže u ograđenom prostoru na armiranoj betonskoj ploči robusutne armirano-betonske građevine s posebnim nišama u koje se ING umeće u spremincima (kanistrima) Slika 8. Spremnik za ING kod suhog skladištenja Izvor: GNS Gesellschaft für Nuklear-Service GmbH Prikazani spremnici mogu zaprimiti do nekoliko desetaka istrošenih gorivnih elemenata koji su zbog dizajna otporni na teške nesreće. [10] 13

19 Slika 9. Suho skladište unutar jednostavne zgrade Izvor: Skladištenje ING-a i VRAO-a Slika 10. Suho skladištenje ING-a na armirano-betonskoj podlozi Izvor: Skladištenje ING-a i VRAO-a U svijetu su dostupni različiti sustavi i dizajni spremnika za suho skladištenje, a zajednički cilj im je održavanje goriva u potkritičnom stanju te predstavljanje barijere kod ispuštanja radioaktivnosti. [10] 14

20 5. ODLAGALIŠTA RADIOAKTIVNOG OTPADA A. Privremena odlagališta Svaka nuklearna elektrana ima privremeno skladište koje zadovoljava uvjete za odlaganje svih vrsta radioaktivnog otpada za razdoblje od oko 20 godina. B. Odlagalište za nisko i srednje radioaktivni otpad Nisko i srednje radioaktivni otpad odlaže se na jedan od površinskih načina odlaganja radioaktivnog otpada. C. Odlagalište za visoko radioaktivni otpad (VRAO) 5.1 Izvedbe površinskog načina odlaganja radioaktivnog otpada Najjednostavniji način površinskog odlaganja je odlaganje otpada u plitki rov koji se prekriva zemljom. Na takva plitka odlagališta danas se stavlja određena izolacija na dno te dodatni nepropusni sloj s drenažnim kanalima na zemljani pokrov. Prije samog odlaganja RAO dodatno se izolira u betonskim spremnicima, kontejnerima ili nepropusnim posudama. Jednostavnija izvedba površinskog odlagališta: radioaktivni materijal u metalnim spremnicima polaže se na armirano betonsku podlogu i zatim se zatrpava šljunkom, pijeskom i glinom. [11] Slika 11. Površinsko odlagalište za vrlo nisko radioaktivni otpad 15

21 Izvor: Odlaganje NSRAO Sljedeća je varijanta površinskog odlaganja zidana betonska građevina, sagrađena iznad površine (tulumus/monolit/kaseta) ili plitko ukopana. Građevinu čini više prostorija koje se redom popunjavaju posudama s otpadom. Kada je prostorija ispunjena otpadom, posude se zaliju betonom ili nekim drugim materijalom za potpunu stabilizaciju te se zatvara. Radioaktivni otpad u metalnim posudama polaže se na armirano-betonsku podlogu i zatrpava šljunkom, pijeskom i glinom. Metalne posude položene su prema određenom rasporedu na armirano-betonskoj podlozi koja je opremljena drenažnim sustavom. Takva varijanta odlagališta poznata je kao betonski monolit te predstavlja standardizirano rješenje odlaganja otpada niske i srednje aktivnosti. Nakon što se popuni prostor omeđen oplatom i ojačan armaturom, armirano-betonski kontejneri ograđuju se betonskim zidom, čime se dobiva monolitna struktura koja se prekriva s nekoliko slojeva prirodnih i umjetnih materijala. [11] Slika 12. Odlagalište nisko i srednje aktivnog otada (površinsko kasetni tip) Izvor: Odlaganje radioaktivnog otpada 16

22 Slika 7 prikazuje odlaganje niskog i srednje aktivnog otpada u betonske spremnike koji se slažu u amirano-betonske kasete. Slika 13. Odlagalište (površinsko kasetni tip) Izvor: Odlaganje radioaktivnog otpada Na slici 8, armirano-betonske kasete zaštićuju se pokretnim krovom te se zajedno sa cijelim odlagalištem pokrivaju zaštitnim sustavom slojeva koji sprječavaju procjeđivanje oborinskih voda u tijelo odlagališta, a služe i kao biološka barijera. 17

23 Slika 14. Sustav inženjerskih barijera kojima se prekriva odlagalište Izvor: Odlaganje radioaktivnog otpada Za izradu inženjerske barijere uglavnom se koriste različiti pjeskoviti, šljunkoviti i glineni prirodni materijali s lokacije i plasticifirane folije visokih hidroizolacijskih svojstava (geotekstil, geomembrana). Slojevi šljunka i pijeska služe za prikupljanje površinskih voda i oborina da bi se spriječilo njihovo otjecanje u odlagalište i omogućila kontrola kvalitete. Dodavanjem trave na površinski sloj humusa, odlagališe se vizualno uklapa u okolinu. Posljednja varijanta površinskog odlaganja nisko i srednje aktivnog otpada tunelsko je odlaganje unutar čvrste stijene. Tunelsko odlaganje alternativna je tehnološka varijanta odlaganja, u kojojse otpad odvozi tunelom na različite dubine unutar stijene. (od nekoliko desetaka do nekoliko stotina metara). 18

24 Slika 15. Odlagalište tunelskog tipa Izvor: Odlaganje radioaktivnog otpada Kod tunelskog načina odlaganja, čelične bačve s nisko i srednje aktivnim otpadom slažu se u betonske spremnike koji se transportiraju u podzemne prostorije odlagališta. Slika 16. Odlagalište tunelskog tipa (2) Izvor: Zbrinjavanje radioaktivnog otpada 19

25 Raspored podzemnih prostorija u koje se odlaže otpad može biti niz komora nalik na tunele. (slika 16) U razvijenim zemljama adaptiraju se rudnici željeza i soli u prikladnim geološkim formacijama zbog izostanka podzemnih voda i pogodnih izolacijskih svojstava (rudnici Morsleben i Konrad u Njemačkoj). U skandinavskim zemljama u granitnim zemljama iskopani su kosi tuneli s nekoliko bočnih galerija u kojima se grade betonski silosi ili horizontalne prostorije. Nakon popunjenja bočnih galerija radioaktivnim otpadom, one se ispunjavaju betonskom smjesom. [11] Slika 17. Odlagalište nisko i srednje aktivnog otpada u napuštenom rudniku soli, Morsleben, Njemačka Izvor: Odlaganje radioaktivnog otpada Kod planiranja ovakvih tipova odlagališta važna komponenta su sigurnosne analize, odnosno procjene rizika koje provjeravaju efikasnost i funkcionalnost svih prirodnih i umjetnih inženjerskih barijera. 20

26 Važan čimbenik u zaštiti okoliša je monitoring, tj. nadzor utjecaja odlagališta na okoliš. Monitoring čine radiokemijska, radiološka, biološka i druga mjerenja prema definiranim propisima, kako bi se spriječila eventualna migracija radionuklida kroz prirodne štitove i biološke barijere. Najveća pažnja posvećuje se nadzoru vode i drenažnim sustavima iz kojih se uzimaju uzorci za analizu. [11] 5.2 Odlagalište za visoko radioakitvni otpad (VRAO) Proces odlaganja VRAO-a započinje nakon što se dovoljno ohladi u suhom ili mokrom skladištenju. Najprikladniji način odlaganja VRAO-a je duboko geološko odlaganje u stijeni. Takav način omogućuje dugotrajnu izolaciju visokoradioaktivnog otpada od čovjekove okoline. Najpogodniji prirodni ambijenti za takve projekte su: karbonati, ležišta soli, granitne stijene i škriljci. Za smještaj otpada potrebne su dobine od 500 metara ili više. Postoje različite metode odlaganja VRAO-a, kao što je odlaganje u svemir, odlaganje u ledenjake ili odlaganje u prostor ispod tektonskih ploča, no one se danas ne razvijaju. Postoji i opcija bušenja bušotina dubokih između 3 i 5 kilometara kojima bi se vertikalno spuštao i odlagao na dno ING/VRAO. Glavna zadaća duboke geološke formacije izoliranje je i zadržavanje radioaktivnog otpada od čovjekove okoline sve dok razina radioaktivnosti ne padne na prihvatljivu razinu. Da bi se spriječilo kretanje radionuklida iz spremnika, geološke formacije oslanjaju se na sustav nezavisnih i višestukih barijera. Barijere podrazumijevaju posebne inženjerske materijale koji okružuju kontejnere u cilju odbijanja podzemnih voda, antikorozivnu posudu u kojoj se otpad imobilizira, oblik otporan na curenje i samu geološku formaciju kao osnovnu barijeru koja izolira otpad od čovjekove okoline. Postoji više razloga zbog kojih je odlaganje VRAO-a/ING-a u duboke geološke formacije za sada najbolje rješenje: postupak je praktilčan i izvediv s trenutno postojećom tehnologijom koja se koristi u rudarstvu i sličnim djelatnostima to je sustav koji ne traži dodatnu uključenost čovjeka u održavanje njegove sigurnosne funkcije zbog dubine na kojoj se nalazi, radioaktivni otpad ne predstavlja nikakvu opasnost za čovjeka sve dok je odložen 21

27 odlagališta takve vrste mogu biti izgrađena tako da se otpad može dohvatiti za vrijeme rada ili nakon zatvaranja objekta Radioaktivni otpad spušta se u obliku paketa u donje razine okna ili se transportira kosim tunelima u predviđene bušotine. Bušotine se ispunjuju prikladnim materijalom nakog čega slijedi brtvljenje. Punjenje i brtvljenje bušotina radi se da bi se radioaktivni materijal izolirao od čovjekove okoline za desetke tisuća godina. [12] Slika 18. Duboko geološko odlagalište Onkalo, Finska Izvor: Odlaganje VRAO Propisno odlagalište civilnog visokoradioaktivnog otpada još uvijek ne postoji u svijetu, no nekoliko projekata prošlo je dugogodišnje pripremne faze. Projekt odlagališta "Onkalo" u Finskoj najbliži je realizaciji. Do sada su iskopani pristupni tuneli i podzemna galerija na dubini od 455 metara, a godine trebao bi se pohraniti ING. [12] 22

28 Slika 19. Okno u odlagalištu Onkalo, Izvor: Posiva Oy Slika 20. Odlagališna galerija, odlagalište Onkalo Izvor: Posiva Oy 5.3 Barijere kod odlaganja VRAO Kod osiguravanja visoko radioaktivnog otpada koristi se sustav višestrukih barijera. 23

29 Slika 21. Sustav višestrukih barijera kod odlaganja VRAO-a Sustav višestrukih barijera čine: Izvor: Posiva Oy Strukutura goriva - dolazi u obliku keramičkih tableta smještenih u metalnim košuljicama, a na taj se način radioaktivni produkt zadržava unutar samog goriva. Metalni spreminci - služe za pohranjivanje otpada na duži vijek trajanja. Zbog mehaničke stabilnosti i kemijske inertnosti, osiguravaju vodonepropusnost. Geološka struktura - posljednja barijera, pojačava se dodatnim tehnološkim rješenjima ukoliko je potrebno. Uz ovakav sustav barijera, realna opasnost za stanovništvo ne postoji. [12] 6. RADIOAKTIVNI OTPAD U HRVATSKOJ "Hrvatska (RH) je kao članica Europoske unije preuzela odgovornost za uspostavu nacionalnog sustava za sigurno RAO-a, koji nastaje na njenom teritoriju. 24

30 Isto tako, RH je suvlasnik polovine Nuklearne elektrane Krško (NEK), koja se nalazi u susjednoj Sloveniji, preuzela obvezu zbrinjavanja polovine količine RAO-aiz NEK-a na svom teritoriju." (Nađ i Kavur,2016.) 6.1 Količine i aktivnosti radioaktivnog otpada u Hrvatskoj Hrvatska trenutno ima dva mala skladišta u kojima se čuva manja količina (7,5 m 3 ) institucionalnog radioaktivnog otpada i oba skladišta su sada zatvorena, tj. ne mogu više zaprimati otpad. Prve količine otpada iz NEK-a planiraju se zaprimiti godine, a razgradnja NEK-a u godini.[13] " RH još uvijek nema definitivnu lokaciju bilo centralnog skladišta ili odlagališta. ING odnosno 2283 gorivna elementa koji će se iskoristiti do kraja životnog vijeka NEK-a planiraju se skladištiti na lokaciji elektrane predvidivo do kraja stoljeća. RH nakon toga mora preuzeti brigu i za polovinu gorivnih elemenata." (Nađ i Kavur, 2016.) Privremeno skladište IRB-a (Institut Ruđer Bošković) prema klasifikaciji Međunarodne agencije za atomsku energiju sadrži nisko i srednje radioaktivni otpad. Privremeno skladište Instituta za medicinska istraživanja (IMI) prestalo je s radom godine, a pohranjeni otpad je kondicioniran i prepakiran u olovne kontejnere godine. [14] Sljedeća tablica prikazuje volumen i aktivnosti različitih vrsta radioaktivnog otpada u RH. Tablica 3. Procjena postojećeg institucionalnog RAO-a i IZZ-a u RH Izvor: Strategija zbrinjavanja radioaktivnog otpada, istrošenih izvora i istrošenog nuklearnog goriva 25

31 Sumarni pregled inventara RAO-a i ING-a NE Krško, koji će se generirati do godine (kraj redovitog pogonskog vijeka elektrane), odnosno (produljenje pogonskog vijeka elektrane za 20 godina), prikazan je u narednim tablicama.[15] Tablica 4. Sumarni pregled inventara RAO-a iz NEK-a Izvor: Strategija zbrinjavanja radioaktivnog otpada, istrošenih izvora i istrošenog nuklearnog goriva Tablica 5. Sumarni pregled ING-a u NEK-u Izvor: Strategija zbrinjavanja radioaktivnog otpada, iskorištenih izvora i istrošenog nuklearnog goriva Za pogonski i veći dio dekomisijskog RAO-a iz NE Krško preferira se površinski tip odlaganja, dok se za manji dio dekomisijskog RAO-a i ING-a preferira odlagalište u dubokim geološkim formacijama. [15] 7. PLAN IZGRADNJE ODLAGALIŠTA RADIOAKTIVNOG OTPADA U HRVATSKOJ Proces izbora lokacije odlagališta za nisko i srednje radioaktivni otpad u RH-u započeo je i trajao do godine. Ukupno su izdvojene 34 potencijalne lokacije odlagališta RAO-a. Primjenom tzv. izlučnih kriterija vrednovana su sljedeća svojstva lokacija: sigurnost od poplave, ugroženost od potresa, udaljenost od aktivnih rasjeda, litološa i geomorfološka svojstva, hidrogeologija, zaštita prirodne i kulturne baštine, 26

32 rudarska eksploatacija, zahtjevi nacionalne obrane i gustoća naseljenosti. Korišteni usporedni kriteriji mogu se svsrtati u 6 skupina: [16] 1. prijevoz RAO-a 2. meteorologija i hidrologija 3. geologija i seizmologija 4. demografija 5. namjena i korištenje prostora 6. zaštita okoliša Među potencijalnim lokacijama, izdvojene su 4 preferentne lokacije s približno ujednačenim karakteristikama. To su: 1. Trgovačka gora 2. Moslavačka gora 3. Papuk 4. Psunj Nakon toga, dugi niz godina proces izbora lokacije je mirovao, sve do godine kada je bila izdvojena samo jedna lokacija na Trgovačkoj gori, odnosno Čerkezovac u vlasništvu Hrvatske vojske. Tom izboru lokacije veoma se protivi lokalna zajednica, kojima je glavni argument protiv izbora te lokacije blizina rijeke Une i granica s Bosnom i Hercegovinom. [16] Oružane snage Republike Hrvatske smatraju da je lokacija vojnog skladišta Čerkezovac na Trgovskoj gori neperspektivna za postojeće namjene vojske Republike Hrvatske pa imaju namjeru u doglednoj budućnosti lokaciju predati civilnim vlastima na korištenje, a skladištenje organizirati na drugim podobnijim lokacijama u RH-u. [17] Ukoliko bi se lokacija Čerkezovac na Trgovskoj gori odabrala za izgradnju odlagališta, centar za RAO-a obuhvaćao bi sljedeće objekte: 1. središnje skladište za RAO 2. dugoročno skladište za NSRAO iz NE Krško 3. odlagalište za NSRAO 27

33 Slika 22. Potencijalna lokacija odlagališta RAO u RH, Čerkezovac Izvor: Front slobode 7.1 Utjecaj centra za RAO-a na ljude i okoliš Ako bi se izgradio Centar za RAO-a, utjecaj na okoliš bio bi jednostavno rečeno - nikakav. Odloženi NSRAO u skladištima u današnje vrijeme ne može utjecati na okoliš i ljude zbog načina na koji su izgrađena postrojenja za. To podrazumijeva da nema izravnih zračenja niti istjecanja radioaktivne tvari u tekućem ili plinovitom obliku ni širenja tvari kroz tlo postrojenja za otpada. [17] Da bi se postigla takva razina sigurnosti u postrojenjima za radioaktivnog otpada, pri planiranju građevina i rada postrojenja identificiraju se različiti kritični putevi, mehanizmi i količine radioaktivne tvari, čak i u izuzetno malo vjerojatnim situacijama u kojima bi moglo doći do prodiranja u okoliš (požar, plavljenje ili eksplozija). Tijekom rada postrojenja, a i godinama nakon njegova zatvaranja, izvode se različita mjerenja oko postrojenja da bi se pravovremeno zapazila bilo kakva odstupanja od normale. Prije same izgradnje odlagališta, Legislativa Europske Unije obvezuje države članice na izradu studije utjecaja na okoliš još u fazi planiranja projekta odlagališta 28

34 radioaktivnog otpada. Cilj studije je utvrditi kakve su ekološke posljedice projekta odlagališta radioaktivnog otpada. Studija utjecaja na okoliš kao rezutate prikazuje kratkoročne rizike (za vrijeme punjenja odlgališta) i dugoročne rizike (nakon završteka punjenja odlagališta). Velika pažnja posvećuje se procjeni radiološkog utjecaja, što uključuje utjecaj na zaposlene i stanovništvo tijekom punjenja odlagališta, dugoročni potencijalni utjecaj na buduće generacije normalne i akcidentalne situacije te potencijalni utjecaj radioaktivnosti na prirodni okoliš. Prihvatljivost planiranog odlagališta radioaktivnog otpada bit će određena na temelju procjene potencijalnog utjecaja na ljudsko zdravlje i na okoliš. [17] "Lokalna zajednica mora vidjeti korist od postojanja odlagališta na svom području u vidu mogućnosti novog razvoja financiranog iz ekološke rente i novih mogućnosti zapošljavanja na njenom području." [Nađ i Kavur, 2016] 29

35 8. REZULTATI Ovo poglavlje prikazuje rezultate internetske ankete koja iznosi mišljenja građana Republike Hrvatske o nuklearnim elektranama te odgovara na pitanje treba li se graditi odlagalište radioaktivnog otpada u Hrvatskoj. Slika 23. Stajalište ispitanika o nuklearnim elektranama Slika 24. Stav ispitanika prema izgradnji odlagališta RAO-a u Hrvatskoj 30

36 9. ZAKLJUČAK Radioaktivni otpad najopasnija je vrsta otpada u svijetu koji može nepovratno naštetiti čovjeku i okolišu. Zbog toga je potrebno zbrinuti RAO na najsigurniji mogući način. Jedan od ključnih koraka u procesu zbrinjavanja radioaktivnog otpada odabir je prirodno povoljne lokacije odlagališta. Zadaća odlagališta je sigurno izolirati radioaktivni materijal od okoliša, odnosno spriječiti eventualnu emisiju radionuklida u biosferu. Sigurnost odlagališta postiže se obradom i kondicioniranjem otpada te ugradnjom višestukih slabopropusnih barijera između radioaktivnog otpada i okolnog geološkog medija. Sigurnost odlagališta dodatno se povećava ukoliko okolna geološka formacija ima odgovarajuća svojstva niske vodopropusnosti i usporavanja širenja radionuklida u okoliš te tektonsku stabilnost i nisku seizmičku aktivnost. Odabir lokacije budućeg odlagališta RAO-a skup je i dugotrajan proces na koji utječu brojni čimbenici. Proces odabira lokacije budućeg odlagališta mora biti transparentan, javan i demokratičan. Potrebno je potpuno informirati i educirati lokalnu zajednicu da bi prihvatila ideju odlagališta radioaktivnog otpada u svojoj okolini. Mogućnosti procjene sigurnosti odlagališta ovise o našoj sposobnosti da predvidimo sve moguće scenarije kao i ponašanje relevantnih čimbenika pod takvim scenarijima u budućem odlagalištu i širem okolišu. Važan čimbenik u postizanju veće sigurnosti odlagališta su istraživanja ponašanja barijernog sustava i okolne stijene koja se provode u podzemnim laboratorijima. 31

37 10. LITERATURA [1] Zbrinjavanje radioaktivnog otpada [2] Radioaktivni otpad ( ) [3] Klasifikacija radioaktivnog otpada ( ) [4] Nastajanje radioaktivnog otpada ( ) [5] Jurac, Z; (2010.) " Radioaktivne tvari (Klasa 7)". U: Kemijske i biološke opasnosti (ur. Miroslav Kodrić). Karlovac, Veleučilište u Karlovcu, str [6] Briški, F; (2016.) "Prirodna aktivnost, svojstva radioaktivnih zraka i vrijeme poluraspada izotopa" U: Zaštita okoliša(ur. Sandra Gračan). Zagreb, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije [7] Veinović, Ž; Zbrinjavanje radioaktivnog otpada - svjetska praksa i hrvatski izazovi ( ) [8] Nađ, I; Kavur, B. (2016.) "Odlaganje RAO" U: Inženjerstvo okoliša, vol. 3(2), [9] Skladištenje NSRAO-a ( ) [10] Skladištenje ING i VRAO-a ( ) [11] Odlaganje NSRAO-a 32

38 ( ) [12] Odlaganje VRAO-a ( ) [13]Nađ, I; Kavur, B. (2016.) "Zbrinjavanje RAO u RH" U: Inženjerstvo okoliša vol.3(2) [14] Količine i aktivnosti radioaktivnog otpada u Hrvatskoj [15] Strategija zbrinjavanja radioaktivnog otpada, iskorištenih izvora i istrošenog nuklearnog goriva [16] Nađ, I; Kavur, B. (2016.) "Zbrinjavanje RAO u RH" U: Inženjerstvo okoliša vol.3(2) [17] Zbrinjavanje radioaktivnog otpada ( ) 33

39 PRILOZI Slika 1. Volumen radioaktivnog otpada... 1 Slika 2. Izvori radioaktivnog otpada... 2 Slika 3. Prodornost zračenja... 6 Slika 4. Koncept dubokog geološkog odlagališta RAO... 9 Slika 5. Dugoročno skladište NSRAO u mjestu Borssele, Nizozemska Slika 6. Skladište NSRAO u Slovačkoj Slika 7. Mokro skladištenje VRAO i ING Slika 8. Spremnik za ING kod suhog skladištenja Slika 9. Suho skladište unutar jednostavne zgrade Slika 10. Suho skladištenje ING-a na armirano-betonskoj podlozi Slika 11. Površinsko odlagalište za vrlo nisko radioaktivni otpad Slika 12. Odlagalište nisko i srednje aktivnog otada (površinsko kasetni tip) Slika 13. Odlagalište (površinsko kasetni tip) Slika 14. Sustav inženjerskih barijera kojima se prekriva odlagalište Slika 15. Odlagalište tunelskog tipa Slika 16. Odlagalište tunelskog tipa (2) Slika 17. Odlagalište nisko i srednje aktivnog otpada u napuštenom rudniku soli, Morsleben, Njemačka Slika 18. Duboko geološko odlagalište Onkalo, Finska Slika 19. Okno u odlagalištu Onkalo, Izvor: Posiva Oy Slika 20. Odlagališna galerija, odlagalište Onkalo Slika 21. Sustav višestrukih barijera kod odlaganja VRAO-a Slika 22. Potencijalna lokacija odlagališta RAO u RH, Čerkezovac Slika 23. Stajalište ispitanika o nuklearnim elektranama Slika 24. Stav ispitanika prema izgradnji odlagališta RAO-a u Hrvatskoj

40 Popis tablica Tablica 1. Vrijeme poluraspada odabranih radioaktivnih izotopa... 4 Tablica 2. Glavna svojstva alfa, beta i gama zraka... 6 Tablica 3. Procjena postojećeg institucionalnog RAO-a i IZZ-a u RH Tablica 4. Sumarni pregled inventara RAO-a iz NEK-a Tablica 5. Sumarni pregled ING-a u NEK-u

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec GOSPODARENJE OTPADOM Poglavlje: 11 (Opasni / radioaktivni otpad). List: 1 OPASNI OTPAD

Prof. dr. sc. Z. Prelec GOSPODARENJE OTPADOM Poglavlje: 11 (Opasni / radioaktivni otpad). List: 1 OPASNI OTPAD (Opasni / radioaktivni otpad). List: 1 OPASNI OTPAD U velikoj količini otpada koji dolazi iz industrije, trgovine, domaćintva, zdravstva, poljoprivrede i iz drugih izvora nalazi se i otpad koji se po svojim

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα