چكيده. كلمات كليدي: سري زماني Series) (Time توليد (Generation) پيشبيني (Forecast) مدلهاي ARIMA

Transcript

1 استفاده از مدلهاي اتفاقي درشبيهسازي جريان رودخانه و پيشبيني دبي متوسط سالانه رودخانه توسط تحليل سريهاي زماني ٢ ١ رضا جاويدي صباغيان - محمدباقر شريفي ١ دانشجوي كارشناسي ارشد مهندسي عمران-آب دانشكده مهندسي دانشگاه فردوسي مشهد كارشناس شركت مهندسين مشاور طوس آب rezajs_cvl_eng@yahoo.com ٢ عضو هيا ت علمي گروه مهندسي عمران دانشگاه فردوسي مشهد mbsharf@ferdows.um.ac.r چكيده تحليل پديدههاي تصادفي در قلمرو علم آمار و احتمال از زيرمجموعههاي علم هيدرولوژي قرار ميگيرد. بهدليل اينكه فرآيندهاي مربوط به شاخه آب تصادفي هستند بنابراين آمار و احتمال اساس تجزيه و تحليل پديدههاي مذكور است. بر اين اساس سريهاي زماني مورد استفاده قرار ميگيرند. سري زماني بهطور ساده عبارت از يك متغير هيدرولوژيك وابسته به زمان ميباشد. در اين مقاله سري زماني 50 ساله مربوط به دبي متوسط سالانه يك نمونه رودخانه فرضي بررسي شده است تا بتوان با استفاده از تحليل هيدرولوژيكي اين نمونه در مقياس فرضي و عددي به تحليلي عيني در مقياس واقعي و كاربردي دست يافت. اولين مرحله در تجزيه و تحليل سري زماني رسم دادهها و بهدست آوردن آمارههاي نمونه است. سپس در مرحله بعد وجود مو لفههاي روند و دورهاي و حذف آنها از سري زماني و برازش مدل ايستا بر سري زماني بررسي ميگردد. مرحله بعد بررسي نرمال بودن دادهها با استفاده از روش ضريب چولگي و نرمالسازي آنها با لگاريتمگيري از دادهها ميباشد. ميانگين دادهها از دادهها كسر ميگردد تا سري زماني با ميانگين صفر به دست آيد. تابع خودهمبستگي (ACF) و تابع خود همبستگي جزي ي (PACF) نمونه براي دادهها به ازاي 7,..., = K رسم ميشود و پس از مقايسه با مقادير توابع نظير مذكور مدلهاي خودبرگشتي (AR) ميانگين متحرك (MA) و تركيبي از خودبرگشتي و ميانگين متحرك ) ARMA و (ARIMA مرتبه مدل شناسايي و مدل انتخاب ميگردد. پس از انجام كليه مراحل تجزيه و تحليل سري زماني و ايجاد مو لفههاي باقيمانده (nose) و الگوگيري از مدل انتخابي و انجام آزمونهاي Kolmogrov-Smrnov نهايتا يك نمونه 50 ساله توليد ميگردد. بدين ترتيب عمل Generaon انجام ميشود و با توجه به دادههاي 50 سال قبل دادههاي مربوط به 50 سال آتي ايجاد ميگردند كه اين روش نيز نظير روشهاي شبكه عصبي مصنوعي براي توليد دادهها مناسب ميباشد و دقت آن وابسته به نوع مدل استفادهشده و كاربرد مدل مربوطه و پارامترهاي مدل دارد. نتيجه اين بررسي در اين مقاله توليد دادههايي براي شرايط آينده با توجه به وجود دادههاي موجود براي تصميمگيري كارآمد و مفيد در شرايط آينده است كه به عنوان مثال ميتوان به تخمين و پيشبيني دبي سيلاب رودخانه در رودخانههاي سيلابي اشاره نمود. هر چند دانش هيدرولوژي به دليل وجود عدم قطعيتها روشها با توجه به دقت مربوطه داراي برتري نسبي در مقايسه با يكديگر هستند. فرآيند انجام كار نيز با استفاده از نرم افزار MINITAB انجام شده است. مدعي بر قطعيت پيشبيني در اين روشها نيست و اين كلمات كليدي: سري زماني Seres) (Tme توليد (Generaon) پيشبيني (Forecas) مدلهاي ARIMA PACF ACFو

2 . مقدمه دادههايي كه از مشاهده يك پديده در طول زمان به دست ميآيند بسيار متداول هستند. بهعنوان نمونه در هواشناسي بيشترين و كمترين درجهحرارت روزانه در كشاورزي ارقام ساليانه مربوط به محصول و ميزان فرسايش خاك و كميات مشابه با آن موردنظر هستند. اين مثالها و دهها مثال ديگر همه نمونههايي از سريهاي زماني هستند. سري زماني بهطور ساده عبارت از يك متغير هيدرولوژيك وابسته به زمان نظير دبي يك رودخانه است. وقتي سريهاي زماني در عمل مورد تحليل قرار ميگيرند مقدار محدودي داده ثبتشده يا يك نمونه وجود دارد. تمام تشخيصهاي ممكن از اين فرآيند تشكيل جامعه آماري را ميدهند. هدف مطالعات هيدرولوژيك درك و توصيف كمي جامعه آماري و همينطور فرآيند ايجادكننده اين جامعه آماري براساس تعداد محدودي نمونه است[ ]. سريهاي زماني گسسته به لحاظ نوع متغيرها (نظير بارندگي روزانه) براي باشند. ميتوانند پيوسته اهداف (نظير ميزان فاصلههاي زماني ثبت شوند آنگاه سري زماني گسسته به دست ميآيد[ ]. از منظر معين يا احتمالي بودن نيز غيرقطعي و هستند استوكاستيكي ميباشند[ ]. پارامترهاي توصيفشده آنها زيرا جريان در دبي يك رودخانه داي مي) يا كاربردي و محاسباتي اگر سريهاي زماني پيوسته توسط اكثر سريهاي زماني مورد مطالعه در هيدرولوژي به صورت احتمالي و توسط واژههاي آماري يا احتمالي پارامترهاي با خواص حداقل به يك متغير تصادفي بستگي دارند هرچند كه در بعضي محاسبات علتومعلولي نتيجه محاسبات به صورت صريح اراي ه ميشود ولي نتيجه مذكور كم و بيش احتمالي است. بهعنوان مثال پيشبيني دقيق ميزان بارندگي سالانه يا ماهانه با استفاده از برخي قوانين طبيعت غيرممكن است و فقط ميتوان ابزار آماري را بهكار گمارد و با استفاده از مدلهاي آماري و بر اساس دادههاي گذشته پيشبينيهايي را در مورد آينده انجام داد.. تشريح مسا له و دادههاي مربوطه مقادير دادههاي مربوط به دبي 50 ساله مربوط به يك نمونه رودخانه فرضي در جدول داده شده است و هدف توليد دبي مربوط به 50 سال آينده اين رودخانه ميباشد كه در اين مقاله اين كار توسط برازش مدل بر دادهها و به كمك سريهاي زماني انجام گرديده است. 3. روششناسي. 3. تجزيه و تحليل سري زماني و تعيين آمارههاي نمونه اولين مرحله در تجزيه و تحليل سريهاي زماني رسم سري زماني دادهها است. با استفاده ازبرنامه Mn Tab سري زماني مطابق شكل رسم گرديده است و مقدار آمارههاي نمونه بهدست آمده است.

3 جدول. مقادير دادهها (دبيهاي موجود 50 سال اول رودخانه) Tme(Year) Man Daa (MCM) Tme(Year) Man Daa (MCM) Tme Seres Plo of Daa Q (Averaged Annual Dscharge) (Tme) شكل. سري زماني مربوط به دادههاي 50 ساله كنوني پس از رسم منحني سري زماني در مرحله اول مقادير آمارههاي مربوط به دادهها نيز مشخص ميگردد[ 3 ].. 3. بررسي وجود مو لفههاي روند (Trend) و دورهاي (Perodc) مرحله دوم در تجزيه و تحليل سريهاي زماني تعيين مو لفه روند در سري زماني و همچنين حذف آن در جهت ايستا كردن دادهها ميباشد و پس از بررسي ايستايي دادهها مدلهاي مناسب به دادهها برازش داده ميشوند. نرم افزار براي تعيين مو لفه روند يك خط را بر دادهها برازش ميدهد. شيب اين خط برابر با مو لفه روند ميباشد. بديهي است درصورتيكه شيب اين خط صفر باشد و خط افقي باشد دادهها فاقد مو لفه روند بوده و ايستا ميباشند[ 4 ].

4 و 4 با بررسي صورتگرفته مشخص گرديد كه دادهها داراي يك روند نزولي ميباشند. معادله خط برازشدادهشده بر دادهها به صورت رابطه ميباشد: () Y = اين امر مبين ناايستايي مدل ميباشد. بنابراين ضروري است با استفاده از يك روش مناسب سري زماني موجود به سري ايستا تبديل گردد. براي اين منظور ميزان تابع روند در هر زمان محاسبه گرديده و مقدار دادههاي سري زماني از دادههاي متناظر در معادله خط روند كسر گرديده و اين تفاضل به عنوان مقدار جديدي براي سري زماني در نظر گرفته ميشود. خاصيت اين روش اين است كه ميانگين دادهها صفر ميباشد و روند دادهها نيز حذف ميگردد. در اين سري زماني حالت دورهاي (Perodc) نيز وجود ندارد زيرا دادهها ماهانه نبوده و سالانه ميباشند بررسي وضعيت نرمال بودن دادهها مرحله سوم در تجزيه و تحليل سريهاي زماني بررسي نرمال بودن دادهها ميباشد كه از طريق دو آزمون نيكويي برازش يا (Kolmogrov-Smrnov) و آزمون κ صورت ميگيرد كه در اين مقاله فقط به آزمون نيكويي برازش پرداخته شده است. نرمال بودن دادهها به اين دليل اهميت دارد كه تي وري سريهاي زماني بر اساس نرمال بودن دادهها توسعه يافته است و درصورتيكه دادهها نرمال نباشند بايستي با استفاده از روشهاي مختلف آنها را نرمالسازي نمود ازجمله روشهاي نرمالسازي دادهها استفاده از روش لگاريتمگيري از دادهها ميباشد[ 5]. D max كه از رابطه بهدست ميآيد بايد از مقدار C كه حد آستانه تعريف شده است كمتر در اين روش مقدار باشد تا فرض نرمال بودن دادهها تا ييد شود: D su max = x R ( F n F) ( ) : D max حداكثر تفاوت دادهها از مقدار متناظر در توزيع نرمال : F مقدار تابع تجمعي دادهها در نمودار توزيع تجمعي : F n مقدار تابع تجمعي نرمال دادهها در نمودار توزيع تجمعي نرمال.36 ازطرفي با توجه به اينكه در سطح اعتماد % = = C اختلاف دادهها از مقدار متناظر در توزيع نرمال دادهها تا ييد ميشود. ميكنند. n D = 0.08 max طبق محاسبات مربوط به حداكثر لذا D < C ميباشد بنابراين فرض نرمال بودن max همچنين چون دادهها حول خط مستقيم هستند ميتوان گفت دادهها از آزمون نرمال پيروي : n تعداد دادهها كه در اين مقاله برابر با 50 است. : C مقدار حد آستانه براي آزمون نرمالسازي (3) استانداردسازي دادهها نيز با كسر ميانگين از دادهها امكانپذير است كه درواقع دادههاي حذفروندشده داراي ميانگين صفر ميباشند. رابطه 3 بيانگر استانداردسازي دادهها ميباشد: Z = y µ : دادههاي اوليه y : Z دادههاي استانداردشده : µ ميانگين دادهها شناسايي نوع و مرتبه مدل و بررسي مدلهاي آماري

5 براي تعيين و شناسايي نوع و مرتبه مدل بايستي ابتدا بر روي نمودارهاي ACF و PACF قضاوت نمود. بهطور معمول مدلهاي MA AR و ARMA قابلانتخاب ميباشند. دليل استفاده گسترده از اين مدلها را ميتوان مربوط به توانايي آنها در ايجاد همبستگي بين مقادير زمان حال با زمانهاي پيشين و همچنين سادگي ساختار اين مدلها دانست[ ] بررسي توابع خودهمبستگي (ACF) و خودهمبستگي جزي ي (PACF) يك روش براي بيان وابستگي زماني در ساختار يك سري زماني تعريف تابع خودهمبستگي ميباشد. رابطه تابع خودهمبستگي (ACF) با تا خير به صورت رابطه 4 نشان داده ميشود: ρ = n = ( z n = z )( z ( z + z ) z ) ρ ( 4) مقدار تابع خودهمبستگي سري زماني با تا خير : ρ : z مقادير متغيرها يا دادههاي سري زماني در مرحله زماني + z و : z مقدار ميانگين مربوط به متغيرها و مرحله با تا خير زماني روش ديگر براي عنوان نمودن وابستگي زماني در ساختار يك سري زماني تعريف تابع خودهمبستگي جزي ي (PACF) باشد رابطه تابع خودهمبستگي جزي ي خودهمبستگي جزي ي سري زماني با تا خير φتابع ميباشد. اگر به صورت رابطه 5 نشان داده ميشود: φ ρ = ( ) = = φ ( ) ρ φ ( ) ρ ( 5) φ: مقدار تابع خودهمبستگي جزي ي سري زماني با تا خير ACF و PACF براي دادههاي حذفروندشده به ازاي در شكلهاي و نمايش داده شدهاند: 3 بهترتيب نمودارهاي 7 مرتبه تا خير Paral Auocorrelaon Funcon for RESI(Whou Trend Daa) (wh 5% sgnfcance lms for he aral auocorrelaons) Auocorrelaon Funcon for RESI(Whou Trend Daa) (wh 5% sgnfcance lms for he auocorrelaons) Paral Auocorrelaon Auocorrelaon Lag Lag شكل. نمودار تابع ACF مربوط به دادههاي حذفروندشده شكل 3. نمودار تابع PACF مربوط به دادههاي حذفروندشده

6 - با توجه به نمودارهاي ACF و PACF مربوط به دادههاي حذفروندشده و پس از بررسي جداگانه اين نمودارها براي هريك از مدلهاي AR() و AR() و MA() و MA() و ARMA(,) و ARMA(,) و ARMA(,) و ARMA(,) مدلي براي برازش بر دادهها انتخاب ميگردد كه در آزمونهاي ذيل صدق كند: در نمودار تابع PACF آن براي انتخاب مرتبه مدل اختلاف معنيدار مقدار تا خير با عدد صفر و تجاوز آن از محدوده رابطه / ± بررسي گردد. N - معياري به نام معيار آكاي يك (AIC) نيز در مورد مدلها بررسي شود كه در بندهاي بعد توضيح داده ميشود بررسي نوع مدلها بهطور كلي 3 مدل با مرتبههاي مختلف ميتوانند بر دادهها برازش داده شوند و در آزمونهاي انتخاب مدل مورد بررسي قرار گيرند كه در بندهاي زير ساختار كلي اين مدلها به اختصار تشريح ميشوند: ساختار كلي مدل (Auo Regressve) AR اين مدل ازمدلهاي متداول در استوكاستيك است و همانگونه كه از نام آن مشخص ميباشد بر روي جملات خود رگرسيونگيري را اعمال ميكند و البته اين رگرسيونگيري روي مقادير گذشته z سريهاي زماني ايستا و ناايستا قابل كاربرد ميباشد و ساختار اصلي آن مطابق رابطه 6 ميباشد: انجام ميگيرد. اين مدل براي z + a = φ z + φ z +... φ z ( 6) وφ وφ... و AR ضرايب و پارامترهاي مدل φ: : a مقدار تصادفي و مستقل از زمان باقيمانده (nose) كه از توزيع نرمال با ميانگين صفر تبعيت ميكند. φ j j=0 اين مدل درصورتيكه همگرا باشد فرآيند ايستا خواهد بود. z = a + θ a... θ a + θ a + q q ساختار كلي مدل (Movng Average) MA فرم عمومي مدل با مرتبه ( 7) q وθ وθ... و qبه صورت رابطه 7 ميباشد: MA ضرايب و پارامترهاي مدل θ: ساختار كلي مدل (Auo Regressve-Movng Average) ARMA از تركيب نمودن مدل Auo Regressve با مرتبه و مدل Movng Average با مرتبه ),q ( ايجاد ميگردد. ساختار كلي مدل مطابق رابطه 8 ميباشد: q مدل ARMA با مرتبه z = θ a φ z + φz +... φ z + a θa θ a ( 8) پارامترهاي مربوط به اين مدل نيز همانند مدلهاي AR و MA تعريف ميگردند بررسي آزمون بر اساس معيار AIC

7 آزمون و معيار آكاي يك (AIC) يكي از روشهاي مقايسه مدلهاي مختلف ميباشد. اين روش بر اين مبنا استوار است كه از بين مدلهاي مناسب مدلي كه داراي كمترين مقدار ميشود[ 5 ]. ضريب آكاي يك باشد بهعنوان بهترين مدل انتخاب مقادير ضرايب AIC و پارامترهاي مدل به همراه واريانس دادههاي حذفروندشده يا باقيمانده براي هر مدل توسط نرمافزار Mn Tab محاسبه گرديده و در جدول درج شدهاند: جدول. مقادير ضرايب AIC و پارامترهاي مدل براي انتخاب مدل نهايي Model_Parameer φ φ θ θ Resdual's Varance AIC Coeffcen AR() AR() MA() MA() ARMA(,) ARMA(,) ARMA(,) ARMA(,) انتخاب مدل مناسب به همراه مرتبه آن بر اساس آزمون AIC و ساير معيارها از بين مدله يا 8 گانه بررسيشده بر اساس تمامي معيارهاي مذكور مدل ARMA(,) به دليل تجاوز پارامتر مدل از عدد يك مدل ARMA(,) نيز به دليل طولاني بودن گامه يا سعي و خطا و مدله يا ARMA(,) و ARMA(,) نيز به دليل زياد بودن پارامترهاي مدل از گزينش حذف ميگردند. مدل MA() نيز نسبت به مدل AR() كمتر بوده و از انتخابه يا موجود خارج ميگردد. از بين سه مدل باقيمانده AIC داراي ضريب MA() AR() و MA() مدل AR() داراي واريانس و ضريب AIC بيشتر نسبت مدل AR() ميباشد و حذف ميگردد. از بين دو مدل MA() و AR() مدل AR() براي توليد دادهها مناسبتر بوده و به عنوان مدل نهايي انتخاب ميگردد توليد نهايي سري زماني 50 سال آينده در انتها با تخمين پارامترهاي مدل AR() با توجه به جدول و نيز محاسبه مقادير باقيمانده (nose) كه از توزيع نرمال با ميانگين صفر تبعيت ميكنند با استفاده از دادهه يا دادهه يا 50 سال آتي توليد ميگردند. در جدول 3 مقادير دبيه يا 50 سال اول و قرارگيري در مدل رابطه 9 توليدشده 50 سال آينده درج گرديدهاند: z + a = φ z + φ z ( 9) 4. نتيجهگيري و پيشنهادات - استفاده ازمدلهاي اتفاقي و سريهاي زماني با توجه به ماهيت اتفاقي و غيرقطعي مساي ل مهندسي آب و مديريت منابع آب بهعنوان يكي از روشهاي توصيهشده در پيشبينيهاي پديدههاي تصادفي نظير سيلابها ميباشند. - وجود دادههاي آماري و هيدرولوژيكي مربوط به حوزه آبريز و رودخانه در يك دوره زماني بهعنوان ورودي مساي ل براي پردازش مساي ل پيشبيني و دريافت خروجيها امري اجتنابناپذير است.

8 جدول 3. دبيهاي پيشبينيشده 50 سال آينده Tme(Year) Dscharge(MCM) Tme(Year) Dscharge(MCM) نوع مدل انتخابي AR) يا MA يا (ARMA بهعنوان تابع پيشبيني و پردازش در مساي ل بسيار مهم و قابلتوجه ميباشد و بر روي دقت جوابهاي خروجي كاملا مو ثر ميباشد. 4- بررسي مو لفههاي روند Trend و دورهاي Perodc در آغاز حل مساي ل پيشبيني به كمك سري زماني درخورتوجه است. 5- نرمالسازي دادههاي آماري ورودي بهعنوان يكي از شرايط حل مساي ل پيشبيني به كمك سري زماني بايستي مورد نظر قرار گيرد. 6- يكي از معيارهايي كه ميتواند در تا ييد روش انتخابي براي آناليز مسا له مفيد باشد مقايسه معادلات خط روندي كه بردادهه يا ورودي و نيز خروجيهاي پيشبينيشده برازش داده شده است ميباشد كه بايد به لحاظ شيب خط روند با يكديگر انطباق تدريجي داشته باشند.. 5 منابع [] Salas e. Al, (996). Aled Tme Seres n Hydrology, Mc Graw Hll. [] Svensson, O.G.B., Salas, J.D., Lane, W.L., and Frever, D.K., (003). Progress n Sochasc Analyss, Modelng, and Smulaon, ASCE Journal of Irrgaon and Dranage, (7): [3] Danel, P. Loucs, Jery, R. Sednger, and Douglas A. Hah, (005). Waer Resource Sysems Plannng And Analyss, Mc Graw Hll, (7): [4] نيرومند ح. ع. و بزرگ نيا ا. (37)." مقدمهاي بر تحليل سريهاي زماني (ترجمه) ". انتشارات دانشگاه فردوسي مشهد. [5] فاطمي قمي م. ت. (373). " پيشبيني و تجزيه و تحليل سريهاي زماني (ترجمه) ". اميركبير (پليتكنيك تهران). انتشارات دانشگاه صنعتي

9 Random Modelng Alcaon n Rver Flow Smulaon and Esmaon of Mean Annual Rver Dscharge by Tme Seres Analyss Reza Javd Sabbaghan, Mohammad bagher Sharf M.Sc. Cvl-Waer Engneerng college suden, Ferdows Unversy of Mashhad; Senor Exer, Toossab Consulng Engneers Comany, rezajs_cvl_eng@yahoo.com Assocaed Proffesor, Ferdows Unversy of Mashhad, Faculy of Engneerng, mbsharf@ferdows.um.ac.r Absrac: Relaed 50 years me seres of he mean annual dscharge s consdered n hs aer as a heorecal samle enablng achevemen of aled and objecve analyss n real and aled scale usng hydrologcal analyss n objecve and numercal scales. The frs se n analyzng he me seres s long he daa and obanng he samle records. The nex se s consderaon of rend and erodc comonens and her omsson from he me seres and fng he sac model on he me seres. The nex sage, s consderaon of he daa normalzaon, usng sewness coeffcen mehod and her normalzaon hrough logarhm dfferenaon of daa. Arhmec mean of daa s deduced from he daa o oban zero average of he me seres. Samle ACF ( Auo Correlaon Funcon ) and PACF ( Paral Auo Correlaon Funcon ) for he daa for K= o7 s drawn and hen by comarson of ACF and PACF of AR, MA, ARMA and ARIMA models, he model ran s recognzed and seleced. Afer accomlshmen of all analycal sages of he me seres and esablshmen of nose comonens and aernng of he seleced model and fnally by raccng KS ess a 50 years samle s esmaed and roduced. In hs way, forecas and generaon acons are done and consderng las 50 years daa, he daa for he nex 50 years wll be generaed. Ths mehod s suable o forecas same as arfcal neural sysem mehods, and s accuracy deends uon he aled model and s arameers. The rocedure s accomlshed usng MINITAB sofware. Key words : Tme seres, Generaon, Forecas, ARIMA, ACF and PACF models.