Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Transcript

1 Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι κοινό μέσο των ΕΗ και ΖΘ. 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε τα διανύσματα και ME AB. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Β και Ε είναι συνευθειακά και ότι το Β είναι μέσο του ΔΕ.. Έστω Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και τα διανύσματα και. Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ, ΝΕ και ΑΓ έχουν κοινό μέσο. 4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές ή λάθος I. Αν α =, τότε α =. II. Αν ΑΒ = ΒΑ, τότε ΑΒ = 0. III. IV. Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα. Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελεστές διευθύνσεως. V. Αν α = -, τότε ( α, ) + (, α ) = 2π. VI. Ισχύει η ισοδυναμία: ΑΜ = ΜΒ Μ μέσο του ΑΒ. VII. Αν Μ Α = Μ Β όπου Α, Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετη ευθεία του ΑΒ. Πράξεις διανυσμάτων 5. Να κατασκευάσετε το άθροισμα των διανυσμάτων α γ. α γ 6. Στο επίπεδο δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, και γ, τα οποία ανά δυο είναι μη συγγραμμικά. Να ρείτε το άθροισμά τους αν το διάνυσμα α + είναι συγγραμμικό με το γ και το διάνυσμα + γ είναι συγγραμμικό με το α. 7. Το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι κανονικό. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ + ΑΓ + ΑΔ + ΑΕ + ΑΖ = ΑΔ 8. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές ή λάθος I. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

2 II. Αν ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ = 0, τότε ΑΔ = 0. III. Αν α = λ, τότε α //. IV. Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ - ΟΒ είναι ίσα. V. Αν το α + είναι συγγραμμικό του α, τότε το α + είναι συγγραμμικό του. VI. Αν α + = α +, τότε τα α και είναι πάντα συγγραμμικά. VII. Αν α = κ + λ γ και κ, λ > 0, τότε τα α,, γ είναι συγγραμμικά. VIII. Για οποιαδήποτε διανύσματα α, ισχύει: α + α +. IX. Για οποιαδήποτε διανύσματα α, ισχύει: α - α +. X. Για τα ομόρροπα διανύσματα α, ισχύει: α - = α +. XI. Το διάνυσμα λ α, λ R και λ < 0 είναι συγγραμμικό του α. XII. Αν λ α = 0, λ R τότε οπωσδήποτε α = 0. XIII. Η ισότητα λα = λ α ισχύει για κάθε λ R. XIV. Αν κ α = λ α, τότε κ = λ για κάθε διάνυσμα α. XV. Αν κ α = λ, κ, λ R και α, μη συγγραμμικά, τότε λ = μ = 0. XVI. Αν λ α + μ = 0 και α, μη συγγραμμικά, τότε λ = μ = 0. XVII. Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα α,, γ τέτοια ώστε α + + γ = 0 ορίζεται τρίγωνο. XVIII. Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε ΑΜ = XIX. AB + AΓ. 2 Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. XX. Ισχύει η ισοδυναμία: G αρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ GA GB G Να απλοποιηθεί η παράσταση: ( α + ) - [ α - (2 α γ ) + 4 ( α - - γ )] γ Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα a και.να αποδείξετε α. τα διανύσματα και έχουν ίσα μέτρα και. ότι το διάνυσμα y είναι παράλληλο στη διχοτόμο της γωνίας των ˆ όπου = a και =. Σπύρος Κούρτης Σελίδα 2 16/9/2018

3 11. Έστω το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Αν AB p, A q, να εκφράσετε τα διανύσματα B και ως συνάρτηση των p, q. 12. Έστω ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα και ένα εσωτερικό του σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ = AB. Αν τα διανύσματα θέσης των Α, Β είναι OA, να εκφράσετε ως 4 συνάρτηση των α, το διάνυσμα θέσης του σημείου Γ. Προσδιορισμός σημείων 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε AB A 2, όπου Ρ σημείο του επιπέδου του. Να αποδείξετε ότι το σημείο Ρ ταυτίζεται με το μέσο της ΒΓ. 14. Έστω Α, Β, Γ, Δ τέσσερα σημεία του επιπέδου μη συνευθειακά. Να ρείτε σημείο Μ του επιπέδου τέτοιο ώστε AB A Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιοριστεί σημείο Ρ τέτοιο ώστε να ισχύει: ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = Τα σημεία Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΔ του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ. Να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των AM και AN. Δ Ν α Γ Μ 17. Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ και ΑΒ < ΓΔ) με μια γωνία ίση με 60 ο. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΔ και ΒΓ οι οποίες τέμνονται στο Ο. Αν AB, και να εκφράσετε τα διανύσματα,, O και ως συνάρτηση των α και. 18. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. α. Να προσδιορίσετε σημείο Ρ τέτοιο ώστε ΡΓ = 2 ΡΒ.. Να αποδειχτεί ότι: ΡΑ + ΡΒ + ΡΔ + 2 ΑΒ = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιοριστεί σημείο Ρ τέτοιο ώστε να ισχύει: ΑΡ + ΒΡ = ΓΡ 20. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να προσδιορίσετε σημείο Μ τέτοιο ώστε να είναι: ΑΓ + ΒΜ = ΒΔ - ΓΔ 21. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να ρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΔ = Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να ρείτε σημείο Ρ τέτοιο ώστε: ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = ΡΔ Α Β Σπύρος Κούρτης Σελίδα 16/9/2018

4 Ασκήσεις απόδειξης διανυσματικών σχέσεων 2. Τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου και τα σημεία Μ, Ν, και Κ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντιστοίχως. Αν AB, και να ρείτε: α) Tο άθροισμα α γ Κ Α Ν ) Το άθροισμα. Β Μ Γ 24. Στις πλευρές ΟΑ και ΟΒ ενός ορθογωνίου ΟΑΓΒ παίρνουμε μοναδιαία διανύσματα i και j αντιστοίχως. Αν ΟΑ = και ΟΓ = 5, να εκφράσετε τα διανύσματα OA, OB,, και ως συνάρτηση των i, j. Στη συνέχεια αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΒΓ και ΑΓ αντιστοίχως, να εκφράσετε τα διανύσματα OM, ON και MN ως συνάρτηση των i, j. 25. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του, Μ το μέσον του ΚΓ. Δείξτε ότι: ΑΒ + ΑΔ = 4 ΑΜ 2 ΑΓ 26. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ, ΓΔ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι: ΑΓ + ΒΔ = 2 ΚΛ 27. Αν ΑΒΓΔΕΖ κανονικό εξάγωνο, με ΑΒ = α και ΒΓ = α) Υπολογίστε τα ΓΔ και ΑΕ συναρτήσει των α, ) Δείξτε ότι ΑΒ + ΑΓ + ΑΔ + ΑΕ + ΑΖ = 6 ΒΓ 28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Μ τέτοιο ώστε να είναι ΒΜ + ΜΓ = 0. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ = 2 ΑΜ + ΑΓ 29. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ ισχύει: ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ + ΒΔ. 0. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και για δυο σημεία Δ και Ε του επιπέδου του τριγώνου έχουμε: A B A να αποδείξετε ότι: α. το Μ είναι μέσο του ΔΕ. για οποιοδήποτε άλλο σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου θα είναι: 1. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα a MA MB 2 M είναι σταθερό. 2. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, που τέμνονται στο σημείο Σ. Να δείξετε ότι: α. 2 OΣ = OΑ + OΒ + OΓ + OΔ Σπύρος Κούρτης Σελίδα 4 16/9/2018

5 . Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο.. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ του επιπέδου του. Να δείξετε ότι το u 2 είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Μ. Συγγραμμικά διανύσματα Συνευθειακά σημεία 4. Αν για τα διανύσματα α,, γ ισχύει: α + + γ = 0 και α = ότι: α) Το α είναι ομόρροπο με το. ) Το είναι αντίρροπο με το γ. 2 = γ να αποδειχθεί 5. Δίνονται τα διανύσματα α,, γ για τα οποία ισχύει: α + + γ = 0 και α = = γ 4 να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα α, και γ είναι συγγραμμικά. 6. Αν για τα διανύσματα a, και ισχύει a 0 και αποδείξετε ότι και 7. Στο τρίγωνο ΑΒΓ τα Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντιστοίχως. Αν,, να 2 5 γ και Μ το μέσον του ΕΖ, τότε: γ α) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως Ζ Μ συνάρτηση των και γ. ) Τι συμπεραίνετε για τα σημεία Α, Μ και Δ; Β Δ 8. Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχουμε 2, 4 και 5. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 9. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ, Ν τέτοια ώστε να είναι: ΔΜ = ΑΔ και ΒΝ = ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Γ και Ν είναι συνευθειακά. Α Ε Γ 40. Εάν 2 ΑΛ + ΒΛ + 2 ΜΒ = ΑΚ + ΑΜ + ΒΚ, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΚΛ και ΜΛ είναι αντίρροπα. 41. Αν ισχύει 2 ΡΑ + ΡΒ 5 ΡΓ = 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σπύρος Κούρτης Σελίδα 5 16/9/2018

6 42. Να αποδείξετε ότι αν: (κ + 2) ΡΑ + ΡΒ = (κ + 5) ΡΓ τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 4. Δίνονται τέσσερα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε τα Ο, Α, Β δεν είναι συνευθειακά. Να δείξετε ότι, αν ΟΓ = (1 - λ) ΟΑ + λ ΟΒ, λr τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 44. Δίνονται τα διανύσματα O A a, ΟΒ 5α 4γ και Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά 45. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ ώστε να ισχύει ΑΔ = 2 ΑΒ, ΑΖ= 5 4 ΑΓ και ΓΕ = ΒΓ. α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των ΑΒ και ΑΓ. ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. 46. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια ώστε: ΑΔ = 1 ΑΒ, ΓΕ = 2 1 ΒΓ και ΑΖ = 5 ΑΓ. α) Αν ΑΒ = α και ΑΓ = να εκφράσετε τα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των α και. ) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. 47. Στο επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ= και ΑΓ = 2 θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο ώστε ΑΜ = λ ΑΒ+(1λ) ΑΓ, όπου λr. α. Να δείξετε ότι τα Β, Γ και Μ είναι συνευθειακά. Να υπολογίσετε το λ αν ι. το Μ είναι μέσο, ιι. η ΑΜ είναι διχοτόμος του ΑΒΓ. 48. Έστω και δύο μη συγγραμμικά διανύσματα. Να ρείτε για ποιες τιμές του x R τα διανύσματα u (x 1) και v (2 x) 2 είναι συγγραμμικά. 49. Αν α και δύο μη συγγραμμικά διανύσματα, να δείξετε ότι και τα διανύσματα u = α + και w = 2α είναι επίσης μη συγγραμμικά. 50. Αν τα διανύσματα a και είναι μη συγγραμμικά τότε και τα διανύσματα x a 2 και y 2a είναι μη συγγραμμικά. Σχέσεις συντελεστών 51. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ ισχύει 5 όπου 0 ; Σπύρος Κούρτης Σελίδα 6 16/9/2018

7 52. Βασική Έστω και δύο μη συγγραμμικά διανύσματα. α. Αν x y 0, να δείξετε ότι χ =ψ = 0.. Αν x1 y1 x2 y2, να δείξετε ότι x1 x2 και y1 y Θεωρούμε τα μη συγγραμμικά διανύσματα και. Να ρεθεί ο μ ώστε τα διανύσματα u ( 1) και 2 ( ) να είναι συγγραμμικά. (Υπόδ. Χρησιμοποιήστε προαιρετικά την άσκηση 58) 54. Έστω α, και γ τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β και Γ αντίστοιχα ως προς ένα σημείο Ο και ΑΓ = λ ΓΒ με λ 1. α. Να δείξετε ότι γ α λ =. 1 λ. να υπολογίστε το λ όταν : ι. γ = 1 (α 2 ) 1, ιι. γ = (2 α ), ιιι. γ = 1 (α ) Τα σημεία Α, Β, Γ και Δ έχουν διανύσματα θέσεως,, 5 και αντιστοίχως, όπου τα διανύσματα και είναι μη συγγραμμικά. Να ρείτε το διάνυσμα θέσεως r του σημείου τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ. 56. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Αν ΔΜ τέμνει την ΑΓ στο Ν να δείξετε ότι : α. 1 ΑN ΑΓ και 2 ΔΝ ΔΜ. 57. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ η άση ΑΒ είναι διπλάσια από την ΓΔ. Θεωρούμε σημείο που καθορίζετε από την σχέση AM = λ AB+ AΔ, όπου λr. α. Να εκφράσετε το AM σαν γραμμικό συνδυασμό των ΑΓ και AΔ.. Να ρείτε το λ ώστε το Μ να είναι συμμετρικό του Γ ως προς το Δ. 58. Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΔ = ΟΑ και Ε το μέσο του ΟΒ. α. Να εκφράσετε τα ΔΒ, ΑΕ και ΔΕ συναρτήσει των α,.. Αν ΔΜ = λ ΔΒ και ΕΜ = μεα,να δείξετε ότι ισχύει α = λ( α 2 )+μ( α ) και κατόπιν να υπολογίσετε τους λ,μ και τον λόγο ΕΜ:ΜΑ Έστω ένα τριγ ΑΒΓ. Θεωρούμε το διάνυσμα A και ονομάζουμε Ε το μέσο της πλευράς ΑΓ. Οι ευθείες ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο Μ. Θέτουμε 1 Χρησιμοποιήστε τα συμπεράσματα για να λύσετε την άσκηση 58 Α Δ α Ο Μ Β Ε Σπύρος Κούρτης Σελίδα 7 16/9/2018

8 AB, ΑΓ, ΒΜ και ΓΜ, όπου χ, ψ ΙR. (ι) Να ρείτε τα χ, ψ 1 2 (ιι) Να δείξετε ότι: AM Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και έστω λr. α. Να ρείτε το λ, ώστε για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα α = ΜΑ+2ΜΒ+λ ΜΓ (1) να είναι σταθερό, στην συνέχεια να εκφράσετε το α σαν γραμμικό συνδυασμό των ΓΑ και ΓΒ.. Με την οήθεια της (1) να ορίσετε το σημείο Μ, έτσι ώστε: ΜΑ+2ΜΒ+(λ+κ) ΜΓ = AΓ με κ0. Για ποια τιμή του κ το Μ είναι μέσο του ΑΒ. Γεωμετρικά θέματα 61. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν G είναι το κέντρο άρους του, Η το ορθόκεντρό του και Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του να αποδειχθεί ότι ισχύει: α) ΟΗ = ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ και ) ΟG = 1 ΟΗ 62. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ της διαγωνίου ΑΓ έτσι ώστε: 4ΑΕ = 4ΖΓ = ΑΓ α) Αν ΑΒ = α και ΒΓ = να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των α και. ) Να δείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο 6. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, που τέμνονται στο σημείο Σ. Να δείξετε ότι: α. 2OΣ = OΑ + OΒ + OΓ + OΔ. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα ΟΣ και ΚΛ έχουν κοινό μέσο. γ. το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. 64. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ) ΜΝ = 1 2 ΒΑ ( ΑΒ + ΑΓ ) 65. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ είναι μέσα των ΑΒ και Α Β να αποδείξετε ότι: ΑΑ + ΒΒ = 2 ΜΜ 66. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι αντιστοίχως τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ να αποδείξετε ότι: Σπύρος Κούρτης Σελίδα 8 16/9/2018

9 α) ΜΝ = 1 2 ( ΑΔ - ΒΓ ) = 1 2 ( ΑΒ + ΓΔ ) ) 4 ΜΝ = ΑΔ + ΑΒ + ΓΔ + ΓΒ γ) είναι τραπέζιο, αν επιπλέον 2(ΜΝ) = (ΑΒ)(ΓΔ) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του και το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του διχοτομούνται. 68. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών του. Να αποδειχθεί ότι: α) ΜΝ = 1 2 ( ΑΒ + ΔΓ ) ) αν επιπλέον ΑΒ = ΓΔ τότε το ΜΝ είναι παράλληλο στην διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ γ) αν ακόμα 2ΜΝ = ΑΒ + ΓΔ τότε το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 69. Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1, Β 1, Γ 1. Αν G και G 1 είναι αντιστοίχως τα αρύκεντρα των τριγώνων αυτών να αποδειχθεί ότι: α) ΑΑ 1 + ΒΒ 1 + ΓΓ 1 = GG 1 ) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1 Β 1 Γ 1 έχουν το ίδιο αρύκεντρο, αν και μόνο αν ΑΑ 1 + ΒΒ 1 + ΓΓ 1 = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Α 1, Β 1, Γ 1 των ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντιστοίχως. Αν G είναι το αρύκεντρό του, να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Μ ισχύει: α) ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = ΜΑ + 2 ΑA 1 = ΜΒ + ΒΒ 1 = ΜΓ + 2 ΓΓ 1 ) GA + GB + GΓ = GA 1 + GΒ 1 + GΓ 1 γ) ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = ΜG 71. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας και αντιστρόφως: αν η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ίση με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. Σπύρος Κούρτης Σελίδα 9 16/9/2018