)درجه( فز ش رادیان. { r. Rad. Rad Rad راديان. 1Rad

Transcript

1 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 9 فصل مثلثات )درجه( زاويه واحدهاي درجه دايرهرو يك محيط منظور همين به كنم. تعريف براتون درجهرو ميخوام بچهها! ميكنم. انتخاب دلخواهرو تيكهي يك و كرده تقسيم مساوي قسمت به نه مگه هست. درجه يك تيكه هر كه بگيد ميخوايد حتما اجازه! آقا ميكنن فكر كه اينه دانشآموزها از خيلي بگم!اشتباه اينو نميخواستم اصال عزيزم. نه مح طد ره و همر ز كنم. تصحيح رو اشتباه اين ميخوام من اما درجه با برابره دايره يك محيط كه مركزي زاويهاي به درجه بلكه بگيم نبايد دايره محيط»به درجه«ميگيم برميگيره در دايرهرو محيط مبد قرلايردد بعد به اين از كار راحتي براي قرارداد: يه بچهها! يعني: بديد. نمايش عقربهاش نوك روي زاويهرو هر كنه حركت ساعت عقربهي برخالف زاويهي توجه:اگر در و مثبت( جهت در )حرکت افزايشه حال در ميگيم منفی( جهت در )حرکت كاهشه. حال در اينصورت غير اهش فزش حر ت مبد درجه( حسب )بر داد: نمايش روبرو صورت به رو دايره روي معروف زواياي ميشه باال قرارداد به توجه با { r رادیان كنيد: دقت خوب پس كنم. تعريف براتون رو راديان يك ميخوام حاال بچهها! r { يعني: باشه. دايره شعاع برابر اندازهاش كه ميكنم انتخاب دايرهرو محيط از قسمتي ( Rad بگذره. قطعه اين سر دو از كه ميكنم رسم مركزي زاويهاي ( كنيد: نگاه ميگيم. راديان يك زاويه اين به Rad ميشه درجه چند راديان يك هر اجازه! آقا راديانه چند دايره از دور نيم هر اجازه! آقا هست. درجه 57/ تقريبا راديان هر Rad /Rad Rad راديان. با برابر دايره از دور نيم هر يعني راديانه. / Rad تقريبا دايره يك از دور نيم هر روبرو شكل به توجه با راديانه. با معادل 8 درجه ديگه عبارت به Rad Rad Rad Rad Rad از: عبارتند راديان حسب بر و زواياي معادل من! دوستان

2 )9( فصل آموزش 7 ماست تفکر در ما تفاوت چهارم تا اول ربعهاي توي كه زاويهاي تا ميخوام ايندفعه بچهها! راديان( حسب )بر كنم. بيان ضربدر تا غالب در رو دارن قرار ) )يعني درجه زاويهي افق با ضربدر اين ضلعهاي از كدوم هر قرار درجه مدل با ضربدر روي كه زاويههايي بنابراين. ميسازن حسب بر دارن ( و 7 5 (يعني: هستن. درجه: مدل با ضربدر ( ميسازن. ) )يعني درجه 5 زاويهي افق با ضربدر اين ضلعهاي بر دارن قرار درجه 5 مدل با ضربدر روي كه زاويههايي بنابراين ( 7 و 5 (يعني: هستن. حسب درجه: 5 مدل با ضربدر ( R يا زاويهي ضربدر اين اضالع ميكنن. ايجاد افق با قرار درجه مدل با ضربدر روي كه زاويههايي بنابراين حسب بر دارن ( 5 و (يعني: هستن. درجه: مدل با ضربدر ( 5 7 كنيد. معلوم دايره روي را زير زواياي مثال 7 ) 5 ) براي و داره قرار درجه مدل ضربدربا روي پس هست حسب بر زاويه اين اينكه به توجه با 7 زاويهي به تا كنيم طي رو تا 7 حركت مبدأ از كافيه دايره روي زاويه اين كردن معلوم داره. قرار درجه مدل با ضربدر روي پس هست برحسب زاويه اين 5 ميشه. معلوم دايره روي زاويهي كنيم طي رو تا 5 حركت مبدأ از اگه برسيم. 5 5 ) 5 مدل با ضربدر روي پس هست حسب بر زاويه اين كه اونجايي از 5 رسيد. خواهيم زاويهي به كنيم طي رو تا 5 حركت مبدأ از اگه بنابراين داره. قرار درجه كنيد. مشخص را زاويهي مقدار زير شكلهاي از يك هر در مثال قرار درجه مدل با ضربدر روي پس ميسازه زاويهي افق با كه اونجايي از ( كرده. طي رو تا چند حركت مبدأ از ببينيم كه كافيه لذا هست. حسب بر و داره

3 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 8 داره قرار درجه 5 مدل با ضربدر روي حتما ميسازه 5 زاويهي افق با كه اونجايي از 5 ( كرده. طي رو تا چند حركت مبدأ از كه بفهميم بايد بنابراين هست. حسب بر و 5 داره قرار درجه مدل با ضربدر روي پس ميسازه زاويهي افق با كه اونجايي از ) كرده. طي رو تا چند حركت مبدأ از كه بشه معلوم كافيه لذا هست. حسب بر و نشيد. بعدي قسمت وارد نگرفتيد ياد توپ توپ توپ دايرهرو روي معروف زواياي مكان و نام تا بچهها! توجه: توجه توجه r cs و ی نامه زندگی قائمالزاويه مثلث يك در cs و تعريف ببندم. y باهاتون قرارداد تا دو ميخوام مثلث اين به توجه با بگيريد. نظر در رو روبرو قائمالزاويهي مثلث بچهها! ی قائمالزاويه مثلث در : قرارداد ی قائمالزاويه مثلث در : قرارداد مقابل ضلع وتر y یعنی:. : داریم r مجاور ضلع cs یعنی:. cs : داریم وتر r r r y y فكرم! خوش دانشآموز تو به آفرين كنيد محاسبه رو cs cs 5 مقادير ميتونيد آيا بستم كه قراردادي به توجه با سؤال: يه حاال.هشاب و زاويههاي داراي كه كنيم درست معلوم ضلعهاي با قائمالزاويهاي مثلث بايد ميتونيم. بله اجازه! آقا بياريم. دست به گفتيد كه قراردادي طبق رو cs cs ميتونيم صورت اين در يعني: كرد. نصف وسط از رو واحد ضلع به متساوياالضالع مثلث يك ميشه باال شرايط با قائمالزاويه مثلث يك ايجاد براي اما ف ثاغولايرث لاير بطه طبق مقابل ضلع وتر مقابل ضلع وتر مجاور ضلع cs وتر مجاور ضلع cs وتر 5 زاويهي با قائمالزاويه مثلثي ايجاد اجازه!براي آقا يعني: گرفت واحدکمک ضلع به مربعي از ميشه مقابل 5 ضلع 5 وتر مجاور 5 ضلع cs5 وتر ف ثاغولايرث لاير بطه طبق و يعني: هستن مقدار اين از يكي و 5 زواياي cs و كه فهميديم پس بچهها! كه: ميبينيد كنيد دقت خوب اومده مقداربدست سه به اگه يعني: دارن ثابت مقداري مخرجها ( داره. قرار سرشون روي )راديكال( كاله كه هستن رفتن رژه حال در ترتيب به و سربازهاي كسر صورت در (

4 )9( فصل آموزش 9 ماست تفکر در ما تفاوت مثلثاتی ی دایره در cs و تعريف يعني: حرکتشه. مبدا A ي نقطه و دار جهت دایره ميگيم.این مثلثاتي دايرهي واحدرو شعاع به دايرهاي مثلثاتي: دايرهي تعريف فهميدن مانند بود كي كردن حفظ : ميگم هم من. ديدن مانند بود كي شنيدن ميگه: شاعر بچهها! منفی جهت r {A مثبت جهت ور مثلثات شيرين طعم هميشه براي يكبار شما كه بكنم كاري مثلثاتي( دايرهي )يعني معجزهگر دايرهي كمك به ميخوام بعد به اينجا از y r y كنيد: دقت حرفام به خوب پس بچشيد. r بگيريد. نظر در هست زاويهي حاوي كه رو عقربهاي مثلثاتي دايرهي روي بچهها! ميآد. وجود به قائمالزاويه مثلث يك كنم تصوير افق محور روي عقربهرو اين اگه كرد: تعريف قرارداد طبق رو cs ميشه پس y cs y cs y ) ديگه: دايرههاي )در ميشه. y كه مثلثاتيه دايرهي در فقط مثلثاتي: دايرهي معجزهي اولين r گفت: ميشه پس هست. عقربه نوك ارتفاع y كه كنيد,ميبينيد نگاه زير مثلثاتی دايرهي به اگه عقربه نوکه ارتفاع یعنی عقربه هنوك لايرتفا y عقربه هنوك طول cs y ) cs ديگه: دايرههاي )در ميشه. cs y كه مثلثاتيه دايرهي در فقط مثلثاتي: دايرهي معجزهي دومين r گفت: ميشه پس هست. عقربه نوك طول كه ميبينيد كنيد دقت زير مثلثاتي دايرهي به هم باز اگه یعنی cs عقربه نوکه طول cs 5 5 شكل به توجه با < 5 < شكل به توجه با cs cs < cs5 < cs 5 cs cs5 و و مقدار سه از يكي و 5 و زاويههاي و cs که گرفتيم نتيجه قبل قسمت در كه يادتونه آيا بچهها! ميكنن اختيار رو يادمونه. بله اجازه! آقا كنيد. مشخص مثلثاتي دايرهي روي رو مقدار سه اين ميخوام ازتون حاال كرديد ما براي كه تصويرسازيهايي به توجه با اجازه! آقا داد. انجام رو كار اين ميشه راحت خيلي cs cs cs5

5 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش اما ميكرديم. قاطي هم با اونهارو اوقات از خيلي و ميكرديم حفظ جدول يك كمك به رو مقادير اين ما حال به تا اجازه! آقا : (,, cs, cs ) 9 9 كه بگيم ميتونيم راحت خيلي معجزهگر دايرهي اين كمك به حاال...!!! ديدييي كجاشو تازه بگم بهت ميخوام ميآيد. خوشت مثلثات از داره يواش يواش عزيزم پس دارند! قرار شده مدلسازي ضربدرهاي روي كه زاويههايي کسینوس و سینوس مقدار و cs لطفا داشتن. قرار و 5 مدل با ضربدرهايي روي كه كردم معرفي شما به زاويههاييرو قبل درقسمت بچهها! بياريد. دست به رو زاويهها اين ميآريم: دست به براتون رو خواستيد چي هر االن هستن. باحالي چيز عجب شده مدلسازي ضربدرهاي اين اجازه! آقا cs cs 5 7 cs cs cs cs 5 cs cs 5 5 cs cs cs cs معجزهگر دايرهي كمك به رو معروف زواياي و cs ميتونيد كه رسيديد مرحلهاي به االن چون ميگم. تبريك بهتون بچهها! بياريد. دست به )مثلثاتي( مثلثاتی ی دایره در cs و عالمت دارن عالمتي چه مثلثاتي دايرهي از ربع هر در cs و مقادیر كه بگيد ميشه بچهها! آسونه. خيلي كه اين اجازه! آقا باشد دوم و اول ربع در اگه پس هست عقربه نوك ارتفاع كه اونجايي از يعني: منفيه. عالمت باشه چهارم و سوم ربع در اگه و مثبته عالمت ول دوم - مچهالايرم سوم - - -

6 )9( فصل آموزش ماست تفکر در ما تفاوت گفت: ميشه پس هست عقربه نوك طول cs اينكه به توجه با اما منفيه. سوم و دوم ربع در و مثبته cs عالمت چهارم و اول ربع در مچهالايرم ول < اگر مثال است كدام محدودهي باشد cs< و cs دوم - - يعني: عالمتند. هم cs و پس cs < كه اونجايي از بچهها! نتيجه منفيه مقداري cs و مجموع چون اما منفي( دو هر يا مثبت دو )هر داره: قرار سوم ربع در يعني هستند. منفي دوشون هر كه ميگيريم << سوم دارد قرار سوم ربع در cs و ی محدوده دارن قرار محدودهاي چه در cs و بگيد ميشه ديگه: سؤال يه بچهها! با برابره شعاع مثلثاتي دايرهي در كه ميدونيم اجازه! آقا ميشه - برابر حداقل و برابر حداكثر بچرخونيم كه هم قدر هر رو عقربهي اگر بنابراين هست - حداقلش و حداكثرش هم cs يعني ميكنه. صدق هم cs براي مطلب اين cs - cs cs cs - كاهش يا ميكنن پيدا افزايش زاويه اين cs و مقادیر زاويهي افزايش با ربع هر در شما نظر به سؤال: يه هم باز بچهها! يعني: ميدن. نشون دارن چيرو همه باال شكلهاي اجازه! آقا ميشه. زياد مقدار افزايش با چهارم و اول ربع در ميشه. كم مقدار افزايش با سوم و دوم ربع در اما ميشه. كم cs مقدار افزايش با دوم و اول ربع در ميشه. زياد cs مقدار افزايش با چهارم و سوم ربع در cs ct و ی نامه زندگی قائمالزاويه مثلث يك در ct و تعريف كردم. تعريف براتون رو cs و قرارداد تا دو با ديديد قبال كه همونطور بچهها! کنم. تنظیم باهاتون رو دیگه قرارداد دوتا خوام می حاال مقابل ضلع y : یعنی : داریم مجاور ضلع ct : یعنی ct : داریم y r y ی قائمالزاويه مثلث در : قرارداد مجاور ضلع مقابل ضلع r y ی قائمالزاويه مثلث در : قرارداد

7 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش كنيد. محاسبه رو ct ct 5 ct 5 مقادير لطفا بستم شما با كه قراردادهايي به توجه با بچهها! چشم. روي به اجازه! آقا كرديم استفاده و 5 زواياي cs و محاسبهي براي كه قائمالزاويهاي مثلثهاي همون از يعني: كرد. استفاده هم ct محاسبهي براي ميشه عزيزم. آفرين فیثاغورث قضیه طبق مقابل ضلع مجاور ضلع مقابل ضلع مجاور ضلع ct مجاور ضلع مقابل ضلع ct مجاور ضلع مقابل ضلع و و هستند: مقدار سه این از یکی و 5 و زوایای ct و که فهمیدیم پس بچهها! مقدار سه اين به اگه, مثلثاتي دايرهي در ct و تعريف ميدن. رو قدرنسبت با هندسي تصاعد يك تشكيل كه ميبينيد كنيد دقت خوب, L بگيريد. نظر در هست زاويهي حاوي كه رو عقربهاي مثلثاتي دايرهي روي بچهها! من شده.اگر مماس دايره به دایره راست سمت در d ميبينيد,خط كه همونطور ميآد. بهوجود قائمالزاويه مثلث يك كنه قطع رو d خط تا بدم امتداد رو عقربه این كرد: تعريف قائمالزاويه مثلث اين در رو قرارداد طبق ميشه پس خطd شكل( ) { { r { L L ( (خطd ا ( (محولاير L هست. محاسبه قابل محور اين طريق از زاويه يك مقدار چون (. )محور بذاريد رو ) d )خط اسم بعد به اين از مثلثاتي: دايرهي معجزهي سومين L ) ديگه: دايرههاي )در ميشه L كه مثلثاتيه دايرهي در فقط r L بچهها! امتداد رو عقربهي كافيه كنيد پيدا مثلثاتي دايرهي كمك به رو ميخوايد اگه ) برخورد L نقطهي )ارتفاع صورت: اين در كنه. قطع رو محور تا بديد كنيد معلوم مثلثاتي دايرهي كمك به رو ct مقدار ممكنه آيا سؤال! يه بچهها دايره به داره قرار دايره باالي در كه رو نام d به افقي خطي بايد كنيم فكر اجازه! آقا به قائمالزاويه مثلث يك كنه قطع رو خط d تا بديم امتداد رو عقربه كنيم.اگه مماس يعني: كرد. معلوم مثلث این کمک به رو ct قرارداد مقدار طبق ميشه ميآدكه وجود d { خط r

8 { )9( فصل آموزش ماست تفکر در ما تفاوت d { L L ct ct L خالقم. دانشآموز تو به آفرين () هست. محاسبه قابل محور اين كمك به زاويه يك ct مقدار چون ( ct )محور بذاريد رو ) d )خط اسم بعد به اين از بچهها! ( L ct ديگه: دايرههاي (در برقراره. ct L رابطهي مثلثاتي دايرهي در فقط : مثلثاتي دايرهي معجزهي چهارمين r عقربهي كافيه كنيد پيدا مثلثاتي دايرهي كمك به رو ct ميخوايد اگه بچهها! ) ct برخورد نقطهي )طول صورت: اين در كنه. قطع رو ct محور تا بديد روامتداد 5 5 < 5 < ct ct5 ct 5 ct > ct 5 > ct مقدار سه از يكي و 5 و زاويههاي و ct كه: گفتم قبال باشه يادتون اگه بچهها! كنيد. معلوم مثلثاتي دايرهي روي رو مقدار سه اين ميخوام ازتون حاال بفرمائيد: اجازه! آقا ميكنن. اختيار رو,, 5 ( ) 5 ct ct5 ct 5 دارند! قرار شده مدلسازي ضربدرهاي روي كه زاويههايي کتانژانت و تانژانت مقدار بياريد. بدست رو زاويهها اين ct و بعد و كنيد مشخص رو دارن قرار و 5 ضربدرهاي روي كه زاويههايي لطفا بچهها! ميكنيم. اجرا شمارو خواستهي بديد فرصت كمي اگه اجازه! آقا

9 تفاوت ما در تفکر ماست آموزش فصل )9( ct ct 5 ct ct 5 ct ct 7 ct ct ct ct 5 ct ct آفرين به تو. دستت درد نكنه. اما اگه به اين سؤال من جواب بدي معلومه كه مفهوم و ct يك زاويهرو كامال درك كردي. چقدره سوال: و آقا اجازه! كافيه در دايرهي مثلثاتي عقربههايي كه روي زاويهي قرار دارن رو امتداد بديم تا با محور برخورد كنه. نگاه كنيد: و آقا ببخشيد مثل اينكه مشكلي پيش اومده! اين عقربهها كه با محور موازي هستن و امتدادشون اصال محور رو قطع اصال مقدار نداره! نمي كنه پس و آقا با اين حساب ميشه گفت كه ( ( ct و ( ct ( هم مقدار نداره. چون امتداد اين دو زاويه اصال با محور ct برخوردي نداره. بسيار عالي! خيالم راحت شد كه تا اينجارو خوب درك كردي. تعريف نشده,,ct,ct نتیجه:

10 آموزش فصل )9( تفاوت ما در تفکر ماست 5 عالمت و ct در دایره ی مثلثاتی بچهها! ميشه بگيد كه و ct در هر ربع از دايرهي مثلثاتي چه عالمتي دارن آقا اجازه! از روي دايرهي مثلثاتي همه چي معلومه. يعني عالمت اگه در ربع اول و سوم باشه مثبت و اگه در ربع دوم و چهارم باشه منفيه. ول سوم مچهالايرم دوم - - آقا همينطور ميشه فهميد كه عالمت ct اگه در ربع اول و سوم باشه مثبت و اگه در ربع دوم و چهارم باشه منفيه. ول سوم مچهالايرم دوم آفرين به شما. نتیجه: در هر ربع و ct هم عالمتند. محدوده ی و ct بچهها! به نظر شما در هر ربع با افزايش زاويهي مقادیر و ct زياد ميشن يا كم آقا اجازه! چهار شكل زير نشون ميده كه در هر کدوم از ربع با افزايش مقدار داره زياد ميشه. از طرفي كامال مشخصه كه با چرخیدن عقربهي درجهت مثبت مقدار از تا تغيير ميكنه. - (, ) (, ) (, ) (, ) - آقا اجازه! چهار شكل زير هم داره نشون ميده كه در هر کدوم از ربع با افزايش مقدار ct داره كم ميشه. همچنين كامال معلومه كه با دور زدن عقربهي مقدار ct از تا تغيير ميكنه. ct ct ct ct ct ct ct ct

11 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش قرینه ی زاویه دو ام هب واضح خيلي رابطهرو اين مثلثاتي دايرهي بيارم. دست به رو ( ( زاويهي مثلثاتي نسبتهاي بين رابطهي ميخوام بچهها! كنيد: دقت ميده. نشون ct ct(- ) cs cs(- ) (- ) cs( ) cs ( ) ct( ) ct ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ct( ) ct( ) خوره منفي cs ( هستن. منفيانداز ct و ) (- ) كه: فهميد ميشه باال شكلهاي از اجازه! آقا cs( ) cs( ) برابرن: هم با قرينه, زاويهي دو cs ) يعني: هستن. ديگه هم قرينهي قرينه زاويهي دو ct و ( اينه: خودموني بيان به باال روابط معني است كدام cs( ) ( ) ct ( ) حاصل مثال cs( ) ( ) ct ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 مكمل زاويهي دو 5 β مكملند و β هستن. يكديگه مكمل β و ميگيم بشه 8 برابر β و زاويهي دو مجموع اگه بچهها! مكمل 7 ( ( ( ( ) ( ) چون: ( ) با برابره ( ) زاويهي مكمل بنويسيد. مقابلشان را شده داده زواياي مكمل مثال مكمل γ γ مكمل ( β 5 5 مكمل 7 β 5 7 كردم. رسم مكمل زاويهي دو پايين دايرههاي از كدوم هر در بچهها! 8 - دارن شباهت موجودي چه به مكمل زاويهي دو كه ميكنيد فكر شكلها اين به توجه با

12 )9( فصل آموزش 7 ماست تفکر در ما تفاوت b a گرفت. نظر در پرنده يك بال دو به شبيه مكملرو زاويهي دو ميشه اجازه! آقا پرنده«بال دو ميگيم مكمل زاويهي دو»به بعد به اين از دارن هم با رابطهاي چه پرنده بال دو مثلثاتي نسبتهاي سؤال: بچهها! راحته: خيلي اجازه! آقا b b a a b a b a a ct b b cta a cs b csa a b a b csa csa csb csb a a b b b cta cta ctb ctb هستن. همديگه قرينهي هاشون ct و ها ها cs اما برابرن هم با هاشون مكمل زاويهي دو كه ميگه داره قبل شكل اجازه! آقا گفت: ميشه پس csa csb صفر: با برابره مكمل زاويهي دو هاي cs مجموع ( a b وجود(: صورت )در صفر با برابره مكمل زاويهي دو هاي مجموع ( cta ctb وجود(: صورت )در صفر با برابره مكمل زاويهي دو هاي ct مجموع ( آوريد. دست به را cs cs cs cs cs حاصل مثال cs cs cs cs cs cs است كدام m حسب بر 5 5 ct( ) ct( ) حاصل باشد m اگر مثال ct( ) ct( ) m متمم زاويهي دو β متممند و β 9 برابر β و زاويهي دو مجموع اگه بچهها! هستن. يكديگه متمم β و ميگيم بشه ( ) ( ) چون: ( ) با برابره ( ( زاويهي مكمل بنويسيد. روبرويشان را زير زواياي متمم مثال β β 9 8 كنيد. دقت خوب كردم رسم زير شكلهاي در كه متممي زاويههاي به بچهها! -

13 درسته. كامال عزيزم. آفرين ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 8 هستن متقارن خطي چه به نسبت متمم زاويههاي اين ميكنيد فكر دارن هم با رابطهاي چه متمم زاويهي دو مثلثاتي نسبتهاي ميكنيد فكر خط اجازه! آقا سوم( و اول ربع نيمساز )يعني y cs ct β cs β ct برابره. یکی اون ct با یکی و يكي اون cs با يكي اجازه! آقا موقع: اون باشن يكديگه متمم β و اگه كه گفت ميشه بنابراين است كدام ( ) cs( β) cs( ) ( β) عبارت حاصل مثال متمم متمم ( ) cs( ) cs( β) ( β ) 7 پایه( )روابط زاويهي مثلثاتي نسبتهاي بين روابط 7 نيب مثلثاتي دايرهي كمك به دارم قصد من حاال و» زاويهي مثلثاتي»نسبتهاي ميگن (ct,,cs, ( به بچهها! كنم. برقرار رابطه زاويهي مثلثاتي نسبتهاي كرد! ايجاد مثلثاتي روابط مثلثاتي دايرهي كمك به ميشه مگه اجازه! آقا كنيد: نگاه پس اينطوره كه حاال نياورديد!!! ايمان مثلثاتي دايرهي معجزات به هنوز شما كنم فكر فيثاغورث cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs { r cs cs cs { { قرارداد { {»» {»» [» [» مقابل cs cs» cs» cs مجاور [ ضلع» cs { {» [» ضلع» cs cs ct ct ct ct ct ct {» cs ct ct ct ct قرارداد { ct {» { {»» ct { ct ct» cs cs ct { {»» { {» ct ct cs [» مجاور ضلع ct ct ct [» ct ct [ cs cs ct ct [ ct ct ct ct ct [» cs مقابل [ ضلع» ct ct ct { {»» cs ct ct ct پيداكنيد معادل عبارت نوشتم پایین در كه مثلثاتي [» عبارت دو اين براي ميتونيد آيا كردم استخراج براتون كه روابطي به توجه با بچهها! آورد. بدست رو cs? ) cs? ) cs و cs ارزهای هم cs توان به ( cs cs ( ) cs cs ( ) رابطهي از بشه كه كنيم فكر اجازه! آقا cs cs توان به ( cs si n cs ( ) cs cs cs ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) cs cs cs cs ( cs cs ) cs cs cs cs

14 آموزش فصل )9( تفاوت ما در تفکر ماست 9 cs cs cs cs اما بچهها! اگه به دو رابطهي به دست اومده توجه كنيد ميبينيد كه با هم فاميلن. يعني اين دو رابطه فقط در ضريب و با هم اختالف دارن و بقيهي ساختارشون مثل همه: چیست مثال ساده شدهي عبارت cs ) ( بچهها! بهتره عبارت درون پرانتز رو به يك كسر تبديل كنيد )ساده كنيد( يعني: ( ) ( ) ( ) cs cs cs ( ) ( ) cs cs ) cs ) cs cs ) cs مثال عبارت ct با كدام گزينه برابر است ( cs cs ct cs cs cs cs تغيير عالمت a b (a b)(aa ab bb) چیست : یادآوری a b (a b)(aa ab bb) تغيير عالمت cs cs مثال ساده شدهي كسر ( ) cs ( cs ) cs cs ( cs )( cs ) cs cs cs ( cs ) كدام است cs cs cs cs cs ( ) cs خواستهي مسئلهرو بر حسب مينويسم cs cs مثال اگر باشد حاصل كسر كدام است یعنی صورت و مخرج کسر رو به cs تقسیم میکنم مثال ساده شدهي عبارت cs cs ( ديديد اون ( يا ) ( يا ) ( يا ) cs بچهها لطفا گوش كنيد: اگه توي يك عبارت مثلثاتي عاملهايي مثل ( cs عاملرو در مزدوجش ضرب و تقسيم كنيد. معموال با اين حركت قفل اون عبارت مثلثاتي شكسته ميشه. ( cs ) cs cs ( cs ) cs cs cs cs ( cs )( cs ) ( cs )

15 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش بنويسم. حسب بر فقط رو و cs مثلثاتي نسبتهاي از كدوم هر ميخوام ايندفعه بچهها! { { حله: چي همه باشه حسب بر مثلث اين اضالع كه كنم ايجاد قائمالزاويه مثلث يك مثلثاتي دايرهي در بتونم من اگه فیثاغورث مقابل [» ضلع وتر مجاور [» ضلع cs cs cs وتر نه مگه بنويسيد. ct حسب بر رو و cs مثلثاتي نسبتهاي تكتك بتونيد شما االن كنم فكر بچهها! { يعني: باشه. ct حسب بر اضالعش كه كنيم ايجاد قائمالزاويه مثلث يك مثلثاتي دايرهي در بايد اجازه! آقا ct ct فیثاغورث [» مقابل [ [» ضلع» ct ct وتر ct ct [» ct ct cs cs cs مجاور [» ضلع ct ct cs cs ct ct ct cs وتر ct ct مرحله(» ct ct cs» دو )در كنم. حك ذهنتون توي باالرو رابطهي ميخوام cs cs ct حاال بچهها! ct cs cs ct cs ct. ct يا ct ct و هستن يا رابطه اين مخرجهاي ( : يعني ميگيره قرار كسر صورت در مخرج جملهي كدوم كه اينه سؤال حاال ميبينيد. كسر صورت در شما مخرجرو جملهي دو از يكي اما (?? ct و?? دليل: همين به. ct با هم cs فاميله با بگم: بهتون مهمرو مطلب يك كه الزمه قبلش اما ct cs ct باال. میاره رو ) )یعنی فامیلش و میکنه بازی پارتی عبارت برقراره و بین که ای رابطه در. غریبس باهاش چون نميكنه استفاده ct از اما ct باال. میاره رو ) ct )یعنی فامیلش و میکنه بازی پارتی cs عبارت برقراره ct و cs بین که ای رابطه در cs. غریبس باهاش چون نميكنه استفاده از cs اما خيلي ديگه مثلثاتي روابط پيدايش توي روابط این بگم که الزمه دشمن«و دوست»روابط ميذارم رو مهم رابطهی اين اسم بچهها! دشمن دارن. دخالت دوست ct ct ct ct ct دشمن و دوست روابط : ct ct ct ct ct cs ct ct cs cs ct cs ct cs ct cs ct ct ct cs cs ct ct ct cs cs ct ct ct ct ct

16 آموزش فصل )9( تفاوت ما در تفکر ماست كدام است ربع دوم مثال اگر در ربع دوم دايرهي مثلثاتي باشد. ساده شدهي عبارت ct منفی مثبت cs cs cs cs ct 8 8 روابط ) ±β ( ±β ) cs( ±β ) ( بچهها! ميشه مقدار ) ( 75 رو محاسبه كنيد. 5 بنويسيم و رو روي اين دو زاويه پخش كنيم. 75 رو به صورت آقا اجازه! اين كه كاري نداره. كافيه زاويهي 75 ( 5 ) 5 آيا فكر نميكني جوابيرو كه بدست آوردي غلطه آقا! ببخشيد مثل اينكه اشتباه كردم. چون يك زاويه امكان نداره از بيشتر بشه ولي در اينجا اين اتفاق افتاده! / / 75 / )غلط( ببين عزيزم در راه حل شما يك اشتباه بزرگ نهفته. اشتباه اينه كه شما فكر ميكني: ) 5 ( ( 5 ( در صورتیکه شما نميتوني يك نسبت مثلثاتي رو در زاويههاي درونش پخش كني. )ضرب کنی( ( β) β چون يك نسبت مثلثاتي اصال در زاويهي درون خودش ضرب نميشه. يعني: cs( β) cs csβ ( β) β در واقع نسبتهايβ مثلثاتي زاويه ي β) به ( صورت مقابل محاسبه مي شن: )اگه اثباط روابط زیر رو میخواید انتهای همین فصل رو ببینید.( β ( β ) csβ cs β cs( ( β β ) ) cs csβ β ( β ) csβ cs β ( β ) β ( β β β ( β ) ( β ) β β ( β β cs( β ) cs csβ β ( β ) β cs( β ) cs csβ β A) B cs A(ct B برقرار است. نوع مثلث كدام است cs B A cs A cs B AB Bcs A( B cs A ) Bcs A Bcs A cs(a B) A B C cs A cs B A B ( ) مثال در مثلثي رابطهي قائمالزاويه ( y) ( y) كدام است مثال حاصل كسر ( y). ( y) بچهها! اگه كمي دقت كنيد ميبينيد كه ساختار رابطهي باال مربوط به β) ( هست. بنابراين ميشه نوشت: ( y) ( y) (( y) ( y) ) ( y). ( y) مثال بيشترين مقدار عبارت ) ( ) (cs cs را بهدست آوريد. cs cs cs cs Ma? cs cs cs cs ( cs cs cs ( cs ( cs cs ) cs( ) ) ) cs( cs ) ) cs ( cs ) cs( ) cs cs [, ] cs [, ] cs [, ] Ma( Ma cs? ) Ma? Ma?

17 ميشه کنید می فکر ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش ناقال روابط دراومدي شكل به شدن ساده از بعد حاال كه بودي چي اولش تو پرسيدم از من روزي يه بچهها! كردم فكر كه وقتي اما بپيچونه( منو خواست اون واقع )در بودم!!! شكلي همين اول همون از من گفت: و نداد من به درستي جواب اون 5 بودي: شكلي اين اول از تو ناقال اي گفتم بهش و بوده اول از اون ديدم 5 5 ( 5 ) 5 ناقال رابطهي گذاشتم: رابطهرو اين اسم من كه بود اونجا از داره: هم داداش يه ناقال اين البته 5 ( 5 ) 5 هستن. ناقال اينها كه بفهميد نميتونيد اصال كه ميكنن مخفي طوري رو خودشون اوقات گاهي باال ناقالي روابط بگم. بهتون رفت يادم رو مطلبي يه تازه كنيد: نگاه خوند. ميشه رو دستشون كنيد تقسيم cs به رو روابط اين مخرج و صورت اگه مخفي. ناقالي روابط گذاشتم رو اسمشون من cs cs cs cs ( 5 ) cs cs cs cs cs cs cs cs ( 5- ) cs cs cs cs ) 5 ) ) 5 ) است برابر كدام با 5 حاصل مثال 5 5 ( 5 5) 5 کدامست 5 cs 5 حاصل مثال 5 cs5 cs5 5 5 ( 5 5) (cs5 5) 5 9 روابط 9 ), cs, ( اصلی روابط. ی زاویه مثلثاتی نسبتهاي سراغ بريم ايندفه بچهها نوشت ميشه رو رابطهاي چه براي ميكنيد فكر موقع: اون بنويسيم ( ) صورت به رو اگه اجازه! آقا ( ) cs cs cs مادر ي رابطه cs كنيم. بازنويسي حسب بر رو مادر ي رابطه كافيه نداره كاري كه اين اجازه! آقا دشمن ی رابطه نوشت برحسب رو cs cs cs cs

18 آموزش فصل )9( تفاوت ما در تفکر ماست مثال 5 5 cs 5 5 cs مثال c cs مثال cs 5cs 5 ( 5cs 5) مثال حاصل عبارات زیر را بیابید اين رابطه يه ضريب كم داره 75 / / cs 75 cs cs cs / 75 / 8 مثال اگر اين رابطه يه ضريب كم داره cs باشد حاصل كدام است 5 ( cs ) () cs cs بچهها! حاال كه به خوبي از پس رابطههاي براومديد بريد سراغ. cs آقا اجازه! اولين حركت باز كردن زاويهي به شكل ) ( هست يعني: رابطهي مادر cs cs( ) cscs cs cs آقا اگه بخوايم cs رو فقط بر حسب cs بنويسيم كافيه در رابطهي مادر همه چيرو به cs تبديل كنيم. cs cs cs cs cs cs ( cs ) cs cs cs cs cs cs cs ( ) آقا اگه بخوايم cs رو فقط بر حسب بنويسيم كافيه در رابطهي مادر همه چيرو به تبديل كنيم. cs cs cs cs cs آقا اگه بخوايم cs رو فقط بر حسب بنويسيم كافيه در رابطهي مادر همه چيرو به تبديل كنيم. رابطه ی دشمن cs cs cs cs رابطه ی دوست cs cs cs

19 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش كنه اشتباه رابطه كدوم با رو ( ) cs ي رابطه ممكنه پرت حواس دانشآموز يك ميكنيد فكر بچهها! ميرسه. به نوبت حاال بچهها! يعني: قبليهاست مثل هم رابطه اين كردن پيدا روش اجازه! آقا یعنی ناقال: ي رابطه با اجازه! آقا t ( )) بگيره اشتباه رابطهاي چه با رو رابطهي ممكنه دانشآموز يه ميكنيد فكر بچهها! رابطهي با اجازه! آقا مينويسم. تعميميافته صورت به من آوردي بهدست كه رو رابطهاي حاال عزيزم. آفرين مثال مثال است كدام ct حاصل مثال ct ct ( ) است كدام مقدار باشد cs اگر مثال cs cs cs cs cs cs cs cs ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( cs ) cs cs ( cs ) فرعي روابط ( cs ) cs cs ( cs ) چرا ها! بچه علت ( cs ) cs cs ( cs ) ( cs ) cs cs ( cs ) علت ( cs ) cs cs ( cs ) cs cs ct ct cs cs علت cs cs ct ct cs cs ( ) ( ) چرا ها! بچه چرا ها! بچه ct ct چرا ها! بچه علت cs cs cs ct ct ct cs cs

20 )9( فصل آموزش 5 ماست تفکر در ما تفاوت علت cs چرا ها! بچه cs cs ( cs )( cs ) cs چرا ها! بچه علت cs cs ( cs )( cs ) كرده. متمايز هم از اونهارو و ضريب فقط و هستن هم مثل باال رابطهي دو ساختار معلومه كه طور اين cs cs ( cs ) علت cs cs cs cs ( ( cs ) ) cs cs cs cs cs ( cs ) علت cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs ( ( ( cs cs ) )) چرا ها! بچه چرا ها! بچه cs cs رسيد: روبرو رابطهي به ميشه همديگه به قبل ي رابطه دو تقسيم از اجازه! آقا ( ) روابط براي ميكنيد فكر بچهها! نوشت ميشه رابطهاي چه يعني: كنيم. خورد رو بايد بنويسيم زاويهي برحسب اي رابطه بخوايم اگه اجازه! آقا ( ) ( ) cs cs cs cs ( ) cs ( ) ( cs. ) cs ( ( cs ) )( cs ) ( ) cs cs cs cs cs cs درضمن نتیجه جمع به ضرب تبديل بگيريد. رابطه اين از يادگاري عكس يك ذهنتون دوربين با و كنيد نگاه دقت با رو پايين رابطهي كه ميكنم خواهش ازتون بچهها! اول قسمت دوم قسمت اول قسمت دوم قسمت ( β ) csβ cs β cs( β ) cs csβ β ب ( ) cs cs β β β cs( β ) cs csβ β اولش قسمت که شد تشکیل قسمت دو از ( ±β) بسط که بنید می کنید دقت الف قسمت ی رابطه دو به اگه بچهها! الف هست. cs. β دومش قسمت و.cs β

21 تفاوت ما در تفکر ماست آموزش فصل )9( سوال ( به نظر شما چه عملی بین β) ( و ) β ( باید صورت بگیره تا csβ ایجاد بشه آقا اجازه! برای اینکه قسمت اول بسط ) ±β ( رو به وجود بیاریم باید ) β ( رو با ) β ( جمع کنیم. یعنی: جمع دو تساوی قسمت دوم قسمت اول ( β ) csβ cs β ( β ) csβ cs β csβ ( β ) ( β) سوال ( چه عملی بین β) ( و ) β ( باید صورت بگیره تا cs β ایجاد بشه آقا اجازه! برای اینکه قسمت دوم بسط ) ±β ( رو به وجود بیاریم باید ) β ( رو منهای β) ( کنیم. یعنی: تفاضل دو تساوی قسمت دوم قسمت اول ( β ) csβ cs β ( β ) csβ cs β cs β ( β ) ( β) اما دوستان من! اگه به دو رابطه ی قسمت ب توجه کنید مشاهده می کنید که بسط ) ±β cs( هم از دو قسمت تشکیل شده که قسمت اولش cs csβ قسمت دومش β هست. سوال ( چه عملی بین β) cs( و ) β cs( باید صورت بگیره تا cs csβ ایجاد بشه آقا اجازه! برای اینکه قسمت اول بسط ) ±β cs( رو به وجود بیاریم باید ) β cs( رو با β) cs( جمع کنیم. یعنی: جمع دو تساوی قسمت دوم قسمت اول cs( β ) cs csβ β cs( β ) cs cs β β cs csβ cs( β ) cs( β) سوال ( چه عملی بین β) cs( و ) β cs( باید صورت بگیره تا β ایجاد بشه آقا اجازه! برای اینکه قسمت دوم بسط ) ±β cs( رو به وجود بیاریم باید ) β cs( رو منهای ) β cs( کنیم. یعنی: قسمت دوم قسمت اول cs( β ) cs csβ β cs( β ) cs cs β β تفاضل دو تساوی β cs( β ) cs( β) قسمت اول ±β) ( قسمت اول ±β) ( 7 7 بچهها! به چهار رابطه ای که تولید کردید میگن روابط ضرب به جمع. چون سمت چپ تساوی به صورت ضرب و سمت راست تساوی به صورت جمع یا منهاست. مثال حاصل عبارت cs 5cs 7 كدام است cs 5 cs 7 ] ( ) ( ) [ ] ( 5 ) ( 5 ) [ 7 مثال مقدار عددي 75 5 كدام است عبارت 755 يه ضريب كم داره. اگه کنارش اين ضريبرو بذاريم اون موقع ميشه براش تبديل ضرب به جمع رو نوشت: 75 5 ( 75 5 ) ( cs( 75 5) cs( 75 5 )) (cs9 cs ) ( ) بخش دوم ±β) cs(

22 آموزش فصل )9( تفاوت ما در تفکر ماست 7 تبديل جمع به ضرب ( β ) csβ cs β cs( β ) cs csβ β و بچهها! در قسمت قبل دیدید که اگه ( β ) csβcs β cs( β ) cs csβ β روابط رو به صورت ستونی یکبار با هم جمع و یکبار از هم کم کنیم به چهار رابطه ی مهم میرسیم. نگاه کنید: ( ( ( β ) csβ cs β ( β ) csβ cs β ( β ) csβ cs β ( β ) csβ cs β قسمت اول ±β) ( ( β ) ( β ) csβ قسمت دوم ±β) ( ( β) ( β ) β قسمت اول ±β) cs( cs( β ) cs csβ β ( cs( β ) cs( β ) cs csβ cs( β ) cs csβ β ( cs( β ) cs csβ β cs( β ) cs csβ β قسمت دوم ±β) cs( cs( β) cs( β ) β به روابط نتیجه شده ميگيم تبديل جمع به ضرب. چون سمت چپ این روابط به صورت جمع و سمت راستشون به شكل ضربه. آقا اجازه! معموال در روابط مثلثاتي زاويههايي كه در سمت چپ تساوي قرار دارن يك جملهاي هستن نه دو جملهاي در حالي دو جمله ای دو جمله ای ( ( β ) ( β ) csβ كه روابط بدست اومده اين خاصيت رو ندارن!! ( ( ( ( β) ( β ) cs cs ( β ) cs ( β ) cs cs ( β) cs ( β ) β csβ β β) ( بذاري و به جای β) ( بذاري y به آرزوت خب عزيزم. اين كه غصه نداره. اگه در سمت چپ این تساويها به جای ميرسي. اما حواست باشه كه در سمت راست این تساويها زاويهها رو حتما بر حسب و y بنويسي. يعني: در اصطالح خودموني y y β β y در اصطالح خودموني y β y β جمع β كم y y y β β cs β β β cs β cs β cs β cs cs cs βcs β β β

23 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 8 ور روابط اين كه ميكنم توصيه بهتون نكنيد فراموش وقت هيچ و بسپريد ذهنتون به خوب باالرو رابطهي اينكه براي بچهها! زاويهگذاري : مرحلهي نويسي ساختار : مرحلهي كنيد: تكميل مرحله دو در حتما كنم: تكميل مرحله دو در رو y رابطهي ميخوام ميزنم. براتون مثالي ميگم چي كنيد درك اينكه براي ) cs ساختار )يعني ( ±β) اول قسمت میشه جوابش كه هست ( β ) ( β) همون y میکنم ض فر : مرحلهي جمع كم cs ميدم: قرار زاويه دومين درون رو ) y كم )یعنی و زاويه اولين جاي به رو ) y )یعنی جمع : مرحلهي y y ( β ) (β y ( اول( قسمت ±β y cs ( دوم( ±β قسمت y cs cs cs y y cs( اول( ±β قسمت cs cs cs cs y cs( دوم±β ) قسمت 8 cs cs cs 8 8 cs چيست 8 cs حاصل مثال cs cs cs چيست cs ازاي به cs كسر حاصل مثال cs cs cs cs c ct ct cs cs ) ضرب به جمع تبدیل از دیگری نوع ( معرکه ی رابطه cs ± ± cs كنم. پيدا معادلي cs ± و ± cs از كدوم هر براي ميخوام بچهها! عبارتهاي cs ± ± cs همون ضرايب اين. دارن (,, ) ضرايب عبارتها اين دوم ي جمله كه ميبينيد كنيد نگاه باال عبارتهاي به خوب اگه يعني: بربگيره در باالرو روابط همهي تا ميكنم درست كلي رابطهي دو حاال هستن. و 5 ( cs θ csθ± cs θ ± θcs ± ( ±θ) csθθ csθ csθ θ cs cs cs ± θ± θ ( ± θ cs ± cs ( θ) cs θ cs θ cs θ نتیجه ± θ cs ( ± θ) csθ ± θ cs cs ± θ نتیجه cs ± cs ( ± θ θ) csθ بسپاريد. ذهنتون به راحت معركهرو ي رابطه تا دو اين مرحله سه توي شما كه كنم كاري ميخوام حاال cs θ csθ بنويسيد. رابطه دو هر براي رو cs θ θ تساوي, چپ سمت در اگه علت: كنيد( نگاه اثبات )به ميآد بهوجود cs θ ضريب ( ضريب تساوي راست سمت در کنیم باز رو

24 چنده زاويهي مقدار روبرو شكل در بگید ميشه سوال: يه بچهها! چنده زاويهي مقدار وبرو ر شكل در ديگه: سؤال يه حاال كنيد: گوش خوب پس بزارم. میون در باهاتون رو مهمي موضوع يه ميخوام بچهها! )9( فصل آموزش 9 ماست تفکر در ما تفاوت تنها ± θ cs ( (θ بنويسيد. حسب بر رو راست سمت موقع اون تنهاست كه ديديد چپ سمت در اگر ( csθ تنها cs ± θ cs( (θ بنويسيد. cs حسب بر رو راست سمت موقع اون تنهاست cs كه ديديد چپ سمت در اگه و csθ ± θ cs ( (θ± بنويسيد راست سمت در تغيير بدون چپرو سمت عالمت نوشتيد حسب بر جوابرو اگه ( csθ cs ± θ cs( (θ بنويسيد. راست سمت در و بديد تغيير چپرو سمت عالمت نوشتيد cs حسب بر جوابرو اگه و csθ نتیجه ± cs ( ± 5 ) ± cs ( ± 5 ) ± cs ( ± ) cs5 ( ) cs ( ) cs ( ) مثلثاتی معادالت حل سر n های عقربه صفره. با برابر مقدار كه معلومه راحتي!! سؤال چه اجازه! آقا باشه. ميتونه هم آقا باشه نميتونه شما نظر به چيه به راجع نظرتون يعني: باشه. از زوجي مضرب ميتونه بلكه نيست صفر فقط مقدار كه بگيد ميخوايد شما فهميدم. اجازه! آقا عمومی فرمول..., ( ( ), ), ( ( ), ), ( ( ), ), ( ( ),... (( زوج ) k { } يعني: هستن. از فردي مضرب همشون كه باشه زاويه بيشمار ميتونه نميكنم. اشتباه ديگه ايندفعه اجازه! آقا { } عمومی فرمول..., ( ), ( ), 5 ( ), 7 ( ),... ) k ( نامتناهيه«سر دو از كه فنره يك بلكه نيست دايره اصال مثلثاتي»دايرهي اگه اما هست. دايره يك مثل كنيد نگاه روبرو از فنر اين به اگه ميكنيد. حس كامال رو بودنش فنر كنيد نگاه بهش كنار از مقابل( از )نگاه كنار( از )نگاه زاويهي پرسيدن ازتون وقتي پس ميبينيم. نقطه يك فقط روبرو از رو نقاط اين ما دارن قرار هم امتداد در نقاط اين كه اونجايي از ات بگيد رو زاويه اون عمومي اختصاصي,فرمول زاويهي گفتن جاي به بهتره چنده داره, قرار مثلثاتي دايرهي روي كه عقربهاي يعني: بربگيره. در رو مربوطه زواياي همهي

25 بچهها! به عقربه هایی كه در 5 دایره زير رسم شده خوب نگاه كنيد. تفاوت ما در تفکر ماست آموزش فصل )9( فرمول عمومی k k فرمول عمومی k k فرمول عمومی k k فرمول عمومی k ( k ) سر سر سر سر سر سؤال : آيا در هر دایره یکی از عقربه ها روی مبدا حرکت قرار داده یا نه بله آقا قرارداره. سؤال : آيا در دایرههاي باال زاويهي بين هر عقربه تا عقربهي بعدي يكسان هست يا نه بله آقا يكسانه. تعریف: به n تا عقربه که روی یک دایره قرار بگیرن و دو شرط زیر رو داشته باشن عقربه های n س ر میگیم: ( یکی از عقربه های روی مبدا حرکت باشه. ( زاويهي بین هر عقربه تا عقربه ی بعدی مقداری ثابت باشه. مثال های شکل روبرو یک عقربه ی سر رو ایجاد کردند. هست. چون یکی از عقربه ها روی مبدا حرکت قرار داره و زاویه ی بین هر عقربه تا عقربه ی بعدی مقدار ثابت بچهها! حاال ازتون ميخوام فرمول عمومي رو در هر يك از شكلهاي زير بدست بياريد. آقا اجازه! به روي چشم. عقربه های سر : در اين حالت زاویهي هر عقربه تا عقربهي بعدي برابره با. بنابراين فرمول عمومی در عقربه ی یک سر به صورت زیر محاسبه میشه: { }..., ( ), ( ), ( ), ( ),... k( ) عقربه های سر : در اين حالت زاویهي هر عقربه تا عقربهي بعدي برابره با. بنابراين فرمول عمومی در عقربه ی دو سر به صورت زیر محاسبه میشه: { }..., ( ), ( ), ( ), ( ),... k( ) عقربه های سر : در اين حالت زاویهي هر عقربه تا عقربهي بعدي برابره با. علتش هم اينه كه يك دور كامل از دايره )يعني زاويهي ) به قسمت تقسيم شده بنابراین: {..., ( ), ( ), ( ), ( ),...} k( ) آقا اجازه! فكر كنم از سه فرمولي كه پيدا شده بشه يه قانون درست كرد.

26 هم با همه االن پس اومد. بوجود مثلثاتي معادالت حل در جديدي روش كردي ايجاد كه رابطهاي با كاشفم. دانشآموز تو به آفرين )9( فصل آموزش ماست تفکر در ما تفاوت يعني: ميشه. پيدا عمومي فرمول كنيم ضرب k در متواليرو عقربهي دو بين زاويهي اگه که: اینه منظورم عمومی فرمول k( ) k( متوالی ي نقطه دو بین ي زاویه عمومی فرمول k( ) متوالی ي نقطه دو بین ي زاویه قسمت n به ) )يعني دايره از كامل دور يك سر n های عقربه در كردم. كشف كلي رابطهي يه نكنم اشتباه اگه اجازه! آقا رد عمومي فرمول كنيم ضرب k در رو زاویه اين اگه بنابراين. با برابره متوالي عقربهي دو زاویهي پس ميشه تقسيم n سر هایn عقربه برای عمومی فرمول يعني: ميشه. ايجاد سر n های عقربه k n ( ) k n سالم. نوين مثلثات خداحافظ سنتي مثلثات بگيم: ميتونيم بياريم. دست به جديد ی رابطه كمك به سر و سر سر سر سر های عقربه برای رو عمومي فرمول باشيد موافق اگه بچهها! n n n n n k k k k n n k n n n یافته دوران سر n های عقربه k n مثبت جهت در چرخش راديان منفی جهت در چرخش راديان k k nn k k nn اندازهي به ممكنه سر n های عقربه بچهها! برای رو عمومي فرمول صورت دراين كنن. دوران راديان نوشت: اينطوري ميشه يافته دوران سر n عقربههاي كرده پيدا دوران قدر چه سر n های عقربه كه بفهميم كجا از اجازه! آقا جدا مبدأ از عقربه اين دوران صورت در داره قرار حركت مبدأ روي ها عقربه از یکی همیشه سر n های عقربه در كه اونجايي از دورانه. مقدار همون حركت مبدأ تا عقربه اين بين زاويهي نتيجه در كنيد. شناسايي مبدأرو به نقطه نزديكترين شما كافيه بنابراين ميشه. )يعني ميبينيد. رو سر عقربهي يك شما رو روبه شكل در مثال : k ميبينيد همونطوركه ) ندارن(كامال قرار حركت مبدأ روي ازنقاطش كدوم هيچ )چون چرخيده. مقداري سر عقربهي اين مبد k كرده: ايجاد مثبت جهت در درجه زاويهاي مبدأ به عقربه نزديكترين كه واضحه صورت به رو عمومي فرمول ميشه مثال دراین آيا اجازه! آقا k نوشت هم

27 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش k به ) )يعني: سر زاويهي كه ميگي داري شما واقع در عزيزم. بله باشه: يادتون چيزي يه بچهها! اما چرخيده. منفي جهت در اندازهي ميسنجند. مبدأ به عقربه نزديكترين با رو چرخش مقدار معموال - k - k k 5 5 k k k بياريد. بهدست شكلها از يك هر در رو زاويهي عمومي فرمول مثال k ) )يعني: سر يك زاويهاي شكل سه هر در اجازه! آقا A( پس: كردن پيدا دوران مقداري كدومشون هر كه داريم k ) k عمومي فرمول دوران مقدار )يعني: سر دو زاويهي شكل سه هر در اجازه! آقا B( بنابراين: كردن. پيدا دوران مقداري همشون كه داريم k عمومي فرمول دوران مقدار k k k رس زاويهي روبهرو شكل سه هر اجازه! آقا C( k درنتيجه: چرخيدن. مقداري كه هستن ) )يعني: k عمومي فرمول چرخش مقدار است كدام ( k ) ( k ) مقدار مثال ct ( k ) ( k ) ( k ) ct( k ) شهودي روش به a معادلهي حل براي كنيد. حل شهودي روش به رو مثلثاتي معادالت بتونيد شما كه بود اين بخاطر كرديم مقدمهچيني چي هر االن تا بچهها! ميپرسم. ازتون سؤال تا چند بفهميد بهتر رو منظورم اينكه

28 نگرفتید نظر در سر دو ی عقربه رو هستن دایره این روی که هایی چرا بچهها! )9( فصل آموزش ماست تفکر در ما تفاوت بیابید. رو مقدار معادلهي از : سؤال بشه(: برابر اون ارتفاع )يعني بشه برابر سينوسش كه كنيد پيدا مثلثاتي دايرهي روي رو اي كه اينه سؤال منظور اجازه! آقا چرخيده مثبت جهت در كه سره يك اي زاويه k آوريد. دست به را معادلهي كلي جواب : سؤال کنن: می ایجاد سر دو ی عقربه و دارن قرار مثلثاتي دايرهي راست و چپ در فقط صفره ارتفاعشون كه اجازه! هايي آقا است كدام معادلهي جواب مجموعه : سؤال با برابره ارتفاعشون كه اجازه! هايي آقا k k پاييني(: زاويهي دو )البته دارن قرار 5 مدل با ضربدر روي جهت در k اندازهي به يكي كه داريم سر يك عقربهي تا دو چرخيده مثبت جهت در 5 اندازهي به يكي اون و منفي 5 k نداره. ثابتی مقدار بعدی ی عقربه تا عقربه هر ی زاویه چون اجازه! آقا کنید: طی رو مرحله دو باید کنید پیدا رو a ی معادله جواب خواستید وقت هر a ya خطي نقطه اين از و انتخاب رو a مقدار محور روي ( a كنه. قطع رو مثلثاتي دايرهي تا عمودكنيد محور بر هست. معادله كلي جواب عمومي فرمول كه باشيد داشته توجه البته نظره. مورد جواب يا همون برخورد نقطهي ( بازهي در معادلهي : سؤال داره جواب چند, [ ] هست!!! برابر ارتفاعش زاويه كدوم ميدونم چه من اجازه! آقا.) [, ] بازهي تو )اونهم خواسته رو تعداد بلكه نخواسته ازت رو مقدار مسئله كه ميبيني كني دقت سؤال به اگه عزيزم! دانشآموز تا کنیم رسم افقی خطی نقطه این از و کرده انتخاب رو مقدار محور روی كه كافيه مسئله اين در آقا! فهميدم آهان در معادله این جوابهای تعداد دنبال به اما هستن. ی معادله کلی جواب مکان دو کنه.این قطع نقطه دو رو دایره. پس: هستیم. [, ] بازهي [, ] بازهي در جواب تعداد

29 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش معادلهي جوابهاي كردن وصل از 5: سؤال ميشود حاصل ضلعي چند كدام مثلثاتي دايرهي روي بيابيم. رو مقدار بعد و بياريم دست به رو مقدار بايد اول كنيم. حل مرحله دو در بايد معادلهرو اين كه كنم فكر اجازه! آقا a b c k k k k - مستطيله. ها كردن وصل از حاصل شكل چيست معادلهي كلي جواب : سؤال باتوجهبهشكل اجتماعجوابهازاويهي سريروتشكيلميدنكه توجه: شهودي روش به cs a معادلهي حل هست. k درجهتمنفيدورانپيداكرده.یعنیجواباینمعادلهبهصورت بربيايد. هم كسينوسي معادالت پس از راحتي به كنم فكر داديد جواب زيبايي اين به رو سينوسي معادالت وقتي بچهها! بياريد. بهدست رو cs معادلهي كلي جواب : سؤال بشه(. برابر ها اون طول )يعني بشه. برابر ها اون كسينوس كه كنيم پيدا مثلثاتي دايرهي روي رو هايي بايد اجازه! آقا ضربدر( راست سمت زاويهي دو )البته دارن. قرار مدل با ضربدر روي ها اين cs بياريد. دست به رو cs معادلهي كلي جواب سؤال : جهت در يكي كه داريم سر يك عقربهي تا دو منفي جهت در ديگه يكي و چرخيده مثبت k± قطع نقطه دو در رو دایره تا کنیم می رسم عمود خطی نقطه این از و کرده انتخاب رو مقدار cs محور روي اجازه! آقا مدل با ضربدر روي ها اين کنه. ضربدر( چپ سمت زاويهي دو )البته دارن. قرار cs 5 جهت در يكي كه داريم سر يك عقربهي تا دو k± 5 چرخيده منفي جهت در 5 ديگه يكي و مثبت ميكند صدق زير فرمولهاي از كداميك در [, ] بازهي روي cs معادلهي جوابهاي سؤال : k ) k ) k ) k ± ) cs ( cs ) cs k فرمول در بازه اين درون هاي بنابراين چرخيده. مثبت جهت در اندازهي به كه ميكنيم مشاهده رو سري زاويهي [, ] بازهي در ميكنن. صدق

30 )9( فصل آموزش 5 ماست تفکر در ما تفاوت تونید: می کنید پیدا رو cs a ی معادله جواب خواستید وقت هر a بر خطي نقطه اين از و انتخاب رو a مقدار cs محور روي ( كنه. قطع رو مثلثاتي دايرهي تا ميكنيم عمود cs محور a هست. معادله اين كلي جواب عمومي فرمول كه باشيد داشته توجه البته. نظره مورد جواب يا همون برخورد نقطهي ( شهودي روش به a معادلهي حل كنيد. پيدا رو معادلهي كلي جواب مثال مقدار محور روي بايد اجازه! آقا به عقربشون امتداد كه هايي كنيم. مشخص رو k هست. معادله جواب كنه برخورد است كدام cs معادلهي جواب مجموعه تمام مثال بياد. بهوجود تانژانتي معادلهي تا كنيم تقسيم cs به رو طرفين بعد و برسونيم توان به معادلهرو كافيه آسونه. خيلي اجازه! آقا توان به cs cs cs 5 k برسوني زوج توان به رو معادله يك اگه كه بودم نگفته )( فصل در من مگه كردي. تمومش بد اما رفتي جلو خوب كنجكاوم! دانشآموز بده بهت زائد جواب ممكنه منفي رو cs و چون نيست معادله جواب داره قرار سوم ربع در كه اي كجاست. كارم اشكال فهميدم اجازه! آقا cs معادلهي نتيجه در ميكنه بنابراين: نميشه. تعريف سوم ربع در واقع های ازاي به 5 k k بنویسید نمیشه تعریف تانژانتشون که رو هایی عمومی فرمول مثال k دارن قرار دايره پايين و باال در ها اين اجازه! آقا روبرو( )شکل نداره. برخوردي محور با عقربشون امتداد چون

31 تفاوت ما در تفکر ماست آموزش فصل )9( رو بهدست بياريد. آقا اجازه! اگه يه طرفين وسطين كنيم همه چي حله. مثال جواب كلي معادلهي k k دانشآموز عزيزم باز هم گول خوردي. آيا اصال به اين موضوع فكر كردي كه بعضي از جوابهاي به دست اومده ممكنه مخرج معادله رو صفر كنن آقا اجازه! نميدونيم چرا حواسمون به اين مسائل نيست. االن بررسي ميكنم: زاويهي سر k k يا از اونجايي كه هاي واقع در چپ و راست دايرهي مثلثاتي باعث صفر شدن مخرج اين معادله ميشن نميتونن جواب معادله باشن پس جواب معادله k± بچهها! خطر خطر خطر: در حل معادالت مثلثاتي )خصوصا كسري و راديكالي كه محدوديت دامنه دارن( جوابهاي به دست اومده رو حتما تو معادلهي اوليه چك كنيد. چون ممكنه بعضي از جوابها در دامنهي معادلهي اوليه نباشند. a هر وقت خواستید جواب معادله ی a رو پیدا کنید: ( روي محور مقدار a رو مشخص كنيد. ( هايي كه امتداد عقربشون به a برخورد كنه جواب معادله ی a هستن. حل معادلهي ct a به روش شهودي a اگه خواستید جواب معادله ی ct a رو پیدا کنید میتونید: ( روي محور ct مقدار a رو مشخص كنيد. a برخورد كنه جواب معادله ی a هايي كه امتداد عقربشون به ( ct هستن. مثال : جواب کلی معادله ی ct کدام است آقا اجازه! بايد مقدار رو روي محور ct مشخص كنيم. k هايي كه امتداد عقربشون به اين نقطه ميخوره جواب اين سؤاله. - 5 k مثال: جواب كلي معادلهي ct را به دست آورید

32 )9( فصل آموزش 7 ماست تفکر در ما تفاوت آورید دست به را [, ] بازهي در ct معادلهي جوابهاي تعداد مثال: حله. چي همه كنيم تبديل مثلثاتي نسبت يك به شده تشكيل مثلثاتي نسبت دو از كه باالرو معادلهي مثلثاتي روابط كمك به بتونيم اگه اجازه! آقا فرعی روابط ( ) ct ct ct - 5 k k 8 که سری چرخیده 8-8 تاست. [, [ ی بازه در جوابها تعداد نشده تعريف كتانژانتشون كه بيابيد رو هايي عمومي فرمول مثال: کنه. برخورد نباید ct محور با عقربشون امتداد چون دارن قرار دايره راست و چپ در ها اين اجازه! آقا k ) ct ct,, cs cs, ( معادالت حل مشخصن. هم ct,, cs, مقادیر نتیجه در معلومه. زاویهای میکنیم فرض ) شکل شکل شکل شکل cs ct )( شکل به توجه با شه. برابر با سینوسشون که کنیم پیدا رو هایی باید ی معادله حل برای ) k ( ) دیگری و k )یکی سره یک عقربهی تا دو معادله( کلی )جواب ها این میبینید که همونطور k ( ) k { k k )( شکل به توجه با شه. برابر cs با کسینوسشون که کنیم پیدا رو هایی باید cs cs cs cs ی معادله حل برای ) k دیگری و k )یکی سره یک عقربهی تا دو معادله( کلی )جواب ها این میبینید که همونطور k k cs cs cs k± k )( شکل به توجه با شه. برابر با تانژانتشون که کنیم پیدا رو هایی باید ی معادله حل برای ) k )یعنی سره دو عقربهی یک معادله( کلی ها)جواب این میبینید که همونطور k

33 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 8 k ct )( شکل به توجه با شه. برابر ct با کتانژانتشون که کنیم پیدا رو هایی باید ct ct ی معادله حل برای ) k )یعنی سره دو عقربهی یک معادله( کلی ها)جواب این میبینید که همونطور ct ct k k k k k k 5 k 5 5 آوريد. بهدست را معادلهي كلي جواب مثال دارد جواب چند [, ] بازهي در ( ) معادلهي مثال يعني: ميشه. حل راحتي به مسئله قبل رابطهي كمك به اجازه! آقا ( ) داريم. جواب [, ] k k k k k ( ) k و سربوده يك زاويهي k كه اونجايي از اجازه! آقا دل در k كه كردي توجه موضوع اين به آيا گفتي. اشتباه عزيزم دانشآموز k هست. زيرمجموعهي k واقع در داره قرار k تا. برابره [, k ] بازهي در جوابها تعداد و بود خواهد كلي جواب پس ي بازه در پس هستش. سر زاويهي k 7 ) 7 ) ) ) است كدام cs cs 7 5 معادلهي ريشههاي از يكي مثال kk k ها گزينه به توجه با cs k cs 5 cs 5 k cs cs 5 cs cs 5 k k± k k cs cs k 5 5 cs 5 cs 5 cs cs k ± k± cs cs ( cs ) k k k k kk k k k 7 7 k 7 k cs k k آورید دست به را ی معادله جواب مجموعه مثال در )چون داره دامنه محدوديت معادله اين كه اونجايي از ميمونه. ذهنمون تو هميشه براي ديگه شما خطر اعالم اجازه! آقا كنيم. چك اوليه معادلهي توي رو اومده دست به جواب بايد نميشه( تعريف نقاط بعضي اوليه معادلهي k معادله جواب k k ( k k ) (k k ) ) (k ) k k k ct اوليه معادلهي کنیم می چک اولیه ی معادله توی رو k ct ct k ( k ) ct(k ) k ( k ) ct(k ) نشده تعريف k است كدام ct معادلهي جواب مجموعه مثال نداره. جواب اصال باال معادلهي بنابراين نميكنه. صدق اوليه معادلهي در اصال چون پوشاليه جواب مجموعه k اجازه! آقا

34 آموزش فصل )9( تفاوت ما در تفکر ماست 9 مثال معادلهي ct ct در بازهي ], [ چند جواب دارد k k ct ct k k غقق غقق تعداد جواب ct آقا اجازه! نقاط سمت چپ و راست دايره در معادلهي ct صدق نميكنن. )چون باعث تعريفنشدگي ct ميشن( نسبتهاي مثلثاتي ) ± (k بچه ها مي خوام قانوني رو براتون بازگو كنم كه خيلي سريع بتونيد نسبت هاي مثلثاتي زواياي ±) k) رو به نسبتهاي مثلثاتي زاويه ) ي تبديل كنيد ( k ± ) ( ±) cs( k ± ) cs( ±) ( اگه ضريب عددي زوج باشه اونو از كمان هاي وcs حذف كنيد و دسته زوایای k± رو در دایره ی مثلثاتی دیگه ای رسم ( ( k ) ± ) ( ±) cs( ( k ) ± ) cs( ±) راهنمایی: زوایای ± رو در یک دایره ی مثلثاتی و و cs این کمانها رو با هم مقایسه کنید. k k کنید ( اگه ضريب عددي فرد باشه اونو از كمان هاي و csحذف كرده,اما نسبت مثلثاتي رو قرينه كنيد راهنمایی: زاویای ± و cs این کمانها رو با هم مقایسه کنید. رو در یک دایره ی مثلثاتی و دسته زوایای رو در ( k ) ± رو در دایره ی مثلثاتی دیگه ای رسم کنید و ( k ± ) ( ±) ct( k ± ) ct( ±) ( ضريب چه زوج و چه فرد باشه اونو از كمان هاي و ct حذف كنيد راهنمایی: زاویای ± و ct این کمانها رو با هم مقایسه کنید. مثال نسبتهاي مثلثاتي زير را برحسب بنويسيد. رو در یک دایره ی مثلثاتی و دسته زوایای رو در k ± رو در دایره ی مثلثاتی دیگه ای رسم کنید و ( ( 85 ) ( ) 9( ( 9 ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( 97 ) ( ) ( ( 59 ) ( ( 99 ) ( ( 78 ) ( ( ) 5( cs( 75 ) cs( ) cs ( ct( ) ct( ) ct ( cs( ) cs( ) cs ( ct( ) ct( ) ct 7( cs( ) cs 5( ct( 7 ) ct 8( cs( ) cs ( ct( 8 ) ct

35 تفاوت ما در تفکر ماست آموزش فصل )9( 5 5 نسبتهاي مثلثاتي ( k ) ± 5 فرد رو به نسبتهاي مثلثاتي زاويه ي تبديل مي كنه : حاال مي خوام قانوني رو بگم كه نسبت هاي مثلثاتي زواياي (± )) k ( ( ( k ) ± ) cs cs( ( k ) ± ) ( ( k ) ± ) ct ct( ( k ) ± ) آقا اجازه! اين طور كه معلومه شما مضربهای فرد رو از کمان های درون ct cs حذف کردیدو بعدش نسبت هاي مثلثاتي رو عوض کردید. اوال چرا ثانیا به جاي چه عالمتي رو بذاريم! مثبت يا منفي! cs عزیزم! برای اینکه جواب سوالت رو بگیری به این مثال توجه کن. میخوام ببینم ) ( با چی برابره. فرض میکنم زاویهای حاده هست. پس زاویهی همونطور که میبینید ( ) ) ( در ربع سوم قرار میگیره. هم اندازه هست نه با cs با ( ) به همین دلیله که نسبتهای مثلثاتی سمت چپ و راست با هم فرق دارن. cs ) ( از اونجایی که در ربع اوله پس cs مثبته. از طرفی ) ( در ربع سومه پس ) ( منفیه و برای اینکه برقرار بشه باید به جای عالمت منفی بذاریم. ( )? cs تساوی دوستان عزيزم!نتيجه اينكه براي تشخيص عالمت كافيه عالمت سمت چپ معادله ي باال رو به دست بياريد و در طرف راست معادله قرار بديد. 5 ( 5 ) cs ( ) a 7 cs( ) ( ) - a 5 مثال نسبتهاي مثلثاتي زير را بر حسب بنويسيد. 5 ( ) ct 5 ( ) a - 7 ct( ) 7 ( ) 5 كدام است 7 ( ) cs( ) 7 ( ) cs( ) ( ) ( cs ) ( cs( ) ) ( ) cs ) ( - a مثال جواب كلي معادلهي cs ± - k±

36 )9( فصل آموزش 5 ماست تفکر در ما تفاوت مثلثاتي توابع نمودار y نمودارتابع رسم كنيد: نگاه ميدم. انجام نقطه 5 با كارو اين كنم. رسم [, [ بازهي در رو y نمودار ميخوام بچهها! - - (...,[, ],[, ],[, ],... ) بازههاي در y نمودار پس اولشه دور مثل تغييرات مثلثاتي دايرهي از دور هر در كه اونجايي از y يعني: هستن. شبيه همديگه به كامال y cs نمودارتابع رسم كنيد: نگاه كرد. استفاده نقطه 5 از ميشه هم [, [ بازهي در y cs نمودار رسم براي بچهها! cs - - cs (...,[, ],[, ],[, ],... ) بازههاي در y cs نمودار پس هست. اولش دور cs تغييرات مثلثاتي دايرهي از دور هر در اينكه به توجه با ycs يعني: هستن. همديگه مثل y نمودارتابع رسم رسيده. y نمودار رسم به نوبت حاال بچهها! چه نداره وجود براي مقداري نقطه اين در و دارن قرار [, [ بازهي در و اينكه به توجه با اجازه! آقا - - كرد رسم [, [ بازهي در رو y نمودار ميشه جوري همسايگي در بدونيم الزمه, نشده تعريف و اينكه به توجه با پرسيدي. خوبي سؤال يعني: میره. سمتی چه به مقدار و نزديك بسيار, و نزديك بسيار همسايگي از ميكنيم استفاده,,,, ( ) نقطهي 5 از اينكه بر عالوه y نمودار رسم براي پس (,,, يعني:( ميگيريم. كمك هم

37 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش هنشده تعر ف هنشده تعر ف بازههاي در y y y نمودار لذا هست. اولش دور مثل تغييرات مثلثاتي دايرهي از دور هر در ميدونيد كه همونطور ( ) يعني: هستن همديگه شبيه كامال...,[, ],[, ],[, ], y ct نمودارتابع رسم ct نمودار بتونيد خودتون كنم فكر شد مطرح y نمودار رسم در كه صحبتهايي به توجه با بچهها! كنيد. رسم رو y يعني: هستن. و هست نشده تعريف شون ct كه نقاطي [, [ بازهي در اجازه! آقا - و - و - ct ct ct,, ct ct ct و چپ همسايگي راست همسايگي از ميكنيم. استفاده (,,,, ( نقطهي 5 از اينكه بر عالوه y ct نمودار رسم براي (,,, يعني:( ميگيريم. كمك نيز چپ همسايگي و راست ct هنشده تعر ف هنشده تعر ف - - هنشده تعر ف y ct (...,[, ],[, ],[, ],... ) بازههاي در y ct نمودار پس هست. اولش دور مثل ct تغييرات مثلثاتي دايرهي از دور هر در كه اونجايي از y ct يعني: هسن. همديگه مثل - -

38 )9( فصل آموزش 5 ماست تفکر در ما تفاوت 7 ) y Arc (یا) y ( مثلثاتي معكوس توابع 7 y یتابع دامنه و نمودار ) f )يعني f تابع معكوس ميكنيد فكر.حاال y خط به نسبت تابع اون قرينهي يعني تابع يك معكوس كه ميدونيد بچهها! بود خواهد تابع صورتي چه در معكوسش باشه يك به يك تابعي f كه صورتي در اجازه! آقا روبرو( هاي )شكل خير. صورت غيراين در و ميشه تابع ) f )يعني - هست تابع f هست ك به ك f - تابعهن ست f fكبه كهن ست كنم. معرفي بهتون هست y تابع معكوس كه رو y تابع ميخوام حاال خوبم.بچهها! دانشآموز تو به آفرين!!! y تابع گفتيد شما اجازه! آقا y داره عيبي مگه عزيزم. بله ميدونيدتابع خودتون كه همونطور داره. عيب كه بله اجازه! آقا لقب y يعني معكوسش به چطور نيست پس یک به یک كنيد: نگاه ميكنه تأييد منو حرفهاي رو روبه شكل اجازه! آقا ميديد!!! رو تابع كبه كهن ست معكوس تابعهن ست y y y - - [ ] كل معكوس من چيه.منظور جريان ميگم بهت االن ميشي عصباني چرا عزيزم يكه. به يك كه هست y از قسمتي معكوس بلكه نيست y تابع يعني: داره. قرار, بازهي در كه هست y از بخشي معكوس y تابع قرارداد: طبق [, ] بازهي [ در { y تابع [ [[ -,, ]] [ [{{ y [ [ D f [, ] Arc تابع: y D ff [,, ] - D f [,],] R ff [[,] y Arc Arc تابع [ [ D f [ D R y Arc [ f, [ ], ] - f [,] - D f [ D,] f,] R, f [, ] y كبه ك: [ ] [ ] دادم y به تابعرو لقب چرا كه فهميدي حاال خب ميگفتيد. رو موضوع اين اول از كاشكي اما فهمیدم. بله اجازه! آقا كني. درك خوب مفهومرو اين تا بكشم چالش به كمي ذهنترو خواستم اصال ( / 5) و ( ) بياريد. دست به رو ( / 5) و ( ) مقدار y نمودار به توجه با بچهها! خب - -/5 - كنيم رسم رو y نمودار كافيه نداره. كاري كه اين اجازه! آقا صورت اين كنيم.در تصوير نمودار اين به رو / و 5 و بود: خواهند ( / ) 5 و ( ) يعني نداره! برخوردي y نمودار اصال با / همون اومده دست به هاي ارتفاع و 5 تصوير كني! مي اذيت اجازه! آقا نداره! وجود

39 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 5 باشن. داشته قرار [, ] بازهي در كه ميكنه جذب هاييرو, y ( ( تابع بگم خواستم فقط نكردم. اذيتتون بچهها! باشه. [, ] بازهي از خارج نداره حق به ورودي يعني - - { } ( ) { } y ( ) D y g() D g() بنويسيد. مقابلشون رو زير عبارتهاي از كدوم هر مقدار y نمودار به توجه با بچهها! ( ( ) ( ( / ) نشده تعريف چشم. روي به اجازه! آقا ( ( ) 5( ( ) نشده تعريف ( ( ) ( ( ) نشده تعريف باشید( بلد رو ( )فصل ها بازه روی اعمال بهتره مثال دو این حل برای بيابيد.)توجه: را زير توابع دامنهي مثال ( y ( ) ) y ( ) وارون [,] (, ] [, ) باشه منفی [,] [,] (,] [, ) دامنه () [,] [ ] ( ) [, ] [, ], مطلق قدر حذف [ ] [ ],, [ ] مثلثاتي نيمدايرهي كمك به مقدار يافتن انتخاب هست, بازهي در كه رو y تابع يك به يك قسمت بايد اول y تابع به رسيدن براي ميدونيد شما انتخاب رو مثلثاتی فنر از بخشي فقط مثلثاتي( دايرهي كمك به )اونهم داريد رو محاسبهي قصد اگه پس كنيد. معكوسش بعد و كرده يعني: داره. قرار, بازهي در كه كنيد [ ] - كنار( از )نگاه ( ) ( ) - - دايرهي راست نيمهي به نياز محاسبهي براي بنابراين چه راست سمت مثلثاتي نيمدايرهي كه اينه سؤال اما داريم مثلثاتي بفهميد. تا كنيد نگاه خوب پس ميكنه آوردن دست به در كمكي مقابل( از )نگاه ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

40 )9( فصل آموزش 55 ماست تفکر در ما تفاوت - مثلثاتي نيمدايرهي روی زاویهي نمایش داريد: نياز چيز دو به شما زاويهي نمايش براي است. زاويه جنس از ديديد كه همونطور - مثلثاتی ی دایره راست سمت ی نیمه ( محور ( كمان به رو اون بعد و ميكنيد انتخاب رو مقدار محور روي يعني بشه. معلوم زاويهي تا ميكنيد تصوير مثلثاتی دایرهي راست سمت ميكنه. پيدا افزايش سمت به از زاويهي كنه پيدا افزايش سمت به از مقدار اگه 8 ) y Arccs (یا) y cs ( مثلثاتي معكوس توابع 8 y cs یتابع دامنه و نمودار همش. نه y cs از بخشي معكوس اما هست y cs تابع معكوس y cs تابع بچهها! پيدا رو بودن تابع لياقت y cs تا باشه يك به يك بايد كنيد معكوس ميخوايد كه رو y cs از بخشي اون اجازه! آقا كنيد انتخاب رو y cs از بازهاي چه داريد قصد شما كه اينه سؤال اما كنه. y Arc cs y cs y cs - y [, ] دربازهي [ { y cs تابع [ y Arc cs cs تابع [ - يعني: كنيم. انتخاب ]رو, [ بازهي بايد قرارداد طبق - كنه جذب ميتونه رو هايي چه y cs D f [, ] R f [,] Df R f [,] [, ] تابع ميكنيد فكر روبهرو شكل به توجه با بچهها! قراردارند. [, ] بازهي در كه رو هايي فقط اجازه! آقا نتیجه { } ( ) { } y cs ( ) D y cs g() D g() ( cs ( ) ( cs ( ) ( cs ( / 5) نشده تعريف 5( cs ( ) نشده تعريف ( cs ( ) ( cs ( ) نشده تعريف بنويسيد. مقابلشون رو زير عبارتهاي از كدوم هر مقدار y cs نمودار به توجه با باال شکل در بچهها! است كدام y cs ( ) [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] دامنه تابع دامنهي مثال

41 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 5 مثلثاتي نيمدايرهي كمك به cs () مقدار يافتن انتخاب داره قرار [, [ بازهي در كه رو y cs تابع يك به يك قسمت بايد برسيد y cs تابع به اينكه براي ميدونيد كه همونطور رو مثلثاتی فنر از بخشي كافيه مثلثاتي( دايرهي كمك به )اونهم داريد رو cs مقدار محاسبهي قصد اگه بنابراين كنيد. معكوسش بعد و كرده يعني: داره. قرار [, [ بازهي در كه كنيد انتخاب مقابل( از )نگاه كنيد: نگاه كرد. حساب ميشه راحتي به مثلثاتي نيمدايرهي كمك به رو y كنار( از )نگاه cs بنابراين cs ( ) cs 5 ( ) cs ( ) cs - cs cs ( ) cs 5 - cs ( ) cs () cs ( ) cs ( ) cs ( ) cs ( ) مثلثاتي نيمدايرهي روی cs () زاویهي نمایش داريد: نياز چيز دو به شما cs زاويهي نمايش براي مثلثاتی ی دایره باالیی ی نیمه ( cs محور ( انتخاب بعدش و ميكنيد انتخاب رو مقدار cs محور روي يعني - بشه. معلوم cs زاويهي تا ميكنيد تصوير باال كمان به رو شده cs ميكنه. پيدا كاهش سمت به از cs زاويهي كنه پيدا افزايش سمت به از مقدار اگه 5 Arc cs - cs < 5 است كدام ميباشد < وقتي y cs تابع برد مثال 9 ) y Arc (یا) y ( مثلثاتي معكوس توابع 9 y یتابع دامنه و نمودار تابع ميدونيد كه همونطور بچهها! از بخشي دليل همين به بود. نخواهد تابع تابع اين معكوس پس نيست يك به يك y y از قطعه اين معكوس نتيجه در ), بازهي قرارداد )طبق باشه يك به يك كه ميكنم انتخاب رو y نمودار ( ) كنيد: نگاه داره. قرار, بازهي در كه هست y از قسمتي معكوس y تابع پس هست. تابع صددرصد ( )

42 )9( فصل آموزش 57 ماست تفکر در ما تفاوت y y yy Arc y - D f (, ) R f y - D f R f (, ) هست. تابع اين دامنهي يعني كنه جذب رو ها تمام ميتونه تابع اين y نمودار به توجه با بچهها! ( ) ( ) ( ( ) چيه y ( g( ) ) تابع دامنهي ميكنيد فكر سؤال: يه بچهها بشه تعریف داره.اگه( g( بستگی به( g( چی همه پذیراست.پس رو حقیقی مقدار هر y ta n ) ) که اونجایی از اجازه! آقا خیر.بنابراین: اینصورت غیر ودر میشه تعریف هم y ta n ( g( ) ) پس y ( g( ) ) D D g ( ) y D [ 5, ) بيابيد. را مقابل تابع دامنهي مثال ( ) مثلثاتي نيمدايرهي كمك به y مقدار يافتن داره قرار, بازهي در كه رو y تابع يك به يك بايدقسمت y تابع نمودار رسم براي ميدونيد كه همونطور مثلثاتي فنر از قسمتي كافيه كنيد محاسبه مثلثاتي دايرهي كمك به رو مقدار ميخوايد اگه بنابراين كنيد. معكوسش بعد و كرده انتخاب يعني: داره. قرار, بازهي در كه كنيد انتخاب رو ( ) - كنار( از )نگاه - مقابل( از )نگاه كنيد: نگاه كرد. حساب ميشه راحتي به مثلثاتي نيمدايرهي طريق از رو y ی زاویه بنابراين

43 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 58 y Arc ( ) ( ) ( ) Arc y ( ) ( ) ( ) ( ) مثلثاتي نيمدايرهي روی y زاویهي نمایش داريد: نياز چيز دو به بديد نمايش رو y زاويهي بتونيد اينكه براي مثلثاتی ی دایره راست سمت ی نیمه ( محور ( توسط رو شده انتخاب ميكنيد. انتخاب رو مقدار محور روي يعني بشه. معلوم زاويهي تا ميكنيد وصل نيمدايره مركز به خط يك ميكنه. پيدا افزايش تا از هم زاويهي كنه پيدا افزايش تا از مقدار اگه است كدام f () تابع برد باشد < اگر مثال < - - ( ( [, ], ] 5 (, ] برد ) y Arcct (یا) y ct ( مثلثاتي معكوس توابع y ct یتابع دامنه و نمودار y ct نمودار از بخشي بود.بنابراين نخواهد تابع هم معكوسش پس نيست يك به يك y ct تابع اينكه به توجه با بچهها! بود. خواهد تابع قطعا y ct از قطعه اين معكوس نتيجه در ) (, ( بازهي قرارداد )طبق يكه به يك كه ميكنم انتخاب رو يعني: داره. قرار (, ( بازهي در كه هست y ct از قسمتي معكوس y ct تابع قرارداد پس

44 )9( فصل آموزش 59 ماست تفکر در ما تفاوت y Arc ct ct y (, ) بازهي [ در { y ct از بخشي [ D f (, ) Rf y ct y y Arc ct ct تابع [ D f R (, ) f D يعني: داره رو ها همهي جذب قدرت تابع اين كه ميبينيد كنيد دقت y ct تابع نمودار به اگه بچهها! f ct ct ct ( ) چيه y ct ( g( ) ) y Arc ct g( ) دامنهي سؤال: يه بچهها ( ) اجازه! آقا D D g > اگر > > اگر > < > اگر > است كدام y ct ( ) تابع دامنهي مثال پس: بشه. میشن باعث که هستن هایی تابع این ی دامنه دونید می که همونطور ق ق غ > ق > ق D D (, (, ) ) ق ق غ > > D D (, (, ) ) مثلثاتي نيمدايرهي كمك به y ct مقدار يافتن انتخاب داره قرار (, ( بازهي در كه رو y ct تابع يك به يك قسمت بايد y ct تابع نمودار رسم براي ميدونيد كه همونطور مثلثاتي فنر از قسمتي كافيه كنيد محاسبه مثلثاتي دايرهي كمك به رو y ct مقدار ميخوايد اگه بنابراين كنيد. معكوسش بعد و كرده يعني: داره. قرار (, ( بازهي در كه كنيد انتخاب رو مقابل( از )نگاه كنيد: نگاه كرد. حساب مثلثاتی نيمدايرهي طريق از میشه راحتی به رو ct مقدار بنابراين كنار( از )نگاه

45 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش 5 ct ( ) ct ( ) ct ( ) Arc ct ct ct ( ) ct ( ) ct Arcct ct ( ) ct ( ) مثلثاتي نيمدايرهي روی y ct زاویهي نمایش داريد: نياز چيز دو به بديد نمايش رو ct زاويهي بتونيد اينكه براي مثلثاتی ی دایره باالیی ی نیمه ( ct محور ( توسط رو شده انتخاب ميكنيد. انتخاب رو مقدار ct محور روي يعني بشه. معلوم ct زاويهي تا ميكنيد وصل نيمدايره مركز به خط يك ميكنه. پيدا كاهش صفر سمت به از هم ct زاويهي كنه پيدا افزايش تا از مقدار اگه ct ct ct ct ( ) cs( ) cs است كدام ( ct ( )) cs( ct ( ) ) - عبارت مقدار مثال ct cs زوایای بین موجود روابط متمم زاويهي دو مجموع cs y كنيد پيدا مثلثاتي نيمدايرههاي كمك به رو cs مقدار ميتونيد آيا بچهها! cs مقدار ميشه راحت خيلي گفتيد كه جديدي مطالب با اجازه! آقا cs و محور روی رو یکسان مقدار دو روبرو شكل به توجه با آورد. بهدست رو که.همونطور کنیم می مشخص رو مقدار دو این cs و و کرده انتخاب متقارنن. y خط به نسبت هستن چون همديگه متمم cs و زاويههاي بینید می cs بنابراين: y اينجوريه: نمودارش پس y كنيد رسم رو y cs تابع ميتونيد آيا ديگه: سؤال يه يعني: ثابته. تابع يك تابع اين آسونه. خيلي اجازه! آقا

46 )9( فصل آموزش ماست تفکر در ما تفاوت فقط تابع اين كه ميفهمي كني نگاه خوب y cs تابع به اگه نكردي. جمع رو حواست هم باز عزيزم دانشآموز شما پس كنه جذب ميتونه داره قرار [, ] بازهي در كه رو هايي y - y يعني: داري. سروكار هست [, ] بازهي دامنهاش كه y تابع با كنيد پيدا مثلثاتي نيمدايرههاي كمك به رو ct, ct متمم ct y ct مقدار ميتونيد آيا من! دوستان و کرده انتخاب ct, محور روی رو یکسان مقدار دو کافیه اجازه! آقا با زاويههاي که واضحه.کامال کنیم رومشخص مقدار ایندو برای رو ct بنابراين: هستن. همديگه روبروست: شكل به, با برابره دامنهاش اينكه به توجه با y ct تابع نمودار تازه دارد جواب چند cs ( ) cs ± معادلهي مثال قرینه زاويهي دو مجموع ) (), ( ( زوایای )همچنین هستن همدیگه ی قرینه () و ( ( زاویای که میده نشون داره زیر شکلهای ( ) ( ) ( ) ( ) - - مکمل زاويهي دو مجموع :) ct ( ), ct زوایای )همچنین هستن همدیگه مکمل cs ( ),cs زاویای که میده نشون داره زیر شکلهای cs cs - ct ct ct ( ) ct ( ) - - cs ( ) cs ( )

47 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش - برقراره. همواره, ct ct ( ) ( ) مقادیر > رابطهي بچهها! < روبهروست: شكل به هم y تابع نمودار پس ميزنيد رو حرفها اين حسابي چه رو اجازه! آقا D (, ) (, ) يعني: هست. {} تابع اين دامنهي بگيريد. نظر در رو y تابع بچهها! ثابته تابع يك (, ( بازهي در اينكه بر عالوه تابع اين يعني ميشه. y كه ميبينيد بياريد دست به تابعرو اين مشتق اگه كافيه داره مقدار يك فقط دامنه هاي تمام ازاي به ثابت تابع يك كه اونجايي از بود. خواهد ثابت تابعي هم (, ( بازهي در بشه. معلوم (, ( بازهي در ثابت تابع اين مقدار تا بديم قرار تابع درون رو مثل دلخواه يك (, ( بازهي در كه بشه. مشخص هم (, ( بازهي در تابع مقدار تا بديم تابع به رو مثل دلخواه يك بايد هم (, ( بازهي در همچنين ( ) ( ) يعني : y ( ) ( ) y ct ct برقراره. همواره هم ct ct > < رابطهي ضمن در بچهها! عزيزم. بله ( ) روبهروست: شكل به y ct ct تابع نمودار پس كرد استفاده رابطه اين اثبات براي ميشه باال داليل از آيا اجازه! آقا Arc ( ) Arc ( ) > ct ( ) ct ( ) > كه: ميفهمي كني عمل باال مثل اگه معلومه. خب Arc ( ) Arc ( ) > ct ( ) ct ( ) < Arc ( ) Arc ( ) < ct ( ) ct ( ) < Arc ( ) Arc ( ) < ct ( ) ct ( ), cs, زواياي مثلثاتي نسبتهاي داديد قرار رو< مقدار ازاي > به رابطه اين در چرا داره. وجود سؤال يك اينجا در فقط اجازه! آقا»»»» درونشون عبارت فقط و ميكنن خنثي رو همديگه بشن تركيب يكديگه با هم معكوس تابع دو كه وقتي ميدونيد كه همونطور بچهها! ( ) ( ) f f( ), f f () ميمونه.یعنی: ( ) كنه)يعني: خنثي ميتونه Arc فقط رو بنابراين cs( cs ) همچنين : )يعني كنه خنثي ميتونه cs فقط رو cs

48 )9( فصل آموزش ماست تفکر در ما تفاوت cs( cs ) cs( ) ( ) توجه cs( ) 5 5 است كدام cs( cs ) حاصل مثال بتونه تا بنويسيد حسب بر رو مثلثاتي نسبت اون كافيه کنید محاسبه رو زاويهي مثلثاتي نسبتهاي خواید می اگه پس بنويسید cs حسب بر رو نسبت cs مثلثاتی های نسبت ی محاسبه برای كنه.وهمچنین خنثي رو ( cs cs( ) ( ) ( ct cs cs( ) ct( ) ( ) ( cs ی زاویه مثلثاتی نسبتهای ( ) ( ) cs( ) ( cs ( cs ) cs ( cs ) ( ct cs cs( cs ) ct( cs ) ( cs ) ( cs ( cs ) ( cs ) cs( cs ) cs ی زاویه مثلثاتی نسبتهای ( ( ) ( ) ( ) ( cs cs( ) ( ) ی زاویه مثلثاتی نسبتهای ( ct ct( ) ( ) بیارید. دست به خودتون رو ct مثلثاتي نسبتهاي کنید بچهها!لطف

49 ماست تفکر در ما تفاوت )9( فصل آموزش, cs, زواياي مثلثاتي نسبتهاي cs cs ( ) ( )cs( ) ( cs ) ( cs )cs( cs ). ( ) ( ) ( ) cs cs cs( cs ) cs ( cs ) cs cs( ) ( ) cs ( ) cs( cs ) ( ) ی زاویه مثلثاتی نسبتهای cs ی زاویه مثلثاتی نسبتهای ( ) ( ) ( ) E t r a رابطهي y.y.y > y y ( ) y y ( ) y y ( ) >,y > <,y< رو مثلثاتی معکوس توابع مبحث از رابطه آخرين بچهها! فوقالعاده رابطهي گذاشتم رو اسمش من ميبينيدكه ميگم: روبراتون رابطه خود فقط اثبات زياد حجم دليل به 5 ( ) ( ) مثال ( ) ( ) ( ) 5 > مثال ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 ( )( ) > مثال ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( )( ) 5